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[转载]杨六省：质疑第一次数学危机的真相: zhpd55 2017-11-22 16:48; 受人委托转载“杨六省：质疑第一次数学危机的真相” 更多信息请注意浏览附件： 2017 1100044-9 .pdf; 个人分类: 新观察|1944 次阅读|0 个评论

[转载]杨六省：质疑第一次数学危机的真相: zhpd55 2017-1-9 15:44; 诸平特别说明：应杨六省老师之邀，希望通过科学网博客对自己的研究结果能够得到行家点评。我自己担心会在转载过程中出现差错，特别附有 pdf 文件作为附件，可供参考。质疑第一次数学危机的真相 .pdf 质疑第一次数学危机的真相杨六省（陕西省长安师范学校,陕西西安 710100, Email: 13572503691@163.com ）摘要：目的澄清第一次数学危机的真相。方法揭示 Pythagoras 派关于 √2 不是有理数证明的无效性。结果在推理前提 ——√2 =α ： β （ α ， β 互质）中，写入 “α ， β 互质 ” 是不合理的，因为不相关，尤其是，它使得 √2 不是有理数的证明变为不可能。结论第一次数学危机的真相是：第一对不可公度量的发现，并不是基于对 √2 不是有理数的有效证明，而是基于无效证明。关键词：第一次数学危机；有理数；无穷；相容性；排中律；有效推理中图分类号： O143 0 引言 √ 2 与1不能公度的证明是 Pythagoras 派给出的。这个证明和现今对 √ 2 为无理数的证明相同。它们的推理前提都是——假设 √ 2 = α ： β （（ α ， β 互质），且都认可由假设前提可推出 α 为偶数之结论。但此结论如果导致矛盾呢，证明还有效吗？这就产生一个问题：第一次数学危机的真相是什么？也就是，第一对不可公度量的发现，是基于对√2不是有理数的有效证明呢？还是无效证明？这是应当澄清的。 1 讨论 1.1 毕达哥拉斯派的证明设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为 α ：β，并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据Pythagoras定理得 α 2 =2 β 2 。由于 α 2 为偶数， α 必然也是偶数，因任一奇数的平方必是奇数。但比 α ：β是既约的，因此β必然是奇数。α既是偶数，故可设α =2 γ 。于是 α 2 =4 γ 2 =2 β 2 。因此 β 2 =2 γ 2 ，这样β 2 是个偶数。于是β 也是偶数。但β同时又是奇数，这就产生了矛盾。 1.2 后世公认的证明下面采用北师大版教材（八年级上册）的证明。假设边长为 1 的正方形的对角线的长可写成两个整数 α ， β 的比 α/β （ α ， β 互质），于是有（ α / β ） 2 = 2， α 2 =2 β 2 . 因此， α 2 是偶数， α 是偶数. 于是可设 α =2 γ , 那么 α 2 =4 γ 2 =2 β 2 , β 2 =2 γ 2 . 这就是说， β 2 是偶数， β 也是偶数.这与“ α ， β 是互质的两个整数”的假设矛盾. 作者评析：现在众所周知——√ 2 不是有理数，是无理数；√ 2 是无穷不循环小数。因此，关于√ 2 ，为了应用反证法，试图推出的矛盾应该是有理数系统与无理数系统之间的矛盾，应该是与无穷相关的矛盾。据此笔者质疑，试图通过推出整数系统内的某种矛盾（注：只与互质概念有关）来证明 √ 2 不是有理数，是否合理，是否有效？在 Pythagoras 派的证明中，依次推出了α 是偶数、 β 是奇数、β是偶数，因后两项矛盾，又否定了第二项，从而推出了α和β都是偶数，于是，又否定了“ α ，β互质 ”这个假设，即 α ，β不互质。但笔者的质疑是，为什么偏偏从“α 必是偶数 ” 推出“ β 也是偶数 ”之后，就此停止？而不是将“α 是偶数，从而 β 也是偶数 ”这一推理模式无穷地继续下去呢？难道“停止”是合理的，而“无穷继续”就是不合理的吗？事实上，情况恰恰相反。“无穷继续”的做法是合理的，它能够“推出”前提条件“α ， β 均为整数”的否定（参见下文“本文作者的证明”），而“停止”的做法则不然。这是因为，当推出了 α ，β不互质时，人们有理由提问：α，β的最大公约数是什么呢？是 2 吗？不对，因为 “α 是偶数，从而 β 也是偶数 ”这一推理模式有理由无穷地继续下去；是 2 的无穷次方吗？也不是，因为它不是一个确定的整数。这就是说，提问是合理的，但答案是不存在的。这种新的矛盾，又会否决 “ α ， β 不互质 ”这一结论，因此，到头来，什么也没有证明，什么也证明不了。那么，为什么会出现提问合理而问题又无解的现象呢？唯一合理的解释是，在推理前提中写入“ α ， β 互质 ”是不合理的，因为它与我们讨论的问题不相干（注：√ 2 是有理数还是无理数的矛盾，表现为它能否表为两个整数之比，或者说，√ 2= α ：β中的 α 和 β 能否全是整数；但两个整数是否互质的矛盾，表现为这两个整数是否存在不等于 1 的公约数）。在推理前提中写入“ α ， β 互质 ”这一条款，不仅没有意义，更糟的是，它使得 √2不是有理数的证明变为不可能，换一种说法，这种证明的无效性已是不可避免的。理由是，一旦把有理数与无理数之间的矛盾转化为（当然这种转化是无效的）整数系内部的的矛盾（它只与互质概念有关，已无需再涉及 α 和 β 是否全是整数的问题了），这其后的推理，也只能像 Pythagoras 派所做的那样—— 如前所述，它是无效的。综上所述，我们说， Pythagoras 派关于 √2不是有理数的证明是无效的。历史让人感慨， Pythagoras 派只是缺少了一个提问，否则，发现行不通，换个思路，历史就会被改写。如果说， Pythagoras 派 “第一次”证明 √ 2 不是有理数时，由于尚不确定 √ 2 到底能不能表为整数之比，只是想应用归谬法进行试探的话，那么，在假设条件中列入 α 与 β 互质这一条款，倒是可以理解的（注：但其给出的证明不可能是有效的）。但是，当后世已经明确知道 √ 2 不能表为整数之比后，就应该及时地删除这个假设条件（因为既然 √ 2 = α ： β 中的 α 、 β 不可能全是整数，那么，它们之间也就不存在是否互质的问题），并修订原证明。基于上述理由，笔者认为，既然要用归谬法来证明论题—— √ 2 不能表为整数之比，那就直接从论题的否定（ √ 2 能表为整数之比）开始即可，何须借助于，事实上也不可能借助于与论题没有内在关联的概念（整数的奇偶性以及互质概念）达到证明的目的。笔者认为，自 Pythagoras 派第一次“证明了” √ 2 不是有理数直至今天，两千五百多年过去了， α 与 β 互质这一不合理的假设条款还一直被保留着，是令人惊讶的。 1.3 本文作者的证明设 √ 2 = α ： β （ α ， β 均为整数），则2= α 2 : β 2 ，从而 α 2 =2 β 2 。当 β 为整数时，2 β 2 是偶数。下面我们讨论 α 的情况。 ① α 能是奇数吗？因任一奇数的平方必是奇数，它不可能等于偶数 2 β 2 ，故 α 不可能是奇数。 ② α 能是偶数吗？由 ① 知， α 不可能是奇数；因假设 α 为整数，依据排中律可知， α 必是偶数。设 α =2 γ （ γ 为整数） , 代入 α 2 = 2 β 2 , 得 2 γ 2 = β 2 。如果上述由 α 2 = 2 β 2 （ β 为整数）得到 α 必为偶数的推理是有效的，那么，这里也应该由 2 γ 2 = β 2 （ γ 为整数）推出 β 为偶数； … 这样就会推出 α 以及β 有无穷多个因数2，从而说明 α 和β均不可能是整数，但这与 α ，β均为整数的假设矛盾，说明由 α 2 = 2 β 2 （ β 为整数）是推不出 α 是偶数的。结论是， α 不可能是偶数。 ① 的结论是 α 不可能是奇数， ② 的结论是 α 不可能是偶数，故α不是整数。综上所述，结论是α 与 β 不全为整数。由前提“α ， β 均为整数 ”推出了它的否定，这说明假设条件“α ， β 均为整数 ”不成立，也即 √ 2 不能表为整数之比。作者评析：说实在的，在上面的论证中，从一开始的“ 设 √ 2 = α ： β （ α ， β 均为整数） ”，直到“ 综上所述，结论是α 与 β 不全为整数” ，其实不是有效推理。为什么呢？那我们就来看看，究竟什么是有效推理的概念呢？文［ 3 ］写道：“一个有效的推理，其前提真而结论假是不可能的。”那么，前提不真呢？（注：这里的“不真”，不只包含“假”，还包含无法谈论前提的真假，例如，说谎者语句等。）文［ 3 ］同处又写道：有效推理是指“前提蕴涵着结论的推理”。那么，“蕴涵”又是什么意思呢？《哥德尔证明》一书作者的话很是到位，他说：“事实上，数学推演的有效性，并不依赖于前提之中词汇的含义或表达式的意思。……纯数学家所面临的问题，不是所假定的前提或从这些前提演绎出的结论是否为真，而是这些结论在事实上是否为初始前提的必然逻辑结果。” 以上引述表明，有效推理的概念与前提的真假无关。无论 A 是什么，也不管其真值情况如何， A 不可能蕴涵 ¬ A 。所以，任何由 A 到 ¬ A 的推理，都不可能是有效推理。我们的推理前提是√ 2 = α ： β （ α ， β 均为整数），最后的结论是前提条件的否定—— α 与 β 不全为整数，所以，这样的推理不是有效推理。这是由什么原因引起的呢？很容易理解，我们在上面的推理过程中，应用了“ α，β均为整数 ”这一假设条件。但事实上，还应用了另一个条件呢，只是比较隐蔽罢了。不妨把等式 √ 2 = α：β变成α = √ 2 β，依据人们现在的知识（注：已明确知道， √ 2 是无理数），马上就清楚了——当β是整数时，α是无理数，不是整数。这就是说，假设的推理前提——“√ 2 = α ： β （ α ， β 均为整数） ”，其本身就蕴涵着不相容的两个条件，即“α ， β 均为整数 ”及其否定——前者是以假设的形式，后者是以真实存在的形式，同时发挥着效力（注：人们往往会忽视后者，甚至想不到它）。保持相容性，是有效推理的必要条件。但基于推理前提本身就蕴涵着不相容的两个条件，所以，人们在推理中，实际上是既应用条件“ α ， β 均为整数 ”，又应用它的否定（即 β 为整数，但 α是无理数），这显然是违反有效推理必要条件的，这样的推理，不可能是有效推理。但对问题的审查应该分段看待。由 “ α ， β 均为整数”推出了它的否定，这部分推理不是有效推理。但是，当我们找到了导致非有效推理的原因，即在推理过程中应用了不相容的条件——一方面是假设的条件，即 α ， β 均为整数；另一方面是客观存在的条件，即 α ， β 不可能均为整数，并且否定了假设条件而保留了客观存在的条件，从而就又保证了相容性的贯彻和恢复，这样的推理，就是有效推理。因此，本文作者关于 √ 2 不是有理数所给出的证明，是有效证明。还能不能把问题说的更具体些呢？即在证明过程中，究竟是从何时何处开始出现了不相容条件的冲突呢？我们说，假设的是 √ 2 可表成两整数 α 与β 之比，但实际上并非如此。因此，对于 α 2 =2 β 2 （ β 为整数），当你（关于 α ）说出“ 因任一奇数的平方必是奇数 ”这一理由时，你已经（潜在地）犯错了（注：这里不是指具体结论，因为具体结论没有错），因为你已把无理数α当整数对待了，但实际上它不是（注：理解这种冲突，是破解问题的关键所在，因为保证相容性的贯彻是有效推理的必要条件，相反，正是此处冲突的发生，使得 Pythagoras 派的证明成为非有效的，当然也包括笔者证明的前半部分）；接下来依据排中律作出“不是奇数就是偶数”的推理，是无意义的，因为只有当α是整数时，这样的推理才有效。需要提醒的是，不要以为排中律具有绝对的普适性，可以随便使用。不妨再举一个性质完全相同但情况要简单得多的例子。古希腊有一个著名的提问：“有人问梅内德谟，他是否已经停止打他的父亲了？” 在梅内德谟从未有过打父亲的情况下，不管梅内德谟回答“是”或“否”，都会落入圈套。在 Pythagoras 派和笔者的证明中，表面上看，都有由 α 2 =2 β 2 （ β 为整数）到 α 为偶数的推理，但在对其的处理上是有原则区别的。笔者在证明中所采用的表述语气是——“ 如果上述由 α 2 = 2 β 2 （ β 为整数）得到 α 为偶数的推理是有效的 ”，这已经暗示了笔者对此推理尚持保留意见，即笔者并不认可它是一个确定性的结论，从而为后面否决它埋下伏笔。但 Pythagoras 派呢？却把它当成一个确定性的结论来对待（始终没有出现对它的否决），并借助于这个无效的推理结论，错误的（当然也是无效的）把两个数系之间的矛盾问题（即 √ 2 能否表为整数之比，或者说， √ 2= α ： β 中的α 和 β 能否全是整数）转化为整数系内部的矛盾问题（互质与不互质），从而也就失去了对这个无效推理进行否决的机会（因为矛盾的转化工作已经完成，将“α 是偶数，从而 β 也是偶数 ”这一推理模式无穷继续下去的做法，已经不再必要，因而也就不可能会发现，由 α 2 =2 β 2 （ β 为整数）到 α 为偶数的推理竟然还会导致矛盾，所以应该否决它）。尽管 Pythagoras 派对其前提条件“α ， β 互质”进行了否定，但由于互质概念对于并非全是整数的α ， β 而言，完全是不相干的，所以，这种否定没有意义，说明不了什么。 1.4 陶哲轩（Terence Tao）教授的证明需要说明的是，本文的结论，并不是指所有文献中的证明都有“ α ，β互质 ”这种不合理的假设条件，例如，美国数学家陶哲轩教授书中的证明就没有。当然，他的证明用到了“无限减少原理”，这是中学教科书中没有的知识。另外，“整数的唯一分解定理”的知识，也是中学教科书中没有的，所以，笔者只说“一个整数含有无穷个因数2，这是不可能的”，学生也就明白了，这并不影响证明的严格性。笔者并不认同陶哲轩教授的证明是严谨完整的。他的证明大意是：假设有正整数 α ，β，使得（ α / β ） 2 = 2，于是有 α 2 =2 β 2 。如果 α 是奇数，那么，α 2 也是奇数，这与 α 2 = 2 β 2 （ β 为正整数）矛盾，故 α 是偶数；设 α =2 γ （γ为正整数） ,代入 α 2 = 2β 2 ,得 2 γ 2 = β 2 ，与上同理，可得β为偶数；… 可以证明， α ＞ β ＞ γ ＞… ，但这与无限减小原理矛盾，表明不存在正整数 α ，β，使得（ α / β ） 2 = 2。作者评析：“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生冲突，原因是什么呢？是一开始假设的α，β都是正整数吗？否。很明显，直接的原因是，人们认可由 α 2 = 2 β 2 （ β 为正整数）得到 α 是偶数的推理的有效性，于是无限次地应用该模式进行推理，从而才出现了上面那个无穷递减过程，导致与无限减小原理相冲突。因此，基于“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生的冲突，应该否定的是“由 α 2 = 2 β 2 （ β 为正整数）得到 α 是偶数”之推理的有效性，而不是一开始假设的α，β都是正整数。观察一下陶哲轩教授给出的证明，不难发现，他对其证明中的每一步骤，哪怕是一个极小的步骤的证明理由，都是要给出极其细致的提问的，例如，“如果 p 是奇数，那么 p 2 也是奇数（为什么？）”，基于这种要求论证务必严谨细致的治学作风，他怎么可能会越过正在讨论的 α 能否是偶数这个中间环节而直接去否定一开始假设的 α，β都是正整数，又不作任何理由上的说明呢？事实上，陶哲轩教授直接否定推理前提中α和β都是正整数的做法，给读者的阅读造成的困难（疑惑）是：关于由 α 2 = 2 β 2 （ β 为整数）推出 α 是偶数这件事，读者很难知道陶哲轩教授的看法是什么，是认可呢，还是否定？也无法知道，关于导致“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生冲突的原因，陶哲轩教授是认为由于“由 α 2 = 2 β 2 （ β 为正整数）得到 α 是偶数”的推理是无效的呢？还是认为一开始假设的“α，β都是正整数”是错误的？但无论哪种情况，理应都有后续的文字说明：若是前者，就应交代逻辑关系；若是后者，就应写明理由，但这种合理的期待却没能看到结果，这不能不说是陶哲轩教授的证明在逻辑层次的严谨性上是有缺陷的。 2 结论第一次数学危机的真相是：第一对不可公度量的发现，并不是基于对√ 2 不是有理数的有效证明，而是基于无效证明。参考文献： M. 克莱因 . 古今数学思想 . 第 1 卷 . 张理京 , 张锦炎译 . 上海 : 上海科学技术出版社 ,1979: 37-38. 马复 . 义务教育教科书：数学 ( 八年级上册 ) .2 版 . 北京 : 北京师范大学出版社 ,2014:24. 彭漪涟，马钦荣．逻辑学大辞典．上海：上海辞书出版社， 2004 ： 340 ．欧内斯特 · 内格尔，詹姆士 ·R. 纽曼 . 哥德尔证明［ M ］．陈东威，连永君译．北京：中国人民大学出版社， 2008 ： 9. 杨六省 . 对哥德尔不完全性定理的质疑 . 前沿科学 ,2014 （ 1 ）： 80-89. 黑格尔 . 哲学史讲演录 ( 第 2 卷 ) . 贺麟 , 王太庆译 . 北京 : 商务印书馆 ,1960:122. 陶哲轩 . 陶哲轩实分析 . 王昆扬译 . 北京 : 人民邮电出版社 ,2008:73.; 个人分类: 数学研究|2473 次阅读|0 个评论

6.3.3.3. 欧几里德几何学与整数和有理数。: wenmiaosong 2016-6-2 17:35; 6.3.3.3. 欧几里德几何学与整数和有理数。我们要讨论欧氏几何与“数”的合理关系，讨论到现在还没有进入正题，这是因为整个现代数学实在太混乱了。这个混乱的根源就是现代数学家没有建立起在“有限论域”内讨论问题的观念，他们要得到的总是“全部”的概念。但是想得到“全部”的知识，也是不能完全“否定”，他们要扩大知识范围的愿望是必须肯定的。没有那种愿望也就不可能“否定”已经存在的理论体系、扩展有限论域和建立新的理论体系。由于在那个年代，还没有把在“有限论域”下一步一步地扩大论域，发展公理，看成是发展人类实践和思维之间的合理关系的“哲学道路”的基础。是20世纪的数学家首先提出了“有限论域”的观念，但是他们急于把“有限论域”下的公理变成普遍公理，而没有看到“有限论域”是人类思维和实践发展的哲学道路上不可逾越的台阶。我们只能沿着那个台阶一步一步地前进，而不可能立即铺就一条永久的“哲学道路”。也就是说，铺设人类的“哲学道路”实在太不容易了，我们不可能像铺设人间的道路那样，一个台阶、一个台阶地向前进。“哲学道路”是一条人类知识发展的“逻辑的长链”，它需要一个环节、一个环节的“反复”的链接。不仅要向前修筑新的环节，还要回过头去一个环节、一个环节地重新“链接”。因为每前进一步，有限论域就扩大了一层，所以和所有的“已有公理”直到“最早公理”之间的链接，都要适应新的扩大了的“有限论域”，来进行重新的链接。这也就是“逻辑梳理”的根本意思。不梳理和前面的已有公理之间的链接，就经受不了新的扩大了的“有限论域”的承载。不认识自己想要去建立的理论体系也只是有限论域下的科学体系，也只是把人类认识的范围稍稍扩大一点点而已，就容易走上形式主义的错误道路。看了看1979年由北京大学数学系编写、1987年修改再版的“高等代数”教材，一打开正文，第一章第一节就是“数域”，我们只能摘录其中一部分：数是数学的一个最基本的概念……，在历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，由自然数到整数，然后是实数，再到复数，这个过程反映了人们对客观世界的不断深入。…… 这段话写得很好，那样一些概念只是历史上的一个发展过程。但是接着他们就引入了一个一般的概念：定义1 设P是一些复数组成的集合，其中包括0与1,如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的和、差、积、商（除数不为0）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域。显然，全体有理数组成的集合，全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域。……全体整数的集合就不是数域，…… 最后我们指出数域的一个重要性质，所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。我们想说的是：现代数学家们认为，有理数、实数和复数的概念“只是一个历史上的发展过程”。但是，他们认为对于这个过程的认识的问题是不包括他们自己的，到今天他们已经得到了关于全体有理数、全体实数和全体复数的观念，可以不再需要发展了，放心地去开拓新的数学领域了。当然，这样说，作为一种探索，或者作为一定历史时期的教材，是可以理解的。人类只能那样地前进。但是如果认为这就是以后检验“科学”与“伪科学”的标准，那就完全错了。如果这样去做，有一天，他们自己就会成为阻碍科学发展的“伪科学”的捍卫者。因为对于数字和数字运算的观念，如自然数、正整数、整数、有理数、无理数、实数和复数的观念，不仅是历史发展的过程，而是我们今天仍然需要继续认真研究和继续不断发展的概念问题。在所引的这段话中，把有理数作为数域的“起点”：“所有的数域都包含有理数域作为它的一部分”，而“所有整数的集合不是数域”。这里实际上是想违避哥德尔所证明的“公理体系的不完备性”定理而采用的方法，但是没有整数哪来的有理数。他们以为有理数以后的观念已经说得清楚了，实际上说不清楚有理数和整数的关系，有理数也是说不清楚的。不研究、不搞清楚有理数是怎样产生的，“实数数域”就更加说不清楚了。现代数学中的“实数数域”的概念，只是戴得金所给出的一个逻辑悖论的观念。整个现代数学的“公理化集合论”就是那个实数数域的逻辑悖论所演绎出来的逻辑悖论的体系。谁都明白，“全体有理数”是说不清楚的，人们只能够说清楚“有限论域”下的“有理数”。这个有限论域下的有理数就是和一个整数的体系相联系的。而且这种联系有两个方面的联系：一方面，那个整数系列是产生有理数的“骨架”，另一方面，还要有一个整数系列来分隔前面的那个整数。前面的整数系列，在这样的产生有理数的过程中，自身成了有理数的不可分割的一部分。那个整数体系，我们可以把它称为“量数”。量数可以进行四则运算，四则运算以后就扩大成为有理数，另一个用来进行分割的整数体系，本身是不能满足一般的四则运算的，数学家们把它叫做“序数”。“序数”应该是与逻辑相联系的数，而不是与“数域”和“数字运算”相联系的数。有限论域下的有理数，也就有两个方面的有限论域：一是基本量数的有限论域，就是我们只在一定的整数范围内来建立一个有理数的数列；二是分割的有限论域，我们只能对于有限次的分割来建立一个有理数的数列。这个分割总是与一个正整数N，经过N次分割而得到的所有的“有理数”。当然这个“所有的有理数”还和分割的方法有关。离开了“量数”的有限论域和分割的有限论域，没有一个计算机系统能够存得下“所有的有理数”，也没有任何人间的方法能够明确地表示出“所有的有理数”。但是我们又确实能够把在上面的两个有限论域下的“所有的有理数”明确地表示出来。从逻辑上说，我们需要的只是那个有限论域下的有理数的定义，我们不能给出“所有有理数”。其实现代数学家也不是不知道这一点，他们也在寻找这一点，但是那时候还说不清楚这一问题。因为还没有足够的实践。那样的实践实际上是从计算机编程过程中产生的。所以他们要用“约定”来产生“所有的有理数”，现代数学家不理解牛顿的极限下相等的观念的逻辑基础，总是认为Lamdba的计算方法不够严谨，要去建立一个对于“无限”的“数域”之间来比较大小的“约定”，由这个约定来建立严谨的“相等”的观念。其实“无限”之间比较大小也不是不可以的，但是那个比较同样也必须来自“直觉性”的“实在”，亦即必须来自“有限论域”下的明确性的定义的比较。没有任何“约定”的东西是可以持久的。那么数学家们的约定和“有限论域”下得到的“明确性”定义之间的差别在哪里呢？差别就在于“实践”，“有限论域”下确定一个明确的“所有有理数”的依据是那个时代的实践能力所能够得到的“可靠性”，即那是那个时代人人可以感受的“直觉性”的“公理”。虽然那个有限论域下的“公理”也是暂时的，也是需要被“否定”。但是对于那个“有限论域”下的·“相对公理”的“否定”，和“假设或约定”的“否定”是不一样的。那个有限论域下人人可以感受的“公理”中总是包含着无法否定的某些质朴的内涵，而人为“假定”和“约定”中所缺少的正是那种“内涵”。在一定的历史时期能够成为相对公理的“观察”，也有误差；造成这个“误差”的不是指某个人的个人的实验“技巧”，而是与一个时代的人类的实践能力的整体相联系的，也就是说所有的实验总是与一种理想化的条件相联系的。那个理想化条件总是与某一个大自然的带有“无限”的属性相联系的。而现代数学中的“约定”正是把那个于无限相联系的“属性”用简单化的“约定”来代替了。 20世纪数学家的工作的另一个功勋就是关于“无限”的属性的研究。但是现代数学中还没有把关于“无限”的属性的研究与关于数字体系和数字运算的“哲学道路”有机地联系在一起。这是因为关于无限的属性的深入研究实际上是在20世纪中后期才发展起来的，它的最重要的标志就是“广义函数”。“广义函数”虽然有很多概念都来自现代数学，但是他哪里融入了很多20世纪中期以后的信息科学技术发展的许多直觉性的“感性材料”。数学本来就应该是包含“数字体系和数字运算”与“关于无限和有限”这样两个既相互独立又有联系的组成部分。它们是独立的，因为数字和运算的演绎推理是以人的思维为主的，而无限和有限之间关系的研究，说到底是取决于“大自然”的，而任何与大自然相联系的知识，个人的头脑是得不到的；只有人类的整体性的“实践”和“直觉”，才是关于“无限和有限”知识的来源。但是数学的任务就在于把那两部分有机地联系起来。前面我们指出现代数学的主要的具体问题，就是“数理逻辑”和“逻辑代数”中把逻辑归入数学范畴、用数学的形式体系来表示逻辑的那部分内容，因为那些内容混淆了数字和数字运算与逻辑推理的本质的差别，否定了逻辑的独立存在性。杨本洛的“有限论域”和“逻辑梳理”的观念，从数学上来说，就是一个必须把“无限”的观念和“哲学道路”有机地联系在一起的观念。用把人类实践中来自“无限的大自然的直觉”来梳理“数字和数字运算的数学演绎推理的逻辑体系”。把数学的“公理体系”置于来自大自然的“公理”的约束之下。这不仅是一个数学问题，不仅也是理论物理学的问题，而且更是一个人类思维和人类实践之建立合理关系的，不仅是自然界也是社会和人文学的“哲学道路”的问题。我们不是说20世纪初，希尔拜特为首的数学家们寻找数学的“哲学道路”错了，当然没有错！没有他们所走过的路，也不可能有今天。但是，到今天，再不把“有限论域”和“逻辑梳理”，再不把来自大自然的公理，放入数学的“哲学道路”的“逻辑前提”的位置；再不用它来取代越来越多的、混乱到了无法容忍程度的约定的“逻辑前提”，那是实实在在的错了。罗素说“现代物理学家是比宗教裁判所更有力量的”。现在已经到了新的类似于布鲁诺和伽利略的时代了，他们的力量已经都用来阻挡“理性和逻辑”的前进了。再容忍他们就是对人类的“罪”。现代社会离开了公理性，这是人人都可以感受到的：偏离公理的“虚拟逻辑”，“虚拟经济”正在把世界带向灾难，这是当今社会的所有问题的本质。我们要否定的不是“逻辑”，不是“形式逻辑”，而是“虚拟”；但也不是笼统地否定“虚拟”，而是要否定现代数学中的形式主义的“虚拟”。我们否定现代数学中的形式主义的“虚拟”，就是要把“虚拟”的基础从形式主义的道路转向“辩证发展”的道路。什么是辩证发展的道路呢？就是用“有限论域”下的“逻辑可靠性”来代替“人为约定”的“逻辑可靠性”。有限论域下的“逻辑可靠性”虽然也是暂时的，但是它在那个“暂时的时代”里，代表的是来自那个时代的实践所产生的“感性材料”的“人人感受的直觉性”；而“人为约定”总是只能代表哪些参与“约定”的人群。来自“有限论域”下的可靠性，总是会随着实践的发展而逻辑地自然地变成“不可靠性”，因而它不会阻碍人类思维的发展，而一个人的“直觉”或部分人的“约定”的“可靠性”，总是会僵化为偶像崇拜而阻碍人类思维和实践的发展。数学的“约定”一般说来还要满足“数学演绎推理的无矛盾性”，而现代物理的“假定”则来自更为狭窄的“天才人物”的个人“直觉”。它确实比现代数学的“约定”更为狭窄。所以现代数学和现代物理学有一个差别：现代数学的约定来自一个“精英集团”，不是来自一个人的头脑，而是很多人的头脑的“约定”，所以一般说来数学具有“自证伪性”：对于数学的“证伪”，最早都来自数学的精英集团的“自身”，它所证的“伪”就是它不具有“完备性”。数学家们力图去建立一个对于“全体”数学观念都适用的“公理体系”，最后证明的是：它不能对“全体”的数学观念得到“公理体系”。而理论物理缺少的是“逻辑的无矛盾性”，所以它的“公理性”只能依靠对于“个人”的迷信。它没有“自证伪性”。现代数学证明了“没有完备性”以后，还保留了“数学演绎推理的相容性”，而理论物理证明了其“矛盾性”以后，实际上是什么合理的逻辑规则都没有了。所以理论物理不可能靠物理学自身来纠正，而必须依靠数学的帮助才能够纠正。这就像社会学中的偶像崇拜的现象，很难靠自身的力量来改变。因为它依靠的不是“思维的逻辑”，而是对于偶像的“迷信”。偶像是一个客观的物质存在，再发展思维能力也无法打破那个偶像的“物质存在”。所以中国三千年的封建的思维体系，只能靠“枪杆子”的暴力来打破，但是打破的不是那个“思维的逻辑矛盾性”，因为新的思维本身也是矛盾的，它信的也就是矛盾思维。而那个矛盾思维只是统一于对于某个偶像的崇拜，不能统一于逻辑思维合理性的本身。所以枪杆子的暴力，打破的不是旧思维体系，而是那个思维体系所赖以存在的“偶像”，所以“枪杆子”里面不是出公理，而是出“政权”，打破了一个偶像，出一个“新的偶像”。从这一点来说，所以还是柏拉图说的好，“如果你对什么问题感到迷惑，来学习数学吧”。数学要发展归根结底就要寻找它的合理的前提，来代替精英们“约定”的前提。具体来说就是发展现代数学家所说的“数域”、“运算”以及“数域与运算的一致性”那样一些观念。今天，这些观念的合理性，都需要用今天的人类实践的“感性材料”的“公理性”来重新认定。这就是笛卡儿所说的逻辑长链的“链接”，这个“链接”必须随着人类实践的发展而不断地进行。我们不能一次打造出整个的逻辑长链，只能随着人类实践的发展来一个环节、一个环节地链接：不但有向前的，向着新的公理的链接和前进；还要有向着“已知的公理”，直到“最早的公理的链接。“哲学的道路”就是科学和公理的道路，没有笔直的路。只有不断探索、不断更新的曲折的道路。如果说“革命”这两个汉字，不是与“一个阶级和一个阶级的暴力的、你死我活的争斗”，也不是与“全输全赢的赌博规则”，而是人类实践和思维发展过程中合理关系的不断的破环和重新建立，那我想“不断革命”倒是一个很好的名字。我们要革的不是那个或那部分人的“命”，而只是一种与人类实践不再适应的思维方式。如果我们能够那样来理解“不断革命”，那就再合适不过了。遗憾的是历史已经赋予了“革命”这两个中文字，以人群与人群之间的暴力斗争相联系的概念。那样的“革命”，在非到不得已的时候、不得不来的时候，才来一下，大家忍受一下，也许还可以；“不断革命”实在太可怕了。人类发展的根本还是不要依靠不断“革命”，而是不断更新我们的教育为好：人类的实践产生对于大自然的新的感性认识——人人可以感受的“直觉性”的认识，那种认识要经过人类思维的逻辑体系——数学演绎推理的体系，组成既有“相容性(无矛盾性)”又有“可靠性(公理性)”的“公理体系”，这个“公理体系”是有很多很多的“环节”链接起来的。不断地打造那样的链接的过程，就是不断更新教育的过程。以前的人提倡“博雅教育”，那个“博雅教育”的核心应该是：“追求理性和逻辑，远离金钱和权势”。我们需要的是那样的不断的发展“博雅教育”的过程，来代替人间斗争的不断“革命”的过程。欧氏几何就是那样的一个“公理体系”，它既是“物理实在”又是“思维体系”，是在“物理实在”和“思维体系”之间的逻辑链接过程中，不断发展着“合理关系”的一个“公理体系”。欧氏几何中的“实在”不是任何特殊事物的“实在”，而是和数学演绎推理的形式逻辑体系“链接”起来了的物理实在；欧氏几何中的数学演绎的形式逻辑体系也不是纯数学的形式主义的逻辑体系，而是已经和“实在”“链接”在一起的数学演绎的形式逻辑体系。所以这个体系不是永恒不变的公理体系，而是还要随着人类社会的发展而不断的更新“链接”的公理体系。那个需要不断更新的不仅是那个“平面”概念，那个平面概念需要随着不断发展着的人类实践中的感性材料而发展；更重要的是那个人类思维的数学演绎的形式逻辑体系也要随着人类实践的发展而发展。重要的是保持人类思维的“逻辑合理性”与人类实践的人人感受的“直觉可靠性”之间的“合理关系”的“链接”，是那个不断地在继承基础上发展着的“链接”。也就是说现代数学中的“数域”、“运算”等等的概念都不应该是形式主义的，而也应该都是不断发展着的“有限论域”的概念，也就是说都是一些需要不断“梳理”的逻辑观念。这就是我们需要研究的未来的数学与现代数学的根本的区别。那个最古老的欧氏几何原本，实际上是一个“平面”的“几何原本”。这个平面就是把地球上的“水平面”理想化而得到的“平面”，它就成了平面“几何原本”的“逻辑前提”。这个前提就是与“无限大”相联系的“理想化条件下”的公理体系的前提，他不是来自某个人的“直觉”或某部分人的“约定”，而是来自人类在一定历史条件下的共同的实践中的得来的“直觉性的感受”。把地球的半径看作无限大，那个水平面的“平面”实际上不是“实在”的平面，只是那个时代的人类所能够感受的最精确和合理的“直觉”下的平面。把这个平面作为前提，自然地有了欧氏几何的第五公理。或者说欧几何的第五公理就和前面四个公理逻辑地联系在一起了。没有这个公理就没有“平面”，没有平面也就没有毕达哥拉斯定理(或沟股定理)。没有毕达哥拉斯定理也就没有数字和数字运算与欧氏几何之间的逻辑链接。也就没有了前面关于点和线以及从点到线从线到面的公理。没有欧氏几何与数字体系之间的合理联系，也就没有了笛卡儿坐标系。这些问题实际上就是费马定理中所讨论的问题的逻辑内涵。离开了逻辑讨论费马定理是讨论不出真正的结果和意义的。现代数学发展到今天，它的最大问题恰恰出在对于数学严谨性的错误理解上。他们认为数学的严谨性是数学本身所具有的，那么数学本身是怎样会有不断发展的严谨性呢？那只能来源于那些数学家们的大脑的约定了。他们实际上否定了人类实践对于数学理念发展的根本作用，而所谓的数学严谨性只是对于不断发展的数学理念的一种合理表达。数字最早就是正整数，数字的理念是在人类实践的基础上发展起来的。原始人类认为有1，2，3的数字就够了，它是从更早的观念，“有”或是“没有”中产生出来的。它只是一个最简单的像结绳记事那样的数量和次序的关系，它的运算也只有加法运算，对于减法是有限制的，乘法只是加法运算的一种等价形式。除法只能整除和余数。四则运算则和几何概念的出现有直接的联系，实际上中国古代文明中，同样有几何的概念，只是没有以系统的逻辑推理作为几何学的基础。几何中所有的点、线、面和形以及相应的运算都是有的。用摆石头或画线和图形来表示数量关系，是各个地区的原始人群所共有的。这就是说“几何”，用点、线、面的图形来表示数量关系，是人类发展中的共同的经历。几何学和算术学实际上一直就是人类在追求“直观感觉”和“数字规则”的合理关系中发展起来的。远在笛卡尔以前，东西方的几何学实际上就是与算术学一起发展起来的，数字的观念早就与小石头联系在一起，数字的运算早就和那些小石头的“摆弄”方法联系在一起。所以说，数学是数与形的科学，石子就代表“数”，排列的方法就代表“形”。石子和排列的“抽象化”就成了在平版上画点、线、面和图形的“几何学”。几何学的发展离不开“石子和排列”，离不开“点和空白”，离不开“数与形”，实际上就是离不开“数字”与“逻辑”。在数学的发展中，几何学是数学的公理体系中的最典型的一个环节。它只能和不断发展中人类实践的新“公理体系”，链接在一起，而不能不加改变地成为一个新的“公理体系”中的一个独立的“元素”。现代数学中，“公理体系”是一个合理的观念，一个时代有代表那个时代特征的“公理体系”。“集合”也是一个很有用的概念，一类有共同属性的“元素”集合起来，组成一个“体系”，就可以对这个体系进行分析；如果那个“体系”是好的，能够满足逻辑推理的所有规则，这个体系，本身就具有“公理”的属性。这两个概念都是有用的，但是现代数学中的“公理化集合”的概念不是一个好概念，他会把人类思维引向不合理的方向和道路。我们说一个“体系”可以具有“公理”的性质，那个“公理性”一定是有限论域的。因为公理的“有限论域性”，不同的公理都具有各自特有的“有限论域”，我们无法再把“公理”集合起来。实际上现代数学所讨论的仅仅只是如何把牛顿和莱布尼茨的微积分，特别是把那种运算所带来的极限下相等的“新观念”的“逻辑推理严谨性问题”，以及如何在极限下的“相等观念”下，如何把“证明”和“计算”那样的数学过程给出严谨的逻辑规范。“公理化集合”给人以很模糊的概念，是把“公理”都集合在一起？那当然是没有意义的，每个公理都有自己的“有限论域”，实际上是集合不起来的，或者说集合起来是什么意义也不会有的。笛卡尔实际上只是 “ 因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父” ，并不是有了他的几何坐标体系的公式化，才有了几何学和算数学的结合。整个几何学中，甚至欧几里德的几何原本出现以前，人类就在通过欧氏几何中的点、线、面概念，通过点与线的关系，线与面的关系，来研究人类对于图形的直觉与数字规则的合理联系，欧几里的几何学的基本内容就是建立人类对于图形的直觉(那些直觉来自土地的丈量，房屋的建筑等)，和数字规则的合理联系。也就是我们前面说的“物理实在”的“数学模型化”。这种合理联系，不仅是通过数字规则来更好地描述那些几何图形的性质，同样也是通过点、线、面的直觉观念来更加精确地建立数字和数字运算的规则。笛卡儿的几何坐标体系的数学公式化，仅仅只是那个几何图形的数学模型化中的一个极有意义的一步，但是那并不表示几何直觉的数学模型化的开始，更不表示那种数学模式化的终结。笛卡儿坐标系的数学形式化的建立，实际上标志着几何学和算数学在平面几何的“逻辑前提”下建立了合理关系。没有“平面几何”的概念，实际上也没有数字和数字运算的“直觉”的概念。数字的扩展(进制)和分割成有理数，数字的相加和序数的无限性，都是与平面几何的图形的直觉性直接地联系在一起的。只有那种“形”的直觉性和“数”运算的规则的合理关系，才是数学严谨性的内涵所在。费马定理中，二次幂方程： a 2 + b 2 = c 2 的正数解的存在性，也只有在平面几何的面积的“直觉性”下，才有真正的实在意义。费马定理的研究最大的意义就是建立了有理数与整数的逻辑链接。在前面我们已经讨论了费马定理，我们认为费马定理的初等数学的证明就是建立有理数的逻辑理念的最好的方法。任何用复数的定理证明的费马定理，实际上的意义不是证明费马定理，而应该是用费马定理来对于复数性质进行研究和讨论。因为在讨论正整数的平方运算的逻辑问题的时候，我们并没有建立对于复数和复数运算的逻辑合理性的观念。直到现在，对于复数的逻辑并没有搞清楚，所以，对于费马定理的讨论并没有结束，那样的讨论只有在“人人可以感受的直觉性”的基础上才能作出真正的结论。那不是靠任何一个评奖委员会的评奖能够做出结论的。现代社会的最可悲的就是“金钱和权势”控制着的“精英们”越来越远离人类生产实践活动，越来越远离大自然所提供的各种真实的自然信息，“金钱和权势”使他们自以为强大到了可以把一切“理性和逻辑”、把来自“大自然的公理”都抛置脑后，把“愚昧和邪恶”随意地装扮成“天使”和“明星”。但是人类的历史总是在不断地证明着：“公理不可战胜”。从我们前面对费马定理的讨论中，可以看到，二次方的费马方程可以找出无数个“整数解”。这无数个整数解所表示的三角形，大小都是不一样的。如果把那些直角三角形都成比例地压缩成一个斜边为1的三角形，把那些三角形的斜边平方放在 x 轴上，斜边的中心放在原点。那么所有直角三角形的与斜边相对的顶点，都在一个第一象限的圆上(这里只讨论正整数解)。费马方程也就成了三角方程的形式： y 2 =1- x 2 或 cos 2 =1- sin 2 在这一形式下，我们把 y 称为 x 的函数。 x 是自变量。从这里可以看到费马定理把整数的“数域”成了“有理数”的“数域”的一部分。有理数域不是包含了整数数域，而且把那个作为解的那部分整数系列，变成了有理数数域的一个组成部分。数域的扩展不是机械的把“整数数域”都成了有理数数域的一部分，而是把原来的既可以作为“序数”又可以作为“量数”的正整数的属性改变了，便换成了具有有理数的四则运算的属性的数字，那个被包含在有理数域中的整数，已经不是原来的整数了。原来的正数数域，依然存在，它们是Lmdba算法中的“序数”，这个“序数”从本质上看是一个与逻辑相联系的数字。如果没有“平面”，上面的三角方程和费马方程的函数分析的形式都不存在，因为在一个任何大小的半径的球面上， x 和 y 都成了弧线，毕达哥拉斯定理就不再成立。所以，所有的非欧空间都无法把描述实物的静止形态的“实在”与数字关系建立合理的逻辑关系。只有欧式空间才能够进行数学模式化。也就是说只有欧式几何学才可以和算数学“链接”起来成为一门共同的“解析几何学”，这也是相对论不是一个具有逻辑推理性质的数学方程式的根本原因。但是欧氏几何下的笛卡儿坐标系，在一般情况下都不能直接用来描述具体的实体物质的存在和运动形式。要描述具体实物的存在和运动形式，仅有欧氏几何中笛卡儿坐标表示的空间概念是不够的，在人们要更加精确地描述一个具体事物的“物理实在”的时候，那种“平面的欧氏几何”只是一种近似形式，它可以用来在地球上极小的范围内计算距离、形状和面积。而不能满足于地面大范围的精确测量。为此，必须引入的不是新的“空间”的观念，而是“本地坐标”。一般说来“本地坐标”需要根据被描述物体的特性来选择不同的坐标系，也可以用笛卡儿坐标，那些坐标必须有一个与具体事物存在或运动形式相联系的坐标体系。如在牛顿理论体系中，实物(不同星体)被理想化为一个“点”，所以也可以采用笛卡儿坐标系，但是那个本地坐标必定要与那个物体结合在一起。一般说来，那个本地坐标轴的方向也必须与实物一起运动。只是在牛顿理论体系中，实物被理想化为一个“点”，本地坐标的轴不需要旋转。作为欧式空间的逻辑前提的那个“空间”是一个有永远不变的坐标原点和不变的坐标轴的方向的笛卡儿坐标系，那就是牛顿所说的绝对空间。在莱布尼茨的微积分中考虑的就是欧氏几何本身的形状，所以它就认为不需要“绝对空间”。实际上那个绝对空间还是需要的，只是绝对空间和本地坐标之间没有运动所以有时候也可看成是同一空间。讨论毕达哥拉斯定理和费马定理的逻辑关系中，那里的数学模式化的抽象化的表示就是“数与形”，就是“点与空白”。自变量和函数是不一样的，自变量是在轴上的点，而函数是在“圆弧线”上的“点”。这个“点”上的数，在求正整数的解时，自变量和函数都是正整数，而那个三角形的大小在变化，一般情况下随着正整数解的值变大，三角形也越来越大；但是那些三角形可以进行同比压缩，进行同比压缩后的有理数的解中，则自变量和函数都成了“有理数”，因为那个三角形的最大的数也只有1，这个有理数“数域”中就包含着原来是整数“数域”而被压缩后成为“有理数”数域的数。实际上所有的有理数解，按比例放大后也就都还原成了“整数解”。实际上这个解是不可能完全地说清楚的，只能在有限论域下才可以说清楚。它总是与某个正整数(或某些正整数)联系在一起，那些正整数只是对于数域或运算的“约束”，本身并不直接参与运算。那些正整数才不会成为数域，它们就是“序数”。“序数”在计算程序上就是语句的编号，在编码程序上就是内存的“代码号”，那些数字和参与运算的“量数”在属性上是不同的。只有序数再不会组成数域。在任何一个“实在”的问题中，函数和自变量的“数域”属性是不完全一样的，运算的方向也是不可逆的，这些都决定于人人可以感受的“直觉性”的实在，离开了实在来作空洞的“抽象化”，就是形式主义。只有对理想化的条件，亦即在与无限相联系的“有限论域”下的抽象化，才有确定的的人人可以感受的“可靠性”。这里讨论的欧氏几何与整数和有理数的关系，实际上是现代数学所不讨论的问题，因为，哥德尔的不完备定理，已经证明了，对于所谓的“一阶逻辑”整数具有“不完备性”，所以前面的书上也把整数排斥在数域之外。但是实际上正数数域和有理数域的关系和有理数域与实数，以及任何其他数域的关系都是一样的。用形式主义的观念，它们都没有完备性，它们的完备性都只有在“有限论域”下才能够得到合理的表达。现代数学中真正的逻辑悖论，是从实数数域开始的，这就是我们下一节要讨论的现代数学中的真正要讨论的与微积分的数学相联系的公理化体系的问题。; 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数学的未来 6.3.3.2. 欧氏几何与数字和实在: wenmiaosong 2016-6-2 09:22; 6.3.3.2. 欧氏几何与数字和实在在3、4百年前，在牛顿和莱布尼茨的微积分刚刚出现的年代，那样一种以极限的形式表示的“相等”的观念，是谁也说不清楚的。牛顿和莱布尼茨两人共同发明了“微积分”，但是两个人之间在如何理解那个“微积分”运算的数学严谨性上，观点是各不相同的。莱布尼茨的微积分是在欧氏几何体系内的微积分，变量和函数都是笛卡尔坐标中的空间变量：自变量是坐标轴 x 上的“点”，这个“点”是以“有理数”来表示的，而微分运算后的函数则是面上或曲线上的“点( x,y )”，这个“点”所代表的是“实数”。而牛顿的微积分处理的是时间和空间的关系，自变量是时间 t ，函数则是实体物质的位置。这个位置也是以抽象化的形式，( t,x )面上的“点”来表示。用今天数学界所公认的语言，这个点所代表的“数”也是“实数”。但是这个“实数”的概念，在牛顿和莱布尼茨的时代是没有的。是戴得金在19世纪末才创立的概念，我们早已指出这个概念是一个逻辑悖论的概念。莱布尼茨的微积分所处理的问题就是欧氏几何的问题，在数学上看起来比较容易为数学家们所接受，所以都认为莱布尼茨的微积分比较严谨和完整。牛顿理论体系中涉及了很多说不清楚的概念：既有物质和质量的概念，有运动和速度的概念，是三维欧氏空间中的“位置”与时间之间的微积分关系。从数学概念上，莱布尼茨的微积分所反映的问题比较单纯，概念也就比较清楚。但是从物理实在的表达上，牛顿的理论体系才是使人们不能不相信微积分的最根本的物理实在基础。因为他的理论说明了人类自古以来都没有搞清楚的地球上所观察到的星体运动的“轨道”问题。当时，人们把他看作上帝派下来告诉世人关于宇宙运动规律的“使者”。在牛顿对于太阳系星体运动的理论，在测量行星位置中取得的辉煌的胜利，才使得人们不得不接受那种奇怪的、从来也没有过的关于极限下相等的符号。说到底，微分运算的合理性，不是来自人们思维逻辑的严谨性，而是来自“人人可以感受的直觉性”。三千多年以来，东方和西方的哲学家们，一直争论不休的问题：“兔子能否赶上乌龟”、“飞矢在动还是不动”？终于被牛顿所解决了！但是实际上又并没有解决。对于中国的哲学家来说，一直都没有解决。因为哲学这个东西，在中国是服从于“统治者”的。中国的哲学中没有“逻辑”，逻辑的核心就算是推理，推理的明确性取决于“前提”，也就是亚里斯多德的“公理”——“人人可以感受的直觉性”。在中国的封建皇朝的时代，“公理”最终体现在皇帝的“圣旨”中；在个人崇拜的年代，“公理”最终体现在被推上“偶像地位”的人的“思想”之中。他的话“句句是真理”。所以中国在结束个人崇拜以前,是没有逻辑的。在西方文明中长期以来，即从古罗马帝国把基督教奉为“国教”以来，“公理”不再在人间的国王的头脑里，而是在上帝的“头脑”中。当然在古罗马帝国，帝国的统治者自然也是那个“上帝”的代表。古罗马帝国消亡以后，“教权”和国家的“王权”分离了，这就是“统治权”和“教权”的分离。虽然这种分离并不是完全的分离，但是那种分离还是带来了人类的进步！“教权”本身不代表“统治权”，所以它不能用一个掌权者的“话”来作为代表的时候，就出现了“宗教裁判所”。那里都是一些最有学问的人，像现在中国的“院士”们一样。当然中国的“院士”们只判“科学” 还是“伪科学”，不直接判人间法律意义上的“罪”。这就为人类思维的发展，逻辑和公理的发展创造了条件。教皇的影响力主要在南欧，宗教裁判所判处了伽利略和布鲁诺的“罪”以后，反而激起了西欧、北欧科学家对于行星运动的研究，哥白尼的日心说、谷第·赫布里的行星轨道的测量、直到牛顿建立了他的《自然哲学的数学原理》。一个正确的科学《原理》的获得，是人类历史的长期、曲折的发展的结果，它的影响是任何国家、金钱和权势所不能抗拒的。牛顿的这个原理看起来是《数学原理》，但是那个数学原理又是从属于“自然哲学”的，来自大自然的。那样的《原理》不仅是属于大自然的，也是属于人间的，因为人间的所有的“金钱和权势”最终也来自那个《原理》。欧几里德的《几何原本》是四百年前，传入中国的，并没有产生大的影响。虽然它给中国带来了“逻辑”推理的概念，但是那是纯思维的概念，并不直接影响实践。所以对于中国的皇权并没有什么触动。牛顿的《原理》带来的是整个西方的生产和生活方式的大变化，那个影响是任何国家和权势都抗拒不了的。一百多年前，中国终于建立了以西方的“数理化”为中心的，科学教育为基础的现代教育体系。在这以后，尽管中国前进的道路上还有多少曲折，但是追求“理性和逻辑”，以“数理化”为中心的科学教育是任何权势都阻挡不了的。这里的“数理化”，现在来看更加确切地说就是数学、理论物理和应用物理为代表的自然科学的“哲学体系”，所谓“哲学体系”实际上也就是一个在一定历史条件下的人类实践所得到的“人人可以感受的直觉”和人类思维中产生的“无矛盾的逻辑推理体系”之间的“合理关系”。这种“合理关系”总是曲折地发展的，或者说就是辩证地发展的，这和“先有鸡还是先有蛋”的关系一样，是没有完全确定的答案的，总是要在“有限论域”下才说得清楚的问题，也就是人类的自然科学实践和思维之间相互不可分割地联系在一起的、相互“否定和在否定地”辩证发展着的关系。所以在从牛顿的《原理》出现到20世纪初、中期，近四百年来，物理学和数学的从结合到分离，从人类实践和思维发展的历史来说，是很正常的事。当时的数学家在理解微积分的数学严谨性的时候，不得不把来自大自然的“直觉性”先放在一边，先来讨论数学演绎的严谨性；在讨论数学演绎的严谨性的时候，用数学家的约定来代替人类实践中得到的人人可以感受的直觉性，也是可以理解的。因为同时代的理论物理中，虽然他们的起点上总是会有“人人感受的物理实在性”，但是在那里，数学演绎的无矛盾性没有了，他们离人人感受的直觉性也会越来越远。现代物理学的感性材料只是它的起点上的“感性材料”，实际上也就是牛顿理论下的应用物理中的那样的感性材料，在没有合理描述那样的“感性材料”的人类思维能力的时候，想得到逻辑自洽的“知识长链”是不会成功的。但是在一定的历史时期人类必须在没有、也不可能探索到合理道路的情况下去探索，那种探索抽象的说来会得到两种结果：一种就是把对于大自然规律的探索，把对于“神(或信仰)”的精神的追求，变成了对于人间的“权势和金钱”的追求；另一种就是坚持“信仰”，坚持对于理性和逻辑的追求，虽然他们也得不到新的合理的理论体系，但是他们能够得到通向“否定地”发展人类思维的道路，那种“否定”对于人类历史发展的作用是同样重要的。人类实践和思维的发展道路上，前面总是有两条路：一条是“金钱和权势”的道路，一条是“理性和逻辑的路”。但是人间是分不清楚这两条路，只有人类实践和思维的历史发展才能够最后证明那条路是通向历史前进的道路。只有“神”能够指引人类走向光明的道路，但是“神”在哪里呢？“神”在每个人的心中，我相信“信仰”的力量。从历史的角度，信仰和教育是比人间的斗争更加有力量的，斗争需要积聚的还是“金钱和权势”的力量，一般说来人间的斗争中总是“金钱和权势”强大的一方会取得斗争的胜利，这个胜利只是暂时的。没有理性和逻辑，最后金钱和权势以及所拥有的其他的一切都会离他们而去。在现代数学中一个最大的问题就是时间的理念被排除在外了。但这是完全可以理解的，人们总是要一步一步地向前走。在理论物理学家把时间和空间的那个人类认识大自然的“基本舞台”搞乱了的时候，不可能要求数学家去建立一个合理描述时间和空间关系的数学演绎的推理体系。但是到今天我们不应该再沿着那条路走下去了：今天信息社会的人类实践的继续发展，实际上已经因为没有“时间和空间”的合理的逻辑关系，而无法继续前进了。现代数学家、现代物理学家和现代哲学家，甚至是政治家，都将在这一问题上面临考验和抉择。面临着“科学发展观”的抉择，没有科学的“时空观”，也就不会有国家和世界的“科学发展观”。从“空间”的观念来说，那种虚假的相对论时空观，只会把人类带向混乱，而僵化的牛顿时空观也已经阻碍了人类思维的发展。从广义的人文和社会学的角度来说，国家观也是一个“空间观”，它也是既明确的，又是发展的。今天国家观的发展就是向着全球观的发展。但是这个全球观不是某一个国家的模式强加于世界的问题，任何强化国家间的矛盾和暴力都不会有利于人类的发展。什么是真正的科学发展观，我想在今天，就是既要继续反对与个人崇拜相联系的矛盾思维，建立无矛盾的(即具有相容性)的数学演绎的推理思维；又要反对脱离“人人可以感受的直觉性”为基础的形式主义的逻辑思维体系。只有在这个基础上才能够建立逻辑演绎的“相容性”和人人感受直觉的“公理性”相协调的真正的公理体系。那个公理体系的建立是不容易的，因为它是“有限论域”的，但是只要更多的人有了对于“普世价值”的“信仰”——虽然对于这个“普世价值”也是有限论域的，不同时期，不同的人群也会有不同的理解，但是那个普世价值中必定拥有人类共同的质朴的内涵，这个内涵必定会得到越来越多的人的共同的理解。理性和逻辑被“金钱和权势”所压倒、人类的善良的“信仰”屈服于“金钱和权势”的现象总是暂时的。所以我们对信仰和教育的信心总是不会动摇的。; 个人分类: 数学的未来|523 次阅读|0 个评论

《数学辩证法》4.1 有理数的产生: fanxshan 2015-9-20 21:33; 　　 4.1　有理数的产生　　自然数系是宇宙通用的、最基础的数系。人类发现了自然数系之后，也就拥有了对世间万物进行简单计数的能力。然而，人们立即发现，用自然数系来描述现实中的事物，实在是太不方便了。　　一只鸡大约相当于6×10 35 个基本粒子，用自然数记为：　　600000000000000000000000000000000000 　　一粒小米大约相当于2×10 30 个基本粒子，用自然数记为：　　2000000000000000000000000000000 　　基本粒子的直径约为1×10 -18 米，人的身高大约1.7米，用自然数记为：　　1700000000000000000 　　对于人类的大脑而言，这些数字实在是太大了，无论在书写还是发音方面，都令人无法忍受。　　为了改进这个缺点，人类必须对自然数系进行改造。方法是将整个自然数系中的所有数值同除以一个自然数，例如1×1036，这样就将基准点1“右移”到自然轴的某个合适位置。相应地，这个位置以左的数成为小于1的数，其右的数成为大于1的数。　　例如，地球自然数是一个如下的集合　　{0，1，2，3，4，……，3.6×10 60 } 　　当除以1×10 36 之后，变成了　　{0，1×10 -36 ，2×10 -36 ，……，1，……，3.6×10 24 } 　　如此形成的数系称为“有理数系”。与自然数系相比，这个数系中数的总量不变，数与数之间的距离不变，数轴上的刻度不变，变化的是“1”的含义。自然数中的“1”代表1个基本粒子，有理数中的“1”代表着1只小鸡或类似的单个物品。　　借用现代集合论的表达方式，自然数系是一个有限集合N，里面含有有限个“元素”。将这个有限集合N同除以某一个自然数，就得到了另一个集合Q（有理数系），两个集合中的元素存在着一一对应的关系。　　有理数系出现之后，人类日常生活中接触的物体数量大多可集中在数字0.1到1000之间，尤其是1到100之间，极大地方便了人们的应用。　　有理数系的最佳应用范围在0~10附近最优，其次是0.1~100，再次是0.01~1000。如一个班的学生人数、一个人的体重、身高、家庭人口等等。遇到特别大或特别小的量，还可以创造新的量词，将数值部分控制在最佳数值范围内，符合人类大脑对数值记忆、运算的习惯，提高了效率。　　1——1杯啤酒、1只烤鸭、1个足球；　　2——2只老虎；　　3——3人行必有我师；　　10——10个手指；　　30——一个月的天数；　　1.66×10 -27 ——氢原子的质量，千克；　　1.6——1斤6两小麦、1元6角钱、160厘米身高；　　1/4——把一个饼分成4份；　　0.35％——银行活期存款利率。　　可以看出，上面的这些有理数，都是人们在日常生活与工作中经常接触和使用的数字，并且每个数字都有明确的物理意义。　　自然数系是宇宙通用的数系，有理数系是人类专用的数系，是劳动和实践的产物。通过对自然数系的改造，使之更符合人的生理特征尤其是视觉特征，适合人类的使用。这是人类发挥主观能动性认识世界、改造世界的成功尝试，是“以人为本”的自然体现。人类发明了有理数系，在数学这个伟大的工具上面深深地打上了“地球人专用”的烙印，具有划时代的伟大意义。; 648 次阅读|0 个评论

解语花·第一次数学危机: kongmoon 2014-10-21 17:07; 盈虚有数，大象无形，冥冥谁人作？爱琴海阔，毕达氏，欲把疑谜揭破。假说欠妥，演绎判、是非对错。守教条、整数天成，有理裁决握。勾股各一弦惑，算尽分子母，通约未果。权威失舵，羞矛盾、整数无从自若。危机告落，无理数、添香粉墨。喜数形、举案齐眉，连理同心锁。　　数学是一门研究“数”和“形”的严谨学科，但在数学史上，却贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。第一次数学危机发生在古希腊，约在公元前400年左右，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。　　毕达哥拉斯学派兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数和分数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。但是，大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立，所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现，被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚。　　约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯(Eudoxus，约公元前408—前355)解决了关于无理数的问题。他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，数形开始结合。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。; 个人分类: 科史|6295 次阅读|2 个评论

数学唯物主义基本原理（v3.03）（隐藏）: fanxshan 2013-12-25 15:10; 本人新书《数学辩证法》即将出版，为避免与旧内容混淆，误导网友，从即日起，相关博文改为隐藏状态（自己可见）~~特此记之——2015.7.30 本文现在扩充到10万字以上，下一版称4.0版，已经不适合在此公布。何时公布，尚未确定。现改为好友可见。【阅读提示】本次更新内容：复数与历史唯物主义( 第8章之 10)；集合数(第9章)，向量数( 第10章 )、矩阵数( 第11章 )。文章较长，增加了目录后称3.03版本。上一版本（v2.10）改为好友可见。【摘要】从辩证唯物主义立场出发，对数学的基础、时空观、芝诺悖论、无穷、数的连续性以及各种数的现实意义、数系间的相互关系等重大历史问题进行了深入探索，形成了完整的理论体系，创立了数学唯物主义。研究表明：（1）将数学建立在什么基础上的问题，是数学的根本问题。建立在物质世界及其运动基础上的是数学唯物主义，建立在几何公理或其它公理系统上的是数学唯心主义。（2）芝诺悖论表明：时间与空间具有完全不同的数学特征，空间有限而时间无限,必须单独进行描述。数学中只允许潜无穷而不允许实无穷；（3）空间是物质的存在方式，时间是物质运动在人脑中的反映；（4）数的本质是量子化的、不连续的。自然数1代表一个基本粒子，具有不可分割性、物质性与绝对性；有理数由自然数演化而来，正数、负数、虚数和复数皆由有理数演化而来；集合数、向量数以及矩阵数是数的扩充与推广，是广义数。新数的产生是人类实践活动在数学中的反映，是一个不以人的意志为转移的社会历史进程；（5）自然数是一个有限集合；以自然数集合为基础可以构造出任意集合包括潜无穷集合；（6）无理数表示不存在的、有缺陷的事物，它是一种近似、一个过渡、一个半成品，不是合法的数；（7）各数系间存在着换算关系。“负负得正”、“虚虚得负”即是两数系间换算关系的体现；（8）现实生活中存在着大量事物，必须用虚数和复数来表示；（9）数学中的复数概念与哲学中的矛盾概念严格对应。将复数形式引入哲学，可以使哲学数学化；（10）辩证唯物主义是马克思主义哲学的主体，历史唯物主义与数学唯物主义是辩证唯物主义的重要应用。【关键词】数学唯物主义自然数有理数虚数复数矛盾无穷 20 世纪初，经过牛顿、法拉第、赫兹、麦克斯韦、惠更斯、安培、瓦特、焦耳等大师前后几百年的共同努力，物理学的宏伟大厦正沐浴在金色的晚霞之中。然而，“晴朗的天空远处漂浮着的两朵小小的、令人不安的乌云”——麦克耳 - 莫雷实验以及黑体辐射实验，最终演化为一场惊天动地的暴风骤雨。在这场伟大的革命中，旧理论土崩瓦解，新理论应运而生，并引导物理学进入了一个辉煌的新世纪。同一时期的数学领域，存在的问题与物理学基本相同，但却少了些幸运。几何、代数、微积分、复变函数已经相当成熟，数学大厦看起来稳如泰山，数学家们所要做的，不过对前人已经基本完工的大厦做些修补、之后来一次彻底的装修，使它看起来更加漂亮。 1900 年 8 月，希尔伯特在巴黎国际数学家代表大会作了一个专题报告，提出了 23 个有待解决的数学问题，正是这种心态的直接反映。然而没有一个人注意到，晴朗的数学天空中一直漂浮着两朵乌云——负数和虚数，几个世纪以来一直徘徊不散。如果将数学比做一栋建筑，那么“数”就是最基本的建筑材料——砖块。在对砖块的性能、参数缺乏基本了解的情况下，就盲目地盖起高耸入云的摩天大楼，其所带来的危害及后果，是难以想象的。数学的第一朵乌云：负数的本质以及关于“负负得正”的证明。在历史上，围绕着“负数是不是数”的问题曾经有过长时间的、激烈的争论，反对派中不乏著名的数学家。据多篇文献称：法国数学家、物理学家帕斯卡认为从 0 中减去 4 纯粹是胡闹；《大术》的作者卡尔丹给出了方程的负数根，但他认为那是不可能的解，负根是虚无的，不过是一些记号而已；“代数学之父”韦达不承认负数；解析几何的创始人笛卡尔也只是部分地接受负数。在很长的时间里，西方人带着怀疑的心情看待负数，并称其为“伪数”、“假想数”、“不可能数”等等。尤为严重的是，无论数学家们怎样努力，始终无法从理论上证明“负负得正”这一看似极为简单的命题。数学的第二朵乌云：虚数的现实性。自从遭遇负数开平方以来，人们逐渐接受了虚数的概念并努力寻找它的现实意义，但一直未能成功，没人能够说清它代表什么，这在数学的历史上还是第一次。学者们在谈及虚数时，为了掩饰尴尬，甚至不惜借助于妖魔鬼怪。 1702 年，德国数学家莱布尼兹宣称：“ 虚数是美妙而奇异的神灵的避难所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。” 1770 年，欧拉这样评价虚数：“ 一切形如、的数学式，都是不可能有的、想象的数，它们纯属虚幻。 ” 几个世纪以来，虚数以及它的孪生兄弟复数通过数学渗透到多个研究领域，已经成为现代科学体系中不可分割的重要组成部分。然而，虚数和复数的现实意义长期得不到明确，不仅损害了数学的严谨性，阻碍了现代科学的健康发展，同时也是对哲学的严峻挑战。但数学家们对此视而不见。两朵小小的乌云在数学王国蔚蓝的天空中已经漂浮了 500 年。它们能否像物理学的两朵乌云一样，也带来一场翻天覆地的疾风暴雨，荡尽历史的污垢与尘埃，让数学得到新生？遗憾的是，做为数学界的领军人物，希尔伯特不仅看不到数学面临的深刻危机，反而使数学蒙受一场更大的灾难——由康托尔一手炮制的建立在实无穷基础之上的集合论，让所有的数学家跌入了这个烂泥塘里。当其它专业的科学家们大踏步地向着未知领域进军的时候，数学家们却在这个烂泥塘里苦苦挣扎，再也爬不出来，成为科学大军中的落伍者。在一片迷惘之中，数学家们甚至忘记了自己的任务是开拓未知世界，竟然将自己手中的工具——数学本身当然研究的对象，钻进逻辑的怪圈中不能自拔，最后不仅不清楚自己在做什么，甚至忘记了自己是谁。唯心主义数学家的代表人物伯特兰·罗素甚至荒谬地认为：数学是这样一门学科，在其中我们永远不会知道自己所讲的是什么，也不知道我们所说的是不是真的。他在《我的哲学发展》一书中无可奈何地表达了对数学的失望：一直以来，我希望在数学中找到的绝对的确定性已经消失在一个令人困惑的迷宫之中。数学家 M ·克莱因比较清楚地看到现代数学没落的根源以及所面临的尴尬：研究导致了研究，由此又导致了研究。在今天的数学殿堂中，已没有人敢问及意义及目标……厚厚的象牙塔挡住了深居其间的学者的视线，而这些与世隔绝的头脑也满足于孤立的境地。在一次次歇斯底里的幻觉之中，数学家们陷入一场集体的、疯狂的自恋，制造出大批极度抽象、与现实生活绝无丝毫联系的、任何人也无法验证其真伪的“定义”、“定理”，包装成最新的“理论”，强行推销给年轻的大学生们，让他们精神崩溃。所有这一切，表面上是康托尔的集合论所引起的。但真正的罪魁祸首，应当归结于另一个更古老的概念——无穷。伟大的数学家高斯在 1831 年写给舒马赫的信中指出：我反对把无穷量作为现实的实体来用，在数学中这是永远不允许的。早在康托尔的无穷集合论刚刚出现的时候，就引起了部分头脑清醒的数学家的高度警觉。康托尔过去的老师、德高望重的德国数学家克罗内克（ Leopold Cronecker ）就是其中之一，他坚决反对无穷集合论，并利用自己的威望和影响，在自己的有生之年，尽一切努力阻止无穷集合论的散布与传播，甚至直接称康托尔为“ 科学骗子、叛徒、毒害青年的人 ”。著名法国数学家彭加勒（ Henri Poincaré ）则宣称：后人将把（康托尔的）集合论当做一种疾病。如今，克罗内克和彭加勒的担心已经变成残酷的现实。以康托尔的无穷集合论为标志的近代数学不仅没有给社会带来进步，相反却成了数学知识体系中一颗巨大的毒瘤，阻碍着数学的健康发展，摧残着一代又一代年轻人。网络上流传着一则短文《一位数学专业女生大学毕业前的感慨》，道出了无数人的心声——那是对近代数学“成就”的血泪控诉： “数学分析要上三个学期从头到尾都是极限、无穷 / 每次做完一道题我都要注视着太阳升起的方向 / 问自己永远有多远！！！！” “学完定与不定积分后还有曲线积分重积分曲面积分 / 各种第一型第二型各种联系各种搞不清 / 收敛还分条件收敛绝对收敛一致收敛” “近世代数很薄很小很贴身 / 晚上睡觉也不怕翻身一觉睡到大天亮 / 你不翻开这本书你永远不知道它有多坑爹 / 整本书都是定义有木有 / 我的价值观世界观爱情观人生观被践踏得体无完肤” “应用随机过程从第二页开始就看不懂了 / 看了很多遍还是看不懂 / 师兄说随机过程学了随机编以后考试随机过 / 实变函数与泛函分析从第一页就看不懂了 / 因为学长说实变函数最起码要学十遍 / 如果下次还能遇到这么难的书你就再相信一次爱情不要放弃 / 先哭一会……” 数学，这个曾经神圣、辉煌的科学王子，已经堕落、沉沦，重病缠身，卧床不起。数学，靠它自己的力量已经无法走出泥坑。但是，有谁能够拯救数学呢？唯一能够担些重任的只有哲学。确切地说，是马克思主义哲学。伟大的革命导师马克思、恩格斯创造性地将唯物主义应用于辩证法，创立了马克思主义哲学的核心——辩证唯物主义。又运用辩证唯物主义的原理考察了人类社会发展的历史，创建了历史唯物主义。本文依据辩证唯物主义、历史唯物主义的基本原理考察数学，得到了一批重要的结论，形成全面、系统的理论体系，称为“数学唯物主义”。数学唯物主义的本质不是数学科学，而是数学领域的唯物主义哲学，其使命不是发现或揭示数学规律或事实，而是要对人类已经形成的数学概念用唯物主义观点进行系统的哲理反思与结构透视，去粗取精、去伪存真，由此及彼，由表及里，揭示其内在规律，达到对数学科学深层次的认识与理解，阐述数学科学的本质，并对辩证唯物主义、历史唯物主义理论体系的数学化提供技术支持。一、时空的本质马克思主义哲学认为，整个世界以一定的形式按照自己的规律永恒地运动着。世界上的万事万物统一于物质，人类社会是物质世界的重要组成部分。运动的物质又以时间和空间作为自己的存在方式。物质运动总要持续一定的时间并且占据一定的空间，离开时间与空间的物质运动是不存在的。欲描述空间、时间，首先要弄清它们的性质。 1.1 芝诺悖论古希腊学者芝诺留下了 4 个悖论，其中有 2 个著名的悖论：（ 1 ）阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯与乌龟有一段距离，二者同时出发向同一个方向运动。阿基里斯到达乌龟的出发点A后，乌龟已经到达了新点B。当阿基里斯到达点B时，乌龟又已经到达了点C。如此反复，阿基里斯总是追不上乌龟。（ 2 ）飞箭不动。每一件东西在占据一个与它自己相等的空间时是静止的。飞着的东西在任何时间总是占据着与它自身相等的空间，因此它也是静止的。生活中的芝诺，一定不会蠢到真的会相信“阿基里斯追不上乌龟”，也不会相信飞箭真的不动。他的本意是通过这两个悖论表达这样的信息：人类关于时空的概念存在着严重的内在缺陷。天才的芝诺通过“阿基里斯追不上乌龟”的悖论反对了时空能无限分割的观点，又通过“飞箭不动”这个悖论反对了时空不能无限分割的观点。通过这两个悖论，芝诺将人类已有时空观的内部矛盾做了充分的展示与深刻的揭露。古希腊历史学家普罗塔克曾写下这样的诗句：大哉芝诺，鼓舌如簧；无论你说什么，他总认为荒唐。人类早就认识到无穷这一概念，亚里士多德将无穷分为“实无穷”与“潜无穷”。所谓“实无穷”，就是认为实在的物质可以无限可分，如《庄子·天下》篇中的“ 一尺之捶，日取其半，万世不竭 ”。所谓“潜无穷”，是把无限看作不断生长的、永远没有终点的过程。例如宇宙的年龄。两种无穷具有本质区别：实无穷是已经完成的整体，而潜无穷是永远处于构造中的、不断生长着的整体。芝诺悖论的诡秘就在于巧妙地利用了人类时空观的内在缺陷，即达到颠倒黑白的效果，又让人无可奈何。因此，解决芝诺悖论的关键，在于重新认识并彻底改造现有的时空观。仔细分析芝诺的 2 个悖论可以发现：“阿基里斯追不上乌龟”悖论表明：必须禁止对空间（长度）进行无限分割，但对时间没有限制；“飞箭不动”悖论要求对时间进行无限分割，但对空间没有限制。这就意味着，只要对空间和时间分别使用不同的尺度进行数学描述，就可以避免芝诺悖论！也就是说，只要人类不将潜无穷应用于空间量如长度、面积、体积、数量、质量、重量上去，只将潜无穷用于时间或物质的运动，就可以避免芝诺悖论。所以，在数学中，对空间量（包括长度、面积、体积、重量等）的数学描述所用的数系必须是量子化的、不连续的；对时间的描述所采用的数系一定是连续的、无间断的、可任意分割的并且不存在最小值、最大值。 1.2 数学的出发点到那里去找描述时间和空间的数系呢？在这个问题上，数学家们分成了两派。一派坚持用人的感觉、人的经验来创造数系。他们从日常经验出发，从人的手指出发，创造了自然数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 等基本数字，形成了自然数系，并以此作为数学的起点。之后，数学家们将整个数学体系建立在数量有限的几条公理之上。这些公理完全依赖于人的经验和认识，具有强烈的主观性。因此，这一派称为数学唯心主义——人类几千年的数学史，正是沿着这条路线发展、演化的，并且一直走到今天。另一派人坚持从自然界本身寻找数系。他们认为最原始的数字应该是客观的，宇宙本身一定存在着适合于描述空间与时间的数系。人类的任务不是创造数的尺度、而是从自然界中把数找出来，作为构建整个数学的基础与起点。将整个数学体系建立在物质世界的基础上，这一派称为数学唯物主义。也可以说：数学唯物主义与数学唯心主义的最初分歧，是从对自然数 1 的认识与定义开始的。 1.3 时空的天然尺度对于空间而言，能够直接做为自然数系使用的物质应该满足 3 个条件：（ 1 ）客观存在；（ 2 ）个体之间无差别；（ 3 ）不可分割。不难发现，唯一全部满足这些条件的物质，只能是物理学家们发现并已经证实的最小的、不可分割的基本粒子。因此，基本粒子构成了数学中最基础的数系——自然数系。自然数系中的 “ 1 ”就代表 1 个基本粒子，“ 2 ” 代表 2 个基本粒子，依次类推。相比之下，人类寻找自然界中时间的天然尺度就不太容易。时间是什么？这个问题争论了几千年，到现在也没有定论。马克思主义认为：任何运动都是一个过程，都有始态与终态。这个运动过程被人所认识、所感觉，在人的大脑中就体现为时间。因此，时间是人类特有的概念。没有人，就没有时间。在人类诞生之前，宇宙只有物质和物质的运动，没有时间。自从人类出现以后，时间与运动就像一张纸的两面一样密不可分。有运动就有时间，有时间就有运动。物质的运动是永恒的，因此时间也是永恒的。物质处于永恒的运动之中，这种运动是不以人的意志为转移的。人类无法阻止它，改变它。因此，人类也无法改变时间，既不能回到过去，也不能超越到将来，只能任时间悄然流逝。时间，是物质运动的化身，是人与自然相互作用的神奇产物。人类意识到物质运动的那一刻，是时间的起点。时间的出现，是物质运动的新纪元，它为宇宙的物质运动打上了人类文明的烙印。宇宙在时间中演化，人类在时间中成长。描述时间，不仅需要定性的简单描述，而且需要定量的精确描述。人类需要一个稳定可靠的时间之尺，来度量世间万物的运动。经过几百万年的持续考察，人类最终选择了地球的自转运动做为时间的基本尺度。地球相对太阳自转一周称为 1 天，又将一天分为 24 小时，再将 1 小时分为 60 分钟，将 1 分钟分为 60 秒，之后再分为毫秒、微秒等。地球的运动是人类时间的基本尺度。地球的运动是单向的、均匀的、连续的、不停顿的、非阶梯跳越式的、可无限分割的，因此人类的时间也单向的、均匀的、连续的、不停顿的、非阶梯跳越式、可无限分割的。无论把时间间隔定得多么小，事物的始态与终态总是有所不同——物质一刻不息地在运动。物质运动的这种特性在物理学中称为“惯性”。假如运动不是连续的而是间歇的，会发生什么呢？哪怕地球的自转仅仅突然停顿 1 毫秒，巨大的惯性（动量）也将使地球的结构在瞬间解体！因此，物质的运动必须连续，必须均匀、必须无限可分！反映在数学上，用于描述时间或物质运动的潜无穷必须存在。惯性、运动、时间三个概念源于同一个事物——物质。唯一的区别在于：惯性、运动是客观存在，是物质的自然属性，而时间是人的意识，是物质运动在人类大脑中的反映。用物质的最小单位描述空间，用物质的惯性描述时间。马克思主义的时空观是空间有限与时间无限的统一。建立在这个基础上的数学就是数学唯物主义，它只有潜无穷，而没有实无穷。于是，数学、物理、化学、哲学、生物 5 大学科第一次有了共同的基础与起点——物质世界。二、自然数 2.1 基本粒子与自然数系自然数是一个整数系列： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ……。传统观点认为： 1 是自然数的基本单位。数字 1 是从人们的日常生活中抽象出来的。一个苹果、一座房子、一只鸡、一头猪、一条狗…… 1 就是这些具体事物中抽象出来的共同属性。这种定义显然是有缺陷的。 1 ）做为数学的基础元素，上面的定义具有不确定性。世界上没有两片完全相同的树叶，也没有两个完全相同的苹果。如果拿来 100 个苹果，其中必然有大有小。到底其中哪一个做为基准？是大一些的，还是小一些的？ 2 ）抽象性。从苹果、房子、鸡、猪、狗这些事物中抽象出 1 来之后，就与这些具体事物脱离失去了联系，其概念只能保存在人的大脑中。 3 ）上面的定义依赖于人的判断，具有主观性。由主观性决定的东西，离开了认识的人，那个概念也就不存在了。依据唯心主义对自然数的理解，完全可以做出这样的推测：如果人类不存在，自然界就不会有自然数。 4 ）苹果、鸡、猪、狗等都可以再分割成更小的单位，自然数系无法表示半个苹果、半只鸡等实际存在的事物。因此，传统观点对于 1 的认识是自相矛盾的、不科学的。根据前面的分析，作为自然数系起点 1 的应该就是宇宙中最小物质单位，它具有物质性、同一性和不可分割性。据物理学家的研究，目前已知最小的基本粒子是夸克，直径约为 1 × 10 -18 米，质量约为氢原子质量的十亿分之一，即 1.66 × 10 -36 千克。将单个基本粒子夸克定义为自然数“ 1 ”，那么这个数字 1 就具有特定的含义——仅仅代表单个基本粒子，而不是任何其它东西。相应地， 2 代表 2 个基本粒子， 3 代表 3 个基本粒子，依此类推。自然数“ 1 ”的物理意义不是恒定不变的。随着科学的发展，物理学家可能发现更小的基本粒子，自然数“ 1 ”的定义也随之自动更新。数学家克罗内克有一句名言：“ 上帝创造了自然数, 其余都是人造的。” 其可贵之处在于用唯心主义的术语（上帝）表达了唯物主义的思想内容。事实证明，在研究微观领域内基本粒子的行为时，必须使用量子化的描述方可以正确描述粒子的行为，物理学家们称这种新学科为量子力学。从本质上来说，量子力学就是以自然数为基础的数学，或称“量子数学”。 2.2 勾股定理勾股定理被尊为“ 人类最伟大的十个科学发现之一 ”，是数形结合的重要纽带，在西方被称为毕达哥拉斯定理，有 400 余种证明方法。相传是古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯（ Pythagoras ）于公元前 550 年首先发现的。然而在自然数系里，数与数之间是间断的，不连续的，量子化的，勾股定理不成立。在自然数系里，三角边的各边必须是整数。就像不允许折断的火柴棒一样，用它们构建直角三角形是相当困难的。例如， 3 根火柴棒只能构建一个等边三角形， 4 根火柴棒无法构建三角形， 5 根火柴棒只能构建一个边长分别为 2 ， 2 ， 1 的等腰三角形，它们都不是直角三角形。如果强行让两条边垂直，那么第三条边将不封闭，不能构成完整的三角形。在自然数系中，勾股定理仅在极少数情况下成立，因此不具有普遍性。用 12 根火柴棒能够构建一个边长为 3 、 4 ，斜边为 5 的直角三角形；用 30 根火柴棒能够构建一个边长为 5 、 12 ，斜边为 13 的直角三角形；用 84 根火柴棒能够构建一个边长为 12 、 35 ，斜边为 37 的直角三角形。传统几何学证明：圆的直径与圆上任意一点构成的三角形为直角三角形。在自然数系中勾股定理不成立，其影响波及到圆。实验发现，直径为 10 （自然数）的圆，其周长介于 31 与 32 （自然数）之间，因而这个圆是有缺陷的。反过来，当其周长恰好是一个自然数时，其直径一定不是自然数。所以，用自然数系来描述圆时，周长与直径不能同时存在。周长与圆直径之比不是自然数。在自然数系中，圆周率（圆周长与直径的比值）这个概念是有缺陷的念。毕达哥拉斯学派认为一切自然现象均可归结为整数或整数之比，但学派成员希伯索斯根据勾股定理并通过逻辑推理发现，边长为 l 的正方形的对角线长度既不是整数，也非整数比所能表示，这使当时的希腊数学家们感到空前的压力。相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 2.3 自然数的有限性自然数有没有上限？这个问题争论了几千年。在对自然数进行了唯物主义的定义之后，自然数就存在着上限。毫无疑问，自然数的上限应该等于宇宙中基本粒子的总个数，这个数字虽然不易准确确定，但可以粗略地估算。然而，即使是最粗略的估算，哪怕误差达到 100 倍， 1000 倍，在数学的实际应用中已经足够了。对于数学家和哲学家来说，知道它存在就足够了。至于它到底是多少，有多大的误差，已经无足轻重。有数据称宇宙的总质量为 1.513 ×10 54 千克；一个氢原子的质量约为 1.66 × 10 -27 千克；基本粒子的质量约为氢原子质量的十亿分之一，即 1.66 × 10 -36 千克。由此可求出宇宙中基本粒子的总数约为 9.11 × 10 89 个，可近似看作 1 × 10 90 个。因此，在人类目前认识到的宇宙范围内，自然数是有界的，其定义域约为［ 1 ， 1 × 10 90 ］。太阳系的总质量为 1.99166 × 10 30 千克，相当于基本粒子的数量为 1.2 × 10 66 个。在太阳系范围内，自然数系的定义域约为［ 1 ， 1.2 × 10 66 ］。根据万有引力的计算结果，地球的总质量约为 5.9722 × 10 24 千克，相当于基本粒子的数量 3.6 × 10 60 个。因此在地球上，自然数的定义域为［ 1 ， 3.6 × 10 60 ］。必须说明，这种估算是粗略的、暂时的。随着人类对物质结构认识的深入，最小粒子的质量以及宇宙、太阳系、地球的质量将越来越精确，不同空间内自然数系定义域的上限值也会随之变化。但定义域的下限值1在数值上保持不变。数学毕竟是人类的工具，是否方便使用，不仅取决于工具本身，还取决于具体的应用环境。对于一个木匠来说，其常用尺寸基本局限在１毫米～ 2 米之间，拥有一把最小刻度 1 毫米、总长度为 2 米的钢卷尺已经能够满足绝大多数要求，没有必要使用又大又重的 5 米或 20 米规格的钢卷尺，更没有必要随身携带一把 5 亿米的钢卷尺。也就是说，无论尺的规格如何，只要基本刻度相同，长尺和短尺对于应用本身基本上没有影响。同理，人类的日常生活绝大多数局限于地球范围之内，将地球看作一个封闭的小“宇宙”，对于一般数学计算已经绰绰有余。可以看出，无论全宇宙、还是太阳系、还是地球范围内，自然数在局部总是有限的，这一性质称为“ 局部有限性 ”。 2.4 自然轴基本粒子除了质量之外，还有一定的尺寸，设基本粒子为球形，则每个粒子有着确定的直径。将许多基本粒子排成一条直线，就形成了长度，可以间接表达粒子的数量，于是数轴出现了。这一数轴称为“自然轴”，上面均匀分布着等距的点，分别代表1，2，3，4，5，6，……，1000，……， 1 × 10 30 ，……， 1 × 10 90 。自然数犹如茫茫大海中高出水面的一列桥墩，桥墩与桥墩之间距离完全相同，且排列成一条直线。自然轴是数学中最早出现的数轴，它使“数”与“形”得以有机地联系起来，数学中“点”、“线”的概念产生了。数学中“点”的最小直径约为 1 × 10 -18 米， “线”的最小宽度约为 1 × 10 -18 米， “面”的最小面积约为 1 × 10 -36 米 2 ， “体”的最小体积约为 1 × 10 -54 米 3 。数轴上 1 厘米的长度由 1 × 10 16 个基本粒子组成，也可以说， 1 厘米的数轴长度上有 1 × 10 16 个自然数，即 1 亿亿。由于自然数的物质性，数学中的点、线、面、体、球都不是抽象的而是具体的。它们不仅有最小尺寸，而且还有最小重量、最小线密度，这与传统数学是根本不同的。自然数的量子性还将彻底改变人们的传统数学知识。例如，直线、圆都不是连续的，而是由一系列点模拟而成的。两条直线形成的夹角不能任意小，必须满足结构上的要求——即构成夹角的基本粒子不能被压缩或重叠；不能用尺规将一个任意角二等分等等。三、有理数人类发现了自然数系之后，也就拥有了对世间万物进行计量的能力。但人们很快发现，自然数系对于人类的日常生活而言，实在是太不方便了。经过几百万年进化形成的人类，成人高度约在 1.6~1.8 米，体重 50~80 千克。人类的活动范围，步行的话在几十千米以内。人所能发出的操纵力，一般在 100 千克以下。如果用数学中的自然数系来表示 1 千克大小的物体，相当于 6 × 10 35 个基本粒子。对于人类而言这个数字实在是太大了，无论在书写还是发音方面，都令人无法忍受。为了改进这个缺点，人类对自然数系进行了改造：将整个自然数系同除以一个数，例如 6 × 10 35 ，这样就将基准点 1 “右移”到自然轴的某个合适位置。相应地，这个位置以左的数成为小于 1 的数，其右的数成为大于 1 的数，地球自然数的定义域就由原来的［ 1 ， 3.6 × 10 60 ］变成了［ 1.66 × 10 -36 ， 6 × 10 24 ］。于是有理数系诞生了。将自然数变为有理数的除数，可以是任意一个自然数，如 4052871795653 。毕达哥拉斯学派“一切自然现象均可归结为整数或整数之比”的观点，是唯物主义世界观的的必然产物，因而也是完全正确的。按现代集合论的观点，自然数系是一个有限集合 A ，里面含有有限个“元素”，将有限集合 A 除以一个自然数 B ，就完成了另一个集合 C （有理数系），两个集合中的元素存在一一对应的关系。自然轴摇身一变，成了有理数轴之后，它仍然是不连续的、量子化的。有了有理数系之后，人类日常生活中接触的物体数量大都集中在 0.1 到 1000 之间，尤其是 1 到 100 之间。大大方便了人类的应用。应用有理数系的最大好处，是人类日常接触的各类物体在数学上有了一个比较合理的数值范围：在 1 附近最优，其次是从 0.1 至 10 ，再次从 0.01 到 100 。如一个班的学生人数、一个人的体重、身高、家庭人口、日工作时间小时数等等。遇到特别大或特别小的量，还可以创造新的量词，将数值部分控制在最佳数值范围内，符合人类大脑对数值记忆、运算的习惯。对于光速， 300000 千米 / 秒，可以记作 30 万千米 / 秒；对于氢原子直径， 0.00000000001 米，记作 0.1 纳米。特别值得注意的是：自然数系中的 1 与有理数系中的整数 1 具有完全不同的物理意义。自然数系中的 1 代表一个基本粒子，有理数系中的整数 1 通常表示一个肉眼可见的物体（对象），含有大约 6 × 10 35 个基本粒子的，如 1 杯啤酒或 1 只烤鸭、 1 个足球等。有理数系是人类智慧的产物。通过对自然数系的改造，使之更适合人类的使用。是人类发挥主观能动性认识世界、改造世界的成功尝试。有了有理数，最原始的数学就深深地打上了人类的烙印，从此，文明进入了数学。四、无理数、零与无穷 4.1 无理数由 10 个基本粒子作一条直角边、另外 10 个基本粒子作另一个直角边，并不能构造出一个封闭的、完美的直角三角形。在唯心主义数学里，这个三角形被认为是封闭的，按勾股定理，这个斜边的长度可表示为，是一个无理数。给定直径为自然数 10 构造一个圆，则圆的周边不会封闭。假定这个圆是封闭的，那么圆的周长可表示为 10π ，其中的 π 也是无理数。直角三角形和圆是《几何》以及《三角》的基本元素，由于这两个图形不封闭而产生的天然缺陷，造成无理数的大量出现。除了平方根和 π 之外，角度的正弦、余弦、正切、余切函数，以及对数、指数等运算也产生大量的无理数。无理数之所以存在，是因为自然界中缺陷图形的存在。可以看出，无理数是的一种特殊的数，它代表着不完整的几何图形，是现实世界上不可能存在的或有缺陷的事物。因此，绝不能把无理数看作合法的数，更不能将其视为与有理数同等重要的数。既然无理数是不合法的数，那么，能不能废除无理数呢？答案是不能。虽然无理数没有现实意义，但在人类的生活中却离不开它——在宏观世界中研究直角三角形，不能没有勾股定理；在宏观世界中研究圆，不能没有圆周率 π 。没有勾股定理和圆周率，现实生活中的许多概念就无法简洁地表达。无理数做为一种有效的近似，为人类的数学运算带来极大的方便。因此不仅不能废除无理数，而且还必须保留它，利用它，让它为人类服务。保留无理数会产生不超过 1 个基本粒子的误差。这个误差是个什么概念呢？下面以空气中的粉尘来说明。要显微镜下，空气中的细颗粒物 PM2.5 的直径为 2.5 × 10 -6 米，体积约为 8.18 × 10 -12 立方厘米。按密度 1.7 克 / 立方厘米计，每个细颗粒质量约为 13.9 × 10 -15 千克，折合成基本粒子数约为 84 万亿亿个。人类日常生活中处理的事物远远大于一个空气粉尘粒子。因此，忽略一个基本粒子的重量，所产生的误差不超过 84 万亿亿分之一，完全可以忽略不计。也就是说，使用无理数代替有理数所产生的误差，对人类的日常生活而言，是完全可以接受的。既要看到无理数的方便，又要注意它的本质，不将其视为正式的数。应当将无理数看做一个非正式结果、一个中间过程。即坚持了原则性，又发挥了灵活性。为此，必须在数学中做一个特殊规定。定义：距离某无理数最近的那个有理数，称为该无理数的真值。如此规定之后，两个相邻的有理数之间无论有多少无理数，每个无理数都有唯一的真值。有理轴仍然是间断的、不连续的。有了无理数的概念之后，近似进入了数学。 4.2 零在自然界，物质只能转化，而不能消失。但是人类生活中有大量的关于“消失”的例子：小红有 1 个苹果，吃完后，苹果“消失”了（虽然也可以理解为转化成为小红身体的一部分）。树上 8 只鸟，一声枪响，鸟儿们全部飞走，从人的视野中“消失”了。显然，生活中的“消失”与物质的消失是两个不同的概念——前者是人的意识，后者是客观存在。物质的消失不可能真正发生，而生活中的“消失”却大量地、每日每时都在发生。数学是描述人类生活的工具，必须对这种“消失”有所体现。于是符号“ 0 ”诞生了。 0 表示物质“没有”、“无”、“不存在”的状态。它是“有”、“存在”的对立面。虽然世界上从来没有过 0 个苹果、 0 个桃子，但人们为了方便应用，就假定世界上存在 0 个苹果、 0 个桃子。于是，由于人的规定， 0 成了自然数系和有理数系的新成员。 0 个基本粒子、 0 个苹果都是合法的，具有特定的物理意义。 “ 0 ”是物质和意识的统一体，是人类思维的特殊产物，也是人类实践活动的反映。自然界中最小的物质是基本粒子，在自然数系中用 “ 1 ”表示(在有理数系中可用“ε”表示) 。 1 虽然非常非常小，但它属于“有”，与“无”有着本质的区别。在 0 到 1 之间，有一条不可逾越的鸿沟，既近在咫尺，又遥不可及。有了无理数的表示方法后，按照前面的规定，靠近 0 的无理数，其真值为 0 ；靠近 1 的无理数，其真值为 1 ，按 1 个基本粒子处理。 4.3 无穷前面已经论证过，数学中不存在实无穷，只存在潜无穷。那么，潜无穷怎样用数学表示呢？在自然数系中，数是有限的、有穷的。自然数是一个集合 N 。其中最小的自然数是 0 ，最大的自然是 N n 。将自然数集合 N 中的每个元素都除以一个自然数 B ，可以得到有理数集合 Q 。其中最小的有理数是 0 ，最大的是 Q n 。将集合 Q 中的每个元素自乘（平方），可以得到有理数的面积集合 S 。其中最小的有理数是 0 ，最大的有理数是 S n 。将集合 Q 中的每个元素自乘两次（立方），可以得到有理数的体积集合 V 。其中最小的有理数是 0 ，最大的有理数是 V n 。容易发现，通过构造集合的办法，既可以在小数字方向上突破基本粒子的下限 1 ，也可以在大数字方向上突破宇宙最大基本粒子数的上限 N n 。只要有必要，数学家可以在两个相邻自然数间（例如 0 和 1 之间）分隔出任意多的间隔，实现无限分割的连续效果，可以用来表示任意短的时间间隔或运动过程。在前面的讨论中知道，为了避免芝诺悖论而要求时间、空间必须采用不同的数系。但在实际应用中，使用有理数表示时间已经有足够的精度。因此，从实用角度看，用有理数系同时表示时间与空间是完全可行的。事实上，在过去的两千多年中，三次数学危机都是由实无穷引起的。实无穷像一头藏在羊圈里的恶狼，伪装成羊的模样，一次次地蒙混过关。数学家们应对失误，虽然不断修补并加固羊圈，仍然一次次地发现有羊被咬死，只剩下一堆堆骨头，让数学家们灰头土脸、无地自容。自然数的量子性以及局部有限性，彻底否定了困扰人类几千年的实无穷概念。将实无穷从数学中彻底驱逐出去的时机已经成熟了。将实无穷从数学中驱逐出去后，一同消失的，还有过去几千来有关这只“羊”的种种感人的事迹与美好的回忆，有人恋恋不舍，有人伤心欲绝，还有人会拼命反对将这只狼逐出数学，妄图阻挡历史车轮的前进。然而现实是残酷的，数学要健康成长，就不能不铲除自己身上的毒瘤，哪怕它过去曾经“灿若云霞，艳如桃花”！ …… 由于文章较长（约4万字），排版不便，文章全文请见下面附件（PDF文件）数学唯物主义基本原理（v3.03）20131229B.pdf; 530 次阅读|0 个评论

神奇的开区间数量: 热度 1 kghao 2013-8-24 11:15; 神奇的开区间数量郝克刚 2013.08.23. 1. 引言最近看到薛问天先生的一篇解密伪证的博文，读到有关有理数集合与实数集合的 “ 开区间 ” 的某些数量特性时，感到很吃惊、很神奇，超出了我原来对于有理数集合与实数集合的想象。也许是我在大学里学的那点数学知识没有学够和学透，学识浅薄，孤陋寡闻才产生了这样的感觉。现在有网真是太方便了。用博客把它写出来，一方面可以同大家共享，另一方面也可以听听资深专业人士的点评。我们都知道实数集合（包括有理数和无理数）是不可数的。但是你是否知道由实数作为端点构成的互不相交的开区间的总数却是可数的。我们都知道有理数集合是可数的。但是你是否知道由有理数作为元素构成的不同的开区间的总数却是不可数的。我开始接触到这两个事实时，很难接受，觉着与我原来的对实数和有理数的理解不一样。想不通既然实数不可数，怎么由它作为端点的互不相交的开区间却是可数的。总觉着你把实数一个一个摆起来，由它两两作端点的开区间应该也是不可数的。另外也想不通既然有理数可数，由它作为元素构成的一个一个的不同的开区间总觉着也应该是可数的。等慢慢地理顺了它的证明后，才开始有了理解。认识到这两有关开区间数量特性的命题确实是正确的。我之所以感到很神奇，是由于我过去对实数和有理数的直观概念有误，特别是对它们的稠密性和连续性理解不深所导致的。我参考薛文把它们简要地整理如下，和大家共享。 2. 预备知识先介绍一些基本知识。我们称一个集合是可数的，如果它能与全体自然数集合建立一一对应。已经证明全体有理数集合是可数的，全体实数集合是不可数的。凡是介于两个实数 a,b(ab) 之间的所有实数（或有理数）的集合称为实数区间（或有理数区间）。 a （或 b ）称为区间的左端点（或右端点）。并进一步规定若集合包含左（或右）端点，则区间称为左闭区间（或右闭区间），若不包含左（或右）端点，则区间称为左开区间（或右开区间）。既是左开区间又是右开区间的区间称为开区间。一个有序集合 S ，如果满足条件：若 a,b 属于 S ，且 ab ，则集合 S 中存在 c ，使 acb 成立，就称集合 S 是稠密的。已知有理数集合和实数集合都是稠密的。还可以推出任何两个实数之间有可数无穷多个有理数存在，有不可数无穷多个无理数存在。如果一个集合 S 的数全部大于或等于（ ≥ ）某数 d ，则称 d 是集合 S 的下界。最大的下界称为是 S 的下确界。如果一个集合 S 的数全部小于或等于（ ≤ ）某数 u ，则称 u 是集合 S 的上界。最小的上界称为是 S 的上确界。例如，一个区间的下（或上）确界就是区间的左（或右）端点。已知任何有上界的实数集合一定有实数上确界。这就是所谓的实数集合的连续性（或称完备性）。但是，有上界的有理数数集合不一定存在有理数的上确界。它的上确界可能是无理数。这就是所谓的无理数集合的不连续性（或称不完备性）。 3. 关于开区间数量的两个命题命题 1. 实数作为端点构成的互不相交的开区间的总数是可数的。证明。假定此命题不成立，即实数作为端点构成的互不相交的开区间的总数是不可数的。根据实数和有理数集合的稠密性，在这些不相交的每个开区间中至少有一个有理数，而且各不相等。由于开区间的总数是不可数的，那么这些各不相等的有理数的个数也是不可数的。与已知有理数集合可数相矛盾，命题 1 得证。命题 2. 有理数作为元素构成的所有不同的开区间的总数是不可数的。证明。对每个实数，分别地选择一个以其作为右端点的任意开区间。显然，这样选择的开区间，互不相同，而且其个数与实数的个数相同，是不可数的。由于这样的开区间是有理数构成的所有不同的开区间的一部分。所以推出命题 2 ，即有理数作为元素构成的所有不同的开区间的总数是不可数的。参考文献易 057- 薛问天： “ 实数可数 ” 的两个有趣 “ 证明 ” 的解密 http://wenqinghui163.blog.163.com/blog/static/21152537620137206241520/; 个人分类: 学术交流|8875 次阅读|2 个评论

关于度量空间的一点认识: tianying1129 2012-12-28 12:05; 1.度量空间为何如此定义？我认为这是“抽象化”的结果。随着数学研究对象范围的不断拓广，由最开始的整数集到有理数集到实数集复数集再到Rn；由基本的多项式函数到初等函数到连续，可微再到勒贝格可积函数集。。。我们发现不同的研究对象其实有着许多“共同的性质”，比如都可以定义“线性运算”，都有“远近”即距离关系，故而我们把这些“共同性质”抽象出来形成一般的“抽象空间”（线性空间，距离空间等等）。 2.这样定义这些抽象空间有什么好处（什么用）？首先，有些结论不是只在特定的情况（场合）下成立，而是在“相当一般”的条件下就可以成立，比如“连续函数在闭区间（Rn上有界闭集，拓扑空间中紧集）上有最值”，“压缩映像原理”等，这样，如果我们知道了该结论能成立的“最一般”情况，那就相当于“该结论能得到最广泛的应用”。其次，我们可以从抽象到抽象，不必仅限于在特定的空间做事。我们可以不必具体到特定的条件（场合）就可以“逻辑”地推导出“一般”的结论。 3.这种“抽象化”工作对我们的学习和研究有什么意义？抽象化是一种趋势，是数学向前发展的趋势和必然结果。因为我们在追求真理，我们想知道我们追求的真理的最大应用范围。 4.研究过程中需要注意哪些问题？ 1）注意抽象与具体的转化，要注意抽象的结论在具体空间（情况）里的具体意义是什么，要知道在抽象的空间里我们能做什么，在具体的空间里又能做什么。 2）不要忽视具体问题具体分析。 3）要尊重客观事实，量力而行，适可而止。; 0 个评论

仅在整数集上跳跃、在有理数集上跳跃的函数: 热度 2 zjzhang 2012-10-9 11:23; 今天上课，居然发现了一个有趣的拓展： 1. 在整数集上跳跃的函数为 $x- $, 图像为 Mathematica Code: Plot , {x, -3, 3}, AspectRatio - 1/6] 2. 在有理数集上跳跃的函数为 $f(x)=\sum_{r_nx}\frac{1}{2^n}$, 其中 $\{r_n\}$ 表示所有的有理数.; 个人分类: 数学|3718 次阅读|11 个评论

从高维诅咒到因子分析: 热度 8 yufree 2012-8-8 00:56; 调用无尽的参数来描述一个物体是有必要的吗？可以从另一个角度来看看待这个问题：我有一个苹果，我有必要为了说明它是个苹果而去学习植物学甚至是遗传组学来断定这货是个苹果吗？当然没有必要，这倒不是说你对这个苹果的认识不够深刻，只是在辨认苹果这个概念所对应的实体时我们会套用一个类似柏拉图理型世界的玩意来识别并忽视其所谓不完美的部分来认定，这种抽象的概念在柏拉图看来是完美且合理的。且不论这里面的理想成分有多少是主观的，这里需要注意的是其实所谓“完美”的概念所描绘的东西现实世界可能并不存在。好了，在这里我们会遇到一个问题，这样的描述其实是增加了一个维度，而这个维度对于事物的描绘可能是唯一的。因此，我只依靠这个维度去判断区别物体不是更好吗？这里停一下，前文明明说用无尽的参数描述是有必要的，怎么又回到没必要了呢？因为有必要的前文已经说过了，高维诅咒可以帮助我们设置密码，此外前文留的尾巴的真正意义是“无尽”这个词，从0到1间有多少有理数？这个数会比1到2之间的多还是少？比0.5到1之间的呢？好了，不折腾了，这个问题思考下去就是希尔伯特那个第一问题——连续统假设。这是个不可从内部证明的东西，其实我倒希望很多这样的问题包括黎曼猜想，如果能用对角线方法证明这个问题不可证明就好了，至少不像费马定理那样最后的证明搞得非专业的俺一点都看不懂。这个“无尽”问题是个无底洞，很多经典的悖论就是在无尽上挖的坑，例如芝诺的乌龟悖论，其实说谎者悖论的本质也是涉及了无穷推衍甚至变成循环推衍而让人心驰神往，但无尽的推衍不代表无尽的时间，谜题的设置有时候就是让人感觉到不可能而不去思考的，这些问题存在了几千年但不影响人类对世界的认识，为什么？因为这不妨碍采集捕猎男欢女爱？这是实用主义的观点但却很真实：这个世界就是带着问题或者说谜题展现到每个人面前的，而我们在这方面的认知水平与2万年前区别不大，都是得过且过。为什么呢？我们的认知的程度更多与生存下去所需的知识水平相对应，那种思考无穷的东西换不来饭吃，可能有那么一两个这样的基因都被自然选择抹掉了，但在现在的生活条件下会不会再现呢？谁知道呢，未来无限可能。好了，前面的尾巴收拾掉了，来谈谈我们现有的认知水平。我们的认识如果真如柏拉图所言是看到一个个完美理型的影子的话就会有个问题：何为完美？几何或许给了我们一些答案，到同一点距离相同点的轨迹所构成的圆？平行的两条线？等边三角形？或是物理上的光速与绝对零度？不知道。这是个纯主观的东西，让盲人去想象彩虹是不现实的，让别人去接受你的完美也很困难。但每个人都可以构建自己的完美，这就是亚里士多德的观点：归纳与演绎。我们认识世界本质上是一种抽象提取特征的过程，我们不需要知道太多的细节，把握特征就可以整理思路，归类事物，也就是说我们的唯一性建立在抽象的基础上，而抽象过程不会是随机的，其目的性可能就是实用或者说可交流。事实上，知识的认可要比其本身更有意义，那要保证每个人都认可你的认识，我们要拥有同一套密码本，那就是所谓的知识。这些知识的产生过程既要不依赖于人而存在又要可保证可被交流，这如何实现？这问题可能我们自己永远答不上来，我们的大脑进化到今天本身就回答了这个问题，至于这是怎样的一个过程，我们能做的就只有像寻找背景辐射那样搜寻我们认识事物共通的一些线索。在这里从维度角度上看，我想讨论的是维度的降低过程。当两个相互陌生的人看到一块石头，他们如何就这个石头进行交流呢？首先得告诉对方看到了什么，这里语言就为我们提供了便利，一些既定的概念就可以用来交流，那么这些概念如何抽象出来的呢？我们的感官可能是罪魁祸首，例如颜色、质地、重量、口味、气味……通过一些感官上的综合我们可以形成一个特征谱，而这个特征谱可能是唯一的，因此为了交流我们会对特征谱进行模糊化，保留我们所认为最根本的特征来传递这个信息，这个过程就是一个降维的过程。而当要描述物体的唯一性时也很简单，将维度升上去，加几个区别的特性就好。有了抽象我们可以归类物体，有了具象我们可以区别物体，这也许就是交流的起点。上篇文章实际只是说了具象的过程，今天的主角是抽象过程。所谓因子分析的东西就是这样一个抽象工具。但其实真正熟悉因子分析的人可能察觉到我在这里用因子分析不太合适，因为因子分析是从显性变量中提取隐性变量的过程，而且它能不能降维还取决于变量是否独立之类的假设。的确，如果变量间独立那就谈不上降维而仅仅是个信息处理能力的问题了，但所谓变量独立这种事在现实世界恐怕并不多见，而这也是抽象过程的一部分前提。当然，其实面对因子分析更麻烦的地方在与其与主成分分析经常混在一起讨论，这里就不涉及这两种过程了，但值得明确的是主成分分析属于一种描述性统计，属于让数据自己说话而因子分析则事先有自己的一个假设来进行验证，具体区别可参考wiki上的解释： The differences between principal components analysis and factor analysis are further illustrated by Suhr (2009): PCA results in principal components that account for a maximal amount of variance for observed variables; FA account for common variance in the data. PCA inserts ones on the diagonals of the correlation matrix; FA adjusts the diagonals of the correlation matrix with the unique factors. PCA minimizes the sum of squared perpendicular distance to the component axis; FA estimates factors which influence responses on observed variables. The component scores in PCA represent a linear combination of the observed variables weighted by eigenvectors; the observed variables in FA are linear combinations of the underlying and unique factors. In PCA, the components yielded are uninterpretable, i.e. they do not represent underlying ‘constructs’; in FA, the underlying constructs can be labeled and readily interpreted, given an accurate model specification. 其实关于因子分析再深了我也讲不了了，只是说这是一种统计学工具，而这种工具在我看来是很有说服力的，同时我也认为统计学工具对于了解世界认识世界是极为关键的，至少这种工具可以让我们从纯粹的自然选择中逃离出来一探自我与所谓完美的东西。但所谓统计似乎也逃不出先验东西的存在，而且似乎正是有了先验的东西统计学变的更实用了，下一篇从因子分析到垃圾邮件就会讨论这个问题以及解决因子分析这个尾巴，至于时间吗，可能遥遥无期吧^.^; 个人分类: 生活点滴|8678 次阅读|11 个评论

男人or女人？这样游戏学数学分析，可不可以？: 热度 1 jinkai719 2011-12-15 04:44; 夜读辛欣的《数学分析八讲》，和前几天读《复分析可视化》，有点小发现，哈哈。。。。。现在趁着夜深人静的时候，写一下啊，哈哈《复分析，可视化》为什么得到很多人的推崇，我在京东买书，还没有发现书这么快得买完的，畅销啊! 其实，几何化的数学，是违背了数学的不需要直觉的本质的，所以大多数书都是不肯这样用图表示的，除了几何书的，我们看到很多的中文的数学书，竟是公式和数字，没有图的，其实知道的人是不会怪罪的，这是数学的哲学和精神的本质的。但是，作者违背了这个公理，却得到了推崇，why？《道德经》说的那样，空也是有用的？所以，我也准备写一下我的思考，其实是数学是游戏，这是波利亚告诉我的。那我们一起开始这个游戏吧！数学分析，最开始要讲如何构建实数统的，其中无理数的构建是非常的逻辑的，明白的说就是用一把刀，切割绳子，如果绳子都有头，那就是有理数，反之那么就是无理数，怎么没有头，自己想吧！反正我是知道的，哈哈，小卖弄一下。。。我觉得无理数的建立，需要建立在集合的角度上，根据数学抽象的原理，a可以是1，也可以是π，也可以是i，为什么不能是男人和女人呢？当然可以。。。。来我们的游戏，就是一堆男人和一堆女人，中间可能有太监（小时候一直有个问题困扰我，太监怎么上厕所呢？）太监你不知道，都张的跟男人一样，很隐蔽的，这跟无理数的形状很像，你没有办法用一个比例来表达，哈哈，我们怎么描绘太监，很难，说是男人，肯定不是，说是女人，也不是，其实我说的是太监就是无理数。。。。无法表达，在把男人和女人放在一起，我们都知道，如果说他们全是男人，或者全是女人，我们就好办了，这是一群男人，那是一群女人，男人和女人在一起，我们就不得不说这是群，男人和女人的集合，要是不小心有太监混进去了，完了，我们迷惑了，那是无理的，我们无法描述我们的惊讶，这是什么集合，我们还找不到谁是太监，完了，我们只能是郁闷了，不要紧的，我们统称男人和女人，还有太监，我们说都是人，如果变性的人，我们不反对的，这是自由，不许说别人的坏话，金凯！我只是用来表示一下。不好意思，如果有冒犯的话，请找。。。。。。一堆男人和女人结婚了也就是结合了，我们把结果加起来得到了统计，结果还是男人和女人，但是都不会有别的什么高级生物生出现的，所以说我们建立了一个变化的包括所有的东西，但是我们不加上太监，因为那是后天的，对于我们只要求对于这个男人加女人过程，我们是得不出太监，我们排出生出太监的可能性，这个太令人难过了。这个说的就是代数统的。。。。要是太监的话，那就复杂了，我们说超出了我们代数的范围，因为不符合我们男人加上女人的公式。无理数的表达，是通过有理数的逼近的，也就是极限的计算的，要有左极限，右极限的，那么对于我们就简单了，男人是左边，女人是右边，中间是太监，；太监是男人？还是女人？都像，都不像，那个更像，那个就是呗，我们用男人和女人逼近这个太监。。。。在单纯的男人集合中，我们找到了老年的，年轻的，还假设我们的一堆中男人里什么时间段的都有，我们找来所有年龄的男人，（当然，遇到很较真的人，我要每天的，可以我给你，我要每秒的，我给你，我要更小时间段的，我可以，我把一个男人的一辈子的丛生到死的过程拍出来，时间在这里可能无法再分了，）我们刻画了一个连续的过程，在这个几何中我们刻画了一个单调的曾的岁数的过程，只是一个单调序列，这是分析中的原理。在一个男人的一生，我们去划分时间段，一直划分，从30到40岁，到从现在到另一秒，我们不能否定的是他还是他，可能他不知道他自己已经变化了，我们也不给他指出，但是我们还叫他做他，（他的名字没有变）。。。。这个是区间套引理和最小不变原理。好了，讲完，这个了数学分析的关键：实数和一些重要的引理，还有一个极限的分析关键的计算，好像还介绍了四则运算的加法，男人加男人还是男人，我们还可以引申出无关和线性相关，例如一个男人肯定是一个男人加一个女人生出来的，这个不太好阐述，反正有分解的味道，你自己想想。。。。。好了，开始讲什么是函数，我们知道解析的三角，对数，指数的，还有幂函数，这些初等的函数，这些是函数，没有错，那人是由男人和女人，还有太监组成的，我也在说一个函数，这个是函数，当然是，可以有对应的啊，如果你同意我的看法，那你理解了现代函数的概念，不要再说函数只是一一对应的，要不太监怎么回事？好了，基本的思想讲述完了，你可以不要男人和女人的比方，你还可以用苹果和李子，什么都可以，但是要注意的事情的是开心，数学是开心的，只要学的不开心了，兄弟，你学错了数学，那不是数学，那是？？？？，我不说你懂得。最后还有介绍一下，积分和微分的关系，他们是构成微积分的基石，我们要说，他们不过是我们研究函数或者是变化的方式，积分是什么呢？整体的站在讲台上看函数，微分就是你也和讲台下，在人的集合中看看这个是男人，这个是女人，那个太监，怎么看，你自己想想，我就不说了。其实微分是局部的，细细的看，可以是放大镜，可以是显微镜，你用电子显微镜这样波长短的，我也无话可说，哈哈，积分和微分的转化只不过是整体和局部的不同的方式，但是我们研究的都还是变化，千万不要说我说了微分方程，你就不会转化积分。。。。。基本的思想和灵魂都写了。。。。。; 3609 次阅读|2 个评论

右连续定理: 热度 4 Babituo 2011-11-11 08:22; 对任何一个整数都能在左侧找到一个有理数数与之相等，而不能在右侧找到一个有理数与之相等。证明： 0.1...(1循环) = 1/9 0.2...(2循环) = 2/9 0.3...(3循环) = 3/9 0.4...(4循环) = 4/9 0.5...(5循环) = 5/9 0.6...(6循环) = 6/9 0.7...(7循环) = 7/9 0.8...(8循环) = 8/9 0.9...(9循环) = 9/9 = 1 可以从1的左侧向右方向找到一个等于1的有理数。但找不到一个从1的右侧向左方向等于1的有理数。推论：有理数对实数是右连续而非左连续的。即：任何一个有理数有一个从左侧向右等于它的实数，但没有从右侧向左等于它的实数。证明略。所以，在跨数（跨越2种数类）之间的数，存在右连续，不存在左连续（左右为连续的朝向）。更正：推论应该是:有理数是右连续的，不是左连续的。不需要跨实数。即：任何一个有限小数，总会等于左侧的一个无限9循环小数，而找不到右侧对称的那个小数。去掉了标题中原有“跨数”二字，即原标题是“跨数右连续”定理，“跨数”是不必要的约束。这意味着什么啊！！！？不可逆，时间之矢，的联想自然引发。经过三位专业老师的指点，我认识到“右连续”只是一个“错觉”，是因为表达缺陷造成的错觉。从直观上来说，任何一个有限小数，应该能对称地从大小两个方向，找到无限趋近这个数的数。 “右连续”的错觉，来源于无法用现有的数制表示方法直接表示从左侧某个数的数，而必须用表达式或新定义的表示法来表示。问题似乎得到解决。新的问题却出现了:就是极限的概念是否受到了挑战？！！！从直观上似乎可以说： 0.99999~~的极限是1.而且，如果我们要列举极限是1的一个变量的取值规律时，最容易想到的就是0.9999~~~不断循环下去的变量。当这个变量取到一个足够接近1的数值时，总是还可以再取一个在这个值和1之间的新数值，使得变量的取值更接近1.只要将9不断循环下去，变量就趋近1了。可是，如果变量的取值取到就是0.9999~~时，我们就不能再找到1个中间数介于0.9999~~和1之间了。因为0.999999~~已经直接就等于1了。所以，要寻找无限接近1的方法，就等于寻找无限接近（0.999999~~）或（2-0.999999~~）的方法。有这样的方法吗？无限接近1的方法是：不断地增加0.99999...之后9的个数。实际是不可能到达“无穷多个9”的状态的，所以，才有“无限接近”总可以实施，否则，就不存在“无限接近”可操作。但理想的“0.99999...无穷多个9的状态”是可虚在的，1只是这个虚在所对应的实在。或者说，“1”本身就是0.9999~~~在高层次的定义。 “无穷小量”也因此得以虚在，无穷小，不是停留在小到取某个数的状态，而是“总可以小下去”的状态，即：0.0000...1，在中间有无穷个0，就是无穷小，无穷小，也是一个理想常数，不可能有实际取值状态出现，否则，就没有“无穷”可操作。问题彻底解决。谢谢各位老师指导。; 个人分类: 信息探索|6376 次阅读|29 个评论

物理学原来可以这样“咬”的: 热度 1 kejidaobao 2011-7-13 10:48; 文/林绍韩乍一看到《物理学咬文嚼字》这个书名，颇有些吃惊，很难想象作者如何对物理学字斟句酌。抠字眼，讲精度？中国古典文学中的诗词歌赋，充满了对字句的过分斟酌，这是中国文化的传统。物理学是自然科学，它的概念及各种词汇是一种关于存在的客观认识的表述，来不得半点虚假和错位。作者一定是发现了这种可能的虚假和错位，才会从语言学的角度来一个“咬文嚼字”吧？怀着好奇心打开这本书，一读顿时让我眼前一亮。本书独辟蹊径，“正史共轶事一色，外语与中文齐飞”，从语言载体的变迁和演化中，寻根究底地探索物理学中各种概念和词汇的真谛。《物理学咬文嚼字》由30篇专栏文章经修补而成书。作者在开篇语中谈到：“就科学的严谨性而言，真理和谬误有时就像实数轴上的有理数和无理数，比邻而居；稍许的理解偏差就会造成是非颠倒的局面。而语言的灵活性与科学严谨性的不协调正是歧义产生的地方，是科学理解与科学传播的敌人。”可见，语言在科学传播中有着特殊的重要性。正因为此，作者在开篇的第一句用了孔子的一句名言：“……名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；……君子于其言，无所苟而已矣。” 语言是科学的社会普及载体，科普的过程就是语言对科学表述的过程。当语言携带着科学的思想、历史、人物、事件表达出它的概念和客观存在的认知，你还有不明白的吗！也就是说，准确的科学概念的产生，应是让不同的思维习惯与不同的语言表述习惯与科学的历史、人物和事件进行碰撞、融合、统一。该书让我获得了许多不同寻常的有关语言学和物理学的新知识。何谓物理学？按字典上的解释，物理学是研究大自然现象及规律的学问。详细一点说，物理学是关于物质和能量以及它们之间相互作用的科学。在该书作者看来，当谈论关于某事物（比如飞行）的物理时，它包括相关物质的物理性质、相互作用、其中的过程以及定律等。也可以说，物理学就是（达成）关于世界的数学意义上的理解。该书并不是一般意义上传统的科普读物，而是一本建立在对语言学和物理学深入研究、充分考证基础上，提出许多创新见解的著作。本文以书中“质量与质量的起源”、“熵非商——The Myth of Entropy”2个栏目举例分析。在“质量与质量的起源”中，作者用韩少功的“可见四海之内名理多异，不是一一对应的”作为引子，导出了中文的有关“质量”、“国家”、“人物”、“学术”等词组是个语义含混不清的组合。“质量”是指“质”还是“量”，“国家”是指“国”还是“家”，人物是指“人”还是“物”等等。然后讲到“质量”这个词在物理学的语境中具有举足轻重的地位，于是便展开了物理学和语言学中有关“质量与质量起源”演化的论证。从牛顿到爱因斯坦，从mole到mass……作者表明：“当我试图对质量这个物理词写点真实的东西时，我感到特别沮丧，因为我根本不懂这个词的内涵。因此，我只能罗列几条我所知道的可能是关于质量的比较重要的认识，聊以塞责。”由此，作者提出了有关“质量和质量起源”的5点创新意见。在“熵非商——The Myth of Entropy”中，作者对Entropy（熵）这个特殊的物理量的内涵和语言演化进行了探讨。作者从1854年克劳修斯引进的热力学体系的态函数用来表述热力学第二定律开始，讲到传入中国后熵概念的出现及熵与商的区别，追述到许多近代物理学家在“熵”研究中的卓越成就。如玻尔兹曼给出的熵的定量表述，普朗克提出的熵的数学式，熵作为热力学广延量必备性质所具有的可加性，直到吉布斯熵、香农信息熵等。作者鲜明地指出，普朗克虽然是世界知名的量子力学的创始人，但其一生献给了热力学。热力学并非如人们通常认为的是一门普通的物理学，它与近代量子力学和固体量子论关系密切，没有热力学的研究发展，就不会有今天的量子科学。作者对“熵与商”的咬文嚼字后，引出了大量的与热力学第二定律或熵有关的历史、事件、人物及其相关的数学模型，并加以追根究底，对考证给出了结论。然而，该书所录文章又非严格意义上的论文，因为它具有散文式的写作风格，偶尔也讲点故事、笑话、名言名句，图文并茂，让抽象思维与形象思维融为一体，以达到说理的目的。作者在举出了一些较著名的“虚假”物理学事件之后提出：学物理的人，在学习的过程中应该多加些思考，不是“不可尽信书”，而是要努力培养自己的辨别能力，所谓“常将双眼秋水洗，一生不受古人欺。”留在物理学框架中的所有内容最终都需要被从实验上或逻辑上证实的，那些错误的、虚假的内容最终都会消失掉，韩愈《酬隹少府》所描述的“居然见真赝”式的颠倒黑白只是暂时性的，曹雪芹的“假作真时真亦假”说的是社会上“劣币驱逐良币”的无奈，在物理学上却不会，这大概是物理学迷人的地方。从这个意义上来说，如果能有机会成为真正的物理学家，多好！将深奥的物理学与灵活的语言学把握得如此通俗、晓畅，给人生动亲切之感。该书每篇文章虽然不长，却有尺幅千里之势，能让人们在文章中饱尝物理学和世界语言学中的丰硕成果。写到这里，我想起郑板桥手书的对联：“书从疑处翻成悟，文到穷时自有神。”有疑才有悟，穷时才有神，这正是作者著录此书时的精神写照。这种对科学“咬文嚼字”的精神，是一种科学探索的精神，也是一种科学创新的精神。科普作品的原创动力也应建立在这种精神基础之上。科普作家只有像科学家那样具有科学探索和科学的创新精神，才能出现大量优秀原创作品。; 个人分类: 栏目：科技纵横捭阖|3416 次阅读|1 个评论

把“除不尽的除法的答案”也当作一种数 —— “分数”的发明: 热度 2 readnet 2011-4-28 23:03; 碰到“没有答案的问题”，人类就创造出新数人类创造新数并不是从虚数开始，人类历来都是在碰到“没有答案的问题”时便将数的概念扩展，想出新种类的数来。事实上，“ 2 分之 1 ”和“ 2 的平方根”（ \squr{2} ）这一类数，也都是求解“没有答案的问题”的产物。在所有的数中，起源最早的是“自然数”。所谓自然数（ natural number ），是指诸如 1 个苹果、 2 只羊、 3 棵树……，在清点事物个数时所使用的那种数。世界四大文明（美索不达米亚文明、埃及文明、印度文明和中国文明）各自很早就有了自己的代表自然数的文字。 “ 2 ”是自然数，这并不意味着“ 2 ”本身是自然界中实际存在的事物。自然界中实际存在的是“ 2 个苹果”、“ 2 只羊”……等等。古人看见诸如“ 2 个苹果”和“ 2 只羊”一类事物，发现了它们之间的共同点，于是在头脑中形成了“ 2 ”这个数的概念。两个自然数相加，必然是自然数，两个自然数相乘，也必然是自然数。但是，对两个自然数进行除法运算，有时候就会在自然数中找不到答案。例如，“ 6 ÷ 3 ”，答案“ 2 ”，这是个自然数，但是，同样是除法问题，“ 1 ÷ 3 ”，就没有自然数的答案。于是，古人针对“ 1 ÷ 3 ”这样的问题，给它的答案取名“ 3 分之 1 ”，把这种答案也当作数来处理。这就是“分数”（ fraction ）的发明。自然数、连同自然数派生出来的分数，合起来叫做（正）“有理数”（ rational number ） . 使用有理数，人类不仅可以几点物品的“个数”，也可以对长度、重量、体积等“量”用数来表示了。小结分数和有理数世界 1. 古埃及的分数古埃及已经有了代表“ 2 分之 1 ”、“ 3 分之 1 ”一类分子为 1 的分数（单位分数）的象形文字（圣书体）。例如，一个类似橄榄核的图形，下面放 2 个点代表“ 1/2 ”、放 3 个点代表“ 1/3 ”、放 4 个点代表“ 1/4 ”。分子不为 1 的分数（如 4 分之 3 ）则书写成单位分数之和的形式。而且，除了这类代表单位分数的圣书体字符，还有其他的圣书体字符也可以用来表示分数，如“霍鲁斯的眼睛”的字符组中的字符（“霍鲁斯”是古埃及的太阳神）。 2. 毕达哥拉斯和有理数公元前 6 世纪，在意大利南部城市克罗托内有一个以毕达哥拉斯为首的既是学派又是教派的群体，有数百人之多。毕达哥拉斯及其弟子们相信，自然数和自然数之比（分数）囊括了数的全部。毕达哥拉斯学派的一种徽标“四元体” 。毕达哥拉斯学派认为 10 是一个完美数，可以表示为 1 — 4 这四个连续自然数之和，而且，代表着四个自然数的那些点正好排列成一个正三角形：１　 ● ２　 ●　● ３　 ●　●　● ４　 ●　●　●　● 　　１＋２＋３＋４＝１０毕达哥拉斯音阶毕达哥拉斯认为，多根琴弦奏出和弦，各琴弦长度之间的关系必定恰好是自然数之比（毕达哥拉斯音阶）。这是他和他的学派特别重视自然数之比（有理数）的原因之一。琴弦长度比：　 4/3 ∶ 1 ∶ 3/4 ∶ 2/3 ∶ 1/2 ∶ 1/3 3. 循环小数轮盘把有理数 1/7 、 1/17 、 1/61 分别写为小数，得到的都是“循环小数”。 1/7 的循环部分有 6 位； 1/17 的循环部分有 16 位； 1/61 的循环部分有 60 位。分别把各自的循环部分按顺时针方向排列起来，形成一个轮盘的样子，作为例子给出的这 3 个循环小数轮盘两侧任何正对的两个数字相加，正好都等于 9 。有理数的条件能够被表示为“分母和分子都是自然数的分数”的数，叫做正有理数。如果分子不能被分母除尽，则分两种情况：“能够在小数点后某处终止的小数”（如， 1/4=0.25 ）和“在小数点后有一组数字无限循环的小数”（如 1/3=0.333333 …）。前者叫做有限小数，后者叫做循环小数。循环小数全都能够改写为分数的形式。例如 0.123123123 …，就是以循环部分“ 123 ”为分子，以相同位数并列的“ 9 ”（ 999 ）为分母的分数，即可以改写为 123/999 。扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数”; 个人分类: 科学八卦|7954 次阅读|1 个评论

说课（2）--实变函数: 热度 8 gfcao 2011-3-3 17:06; 域的概念对学生来说并不陌生，“抽象代数”课程中早讲过了，什么有理数域、实数域等名词也随处可见，可如果细纠起来，问一声问什么，有多少学生能回答？又有多少老师能说清楚？代数通常不管具体的对象，人为地在一个给定的集合中定义某种运算并规定这种运算满足某种规则，就像游戏一样，集合的元素之间不能“胡搞”，这些规则也大多从数的运算法则类比过来，满足这些规则，就给这个带运算的集合取个特殊的名字，群、环、域等概念便由此而来。这里不是讲抽象代数，所以不打算花时间在如何讲授这些概念上纠缠。由于实变函数课程中集合间运算属于家常便饭，什么笛摩根法则、集合序列的极限等都与集合的运算有关，这里不仅涉及有限个集合的运算，还涉及无限多个集合的运算，这些集合经过了无限次的运算后变成了什么？还是我们认识的那个集合么？这是进一步研究相关问题之前必须搞清楚的问题，通俗地说，你对这些集合进行了某种运算之后，如果变成了你不再“熟悉”的东西，你会像古希腊人遇到根号 2 一样以为遇到了魔鬼。实变函数的基本研究对象是可测函数，而可测函数是建立在集合的可测性基础之上的，换句话说，是通过与函数有关的集合的可测性来定义可测函数的。两个可测函数经过了四则运算后还可测否？这个问题需要转换为相应的集合的可测性来讨论，而这些集合正是若干个甚至无穷多个可测集经过了交、并、差运算后得来的，显而易见，如果这些经过运算之后的集合不再可测了，经过四则运算后的函数自然就不可测了，这就是说，如果可测集经过集合的运算后不再可测，那么就不能对函数做四则运算，这可糟糕了，基本问题都无法解决，还如何把研究进行下去？这正是在讨论函数的可测性及相关性质之前首先要讨论可测集的性质之原因所在。最理想的结果是可测集不会因为集合的运算而变得不再可测，简单地说，可测集关于集合的运算是“封闭”的，这就是所谓的域与 σ - 域。讲清楚这个概念的来龙去脉，学生对域与 σ - 域就不再感到神秘了。至于如何科学、合理地定义这些概念就是个细节问题了，相信稍有经验的老师都能做好。集合论中最抽象的一个概念也许是“势”（或“基数”），简而言之就是一个集合含多少个元素，你可能会哑然失笑，这就算抽象？谁不会数数？那你能回答几个问题吗？自然数集合与有理数集合之间谁含的元素更多？有理数集合与实数集合之间谁含的元素更多？如果你初通集合论，这两个问题对你显然是小儿科，如果你的集合论知识仅限于中学及微积分中的那些关于集合的简单概念与运算，估计你在这两个问题上会犯常识性的错误，学生亦然。如果你回答：“实数集合比有理数集合所含元素更多”，我会学王小丫：“恭喜你，答对了”，如果你回答：“有理数集合比自然数集合所含元素更多”，我会很沮丧地告诉你：“很不幸，你犯了个低级错误”。接着，我会问你：“你根据什么判断有理数比自然数多？又是根据什么判断实数比有理数多？”估计你会回答：“因为有理数中除了自然数，还有分数、负整数等，实数集合中除了有理数还有无理数”，相信你会回答得理直气壮，虽然你想当然的回答得了 50 分，可那纯属运气，碰巧答对了一半。也许你不服我给你的评分，甚至还想举报我，说我对你有成见，胡乱评分，稍安勿躁，且听我慢慢道来。我们是怎么计算有限集合中所含元素的多少的？一个一个数就行了，可如果你不识数呢？举个例子，请你想个办法判断两个班级中哪个班人数更多，但不许数人头，因为假定了你是不识数的，你有办法吗？如果你当初在中学学习集合间的映射时真的理解了映射的本质，估计你不难回答：“两个班级一次各出一个同学，看最后哪个班还剩下同学，这个班人数就多一些”，善哉，有慧根。再来回顾我们是如何数数的，我们在数一个班有多少人时并不注意谁是谁，而是默念 1 、 2 、 3 、 4… ，这意味着什么？我们无意中将班级中的人与自然数一个一个对应了起来，用抽象的数代替了具体的人，可见抽象的“数”是多么的伟大。把这些方法归纳起来，我们可以这么说，如果在两个集合之间能够建立一个一一对应关系，那我们就可以说，这两个集合含一样多的元素。可能还有人似懂非懂，慷慨激昂地反驳我：“我说自然数比有理数少也没错啊，我将自然数集中的“ 1 ”对应到有理数集中的的“ 1 ”，“ 2 ”对应到“ 2 ”，如此类推，最后还有有理数中的分数、负整数在自然数集中找不到对应啊？”听起来很有道理，可如果我问你：“你做的只是一种对应关系，你怎知除了你说的这种对应方法就没有别的对应方法？又怎么知道没有一种对应方法能够将自然数对遍有理数中所有元素？”这下哑口无言了吧？那就继续听我剖析你的错误吧。我们之所以想当然地认为有理数比自然数多，其根源在于我们的思维依然局限在对有限数的认识上，是对有限数认知的惯性导致了我们犯了上述错误，事实上，对两个有限集来说，无论你怎么造一对一的对应关系，只要不能把两个集合中的元素取遍，他们的元素就一定不一样多，反之亦然。无限集依然如此吗？我们来看一看两个简单的无限集：“正整数”集合与“正偶数”集合，看起来似乎前者比后者所含的元素多，但不能想当然，我们除了想当然的对应关系之外，还可以这样来构造对应关系： 1 → 2, 2 → 4 ， … ， k → 2k ， … 。不难看出，任何正偶数都可以在正整数集合中找到一个“原像”，任何正整数也都对应到一个正偶数，显然这是个一一对应，如何？你还认为两者的元素不一样多吗？有了上述分析，“势”的概念该如何定义就无需详细赘述了。在讲清楚“势”的概念之后，老师有必要进一步向学生讲清楚有限集的“数”与无限集的“势”之异同，即把有限集与无限集的本质特征挖掘出来。对“势”的概念理解上应该不会有太大困难，但“势”之复杂远非“数”可比拟，有些问题迄今悬而未决，老师可以乘势拓展一下，介绍一下相关的历史与未解决问题，如在讲授伯恩斯坦定理时顺便说一说“势”的比较问题。; 个人分类: 教育点滴|11620 次阅读|18 个评论

关于代数数域的问题: 热度 2 guoyangmath 2011-1-20 22:37; 有理数域上的一元多项式环全体复根的集合构成代数数域，全体根的集合就是所有代数数，而代数数对加减乘除运算是封闭的。对吗？; 4548 次阅读|3 个评论

有理数多还是无理数多？: thermophysic 2009-9-4 11:14; 前些日子，跟一个同学讨论了一下无理数，以及究竟是有理数多还是无理数多的问题。当然啦，纯属比较无聊酒后闲聊。归纳起来，有以下 2 点弄不明白，值得写下来，首先，有理数和无理数都是无穷多，都数不完，怎么比较多少呢？其次，直线上面任意两个有理数中间有无理数，任意两个无理数中间有有理数，在其中任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎无非只有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一个，也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。形象一点，若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能：或男女生一样多或男生多一个或女生多一个，也就是说在任一片段中男女生个数至多相差一个。第二天，同学去请教他的老板去了，据称他的老板是留美数学博士，当然啦，被老板批评了一顿，不好好工作，整天琢磨着这些没用的东西！老板就是老板啊！我的老师就不一样了，拿出来一本《实变函数》，语重心长的说，看来当初你们没有学好啊（我上大学时选修过数学分析）。事实上，有理数比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。即无理数居然与实数一样多，证明嘛，自己去看书啦。这就是似是而非。另外还有一个似非而是，有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，但事实是自然数与有理数一样多！学海无涯啊！; 个人分类: 未分类|16171 次阅读|6 个评论

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