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小学数学课外活动：致亲子教育实践者
热度 1 arithwsun 2013-8-15 17:57
小学数学课外活动：致在家上学/亲子教育实践者 王永晖 这是我们几位家长办的，下学期我们会开始上小学数学课外活动，从小学三年级起步，目前有4位会员，尚余2位名额。 请看博客 http://blog.sina.com.cn/linglongtajiaoyu 现在我们的工作坊已经进行一年，相对稳定，在同等条件的情况下，我自己是更愿意招收在家上学的孩子，年龄最好是下学期上小学三年级或小学四年级（学力水平）。 最近也接触了几位在家上学实践者，刚去大理旅游了两周，再过一周回北京，所以趁这个闲暇，这里说一下： 我们期望的是真正的在家上学者，即： 1. 家长关注亲子教育，而不是把教育孩子的责任，或者推给学校，或者推给商业性培训机构。 2. 家长注重自我学习和自我成长，因而才有能力进行在家上学。 所以，有些家长可能在形式上是把孩子接回家里，但因为种种原因，可能进行的并不是真正的在家上学。 那就不在我们的优先考虑范围了。 有些家长比较慎重，虽然心向往在家上学，但是因为顾虑自己没有这个能力，利弊得失之间，还是让孩子上学校，但是学校之余，还是做了大量的亲子教育活动。 这样的家庭，其实是符合在家上学的精神实质的，所以，我们看重的不是形式，而是实质。 另外要说一句的是，在联系我们之前，最好仔细看一下我们的博客，如果为了孩子，为了自己孩子的教育，以及他的友伴， 家长在联系前连这些阅读准备工作都不做，不知道我们的工作坊的特性，这样的家长就不在我们考虑范围内了。 这样做也有个好处，阅读清楚，也免得浪费彼此的时间 http://blog.sina.com.cn/linglongtajiaoyu 附记1. 我们的工作坊虽然已经运行一年，但是数学课却还是第一次开始，具有实验性质，如果已经从小学一年级就开始上社会上那种奥数班的，可能就不太适合到我们这儿来了，可能会觉得我们讲的太简单了。 我们的课程节奏，也会跟商业性培训机构的奥数班有很大区别，我们很可能一个学期，也就教会孩子几道题，这个速度，是根据的我本人的学习科研生涯的经验，也是根据我们工作坊私下里的幼小数学教育的经验。这些话要在事前说明，总之，家长感兴趣的，请仔细阅读我们以前的教学记录，免得浪费彼此的时间。 附记2. 这里解释一下是标题中“办”的含义，第一点，确实是由我主持，而不是再找我的学生或其他老师担纲；第二点，上台讲的不一定是我，而是学生，我们要做的就是让孩子们讲起来，老师在下面提问和引导，只有在因为孩子讲不下去的时候，我才会上台补阵。如果觉得自己的孩子，缺乏这种上台讲数学的能力，或者觉得这种能力不重要，就肯定不满足我们目标家长的必要条件了。
个人分类: Book-W|4408 次阅读|1 个评论
两碗鸡汤引发的小学数学教学：云南散记
热度 4 arithwsun 2013-8-8 19:55
http://blog.sina.com.cn/s/blog_afb46a470101ejxo.html ​云南散记 20130808 王永晖 云南旅游，我们中午在大理龙龛村吃农家饭，土鸡汤，一只鸡4斤重，我们刚开始害怕吃不完，因为只有两个大人两个孩子。没想到鸡汤鲜美，材料真实，孩子们抢着喝汤，一向擅战的毛头喝了4碗汤，丁丁喝了3碗，快没汤的时候，就有了公平分配的问题了。 我就问，如果还剩两碗汤，应该怎么分啊？我和毛头各一碗吧，毛头说，对。 或者，那我和丁丁各一碗吧。我接着话茬说，毛头回应，大怒，不对。 现在，我们开始了一个数学问题，我问毛头，那么对的分配方式有几种？ 毛头稍微想了一下，立刻说，3种。 正确。我接着问，不能光是你对的啊，如果所有可能的分配方式有几种？ 毛头试过两次错误的答案后，期间，丁丁也明白了对的方式有3种，也说过几次错误的所有可能的答案。毛头很快想到，所有可能的方案是6种。 这是我们那个年代高中数学的排列组合问题，所以并不简单，数学上的答案是C_4^2. 我们不准毛头说出他的方法，因为丁丁还没想出来，需要自己想清楚。丁丁的答案是12种，因为每个人的方式是3种，4个人就是12种，丁丁的算法中有重复的部分。 吃完饭，去苍山号游艇游了洱海之后，回来的路上，我悄悄问毛头的算法，他的解释非常清楚（下面我的语言有修饰，为了文章连贯之义，但意思是一样的，非我自己增画）。 他和其他三人配对，各形成三种方式。 然后是没有他，只有另外三个人，丁丁和爸爸妈妈配对，各形成两种方式，然后是没有丁丁，爸爸妈妈形成一种方式。 毛头的反映很快，这就是数学直觉，能一眼看到最终答案的能力。 毛头的智商，绝对是够的，智商高的人，是不是就爱发愁，老爱担心。这趟云南之旅，毛头担心的事情很多，都是各种小事，今天坐船旅游，中间上岛游览，也是担心回晚了，上不了船，因此连他一直耿耿于怀的冰淇淋都不吃了，本来到了船前，总可放心，旁边就有个冰柜摊，可是突然汽笛一响，把毛头惊得立刻跑上船舷，自然引得丁丁妈大笑哈哈。 我让毛头看着洱海对面的苍山，云气缭绕，景象非凡，再次教导他，生活上的小事，我们就不要去担心，不要去想，因为想了也没多大用，要把思考的力量放在数学上。这个大道理说出口，夫人就在旁边笑，毛头就连连说，知道知道，省得我再烦他。 这种意象很好，我有点像古代的私塾先生了。大道理，该说还是要说的，在生活中说，而不是什么国学热的背经背出来，经常熏，还是有用的。其实，我熏毛头的方法，现在是用来熏我的大学本科生的，同样的受教内容，时间的早晚，会有质的不同。 毛头爸爸，也是一个擅于熏孩子的爸爸，这次云南之旅，我们跟毛头朝夕相处，让我更加了解，看来，毛头爸爸的熏，跟我的熏，还是有所不同的，正好相互补充，古人有易子而教的说法。 人，只有把精神放开了，不担心，不在意生活小事，才有可能把精神用到有价值的事情上。现代社会有这么多高科技的机会，智商高的人，将比在古代更有用武之地。 孩子们回到北京后，将开始一个新的学期，我们对他们的武术训练的要求将提高，主要是要把时间量拉上去，五花炮从10分钟提高到至少30分钟。另外，还需要加上压腿、跳绳、踢腿，我问了毛头，平时跳绳不，没有那么我们下学期要加上。 云南坐出租车的时候，出租车大姐的孩子，今年12岁了身高也只有140多。毛头10岁，个子算低的，也有135cm。出租车大姐的孩子，5岁半就去练跆拳道，昆明的跆拳道训练，一次课2小时25元，这个孩子很喜欢跆拳道，曾获得过2011年昆明冠军和2012年亚军。 不过，这个孩子的身高，看来并没有因为学习跆拳道而提高。就我印象来看，篮球能有益于身高，就是因为有很多跳跃动作。 中国传统武术，有些门派的方法，孩子练了后，个子反而会低，魏巍老师跟我们解释，主要是压腿的方法不对，脚尖往回勾，芭蕾舞是脚尖往前伸。我们还要请教一下魏老师，武术课上，加入更多的跳跃运动，想办法促进孩子们的身高，尤其是毛头。 毛头的饭量惊人，但是不长个，看来精华都跑到长脑子上去了，所以，我们要让毛头不担心，不发愁，尤其是晚上就别担心事情了，精神回到身体。我们还要跟魏巍老师探索，让孩子晚上睡觉前，返气归元的办法，现在小孩子成天学习，跟古代已经有很大不同了，要讲究返气归元了。 前天，我们在陆军讲武堂的庭院里练五花炮，本来就想意思一下，但因为我们订了个新规矩，练多长时间五花炮，晚上回宾馆后就打多长时间的被子大战。丁丁很有兴致，决定练一个小时，也真练了一个小时。毛头打到26分钟的时候，就不愿意打，停下来了。 丁丁一直坚持，也不管毛头，中间有一次游说毛头接着打，没成功。 毛头说，我的脚疼了。我告诉毛头和丁丁，我们打五花炮，不是为了把脚打疼，而是要把自己打舒服，你打疼了，说明你没打对，下次要琢磨着怎样把自己打舒服了。 孩子们从小就有这种“找劲”的意识，就练的不仅仅是武术的外形，实际上，他们的外形，很不标准，很不规范，跟网络视频和表演赛上的完全不能相比，这也是他们学武术将近两年了，主要是我们采取了道法自然的教育理念，在武术中也采用“不强迫、不急燥”的现代精神，所以，练的不是一个东西。 丁丁的性格，很让妈妈头疼，因为有我对丁丁的撑腰，有对妈妈情绪的化解，所以还能保持一份童真，照着他自己的本来性格而活，趣味盎然。他兴致上来，有一次大冬天的晚上，要求走路到家不坐车，。。。，肯定都是非常好的事，值得支持，今天游艇结束，走在乡村回宾馆的路上，突然下起小暴雨，丁丁坚决不打伞，要在雨中走回去，边走，边唱点歌，边跳点举手舞。 夫人很担心，往常早就要开始控制了，我把道理早已讲明白，她也知道，但生活中真要面临的时候，她还要醒醒神，其实问题很简单，我们回宾馆后马上就可以洗澡，夏天淋点雨，挺好。 中国孩子，如果被家长管得这么死，然后再讲学习的创造性，那不是缘木求鱼吗。旅游的路上，看到一些场景，说明计划生育的政策，对养育态度还是有很大的影响，就一个孩子，就特别害怕伤着，彝族的秋千很高，惹得孩子们喜欢，有个孩子站上去晃，那个妈妈就远远跑过来骂孩子，让他坐下。 数学教育，不仅仅是数学内容，也包括人身的性格，什么样的性格适合做数学，为此，我们家长又需要怎样地容忍那些有禀赋的孩子，中国人口那么大，天才肯定挺多，但很可能，小小的时候，就在性格上给抹杀了，收不到那份宽容和那份支持。 当然，我们这两个孩子，还谈不上天才，跟陶哲轩那种童年天才比，远远谈不上，但是，我们也要尊重他们的性格，引导之，宽容之。 丁丁这次在路上的时候，出现了点洁癖症状，让妈妈又升起了一个新的难受点。其实，智力高的人才容易出现洁癖，数学家，是这个世界上追求精神上的洁癖程度最高的一类人群。 数学之所以有意义，就在于此，满足了那些精神上追求洁癖的人，给他们提供了一个融合社会的发挥场地，这个场地太好了，人类经过上万年上千年的文明历程，找到它，并不容易。 所以，孩子出现了洁癖，是一个很好的教育启发点，如果不加擅用，胡乱担心，说不定就会适可而反，让孩子产生真正的心理问题。如果这样的中国家长太多，那么我们中国的孩子，天才当不成，反倒多一些心理压抑、心理失衡，岂不哀哉。 道法自然，是永恒的真理，做到没做到，要检查自己，家长们，不能嘴上是新/理想化的一套，手上还是旧/压迫的一套。 附注. http://www.mysanco.com/wenda/index.php?class=discussaction=question_itemquestionid=5845 丘成桐演讲“数学与生活” 《光明日报》（2013年08月05日05 版） 这两个例子表明，每个人在生活中都会遇到困难。但个人的能力和性格会造成截然不同的结果。我们如何克服困难是一个很重要的挑战。坚持不懈对于研究来说是非常重要的，但最重要的还是能从所做的事情中获得欢愉和成就感。我在上面提到的那个学生在他研究生涯的最后阶段时告诉我：他对研究已经逐渐失去了兴趣。我想这就是这两位数学家之间最主要的区别，遗憾的是，他们的人生也是截然不同的。不过，我还是希望我那位学生振作起来，前途还是光明的。 另一方面，我也见到很多早熟的年轻人，一早成名， 却往往一念之差而开始沉沦。 从这个故事来看，过早成名往往需要更严格的自律。 来自同行的竞争压力，无知家长和有野心学长的期望， 可以毁掉一个年轻人的光明前途。 中国家长都望子成龙，却常常没有顾及孩子成长时，除了学业和道德的教诲外，还需要有良好的伴侣，并得到年轻人应有的乐趣。 所以我总想奉劝家长们，在教导小孩时，不宜操之过急。让孩子们多交一些益友，让他们知道生命的乐趣。
个人分类: Book-W|3718 次阅读|4 个评论
小孩子的数学直觉：减法案例
热度 1 arithwsun 2013-6-29 21:34
小孩子的数学直觉：减法案例 很多家长不相信孩子具有足够的、非常好的数学直觉。 月月是个7岁女孩，马上会上一年级，但知识水平相当于小学二年级。她的减法方法是这样的， 15-6=10+5-6=10-（6-5） 月月是不列算式，脑子里直接出6-5=1，再出10-1=9，这样就被她妈妈不理解，不明白月月怎么算的，每次还都能算对，据说纠正成正规算法花了好几天。 我儿子以前也有过这个历程 2012-04-05 儿子现在口算作业已经到了两位数，做减法的时候，他采取这样的策略，相当于算式，当然他自己是脑袋里想的，是没算式的，我这里为了成年人理解方便，用算式来解释 54-28={50+4-（24+4）}=50-24=26 56-18={50+6-（12+6）}=50-12=38 大括号的那一步，是他自己脑力里反应，不念出来的，直接念的是下一步。 这个方法是他自己想出来的，不是老师教的，这样他觉得就把题变简单会做了。 回首看，那是一年前的事了，今天，儿子还解决了一个问题，世界上最大的数是多少，这里我就不多说了 ，大家感兴趣的话，就请看我的教育记录帖子吧，搜一下“最大的数”。 http://www.douban.com/group/topic/19563748/?start=100post=ok#last 那么，我们回过头来重新体会孩子们的直觉，看来他们都是不习惯带退位的减法，而是用自己已知的推理来去解决新问题，所以他们这种精神是很可贵的，需要家长们保护，有些老师和家长们不理解，因为他们这样做，算得慢，若是横加指责，反而不对。 他们的思路都是， 1. 把问题转化为整位的减法，即50-24，10-1，之类。 2. 月月的转化方法，跟丁丁的稍有区别，月月利用了大数减小数的算法，而丁丁用的是加法来凑出要消掉的数。这些也都是他们已知的掌握的算法。 总之，他们把带退位的加法的问题，转化为已知的算法上的组合，这就是推理而不纯粹是计算了。我们工作坊的下一次是数学活动，就可以让孩子们讨论一下这个问题。
个人分类: Book-W|4710 次阅读|3 个评论
[转载]7 陈士才校长介绍宝应实小小学数学“学导式”教学模式1-13
ljkf 2013-1-7 09:57
7 陈士才校长介绍宝应实小小学数学 “ 学导式 ” 教学模式 1-13 2012 年 12 月 23 日至 25 日， “ 2012 年扬州教育科研论坛 ” 在扬州举办，作为 “ 小学数学学导式教学模式 ” 的倡导者，宝应实验小学校长、江苏省特级教师陈士才应邀参加了主题论坛活动。 　　 在 江苏省教育科学研究所原所长成尚荣主持 下 ，论坛就教学模式展开交流、讨论。陈士才校长介绍了宝应实小小学数学 “ 学导式 ” 教学模式研究的历程，阐述了自己对教学模式的理解，并与现场专家、老师进行互动交流，解答老师们提出的一些疑问，受到了成尚荣所长及各位嘉宾和老师的一致好评。小学数学 “ 学导式 ” 教学模式是在陈士才校长的带领下研究出的一种理想课堂的教学模式，该模式是江苏省教育科学 “ 十二五 ” 规划 2011 年度普教重点课题，并荣获 2012 年度扬州市基础教育教学成果一等奖。 　　随后，应陈士才校长的邀请，宝应实验小学集团泰山小学郝玉梅校长介绍了宝应实小语文 “ 一案四段 ” 教学模式。 　　本次活动由扬州市教育科学研究院主办，旨在全面落实扬州市 “ 教育质量科研推进年 ” 的工作目标，进一步关注课题教学，推进课堂教学改革。特级教师们的讲座及沙龙活动，给全市中小学校校长、教师、课题主持人等带来了理念上的进一步提升。
个人分类: 学导式创新教学|2196 次阅读|0 个评论
你如何用小学数学知识完美预测Weibo的有效用户数量
热度 3 yhu 2012-11-4 05:02
作为一搞点统计和物理的人，实在无法容忍当前各大网站对微博用户数量的夸大。利用小学数学老师 教 我们的加减乘除预测出了当前微博用户数量约为 5900 万 人。（孔雀一下，个人觉得这个结论堪称完美）。 先不说微博，来看一道小学生数学题吧. 如果能做出这道题，就能估计新浪有效微博用户数量了。 小明想估计一下自己池塘里鱼的数量，第一天他一网捕上10 0 条鱼做好标记，重新放回池塘，过了几天他又去捕捞，一网 捕上10 0 条，发现做标记的鱼有 10 条，你帮小明估算一下池塘里的鱼为多少 条？ 现在来看看一下微博实证数据 ( 没用用到的数据用-- 表示 ) ： 用户名 关注 粉丝 我关注的人是其粉丝的数量 预测值 本人 62 143 -- 姚晨 -- 25698623 20 79665731 宁财神 -- 3575053 4 55413322 潘石屹 -- 13044283 12 67395462 高晓松 -- 6256652 5 77582485 俞敏洪 -- 8305554 13 39611104 李开复 -- 17884389 27 41067856 马云 -- 6701955 5 83104242 史玉柱 -- 6441472 6 66561877 任志强 -- 11086422 17 40432833 平均值 ± 标准差 61203879±17650930 预测值等于 = 微博达人粉丝数量 乘以 你本人关注的人的数量 再除以 你关注的人是其粉丝的数量。 注意是你本人不是微博达人 以本人关注用户量（有点少，呵呵）和上面微博达人的粉丝数量为基准，新浪微博用户数量就给出来了。预测值还比较稳定，如下图。 如何去掉无效用户呢？在关注我 143 个用户中，大约有 5 个用户微博数量为 0. 如果我们把这些用户认为是无效用户的话，上面预测可以修正成 61203879 乘以（ 143-5 ）再除以 143= 59063883 ( 人 )
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我国小学数学课程教学中采用的思维方法必须尽快调整
热度 1 llpllp 2012-9-13 21:41
我国小学数学课程教学中采用的思维方法是最传统的思维方法（具体传统到什么程度不清楚），思维方法既不科学，又极其复杂。 小学的问题其主要思维是求值，这些问题基本上都是采用方程的思维即可解决，思维科学，简单。 由于受错误教学思想的束缚，部分教育专家认为传统思维可以培养学生复杂的思维（或曰思维能力），将简单事情复杂化，导致小学数学课程教学中一直采用传统的思维方法。 这一思维方法与中学和大学都不同，以致中学、大学数学教师都无法解决小学数学问题。 这一思维方法中学不需要，大学不需要，即学生花费大量时间学习了一个毫无用处的思维方法，浪费学生大量的时间，这是导致学生负担沉重的原因。 因此，希望教育部门正视我国小学数学课程教学中采用的不恰当的思维方法，尽快做出调整。 例 某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多 10 台，下午售出剩下的一半多 20 台，还剩 95 台，这个商场原来有洗衣机多少台？ 传统教学方法为：（ 95+20+10-10/2 ） /(1-1/2-1/2*1/2)=480 新思维教学方法为： 设原有 x 台，上午售出 1/2*x+10 台，下午售出 1/4*x-5+20 台， 利用等式：原有的 - 上午售出的 - 下午售出的 =95 用解方程思想很快求出。 显然，传统教学方法讲解困难，思维难度大，条理难以说清，以致大学教授和中学教师都不知道如何教学。而新思维教学方法与中学、大学思维方法相同，条理清楚，思维简单，讲解容易。
个人分类: 教育|309 次阅读|2 个评论
FM 小学数学概率题（3）一人决策与三人决策
wcybcn 2012-9-9 15:26
今天去逛了一下 达拉斯始建于1931年的Highland park village，感慨良多，内力全失的感觉真的不痛快，从头开始积累吧，不然还能怎么样。。。无奈。。。就像是暗黑破坏神3中新开了一个角色，即使经历过整个剧情，也得重新从打小怪练级开始。 题干： 对于某个项目的决策， 有两个决策组：A组 和B组。A组中只有一个成员A1， 他是专家，做出正确决策的概率为p; B组中有3个成员，B1和B2都是专家，做出正确决策的概率皆为p, 第三个成员B3最搞笑，他自己什么也不懂，但却有决策权，每次都掷硬币决定自己是赞同B1的还是B2的，最后B组的决策是得两票以上的方案。问： 哪个组最后做出正确决策的概率更大？ 这道题也是很简单的，小学生很快就可以给出答案： 下面对比一下A、B两个组分别做出正确决策的概率， A组： p ; B组： p*p + p*(1-p)*0.5+(1-p)p*0.5=p。 答案出来了，两个组做出正确决策的概率一样大。// 关于这道题，我再啰嗦几句废话， 1）很多诸如军事战场或商业策略一锤定音的博弈中，胜负跟双方决策高层的人数无关，所以后起之秀初出茅庐时有闪耀； 2）诸如B3这类角色在现实生活中很有代表意义且屡见不鲜，自己什么也不懂却有决策权，还会往往成为一个团队最后成败的关键，而如果没有他，可能连一个最终方案都拿不出来； 3）利益分配的体制问题，与既得利益集团为社会做出多少贡献没有必然联系。 4) 如果一名B3，自己有资金，想进入某新兴领域创业，却不懂相关专业，那么他要至少找到两个能与引领潮流的A1等价的专家才能与A公司匹敌。而如果A1是举世无双的俊杰，换句话说，知本家有了挑战资本家的底气，体现了社会阶层的流动性。
个人分类: 厚积薄发|326 次阅读|0 个评论
[转载]从哲学高度看小学数学（2）
热度 1 jxddroc 2012-2-28 13:10
从哲学高度看小学数学（2） （转载） 代数与算术的区别 那么现在，我再提一个问题。我们数学演进，这么一点点演进过来，从小学往上一点点演进，演进来演进去，你们会发现小学时候吧那个教材叫算术，算术主要介绍数，介绍加减乘除法，等介绍的差不多，然后开始上初中。上初中然后给你发一本书，这本书叫代数，那么什么叫代数？我们的数学要想不停留在具体问题上，你就必须解决这样一个问题（黑板上写字），必须解决通式问题！你要想解决通式问题呢，你就不能再停留在一个具体的数上，你比如说，最简单的东西，有这样一个长方形，长 5 米，宽 2 米，面积是多少呢？面积就等于 5*2=10 平米（在黑板上书写 “5*2=10 平米 ” ），那我又有一个长方形，它是 8 米和 2 米，那么就是 8*2 ，那么我要解决，任意一个矩形，也叫长方形，它的面积应该是什么呢，我就写成 a*b ， a 标明长， b 标明宽，就是你不管长宽是多少，都遵循这个关系，这就是个通式。 人类要解决一个通式问题，而不是停留在某一个具体关系上了，于是，这个时候就开始出现代数。 不是停留在具体什么东西上出现代数，你看代数呢，我们现在看，我们学代数的时候，学的顺序是什么？首先学整式，然后学分式，我们把整式和分式合起来称之曰代数式，是这样吧？在这里边我们常见到的运算，因式分解，在这里我们遇到这样一个东西，比如说， x+y 2 +x 3 +y 3 （在黑板上写 “x+y 2 +x 3 +y 3 ” ），假如给你这样一个东西，然后你说在计算当中要对他提取公因式，然后它就变成一个因式关系了，什么叫因式？因，就是乘的意思，就变成一个相乘的关系了，原来是相加减的关系，后来变成相乘的关系了，我们现实当中常进行这种计算。进行这种计算的目的是什么呢？也是要把同类的问题，写一个同类的通式，同类问题都是这么处理。如果现实当中是 3+5 2 +3 3 +5 3 ，代数，说穿了就是用一种未知的东西来代替任意的东西，然后我从而建立起他们之间的关系，这种关系它适合所有的同类问题。这就是为什么出现代数。我们同学讲，用方程解决问题，方程中也有若干个未知数，这个未知数呢它代表任意数，所以它也具有相通的性质，所以我们把它称之曰通式。这就是我们从小学开始，研究什么是数，然后各种各样的运算，然后到了初中开始有代数式，然后研究代数，这个里边除了加减乘除运算之外又加上乘方开方然后再加上三角函数再加上相应的什么东西，这里有方程，方程于是又出现方程组，然后又出现高次方程 ，其实说来说去都不过是这种基本的关系来演化，演化出更多更丰富的形式，而更多更丰富的形式无非就是为了解决实际问题。 所以你们想想整个从小学到初中学的这些数学，你只要把我说的这些基本关系搞明白了，再学数学就不发闷了。 我们现在的教材以及老师讲课的弱点就是这样，他就是弄一个东西就让你算，然后就这么走，谁也不告诉你这是为什么，这是怎么回事，人们为什么要这么弄，啥也不知道。 所以，有的孩子愿意思考呢，还把这个问题想了个大概，想明白一部分，还有一部分不明白。问题最糟糕在哪儿呢？我们的同学不进行思路开阔之外，他就不会往这些地方去想。我今天给你们随便这么讲一下，那么同学们想一想，在坐的读博士的硕士的都不少，你们平常有多少人自己想过这些问题，然后并且把这些问题想明白了， 你别看这些问题很简单，其实这个世界没有什么太复杂的问题，简单的问题搞不懂的多了，放在一起就难了。 我们学数学是这样的，学任何物理化学，包括文学呀，地理呀等等等，你学任何学科都是这些东西，你一定把它是怎么回事， 就是它是从现实当中怎么来的，他们之间有怎么样的来龙去脉关系，一定把这些问题想明白，这些问题不想明白就是抽象对抽象，等抽象到一定程度了，你也不知道这是什么东西了，你也不知道是什么东西，还要你继续运算还要理解，就运算不下去了。 为什么我们有很多人中途失学？就是积累的东西多到一定程度之后，怎么学也学不会了，烦了，说索性我就不学了，我也搞不懂索性我就不学了。把这些东西搞明白之后，你发现很多东西没那么复杂。原来不会的东西，你琢磨琢磨就能会。所以学习一定要变成以一当十， 我们有很多人学哲学，学哲学，你不能把这些问题的本质搞清楚，哲学你就学不下去。其实有人说，某人是哲学脑袋，某人不是哲学脑袋，其实我觉得没什么哲学脑袋不哲学脑袋之分。只要说你小的时候再偶然的社会条件当中，你思考为什么思考多了，等到一定程度你跟同龄人相比较你对哲学问题理解快，否则就理解慢一些，甚至不理解，甚至理解歪了，这就是却别，什么哲学脑袋不哲学脑袋的。 公式与使用公式的本质是什么？ 出一道一元二次方程的题目，要学生把求解步骤写清楚。学生求解后继续讲课。 我们解一元二次方程，通常说十字分解法啊，因式分解法啊，那么还有个公式法。那么既然提到公式法，我们同学就思考个问题， 究竟什么叫公式？公式的本质是什么？为什么我们遇到问题一用公式，问题就能得到解决 在这个里边我们再回过头来讲方程的解法。一元二次方程的解法：因式分解法、十字相乘法还有个公式法。那么现在假定，我现在就有这样一个方程，一个通式，（黑板上写 "ax 2 +bx+c=0") ，我跟你们现在教材统一起来。 ax 2 +bx+c=0 这就是一元二次方程的通式。你只要是一元二次方程，我最后一定能给你化成这样一个标准形式。给我们这样一个方程，这样一个一元二次方程，我们现在要解它，（在黑板上推导出求根公式） 你只要给我一个一元二次方程，它的解一定是这个。拿出一个一元二次方程方程，把系数套到这里边，带到里边，就能把这个结果拿出来，这叫公式法。那么说到这里，就引出个我们所讲的公式的问题，公式，你们解释的那些东西都对。 公式啊，就是公共的式子。就是同类问题都遵循这个式子这个关系的式子，这就是它的本质。 你说你任意拿过来一个题，式子一带公式一带就对吗？ 使用公式的本质又是什么呢？使用公式的本质就是把前面的推导公式过程当中的所有的式子再重新使用一遍，或是节省了以前推导的过程而已。明白吗？就是说使用公式的过程实际就是把前面的式子重新推导一遍。 你看，假如这个题我这么算也行。给我一个题，这个题是 3x 2 -x-4=0 ，你给我这么个方程，我把这个方程撂在这里我没有做它，然后我就开始想：说这么个方程，于是我这个方程进行一系列配方跟前面的推导过程一样，于是呢，我就能得出这么一个东西（黑板上用公式法对 3x 2 -x-4=0 进行逐步的推导求解）。你只要愿意再推导一遍，只要不嫌麻烦，你再推导一遍没人管。再推导一遍有点傻，把公式套进去用了不就完了吗？这就告诉我们，你使用公式的过程，是推导的过程省略了，因为对所有的同类问题都遵循这个关系。公式公式，公共的式子，我只要用它直接代入进去用结果。 用公式的过程实际是你在大脑里完成推导过程，在纸面上不做表达的过程，明白这个意思吧？ 一旦你懂得用公式的哲学本质是什么，就是你在大脑里完成了这个问题的推导过程，直面上省略了过程，写结论就是了。那么，如果你这个题，它不适合这个公式，就是说你这个题呢就根本不可能产生这个推导过程，因此你说我省略了推导过程直接用结论，它肯定是不对的。所以你们通过这个事你们再想一想，为什么现在的教学有那么多同学初中读完之后高中就不读了？其实说不是我们的学生之过吧，可能也对，可能我们的学生懒得思考啊，这个话都对， 但是如果真正遇到一个懂教育懂教学的老师把这些问题给你解释透了，那死带公式的现象呢就基本上会被克服了。不干那死带公式的傻事呢，可能物理学这一关也就过去了。 所以就记住，所有问题都是这样，你比如说我们同学学物理。 题目： 现在有这么一个问题，说某开着车，过石拱桥，说这个石拱桥的半径是 5 米（ 开始在黑板上边画图边讲解 ）。然后开着这个吉普就上来了，上来之后呢，以每秒 10 米的速度，上来到跟我们水平呈 60° 角的时候，这个车的自重是 2 吨， 2000 千克，以每秒 5 米的速度通过这个半径是 5 米的拱桥，问这个时候，这个北京吉普对这个桥面的正压力？ 我们遇到这个问题我就不仔细解了，这个问题挺简单的，首先进行一个受力分析，我们把这个车就看成是一个小木块吧，这个小木块呢地球对它有个引力，质量是 m 的话呢，引力就是 mg ，我这个桥面给它一个正的支撑力，叫做 N ，那么在这里面呢，水平方向还有一个摩擦力，摩擦力是使它向前的，向前推它，它在运行的过程当中呢还产生一个反向的惯性力，反向的惯性力就是往外摔，我们把这些力都分析完了之后，我们就列方程就完了，这个反向的惯性力等于什么呢？等于 mv 2 r 。在这里边，你建立一个坐标轴，把这两个方向的受力列个方程，出来了。 解这个的核心过程是什么呢？还是利用这个公式。 你利用这个公式的过程，实际上就是老师在讲公式时推导的过程。 因为你们学的是匀速的圆周运动，你没有学变速圆周运动，变速圆周运动在大学的理论力学部分才学这些东西。假如说这是圆点，假如说我这里有个小球在这里做圆周运动，它在这里转，它在这里的速度假如说我叫 V1 ，那么它经过 Δt 这么多的时间，它现在运动到这里，它的速度是 V2 ，而 V2 和 V1 是什么关系呢？它的大小相等，方向不同，它是方向不断改变的，方向不断改变也能产生加速度，然后利用相似关系最后导出这样一个公式来。就是你运用这个公式的过程就好像我把这个导来导去又导了一遍一样。每个题都要导一遍，因此咱也就不导了，不在纸上写了，你在你大脑里导了一遍，我就知道它已经把这个公式推导了一下。公式的本质就这个意思，没有什么更神秘的东西。 既然人类在解决这些问题的时候，应用公式已经约定俗成了，于是我们教学当中呢老师习惯于教同学带公式。 于是就产生了一个新的假定来解释，叫 “ 归一化思想 ” ，什么意思呢，就是你我不管你给我什么样的东西，我总把你化成跟我的公式的前提一样，然后呢我再进行计算，化成一样就是归结成同一个模式，这叫归一化思想 。就是你不管给我什么样的，我最后只有用这个形式，才能用公式法。 所以我们说来说去啊， 不管是小学数学还是中学数学还是更高层的数学，思想都是这些最基本的东西。你把这些最基本的东西弄明白了，你的数学就能学好，相应的学科也能学好。 这些东西弄不明白你就越学越糊涂，深入迷雾一样。 别看有些同学解题很快，其实是把解题作为一种游戏作为一种技巧来进行，根本不知道这个演绎过程跟现实当中有什么关系。 这就好像玩游戏玩熟了一样，他不知道关系是什么。所以， 你看同学们现在高分低能不就这样吗？ 给你个一元二次方程要你算题你甚至算的比我还快，可是问到为什么在这个地方可以用到求根公式，求根公式意味着什么，答不出来，就说明你根本就不懂。 我们做教育，就是既要让同学们学习课程内容，又要抓紧一切机会让同学们明白道理。 如果这些道理明白不过来，你要说越学越蠢呢，这话可能夸张一些。总而言之，学了也不聪明，这倒是真的。 为什么有知识的我们没有古人的智慧？ 我们都知道在中国的今天也好，世界的今天也好，我们如果想找出来若干个人，让这些人不管是在科学知识上，比如说数学、物理、化学、生物学、医学等等等等这些学科上，甚至也包括一些社会科学上，比如说伦理学、宗教学、法学等等这些学科，包括一些人文科学，比如说文学呀一些学科吧，管理学等等。你找这些方面的单科知识或者是综合知识，超过春秋时期的老子，就是李耳，老聃，超过他的人呢到处都是，可为什么这些人就写不出来像《道德经》这样的哲学著作呢？为什么我们称老子是大师，把那些人不当个东西呢？我们所说的这些知识丰富的人，甚至思想也比较丰富，这些人有这么多的能耐，为什么不能向人类贡献一部类似《道德经》的东西呢？你们谁解答一下看看。如果哪些同学认为我这个问题提的就不对，你也可以帮我更改这个问题。 好几个学生尝试回答了这个问题。 那么我现在把问题重新说一遍：老子既然能在两千五百年前把《道德经》写出来，那么说明什么呢？说明在两千五百年前，那个时候人们所掌握的知识，就已经够写《道德经》的了，是吧？从知识的角度看，你够写《道德经》的了。而那个时代有那样的知识就能够把道德经这样水平的东西写出来，那么同样道理，我们今天所掌握的知识比老子那个时代要丰富很多很多倍，那么我们不仅仅应该出现类似老子这个水平的东西，还应该出现比老子水平更高的东西。而事实上我们知识丰富的这些人老子那个水平的东西也搞不出来，我问这是为什么？ 你们说的还是有道理的。到现在为止，说的有道理的比较多了，回答非常简单： 今天这些人学的东西太浮！他学的东西没有贯通，因此就没有产生思想。思想，这是问题的根本 。其实跟我们今天讲的东西一样，你以为我们今天讲的东西我们问那些院士们，他们就能回答的上来吗？照样回答不上来。他们能够回答上来，就能写出老子这个水平或者比老子水平还高的东西。是因为他们回答不上来。 知识需要贯通，需要真懂。现在我们大量的人学东西是假懂。而在我们这个时代可怕当中还有个更可怕的东西，就是熟知非真知的东西害我们害的很厉害。 什么东西吧，给你一提，都觉得很懂。事实上，真问你，你并不懂。真正的大家，就是把那些熟知非真知的东西给你解释的很深刻，那就叫真正的大家。 物理学到底是一个什么性质的学科？ 你们记住，当你们学什么东西就像我们今天谈数学一样，其实我们几天谈的并不是很深刻，还要讨论呐占用了不少时间。当你学什么东西，你能学到像我们几天谈的这个程度，那就很不错了。如果你能比这个程度再深，那就更好了。达不到这个程度，那就是你有知识，最后什么用都没有。你比如说咱们再坐的，有不少都学过物理学，有的还要继续学物理学，学下去的。物理学到底是一个什么性质的学科？我们拿这个问题可以问清华北大的院士，不见得谈得深。 当今我们就不要谈什么实验物理了，即使是谈理论物理，究其本质而言，仍然是一门实验科学。 你说吹了半天，就说了这么一句话呀。 我说我告诉你，你要学理论物理，你要能悟出这个道理，就说明你真懂物理了。你开始有物理学思想了。 否则就是那么回事。不懂物理吧，你还能做俩实验，还能算几道题，还能写几篇论文。说你懂物理吧，你又不真懂。像那个水平，你永远也写不出老子这个档次的东西来。我要通过这个东西告诉你们一个道理，学什么东西一定要做到融会贯通。否则没什么用，死记硬背肯定比不背不记要好，但是究其根本上来说还是害自己的东西。
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[转载]从哲学高度看小学数学(1)
热度 3 jxddroc 2012-2-28 12:06
从哲学高度看小学数学(1) （转载） 1 数学的本质与数学学科分类 数学是研究数量关系、位置关系以及组合关系的规律的体系的这么一门科学。数学的本质就是研究这些抽象的概念之间的关系。 数学的本质就是抽现概念之间的关系，这就是数学的本质。 数学不是现实世界自身。这就是对这个问题进行简单回答。 数学大约包含多少个学科呢？这个不是很好说，因为现在分类都很不规范，但是我们可以大概说一说。数学都由哪些东西构成？你比如说：代数学、几何学、分析学。分析学指的是什么呢？比如说像微积分、泛函分析等等这些东西。我们还包含博弈论、微分方程、拓扑学等等。如果要进一步分，还有很多，比如说几何还分很多：代数几何、几何代数、反射几何、巴罗切夫斯基几何、黎曼几何等等。微分方程可以分为常微分方程、偏微分方程，还可以分为微分方程的定性研究等等等等。数学分类可以说是非常多。 从数学的确定性与可能性角度讲，还可以分为确定性数学和可能性数学。我们现在看到的可能性数学是概率论。概率论之外的数学都称之为确定性数学。现在我们知道还有模糊数学，模糊数学究竟应该怎么看他，这个在学术界是争论的。总而言之数学的分支很多。 我们通过这些东西，我们发现人类要研究的东西不少。比如说研究数量关系。研究数量关系最简单的就是我们通常见到的函数，一个自变量或者多个自变量及其函数到底有什么关系。比如说研究位置关系，通常我们见的是欧几里得平面几何学，他不是研究位置关系的吗？我们还有一种数学叫拓扑学，拓扑学也是研究位置关系的，但是他这个位置关系跟我们通常的几何学又不一样。我们通常（把它）称之曰“不量尺寸的几何学”。 比如说，我们通常的一种描述，就构成一个拓扑 。比如说，在一片树林下，有 200 名学生在上课，这就构成一个拓扑。他只是说在树林下有 200 名学生在上课。只要是有 200 名就可以了，至于这 200 名分布在哪里，怎么分布，以什么姿态分布等等，这些都不做研究内容。如果我们要是从几何学角度来讲呢，就不是这样了，说 *** 同学处在哪个位置呢？我们可以做一个坐标，假如说以我为坐标原点——以我的这只脚为坐标原点——然后我们建立一个三维坐标轴，这样来确定 *** 同学在哪里。 你看这几何关系就是确定的几何关系，而我们说拓扑学他不研究这种确定性的几何关系，他只是说一种存在性，至于这种存在性以一种什么样的具体关系存在，那不管，只要是满足这种存在关系，我们就把他称之曰一个拓扑。 微分方程也可以说称为方程类的东西——我们初中学的方程解出来是个数值， 而微分方程的不同（就是）解出来是个规律。微分方程这个学科的奠定以及建立对人人类研究数量关系、几何关系以及组合关系那是具有特别重要的意义的 。说到组合关系我们还可以谈几个：一个是你们在中学所学的那个组合。你们不是学排列和组合吗？还有就是我们所讲的博弈论，博弈论讲的也是一种组合关系。按照不同的关系去组合，会有不同的结果。 2 数学演化历史 我们说，人类从远古走来，最开始是猿，从猿进化到人，这个时候就产生了基本的数量需求和位置需求。产生了这些东西之后就希望有一种描述，于是数学从这个时候开始产生，但是非常的初浅。比如说，一个原始社会的这么一个群落或者这么一个山洞，这个山洞里面我们到底有多少个人呢、我们打死了几只猴子啊、几只野猪啊等等这些东西需要计量。那么再比如，我们还需要研究位置关系：我们所居住的山洞跟某一个河流构成了怎样的位置关系，跟某一个岔路口构成怎样的位置关系，当时这些问题都前人都需要来解决。同时呢，你不如说我们还要解决场所的大小问题。比如说，我们这个山洞它究竟有多大啊，它究竟能够容纳多少人啊等等，这都是问题。这些问题发生了，于是人类开始产生最基本的东西。比如说，最开始需要计量，就产生了 1 、 2 、 3 、 4 等等自然数。为什么称之为自然数呢？因为他是自然发生的。我们最开始就产生自然数，利用这个东西来计量。我们想想人类最开始有数学需求的时候，那个时候又没有这些数字，于是那个时候只能弄一个小绳儿。比如说，我打死一只狍子，我在这个小绳上系个扣，我打死第二只再系第二个扣 …… 等回来之后酋长问我：你今天战果如何啊？我把那个小绳往外一掏，给你看这么多个扣。问我战果怎么样？你看有多少个小疙瘩，那么战果就有多少。所以大家想想那个时候人类生活是很不方便的，你想想，你只能通过那些小疙瘩来计数。而后来，你想发明了数，虽然这事对我们今天来讲是很简单一件事，在那个时候来讲它不简单。数，你看， 1 、 2 、 3 、 4…… 我把它排成顺序，排成顺序之后，后来我只要记其中一个就行，我根本不必要重复。比如说，打死了八只狍子， 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 ，我只要能说出 “8” ，大家就能明白什么意思。这就是最开始产生 “ 数 ” 。你比如说最开始，我们也要产生面积的概念。大家想想，比如说我们现在有个场地，这场地多大？对今天来讲，你张嘴就用面积来说话，说多少多少平米啊，多少多少平方丈啊，多少多少平方尺啊，你张嘴就可以这么讲。但大家想想，在古代，那个时候还没有面积的概念，但是人们还要描述大小，你们说怎么办？我们现在就模仿一下古人。那么 DINGD 你想想啊，就假如说我们现在没有面积的概念，也没有尺寸的概念，在这里面呢，你比如说，你要给我描述一下这块石板有多大（顺手指了身边一块大石板——编者注），你怎么告诉我？最开始肯定用手臂比划一下，但，如果在遇到两个情况你就不好办了：一个情况是，这个石板远远比我的两个手臂宽，怎么办？长和宽都要超过手臂能比划的范围，怎么办？这是一种情况。另一种情况是什么样呢，你在五里以外，发现这么一块石板，你又不能见我的面，你要通过一个小孩，来转达我，怎么办？你可以想象很多种情况。在这个时侯就遇到困难。不要单说这么大的石头，还有的情况是：非常小，小的像一个小米粒那么大，然后你跟我 “ 恩恩恩 ” ，以手做比划，我这么比划了半天，尤其是远的同学，你也没看明白什么意思，是吧？我在这里边，说，有一种黄色的米，你啥也看不到，就是说，太小了你看不出来，超过你双臂能比划的范围你也看不出来。于是在这个时侯，人类就想，我怎么描述它呢？ 那么于是有这么一天，究竟是谁，我们也不得而知，就是他终于想出来，用长和宽的关系来描述面积，用长宽高的关系来描述体积。所以大家想，这个世界，我们今天所描述的东西，都不是凭空而来的 。 很多数学基本概念的定义确定了数学未来发展的形式 （以面积为例谈） 其实呢，最开始借助的都是长乘宽。用长和宽相乘，用方的东西，不管是正方的，还是长方的，用一个方的东西来给你定义了面积。但是以后即使不是方的，我也借助于方的来表达。所以，大家想，很多东西不是从来就是这样的。在这里边，如果我们善于从哲学角度想问题的话，你将会发现，在这里不自觉的有这样一个坐标关系。这是 Y 轴 X 轴，这是原点。不自觉的，你借助于一个直角坐标关系。那就是说，说明这个角是直角。你这么定义面积。 大家再想想，人类还可以换多种方式定义面积 。比如说，假如说，我现在搞的坐标轴都是这样的一个角度的坐标轴，我不是 90° ，我是 60° ，我要搞 60° 的坐标的话，我仍然可以建立坐标，那么我仍然可以用 60° 的坐标这种关系建立面积的概念。如果人类最开始定义面积，用这种 60° 角（的坐标）来定义面积，那么你们可以想象，我们今天的数学就不是今天这个样子，就不是现在这个样子。 所以你看，数学他最后形成的形式，跟你最开始的定义方式，它都是密切相连的。 我们到了大学，我们的同学都知道，说，让我们做这样一个不定积分，（ sinx/x ）的不定积分，就觉得哎呀无奈，说这个东西太难了，说这个不定积分可怎么做呢，太难了。那么这个不定积分原函数我们在数学上怎么回答？原函数是存在的，但是我们不知道他如何表达，因此我们就说这个不定积分现在没有。事实上，我们后来真的学了积分之后，我们发现要描述它非常容易。为什么呢？因为我们只要在一个很小的范围内，我们把 sinx 展开，我们进行泰勒展开呢，发现呢，它就是这么一个关系，你只要把 x 跟它每一个除一下，它就变成了 1 减去 3 的阶乘 x 的平方加上 5 的阶乘 x 的四次方减去等等等等，这么写。我们发现呢，如果说把这个原函数找到，并且算一下，我们发现一点都不难。你想想我们只要找到了它，对它进行积分，就是一个幂函数积分，积出来还是个积出来还是个级数，非常简单，相加就完了。你们发现这里这个问题没有那么复杂，并不是计算起来有多复杂。一个用积分表达，计算起来也并不复杂的东西，为什么我们通常表述就那么难呢？这就说明我们今天的数学是沿着一特定的思路来定义下来的，来演绎下来的。所以，它有它特定的形式。 假如说现在我们定义面积，我们是按 60 °定义或者按 30 °来定义而不是按 90 °来定义的话，这个时侯，你重新算 sinx 比 x 这个积分的时候，可能一下子积出来，这是个非常简单的东西。而现在我们非常简单的东西，那个时候就有可能变得非常复杂的东西。 我们说，我们今天搞数学的很多教授，水平并不是很高，包括那些在数学上取得非常多的成就的人，说穿了呢，还是处在一个小家的水平。我们不是平常说 “ 小家子气、小家子气 ” 嘛，还处在一个 “ 小家 ” 的水平。他们并不能够用开阔的思想来思考数学，他们不知道数学为什么是这个形式，他们不知道数学未来将会是什么形式，他们不知道数学未来将怎样发生革命等等等等，这些东西他们都不懂。那么从这个角度说呢，我们说研究数学做到这个程度这是一种遗憾。 那么大家再想想，我们由于最开始数量的需要，我们产生了数字。那么，后来由于要解决位置的问题，就产生了欧几里得平面几何。虽然中国人在古代并不知道有个欧几里得，但是中国人和希腊人和其他国家的人一样他们都需要解决这些实际问题。一旦这些实际问题解决，对于我们现实生活、生产十分有好处。那么大家想想，数字 —— 自然数 —— 产生之后，诸如像 1 啊、 2 啊、 3 啊等等，我们想描述现实的情况变得有可能了。比如说，在我们这样一个小区域内有多少个杨树呢，我们只要查一下，有 27 棵杨树。在这么一个小区域内有 27 棵杨树，我只要写这样一个数字就行了。注意，那个时候中国可没有这样一个数字，这是阿拉伯人发明的，阿伯人用这样一个方式来描述，我们中国人不用这个方式，中国人用一横两横来描述。顺便讲一下，你看，阿拉伯人他用这个东西来描述（黑板上写 “1 、 2 、 3 、 4 、 5……” ），而罗马人用这个东西来描述（黑板上写 “ⅠⅡ 、 Ⅲ 、 Ⅳ 、 Ⅴ……” ），而中国人用什么来描述呢？中国人用这个（黑板上写 “ 一、二、三、四、五 ……” ） 不同的民族有不同的描述方式，但是你别看这个描述方式看起来很简单，这里问题一下子就大了。那么我们想想为什么数学在西方比较发达？比如说像古希腊呀，罗马呀，后来的法国、英国、德国等等，为什么在这些国家，在西方率先发展起来了？为什么中国古代曾经有辉煌灿烂的数学，为什么近代没有发展起来呢？其中这就是原因 。古罗马发展也受限制。在这里边，我们数字如果用这个东西表述太难了（ 并写 “ 一千五百二十一 ” 、 “1521+1525” 。 ）你说我们这玩意这可怎么加呀？（指黑板上一千五百二十一）究竟什么叫数学？你们把我说的东西搞懂了，你们就真正懂数学了。你原来学数学很费力气，你现在发现很简单一件事，挺好玩。注意，我还再次重复，为什么有些人有大智慧，有的人是个笨蛋？所谓大智慧，你学习如果像我这样学，一直像我这样理解，你可以大大的事半功倍。什么叫大大的事半功倍？因为我们从来没有个词汇说 “ 事 0.1 功 100 万 ” ，我们也没这个啰嗦词汇，我们也还用事半功倍这个词汇说。是有的人他用有限的时间，他可以学很多很多东西而且学的比别人深刻，用起来得心应手。而有的人学了很多年，最后啥成绩也没有，最后就玩文字游戏当个骗子，写一些狗屁不通的论文，你懵我我懵你。在中国的今天，中国的知识分子 90% 以上是一个非常恶心的，有关这些话你们还不理解，慢慢理解。 运算关系的产生历史 不同的民族都要有数字，要用数字来表达，实际上在这里面，罗马人也一样，罗马数字表达起来也很麻烦，只有阿拉伯数字表述很容易。人们要想表述 “ 这个区域有 27 棵树 ” ，那么写一个 “27” 就可以了。中国人也就写这么个东西就可以了（黑板上写 “ 二十七 ” ）。 可是现实当中涉及他们之间的数量关系 ，比如说，我现在有一个营的兵力，然后乡亲们参军，又增加一个营零一个连的兵力，那么我们有多少兵力呢？我们就需要把这些兵力加到一起。有的时候呢我有一个很大的数字，假如说我有三个营的兵力，那么现在要分出去两个营给别人，我也要描述这种关系，于是现实当中就产生了加法和减法，加法和减法就这么产生的。 DINGD 听明白了吗？加法和减法怎样产生的，现实当中又怎样的需求产生了加法和减法？现实当中，涉及把一些东西和到一起，测量总数的时候就产生了加法。那么从一个总的数字当中要分一些东西出去，这就产生了减法。就是各种各样的运算在现实当中，因为有这样的需求他才产生的。人类从根本上说，人类是不干傻事的。比如说现在我们很多教授写一些论文，那都是胡扯，对人类没什么用。对人类没什么用那怎么产生了呢？跟你说的相反？但对他个人，对他那个小群体有用，因为他可以用它骗人。 现实生活中为什么要产生乘法呢？乘法是怎样的需求要产生乘法呢？ 这个说的很对，但是不全面。大家想想，我们现实当中，有些东西要合到一处，你要把它加起来，这样就制定规则。我们说这么多个（黑板写 “3” ）加上这么多个（黑板写 “+” ）它就等于这么多个（黑板写 “5” ）。这么多个去们给他取个名字叫 “ 三 ” （指黑板上的 “3” ），这么多个去们给他取个名字叫 “ 二 ” （指黑板上的 “2” ），这么多个去们给他取个名字叫 “ 五 ” （指黑板上的 “5” ），于是就是这么个意思。是吧，你看我们把一些东西合起来。同时还要把一些东西分出去，所以这就是减的问题。那么现实当中还要遇到这个问题：（在黑板上写 “3+3+3+3=12” ），三个加上三个加上三个再加上三个。在这个里面呢，你要用加法加到一起也可以，加完了之后也能得出相应的数字。人们为了简化起见，说穿了，就是四个相同的数相加，那就干脆把它变成它（在黑板上写 “3 ＊ 4=12” ）。 明白乘法是什么意思了吧？就是相同的数相加我怕他乘起来麻烦，我就干脆用一种新的方式来表达它。 可能你们小的时候也要背（加法）口诀，什么一二得三，一三得四，二三得五等等，这叫口诀。为什么？在现实中那么多和那么多放到一起就等于那么多，这个关系是确定的。你也没有什么为什么好说的，这个世界就是这个样子，有什么好为什么的？你说三加二等于五，这是用语言表达，现实中就是这么多加上这么多它就等于这么多。那你说为什么，没有什么为什么，这个世界从来如此，没有不如此的东西，不信你试试你只要把这么多加这么多它一定等于这么多，它不等于这么多见鬼了，没什么好为什么的。既然是这样，我们就把这些东西给它概括总结出来，然后背下来就完了。后来人们对于相同的东西相加也觉得它麻烦，那么也用这样一种符号来表示（黑板上写 “ ＊ ” ），表示完了之后也给它搞成口诀，一一得一、一二得二、七八五十六、六九五十四这样的口诀。因为只要是相同的东西相加一定遵循这样一种关系。你也不要问为什么，这个世界从来如此，没有不如此的，就这么回事。这个世界不是所有东西都可以问为什么的。那么这就是乘法的产生。 同样道理，除法的产生是什么？ 就是，一个数按照相等的关系能减出来多少倍，一个数量的东西按照相等关系来减最后能完整的减除多少倍来，这就是除法。有的时候，十除（以）三等于三余一，这是告诉你：十按照三个等分这么分的话，只能分出三个等分来，最后有一个一没法再分了，就叫余一。这些东西都是小学最基本的东西，但是问题的根本在于你是不是知道它的来龙去脉 —— 它到底怎么来的，到底什么意思。我敢这么说，在坐的算这些问题，没有一个人不会算的，但是是不是你对它的来龙去脉都搞的很清楚呢？这就未必了。这就是现实当中我们为什么会出现算数问题。 分数怎么产生的？ 说到这里，我们先停到这儿，再往前进一步。我们讲数学数学，我们讲 “ 数 ” ，数首先学的是自然数，自然数是什么，就是 “1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10” ，反正就是往下数下去就完了。于是呢，又出现了整数的概念，整数的概念呢， “0” 和那些自然数，出现了整数的概念。再后来又出现了分数的概念。甚至还出现了小数的概念。分数的概念很简单，比如说妈妈烙了一个饼，家里有三个孩子，于是把这个饼分成三份，然后分给每个孩子，这时候你就要表述：每个孩子吃了多少呢？哦！一个孩子吃了三分之一。可能开始打算这么分，后来妈妈突然不这么分了，拿了一把刀在这个饼上切了个 “ 十字 ” ，分成了四块，说别忘了还得给你爹留一份啊。这一块饼就变成四分了。如果自己一想，说我自己还没吃呢，就可以把这个饼分成五分。这里就涉及三分之一，四分之一，四分之二啊。如果一个家里当爸爸的比较霸道，说虽然呢咱们分成了六分，我应该吃六分之二，而其他你们吃六分之一。这里就发现，一个整体要分成若干份，这里就产生了分数的概念。就这个时候，我们发现我们原来了解的数的概念随着生产的发展，随着生活的发展，发现他逐渐不够用了。 小数是什么？ 实际上这个小数，我的理解，小数是分数的一种变形的表达形式。有的时候是一种准确的表达，有的时候是一种近似的表达。比如说，当我们描述三分之一的时候，三分之一是一个非常准确的概念，而 0.333333…… 你不管怎么 3 下去，它永远不准确。但不管怎么说，我们现实生活中有了它也行。你比如说，分了一块饼的三分之一，这个很准确。说我分了 0.3333 块饼，虽然有点近似，但是也能理解它的意思。所以小数也有小数的意义。于是我们的加减乘除各种运算，也可以把分数小数加进去。 继续讲数的产生历史 大家再想想，实际现实生活中我们要描述的东西远不止这些东西。我们现实生活中把相反的东西也想用数字来描述，于是这个时候又出现了 “ 负数 ” 。那么我们讲到这里，这个数的范围已经扩大到有理数了。有理数，正的整数、分数、零和有限循环小数等等，我们把这些东西说它是有理数。把什么东西称之曰无理数呢？无限不循环小数。我们发现在现实的计算当中，你比如说在除法当中，在其他的一些计算当中，我们也发现了一些问题，于是产生了无理数。数的范围在扩展。那么在计算的范围，也出现了不少新的东西。比如说，乘方开方的概念， 乘方的概念从哪个地方发源的？乘方的概念发源其实就是体积 。体积产生产生了乘方的概念，然后从这之后开始进一步深化。很多东西都是这样，我们开始理解起来很容易可以很具体，但到后来呢发展到不具体这个状况。比如说，一个正方形，加上一个高之后变成一个正方体，这就构成了一个相同的东西相乘。一个东西的三次方的概念。有的时候还构成四次方等等更多的概念。这个时候产生乘方的概念。同时还要产生一个相反的概念就是开方的概念。 随着我们现实中需要解决的数量关系越来越复杂，这样运算关系也变得越来越丰富，数的表现方式也变得越来越丰富。 其实前面我们说的这些东西我们叫实数。有理数和无理数加起来我们称之曰实数。实数有了之后，现实当中又产生了虚数的概念。虚数的概念产生起来好像很有道理，实际上也不是很有道理。虚数的概念，人们说它产生于什么，产生于负数开方。负数开偶次方产生了虚数的概念，这是人们这么讲。实际上核心问题不在这里，核心问题，我们现实生活中离不开 “i” ，而我们现实生活中这个 “i” 是交流电。不管我们是学文科的同学还是学理科的同学多少也接触了一下交流电的概念。什么叫直流电呢？就是电，它沿着一个确定的运行方向不变，我们把他称之曰直流电。那么当他的运行方向是变化的，就是说去 - 回、去 - 回有这样的变化，我们把它称之曰交流电。而我们现实发电的原理很简单，它是用若干匝线框，切割磁力线，于是就产生了交变电流。电流的方向大小按照这个关系变 , 于是就产生这样的交流电。我们要对交流电进行计算的时候发现这个问题已经很复杂了，我们传统的那些东西已经不好使。交流电的大小和方向在发生变化，因为发电的时候涉及一个相位问题，就是什么时候大什么时候小，而我们现实生活中遇到电流通过电容器的时候，或者电流通过电感线圈的时候，我们发现有几个特点：第一个交流电通过电感线圈以及通过电容器的时候，它都产生相应的对电流的阻止的作用。我们在相应的专业技术当中把它称之曰容抗和阻抗。电流在通过它的时候电流的相位也发生变化。而我们现实当中要想解决这些计算，要想研究，要想利用它，就必须知道它的大小、方向、相位。这个时候我们发现我们通常的数学已经不好使了，其实我们现实中有很多很多现象发生我们发现传统的东西不好使。比如说，我用力拉车，我用的这个力不仅仅涉及大小问题，还涉及方向问题。由于这些问题，现实生活中产生了很多很多的概念。在这里有很多学过工程技术的，或者学物理的。现实生活中还产生这样一个量，叫 “ 向量 ” （在黑板上书写 “ 向量 ” 二字）。我们真正搞电流计算，搞电子学计算的时候，我们用这个 “ 向量 ” （在黑板上书写 “ 向量 ” 二字）。高中生都学过的，这个向量，方向的向。向量也叫矢量。这个概念和我们现实生活中所讲的虚数是一样的。虚数也是用一个十字坐标，把这个称之曰虚轴，这个称之曰实轴。现实当中，实数和虚数走到一起构成了一个复数。我们往往把复数写成 a+bi 的形式。如果说我们描写这个复数，用 d 来表示吧，用什么表示都行。 a 有个值， b 有个值，他们之间交融到一起，我们把它叫做 “ 模 ” （黑板上写字）。大小长度叫做 “ 模 ” 。 向量其实跟他很相近。因为大家学的专业不同，这些东西我不说太多。现实生活中出现很多很多很怪的量。我们要想计算，要想表达，我们要对这个量进行定义，然后加以计算。比如说，前人已经完成的哈密顿四元数。就是数学家物理学家哈密顿，他在现实中由于计算需要，他搞了一个，由一个确定的数，比如说 “a+ai+bj+ck” （在黑板上书写 “a+ai+bj+ck” ），我是讲是三个方向向量。哈密顿还进一步构成这样的数 —— 哈密顿四元数 —— 现实中计算也需要它。就是说我们生在现实世界， 现实世界要解决的数量关系非常复杂，数量关系越多越复杂我们需要的运算形式越多。不仅仅需要加减乘除法需要乘方开方，我们还需要更多的计算形式。由于现实当中数量出现的种类不同，那么我们还要给它做不同的定义，于是数量的表达方式也不同了。在这个过程当中，给我们一个感觉是：我们所使用的数的范围越来越大。 我们还要把前人在数学上的一些争论解释一下，这就要上升到哲学高度。 比如说，在复数，就是我们讲的 a+bi 这个形式（黑板上写 “a+bi” ）。 a+bi 这个形式产生的时候很多数学家对这个形式进行抨击，说你这搞的东西都胡扯，说这东西有什么用呢，你告诉我现实当中什么是虚数，哪有什么复数，虚数怎么回事？于是，建立复数的人就解释，说你比如说负数开偶次方你总得有个表现方式吧？我就给你表现出这个东西来，那么反诘的人就说，你表现出这个东西来，他怎么就能说明它是负数开方的意义来呢？其实这些东西都是无可无不可的东西。 重新谈数学的本质是什么 说到这里就要给你们回答一下数学的本质是什么。 其实，数学你没有必要研究它这个量现实当中有没有，那个量现实当中有没有。有的量我们肯定要加以研究，你说没有的量就不能加以研究吗？我说，你所说的没有的量那是胡扯，为什么叫胡扯呢，你怎么就知道这个量没有呢？！只能说你今天认识的量当中没有这个量，但是不等于人类的认识深化之后这一种量的形式不出现，因此我们说数学的根本不在于你今天是否认识到某个量，它是否出现，你只要敢构造一种量，这种量它和这种量自身，以及这种量和其他的量之间构成什么关系。你只要把这种关系能找出来，形成个体系，迟早有用。 现实生活当中，你比如说，我给你们上课的时候讲，对心理现象进行描述的时候，我们说用拓扑张量。现实当中还有张量这个概念呐？张量这个量就变得更复杂了。我们往往可以把向量看成是张量最简单的形式。那么这是我们通常从确定关系来看，那有的时候张量也表现为拓扑形式，张量也可以表现为模糊形式，张量有时候还可以表现为或然形式，比如我们讲的概率形式。 注意，现实当中，量的种类是可以非常非常多的。但问题的根本在于你只要把这个量构造出来了，然后把他们之间的运算规则找出来了，这就是贡献 。我们现实也可以看到叫 “ 张量分析 ” ，分析这个学科他可以有很多，最简单的微积分，是吧？张量分析呀，泛函分析呀，我们用分析这个概念用的很多。就是，不管怎么样，你只要构造出这种关系就行。 数学就是人们要借助于这种关系来解决现实当中的数量问题、位置问题以及组合关系的问题，这就是数学自身的意义。 如果有哪个人以为数学在现实当中是种精确的关系，我说那是胡扯，从来就没有这回事。你比如说，我们现在学的几何学以及以此为基础所进行的各种运算，你看我们有几何学，我们有解析几何，我们还有代数几何，还有仿射几何等等等等，还有几何代数，这学科分的很多很多。但是，总而言之，你要想解决实际问题，你总要借助于概念。比如说，借助于概念，把几何和代数连接起来，最好的东西你说解析几何也对，说是 “ 三角 ” 也对，就是我们讲的三角函数，说这个东西也对。那么我们要研究它，要研究它呢我们就看，现实当中我们要研究几何问题，我们总要定义点，我们总要定义线、面、体（在黑板上写 “ 点、线、面、体 ” ）现实当中这些概念都是要用的，而且我们发现这些东西也很有用。可是，你想想，我们在现实生活当中是没有点线面的，点是个什么东西呢？点就是一个能够标明位置，既没有长度也没有面积也没有体积的这么一种东西。同学们想，这个东西在现实当中你怎么找到呢？谁能找到点呢？说，还有线，线是什么呢？线是只有长度，没有面积也没有体积的那么一种东西，却向两方无限的延展下去，当然我们讲的是直线。有直线的概念也有曲线的概念，但是不管怎么说，哪有线呢？你说那有什么没 “ 线 ” 的？说我现在把这衣服抽吧抽吧 “ 呲 ” 抽出一根线来，说你看这不是线吗？（以手做动作从衣服上抽出一根线来）我说你这线，有长度，这肯定是确定的，它呢还有体积，它还有表面积，你不信咱算算，你看看那个线我只要弄一个精确一点的尺子，我把线的直径量出来，严格说呢，还不是圆的，它还有表面积，你不信你看线有没有表面积？线既有体积又有表面积。 所以现实当中我们会发现，点线面这都纯粹的瞎扯。点线面就是我们现实当中做那么一个规定 ，面是什么？有着面积的大小，但没体积。咱们现在随便撕下一张纸，你看卡有没有体积。它有厚度就有体积。它怎么会没有体积呢？可见这些概念都是我们现实当中为了解决数量关系几何关系等等这些东西， 我们构造了一些理想的概念。这些概念现实当中都不存在。 我们说在数学当中存在这个问题，在物理学当中，在其他学科当中同样存在这些问题。 比如说我们所讲的 “ 质点 ” 的概念，物理学当中所讲的质点的概念、刚体的概念等等，这些东西都纯纯萃萃是人为的构造的一些理想模型，现实当中都不存在。 所以， 数学实际上就是研究理想模型之间的关系，但这个关系也不是一般的关系，是按照人类对逻辑的理解，核心是对形式逻辑的理解，来建立的各种各样的关系。那么这个关系它本身是符合人的逻辑思维关系的，因此这些东西一旦成为公式，你只要一用，它就满足现实需求。 这就是为什么我们用数学的东西算出来的东西基本上能够满足现实生活的需求，数学的本质是什么？数学的本质就是种形式关系，别以为数学是什么其他东西，其他解释那都是有错误的。 从四则运算到方程的产生 那么我们现在再回过头来，说数学要建立了，我们要解决很多运算关系，也想解决实际问题，这就是我们现实当中要解决加减乘除这些计算问题。这些东西你只要进行加减乘除甚至其他运算就可以了。可有的时候我们发现有的东西我们用大脑也能想明白，但是不大容易想明白，于是就涉及一个计算问题。 现在我们遇到这样一个问题，说某一个班级总共有 50 名同学，其中有 38 名同学踢足球（黑板上写 “ 踢足球： 38 人 ” ），然后我们还需要 23 名同学打乒乓球（黑板上写 “ 打乒乓： 23 人 ” ），现在问至少有多少个同学既踢了足球又打了乒乓球？我现在要想的不是算出结果，我现在关心的是怎么算？人类数的概念有了，你要想用数的概念来解决实际问题，就得解决一个运算关系问题。要解决运算关系问题，在这个过程当中，人类就想出了一个办法：利用相等关系来计算。就是我们只要找到相等关系，按相等关系处理下去，就能把我们要解决的问题解决出来。这个问题的提出这就是我们现实生活当中所讲的方程（ 黑板上写字 ）。 现实当中为什么要有方程啊？为什么要有不等式啊？ （在黑板上写字）方程就是等式，所不同的这个等式还加了一个定义，说含有未知数的等式。如果这方程都是已知数就没什么意思了，它叫等式，它不叫方程。比如说 3+2=1+4 ，这是什么？这是一个等式，但是我们不把他称之曰方程，因为它里边不含有未知数。不等式是相对于等式而言的，所以它用谁谁谁大于谁，谁谁谁小于谁这种关系来解决问题。我没让你现实生活发现用大于和等于这个关系解决问题，它只能确定范围，但是它不能确定具体的数，所以在过程中呢我们一般不用他解决具体数的问题。而具体数的问题，我们往往用含有未知数的等式来解决问题。我们这个小山坡，看见石块没有啊 ? 这石块有这么多块， （在黑板上写字 “ 石块 159831” ） ，其中呈薄片的有这么多块 （在黑板上写字 “ 薄片 3849” ） ，现在问形状呈不规则状态的有多少块？当然你说你摆个算式可以把它算出来，但我说的意思不在这里，当问题变得更复杂的时候，你怎么处理呢？你搞不清楚，你就可以假定，假定不规则的 （在黑板上写字 “ 不规则： X” ） X 块，反正不管是啥你随便假定一下，如果你要做这个假定之后，你就会清楚，就是不规则的加上呈片状的应该等于总数对不对？那么就是 X+3849=159831 ，这是列出了一个等式，我们只要研究等式的运算规则，我们就能把这个数是多少就能给算出来。这个东西就叫方程，在现实中我们解决不知道的东西， 我们往往利用相等关系来处理，这就是方程的诞生。 方程的诞生呢，你这是讲数量关系，如果讲现实生活中更复杂的受力关系呀等等吧各种各样的关系，你只要能用函数建立这个关系，最后你解出来的解就是一个规律，虽然小但是现实生活中的一个规律。
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如何在公立学校教授小学数学
热度 8 arithwsun 2011-12-25 01:38
如何在公立学校教授小学数学 王永晖 声明：本文不建立在任何足够的教育实践的基础上，因而，读者应该把文中所谈，当作猜想，有一定的理性基础，但立论有待验证。 儿子上小学一年级了，这一学期下来，还行。这些事，我都记录在豆瓣小组了，此处就不多谈了。 笨男孩的幼小数学教育日记 小学课后作业的时间安排 说实话，我无法知道儿子的小学数学课是怎么上的，因为他的学校，学生人数众多，一个不大的校园里面，有1600个学生，导致不可能让家长参与和了解教学过程。 我只能看到儿子的数学教材和作业，用的是北师大版的小学新课标。我对这些也没有任何深入的研究，这方面的深入分析，大家可以传些资料给我。 现在，我说说我的想法，公立学校，因为它的运作特征，最明智的做法是且应该是，教学目标和教学手段，就是“保基本”，为什么呢？ 高阶教学方法，虽然很好，但并不是每个学生都能承受，有可能在高阶教学方法下，聪明的学生会学得更好，有些学生反而会更差。 注意，当然这是我的一个猜想，我曾经在豆瓣小组上表达过，有一位北师大心理学系的年轻女老师，立刻就表示反对，但是，她的反对只是表达的个人情绪/政治立场，虽然她也是名校出身的博士，但是，没有数据的反对，不叫科学思维。 我们（数学界/科学界），提出一个猜想，只需要基于一定程度的理性或实验即可，而要证明这个猜想对，或证明它不对，就不是靠一句话，一句政治口号就能完成的，最起码，得有点必要的数据吧，这位名校博士，至少应该有这样的学术素养的。 我的这个猜想，也就导致我的这个认识，公立小学的数学教育，应该是“保基本”，从教学目标上是这样，从教学方法上，也大致接近此则。 我认为这是一个明智的抉择。 从小学教师的实践上看，我们那个年代的，还有我儿子这个年代的，其中都蕴含着这个抉择的痕迹，难道不是吗。 这就是教育规律，非教师人力所能更改，想改，那就得靠制度。 从这个意义上来说，我觉得，目前的小学教课书，不见得有80年代的好，这个观点，是我的同事方运加也跟我说的，再次声明，我没有深入研究，不能把这些观点当作定论，但方运加是专门研究这些个数学教育的，他的话，有深度。 何以哉，现在的小学数学教课书，表面上看，花哨多了，不仅仅有基本的算术，还有好多图画，根据图画，要把相应的算术含义列出来，按我们那个年代的说法，这就叫“应用题”，我们那个年代好像是在三年级才开始接触“应用题”的，按这样子来，现在的小学生是在一年级就开始接触应用题了。 这些图画应用题，实际上还增加了学习的难度，孩子们有可能会算术，但却弄错这些图画应用题，大人如果不仔细，不了解这种图画题的出题规则，都有可能弄错，更何况孩子。 另外来说，这些图画应用题，是否就真正反映出了数学的内在思想呢？它的设计，是否做到了精巧呢？ 其实不见得，我买了“逻辑狗”，就是以图画题为载体，是德国出的，现在有汉语版了，已经引进中国好几年了，我觉得， “逻辑狗”上面的数学题，出题构思，比目前的小学数学教材，真是要好多了，而且，不容易让人产生那种摸不着头脑的误判。 即使如此，我们家虽然买了“逻辑狗”，但也没有真正让孩子多做，原因一是，每天家庭作业要做一个小时，剩下的时间，只能让儿子花在户外活动和自由自主活动上，现在连亲子阅读都做得少多了。 另外一个原因是，我现在还是不想过多地催发儿子的理性，不想让他的能量全都跑到大脑去，这是根据他的实际身心发展而判断出的，如果一个孩子够壮实，够天赋，那是另外一回事了。 我们目前主要做的，还是“百格计算”，相当于传统的“九九表”的变形，网上一搜就能查到它的方法，此处不多说了。 所以，若是依我之见，公立学校的小学数学教学，应该把那些花哨的图画应用题拿掉，不是说不能用图画，数形结合本来就是重要的数学思想，但是别做的花哨啊，就把基本的算术练会，练好，不就成了吗。 公立小学，大量地使用了小红花制度，刚开学作业和考试都还不多，但现在已经鲜明地感觉到应试教育的味道了。 我也不是说就要反对考试，关键是怎么考，就考那些简单的口算题，不行么，现在弄教育改革，结果小学一年级上来一大堆的应用题，孩子搞不清题意，就是错。 那么，在现阶段，小学一年级的学生，是否有必要具有搞清楚应用题题义的能力呢？ 哪位教育专家能给站出来说说？ 我很想知道，编这套教材的教育专家是哪些老师，很想跟他们座谈一下，他们编这套教材的原则是什么，技巧是什么。 我们那一代的教育原则是，“双基”，基础知识，基本训练。 那么，小学一年级学生的花哨图画题，教材上和考卷上，了解应用题题义的能力，是否可以归于“双基”呢？这些编者，能否讲出个道理来。 注意，我的态度是，我不是一上来就说这样做不对，因为我自己也没研究多深入，不敢说这个话，但是，编者们，能否把你们的道理，讲给我们大家听呢？ 确定“双基”为原则，正是符合公立小学的教学规律，就是我认识到的那个猜想，从而导致的自然抉择就是“保基本”。 所以， 如何在公立小学教授小学数学呢？就教基本的算术呗！ 其他的东西，不管是用图画表示数学，还是用故事讲述数学，这些其实都是属于高阶教学方法和目的，可以有，份量绝对是要少的，现在好像有点搞反了。 就那么点东西，学了半天，这也没什么，让孩子慢慢成长呗，可是，过多地使用这些图画应用题，孩子们老堵在那儿出不来，其实是阻碍了孩子的求学速度，也影响了孩子在“双基”上的练习时间。 首师大有位硕士生，在研究“Moore 教学法”，这是真东西，属于那种基本手段范畴却又能兼至高阶目标的教学法，将来她写好后，可以转载给大家看看，PaulHalmos的传记《我要做数学家》里，其实有描述。 那么，一节小学数学课，主要时间似乎可以分为这样几个教学环节： A1. 算术示范和讲解 A2. 算术练习 然后，在其段落间，穿插点图画应用题，主要目的是给孩子换个口味，活跃一下教学气氛： B1. 难度不要高，题意不要容易出现歧义。 B2. 应用题本身，在小学低年级阶段，其意义不一定要指向智慧，一个题是应该有“意义”的，看起来“真实”的，这个意义，可以放在生活上，哲理上。 总之，不要因为数学应用题脱离真实，反而“愚弄”了孩子，大学生出这种题，其实犯忌还不算多大，但让小孩子处于这种氛围，要命啊。 比如说，儿子的教材和考卷上就有，树上原来有12只鸟，现在有7只鸟，把对应的算式写出来，应为 12-5=7 如果写12-7=5，那就是错的，因为剩下来在树上的是7只鸟。何以见得，等号右边就不能表示飞走的鸟呢，这不把人弄蠢了么，你不就画了两幅画么，世界上哪有这样的道理啊，我们姑且承认这种规则吧，让小孩子记住。但是，这种鸟题情况，有可能在真实中发生吗，它跟“真实”，有什么关系，编教材的人，这样的题有多大的意义，能跟我们讲讲吗。 我们幼小教育，最重要的之一是，让孩子看到“真实”，尽量地生活在“真实”之中。 我们很多题目，都可以从真实中来，当然，数学不仅仅是实际世界，有它的创意，这种创意本身，其实也能让我们感受到“真实”，理性世界中的真实。 比如，我儿子就自创了这样一道题： 2+2=4 4+4=8 8+8=16 16+16=32 32+32=64 64+64=128 128+128=??? 做到这儿，算不出来了。 这道题，虽然我们不容易找出幼儿实际世界中的“真实”，来对应，但很明显，我们能感受到那种理性世界中的“真实”，或曰“美”。 关键的是，这是孩子自发产生的。 当然，这个题，本身的算术是基本的，但是意义是高阶的（相当于发现了指数阶增长方式），儿子的这些表现，在我看来，绝对就是教育界所说的“创造性人才”，但是，他能在目前的教育系统里，获得足够的“双基”支持吗，或者说，现在搞那么些花哨的，能够有助于而不是伤害到他的“创造本性”吗。 我们应该确定，我们对公立教育系统的期望和指望，就是“双基”，至于高阶的，公立学校就这么个体制，就不要勉为其难地上马了，最后是不是会搞成个四不像，或者，反而把聪明的孩子教笨了。 儿子还有一道图画应用题，有三杯水，多少是不一样的，然后拿三块糖，大小是一样的放进去，问哪一杯最甜。 考卷的正确答案自然是，水最少的那杯最甜。 儿子说，这个答案不对，（惊讶吧），有可能是另外一杯中等水的最甜，他有他的道理，我不是能完全听懂。但我自己一想，也对啊，这才是真实的物理，图画上，杯子画的很小，糖块画的很大，那么很容易就达到饱和甜度，只要达到饱和甜度，大家都一样甜了。 我只能跟儿子解释，出题人可能没有想到他说的那种复杂情况，我们以后就按出题人设想的那种表面情况来答吧，儿子欣然而释。 孩子看到“真实”的能力，是成年人想象不到的。 智慧如果被蒙蔽，它还有可能再正常生长吗？ 请问出题的学者，你们估计到了这个情况吗。我们进行的教育，不应该是“愚化”教育，应该充分地估计到儿童的智力。 既然如此，我们在教育孩子的时候，是不是需要更精心一些，把教材和试卷做得更费心一些。当然，防不胜防，只要你想着出这种“花哨”题目，就总有可能出现这样那样的问题，使标准答案成为愚人笑料。与其如此，咱们在卷面考试的时候，能不能干脆就不出“花哨”呢。 那些 “花哨”题目，可以放到教学花絮里，穿插一下就可以了吗，没必要什么都去考试吧，这样一来，即使有像我儿子那样的回答，老师也可以当堂解释，正好作为一个教学亮点。 卷面考试，咱们就“保基本”，搞“双基”，你这样的撒糖题，出题的大人可能洋洋自得，被我儿子戳穿，能算作双基吗。 什么要考，什么可以不考，有人研究吗？ 脱离真实的“花哨”，我认为不具有教学意义。那些容易产生歧义，使得孩子误判的“题目”，其实是浪费了孩子的时间，阻碍了孩子的真实学习进度。 我自己是看孩子小，所以一直没有真正动手去教他数学，目前只是准备把心思放在书法和武术上，所以本文所谈，都缺乏深入的实践，仅仅是理性推演和理念预设。 儿子马上就7岁了，我仍然不打算在数学上多教他，德国编的“逻辑狗”，确实很好，我把幼儿阶段的全套，前几年就买了，最近又买了小学一年级的，但还是考虑近阶段不引导他去做，打算等到小学三年级的时候，再引导他玩，那时候再开始正二八经地练练理性推理能力。 公立学校和其教材，应该确定它的能力范围，就是“双基”，那么，高阶教学方法，和高阶教学目标，又将如何操办。 如果没有看过我博文的人，可能不知道我所指的“高阶教学方式”是什么，其中一个，我儿子现在天天回家自发去做，乐此不疲的，就是自己去编课本，但是因为现在考试的影响，他也开始编考卷了，真是应试教育之风，一戳到底啊。 这种 “高阶教学方式”，就没有办法在公立学校的课堂上展开，因为，据我之见，不可能所有的孩子，都适应这种方法，你要逼着全班孩子都这么做，时间花出去后，有些孩子可能成绩会比以前要差，在我看来，华德福教育，在它90年来的实践情况，正是验证了我这个猜想。 华德福教育，强调使用的教学方法（之一就是自制课本），很多都属于高阶教学方法，要让这些教学方法有效，必须挑选合适的学生受众，这是大前提，现实中如果做不到，会大大地影响教学效果/成绩。 这些高阶教学方法，公立学校的学生们，可以回到家由父母操办，这才应该是“作业”的真正主要内容，把时间主要花在这个上面才对。 别搞重复性劳动，作业跟课堂重复，无趣啊，这种无趣，有多大意义？不是说不能重复，但怎样的重复才更符合教育规律，咱们国家师范院校的教育系的那么多教授们，有研究“怎么布置作业”的吗。 然后我们再畅想一下高阶教学目标，现在小学课本是把这些图画应用题掺进来了，我们可以不理它，不逼孩子，就得低分，坚持做我们的百格计算就是了。 但是，到了小学三年级之后，高阶教学目标就是所谓的“奥数”，这个不理，恐怕是不行的，怎么做呢？当然，这里就不再谈公立学校了，而只谈如果想做，我们可以怎么做呢？ “学而思”教育培训公司在北京很强大，我们系不少研究生加盟，3个小时最低250元，绩效工资最高能至500元以上，它们的流程是，专门有备课组，备下的课，给真正的授课教师采用，相当于流程化，工业化了。 我并不反对这种流程工业化，我反对的是另一条，3小时高强度授课，让孩子们囫囵吞枣，伤害的是他们的数学敏感度，这个可要命了。我现在教的大一学生，好几个都参加过奥数，甚至还有拿全国奖项进冬令营的，但是，他们在大学一年级发现，自己学起高代、数分来，并不比其他人强多少，甚至现在的表现是还差点。 这不应该啊！怎么能有这种事呢！你的数学感悟力，如果真正高的话，应该是始终比别人强才对。难道是说，你的数学敏感度，真的因为这种奥数培训，反而被损伤了么。 学而思这种机制，是根本无法采用“Moore教学法”的，这种情况下，让孩子去那儿学，我不觉得是上策，当然，普通人是没办法了，但我们数学系的老师，若是也这么干，自己就是数学家，把孩子还往那儿送，是不是有点。。 如果让我们构思一个高阶数学教育体系，不一定要称它是“奥数”，做的也不一定非得是“奥数”题，能不能这样设想呢。 采用一个矩阵方格结构，每个方格，算是一个教学单元，按列来看，每一列的方格是同一个主题，由浅入深，或者说，由低到高，而每一行，则是同阶水准，但却又属于不同主题。 这样，学习策略就相当于在方格上行走，可以横着走，也可以竖着走，按列纵深地往上走，但走到学生能力极限后，就往水平方向走，这样的好处是，轨迹既清晰，又自由。 这学期，本来有个硕士生在研究小学奥数，但她能力所限没能搞下去，我还没开始指导她呢，自己就放弃了。她的感觉是，奥数题不像正规教材那样系统，确实如此，这实际上是奥数发展的一个特点，也是局限所在。 一个人如果足够聪明，把做奥数题的时间，用来学那些正二八经的数学科目，恐怕能更早地成为数学家。 奥数题的特点就是如此，不是按学科成系统的，有点主题探索的味道，是否该让儿子将来深入，这个我心里没谱，但接触肯定是要接触的，就是不能确定深入到多大程度。 是否有可能，形成这种矩阵方格结构，把题目按照矩阵结构归类清楚，好操作，路径多，值得以后再深思。 我认识的一位智慧家长，他女儿在匈牙利上了六年小学，完全靠家长初期引导，最后是自学完中国的那套小学奥数教材，获得了匈牙利的奥数奖项---波利亚奖。这位家长的观点是，孩子学奥数前，应该先系统地把小学课程都学完一遍，然后再开始做奥数题，可能现实中他也不完全是这么做的，但是这种想法有道理，相当于在这个矩阵结构上水平扫描，然后再按主题纵深，也是走法之一，但应该不是唯一，先纵深再水平的走法，如果孩子能走，也可以啊。 附注1. 我们的教学观点是，别拿孩子当傻瓜，他就能成长起来。有些家长和教师，包括这里说到的教材和考卷中的某些元素，无形中就有这么做的，这么给孩子暗示的，暗示你就是个傻瓜，你必须是个傻瓜。 怎么处理这种情况，只能靠今后的实践，但写下这篇文章，也是对今后自家教育方向的一个提醒。 附注2. 公立小学的教学，是围绕考试的，那大家就应该研究“考试”，这没什么好说的，别羞羞答答。如果我这篇文章的思想成立的话，公立学校考什么，就考最基本的。 什么叫最基本，就是我在文档中表达的，教育是一个减法的过程，那些减法之后，减之又减最后留下的东西，就是最基本的。 比如说数学，我们这样减下来，最基本的就是“九九表”了，口算心算，这个你总是不能再减下来吧，我们考试就考这个。 考这个还有个好处，就是真的能让家长，心服口服，教育最重要的，就是让人心服口服，对不。你弄那些花哨题，孩子做不出来，不是因为不会算术，是因为不了解题意，这就不能让家长心服口服。 现在，我们就考最基本的，孩子考的不好，那就是真不好，家长心服口服，就得想着法子把孩子促进上去，这是中华民族的强项，这个大方向是对的。 需要补充的是，只考最基本的，并不意味着教学就只弄最基本的那么枯燥，因为基本的东西，也能玩出花样，这才是反映出真正的学养。退一步来说，花哨的东西，也可以作为教学花絮，调节一下气氛，别弄地太严肃，反而南辕北辙了。 总结言之，我这篇文档，很可能跟目前小学数学教育的指导思想是完全不一样的，我自觉更符合实际，我们不能照搬国外的一些思潮和做法，人家有人家的实际，你把人家教材的表面东西拿来，巧不巧还不用说，但在配套制度上是否适合，首先就是个问题。 如果我们在公立学校的定位上，就是保基本，对师资进步的要求，也就不会那么花哨了，也就真地可以踏下心来，做些实事了，这些教师的努力，用在最基本的地方上，是会让家长们乃至科学家们，更为信服的。 原因很简单，就是教育是一个减法的过程，至简之处，即是众人所归之处，到了这个地步，谁也不能说你做的不对。 附注3. 如何面对国内公立学校的“愚化”教育？ 本文说不定是对这个问题的基础性解答。
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[转载]中央教科所李铁安博士谈数学文化与数学教育
热度 1 lysyxcs 2011-5-24 10:55
李铁安对建数学文化活动室充满信息，他认为数学文化活动室将会成为放飞智慧的伊甸园；数学课程的后花园；学校文化的高端园；特色办学的标志园。其定位是高标创意、博大精深、一枝独秀和芳香溢远。 紧接着从四个层面切入正题，引领全体教师追求高品质的课堂教学。一是追问：新课程下教学存在的问题；二是追探：小学数学教育的核心价值；三是追寻：高品质课堂教学关键要素；四是追求：高品质课堂教学实践路径。 一、追问：新课程下教学存在的问题 1. 数学课程改革的新理念 学生为主体——课堂还给学生；教师是幕后——组织者引导者；数学课堂要素基于生活经验与现实；设置问题情境作为启发学生载体；充分的小组合作——交流——探究；在活动中快乐地学习数学；充分借助多媒体手段教学。 2. 新课程下的观摩课 问题情境——新奇独特；画面——教具——音乐——游戏——别出心裁；活动交流——合作探究——热热闹闹；学生表现——举手争先恐后——回答异口同声；教师表现——极尽调动煽情——毫不吝啬溢美赞辞。 3. 新的教学模式下的课堂效果表现 情境更有趣了，但问题的挑战性变浅了——数学的意境变淡了；内容更丰富了，但知识的系统性变散了——思想的意蕴变薄了；学习更开放了，但思维的想象力变窄了——教学的节奏变乱了；课堂更活跃了，但文化的感染力变弱了——课程的目标跑偏了。 4. 新教学模式暴露的突出问题 数学问题生活化，严谨问题随意化，复杂问题简单化，简约问题繁琐化，生成问题刚性化。 5. 激发学生学习兴趣问题：一个启发式的解释 问题性——提出的问题不要离开教学的主题（反例：吃重庆火锅，引出火锅底料，再提出百分数概念） 知识性——提出的问题中要有数学相关知识 ( 反例：老外用筷子，掉在地上，引出相交与平行 ) 挑战性——提出的问题能引起全体学生思维活动（反例：学习周长，让学生量腰围） 参与性——提出的问题能引起全体学生关注（反例：讲圆的画法，让学生回家到电脑上尝试） 6. 学生主体地位体现问题：一个隐喻式的解释 主体的本质体现在思维的主体性和活动的主体性，前者是根本；让学生思维始终在兴奋中是课堂的主题，在活动中积极参与未必体现主体性；让学生充分获得提出问题、发现问题、解决问题的机会；学生回答问题产生的错误和遇到的疑惑尽量让他们自己去解决；不要冷落一直迫切举手想回答问题的孩子（有时老师不容易发现他）设置小组竞赛刺激主体并非可取；数学课堂活动中，观察的环节是非常重要的；学生语言转译的训练是培养思维能力的重要途径。 7. 教学方法手段的使用问题：一个反思性的解释 不是所有的课都需要多媒体——手段是为内容服务的，首先要对课程定位；多媒体展示的画面太富有吸引力往往容易成为影响学生注意力的干扰因素；数学课堂上尽量回避音乐伴奏和别样声音（包括掌声）；数学教学中教师的板书有时是非常必要的——为学生树立一个标准；教具的使用以简便易行为原则；教师的教学语言尽量朴实真实（包括词语和用词）；教师在教学不同环节的衔接中，过渡语的使用对启发学生、控制节奏至关重要；教师要走下讲台，深入每一个学生中间，营造平等关系，及时发现学生学习问题。 8. 新课程给课堂教学带来的几个矛盾 是注重长效还是追求短效？是追求完美还是允许残缺？如何处理教学预设与生成？如何把握课堂节奏与过程？如何处理小组活动的时机与独立思维的火候？如何把握教师启发式讲授与学生自主性探究？ 9. 中国数学教育以至教育最缺少什么？ 三个空场——人、历史和未来：缺失对生命的关怀；缺少对历史的情怀；缺欠对未来的胸怀。 二、追探：小学数学教育的核心价值 1. 儿童的天性 完整性思维——物我不分，人我不分；拟人化思维——以己度物，以类度类；审美性思维——本真之美，和谐之美；非理性逻辑——不合逻辑的逻辑。 2. 对诗性智慧和理性思维的解读 直觉猜想——诗性智慧——形象：追问的永恒力；审美的直觉力；浪漫的想象力；灵动的发散力。 逻辑推理——理性思维——抽象：思维的深刻性；思维的严谨性、思维的全面性、思维的系统性。 3. 小学数学教育的核心价值是唤醒——诗性智慧；启蒙——理性思维。这是一种充满诗意与理性的深刻而隽永的教育境界！ 三、追寻：高品质课堂教学关键要素 1. 高品质数学课堂教学关键要素 真实：立足数学学科本质——尊重学生认知规律 快乐：教师激情从容淡定——学生充实轻松奔放 丰厚，知识——技能——思想——观念——多维目标实现 简约：讲授有效指导有力——探究有度合作有序 和谐：教与学协调一致——目标与策略有机统一 创新：教学内容优化组合——教学方法创造选择 真实与快乐——丰厚与简约——和谐与创新——辩证统一 2. 高品质课堂教学的逻辑起点 为什么我国学生的创造力普遍欠缺？仅从小学数学教育的现状似乎可窥一斑：我们的孩子在数学课堂上承载得太多——必须保证知识准确率——严格追求技能熟练度，湮灭了兴趣火花，加重了精神负荷，垄断了独立思考，禁锢了灵动思维。同时我们的课堂缺少的太多——淡定从容、自由意趣、价值关照、文化柔肠。 四、追求：高品质课堂教学实践路径 1. 高品质课堂教学实践路径 文化导航——彰显核心价值——全方位统领 问题驱动——以问题解决为主线——全程式贯穿 数学思想统摄——以数学数学为核心——全景式镶嵌 超越知识，技能之上，追求儿童创造力发展和精神成长；将发现问题、提出问题、分析问题、解决问题组成链式结构；在问题解决链式结构的各个环节参透数学思想。 2. 当前课堂教学亟待八个“转向” 从过分追求准确率和熟练度转向呵护创造力和精神成长；从追求短效与力图完美转向追求长效与宽容残缺；从只顾教师教明白转向让学生学明白；从只顾教师想转向与学生一起想；从直接进入学习新知转向旧知引新知；从过分强调实验验证转向巧妙借助逻辑力量；从过分注重合作探究转向引导学生独立思考。 3. 教师还缺少些什么？ 不缺理念缺观念；不缺经验缺概念；不缺技术缺基础；不缺辛勤缺创造。 4. 数学文化的基本素材 数学与自然生活之关联：宇宙自然现象和人类生活蕴涵的数学知识和原理，数学在自然和人类生活中的表征与应用。 数学本身的特征：美妙的形，有趣的数，精致的数学概念、公式、定理，神奇的数学规律，深邃的数学哲理。 数学家的创造活动：数学家的成长经历、名言、思维技巧、思想方法、学习态度、个性品质、科学与人文精神。 案例 :1+100 ＝ 2+99 ＝ 3+98 ＝ 4+97 ＝ 5+96 ＝…… 50+51 ＝ 101 101 × 50 ＝ 5050 高斯精美的数学思维：①思维的变通性——追求算法简单；②思维的直觉性——数字内在和谐；③思维的概括性——寻找普遍规律。巧妙利用加法交换律和结合律，实现加法向乘法的转化。 内隐规律：蕴涵着序的概念；守恒观；转化思想。 5. 问题情境的含义 （ 1 ）逻辑起点：问题是数学的心脏。 （ 2 ）问题与情境之关系：问题是本，情境是标，没有情境的问题不一定不是好问题，没有问题的情境一定不是好情境。 （ 3 ）问题情境的内涵：情境中有没有数学问题，如何用数学解决情境中的问题。 （ 4 ）好的问题情境的标准：问题与情境的交融，激发学生情绪，调动学生思维。 （ 5 ）创设问题情境的切入点：与新知识相关联的旧知识，现实生活中素朴的空间形式和数量关系，数学问题的还原模式及再创造模式。 最后，李博士为小学数学教育教学指出了发展的方向： 彰显一面旗帜：文化驱动。数学史料的渗透——数学思想渗透——数学文化的导航。 奠基一块基石：实施教师数学素养提升工程； 践行一个范式：开展教学课例研究； 谋求一种境界：高品质的数学课堂； 谋求一个目标：培养富于诗性智慧与理性精神的学生。
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挑战吴老师一个小学数学问题
热度 5 Babituo 2011-4-27 14:15
挑战吴老师一个小学数学问题
吴老师喜欢论战，我就开一个话题来和吴老师战一战。 吴老师要是累了，随时去休息，不要影响您的身体健康，我的初衷是希望用您喜欢的方式，活跃活跃您的精神，不希望累着您。好吗？ 开始了： 您只要顺着我的问题回答，就好。当然，也欢迎您设擂台请我上来打擂，但，一定要从小学水平问题开始。我们都不要轻视小学水平问题啊。 乘法的含义是什么？ 1.求一个数自加多次的结果； 2.知道每份数和份数求总数； 3.知道长度和宽度求面积。 这些含义的本质是相同的吗？ 如果本质是相同的，那么适应范围也应该是相同的。 就是，总能从不同的每一个角度来解释同样乘法算式的含义。 真的是这样的吗？ 下面让我们来检验一下： __________________step 1_______________________ 先在正整数范围来检验： 例如：3X4 =12 1. 3 这个数自己加自己加4次，结果是12 2. 每份有3个，共有4份，总共有12个 3. 宽是3,长是4的长方形面积为12 顺利通过。 有问题吗？ __________________step 2_______________________ 然后在正实数范围来讨论。 例如：1.5 X 2.4 = 3.6 1. 1.5这个数加自己加2.4次，结果是3.6。 2. 每份有1.5这么多，共有2.4份，总共有3.6这么多； 3. 宽是1.5，长是2.4的长方形面积是3.6； 需要拓展的理解是： 1.原来“个数”也可以是小数，就是要允许有“不完整的个”存在。 2.原来“次数”也是可以是小数的，就是要允许一件事做到中途就中止下来不再做。 3.原来份数也可以是小数，就是要允许不完整的1份存在。 小数的面积好理解，只是单位取不同就很容易理解了。例如，原来一分米为单位的数，改为用米为单位的数。这对应观察计算的细致程度不一样。 有问题吗？ 基本通过 __________________step 3_______________________ 现在扩展到整个实数范围来讨论，也就是包含负的实数的乘法。 例如: -1.2 X 1.5 = -1.8 1. -1.2这个数加自己加1.5次，结果是-1.8。 2. 每份有-1.2这么多，共有1.5份，总共有-1.8这么多； 3. 宽是-1.2，长是1.5的长方形面积是-1.8； 需要拓展的理解是： 1.个数可以是负数，表示缺少的个数。 2.每份数也可以是负数，表示每份不足的数量； 3.宽度可以是负数，表示？ 4.面积可以是负数，表示？ 能请 vigorous 老师试着来解释一下为什么会这样？ vigorous 老师解释如下： 那还不能定义有向线段啦，矢量啦。宽度可以是负数，在实空间中的有向线段。面积可以是负数，表示虚空间中两虚数长线段乘积。而根据两矢量叉乘可得到面积，而面积又可以看作垂直于此两矢量构成平面的一个矢量。 vigorous 提到了 方向，矢量的字眼。是的，能结合现实含义来理解吗？ 我的解释如下： 1.2所说的乘法，是一维空间上的乘法。 3.所说的乘法，是一维空间上朝二维空间上进行扩展的乘法。 这是2种完全不同的乘法。 严格意义上来说：求面积的乘法，不能叫做“乘法”，而是“积分”。 1.2所说的2个乘法因子，是对应同一个“方向”的增长因子。就像一根绳子，对折3段，每段5米，总长3X5米，就是15米。其中的3和5都是沿绳子长度方向的度量。也就是说，其中的因子3，和因子5，如果画在数轴上，是相互“平行”的（方向重合的）。这是在同一维上的成倍增长。 而3所述的“乘法”，是对应两个正交方向上的增长因子。一个宽3米，长5米的房间的面积中的3和5，是相互垂直的方向上的数量。从数量单位上也可以看出：二者的乘积得到的数量的单位，和原来的单位已经不一样了。3米X5米 = 15平方米了，而绳子则是3段X5米/段 = 15米。 一个得到的结果仍然是在一维空间上的度量；另一个得到的结果是二维空间上的度量。 这个差异的语义区别，是我们通常没有注意到的。 当我们从低维向高维扩展时，我们所做的“扩维操作”和我们在低维上的“倍率”操作的含义，是严格不同的。 考虑到方向问题，我们扩展如下理解： 正负符号，还是要回到“缺少和多出”的角度来理解。 0宽度表示没有宽度，意思是相对参考点来说，没有朝任何方向延伸出来任意小的长度。 如果我们规定一个方向表示正，那么，另一个方向就表示负。 比如，两国的国境线，本来是固定不动的，不动的位置定义为0位置，现在，超别的国家移动了一个位置，那么，这个国家的面积就增多了；另一个国家的面积就减少了。 -1.2 X 1.5 = -1.8 可解释为： 3.在以1.5为宽的形状的土地上，我们在长度方向退让了1.2，结果是我们让出了土地1.8。 问题解决 长度和面积都可以是负数，表示相对平衡点往正方向的反方向的移动产生的差异。 然而，问题就这样解决了吗？如果就这样解决了，这楼可真的就很没意思了。 __________________step 4_______________________ 淡定一点，再看一个例子： -2 X (-6) = 12 1. -2这个数加自己加-6次，结果是12。 2. 每份有-2这么多，共有-6份，总共有12这么多； 3. 宽是-2，长是-6的长方形面积是12； 现在需要拓展理解的是： 1.次数可以是负数；是还需要做的次数的意思吗？ 2.份数也可以是负数；是缺少了这么多份的意思吗？ 3.负方向的长度和宽度表示的面积为什么是多出来的面积？ 1,2已经彻底没问题了，第3个问题有点费解了。 在长度方向和宽度方向分别都让步了2和6，我的面积反而多出来了12。 vigorous 老师， 您的大脑思维还能跟得上吗？ 提示：图中的十字箭头线不是坐标轴，只表示A国国界扩大的正方向。 vigorous老师的回答是： 说实话就是加减号和正负号混淆的一个问题，而且从常识上看减去长，减去宽，必然（减去了）正面积，而不是获得了。另外减去或得到的是面积而不仅仅是单独的长或宽。 我的初步分析： 关键是：由于同样的乘法，同样的计算结果，却不能同样按一惯的语义来解释，所以，我们现在真的就可以断定了：在二维上计算面积的乘法和在一维上计算倍率的乘法，在本质上是不同的运算类型（学术一点说，应该是不同的逻辑谓词），虽然名字都叫乘法，符号也用的是同一个，但实际只是在某种条件下，算面积的乘法和算倍率的乘法在数量关系上是一致的，并且能维持正常的逻辑语义，这正好起到了掩盖他们本来就不同的本质的作用。一旦我们变换环境条件，他们本质不同的马脚就暴露无遗。 本楼就可以到此为止了吗？ 不！ 另人震惊的谜底，往往就在我们不经意的疏忽中。 如果我们就此打住，我们就这样轻易地放过这个“本质不同”了， v igorous 老师，您能最后一次再尝试猜猜这个简单而令人震惊的谜底是什么吗？ ____________________ Step 5 _________________________________________ 这个简单而令人震惊的谜底是： 被我们敬仰已久的布尔逻辑，只是“半一维”的逻辑。 当我们的大脑的“空间数值计算”的水平已经达到十维，甚至借助电脑已经达到两百多维的时候，我们的“空间逻辑计算”能力却始终停留在“半一维”的水平！ 何为“半一维”逻辑计算？就是只能 在1维的逻辑数轴上的0和正逻辑数1上进行计算。 数值计算，实际上可以看成是“逻辑计算”和“正数值”计算的混合，如： 在 一维 的数值计算中： -2 X (-6) = X = X = 1 X 12 = 12 2 X (-6) = X = X = (-1) X 12 = -12 2 X 6 = X = X = 1 X 12 = 12 0 X (-6) = X = X = 0 X 6 = 0 0 X 6 = X = X = 0 X 6 = 0 将上述式子中的黑体部分提取出来，就是： 0 X 1 = 0 ---------------(1) 1 X 1 = 1 ---------------(2) 0 X (-1) = 0 ------------(3) 1 X (-1) = -1 -----------(4) (-1) X (-1) = 1----------(5) 其中(1),(2)式表达了布尔逻辑的“与”运算规则。 而（3），（4），（5）则是扩展了负逻辑之后的“一维三态逻辑”的和负逻辑数（-1）相关的“与运算”规则。 为什么要强调是一维的逻辑？ 这和我们已经明确的三个乘法的本质含义，只有算倍率的1,2是相同的，是一维上的乘法，而算面积的3的乘法，是二维上的乘法，是一个道理。二维上的数值计算和一维上的数值计算一样，可以认为是二维逻辑计算与二维正数计算的混合。 而二维的逻辑计算规则和一维的逻辑计算规则存在不同，则是本楼的谜底的谜底。 我们不难理解，二维三态逻辑“与计算”的规则应该是： 1 X 1 = 1-------------理解：两向都有多，总的才有多； 0 X 1 = 0-------------理解：只要1向没有，总的就没有； 0 X (-1) = 0----------理解：只要1向没有，总的就没有； 1 X (-1) = -1---------理解：只要1向有少，总的就有少； (-1) X 1 = -1---------理解：只要1向有少，总的就有少； (-1) X (-1) = -1------理解：两向都有少，总的当然也有少； 如此自然的二维三态逻辑，只是逻辑计算从1维向2维迈出的一小步。人类却用掉了100多年的时间才取得突破。真是遗憾！ _____________________ The end _____________________________________________
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炮轰NASA招聘不看学历和英语等级
热度 8 冯用军 2011-4-19 18:15
今天看蒋迅的博客，有篇文章《从小学数学教师到NASA火箭工程师》让我很是感慨，话说： 毕业于美国一所普通州立大学（中密苏里州立大学 (Central Missouri State University) ,相当于我国的省属大学，还不是省属重点大学）、好似天生注定要当一辈子小学数学教员的萨姆罗尔 ( Phil Sumrall ）。有一天偶然到市中心的一家理发店去理发，恰巧碰到了大名鼎鼎的NASA火箭科学家布劳恩。大约半个小时后布劳恩开始和身边的人交谈，这人就是萨姆罗尔。布劳恩问他是做什么的，他说是在当地一所私立学校教数学和科学。最后，布劳恩问他，是否考虑过到NASA工作。走前，布劳恩给了萨姆罗尔一个电话号码和一个人名后说，“什么时候想去的话就给这个人打个电话。告诉他，你和我谈过了，我认为你可以到马歇尔航天飞行中心工作。”到六月份学校放暑假的时候，萨姆罗尔给那个布劳恩留下名字的人打了一个电话。原来那人正是马歇尔航天飞行中心的人事部主任。以后的面试很顺利。7月2日萨姆罗尔就在马歇尔航天飞行中心正式上班了。 现在，萨姆罗尔已经是NASA的最知名的2位火箭科学家之一。 从布劳恩招聘萨姆罗尔的整个过程来看，好似完全没做到公开、公平、公正，这显示资本主义社会用人是如何的“黑暗”、“腐败”、“封建”和“专制”。 国家机构用人应该：1、至少提前半年向上级人事主管部门报批用人计划；2、公开发布招聘广告，列名应聘条件，比如是否本科、硕士、博士毕业高校是“211”、“985”或者海归、专业是否对口、英语等级、是否学生会干部、父母是否在国家权力部门或国企等，要保证应聘者信息透明、招聘阳光；3、应聘者向招聘单位人事部门提交电子和纸质简历；4、招聘单位组织严格的招聘考试和面试；5、对外公示拟录取人员；6、公示无异议，录取人员上班。 我们说布劳恩招聘有“猫腻”，有腐败： 1、未经组织允许，私下对人许诺提供工作，违反了组织的用人纪律和避嫌原则，而且还有接受萨姆罗尔为布劳恩理发买单等行贿受贿嫌疑； 2、NASA作为美国最顶尖宇航中心，招聘的人员应该是“海归”，至少应该是本国的“985”、“211”学校毕业的博士，也不问问外语几级，简直是对NASA工作极度不负责任的表现； 3、擅自招聘一个连省属重点大学都不是得本科毕业生，显然有“暗箱操作”嫌疑，表现在滥用领导权力给人事部门负责人打电话，给应聘者说情，使得应聘者面试一帆风顺。 前面说到布劳恩招聘萨姆罗尔违法违规，违反《公务员考试法》和《事业单位人员招聘条例》，而且还不合情合理： 1、萨姆罗尔事前未找七大姑八大姨等虽隔着祖宗十八代但还能拉上关系的NASA的上级主管部门领导或其他领导给说情； 2、萨姆罗尔也没请客送礼、吃饭桑拿、洗澡按摩，也没送土特产或者高档洋烟洋酒，更没送钱或购物卡等，最多有嫌疑就是请了布劳恩理发，这哪像万恶的资本主义社会找工作的人； 3、按照资本主义社会“权力不用过期作废”的黑暗，布劳恩应该主动索贿或者暗示索贿，以显示领导的派头，但他没有，布劳恩既非久经考验的共产主义战士，更非大公无私的优秀共产党员，他是美帝国主义太空军事争霸竞赛的NASA的头头，就像刘谦的魔术，这太不可思议了； 4、按照资本主义社会“讲究民主三权分立”的恶习，布劳恩应该推崇集体领导集体决策，怎么能独断专行。 这显然是不会发生在我们社会主义中国的，我们的无论是政府、还是高校等事业单位，用人都是公开、公平、公正的，都有一套严密的程序来监督的，不会有领导私自招人或者替应聘者说情的，也不会设定特殊条款限制某些应聘者的，遇到领导亲戚有应聘的，领导往往主动避让、避嫌，让下级去处理。比如我们高校，尤其是我们的“985”、“211”高校，招人都是公开列明条件的：海龟，或者“985”、“211”高校毕业的博士、硕士或者学士，什么专业，发了多少篇SCIorCSSCI、影响因子IF几何等等，都是公开的，对每个应聘者都公平。如果你不是海龟，那是你自己的原因，如果你不是“985”、“211”大学的博士、硕士、学士，对不起，谁叫你不读“211”、“985”呢，所以，还是你自己的原因。结果，搞得专科的谢泳老师调到“985”高校厦大，都成了轰动全国的新闻，有人拿来与民国时期蔡元培破格聘用中学毕业的梁漱溟、梅贻琦破格聘用小学都没上过的沈从文相提并论，这怎么能相提并论呢？我们现在是中国特色社会主义新中国的北大、清华，蔡元培、梅贻琦那个时代是国民党独裁统治的旧中国的北大、清华，这里有天壤之别。 有些企业招聘人才效率更高、更环保、更低碳：本公司招聘XXX人才，至少有2年以上工作经历。试问，应届的学士、硕士、博士，哪来的工作经历？ “布劳恩不拘一格聘萨姆罗尔”的这种法西斯式独裁、武断、封建、毫无组织观念的用人行为是不会发生在我们社会主义中国的。 举报 gyc78 2011-4-19 11:21 这人事部门完全是给领导开后门了！不要上会讨论么？领导说用谁就用谁，实在太腐败了！！ 博主回复(2011-4-19 11:40)：在美国，这种“后门”比比皆是。好在美国人总体上是正派的。 IP: 124.119.50.* 举报 匿名 2011-4-19 10:27 NASA的人事部门负责人太没有组织观念了，招聘一个人居然不要求博士学位、英语六级、211本科、211硕士、211博士或者海归博士？！这简直是对人类航天事业的极度不负责任！！ 转引自： http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=420554do=blogid=434806page=1
个人分类: WCGI世界廉政研究院|4981 次阅读|19 个评论
幼小阶段数学教育的真功夫 整理版
热度 7 arithwsun 2011-2-11 21:29
幼小阶段数学教育的真功夫 整理版 王永晖 幼小阶段是指，幼儿园和小学低年级阶段，据科学家传记，很多人是在11岁之后，才开始对数学有严肃的兴趣的，即，开始踏上理性思维的征程。 但是，幼小阶段有幼小阶段的理性思维，不是没有，是表现形式跟11岁之后不太一样而已。 最基本的现象是，幼小阶段的理性思维精神，并不是完全通过数学课程表现的，相反，历史课程、地理课程乃至人文课程包含了大量的理性思维的要素，完全是这个阶段的孩子所能理解和吸收的。 数学包含了很多“逻辑”方面的元素，但是孩子最早接触“逻辑”，其实并不是从数学开始，是从“家庭教育规则”开始的。 家庭教育乃至学校教育中体现出来的规则，不就是“逻辑”么，孩子锻炼逻辑推理能力的过程，实际上就蕴含在这些日常生活的实践之中。 幼教规则，不仅仅是让孩子们懂得做人的道理，更是孩子们最早接触到的“逻辑”训练，懂得做事的道理。 如果幼教规则不当，将会打击到孩子的逻辑推理能力的成长，所以，孩子逻辑能力不好，不一定是数学没学好，不一定是数学课程、数学老师出了问题，很可能源于家庭教育规则、学校教育规则方面的负面影响。 这方面的内容，将会放在另外一篇文章“同理心的因和果”中，这里先行略过。 幼小阶段的数学教育，因此不要希望把理性思维训练的内容大包大揽，那些更为深入，更能体现理性思维的数学内容，完全可以等到孩子11岁之后再开始练习。 那么，这方面放手了，幼小阶段数学教育又应该重视什么方面的内容呢，只有“真功夫”、“硬功夫”，才值得教师/家长/孩子们真正投入。 我在晨兴中心数学高手们的环境中熏染过多年，根据自己在数学研究上的跋涉经验和对这些数学高手们的观察，将这种认识往回推，推到幼小教育阶段，认识到幼小阶段数学教育的真功夫，在于： A1. 对数学的集中注意力，以此基础最终发展成良好的自学习惯。 A2. 对数学的敏感度，即知道哪里不懂的能力，以此基础最终发展成坚韧的探索精神。 说穿了，其实就是“态度建设”，“态度建设”是幼小教育的核心内容，A1和A2则是刻画了“态度建设”在幼小阶段数学教育方面的具体内涵。 数学，恐怕是对集中注意力要求最高的一个学科，另外一个，可能是古典音乐。 为什么说，这个是“硬功夫”呢，因为用这个标准来看，世界上很多成年人，终其一生从未跨进过数学的门槛。 有些数学上早慧的天才，儿童时候最重要的表现，并不在于比别人早学会数数，早学会加减乘除，而是在于他们对数学的集中注意力的量和质，是很多成年人终其一生也未达到的，这还不够“硬”吗。 早慧儿童的家长们，应该考虑到这一点，要想的长远一些，要少做“横向比较”，即少跟同龄孩子去比，多做“纵向比较”，即在纵向的时间尺度上，预估孩子长大之后的各阶段表现，跟人类历史上积累下的经验去比较。 普通家长们，容易理解A1的重要性，但是不易认识到自己孩子的A1-集中注意力，在数学上的难得，对其珍贵属性，没有充分的意识。人生路途上遇到珍宝，狂喜失态自然不对，但是碰巧拿到珍宝，有眼不识，随手一放，最后自己也忘了，想拿的时候找不出来，更是不对。 早慧儿童，对数学产生出超常的集中注意力，原因有很多种，有些可能像黄金，历久不败，有些则可能像流星，一闪而过。 相反，有些孩子虽然发育的晚一些，但只要他们踏入了数学的这个门槛，终生走下去，得到真金，反而比流星式早慧的成就要大得多。 是流星，还是黄金，我在晨兴中心那些环境下见到的数学高手们自然属于后者。 但孩子小的时候，谁又能看出来呢，这方面原因很复杂，有成功的，有失败的。 失手放过孩子流星式的闪光，或者漠视孩子黄金式的执著，只重视知识，只注重“横向比较”，不重视“态度建设”，不重视“纵向比较”，可能是后者的一个重要原因。 相反，家长们如果能实施良善的教育方式，重视“态度建设”，也许能让流星不灭，让黄金不致埋没于土，将孩子对数学的这种集中注意力，一直保存巩固下来。 我们一会儿再谈，如何来做。现在再说 A2-数学敏感度，即知道哪里不懂的能力。 孩子笨，见了题目，说自己不知道，不仅是诚实，这种孩子可教。相反的一些孩子，见了题目，随口说出答案，乱猜乱答，违反A2，缺少了数学敏感度，就很难教他们真正学会一个东西。 这个观念，也是普通家长们容易忽略过去的，他们往往急于给孩子提供答案，结果养成孩子见了题目，就乱凑数的习惯。 其实，不仅是家长们，很多专门做教育培训的商业机构，本质上也是违反了A2-数学敏感度原则，他们在周末举办奥数培训班，采用大容量授课的方式，那么难的题，在我看来，孩子能用一个学期做出来就非常不错了，这样的题却要在3个小时中讲出10道左右。 知识是囫囵吞枣地灌下去了，美其名曰，虽然没学会，但是扩大了知识面，混个脸熟。 幼小阶段的数学教育，不能这么搞，它打掉的是孩子的数学敏感度，当然，注意力在那种授课方式中恐怕也难以长进。 我现在为什么这么关注幼小教育呢，就是自己有了孩子，认识到学校在当今情况下很难提供满意的服务，将来肯定得靠校外培训，可是校外培训机构都是如此商业化操作，孩子是自己的，我只能为了孩子，将自己多年所学，倒推回去，为他们重新设立架构。 确定了A1和A2的原则和重要地位之后，我们再来谈怎么做，其中的教学原则，跟普遍的幼教原则基本一致，这里复述一下： B1. 孩子是通过模仿来学习的。 B2. 孩子是通过操练来思考的。 B3. 教育要符合孩子的身心成长节奏。 把上面两条中“学习”和“思考”的位置对换，也是对的，自然语言只能达到一定程度的指示性，让人意会到了即可，我们就不咬文嚼字了。 C1. 孩子提出数学问题时怎么办？ C1-a. 我们希望孩子们在“态度建设”上进步，那么我们就要遵循B1-模仿的原则，自己首先做到对数学的那种“求索”态度。 依此之见，孩子有数学问题了，问大人，大人立刻随口答出，就会看不到这个过程。相反，如果孩子问数学问题的时候，大人假装自己也不是很清楚，露出迷惑不解，苦苦思考的眼神，跟孩子对视，就能将孩子对数学未知的注意力，延长那么一会会儿，很多情况下，这么一会会儿的功夫，孩子就自己把答案说出来了。 这种做法，练习的就是孩子的态度，通过大人示范，让孩子模仿的不是知识，而是那种神情和态度。 这样做，使得A1-集中注意力和A2-数学敏感度同时受益，一箭双雕。 所以，我们不要替代孩子们解答问题，不要急于从逻辑理智上去帮他们解决问题，而是以身作则，让他们模仿，模仿我们面对数学难题时，困惑不解、钻研不休的那种神态/心态。 数学上的东西，跟其他教育原理一样，重点不一定在于内容，更在于“心意”，全凭“心意”练功夫。如果不激发起孩子的求知欲，什么样的“辅导性方法”都是白搭的。 C1-b. 家长宽容，不逼孩子，就是不逼他们搞形式主义，搞面子工程。 孩子能学会数学，是本性具足，我们不会试图去教一个大猩猩学数学。孩子若挂心于数学，注意力集中，完全有可能靠天性突破，家长横加干涉，反而有可能打乱了孩子的自然节奏。 教师和家长们甚至可以为此降低数学内容的难度，不要过难，难得大学生都想不出来（很多小学奥数题目是这样的），那对孩子当然不好了。 只要孩子愿意做简单的题，只要他不厌，就让他继续做，而不是马上跳到更难的题目阶段，急于求成的家长实际上是在打扰孩子而不自知，怎么可能在这种情况下保持住对数学的集中注意力和敏感度呢。 对于稍微难一些的题目，当孩子在数学上表现出“笨”的时候，我们最重要的不是给他们答案或解法。家长们最简单、最基本的做法是，承认这种“笨”，容忍这种“笨”，就是承认数学上有未知的东西。急于让孩子知道答案，急于让孩子变聪明，反而有可能降低了孩子在数学上的敏感度。 数学能力，最重要的是发现“未知”，发现自己不会的地方在哪里的能力，一道难题，完全有必要翻来覆去的重复，不断地深入发现自己不会的地方真正在哪里。 C1-c. 如果遇见聪明老师，那就更好了。聪明老师的一个重要教法是，帮助孩子们发现他不知道的“地方”，具体在哪里，如有可能，把它分解为数个小问题。 如果幸遇天才学生，他们自己就能把不会的地方找出来，分解出来，学生有了如此高的敏感度，老师才能往深里教啊。 这种教学方法，怎么指点，就得靠专业知识水平，而不是所谓的教学教法。 C2. 正确对待心算能力，它既是重要的，同时又应该注意培养方式中的互动过程。 心算能力是重要的，倘若心算不好，什么东西都要算半天，就不可能把精神放在真正的推理上，小孩子性子急啊。一般来说，小孩子在11岁才开始对数学推理有敏感性，数学推理中还是需要大量的算功，之前没有把算功练过去，一个简单的消去法都做得累，还怎么谈后面的推理和理性思维呢。 数学家传记也充分证明了“心算”的重要性，当然也有些特例，但我估计，那些特例之人，当属性子特别平稳扎实，从而仍符合A1-集中注意力原理，又靠天性，在A2-数学敏感度上有卓越的能力。 相比于以前的时代，现在的公立学校和商业培训机构都很难真正花心思在心算训练上面。 公立学校的老师费不起那个时间，哪敢推动孩子们天天练一遍百题计算。商业培训学校呢，这种东西又太简单，这么简单的东西，怎么好卖出价钱呢，奇技淫巧才能有价码。 普通家长们若是能知其理，就不会花钱让孩子走上歧途了，我以前博文中，曾讲述过自己的研究生在北京某教育培训学校（刚在美国Nasdaq上市）任教的经历，我根本不相信那种方法能让孩子们学懂数学，实在不行，还是家长们自己来吧。 所以，学数学应该从心算开始，但是奇技淫巧般的各种速算法和珠心算则不必了，因为实用价值不高，而且容易跟A2-数学敏感度矛盾，很多速算法的原理，孩子未必能真懂。这里，推荐阴山英男的方法：百格计算，相当于中国传统的九九乘法表的变形。 一些“新式”数学教育手法，侧重于对算术的理性解释，甚至因此否定心算的重要性。 一些现代心理学实验已经发现，算术的基本概念，被证明天然地存在于孩子的头脑里，至于抽象化的思维方式，也在不少敏感的孩子身上自发地表露。 我们之所以能教会孩子数学，是因为他们天性具足， 我们不会试图去教一个 猩猩学数学的 。 因此，所谓的理性解释，老师所需要做的，最多只不过是把孩子们天生的算术认知习得，对应于公认的数学表达符号而已。 我孩子，自己就知道1和1是2，我所要教他的只是，将“和”换成“+”，“是”换成“=”而已，符号对应而已，并不需要过多的理性解释，或者说理性解释到这个程度就行了，不用上升到所谓哲学的层次。 幼小阶段的数学更像是智力体操，不需要太多的哲学化的理解，搞太多的花样，反而有可能适得其反。 新式教育方法，注重孩子弄懂数学，这当然没什么错，但是道理弄通之后，传统的心算练习，比如数数和背九九表，仍然是必须的，孩子需要大量的操练，只懂道理，不进行操练，就无法巩固孩子继续进步的基础。 新式教育法，不能以己之是，批传统之非。 我们说过，弄懂数学，其实就是让孩子们把人类世界通用的数学符号，跟他们天性中的数学概念，一一对应而已，我们那一代的教育，讲究数学的“双基训练”，将这个程序称之为“弄懂题意”，简单不玄乎。 这方面可以举一些案例，前面的1和1是2，是最简单的，很多案例中，可以使用一些自然的器具，石子，枣核，乃至于自己的手指头。 不管是使用石子，还是使用手指头，背后都蕴含着孩子天生的“推理”能力，通过石子、手指头外化出来而已，大人之所以能够很快地算数，只不过是把这种推理能力，变成公知常识，记下来而已。 等孩子经过大量练习，对这些“推理”非常熟悉之后，他们也会乐于将其变成“公知常识”记下来，那时候自然也就算得快了。 所以，心算训练，要遵循刚才说过的原则，不要求急、求全，不必要强求孩子一下子把九九表全背下来，反而丧失了孩子探索求知，通过操练来思考的机会。 一个孩子，很早就把九九表背诵如流，另一个孩子有点笨，通过大量的玩沙子、玩石子、玩树叶，才把算术学会，最终上学的时候，也能把九九表倒背如流。 试问，这两个孩子，在数学上哪个更有前途，历史经验恐怕会告诉我们是后者。其中的道理有两条： 1. 孩子笨，大人教不会，孩子只能通过玩沙子、石子，自己学会数学，最后不仅学到的是那些数学知识，更是在这个过程中养成了良好的自学习惯和坚韧的探索精神。 2. 我们说，两个孩子在上学的时候，都能把九九表倒背如流，但实际上很可能发生的情况是，前一个聪明孩子，九九表的熟练操练能力，仍然停留在3、4岁的时候，很容易为粗心的大人忽略。后一个笨孩子，因为笨，反而多练习，结果上学以后的心算操练能力，很可能就比那些早慧孩子要高了。 数学在讲究智力体操的一面时，另一面也非常值得注意，即，“创意”。一个孩子的自发心算游戏，其实就可以体现出他们的创意，比如他们会问、会思考： 两个2是多少，两个3是多少。。。两个8是多少，天啊，这不就是乘法吗。 6=3+3=2+4=...=1+2+3=...，要把所有可能的算式都写出来，这不就是数学上著名的Partition（分拆数）问题吗。 家长们要舍得时间，让孩子们在这些创意上，进行练习，普通家长们很可能觉得孩子怎么老做这个简单的事啊，急匆匆地求难度，求全面，其实源于他们自己对数学学问所知甚浅，欣赏力反而不如孩子的直觉反应。 具体的案例，这里就不多说了（博文版里还有几个），其实原理弄懂了，很多案例都非常简单，毕竟是小学数学吗。 这里总结一下，幼小阶段的数学学习，既要注重操练，又要注重创意，二者如果能够结合起来是最好的，很多幼小阶段的数学创意，完全可以从孩子的直觉反应来找，也可以从数学发展的历史中来找。 博文版 http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=45143do=blogquickforward=1id=406691 后续阅读 什么样的孩子适合进行高强度奥数训练？
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数学九九表要不要背的讨论贴-----兼及华德福小学低年级数学教学方法
arithwsun 2010-6-6 21:28
数学九九表要不要背的讨论贴-----兼及华德福小学低年级数学教学方法 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=332828 王永晖 去年科学网的一位博主，写了篇博文 请不要让孩子象背唐诗一样背九九乘法表 http://www.sciencenet.cn/m/ user_content.aspx?id=227860 当时对这位博主还不是很了解，将其论点作为一个重要的学术问题，很认真地回复了。不过，不知何故，现在他的原文已经隐藏，下面是我当时的回帖： ----------------------讨论贴阅读分割线------------------------------------------------------------------------------------------------ 『该博主：所以，如果真是这样的话，发发敢断言，您是不太善于创新的。』 你是有心搞教育的，所以正好可以理论一下。 上面引用的你那种说话方法，本身不应该是搞教育的人说出来的话。 何也，违背了一个基本的规则，不要将冲突范围扩大化（ 当然我们这里的冲突是理性方面的， 这里的扩大方式是将局部问题抽象为个人的性格判断， 即教育者最好不要将局部事例扩大到一个更大的抽象范围）。 呵呵，我来一句要摘你招牌的话，最后你回一句对人的判断，可说， 两个人都犯了这个规则。都是从某些局部事例出发，以已之意， 来推断别人的抽象个性。这种上纲上线，其实与教育研究不合。 很多老师会犯这种错误，对小孩子的一些事情一些局部表现， 就上纲上线，扩大其抽象范围， 往往其原因只在这些老师的水平只是半桶水而已， 而不在于那些年轻孩子，所以不管老师是半桶水还是整桶水， 最好都不要对学生，对其他人，使用这种抽象扩大式思维方式。 这种思维方式，科学界人士往往容易犯， 因为它在科学研究方面是有益的，符合科学研究的规律，即使错了， 也是进步。但是在教育领域，则最好不使用这种思维和说话方式。 好了，现在说具体问题： 1. 说实在的，谁都知道学数学，一定要自己做出题来， 重现这种自我发现的过程，这是没错的。在《我要做数学家》 这本传记里，Halmos介绍过，在美国， 是Moore最早开始提倡的这种教学法的， 当初只是给大学精英学生使用（二战前），到了现在， 在美国中学数学课堂上已经是薇为风气。据一个美国中学介绍，他们 在90分钟一节课内，必须至少有一半的时间，不是老师讲， 而是学生自己做题发现。否则该老师是要被校长辞退的。 即使如此，但是： a. 就是数学家自己，也没人能自己把本领域的所有定理重新证一遍， 实际上这里面是有学问的，所谓一个学派的奥秘，也在这里。 中国数学上不去的原因，也在于国内还未形成真正的学派。 b. 当然上点，跟博主的不矛盾，我只是引个题。那么，我在前面讲的， 是提出一些问题，希望楼主能释疑 i. 心算能力对学数学重要不重要，九九表，只不过是个表象， 你把它归于记忆能力，但是为什么我不能把它归于心算能力， 你家孩子只能在纸上写九九表，不能心算出九九表。 我就换了个名词，将记忆换为心算，看你回答否，可惜未。 ii. 数学史，数学家传记，当然是从事数学教育的重要参考材料， 所以问问你，你的研究有多少是参考了这些材料的。 并不是要你拿自己孩子跟那些数学天才比。 这是很浅显的做科研方法，创新的必要条件，一定是要参考前人， 尤其是前面领袖人物的工作，自己在那不参考，瞎想，名曰 创新首创，名词而也，不重要，重要的是你对不对。当然， 我这样说，并不意味我认为你错，请勿使用扩大范围， 我还只是问，并未对你的方法否定，只是问惑， 这是有相当大区别的。 iii. 记忆，心算，推理，对于数学应该都是重要的， 但是它们在孩子的发育上，时间上是有不同敏感期的。我的问惑是， 6岁的孩子，进入了数学推理的敏感期吗， 现实的答案是对于某些数学天才，这完全是可能的， 如UCLA的Terence Tao，Stanford的Akshay Venkatesh，都属于少年早熟之人（前者2、 3岁就开始教别的孩子算术，7岁会编程，13岁获奥数金牌， 应该问问他们的爸爸妈妈，是他们的爸爸妈妈发掘了他们的本能态， 还是他们本就是天上的星星下凡，或者二者皆有之）。 这样，自然就表达出我的观点，如果孩子自发进入数学推理敏感期， 引导他做这些事，当然没错。所以前面发言问问你， 你的孩子是不是进入此敏感期了，看你所说， 你的孩子应该也很不错，但跟我理解的有些不同，数学上这种理解， 往往是顿悟，不需要是那么长时间，往往一天之内就可完成。 这既是我个人的经验，也是有些数学家传记上的白纸黑字， 比如还是那本《我要做数学家》里的一些例子。还是说我吧， 那个例子年纪已经是大学生了，我当年到了5岁还不会数数， 数不过3，好在那时候大家都在闹革命， 没把心思放在小孩的教育上，由着我迟钝。但是就在一天下午， 自己一个人，用一根扁担、一堆沙子，一本带页码的小人书， 学会了数数，而且一经学会，就所有的数都会数。这大概让博主讲， 就叫做发现式学习，老一辈称作顿悟，哪个名词， 各人各取其所好，名词而已。但是后一个名词， 包含了前一个名词缺少的信息，即这个过程，其实费时不长。 所以我的经验，跟你的经验不同，于是多问几句， 想弄清楚你在这个较长过程中起的作用。你所答较简， 但基本上可以看出，你的小孩能够将注意力集中于此，历时颇长， 不管其是否真正进入数学推理敏感期，说明已经很不简单了。 c. Jiang兄引用王财贵的方法，跟博主理论， i. 其实九九表是心算能力的一部分，你曰记忆，我曰心算， 一个名词换一个名词（看明白我想说什么意思没有）。 这点刚才已经提过，这里再强调一下，很多心理现象是非常复杂的， 不能用个名词来做见知障。记忆现象并不简单，心算能力也不简单， 博主的孩子现在只会笔算九九表，不会心算九九表， 更别说印度人传统那种30以内乘法级别（美国体系的乘法表是12以内的，博主言美国学生不背乘法表，即使对于现在的很多美国学生实际上也并不成立）。这就引起我的问惑， 博主就能自信自己的孩子， 在将来数学发展上会比心算能力强的孩子水平高， 但是我怎么看数学家传记科学家传记， 很多人物都是具有非常强的心算能力的， 心算能力拙劣的数学家也出现过个别的，有，很少。 ii. 王财贵那种让孩童背诵经典的做法，跟背九九表并不同，数学记忆， 跟文科记忆，背文章背英语还是有很大不同的。 对于王财贵南怀瑾倡导的幼童背经典的方法，我也表示怀疑。 这一点，薛涌在其博客上也做了些讨论，大家可去看看，大意是， 孩童有更多的重要事情去做。当然， 真正实行了王财贵南怀瑾方法的家长更有发言权。 2. 至于博主 本能态的开发时间是0~6个月，最多可到9个月， 以后便不可能再进行了。 ，我倒是很感兴趣， 现在一般把这种叫做敏感期，也确实是有些基本的能力教育，在 0~ 9个月可以做 ，但过了那个时间，小孩就没兴趣不配合了。长大了， 十几岁以后也许会重新能配合去做，但跟婴儿敏感期时做， 就差别非常大了。 看了你本能态分类中的介绍文章， 好像确实没有说明具体是哪些能力教育。这个， 我倒是结合自己小孩，写过一篇文章，其中几个能力，属于你所说的 开发时间是0~6个月，最多可到9个月， 以后便不可能再进行了。 但是如果你的本能态跟我的有所重复， 就别在我面前说什么首创二字，我可不是学你的。 如果你的本能态中没有我说的那些，想借用，也可以， 但也别说我首创，我还真不稀罕做什么创新性人才， 注重引用和对前人历史的承认，这是起码的学术规范， 开始研究之初得如此，发表成果之时更得如此。 不过敏感期这个词，确实跟博主自创首创的 本能态词（本能这个词，已经有之，博主多加了个态）， 还不完全相同。 （注意，我的用语是我暂且可以承认这个词是博主自创或曰首创， 但是这个词背后的那些道理和做法，则未必， 很可能有些在心理学教科书上已经有了， 不过博主若能将其发扬光大，虽不算首创，但也是其功甚伟的， 呵呵估计博主会喜欢我这么讲，一般喜欢首创这些词的人，对 其功甚伟这些词都是笑纳的，调侃，莫怪。） 敏感期这个词，面向的范围会更广一些，虽然包含了在某个时间， 孩子必须经受这些训练， 否则将来在这些方面就会能力不足甚至没有， 没有这种每个人都有的本能，如狼孩之说话问题等等。除这种 本能态问题外，敏感期看来还包含了一些， 即在这些时间段加强训练，则效果更好的意思。 如走路有走路的敏感期，早了、 晚了虽不至于让小孩长大后不会走路， 但终归在一些方面会有影响的，如走路敏感期训练不够， 过了那个时间，小孩虽是会走路了，但容易犯懒容易希望大人抱。 至于数学推理方面、心算方面道理亦然。一般来讲， 心算敏感期应比推理敏感期来得早些， 若是在他本来心算敏感期的时候，去做推理敏感期的事。 那过了这个敏感期，估计心算能力要想再建好就难了， 数学能力会不会因此打折扣，是可以有相当理由去问问这个惑的。 其实这些问惑，博主只回答了（1.b.iii）中一点点， 其他问惑均未触及，就急急忙忙想对别人的创新能力做个论断。 这不是一个教育者所应为，一是不够谨慎， 二是违反了我前面所述的，切勿扩大冲突的（抽象） 范围这一文明规则。 至于你的招牌，能不能挂住，是你自己的事，我只是开玩笑，起码 首创那样的字眼，我这种非创新性人才是从来不用的，名词尔， 不挂碍。 -------------------------------------------------------------------------------------- 其他不用回复太多，大家分歧不大，只说一点 本能态不是指的数学知识，这些都是属于后天性习得的东西，不能归入本能态里面。本能态讲的是人在无意识形态下表现出来的智慧和力量，不需要经过大脑而产生的那种能量。 数学是不是人的一种本能，实际上是心理学的一个问题，有心理学实验证明，孩童是有先天的数学概念的，但这种数学先天本能，倒底在孩子身上有多少，我还不晓得最新的研究状况。 所以，博主此处的说法本能态不是指的数学知识，这些都是属于后天性习得的东西，是有问题的。如果往往以有问题的观念指导实践，实践也许可能会有成功，但不会长久。 正如，我把背九九表换了个名词，变成心算，博主就表示赞同了。其实，只不过是名字转换而已，背后的实践是一致的，因为博主自己在前贴中说小孩只会笔写不会 心算，所以我才问惑，至于博主后来又在回言中说小孩会心算，这个心算和背九九表，不就是名词不同吗，你作为大人，站在小孩子脑子外面，怎么判断他是在背还 是在推，大脑的复杂现象，其可以用简单的一两个汉语名词来区分。 至于博主建议，先不要背九九表，先让孩子去推出来，再心算。这个观点，还是需要置惑，主要还是在敏感期问题。不要在心算敏感期，用推理敏感期来替代。 当然，是有些天才，很早就进入数学成熟期的。博主能让孩子集中精力在数学推理上，坚持几个月，是值得介绍一下经验的。 博主可能没接我的话，我只好再自己接自己说一下，就是数学是不是人的本能，答案由心理学家肯定，但倒底达到多大程度，态是如何，则应该尚属未知。 以此观点，数学何尝不需要本能态的训练。数学家也是有本能，这种本能常人往往是没有的。我经常给大一学生举个例子，把粉笔从粉笔盒扔出来，问，教室里 其它东西是不是不变的，这就是常人关于这个物质世界的本能，但若把这种本能带到数学世界中，则会经常因此发生错误。一个符号变了，可能很远的地方的另外一 些符号会跟着变，大一新生还是常人本能，把符号当作那根粉笔一样，其它地方不管。 所以，博主可以把自己小孩的算术实践仔细写写，现在的问题是，如果只按博主的理解，发展小孩的数学推理能力，会不会掩盖住他的数学直觉能力，数学本能，当 然后者定义也不是特别清楚。博主写完，我可凑热闹贡献一个我设计的算术方案，既针对推理，又针对本能。没实践过，只是自己瞎想出来的，不过可提供给博主这 些热心探索、胆大敢为的同好试验。 -------------------------------------------------------------------------------------- 要不要背九九表这件事情，反映了大家在数学学习和研究中，对记忆的应用态度。 但是实际上，记忆和推理只不过是个名词，其背后的大脑运作相当复杂，具体到数学，数学的记忆，跟英语的记忆或文科背唐诗的记忆相同吗。如果不同，其不同点在哪里。所以博主此文的标题，即是为此的一个规避，不过文中并未述及此问题。 我把记忆这个词换成心算这个词，博主的态度就立刻变了，其实对于数学来讲，二者真有特别大的区别吗。 再换一个现象来讲，就是上数学课时，研讲者要不要脱稿讲课？所以，其实不用谈什么概念，记忆、推理之类，那其实都是虚的，名词尔。一个简单的问题，研讲者要不要脱稿讲课？我也不管你什么记忆出来脱稿，还是推理出来脱稿，我就问，你要不要脱稿讲课。 所以，在我的经验，要背九九表，就跟我们上课或自己复习数学时最好脱稿一样，确实是该做的事情。 ---------------------讨论贴结束分割线------------------------------------------------------------------------------------------------------- 最近接触到华德福教学理念，感觉其中确实有学习的地方。传统上，教育上把数学归类于智育，而华德福的教育理念和教育方法，将数学跟德育、体育也做了联系，做了个交集。比如，数学和体育的一个交集，即在背乘法表中有体现。其实现方法可能多种，这里只述一个，现在流行拍手功，华德福的方法非常类似，只不过在拍手的时候，要求随拍手节奏，同时背乘法表，念 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 2,4,6,8,10,12,14,16,18,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,.... 很明显，为了念诵方便，将中国传统上的 21=2, 22=4 中等号前面的内容都省略了。 关于这种方法的点评，可参我以前的博文 2010-05-23 周日讲座通知： 小巫，华德福教育简介和小学低年级数学教学实践 我对华德福教育的粗浅认识 关于数学跟德育的交集，其实早已经被很多西方政治家认识到，蔡天新老师专门写过一篇文章，其中就讲了几个例证，如林肯年轻时做律师工作之余的自我数学锻炼。这种中外政治家修养上的差距，被不止一个中国数学家认识到。 华德福在小学阶段，数学和德育如何取交集，我接触的还浅，不过感觉它们的做法，跟格式塔心理学很有关系。试想，一个内心达到完形的人，德性不可能差到哪里去。 具体做法，简单来说，就是发给孩子们几个围棋子，让他们摆。想想看，3个棋子，在一个画好的圆线上摆，最终会被摆成什么样？如果放在一张白纸上摆呢，3个棋子又有多少种摆法，6个棋子呢？ 这怎么就跟德育有关了呢？ 不说格式塔心理学这种比较大众少知的理论了，说一下孙瑞雪在家庭教育上的一个体悟，将爸爸，妈妈，孩子这三个词，分别写到三个象棋子上，然后让家庭成员摆，每个人按自己内心的喜好摆。不同的摆法，确实能够体现出不同的家庭心理认知，有些认知可能是存在问题，需要去解决的。 这种点位的思想应用，即使到了成年，科研、政治、商业，也均能用得上，所以，值得将其加入到以人类思想史删繁就简之后的教育体系中去，人类思想实在是太多了，将什么加入到教育体系中去，必须讲清楚其中的道理，不能自己都讲不清楚道理，只图表演性，这是教育改革的大忌。 当然，在这种思想下，数学和格式塔-完形心理学相交，作用于德育，应该还可以有另外的实现方式，毕竟华德福教学方法是在1920s年代由Steiner制定的，有一些东西，是他一百年前难以想象得到的。 譬如说，俄罗斯方块，这种电子游戏，已经被证明了对人类的巨大吸引力，其本质来说，也是上述类似思想的实现。何也，现在不想3个棋子，而是想国外那种方格型作业纸，问，将连着的3 个小方格剪下来，有多少种减法，4个，5个，6个呢？ 俄罗斯方块，就是这样，只不过，它只取了其中5种小方格组合方式（只取4个连着的小方块），分左右不同，又变成7种，正好对应7种颜色，参 Wiki 。 华德福教育和其他儿童教育理论，都不太提倡儿童过早地接触电子游戏，但是，对剪纸却是非常提倡的，我儿子现就读的华德福幼儿园，就很鼓励孩子们剪点东西，可能普通公立幼儿园会因为剪刀的安全性问题，不敢让孩子们动手，但回到家，在家长帮助下，应该没问题。 所以，完全可以让孩子，做这种俄罗斯方块的剪纸游戏，先剪后粘，先分割-----整体到局部，再整合-----局部到整体，比俄罗斯方块的电子游戏还多半个过程--剪。在这整个过程中，其实锻炼的不止是智力，更是人心中对完形之德的经验。 附注：现在国内的一些民间教育家和家长们，准备攒出华德福教育理念下的小学，通过阅读一些相关书籍，感觉确实是一个非常有意义的尝试。希望能有更多的科学家，也对此感兴趣。
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华德福教育发展较慢的原因
热度 3 arithwsun 2010-5-23 18:30
华德福教育发展较慢的原因 王永晖 小巫今天的演讲圆满结束（华德福小学低年级数学教学），整整两个小时，中间没有休息。 自从孩子进了华德福理念的幼儿园，就开始关注华德福教育理论，开始一些思考。 结合小巫的讲座，我发现，华德福对教学养成的要求是很高的。比如说， 国内普通的小学教材，我想我们家长稍微看看，就能教。但是， 华德福教学，比如小巫今天演讲的内容，示范如何用故事来学习数学，如何用游戏来学习数学，如何通过身体运动来学习数学，这些都必须身临其境，才能学会，强调感受性。 普通的书本，是很难负载这个信息量的，正如折纸和绳结，目前市场上也有书卖，但买了后，普通人不花大力气，是很难看懂的。 大家可以想象，在以前没有多媒体记录和传播的时代， 华德福这种教育方法，是很难传播出去的。 更重要的是，华德福对教师素质的要求是很高的。应该说，主班老师， 在人类的三种语言，自然语言，数学语言，艺术语言之中， 至少要精通一种，掌握两种；而在人类的三种课程方式， 或曰思维方式，身-力性方法，心-礼性方法，脑-理性方法， 至少要精通2种，掌握全部3种。 比如小巫，是北大英语语言文学本科毕业，Rutgers大学教育学硕士（这个学校的数学系非常不错，级别很高），对自然语言的掌握，肯定没有问题，但是她有勇气敢到首师大数学系演讲小学数学教学，符合我们中国数学界的华罗庚学习法下棋找高手，弄斧到班门，这种勇气一定是来源于她本身的底子的。确实，她告诉我，她从小到大，数学都很不错。至于艺术语言，音乐，小巫今天没有特别展现，我也是第一次跟她见面，不知道数据。 小巫本人的水平当然是很高了，只有这样，才能真正把高层次的教学法的魅力发挥出来。但是，如果主班老师达不到这种要求， 自然就很难达到华德福教育理论的初始设定，如果差的太多， 很可能在专业学习上，华德福学生反而会弱于比较好点的传统学校。 关于师资方面存在的问题，小巫跟我讨论时，又补充一点，大概意思是，因为华德福教育，是强调学生能力发展期的，所以允许每个学生，按自己的节奏学习，教师需要迎合（meet）这种节奏，而不是让学生都装在一个框框里。 那么，很显然，并不是每个人，每个教师都有这种能力的，能达到这种水平的人，估计管个百八人的公司，不在话下（悄悄问一句，他们/她们愿意做小学教师吗）。 当然，在目前小学班级人数过多的情况下，即使有能力的老师，也不可能在这样的班级上施展个性化教学。 据传，北京市小学，今年九月份，会全面实行小班化教学，每班人数降低到30人，如果此情报准确，小学教育的情况看来会得到大大好转。 上述两大问题，我想是华德福教育发展较慢的原因。 第三大原因，也有可能出在它的治理结构上， 根据张五常的研究，人类社会中只可能存在两种形态， 资本社会和等级社会，前者强调产权明晰，后者强调等级明晰。 教育机构比较复杂，兼具这两种社会形态。而华德福的治理结构 ，如果不做好适应教育机构发展特点的产权明晰、等级明晰， 仅仅使用Steiner粗糙的三元社会理论，连校长都没有（ 关键责任人赋权不足），理想虽好，恐怕需要深入精化。 三元社会理论，本身是对的，但在应用时，需要沿着那个思想方向， 继续深化精化、具体化。实际上西方社会和西方大学的很多做法， 就是三元社会理论中所建议的那样，不知是本来就有的， 还是学Steiner的。 华德福教育，自1919年在德国开始，发展至今， 全世界也不过1000来所学校。我的同学告诉我， 他们加拿大多伦多，有100所Montessori学校， 但只有2所Waldorf学校， 估计问题不外乎在上面三种原因里找。 附注：现阶段怎么样把华德福小学，从无到有的做起来 。 我跟小巫介绍，现在海淀区的一批家长们（尚未包括我，不过我给他们提了很多建议，毕竟大多数家长都不是做教育界的，有些东西还真不知道），正在琢磨攒个华德福小学。 初期想法是，尝试在公立学校，办一个华德福实验班，一举解决，教室和学籍两大问题。 既然如此，就必须符合公立学校的硬性要求，不可能完全按照国外的华德福模式来。 既然如此，我们应该坚持什么，以作为华德福实验的切入点。 我意以为，是家委会的设置。很多东西可以妥协，包括课程内容，但是一定要坚持住华德福的家委会的设置。 现在的公立学校，很难组织学生的校外活动，甚至学校内部的户外活动，也能少就少。如果家委会成立后，则可以将学生的校外活动，完全承包，家长们自行签署安全协议。学校不用承担任何责任，这样的家委会，学校是乐观其成的。 家委会，除了这些，还可以做哪些事呢？ A1. 培训实验班的任课老师，比如由家委会出资，资助老师们去参加高阶培训； A2. 培训家长，比如每周或每隔两周，举办教育讲习会。 家长们参与教学，是学生教育质量提高的重要法门，尤其是对于幼小教育，效果更为显著。只想把孩子放到学校教育的家长，华德福实验班是应该拒绝考虑的。 这个教育讲习会，除了邀请华德福资深专家讲授外，还可以就直接邀请任课老师主讲，付给他们讲课费，相当于变相地给他们提了一次工资。 实际上，家长送钱送物给老师们，据说已经比较普遍。与其如此，还不如把这个钱，花在促进教师学习和思考上，要知道，为准备一次这样的讲习课，是需要花很多准备的。 家长们跟教师们一块儿成长，最终的受益人，必然是孩子们。 当然，家委会可以设立细则，规定以后家长们不可以再单独赠送贵重礼物给教师，只能由家委会统一负责。 孩子们自制的，或旅游时购买的小礼物，想送给教师，这是允许和提倡的，本来也是中国传统的尊师重道的体现，关键是要通过制度，不让它变味即可。 另外一言，今天来的人，并没有预想的那么多，可能有五六十人，主要是我们通知的传播面，局限在学术系统和一些私人关系上。 我是想通过这次邀请，试探一下，学术界中倒底是有多少父母，特别关注教育，愿意拿出时间，去主动地做一些事情的。 很遗憾的是，这次来的学者比较少，只有5、6个人，相比于我通过电邮和办公系统，以及科学网博客上发出去的通知，实在很少。 其实，即使不知道华德福教育，但若是关注儿童教育，愿意主动地为自己的孩子做些事情，也完全可以有更多的学者，来加入做一些事情。 比如，我就在想，如果海淀区的大中小学，科研机构，出版单位的老师学者们，主动愿意做这些事的人比较多，那我们这些家长们，可以预先成立一个家委会，然后这个家委会，跟海淀区的小学谈，看能不能办一个实验班，也不一定非要是华德福模式的，关键是这个实验班，要有我上述所说权力和活动的家委会。 我曾经跟筹建华德福小学的家长们说，必须要有教育学术界的家长们参与，才有可能把它建好。不过，这次探测，看来是有点失败。 难道，中国人注重教育的传统，这次有点失灵？我想，原因可能在于，中国的家长们注重教育，但可能不注重于主动做事，有个名校数学系的系主任，自己明知小学奥数不对，还是把孩子送到奥数培训班，并在那里，碰到不少数学界的同仁，此事在媒体上可以查到。 其实，我们这么多有学问的大学老师们，完全可以自己联合起来，采用适当的形式，比如上述实验班形式，把自己的孩子教好。 当然，这是需要人手的。如果，愿意启动此事的学者们，能超过6人，我想这件事情就能办成（2011学年，我小孩明年上小学，也许人数足够，现在就可以为此成立一个2011级家委会）。
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2010-05-23 周日讲座通知： 小巫，华德福教育简介和小学低年级数学教学实践
arithwsun 2010-5-13 11:15
诸位关心儿童教育的同仁，请转发这条消息给感兴趣的熟人。 根据小巫的要求，和我的建议。转发的规则是，请只用电邮转发， 或者只在中国科学院办的科学网博客系统内转发。 而不要将其发到新浪、搜狐等大众博客上， 主要是为了控制听众人数，方便教学演示互动环节。 祝好！永晖 小学教育探索性讲座 报告人： 小巫 题目： 华德福教育简介和小学低年级数学教学实践 摘要： 介绍华德福教育及其小学低年级数学教育的特点，解释为什么 以及演示如何来，用童话教数学，用游戏教数学， 用艺术教数学。 报告人简介：本科 毕业于北京大学， 美国Rutgers大学教育学硕士。著有多本教育类畅销书，《 让孩子做主》、《给孩子自由》、《和孩子划清界限》、《 跟上孩子成长的脚步》、《接纳孩子》及《成功渡过母爱第一关》。 在年青父母中，影响力极大。 小巫新浪博客： http://blog.sina.com. cn/weewitch 时间：2010年5月23日周日上午 9:30-11:30am 地点： 数学系 教二楼311室 (北京西三环花园桥往南首师大校本部东门进去右手第一座楼) 本讲座完全学术性的，不收取听众任何费用，欢迎参加！ 后注： 小巫演讲中的一些技术性反馈 1. 小巫在演示用身体节奏来学习数数和乘法表时，后面附加讲了一位不善数学的儿童，使用此法后非常兴奋的经历。不过，说完此段后，最好稍作解释，说明擅长数学的儿童，也是需要这种方法的。 否则容易造成误解，以为华德福这种数学教学方法，仅是针对于弱智儿童，或不善数学的儿童。后面的听众提问，就反映出受到了这种无意中的误导。 对于不善数学的儿童，这种方法确实可以帮助他们掌握数学，此处最好稍加一句，作为点睛之笔，即，为什么这种方法，会比其他方法有优异之处，答案是华德福的身-心-脑理论。 对于擅长数学的儿童，这种方法的作用是，可以将涌到儿童大脑的能量，拉回到身体，使身心脑不致分离过多。分离过多，即使是大人都会出问题，如陈景润，更何况孩子。现代数学家们，都非常注意锻炼身体的，有很多人也非常愿意做家务，从而得保高寿，如跟陈景润齐名的王元院士，现在80岁了，还参加我们的讨论班，还做报告的。 2. 小巫，在讲述其儿子学习路程类应用题时，说明了她的形象的解决办法（加2个小人，具体测量）。不过，她没有很清楚地说明，她的做法，对于她儿子来讲，是最优的，另一个角度问题也类似。 实际上，确实可能有更优的解决方法，即，Moore教学法，要点是，给学生们充足的时间去自己探索。老师所作的应该是，观察学生，并在学生疲惫阶段，注意力下降的临界线上，给予适当的阶梯性提示。 Moore教学法，在美国已经逐渐开始普及，原因是Moore本人，就教出了三位美国数学会会长。 数学，归根结底，是要鼓励孩子的自我探索精神。任何大人代劳的思考，不管想多少花样，其实对于学生的本身数学能力，帮助不会太大。在这里，反而是帮的越少，花样越少，学生的进步可能越大。 3. 小巫，在用绳子演示模10完全剩余系中的乘法时，可能需要不仅知其然，也知其所然。这实际上是初等数论课程的一个定理，估计在新课标中，已经由大学下放到了中学。 我就担心，万一一个天资特别聪颖的孩子，非要打破砂锅问到底，问问这个绳子游戏背后的道理，老师将如何面对。 实际上，这种情况是非常可能发生的。 数学，关键的是敏感度，是对未知的敏感度。有些天资聪颖的学生，这方面敏感度极高，但是问出问题来，普通的老师答不上来，反而斥之为怪物，让同班同学们一起笑话他。非常遗憾的是，传统公立学校中，这样的事情确实是有的。 所以，数学老师，最重要的精神，是揭示未知的精神，和学习的精神，如果老师本人没有学习和探索未知的精神，只是教而不学，对存在的问题视而不见（甚至也阻碍学生发现），可以想见，他们是不会带出多好的学生出来的。 4. 这些用游戏学数学的活动，跟传统的数学课，有什么关系，它是否能取代传统的、抽象形式的数学课程。 我的答案是不能。因为，它们本来就不是一个东西。传统的数学课程，更重视的是，让学生们掌握人类公认的数学符号系统，将符号系统，与其天生的数学思维相联络。现代心理学已经有实验证明，我观察自己的孩子也发现，他们天生地知道1+1=2，1+2=3，但我的孩子，刚开始的时候，不能使用人类公认的数学符号系统，他自己会用他的讲法，比如1和1是2，所以，大人所作的其实很简单，就是把和改成加，把是改成等于而已。 当然，内容逐渐升上去后，难度会增加，但我们是不会试图教一个猩猩抽象的数学的，因为它们不可能有内在的数学思维，但是，孩子们有，所以我们才能教。 所以，这个层次的训练，是数学游戏所无法取代的。但是，数学游戏有另外的好处，即，可以把孩子们，从抽象中，再拉回来，让身-心-脑重新整合。这对幼小教育，当然是非常有意义的。 很显然，老师们将会面临这样一个问题，他们如何布置课时，使得课程均衡。既有传统的抽象化符号系统的训练，又能够联系于实际，联系于身体，联系于心灵。 小巫的示范，主要还多是游戏和身体，实际上，华德福乃至现在不少数学家、政治家，都认识到，数学对培养人的情操，也是非常有用的。我看到的那本书，Active Arithmetic (by Henning Anderson ) ，其中一种操作方法，有点格式塔心理学和曼陀罗的味道，确实能对人性的整合，有好处。 当然，这又会增加一份课时安排的难度，需要更巧妙地处理。如果做的不到位，甚至用数学游戏，完全替代掉传统的算术练习，那么学生将来很难发展更高阶的数学，专业程度反而会降低。
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小学打好敬智之基：培育型教育原理和均衡型教学大纲
arithwsun 2010-5-12 12:13
培育型教育原理可参看我前面写的一篇体会 我对华德福教育的粗浅认识 要点是，教育的功能，无外乎二者，培育和选拔，传统的公立学校无疑侧重于后者。那么，当我们想倾向于前者时，将会有什么样的事情发生。 同时可参看下面文章 人生第一阶段（小学）教学结构和方法 中的第二节。即 教学方法： A1. 小班教学，班级学生人数大约会15人，绝对少于24人。（注释：目前连香港也做不到这一点，他们最近的改革，也只能做到25人） A2. 主班教师，在小学生面前，往往产生自然的 权威 ，主班教师不会滥用这种 权威 于拔苗助长，而是以同理心为基石，不强迫、不急燥，让孩子慢慢地长大，使他们幼时即感受到 权威 的真正内涵，长大后自然地过渡到，尊重智慧，敬爱众生。 B1. 不强调考试，使力性课程、礼性课程和艺术类课程得到真正重视，使得他们在小学阶段就达致相当程度的完善个性，学会做人。 B2. 强调学生自制课本，精化语言类课程、数学类课程和理性课程的有效学习，从而最大可能地发展出学生的良好学习习惯，学会做事。 主班老师，一男一女，共同负责整个7年的主要教学工作。两位老师自己安排轮流上台讲课，台下老师负责备课、管理学生作业和自制课本。 均衡型教学大纲，则请看PDF文档的第一节，一种尝试性的思考。也许，我们既可以做到让孩子们均衡性的发展，又能产生出足够比例的精英。 其中的均衡型构思，用到了中国的九宫图，也许，在未来实践中，可以将其真地用上九宫洛书思想，安排课程。
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3月21日星期天：数学初等教育讲座
arithwsun 2010-3-17 11:33
Speaker: Edward (Ted) Warren (Growth River LLC) Title: Mathematics in Grades One to Eight at the Waldorf Schools Abstract: Ted has taught for twenty-one years in Oslo, Norway and Princeton, New Jersey. He was part of the school board for 16 years and was the principal for three of those years. He has written books on teenage personality development, English grammar and The Philosophy of Freedom. In this talk, he will begin with a short introduction to Waldorf Education and to child development between the ages of six and fourteen, and to explain the Waldorf conviction that Body Movements Are Invisible Thinking, Mathematical Thinking Is Inner Movements. 华德福教育简介：华德福教育，起源于德国。 目前在全世界已经有将近1000所学校。其教育体系， 有独到之处。最近中央台播出的柴静访谈的卢安克， 即属于华德福教育体系。这个教育体系中的经验， 对于我们国家传统的，以考试选拔为核心的教育体系， 会有相当的借鉴作用。 Time: 2010 Mar 21 Sunday, 7:00pm-8:00pm 研讲人：Professor Wang ShangZhi /王尚志教授（CNU首都师大数学系） 题目： How to encourage students to learn Math themselves To use Mathematical Web and Software in improving teaching and learning mathematics 摘要： Based on the talk presented on APEC 2010, this talk includes, Standard Requirement of China, Real Situation and Change, Examples and basic ideas for activating students self-study. Time: 2010 Mar 21 Friday, 8:10pm-9:10pm Classroom: Dept. Math of CNU, Room 311( 北京西三环花园桥往南首师大校本部东门进去右手第一座楼) 欢迎师生参加！
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