可怜的mathematical physicists 里外不是人，物理学家认为这是数学，数学家认为是物理。。。。 而事实上，最美的部分，也恰恰在数学与物理最深层次的结合部。。。 The so-called "mathematical physicists" , are scientists that in words of Feynman are "neither good physicists nor good mathematicians" . Described by Feynman below: I am not getting anything out of the meeting. I am learning nothing. Because there are no experiments this field is not an active one, so few of the best men are doing work in it. The result is that there are hosts of dopes here (126) and it is not good for my blood pressure: such inane things are said and seriously discussed here that I get into arguments outside the formal sessions (say, at lunch) whenever anyone asks me a question or starts to tell me about his "work". The "work" is always: (1) completely un-understandable, (2) vague and indefinite, (3) something correct that is obvious and self evident, but a worked out by a long and difficult analysis, and presented as an important discovery, or, a (4) claim based on the stupidity of the author that some obvious and correct fact, accepted and checked for years, is, in fact, false (these are the worst: no argument will convince the idiot), (5) an attempt to do something probably impossible, but certainly of no utility, which it is finally revealed at the end, fails (dessert arrives and is eaten), or (6) just plain wrong. There is great deal of "activity in the field" these days, but this "activity" is mainly in showing that the previous "activity" of somebody else resulted in an error or in nothing useful or in nothing promising. It is like a lot of worms trying to get out of a bottle by crawling all over each other. Remind me not to come to any more gravity conferences! References ↑ Richard P. Feynman, "Feynman lectures on physics" ↑ Quoted from Feynman's letter to his wife while attending Gravity Conference in 1962 in Warsaw, Poland published in book "What Do You Care What Other People Think" , page 91
2004 年 5 月 24 日 ， Michael Atiyah 和 Isadore Singer 在奥斯陆获 Abel 奖时，接受了丹麦 Aalborg 大学 Martin Raussen 和挪威 Trondheim 科技大学 Christian Skau 的访问（ Notices of The AMS , 2005, Vol. 52, No.2: 223-231 ）， Atiyal-Singer 指标定理 是 20 世纪的数学珍宝，连接了几何与分析，也沟通了数学和物理—— A 更喜欢说它是一个理论， S 说它是一个新的起点，就像我们爬上一座高山，发现了过去所在的高原。他们原来没想到，这个定理会给物理学带来那么大的影响—— Perhaps it should not have been a surprise because it used a lot of geometry and also quantum mechanics in a way, à la Dirac. 关于数学为什么契合物理学， Singer 讲了一个小故事：他曾在费曼（ Feynman ）的讨论班讲反常，老费的博士后们总是想拿坐标来计算。老费告诉他们， 物理学定律是独立于坐标系的。没听 Singer 讲吗，他就没用坐标来描写这种情形 。独立于坐标，就意味着几何。 Singer 是用坐标独立来说明数学（几何）与物理学的自然联系，其实那 也是物理学“自觉几何化”的原因。 相对性原 理假定物理定律与坐标无关，就把物理学几何化了（狭义相对论的 Minkowski 几何和广义相对论的 Riemann 几何）。今天，那种独立性更进一步：物理学应该与时空背景无关，我们 需要一个“背景独立的理论”—— 如 Smolin 说的， 背景独立形式并不仅仅是不同的语言，而有可能表达了确定理论的原理和定律，迄今所研究的一切都将作为近似从它们推导出来。 尽管超弦代表了大多数人的声音， Atiyah 也欣赏少数派的 Alain Connes 和 Roger Penrose 。 Singer 喜欢弦，说它是一个和谐的整体，而且 K 理论 进来了；他也欣赏 Connes 的 非对易几何 ，那是几何量子 化需要的，也许还能 解释黑洞和大爆炸呢。 关于物理学对数学的影响， A 猜想， 量子物理也许会影响数论 ，特别是 Riemann 猜想 。他与 Wiles （证明了 Fermat 大定理 ）讨论 过，但 W 不以为然。 S 则认为也许从统计物理学会生出一个 统计拓 扑学 ，那样的话，我们 就不必去数几何体的空穴数或 Betti 数 了…… 未来究竟会发生什么激动人心的事情呢？ A 认为这个 问题“从定义上说”是没有答案的—— 假如我们能预言，它就不会那么令人激动了。
微分几何经过种种的融合后将会是多姿多彩的，但是它能否有足够丰富的结构来迎合近代物理时空量子化的需要？ 我看不行！ 数学有的时候确实领先物理，但归根结底，数学是落后于物理的，而且是远远落后。。。 好的数学，都是从物理中来的，比如微积分之于牛顿！ 新几何不能指望数学家，数学家靠不住了，就得自己动手！ math is too hard formathematicians... physic is too hard forphysicist... “Physics is to mathematics like sex is to masturbation.” —Richard Feynman
到二十世纪末，人们对「信号」这个词的理解已经发生了微妙的变化。如果在二十世纪上半叶的时候提到一个信号，人们还倾向于将它理解为一个连续的函数。而到下半叶，信号已经越来越多地对应于一个离散的数组。毫无疑问，这是电子计算机革命的后果。 在这样的情形下，「不确定性原理」也有了新的形式。在连续情形下，我们可以讨论一个信号是否集中在某个区域内。而在离散情形下，重要的问题变成了信号是否集中在某些离散的位置上，而在其余位置上是零。数学家给出了这样有趣的定理： 一个长度为 N 的离散信号中有 a 个非零数值，而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值，那么 a+b ≥ 2√N。 也就是说一个信号和它的傅立叶变换中的非零元素不能都太少。毫无疑问，这也是某种新形式的「不确定性原理」。 在上面的定理中，如果已知 N 是素数，那么我们甚至还有强得多的结论（它是 N. Chebotarev 在 1926 年证明的一个定理的自然推论）： 一个长度为素数 N 的离散信号中有 a 个非零数值，而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值，那么 a+b N。 不幸的是这里「素数」的条件是必须的。对于非素数来说，第二条命题很容易找到反例，这时第一条命题已经是能够达到的最好结果了。 这些定理有什么用呢？如果它仅仅是能用来说明某些事情做不到，就像它字面意思所反映出的那样，那它的用处当然相对有限。可是——这无疑是辩证法的一个好例证——这样一系列宣称「不确定」的定理，事实上是能够用来推出某些「确定」的事实的。 设想这样一种情况：假定我们知道一个信号总长度为 N，已知其中有很大一部分值是零，但是不知道是哪一部分（这是很常见的情形，大多数信号都是如此），于此同时，我们测量出了这个信号在频域空间中的 K 个频率值，但是 KN （也就是我们的测量由于某些原因并不完整，漏掉了一部分频域信息）。有没有可能把这个信号还原出来呢？ 按照传统的信号处理理论，这是不可能的，因为正如前面所说的那样，频域空间和原本的时空域相比，信息量是一样多的，所以要还原出全部信号，必须知道 全部的频域信息，就象是要解出多少个未知数就需要多少个方程一样。如果只知道一部分频域信息，就像是只知道 K 个方程，却要解出 N 个未知数来，任何一个学过初等代数的人都知道，既然 KN，解一定是不唯一的。 但是借助不确定性原理，却正可以做到这一点！原因是我们关于原信号有一个「很多位置是零」的假设。那么，假如有两个不同的信号碰巧具有相同的 K 个频率值，那么这两个信号的差的傅立叶变换在这 K 个频率位置上就是零。另一方面，因为两个不同的信号在原本的时空域都有很多值是零，它们的差必然在时空域也包含很多零。不确定性原理（一个函数不能在频域 和时空域都包含很多零）告诉我们，这是不可能的。于是，原信号事实上是唯一确定的！ 这当然是一个非常违反直觉的结论。它说明在特定的情况下，我们可以用较少的方程解出较多的未知数来。这件事情在应用上极为重要。一个简单的例子是医 学核磁共振技术（很多家里有重病患者的朋友应该都听说过这种技术）。核磁共振成像本质上就是采集身体图像的频域信息来还原空间信息。由于采集成本很高，所 以核磁共振成像很昂贵，也很消耗资源。但是上述推理说明，事实上核磁共振可以只采集一少部分频域信息（这样成本更低速度也更快），就能完好还原出全部身体 图像来，这在医学上的价值是不可估量的。 在今天，类似的思想已经被应用到极多不同领域，从医学上的核磁共振和 X 光断层扫描到石油勘测和卫星遥感。简而言之：不确定性可以让测量的成本更低效果更好，虽然这听起来很自相矛盾。 糟糕的是，本篇开头所描述的那个不确定性定理还不够强，所能带来的对频域测量的节省程度还不够大。但是数学上它又是不可改进的。这一僵局在本世纪初 被打破了。E. Candès 和陶哲轩等人证明了一系列新的不确定性原理，大大提高了不等式的强度，付出的代价是……随机性。他们的定理可以粗略叙述为： 一个长度为 N 的离散信号中有 a 个非零数值，而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值，那么 a+b 以极大概率不小于 N/√(log N) 乘以一个常数。 这里的「极大概率」并不是一个生活用语，而是一个关于具体概率的精确的数学描述。换言之，虽然在最倒霉的情况下不确定性可以比较小，但是这种情况很罕见。一般来说，不确定性总是很大。于是可以带来的测量上的节约也很大。 这当然也是一种「不确定性原理」，而且因为引入了随机性，所以在某种意义上来说比原先的定理更「不确定」。在他们的工作的基础上，一种被称为「压缩 感知」的技术在最近的五六年内如火如荼地发展起来，已经成为涵盖信号处理、信息提取、医学成像等等多个工程领域的最重要的新兴工程技术之一。 不过，这些后续的发展估计是远远超出海森堡的本意了。
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![[转载]一首数学家的情诗](http://image.sciencenet.cn/album/201112/16/213256xxk6n1cbt8pc8n6b.jpg.thumb.jpg)
