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周四讨论班：微分几何（古典部分）——曲线论、曲面论（李昊宇）: GrandFT 2014-3-26 14:31; 题目：微分几何（古典部分）——曲线论、曲面论主讲：李昊宇时间：2014年3月27日星期四下午4:30-6:10 地点：16教学楼308室内容：第一部分曲线论曲线及其相关概念（切线、法面、弧长、自然参数等）空间曲线的刻画（曲率、挠率、Frenet 标架、曲面论基本定理等）第二部分曲面论曲面的表示及其相关概念（切平面、法线、坐标网等）曲面的第一基本形式（第一基本形式、弧长、正交轨线等）曲面的第二基本形式（Dupin 指标线、渐进方向、共轭方向、曲率等）曲面论基本定理; 个人分类: 周四讨论班|3462 次阅读|0 个评论

讨论班(周五)：近代微分几何浏览(李文都): GrandFT 2013-5-16 22:48; 题目：近代微分几何浏览主讲：李文都时间：2013年5月17日星期五下午4:30 地点：16教学楼308室《几何三十载》是丘成桐先生在清华大学所做的一次关于几何的报告。内容是几何学在最近30年来的发展和所取得的成就。讲座的内容涉及的很多现代的几何知识，可以说对此我完全不熟悉，所以这次讨论班我使用ppt和大家一起来看看这个报告的内容，一起看看几何学在最近几十年都做了哪些重要工作。; 个人分类: 周四讨论班|2855 次阅读|0 个评论

《微分几何》徐森林、金亚东、胡自胜、薛春华: 热度 1 ustcpress 2013-1-24 15:59; 出版日期：2013年2月出版社：中国科学技术大学出版社书号（ISBN）：978-7-312-03000-0 正文页码：332（16开）定价：36.00元编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF）出版社官方淘宝店： http://shop109383220.taobao.com 【内容简介】全书共 3 章 . 第 1 章讨论了曲线的曲率、挠率、 Frenet 公式、 Bouquet 公式等局部性质，证明了曲线论基本定理 . 还讨论了曲线的整体性质： 4 顶点定理、 Minkowski 定理、 Fenchel 定理，以及 Faxy-Milnor 关于纽结的全曲率不等式 . 第 2 章引进了第 1 基本形式、第 2 基本形式、 Gauss( 总 ) 曲率、平均曲率、 Weingarten 映射、主曲率、曲率线、测地线等重要概念，给出了曲面的基本公式和基本方程、曲面论的基本定理，以及著名的 Gauss 绝妙定理等曲面的局部性质 . 第 3 章详细论述了曲面的整体性质，得到了全脐超曲面定理、球面刚性定理、极小曲面的 Bernstein 定理、著名的 Gauss ? Bonnet 公式及 Poincar è指标定理 . 为了帮助读者熟练地掌握微分几何的内容和方法，书中配备了大量有趣的习题，并在《微分几何学习指导》中给出了详细的解答 . 本书可用作综合性大学、理工科大学、师范大学数学系高年级大学生的教科书，也可作为大学数学教师和研究人员的参考书 . 【图书特色】 ①作者徐森林教授的知识面非常广，他能胜任高等教育数学专业从基础课到专业课的全部课程。他的很多学生都成了国际知名学者，比如舒其望（首位美国重点大学数学系的华人系主任）、李岩岩、左康、叶如钢等等。 ②本书是从古典微分几何到近代微分几何的桥梁。 ③书中有大量的实例，帮助读者更好地掌握微分几何的基本知识与基本方法，增加读者的几何背景。 ④有助于读者对古典微分几何知识的实际应用。 ⑤书中还配备了大量既有趣又实用的习题，习题解答用配套的习题集出版，一方面让读者独立思考，另一方面为思考后仍得不到正确解答的读者提供指导。 ⑥本书有配套题解《微分几何学习指导》（ http://blog.sciencenet.cn/blog-502977-791849.html ）。【目录】前言第 1 章曲线论 1.1 Cr 正则曲线、切向量、弧长参数 1.2 曲率、挠率 1.3 Frenet 标架、 Frenet 公式 1.4 Bouquet 公式、平面曲线相对曲率 1.5 曲线论的基本定理 1.6 曲率圆、渐缩线、渐伸线? 1.7 曲线的整体性质（ 4 顶点定理、 Minkowski 定理、 Fenchel 定理）第 2 章 Rn 中 k 维 Cr 曲面的局部性质 2.1 曲面的参数表示、切向量、法向量、切空间、法空间 2.2 旋转面（悬链面、正圆柱面、正圆锥面）、直纹面、可展曲面（柱面、锥面、切线面） 2.3 曲面的第 1 基本形式与第 2 基本形式 2.4 曲面的基本公式、 Weingarten 映射、共轭曲线网、渐近曲线网 2.5 法曲率向量、测地曲率向量、 Euler 公式、主曲率、曲率线 2.6 Gauss 曲率 ( 总曲率 )KG 、平均曲率 H 2.7 常 Gauss 曲率的曲面、极小曲面 (H=0) 2.8 测地曲率、测地线、测地曲率的 Liouville 公式 2.9 曲面的基本方程、曲面论的基本定理、 Gauss 绝妙定理 2.10 Riemann 流形、 Levi-Civita 联络、向量场的平行移动、测地线 2.11 正交活动标架第 3 章曲面的整体性质 3.1 紧致全脐超曲面、球面的刚性定理 3.2 极小曲面的 Bernstein 定理 3.3 Gauss-Bonnet 公式 3.4 2 维紧致定向流形 M 的 Poincar è切向量场指标定理参考文献【第一作者简介】徐森林，中国科学技术大学教授，华中师范大学特聘教授， 1965 年毕业于中国科学技术大学数学系数学系几何拓专业，导师是著名数学家吴文俊教授，并留校工作。从 1965 年 9 月开始，一直在中国科学技术大学数学系工作， 1985 年为副教授， 1990 年晋升教授， 1993 年受聘为博士生导师 ,1982 年 -1984 年到美国 Princeton 大学作访问学者。 1988 年 6 月到 12 月到意大利 ICTP 作访问教授。 1995 年 1 月 -3 月到美国 Purdue 大学合作研究。 2002 年经几位院士推荐，被华中师范大学特聘为该校教授、博士生导师，目前在教学科研方面发挥着积极的作用。 1989 年聘为美国《数学评论》（ Math. Rev. ）评论员。 1990 年 -1995 年和 1995 年 -2000 年分别聘为首届和第二届《国家教委数学与力学教学指导委员会》委员，享受国务院特殊津贴，名字列入《世界数学家名录》。; 个人分类: 数学图书|7931 次阅读|4 个评论

次序中的物理学: 热度 20 qhliu 2012-6-6 00:54; 数学中有许多计算上的前后次序问题，不同的次序甚至不同的处理方法给出的结果不同。要用一个可控的规则给出一个可以接受的结果，就产生了积分主值，级数主值，函数主值等概念。物理中也有许多计算上的前后次序问题，不同的次序的物理结果可能不同。孰是孰非 ? 尽管有些规则可援，很多问题却不能从物理原则方面给出判断。最有名的例子就是量子场论中的重整化规则，李政道和杨振宁还给出过一个统计物理的例子。一、数学中的次序一例学习理论物理，绕不过如下积分 ( 缩写形式 ) (1) 用狄拉克的说法 ( 取 )( Principles ， P.61 ， Eq.(15) ) (2) 这个式子，表示在实轴上对 1/x 进行积分时，应当取主值部分。细究这个问题，会发现有一个次序的不可颠倒性。考虑复平面上的熟知的回路积分当m 取正实数，根据约当引理，回路积分等式右边的第四项积分(实轴上以原点为圆心的大半圆)为零；而 m -- 0+ 时，等式右边的第一、二项为在实轴上对 1/x积分的主值；第三项积分结果为 i pi ；再由残数定理，方程左边积分值为零。故得： (3) 这个积分中，不只有一个先后次序。但这里只讨论其中大家不太注意的如下次序问题。次序一：先取 m 有限，给出积分，然后让 m -- 0+ ，有积分结果 (3) 。次序二：先让 m -- 0+ ，约当引理用不上，得不出结果 (3) 。如果没有物理实验的支持，不知道数学本身能否判断这两个次序哪一个正确? 而物理实验的结果，举凡来自量子力学、量子场论、凝聚态物理、统计物理等等，都支持次序一，无一例外。二、李政道和杨振宁给出的例子：物理中有次序范德瓦尔气体状态方程比理想气体高明的地方在于它可以初步描述相变，而真实的情况就复杂很多。考虑一个量子非理想气体，从高温往低温降温，必定会经历相变。在统计物理中，先把配方函数写出来，就可写出物态方程。在数学上，物态方程由一个无穷级数表示，而这个级数的每个项的系数都是体积 V 的函数。下面有两个次序：次序一，先把无穷级数求出来，再让V取无限。次序二，先取V为无限，再求无穷级数。李政道和杨振宁发现，只有次序一才是合理的。而次序二，历史上被很多巨擘使用过 ( 例迈耶、玻恩、乌伦贝克等 ) ，李杨认为他们从“猜想到‘证明’都是错误的”。就这个问题，李政道提出如下猜想：先让体积 V 有限，研究无穷级数的性质然后让V取无限， “这是合乎物理实际的” ( 统计力学， P.113 ) 。三、推广的李杨猜想：次序中有物理在理论物理中，如同时涉及纯数学极限和物理极限的计算，应该先完成数学处理，然后再取物理近似。不妨称之为推广的李杨猜想。例子1 ：统计物理中这类问题很多，一般的规则应当是最后取热力学极限，因为热力学极限是物理极限。例子2 ：时空问题麻烦一点。完全可以认为四维的时空就是时空的全部，无须假设更高维时空的存在。也完全可以假设四维的时空是嵌在更高维时空的一个超面，而四维以外的时空卷起来了。这两个理论是反映的是不同的宇宙观！是不同的宇宙理论。例子3 ：近十来年，物理学界关注碳纳米管的如下问题。碳纳米管上载流子的输运、碳纳米管本身绕对称轴的旋转 ( 参见： Physical Review B, 65(2002) 161401(R) ) 等，存在如下次序问题：次序一：碳纳米管是一个几何面，厚度为零。旋转是绕刚性轴进行的，建立量子力学。结果表明能量没有零点能。次序二：几何面实际上是物理上有厚度的薄壳的极限，先有薄壳内的量子力学，然后让厚度为零。结果表明有零点能。东京工业大学的尾上順教授小组，四月份报告了一个漂亮的实验结果，首次证明次序二是正确的!(Jun Onoe, et. al., Observation of Riemannian geometric effects on electronic states, EPL,98(2012)27001 ). 不要小看这个零点能。试看茫茫宇宙，暗能量还是一朵乌云哩。; 个人分类: 大学教育|10357 次阅读|57 个评论

《近代微分几何：谱理论与等谱问题、曲率与拓扑不变量》徐森林等: ustcpress 2012-3-14 10:20; 丛书名：当代科学技术基础理论与前沿问题研究丛书——中国科学技术大学校友文库（“十一五”国家重点图书出版规划项目）出版日期：2009年6月出版社：中国科学技术大学出版社正文页码：501页（16开）字数：500千定价：98.00元编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF）当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=20631599 【内容简介】本书前三章主要介绍了 Riemann 流形、 Riemann 联络、 Riemann 截曲率、 Ricci 曲率和数量曲率．详细研究了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容．此外，还应用变分和 Jacobi 场讨论了测地线、极小子流形的长度、体积的极小性．在证明了 Hodge 分解定理之后，论述了 Laplace Beltrami 算子 Δ 的特征值估计以及谱理论．进而，介绍了 Riemann 几何中重要的 Rauch 比较定理、 Hessian 比较定理、 Laplace 比较定理和体积比较定理．作为比较定理的应用，我们有著名的拓扑球面定理．这些内容视作近代微分几何必备的专业基础知识．在叙述时，我们同时采用了不变观点 ( 映射观点、近代观点 ) ，坐标观点 ( 古典观点 ) 和活动标架法．无疑，对阅读文献和增强研究能力会起很大作用．书中第 4 章、第 5 章是我们 25 年中关于特征值的估计，等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集．它将引导读者如何去阅读文献，如何去作研究，如何做出高水平的成果．本书可作理科大学数学系几何拓扑方向硕士生、博士生的教科书，也可作相关数学研究人员的参考书．【第一作者简介】徐森林，中国科学技术大学教授，华中师范大学特聘教授， 1965 年毕业于中国科学技术大学数学系数学系几何拓专业，导师是著名数学家吴文俊教授，并留校工作。从 1965 年 9 月开始，一直在中国科学技术大学数学系工作， 1985 年为副教授， 1990 年晋升教授， 1993 年受聘为博士生导师 ,1982 年 -1984 年到美国 Princeton 大学作访问学者。 1988 年 6 月到 12 月到意大利 ICTP 作访问教授。 1995 年 1 月 -3 月到美国 Purdue 大学合作研究。 2002 年经几位院士推荐，被华中师范大学特聘为该校教授、博士生导师，目前在教学科研方面发挥着积极的作用。 1989 年聘为美国《数学评论》（ Math. Rev. ）评论员。 1990 年 -1995 年和 1995 年 -2000 年分别聘为首届和第二届《国家教委数学与力学教学指导委员会》委员，享受国务院特殊津贴，名字列入《世界数学家名录》。; 个人分类: 校友文库|4884 次阅读|0 个评论

学习微分几何——开集和连续性: 热度 1 Babituo 2011-12-28 08:18; 为什么要定义开集？原来是因为要摆脱距离来研究点之间的“相邻性”。什么是“度规”？原来就是计算距离的函数，就叫度规。 “邻接”和“距离”的分离：通常我们认为两个邻接的事物，其距离就为零。如果它们之间有距离，还说它们是“邻接”的，就不太好理解。数学的精妙就表现在：它能把我们通常的很普通的一些观念，用更精确的手法进行辨析。把邻接概念和距离概念分开，说：邻接和距离无关，意味着两个概念脱钩了，各是各的含义。那么，与距离脱钩的邻接概念要和谁挂钩才好理解呢？我们知道，空间是顺序位置点的集合。位置距离是与位置脱不了勾的，那么，邻接当然就和顺序脱不了沟。邻接的意思就变为：不管2点之间有多远的距离，如果要从一个点A“走”到某个其他的点C时，如果一定要先经过点B，那么，就说A和B邻接。这么一理解，“拓扑”的味道就出来了。“拓扑”的味道就是：不管点之间的距离关系怎么变，只管点之间的顺序关系不能变，看空间怎么变也变不了的东西是什么。度规这个概念该死，把计算距离的方法这么简单的含义用2个不熟悉的字一叫，就让非数学专业人士吓跑了一半。也不该死，有了这2个字，就不要总重复说“计算距离的方法”这7个字了，说起来听起来更简单一些——就是我们要知道，脑子里稍微转个弯就行了。 “邻域”，就是相邻的区域，区域，当然是点的集合，就是与一个点相邻的点的集合。就是一个渔网的一个点，四周连着那些其他的点。 “开集”，就是一个基本的点的集合把每个点的领域都拉进来的集合，就是开集。呵呵，围棋子串是一个点的集合，把一个串的“气”全包进来的集合，就是一个“开集”。接下来书上开始讲流形上的连续映射了。且慢！我还没有消化“流形”的概念呢？回头看流形的概念，侯老师是这样说的：n维流形的局域象n维线性实空间。也就是说，n维流形是一个任何局部都是一个n维的线性实空间的空间。看起来不难理解，可要小心理解这个概念，不要太轻视了哦。一维流形就是一条“光滑”的曲线，因为曲线被分到足够小小段连接而成的时候，就可以认为，每个小段都是一个直线段，这是微分的知识。每个直线段，就是一个一维线性实空间的一个局部。当然，二维流形就是局部是“平直的”足够小的正方形。理解“流”这个词其实很重要，流不是简单的平移，而是顺着某个方向平滑地移动。所以，有“流线型”的说法，现代视觉设计是很讲究“流线型”的，尤其是汽车、飞机等的外形设计，因为不仅可以让我们觉得好看，还能减少汽车飞机的运动阻力，或许“顺着”，“减少了阻力”，正是我们觉得美的原因吧。二维的流形，一般理解也有点怪：平直的正方形，要“顺着正方形”的平面方向光滑地平移的话，平移的结果，不是依然是一个平直的平面吗？这是因为，一般的理解，没有把正方形理解得“足够小”。就象浮在波涛起伏的大海上的指甲盖大小的一小张正方形纸，浮在在波涛起伏的任何地方，都可以“认为”，这小片纸，依然是“平直”的。突然想到这是很有意思的哲学辨证法的味道：要想得到精确，必须先近似。这是因为永远没有绝对的精确，只有近似地认为一个足够小的单元是精确的，才能拿这个“精确”去丈量其他的事物，得到其他事物的“精确”。原来数学，也需要哲学思辨的支持。流形的概念就算我理解了，到高维，无非就是在每一维度上存在偏导数的平滑变化，这点微积分基础我还是有的。侯老师说的另一句对流形的“确切定义”反倒暂时还不能被我理解：流形是这样一个Hausdorff空间，它的每一点有一个含有该点的开集，与n维线性实空间的开集同胚。我还是清醒的：暂时不能让我理解的只是其中的“Hausdorff空间”和“同胚”这两个词语的确切含义，并不是“流形”的概念本身，所以，不用着急，它们肯定说的是流形的某个特性，过不了多久，我一定会“知道”的——就象我“知道”度规，只不过就是计算距离的方法而已一样。再来看“流形上的连续映射”说的是什么？是2个流形之间的映射，当然是空间中的点对点的对应关系，可以用一个函数来表示，实际上就是如何在2个流形之间进行变换的问题。为什么要提2个流形之间的变换问题呢？因为把一个流形做出一种各点之间距离的变化，但不改变各点的邻接关系的话，一个流形就变成了另一个流形，前后就是2个流形，假设促使变化产生的方法是同一个，那么，这个方法就是映射函数。这里，顺便介绍了闭集和开邻域的概念。闭集的陈述好理解：是开集A在集合S中的补集。开邻域的表述有点拗口，屡直了说应该是这样：开邻域是指S中含有点a所属的某开集的子集。闭集是针对开集所说；开邻域是针对一个点的邻域来说的。在围棋盘上说：棋盘上除了一个棋串和它的气组成的开集以外的部分，是一个闭集；而开邻域，则是包含了一颗棋子和这个棋子四周邻接的位置的区域的区域。先学到这。; 个人分类: 电脑围棋|13112 次阅读|2 个评论

开始学习《物理学家用微分几何》: 热度 3 Babituo 2011-12-27 15:01; 为什么要学这本书？ 1.很久以来想学习场论，认为是解决电脑围棋问题的一把钥匙，是研究占有欲场的数学工具。 2.发现研究场论得先学习微分几何； 3.一直没有找到一本让我一看就觉得能懂的微分几何教材； 4.今天搜到科学网上就有人分享了这本书。 5.一看第一章讲流形的概念，就说得很细，从我能懂的概念线性空间讲起，就喜欢这本书了。所以，开始学习这本书。暂时放到我的电脑围棋分类中，因为，我是为解决电脑围棋问题来学它的。从n维线性空间概念开始。三维的欧氏空间是由三个实数描述的位置的空间。 ——“空间”是由有顺序的连续的“点”组成的集合，不仅仅是点的集合，而且是这些点和它们的顺序的集合，或者叫“连续顺序点的集合”。 ——“连续”是很有意思的概念，通过早先和吴中祥老师的掐架，我知道，“连续”的意思，说白了，就是在两个点之间，总有中间的点存在。是不是很有意思呢？通常理解，连续，就是紧挨着，亲密无间，可在空间上，两点之间要是不存在第三个点，反而是不连续的。——怎么理解呢？很好理解，空间中，只有“点”这种东西，对吧？那么，点和点之间靠什么来“连接”呢？当然只能是“点”。如果两点之间没有“点”，不就是说，这两点之间，是没有连接起来的，不是吗？ ——“有顺序”也是蛮有意思的概念，有顺序，通常的理解就是有先后，有远近。那是当然，电影院的座位都有排号和座号，分别规定了离屏幕的前后左右的远近次序。有顺序的顺序，本质上是每个点的位置不同，规定了一个方向，再规定参考点位置，自然就会出现一种顺序。所以，顺序，其实是不“实际存在”的，“实际存在”的只是不同的位置点。顺序，是人为规定的，是通过规定参考方向和参考点来得到的点的“规定属性”。——但“每个点的位置是不同的”，则不是规定出来的，而是假设存在的基本事实。 ——三维欧氏空间，是只要规定统一的三个正交方向基于同一个参考点，就可以描述到每个点的位置的空间。而且，点都是很规矩，很整齐地按照这样的描述方法进行紧密排列的。这其实就是说，点的位置满足加法和乘法的规则——所有的点都是整齐地按正方形顶点的位置规矩排列的，均匀的。或者说：每个点都是“正方形”的，这样才能紧密排列。这两种说法似乎都有问题：好像会和“连续性”定义产生矛盾。如果是第一种说法：正方形的中间有没有点？有，因为总可以有更细分的正方形的顶点恰好是大正方形内部的任何一个点。问题和点的定义同形了，可以认为只要接受点的连续的定义假设，就可以接受这个假设。如果是第二种假设，点是正方形的（假设是平面空间，三维就是立方体），那么，一个正方形和另一个正方形共一条边，就可以说这两个正方形连续了，同时，还可以理解为：每个正方总是可以细分为更小的正方形拼成的，原来“相邻正方形”所共的边，也一定是更细分的正方形所共的边，正是因为这个“边”是由“连续”的“点”组成，总可以找到任意两点之间的第三点，才导致“正方形”总可以不断细分下去。第二种假设的问题也解决。好了，只要承认点的假设没错，我们就可以承认三维空间的假设也没错。也就是“魔方”假设：只要认为“魔方”的小方块，总可以是由更小的魔方组成的就成。多维欧氏空间就是多维线性空间，无非就是要由多个实数来描述一个点的位置的空间。尽管我们的大脑不能直接想象出这种空间出来，但我们可以用需要用的实数的个数在增加，来间接想象。增加到n个，就是n维线性空间。蛮有意思的。做一小点关联电脑围棋的扩展思维：很多人会以为：围棋的棋盘是一个19X19的平面空间，是不连续的点组成的一个离散点空间。呵呵，这只是表面现象而已，按我现在的理解，围棋棋盘是一个平面空间的想法，正是阻止我们深入研究围棋数学模型的巨大障碍。就好像空气的存在是阻止我们移民火星的巨大障碍一样。我暂不解释地宣布：对于场论的数学模型而言，围棋棋盘是一个平面连续的场分布空间。为什么不解释？等我学习微分几何到一定程度，自然能给出数学上的答案。另外开个玩笑：对这么好的学习笔记，科学网的老大们都不给加精，绝对不是我的损失。; 个人分类: 电脑围棋|9967 次阅读|10 个评论

周四讨论班：与微分几何结合的控制理论（王厚发）: GrandFT 2011-12-13 06:48; 题目：与微分几何结合的控制理论主讲：王厚发时间：2011年12月15日星期四下午4:30-6:10 地点：16楼308 提纲：一、线性定常系统中的最优控制主要数学工具是变分法二、如何将非线性系统精确线性化主要数学工具是李导数三、如何对一类非线性系统进行最优控制主要数学工具是若干领域数学工具的综合; 个人分类: 周四讨论班|4970 次阅读|0 个评论

专题讨论班（周三）：现代几何学：方法与应用讲座（一）（刘彤）: GrandFT 2011-5-7 22:54; 注意：时间改到周三题目：空间区域中的几何 . 基本概念注：这次讲座会用上点儿高科技手段。主要内容： 1.坐标系（坐标变换是重点） 2.欧式空间（二次型和向量是重点） 3.黎曼和伪黎曼空间（度量是重点） 4.欧氏空间变换群（运动是重点） 5.弗莱纳公式 6.伪欧几里得空间（所谓的重点是个人偏好，当然你可以不认同。但是我会强调这些重点。）参考书：现代几何学：方法与应用（第一卷）——曲面几何、变换群与场（第五版）（Б.А.杜布洛文，С.П.诺维科夫，А.Т.福明柯）主讲：刘彤时间：2011年5月11日9:00 （周三）地点：16楼308; 个人分类: 专题讨论班|3435 次阅读|0 个评论

[转载]丘成桐：感情的培养是做大学问最重要的一部分: brbaba 2011-1-13 18:00; 　　丘成桐，1949年出生于广东汕头。1983年获得素有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖，迄今仍是华人数学家中唯一的获奖者。1979年后，丘成桐把主要精力转向振兴祖国数学事业上，先后创建了香港中文大学数学所、中科院晨兴数学中心、浙江大学数学中心，并亲自担任这些研究机构的负责人。他还为这3个研究机构募集资金1.5亿元。他是当今世界公认的最著名的国际数学大师之一，被国际数学界公认为四分之一世纪里最有影响的数学家。他现任美国哈佛大学讲座教授、国际顶尖数学杂志《微分几何杂志》主编，所获荣誉还有：瑞士皇家科学院的克雷福特奖、美国国家科学奖、美国国家科学院院士、中国科学院首批外籍院士、俄罗斯科学院外籍院士、台湾中研院院士、世界华人数学家大会主席、中华人民共和国国际科学技术合作奖。　　我年少时，并不喜欢读书，在香港元朗的平原上嬉戏玩耍，也在沙田的山丘和海滨游戏。与同伴在一起，乐也融融，甚至逃学半年之久。真可谓倘佯于山水之间，放浪形骸之外。　　感情的培养是做大学问最重要的一部分。　　在这期间，唯一的负担是父亲要求我读书练字，背诵古文诗词，读近代的文选，也读西方的作品。　　但是，当时我喜爱的不是这些书，而是武侠小说，从梁羽生到金庸的作品都看了一遍。由于这些小说过于昂贵，只能从邻居借来，得之不易。借到手后，惊喜若狂。父亲认为这些作品文字不够雅驯，不许我看，所以我只得躲在洗手间偷偷阅读。　　除了武侠小说外，还有《薛仁贵征东》、《七侠五义》和一些禁书，都是偷偷的看，至于名著如《水浒传》、《三国演义》和《红楼梦》等则是公开的阅读，因为这是父亲认为值得看的好书。他要求我看这些书的同时，还要将书中的诗词记熟。这事可不容易，虽然现在还记得其中一些诗词，例如黛玉葬花诗和诸葛亮祭周瑜的文章等，但大部分还是忘记了。　　《三国演义》和《水浒传》很快就引起我的兴趣，但是读《红楼梦》时仅看完前几回，就没有办法继续看下去。一直到父亲去世后，才将这本书仔细的读过一遍，也开始背诵其中的诗词。由于父亲的早逝、家庭的衰落，与书中的情节共鸣，开始欣赏而感受到曹雪芹深入细致的文笔，丝丝入扣地将不同的人物、情景，逐步描写出旧社会的一个大悲剧。　　四十多年来，我有空就看这部伟大的著作，想象作者的胸怀和澎湃丰富的感情，也常常想象在数学中如果能够创作同样的结构，是怎样伟大的事情。　　我个人认为：感情的培养是做大学问最重要的一部分。　　汪中在《汉上琴台之铭》中有句云：抚弦动曲，乃移我情。《琴苑要录》：伯牙学琴于成连，三年而成，至于精神寂寞，情之专一，未能得也伯牙心悲，延颈四望，但闻海水汨没，山林谷冥，群鸟悲号，仰天长叹曰：先生将移我情。　　这一段话，对我深有感触。立志要做大学问，只不过是一剎那间事。往往感情澎湃，不能自已，就能够将学者带进新的境界。　　父亲去世以前，我学习了不少知识，也读了不少好文章。但他的去世，却深深地触动了我的感情。我读《红楼梦》，背诵秦汉和六朝的古文，读司马迁的自传、报任安书、李陵答苏武书、陶渊明的归去来辞等等文章，这些文章的内容都深深地印记在我的脑海中。　　文天祥说：风檐展书读，古道照颜色。足可以描述我当时读书的境况。除了中国文学外，我也读西方的文学，例如歌德的《浮士德》。　　这本书描述浮士德的苦痛，与《红楼梦》相比，一是天才的苦痛，一是凡人的苦痛。描写苦痛的极至，竟可以说得上是壮美的境界，足以移动人的性情。　　就这样，由于父亲的去世和阅读文学的书籍，这大半年感情的波动，使我做学问的兴趣忽然变得极为浓厚，再无反顾。　　凡人都有悲哀失败的时候，有人发愤图强，有人则放弃理想以终其身。　　黄仲则诗：结束铅华归少作，屏除丝竹入中年，茫茫来日愁如海，寄语羲和快着鞭。　　诗虽感人，思想毕竟颓废，使人觉得阴云蔽天。难怪黄仲则一生潦倒，终无所获。　　反观太史公司马迁，惨受腐刑，喟然而叹身毁不用矣，却完成了传诵千古的《史记》，适可藏诸名山大都。他在自传中说：自周公卒，五百岁而有孔子，孔子卒后，至于今五百岁，有能绍明世，正易传，继春秋，本诗书礼乐之后，意在斯乎，意在斯乎。小子何敢让焉。太史公的挫败和郁结，反而使他志气更为宏大。　　四十年来我研究学问，处事为人，屡败屡进，未曾气馁。这种坚持的力量，当可追索到当日感情之突破。我一生从未放弃追寻至真至美的努力，可以用元稹的诗来描述：曾经沧海难为水，除却巫山不是云。　　当遇到困难时，我会想起韩愈的文章：苟余行之不迷，虽颠沛其何伤。　　我也喜欢用左传中的两句来勉励自己：左轮朱殷，岂敢言病。此句出自左传晋齐鞍之战：却克伤于矢，流血及屦，未绝鼓音，曰：余病矣。张侯曰：自始合，而矢贯余手及肘，左轮朱殷，岂敢言病？吾子忍之师之耳目，在吾旗鼓，进退从之，此车一人殿之，可以集事，若之何其以败君之大事也。　　简洁有力的定理使人喜悦，就如读《诗经》和《论语》一样，言短而意深。　　做研究生时，我有一个想法，微分几何毕竟是牵涉及分析﹙即用微积分为工具﹚和几何的一门学问，几何学家应该从分析着手研究几何。况且微分方程的研究已经相当成熟，这个研究方向大有可为。虽然一般几何学家视微分方程为畏途，我决定要将这两个重要理论结合，让几何和分析都表现出它们内在的美。　　在柏克莱的第一年我跟随Morrey教授学习偏微分方程，当时并不知道他是这个学科的创始者之一。从他那里我掌握了椭圆形微分方程的基本技巧。在研究院的第二年我才开始跟随导师陈省身先生学习复几何。　　毕业后，在我的学生和朋友Schoen、Simon、郑绍远、Uhlenbeck、Hamilton、Taubes、Donaldson、Peter Li等人的合作下，逐渐将几何分析发展成一个重要的学科，也解决了很多重要的问题。　　这是一种奇妙的经验，每一个环节都要花上很多细致的推敲，然后才能够将整个画面构造出来，正如曹雪芹写作《红楼梦》一样。　　尼采说：一切文学，余爱以血书者。　　曹雪芹说：字字看来皆是血，十年辛苦非寻常。　　我们众多朋友创作的几何分析，也差不多花了十年才成功奠基。不敢说是以血书成，但每一次的研究都很花费工夫，甚至废寝忘餐，失败再尝试，尝试再失败，经过不断的失败，最后才见到一幅美丽的图画。　　简洁有力的定理使人喜悦，就如读《诗经》和《论语》一样，言短而意深。有些定理，孤芳自赏。有些定理却引起一连串的突破，使我们对数学有更深入的认识。每一个数学家都有自己的品味和看法，我本人则比较喜欢后一类数学。　　当定理证明后，我们会觉得整个奋斗的过程都是有意思的，正如智者垂竿，往往大鱼上钩后，又将之放生，钓鱼的目的就是享受与鱼比试的乐趣，并不在乎收获。　　从数学的历史看，只有有深度的理论才能够保存下来。千百年来，定理层出不穷，但真正名留后世的结果却是凤毛麟角，这是因为有新意的文章实在不多，有时即使有新意，但是深度不够，也很难传世。　　当年我看武侠小说，很是兴奋，也很享受，但是很快就忘记了。在阅读有深度的文学作品时，却有不同的感觉。有些武侠小说虽然很有创意，但结构不够严谨，有很多不合理的元素，与现实相差太远，最终不能沁人心脾。　　我们几个朋友在研究和奋斗过程中，始终不搞太抽象的数学，总愿意保留大自然的真和美。　　王国维评古诗十九首：昔为倡家女，今为荡子妇，荡子行不归，空床难独守。何不策高足，先据要路津，无为久贫贱，轲长苦辛。以为其言淫鄙，但从美学的观点，却不失其真。　　好的数学也应当能接触到大自然中各种不同的现象，这样才能够深入，才能够传世。　　数学创作也如写小说，总不能远离实际。《红楼梦》能够扣人心弦，乃是因为这部悲剧描述出家族的腐败、社会的不平、青春的无奈，是一个普罗众生的问题。好的数学也应当能接触到大自然中各种不同的现象，这样才能够深入，才能够传世。　　我的研究工作，深受物理学和工程学的影响，这些科学提供了数学很重要的素材。　　广义相对论就是一个重要的例子。1973年在斯坦福大学参加一个国际会议时，我对某个广义相对论的重要问题发生兴趣，它跟几何曲率和广义相对论质量的基本观念有关，我锲而不舍地思考，终于在1978年和学生Schoen一同解决了这个重要的问题。这些与相对论有关的几何问题始终使我喜悦。　　也许这是受到王国维评词的影响，我认为数学家的工作不应该远离大自然的真和美。直到现在我还在考虑质量的问题，它有极为深入的几何意义。没有物理上的看法，很难想象单靠几何的架构，就能够获得深入的结果。广义相对论中的品质与黑洞理论都有很美的几何意义。　　其实西方文艺复兴的一个重要反思就是复古，重新接受希腊文化真与美不可割裂的观点。中国古代文学的美和感情是极为充沛的，先秦两汉的思想和科技与西方差可比拟。清代以来，美术文学不发达，科学亦无从发展。读书则以考证为主，少谈书中内容，不逮先秦两汉唐宋作者的热情澎湃。若今人能够回复古人的境界，在科学上创新当非难事。　　除了看《红楼梦》外，我也喜欢看《史记》、《汉书》。这些历史书不单发人深省，文笔通畅，甚至启发我做学问的方向。　　由于史家写实，气势磅礡，荡气回肠，使人感动。历史的事实教导我们在重要的时刻如何做决断。做学问的道路往往是五花八门的，走什么方向却影响了学者的一生。复杂而现实的历史和做学问有很多类似的地方，历史人物做的正确决断，往往能够提供学者选择问题一个良好的指南针。　　王国维说学问第一境界昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。做好的工作，总要放弃一些次要的工作，如何登高望远，做出这些决断，大致上建基于学者的经验和师友的交流上。然而对我而言，历史的教训却是很有帮助的。　　我刚毕业时，蒙几何学家西门斯邀请到纽约石溪做助理教授。当时石溪聚集了一群年青而极负声望的几何学家，在度量几何这个领域上可说是世界级重镇。我在那里学了不少东西。　　一年后又蒙奥沙文教授邀请我到斯坦福大学访问，接着斯坦福大学聘请我留下来。但是当时斯坦福大学基本上没有做几何学的教授，我需要做一个决定。　　这时记起《史记》叙述汉高祖的事迹。刘邦去蜀，与项羽争霸，屡败屡战。犹驻军中原，无意返蜀，竟然成就了汉家四百多年的天下。对我来说，度量几何的局面太小，而斯坦福大学能够提供的数学前景宏大得多，所以决定还是留在斯坦福做教授，与Schoen、Simon合作。现在想来，这是一个正确的决定。　　如上所言，我的想法和一般同学的想法不大一样，也不见得是其他一流数学家的想法。但是有一点是所有学者都有的共同点：努力学习，继承前人努力得来的成果，不断地向前摸索。　　我年少时受到父亲的鼓励，对求取知识有浓烈的兴趣，对大自然的现象和规律都很好奇，想去了解，也希望能够做一些有价值的工作，传诸后世。　　我很喜爱以下两则古文：　　孔子：君子疾没世而不称焉。　　曹丕《典论论文》：盖文章，经国之大业，不朽之盛事是以古之作者，寄身于翰墨，见意于篇籍，不假良史之辞，不托飞驰之势，而声名自传于后。　　立志当然是一个好的开始，但是如何做好学问却是一个重要的问题，我有幸得到好的数学老师指导。当我学习平面几何时，我才知道数学的美，也诧异于公理逻辑的威力。　　因为对几何的兴趣，我做习题时都很成功，也从解题的过程中产生了浓厚的好奇心。我开始寻找新的题目，去探讨自己能够想象的平面几何现象。每天早上坐火车上学时我也花时间去想，这种练习对我以后的研究有很大的帮助。　　有了理想的方向，还需要寻找好的问题。　　中学时的训练对同学们都有很大的帮助，但修能却需要浸淫于书本，从听课和师友交流中，可以发现那些研究方向最为合适。找到理想的方向后，就需要勇往直前。好在，培正中学出了不少数学名家。我们中学的老师在代数和数论方面的涉猎比较少，培正同学们在这方面的成就也相对地比较弱，由此可以看到中学教育的重要性。　　屈原说：纷吾既有此内美兮，又重之以修能。文章的格调和对学术的影响力与内美有关，可以从诗词、礼、乐、古文、大自然的环境中培养吸收。　　有了理想的方向，还需要寻找好的问题。西方哲人亚里斯多德﹙Aristotle﹚在名著《形而上学》一书中说：人类开始思考直接触目不可思议的东西而或惊异而抱着疑惑，所以由惊异进于疑惑，始发现问题。惊异有点像惊艳，但这种惊异一方面需要多阅历，一方面需要感情充沛，才能够产生。　　空间曲率的概念对我具有极大的吸引力，我从广义相对论中知道所谓Ricci曲率的重要性。通过爱因斯坦方程，它描述物质的分布，这个方程的简洁和美丽使我诧异。　　我认为了解Ricci曲率是了解宏观几何的最重要一环，但几何茫茫，无从着手。有一天很高兴地发现Calabi先生在1954年时有一篇文章，叙述在复几何的领域中，Ricci曲率有一个漂亮的命题，但他却没有办法证明这个命题。当时我很兴奋，但也觉得它不大可能是真实的，因为这个命题实在太美妙了。所有年轻的朋友都这么说，甚至我的导师也这么说。　　陈先生甚至认为这个研究方向的意义不大，我却固执地认为对Calabi猜测总要找出一个水落石出的答案。直到有一天，经过大量的尝试后，我才发觉从前走的方向完全是错误的，于是反过来企图证明这个猜想。但要证明它，却需要有基本的分析能力，我和我的朋友郑绍远花了不少工夫去建立跟这个问题有关的工作，终于我在一九七六年完成了这个重要猜想的证明。　　这个猜想在一九七六年全部完成，我同时应用它解决了代数几何里好几个基本问题。毫无疑问，这是一个漂亮的定理，也打开了几何分析的一个大门。　　当时我刚结婚，正在享受人生美好的时刻，也独自欣赏这个刚完成的定理的真实和美丽，有如自身的个体融入大自然里面。当时的心境可以用下面两句来描述：落花人独立，微雨燕双飞。　　由这个定理引起的学问，除了几何分析上的Monge-Ampere方程外，在代数几何上独树一帜，以后在弦学理论成为一个重要的宇宙模型。　　在解决Calabi猜想的同时，有一天我碰见从前在柏克莱的同学Meeks先生。他是一个嬉皮士，两手各搂抱着一个少女，在系里的走廊上高高兴兴地走来。但我觉得此人极有才华，建议与他合作去解决一个极小流形的古老问题。　　我们用拓扑学的办法解决了这个问题，反过来又用得到的结果，解决了拓扑学上一些重要的问题，再加上我的同学Thurston的重要工作，竟然解决了拓朴学上著名的Smith猜想。1976年可说是我收获极为丰富的一年，我那年刚结婚，刚搬到洛杉矶，生活未算安定。由此可知，做学问没有最安定的环境也可以成功的。　　在代数几何得到一定成功后，我接触到很多代数几何学家，也开始了解这个学科的走向。Calabi猜想是关于度量的猜测，我开始比较度量几何和复纤维丛上的度量问题，我猜想纤维丛也有类似于Calabi猜想中的度量，同时和纤维朿的稳定性有关，Uhlenbeck和我花了很长一段时间才将这个问题全部解决。﹙在这期间英国的Simon Donaldson用不同的方法解决了二维的情形，并且很快就完成了高维空间中这个定理的重要情形。﹚ 　　在解决这个问题后，我建议我的朋友Witten考虑这个定理的物理意义，他当时认为这个定理的物理意义不大，但一年后他改变了想法，写了一篇文章解释它们在弦论上的作用。直到如今，这个结构在弦论上仍占据着很重要的位置。　　这篇文章花了Uhlenbeck和我很长的时间，可说是极为艰苦的奋斗才完成的。Uhlenbeck来Princeton访问我时，为了寻找这个问题的解法，竟然关在房间里三天之久。　　我和Uhlenbeck的工作以后被推广，尤其是加上我的朋友Hitchin引进的HiggsField以后，成为代数几何和算术几何中强有力的工具。　　Calabi猜想的一个重要结论是，代数空间有很强的拓朴限制，包括Miyaoka-Yau不等式的成立，从而有代数流型的刚性结果。这个结果被我应用而解决了古老的Severi猜想。在这个基础上，我猜测某些代数空间有更一般的刚性结果。我并提出用调和映射的方法来解决这个猜想。　　其实在更早的时候，我和Schoen已经在调和映射做了不少工作。　　在1984年弦理论成为理论物论的重要一门学科以后，我以前做的好几项工作都受到理论物理学家的欢迎。我也深受物理学家对数学洞察力的影响，我有十多位跟随我的博士后，他们都是物理学博士。我从他们那里学习物理。　　最令我惊讶的一次是，我的博士后Brian Greene跑到我的办公厅，向我解释他最新的发现，就是在Calabi-Yau空间中，存在所谓镜对称的观点，这个发现对代数几何有极大的冲击，影响至今。它的结论至为漂亮，从不同角度解释了代数几何里百年来不解的现象，但物理学家没有办法给出一个证明，六年后在众多数学家努力的基础上，刘克峰、连文豪和我终于找到一个满意的证明。　　但是我觉得我们对镜对称这个现象还是没有得到深入的了解，两年后Strominger、Zaslow和我终于找到这个对称的几何解释，引起了一连串重要的突破，可是，镜对称在数学上到现在还没有严格的证明。Zaslow是跟随我的博士后，他以后成为西北大学的大教授。　　当时我和他还做了一个重要的工作。从弦学上膜的观点，我们找到一个公式﹙Yau-Zaslow公式﹚。这个公式可以用来计算K3曲面上的有理曲线的个数，公式由数论中的某些着名的函数给出，这是数论函数出现在计算曲线数目的第一次，以后很多代数几何学家继续这个研究，将这个公式推广到更一般的情形。　　与物理学家合作是愉快的经验，可以有跳跃性的进展，而又不停的去反思，希望能够从数学上解释这些现象，在这个过程中往往推进了数学的前沿。　　过去二十多年，我也花了一些工夫去做应用数学的工作，一方面和金芳蓉在图论上的合作，一方面和我弟弟共同研究控制理论。近年来更和顾险峰等合作做图像处理的研究。　　这些工作都和我从前研究的几何分析有关，尤其是我和Peter Li研究的特征函数的问题。起源于当年我在斯坦福研究调和函数的梯度估计。我还记得我傍晚时躲在办公室里，试验用不同的函数来算这些估值，舍不得去看斯坦福校园落日的景色。　　斯坦福的校园确是漂亮，黄昏时在大教堂的广场，在长长的回廊上散步。看着落日镕金，青草连天的景色，心情特别舒畅。我早年的工作都在这里孕育而成。　　除了Calabi猜想外，还有正质量猜想的证明。1979年的夏天，我和Schoen住在他女朋友Los Altos的家里，白天我们将这个猜想的证明逐步写出来，到了晚上十时多才回家去游泳池游泳。在这一段日子里，我们也将正数值曲率空间的理论完成。　　做科研确实需要付出代价，但它的快乐无穷。　　先父的心愿是：寻孔颜乐处，拓万古心胸。　　我只知自得其乐，找寻我心目中宇宙的奥秘。　　衣沾不足惜，但使愿无违。信息来自：光明日报; 个人分类: 至理名言|2586 次阅读|0 个评论

《微分几何及其在力学中的应用》绪论: 热度 1 武际可 2010-12-5 09:35; 《微分几何及其在力学中的应用》绪论武际可黄克服我们二人合作编写的《微分几何及其在力学中的应用》一书，即将由北京大学出版社出版，现将该书的序言贴在这里，供同行们参考。绪论几何是关于空间的科学。微分几何是利用微积分研究空间构造的数学学科。人类关于空间的认识是逐步深化的。最早是关于日常经验中的三维欧氏空间的认识。约公元前 300 年，古希腊的欧几里德写成的巨著《几何原本》奠定了欧氏几何的基础。 1637 年法国的笛卡尔（ R. Descartes, 1596 － 1650 ）发表了他的《几何学》奠定了解析几何的基础，从而把分析和几何图形联系了起来。 1788 年法国的拉格朗日 (J. L. Lagrange ， 1736 － 1813) 出版了巨著《分析力学》，引进了高维空间来描述动力系统的状态。德国数学家和天文学家高斯（ J. K. Gauss, 1777 － 1855 ）的研究工作推进了曲面的微分几何的发展，之后他的学生黎曼（ G. F. B. Riemann,1826 － 1866 ）系统发展了微分几何，奠定了流形与黎曼空间的基础。力学同数学的发展是同步的，或者说，有什么样的数学就有什么样的力学，反过来在一定的程度上也可以说有什么样的力学就有什么样的数学。力学的研究经常是要了解客观事物的质和量两个侧面，而质和量是不可分的，所以力学同数学自古便有紧密联系的传统。 1627 年，我国出版了最早的力学著作，由传教士邓玉函（瑞士人）口授、王徵笔录的《远西奇器图说》。该书在谈到力学与数学的关系时说：造物主之生物，有数、有度、有重，物物皆然。数即算学，度乃测量学，重则此力艺之重学也。重有重之性。以此重较彼重之多寡，则资算学；以此重之形体较彼重之形体之大小，则资测量学。故数学、度学、重学之必须，盖三学皆从性理而生，为兄弟内亲，不可相离者也。这里说的数学就是计算，度学就是几何，而重学即是力学。意大利文艺复兴时代的大师达芬奇（ Leonardo da Vinci,1452 － 1519 ）说过：力学是数学科学的天堂，因为，我们在这里获得数学的成果。牛顿在他 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》的绪言中则把几何学看作力学的一部分，他说：几何学是建立在力学的实践之上的，它无非是普通力学的一部分，能精确地提出并论证测量的方法。力学是研究物质在空间运动的学科。所以力学尤其是和几何学有着不可分割的联系。我们可以把从阿基米德开始的有限自由度力学与数学的关系的特点归纳如下：从阿基米德到哥白尼、斯梯芬时代，力学的研究内容主要是静力学和天体的圆运动。在几何方面的主要工具是欧氏几何。相应的计算工具是常量的代数运算。从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代，力学研究的主要内容是自由质点的运动，特别是解决在引力作用下的自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工具则是引进了变量，发明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个时期的力学学科的开拓者。从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力学主要的研究内容是约束运动。在几何方面的主要工具是引进了 n 维空间的概念，后来经过黎曼的严格化，就是流形或黎曼几何。而在分析方面的主要工具则是引进了泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方法，也就是变分法，拉格朗日自己就是早期开拓变分法的主将。在上一世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以庞卡莱与李亚普诺夫为代表的发展动力系统的定性理论时代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与应用意义。简单说，定性理论是研究系统解的性质随参数而变化的方向，例如有没有周期解的变化、有没有极限环的变化、解稳定与不稳定的变化等等。相应的几何方面的主要工具就是拓扑学和微分拓扑学，而相应的计算工具是同伦与外微分等，力学中的定性理论的开拓者庞加莱本人也是拓扑学的奠基人之一。至今经过了 100 多年的发展，它仍然是世界上都很关心的研究领域。这些力学历史发展的事实说明，在力学发展的每一个关键时期，总是要同从前没有研究过的空间和数量模型打交道，力学家并不是去坐等数学家去解决好了才动手工作，而是自己深入到数学中去发明新的数学工具，或者在与数学家的合作中加以解决。因此，在整个力学史上，许多开拓新领域的大力学家也同时是大数学家。即使是沿着他们开拓的路子前进的后继力学家，也必须熟悉前人发明的这些数学工具。既然力学是研究物质在空间的存在和运动形式，因此对于空间的深入理解就成为深入力学研究的决定性的条件。但是，多年来，在力学和技术的教育中，一直有一种忽视几何的偏向。一般说来，人们对于分析方面的培养是足够重视的，而在几何方面的大学教育中只涉及很少的知识，一直是只限于解析几何。这种情况近年来正在逐步改变。从 60 年代起，在世界范围内，近代微分几何知识迅速向物理界和力学界普及，出现了许多好的微分几何学教科书。古老的力学学科被以现代微分几何语言重新表述，从而开辟了许多新的研究方向。在力学中随着线性问题的逐渐成熟，非线性力学的研究正在兴起，而非线性和大范围的力学问题的研究又要求人们熟悉流形几何。本书正是为适应这种需要和发展趋势而写的。它打算为力学专业的研究生了解现代微分几何及其和力学的联系上提供一个入门的导引。全书共有六章。第一章是关于向量和张量的代数。第二章是讨论 n 维欧氏空间的曲纹坐标、向量和张量分析，其中用了相当的篇幅介绍曲线和曲面论。曲线论和曲面论本来是属于初等微分几何的内容，但是考虑到现在的高等学校本科生力学专业一般没有开设这门课，所以在这里进行了系统的介绍。第三章介绍的是黎曼几何。第四章介绍外微分及其应用。第五章介绍李群及其应用。第六章介绍动力系统和辛几何。在内容的叙述中，我们着重在它们和力学理论的联系上举了一些例子。学习数学不做习题是不行的，对于书中讨论的问题比较明显或证明比较简单的内容，我们留给读者自行计算或证明，此外我们在每一章的后面都附了少量习题; 个人分类: 科学杂谈|14529 次阅读|6 个评论

[转载]微分几何: ChinaAbel 2010-10-29 14:20; 目录 1微分几何的产生 2微分几何学的基本内容 3黎曼几何学的提出 4《埃尔朗根纲领》对微分几何的影响 5广义相对论的产生及其对几何学的影响 6曲线和曲面的整体性质 7整体微分几何的兴起　 7.1外微分形式、德拉姆定理与霍奇定理 7.2黎曼流形的完备性 7.3曲率与拓扑 7.4等距嵌入 7.5纤维丛 8微分几何和分析学新的结合微分几何学，数学的一个分支学科，主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的几何性质。微分几何的产生微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。 1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。微分几何学的基本内容微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓活动标形的方法。对任意曲线的小范围性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线转化成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。黎曼几何学的提出　　　在三维欧氏空间E 3 中，与曲线相比，曲面有着重要得多的性质。设x 1 ，x 2 ，x 3 为E 3 的笛氏坐标，则曲面S的参数方程为 (1) 曲面S的几何性质完全由被称为曲面的第一、第二基本形式的两个二次微分形式所决定。　　　　1827年德国数学家C.F.高斯的论文《弯曲曲面的一般研究》在微分几何学的历史上有重大的意义。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带有根本性的内容，他在论文中建立了曲面的内在几何学，其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上一区域的面积、测地线、测地曲率和总曲率等等，称之为曲面的内在性质。　　　　高斯之前的几何学家，在研究曲面时总是把曲面与外围空间E3相联系，找出曲面上一点的主方向，再计算两曲率线的法曲率的乘积，这是欧拉的研究。高斯证明了由曲面的第一基本形式就确定了曲面的总曲率，这就是高斯方程，所以总曲率通常也称为高斯曲率，这是高斯的著名发现，被称为极妙定理。他说：如果一个弯曲的曲面可展开到任何另外的曲面上去，则每点的曲率是保持不变的。这里，可展表示了映射是1-1（一一）且保持距离的。高斯建立的内在几何学有着深远的影响，是在微分几何上的一关键而重大的突破，但当时并未被人们所认识。　　　　更重要的发展属于德国数学家（G.F.）B.黎曼。1854年他在格丁根大学发表了题为《论作为几何学基础的假设》的就职演讲，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧氏空间中的一个几何实体。他发展了空间的概念，首先提出了n维流形（当时称为多重广延量）的概念，其中的点用n个实数(x 1 ，x 2 ，，x n )作为坐标来描述，他定义了流形上无限邻近两点(x i )与(x i +dx i )(i=1，2，，n)的距离， (2) 并以此作为几何学的出发点。后来称(2)为黎曼度量，这里(g ij )是正定对称阵。黎曼认识到度量(2)是加到流形上去的一个结构，因此，同一流形可以有众多的黎曼度量。黎曼以前的几何学家只知道外围空间E 3 的度量赋予曲面S以诱导度量，　(3) 即第一基本形式，而并未认识到曲面S还可以独立于E 3 而定义，可以独立地赋予度量结构。黎曼意识到这件事是非凡的重要，他把诱导度量与独立的黎曼度量两者分开来，从而开创了以(2)为出发点的黎曼几何。这种几何以种种非欧几何作为其特例。例如，这时可以把　（是常数） (4) 作为两个无限邻近点的距离，当0时，就是球面几何或椭圆几何（又称为正常曲率空间的几何），=0时就是欧氏几何，0时就是罗巴切夫斯基几何或双曲几何，又称负常曲率空间的几何。　　黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。在两个不同坐标系x 1 ，x 2 ，，x n 与x 1' ，x 2' ，，x n' 中，给定两个二次微分形式与，求存在坐标变换 (i=1，2，，n)将一个微分形式变到另一个的条件，这个问题1869年由 E.B.克里斯托费尔与 R.（O.S.）李普希茨解决。克里斯托费尔的解包含了以他的名字定名的记号，即第一类克里斯托费尔记号和第二类克里斯托费尔记号：， (5) 及协变微分的概念。在此基础上，1887～1896年间G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本的作用。里奇和他的学生T.列维－齐维塔在研究报告《绝对微分法及其应用》(1901)中对里奇计算法作了详细的综述。　　《埃尔朗根纲领》对微分几何的影响　　比克里斯托费尔、李普希茨解决二次微分形式的相互转换问题稍迟一些，1872年（C.）F.克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，这就是把几何学定义为研究变换群所作用的空间，例如欧氏空间具有刚体运动群，所研究的对象是在刚体运动群下不变的性质。射影空间具有射影变换群，仿射空间与共形空间分别具有仿射变换群与共形变换群等等。这样就用变换群对已有的几何学进行了分类。这些几何学中所研究的对象是在相应变换群下不变的性质。这种用群论统一几何学的思想把几何学与李群结合起来了。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起为E.J.威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起为以G.富比尼为首的意大利学派所发展。20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С..菲尼科夫等进一步发展了射影微分几何。　　　　另一方面，克莱因的《埃尔朗根纲领》与狭义相对论完美地相配合，狭义相对论中的一个原理是洛伦茨群下场方程的不变性，这导致了克莱因成为狭义相对论的最早支持者之一。洛伦茨结构在相对论中起了基本的作用。　　　　当克莱因制定《埃尔朗根纲领》时，已观察到黎曼几何并不包括在内，因为一般的黎曼空间，除恒等变换外，并不含有其他等长变换。经过W.K.J.基灵，.(-J.)嘉当的努力，使得李群成为微分几何的有力工具，而李群本身也成为微分几何的研究对象，它的推广就是齐性流形即容有可迁变换群的微分流形，这就给出了埃尔朗根纲领中所设想的几何空间的最一般形式。在齐性流形中，具有正定黎曼度量的齐性黎曼流形，特别是对称空间，显得特别重要。　　广义相对论的产生及其对几何学的影响　　　黎曼几何的建立对近代物理学产生了巨大的影响。黎曼对引力论很有兴趣，曾对牛顿的引力论发生怀疑，牛顿的引力是一种超距作用，而黎曼认为引力作用应通过接触来传递，但他并没有把黎曼几何用于引力论。50年后，爱因斯坦创立了新的引力理论──广义相对论，黎曼几何（严格地说是洛伦茨几何，这时(2)中所定义的ds 2 是非正定的二次微分形式）及其运算方法（里奇计算法）成为广义相对论有效的数学工具。爱因斯坦引进了约定求和这一很有用的符号。广义相对论的产生对微分几何的影响是令人震动的。当时黎曼几何成为研究的中心课题，斯考顿、列维－齐维塔、.嘉当及艾森哈特等人的关于黎曼几何的权威著作几乎都出现在1924～1926年期间。　　　　爱因斯坦在狭义相对论中，把时间与空间作为相关的量一起来考虑，构成了一个四重广延量，这显示了时空概念的一个根本性变化。这时，时空中两点(x i )，(x i +dx i )(i=1，2，3，4)的距离由非正定的二次形式　 (6) 所描述，其中x 4 =сt，с是光速，t是时间。这种具体形式是闵科夫斯基空间，或称闵科夫斯基四维时空，简称四维时空，它是洛伦茨流形中的一个特例。　　　　广义相对论采用的是洛伦茨流形，这时ds 2 是非正定的，它的特点是在任何一点的小邻域中和闵科夫斯基时空性质相近似。引力论的基本问题是要说明质点在引力作用下的运动轨线问题，在广义相对论中运动轨线为流形上类时（即弧长平方为负）的测地线，类时意味着质点的速度低于光速，测地线是变分　 (7) 所得微分方程的解。　　爱因斯坦的引力场方程是一个关于g ij 的二阶偏微分方程　　　 (8) 式中R ij 称为里奇张量，是由g ij 的一、二阶导数构成的；，其中由所确定；T ij 是描述物质分布的能量动量张量。特别，真空中的引力场方程由R ij =0所表述。如果弯曲空间化为平直空间，则表示引力场不存在，这时质点作匀速运动。　　　　爱因斯坦的广义相对论的思想来自物理学的研究，但值得注意的是从欧几里得几何学到黎曼几何学经历了二千多年时间，而从闵科夫斯基时空到洛伦茨流形只经过十年时间，这是因为黎曼几何学的张量分析已为此作了一切数学上的准备。爱因斯坦在建立广义相对论的过程中得益于数学家M.格罗斯曼，在发展广义相对论过程中他和.嘉当进行了许多的讨论，D.希尔伯特也参加建立场方程的研究。　　　　把黎曼几何应用于广义相对论时，列维-齐维塔平行移动的概念具有相当的重要性。（C.H.）H.外尔在1918年的名著《时间，空间，物质》中引进了仿射联络的概念，它是黎曼流形中列维－齐维塔平行移动的推广。在流形上可以用仿射联络作为出发点来定义平行移动和协变微分等结构，这样，仿射联络就不必从黎曼结构来得出。外尔所给出的联络是无挠率的（即对称的）。流形上定义了仿射联络，就得到仿射联络流形。　　　　.嘉当在他的主要论文《仿射联络流形及广义相对论理论》（1923～1924）中给出仿射联络的权威性论述，并将仿射联络这一概念推广到有挠率的情况。文中主要说明为什么爱因斯坦引力论是牛顿引力论的推广，后来他更进一步建立了各种联络理论，例如射影联络、共形联络等。　　　　黎曼几何还有另外的推广，P.芬斯勒以一般的出发建立了一种度量的几何学，F只是dx j 的正齐二次函数而不必要求它为二次型，也就是说g ij 除依赖于x之外，还是dx的正齐0次函数。对这种空间也引进了联络、曲率等等概念，从而得到芬斯勒几何。随后，还有很多的推广，得到的空间通称为一般空间。　　曲线和曲面的整体性质　　　在古典的曲线论和曲面论中，人们所研究的问题已可分为两种类型:局部问题与整体问题。曲线或曲面在一点充分小邻近成立的性质是局部性质。例如，曲线在一点的切线、法平面、曲率、挠率，曲面的切平面、法线以及各种曲率的概念都是局部性质。整体性质则是考虑整个曲线或曲面上的性质，它与局部性质所得出的定理时常是极不相同的。例如，平面凸闭曲线成立四顶点定理，即它的曲率至少有四个极值点。又如，对任何曲面，局部来说，两邻近点之间有且仅有惟一的测地线弧相连结，但从整体来说，这个问题就相当复杂。例如，欧氏空间的测地线是直线，任意两点之间有且只有一条直线段相连结，球面上的测地线是大圆弧，球面上任意两点A、B(如果不是对顶点)，可有两条测地线弧（优弧与劣弧）相连结，A、B是对顶点时，它们之间则有无限条测地线弧相连结。如果考虑闭测地线，则可看到欧氏空间没有闭测地线，而球面上任何测地线（即大圆）都是闭的。至于一般曲面有可能存在闭测地线，也有可能不存在闭测地线，可有许多情况，讨论闭测地线的存在性就是一个整体性质。　　　　又如，欧氏空间的曲面由第一、第二基本形式所决定。如果两个曲面小片S 1 ，S 2 ，它们的第一基本形式相同，第二基本形式不同，则称S 1 与S 2 是互为变形的。三维欧氏空间的一小曲面片总有无穷个曲面与它相变形，然而这个性质整体上是不成立的，例如球面以及一般的凸闭曲面不存在与之变形的曲面，这称为球面的刚性定理及凸闭曲面的刚性定理。讨论小曲面片的变形问题是局部性质，讨论曲面的变形问题则是整体性质。曲面上测地线弧的指标（它表示测地线弧的两端固定时，使其长度得到缩短的变形的维数）是一个整体的不变量。　　　　曲面的整体性质的一个重要结果是高斯-博内定理，它指明，在闭曲面S上，总曲率K的积分除以2就是曲面的欧拉数。等于1减去曲面上洞的个数，是个拓扑不变量，因而这个定理建立了曲面的微分几何量与曲面的拓扑量之间的重要联系。　　　　此外，希尔伯特还发现，双曲平面（二维的双曲几何）不能在三维欧氏空间中完整地实现，尽管它在三维欧氏空间中局部地实现对于双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）的被承认起了重大的作用。　　　　曲面和曲线的整体性质的研究激起了人们对整体微分几何的巨大兴趣。　　整体微分几何的兴起　　　现代微分几何学所研究的对象是微分流形，其上还配有附加的结构。例如，微分流形上引进黎曼度量、洛伦茨度量、辛尺度这些结构后，就分别成为黎曼流形、洛伦茨流形和辛流形，相应地也就丰富了几何内容。　　外微分形式、德拉姆定理与霍奇定理　　微分流形上的外微分形式是一个微分几何量，对它可进行外微分运算，这在几何上十分重要。外微分形式实际上是多重积分的积分元。一个外微分形式的外微分如等于零，则称它为闭形式，微分流形上r次闭形式全体构成一个线性空间。一个r次外微分形式如果是另一个(r-1)次外微分形式的外微分，则称之为正合形式。正合形式是闭形式，它所构成的线性空间是闭形式所构成的线性空间的子空间。闭形式可以划分为一些类，称为上同调类，两个r次闭形式当且仅当它们之差是一个正合形式时属于同一个上同调类。这些上同调类全体构成一个线性空间──上同调空间H r 。以瑞士数学家德拉姆而命名的著名定理说明：对于紧致流形，上同调类空间H r 必是有限维的，并且维数恰等于微分流形上第r个贝蒂数。贝蒂数是流形的拓扑不变量，它描述流形上有关连通的性质。在流形上引进了黎曼度量后，霍奇引进了调和形式的概念，并证明了著名的霍奇定理:在一个定向、紧致黎曼流形上，每一上同调类中有惟一的调和形式。这个定理是复变函数理论中紧致黎曼面的一些基本结果的一个重大的推广，它在代数几何中有重要作用。这两个定理提供了流形上局部性质与整体性质的联系，建立了流形上微分结构、拓扑结构及黎曼结构的深刻的制约关系，具有十分重要的意义。　　黎曼流形的完备性　　　在黎曼流形的研究中，完备性是一个很重要的概念。在黎曼流形上，两点之间可以定义距离，因而可成为一个度量空间，这个度量空间在拓扑意义下的完备与任一测地线均可无限延伸（依弧长或仿射参数）这一性质相等价，从而形成了完备黎曼流形的概念。特别，紧致黎曼流形是完备的黎曼流形。霍普夫与里诺给出了下述结果：完备黎曼流形上每二点均可用一极小测地线相连结，其长度就等于二点的距离。　　　　引进了完备性这一概念后，也推进了对三维欧氏空间曲面论的整体性质的研究。例如：对于曲率为常数的曲面的完备性的研究有：1959年P.哈特曼与L.尼伦伯格证明了完备的可展曲面必为柱面，迈尔斯与李卜曼证明了正常数曲率定向的完备曲面必为球面。　　曲率与拓扑　　　黎曼流形的曲率是微分几何中最重要的几何量之一，曲率和流形的拓扑结构之间的联系是一个十分重要的问题。美国数学家C.B.艾伦多弗和法国数学家A.韦伊与陈省身用不同的方法将紧致曲面上的高斯-博内公式扩充到高维曲面和紧致黎曼流形上去，这是微分几何上很重大的一项进展。另外，J.（-S.）阿达马和.嘉当发现：单连通的、曲率非正的完备黎曼流形必同胚于欧氏空间Rn。这也是极富有启发性的成果。　　　　对于黎曼流形来说，有三种不同层次的曲率，一种是截面曲率，它相应于在每点某一平面方向所相应的曲率。另一种是里奇曲率，它是由截面曲率以适当的形式作和而成。第三种是数量曲率，它是里奇曲率的迹。这三种曲率和流形的拓扑性质之间有很强的相互制约作用，这方面的研究成果非常丰富，而且是微分几何主要研究方向之一。　　等距嵌入　　　嵌入问题是指一个具有某种结构的流形是否可以作为高维欧氏空间的子流形的问题。当只涉及微分结构时，惠特尼在1936年证明了每一个n维的微分流形均可以嵌入到一个2n+1维的欧氏空间中，美国另一数学家C.B.莫利证明了对紧致的实解析流形这个结果也成立。　　　　等距嵌入是研究一黎曼流形是否能与高维欧氏空间的子流形成等距对应的问题。对于局部的等距嵌入，瑞士数学家L.施勒夫利很早就作了下述预测:n维的黎曼流形总可等距嵌入到维欧氏空间中去。1926年法国数学家H.约尼和.嘉当在黎曼流形上添上解析这一条件时证明了这个预测。因此，作为特例，一个二维的解析黎曼度量总可局部地作为三维欧氏空间中某个曲面的第一基本形式。当流形非解析时，情况相当复杂，至今还是一个研究课题，当曲率K在曲面上变号时，任一个二维黎曼流形是否可局部地等距嵌入到三维欧氏空间，已经有若干结果。　　　　黎曼流形的整体等距嵌入定理于1954～1956年由J.纳许等所给出：n 维黎曼流形总可等距嵌入到欧氏空间E ，如流形为紧致时，则可嵌入到E ；如果只考虑C 1 等距嵌入，则n维黎曼流形可嵌入于E ；如果M紧致则可嵌入到E 。纳许的方法后来对非线性分析和非线性偏微分方程的求解产生了重要影响。　　纤维丛　　　在整体微分几何发展中，纤维丛及其上的联络论的产生和发展，占有显著的地位。基本的纤维丛有向量丛和主丛，前者包括切丛、余切丛、张量丛及一般性的推广，后者是由标架丛抽象而成。在黎曼几何研究中所产生的列维－齐维塔联络被推广为仿射联络、射影联络、共形联络、然后形成了一般向量丛或纤维丛上的联络论，它以优美的形式把几何学的群的结构和流形上的微分结构有机地结合起来，陈省身-外尔映射用代数的方法通过联络和曲率作出了底流形上的一些上同调类，这种上同调类称为示性类包括陈示性类，欧拉示性类，庞特里亚金示性类等，它们都能表示纤维丛的拓扑性质。　　　　纤维丛上的联络论成为理论物理学家的有力工具，杨振宁和米尔斯所提出的规范场理论是在物理学中形成的纤维丛上的联络论，不仅如此，他们对纤维丛上的联络提出了一个过去数学家没有想到过的偏微分方程（后称为杨-米尔斯方程），这个方程不仅对物理学，而且对纯粹数学发生了重大影响。此外，联络论中的一些示性类和示性数，也得到了物理学上的解释，成为物理学中的各种粒子数，如磁单极数、瞬子数等等。由于这些事实，微分几何和理论物理的关系就更其密切了，可以说是在爱因斯坦广义相对论后的一个新的高潮。　　微分几何和分析学新的结合　　　微分几何的研究与发展离不开微分方程，达布的《曲面论》一书就包含了丰富的古典微分方程的内容。.嘉当和凯勒所发展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的方法。　　　　整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及与之有关的非线性分析。　　　　在线性理论中，一个突出的成果是阿蒂亚和辛格的指标定理，紧致微分流形上的一个线性椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有限数，其差称为指标，这个定理指出，这种指标可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关的拓扑不变量，而过去的黎曼-罗赫定理，希策布鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。　　　　微分几何学所遇到的偏微分方程大多是非线性的，调和函数的概念被推广成黎曼流形间的调和映射，它联系于一个推广的狄利克雷积分的变分问题，其欧拉方程是非线性的椭圆型方程组，J.伊尔斯等人用了多种分析的技巧证明了各种存在性和不存在性定理，近年来，R.舍恩和K.K.乌伦贝克又对广义解的奇性作了深入的分析。极小曲面理论近年来得到更深入的发展，研究范围日趋广泛，而且对流形的拓扑以及广义相对论中的数学问题均有重要应用。在调和映射、极小曲面，以及其他许多微分几何问题上，大范围变分方法成了重要工具，非线性泛函的极小元素或临界元素的正则性和存在性起了很大作用。如果考虑洛伦茨流形到黎曼流形的调和映射，就归结为双曲型偏微分方程的整体解的存在性问题，这方面成果国际上较少，谷超豪证明了闵科夫斯基平面到完备黎曼流形的调和映射的柯西问题的整体存在性定理，某些调和映射在物理学中称为非线性模型，是物理学家独立地提出的。　　　　有些微分几何学问题还必须求解真正非线性偏微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复的蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的与非线性偏微分方程有关的几何问题。　　　　具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用。; 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专题讨论班（周三）：微分几何初步（刘彤）: GrandFT 2010-10-20 18:23; 题目：微分几何初步时间：2010.10.27 （周三）上午9:30 地点：16楼308 主讲人：刘彤（一）子流形的一些结论（二）Frobenius定理（三）张量积（四）张量; 个人分类: 专题讨论班|2679 次阅读|0 个评论

专题讨论班：微分几何初步（刘彤）: GrandFT 2010-10-16 21:11; 题目：微分几何初步时间：2010.10.20 （周三）上午9:30 地点：16楼308 主讲人：刘彤（一）切空间（切丛，余切丛）（二）余切丛与切丛举例（哈密顿力学，拉格朗日力学）（三）子流形的一些结论（四）Frobenius定理（五）Frobenius定理举例（电磁场）; 个人分类: 专题讨论班|2531 次阅读|0 个评论

专题讨论班：微分几何初步（刘彤）: GrandFT 2010-10-12 10:44; 题目：微分几何初步时间：2010.10.13 上午9:30 地点：16楼308 主讲人：刘彤（一）流形的概念（二）纤维丛的概念（三）纤维丛举例（切丛，余切丛）（四）切丛举例（拉格朗日力学）（五）余切丛举例（哈密顿力学）; 个人分类: 专题讨论班|2991 次阅读|0 个评论

【研修班网站上线】机器人、机械设计和机械制造中的微分几何方法: yahuang 2010-4-14 17:12; 第二届国际暑期研修班：机器人、机械设计和机械制造中的微分几何方法的中文网站终于上线了，还存在诸多不住和需要完善的地方，我们将尽快努力完善。网站地址：http://dmet.hust.edu.cn/ss2010/ 有关研修班的基本介绍可参考：http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=276581; 4612 次阅读|0 个评论

【暑期研修班】机器人、机械设计和机械制造中的微分几何方法: yahuang 2009-12-6 20:38; 第二届国际暑期研修班：机器人、机械设计和机械制造中的微分几何方法课程介绍：著名的法国学者G. Monge在18世纪末成功地将微积分引入到机械设计和工程领域中。经过二百多年的发展，人们开始认识到许多工程问题通过近似和线性化，可以转换成欧氏空间上的优化问题。而微积分为这些问题的分析和解决提供了最简单有效的工具，得到了普遍应用。但是在过去三十年里，机器人、控制、机构设计和制造自动化等领域里涌现出的许多新问题，并不能简单地在欧氏空间中描述、分析和解决。解决这类问题的关键在于突破欧氏空间的限制，引入一类具有相似性质的广义空间。围绕这个问题，高斯、黎曼、彭加莱和S. Lie等人经过一百多年的努力建立了微分流形和Lie群的概念，并发展了流形和Lie群的微积分。从此创立了现代微分几何，成为现代数学的重要分支。近二十年来，现代微分几何与机器人、机器人操作、非线性控制、机构设计等领域的前沿问题相结合，取得了前所未有的突破性进展，引起了工程界广泛的关注。为了使广大工程及科研人员了解并掌握现代微分几何及其在前沿领域的应用，本课程将讲授现代微分几何的基本知识，及其在机器人、机构设计及制造自动化领域的应用和前景。相关信息：时间：2010年7月4日-7月30日地点：华中科技大学机械科学与工程学院联系人：黄永安 Email: yahuang@hust.edu.cn 主要授课教师： Harald Lwe博士获德国布伦瑞克工业大学数学学士、博士学位。2001年获得教授资格（habilitation）以来，Lwe博士任教于母校数学系计算数学研究所。目前，他致力于院系之间的合作数学项目。他的研究兴趣是几何学及其应用。李泽湘教授生于中国湖南，被授予卡内基梅隆大学电气工程与经济学学士学位、加州大学伯克利分校数学硕士及电气工程与计算机科学博士学位。先后赴麻省理工学院人工智能实验室与纽约大学机器人实验室从事科研与教学工作。李泽湘教授目前任教于香港科技大学电气与计算机工程系，自动化技术中心主任，同时兼任哈工大深圳研究生院客座长江教授。研修班主持人：熊蔡华教授为长江学者特聘教授、全国优秀博士论文获得者。现为华中科技大学机械科学与工程学院教授、博导。研究方向为机器人学与数字化康复医疗装备、复杂曲面多轴数控加工等。先后应邀到香港城市大学、美国伍斯特理工学院及香港中文大学从事机器人学与数字化制造方面科研工作。网址：英文： http://summerschool2010.ust.hk/ 中文： http://dmet.hust.edu.cn/ss2010/index.html 华中科技大学数字制造与技术国家重点实验室承担了本次暑期班大部分费用，但参加者仍需承担讲义和食宿等费用，详情请与黄永安博士联系。参加者请于2010年6月15日之前在课程网站 http://summerschool2010.ust.hk/ 下载注册表格，填写后送黄永安博士的Email注册。本地下载注册单如下：注册单-下载; 个人分类: 教学|6741 次阅读|0 个评论

勒让德变换: 热度 2 武际可 2009-2-18 16:25; 勒让德变换.doc 勒让德变换.pdf 武际可在前面一篇文章《经典力学发展的两条路径》一文中，我着重介绍了勒让德变换。为了更为具体地使网友了解勒让德变换的意义。这篇文章做一点注解。由于文中有较多的公式，所以我把文章做成pdf格式的文件。你只要直接点击标题，就可以阅读了。; 个人分类: 科学杂谈|15955 次阅读|4 个评论

身后的世纪(之七)五四后的科技进展: 自我源于思考 2008-4-16 20:46; 科学的每一项巨大成就，都是以大胆的幻想为出发点的。杜威哲学原来与数学、逻辑相伴而生，随着对社会现象的研究而显得与后二者疏远，但是在 20 世纪 , 哲学的意义越来越小，这是因为科学发现的增多而不断对人类原有的世界观提出挑战，再也没有人可以把最前沿的科学发现及新出现的社会现象用一种相对稳定的世界观解释清楚，所以哲学成为了某一领域的世界观。罗素提出集合论的悖论，引起第三次数学危机，并且在《数学原理》中把数学与逻辑结合起来。他的知识广博，推荐年轻的维纳读爱因斯坦的相对论和玻尔的原子理论。与科学家和革命者均有联系，后来又到德国会见李卜克内西。 1920 年，罗素到中国讲学，张申府为之翻译，也正是经过与五四学者的大量接触和对中国社会考察之后，罗素才写下《中国问题》，为中国在世界声张。张申府一直介绍罗素的思想，并关注当时的重大科学理论，后来张申府在欧洲发展周恩来、朱德进入共产党的同时又与希尔伯特谈论爱因斯坦相对论。 1919 年，杜威到中国讲学，其哥伦比亚大学时的学生胡适，积极宣传他的思想：文学改良，教育救国。胡适只学到了实验思想的表象，在当时没有赶到多大实际作用，在抗战初胡适成为低调俱乐部成员之一，没有勇气去身体力行自己所宣传的思想。爱因斯坦在建立广义相对论的过程中得益于数学家 M. 格罗斯曼，在发展广义相对论过程中他和 . 嘉当进行了许多的讨论， D. 希尔伯特也参加建立场方程的研究。虽然基于洛伦兹变换建立的相对论，在刚提出时连洛伦兹本人也表示不能理解，但随着广义相对论的广泛接受，数学家们受到了很大刺激，对于黎曼几何的研究，对于微分几何的研究热度骤增。 1923 年法国的厄加当提出一般联络的微分几何学，将克莱因和黎曼的几何学观点统一起来，是纤维丛概念的发端，后来陈省身又在基础上进一步发展微分几何。数学空间理论是指符合某一运算关系的对象的集合，以此为工具可以预测和直接推导出某些事物的性质，这与同为数学工具的群论有类似之处，如在量子力学中平面波和束缚态构成的希尔伯空间等，并且函数也可以组成函数空间，而根据群则可以方便地研究对称性等问题。 1918 丹麦的爱尔兰为改进自动电话交换台的设计，提出排队论的数学理论，后经过不断发展，成为信息科学的一项基本理论。在 JJ 汤姆逊的基础上，卡文迪许的 F.W. 阿斯顿改进发明的质谱仪，由于质谱仪而同位素的研究有重大突破，并用质谱的方法研究辐射元素及产物的比例确定地质年代。但是中国的科技不发达， 1929 年裴文中发现的山顶洞人遗址时仍是利用形态学鉴定山顶洞人（猿人）头骨的。 1918 年，胡克望远镜发明，它的发明使哈勃的宇宙膨胀理论成为可能。哈勃放弃律师职业到威尔逊天文台工作，首先从对造父变星的观察提出河外星云的概念，接着提出了宇宙膨胀概念，爱因斯坦也得出宇宙膨胀或者收缩的结论，但自己不确定而做了修改，在得知哈勃的结果后感到懊悔。对于太空的研究的发展，使以戈达德为代表的人们着手设计火箭，在飞行员林德伯格等人的支持和赞助下，戈达德经过反复多次实验，提出火箭飞行的理论和进一步的设想，他在一战中还研究用火箭筒来攻击坦克。 1925 年薛定谔方程，量子理论的进一步发展。 1926 年海森保提出测不准原理，玻尔提出的并协理论。狄拉克方程把量子波动方程与相对论联系起来，建立狄拉克方程，以此解释了许多现象并预言了正电子的存在。标志量子力学正式建立。 30 年代，量子力学用于固体物理，建立了凝聚态物理学，又用于分子物理，建立了量子化学。在此之上，材料科学、激光技术、超导物理等学科蓬勃发展，为深刻影响 20 世纪人们生活方式的计算机技术、信息技术、能源技术的发展打下了基础。科学的发展开始以不可思议的速度进行，并大量地转化到生产中去，波音的创始者，威廉波音与王助合作设计制造的水上飞机获得美军队的青睐，在一战中接受了 50 架的订货而开始走上正轨。一战结束后，发展民用商业飞机，同时为军队生产教练机，驱逐机，鱼雷机等。他的格言是：我们的使命就是不断地研究和试验，并尽快地把成果应用于生产。但即使在当时世界的科学中心德国，高校学生不过 10 万人左右，科技精英队伍在全世界仍然势单力孤。; 个人分类: 昨天的世纪|2833 次阅读|0 个评论

陈省身教授1980年推荐的几本书: cuncaoxin 2008-4-16 16:34; 陈省身教授 1980 年推荐的几本书傅蕴德 2008 年 3 月 30 日陈省身（ 1911 年 10 月 28 日－ 2004 年 12 月 3 日），国际数学大师，执微分几何和大范围分析之牛耳，在数学领域有许多重要成就。陈省身先生曾说，中国不仅要成为数学大国，更要成为数学强国。陈省身教授是浙江嘉兴人。 1930 年毕业于南开大学数学系，受教于姜立夫教授。 1934 年获清华大学硕士学位。同年入德国汉堡大学随布拉施克教授研究几何， 1936 年获博士学位后，以法国巴黎索邦中国基金会博士后研究员身份到巴黎大学从事研究工作，师从国际数学大师 E 嘉当。 1937-1943 年，任清华大学和西南联合大学教授。 1943-1946 年在美国普林斯顿高级研究所任研究员。在微分几何中高斯 - 波内公式的研究和拓扑学方面取得重要进展。 1946-1948 年筹建中央数学研究所并任代理所长。 1949-1960 年，任美国芝加哥大学教授， 1960-1979 年任加州大学伯克利分校教授， 1981-1984 年任美国国家数学研究所首任所长，后任名誉所长。他是美国科学院院士，法国、意大利、俄罗斯等国家科学院外籍院士。陈省身教授 1984 年应聘出任南开数学研究所所长，创办立足国内、面向世界培养中国高级数学人才基地。在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的能与诺贝尔奖相媲美的数学大奖。菲尔兹奖主要奖励在现代数学中做出突出贡献的年轻数学家，而沃尔夫奖主要奖励在数学上做出开创性工作、具有世界声誉的数学家。陈省身教授由于在整体微分几何上的杰出工作获得 1984 年度沃尔夫奖，成为唯一获此殊荣的华人数学家。此外陈省身教授 1975 年获美国国家科学奖。他的著作《无势复合流形》（ S.-s. Chen : Complex Manifolds without Potential Theory ,1979 年第 2 版， 160 页，附示性类几何学）、《陈省身论文选》（ S.-s. Chen:Selected Papers,1978 年出版， 476 页）在 1980 年 8 月首届微分几何和微分方程北京讨论会展出。陈省身教授主要论著目录： 1 ．《微分几何的若干论题》，美国普林斯顿高级研究院 1951 年油印本。 2 ．《微分流形》，美国芝加哥大学 1953 年油印本。 3 ．《复流形》，美国芝加哥大学 1956 年版；巴西累西腓大学 1959 年版；俄译本 1961 年版。 4 ．《整体几何和分析的研究》 ( 编辑 ) ，美国数学协会 1967 年版。 5 ．《不具位势原理的复流形》，凡诺斯特兰德 1968 年版；斯普林格出版社第二版。 6 ．《黎曼流形中的极小子流形》，美国堪萨斯大学 1968 年油印本。 7 ．《微分几何讲义》 ( 合著 ) ，北京大学出版社 1983 年出版。 8 ．《陈省身论文选集》 (14 卷 ) ，斯普林格出版社 1978 年、 1989 年出版。 9 ．《整体微分几何的研究》 ( 编辑 ) ，美国数学协会 1988 年版。 10 ．《陈省身文选传记、通俗演讲及其他》，科学出版社 1989 年出版。除了在数学上做出巨大成就，陈省身教授还培养了一大批世界级的科学家，其中包括诺贝尔物理学奖获得者杨振宁，菲尔兹奖获得者丘成桐，中国国家自然科学奖一等奖、首届国家最高科学技术奖获得者吴文俊等。而吴文俊院士 37 岁时就以在拓扑学上的卓越成就，与华罗庚、钱学森一起，获国家自然科学一等奖。 1980 年第 7 期《世界图书》发表王炜的文章《陈省身教授推荐的几本书》，现将书目开列如下，以飨读者。 1. G .B.Folland, 《偏微分方程引论》 ( Introduction to Partial Differential Equations. Princeton Univ. Lecture Notes 1976. ) 2. R. Narasimhan , 《实流形和复流形分析》 (Analysis on Real Complex Manifolds. North- Holland 1968.) 3. D.Gilberg P. Trudinger, 《二阶椭圆形偏微分方程》 ( Elliptic Partial Differential Equation of the Second Order. Springer 1978.) 4. W .Boothby, 《可微流形和黎曼几何》 ( Introduction to Differentiable Manifold Riemannian Geometry. Academic 1975.) 5. J. Milnor J. D. Stasheff, 《示性类》 ( Characteristic Classes. Princeton 1974.) 6.R. Courant Hilbert, D. 《数学物理方法》 (Methods in Mathematical Physics ) 7.S. Kobayashi K. Nomizu, 《微分几何基础》 ( Foundations of Differential Geometry. Wiley 1953.) 参考文献：王炜，陈省身教授推荐的几本书，世界图书， 1980 年第 7 期刘文霞，美籍数学家陈省身及其两部新版著作，世界图书， 1980 年第 7 期嘉兴院士 - 陈省身，嘉兴文化网， www.jxcnt.com/lishiwh/jxyuanshi/cxs.php 陈省身先生逝世 , 南开新闻网 , 2004-12-4; 个人分类: 技术创新|3981 次阅读|1 个评论

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