在晶体中，由于晶格具有周期性，即平移对称性，在单电子近似下，晶态半导体中运动着的电子可以用布洛赫函数来描述，即 ψ k (r)=u k (r)·exp(i k ·r) 其中，u k (r)是具有晶格周期性的函数，k为共有化运动的波矢量。波函数是布洛赫函数意味着电子在晶体各个原胞中出现的几率是相同的，也就是说电子可以在整个晶体内运动。因此，称这时的电子态为 扩展态 ——波函数延伸到整个晶体中。 对于非晶态半导体，由于没有结构上的长程有序性，对运动着的电子势必产生强烈的散射作用，因此，波函数就不再具有布洛赫函数的形式。如果这种散射作用很强，则将发生一种新的现象，即对于某一给定的能量E(这时波矢k已失去了意义)，所有的波函数都是定域的(或叫局域的)。其物理图像是每个波函数 ψ E (r)被限制在空间的一个小区域内。 随着距离r的增加，波函数呈指数衰减 。 ψ E (r)~exp(- α·r ) 这种现象是1958年P.W.Anderson在他关于“Absence of Diffusion in Certain Random Lattices”的理论性论文中首先提出来的。因此这种定域化也称为 Anderson定域化 。 若以E m 和E n 分别表示n格点和与n格点最邻近的m格点的原子轨道能量，则能量差值越大，越难实现相邻格点间电子态的转移，亦即越易出现定域态。因此，定域态的是否出现，取决于比值(Em-En)/V(V为相邻格点的交叠积分)，比值越大，越有利于定域态的形成。因此，W越大，不同格点上电子态的能量分散程度越大，(Em-En)也越大，顾客认为(Em-En)正比于W。由此可得比值W/V越大，对电子定域态的形成越为有利。Anderson证明，当W/V达到某个临界值(W/V) c 时，整个能带中的所有态都变成定域态。 Mott的进一步研究指出，当无序程度没有达到临界值时，虽然能带中部的态仍保持为扩展态，但在带顶和带底等能带尾部的状态亦可以发生定域化，产生一个有定域态组成的能带尾。Ec与Ec'表示能带中扩展态与尾部定域态的交界处的临界能量。计算结果表明，随着无序程序的增加，定域态与扩展态的交界处向能带中部移动，Ec与Ec'相互接近，最后相遇于能带中部，整个能带中的态都变为定域态。Mott还特别提出， 对于能量在定域态范围的电子，在T=0K时的电子迁移率为0，当能量改变通过Ec或Ec'进入扩展态时，电子迁移率突增至一个有限值 。因此他把能带中扩展态与定域态的交界处Ec和Ec'称作 迁移率边 。在T ≠ 0K时，定域态中的电子可以通过与非晶格子的相互作用而进行跳跃式导电，其迁移率不为零，但与扩散态中的迁移率相比要小得多。因而，当体系的费米能级E F 处于带尾定域态范围时，只有通过热激发从定域态跃迁到迁移率边以上的能带才能产生导电性能，导电性表现为非金属性的。如果由于某种原因使费米能级进入扩展态区，则处于扩展态中的电子将可像金属中电子那样导电，导电性表现为金属性的。这种当费米能级E F 通过迁移率边从定域态进入扩散态的时候发生的从非金属到金属型的导电性的转变称作 Anderson转变 。迁移率边是一个非常重要的概念。但是由实验来观察迁移率边的存在是困难的，只是有些实验可以用迁移率边的假定来加以说明。Mott还进一步认为在迁移率边的金属一边，电导率不是连续地降为零，而是降到一个有限的最小值，称作最小金属化 电导率 σ min 。
哥德巴赫猜想证明的新思维之一：《Pn 阶准素数模型》 1 ．基本概念和定义 传统筛法中，将大于 1 的自然数分为素数和合数两类，在 上，设小于 x 平方根的素数有 n 个，它们从小到大依次是： P 1 、 P 2 P i P n ，那么，在 上，等于 m P i (i=1 、 2 、 3n ； m=2 、 3 、 4) 的整数都是合数，筛掉这些合数数 , 剩余的整数中，除了 1 之外的都是素数。 这种筛除方法仅仅因为 m 从 2 开始才 取 连续整数 ， 就破坏了 P i 筛点的等间距属性，从而就破坏了筛除点和剩余点在数轴上分布的周期性，堵塞了根据筛点和剩余点周期性分布等特性，研究整数域属性的渠道。 若将上述 m 的取值从 0 开始取连续整数，定义整数轴上等于 m P i (i=1 、 2 、 3n ； m=0 、 1 、 2 、 3 、 4) 的整数为 P n 阶准 合数 ，而包括 1 在内的剩余整数为 P n 阶准素数 。我们就得到了一个在整个数轴上周期性、对称性分布的 P n 阶准素数模型 。 如此以来，每个 P i 的整倍数点（亦称为 P i 的筛点）都是从 0 起始的等间距分布点， n 个 P i 筛点的公共重叠筛点，就是 P n 阶准素数分布周期的周期端点。因此 P n 阶准素数的周期长度是： （ 1 ） 由于筛除前的整数点和 n 个 P i 筛点都是关于周期端点和中点对称分布的，所以筛除后剩余下来的 P n 阶准素数 点、 关于 周期端点、中点 也是 对称性分布的。 在整个数轴上， P n 阶准素数是一个其中既有素数、又有合数、又包含 1 的混合集合，但在有些区间段上， P n 阶准素数的属性却比较单纯：在 上的 P n 阶准素数，就只有整数 1 ；在（ 1 ， ) 内的 P n 阶准素数，全部是素数；在 上的 P n 阶准素数，既包含了其上的全部素数，又包含了其上的部分合数。 2. Pn 阶 准素数模型的数学意义 《 1 》在仅仅研究 P n 阶 准素数属性时，研究区间 之长度 x 与准素数阶次表征量 P n 是相互无关的两个独立自变量。可以任取 x 值和 P n 值， 研究任意区间上、任意阶次的准素数之有关问题。 由于同一阶准素数在数轴上的分布是周期性的，所以，由 P n 阶 准素数在其第一个周期上的分布规律，就可以推知它在整个数轴上的分布规律。 比如奇数序列，就是 P 1 阶准素数，由 1 和 3 相差 2 我们就知道任何大小的相邻两个奇数都是相差 2 的。 又比如 P 2 阶准素数，其周期长度为 6 ，第一个周期只有 1 和 5 这两个准素数，第二个周期只有 7 和 11 这两个准素数，由此可知，无论多大的 P 2 阶准素数，都是围绕其周期端点孪生的等等。 P 2 阶准素数也因此成为证明孪生素数无穷性的坚实基础。 再比如 P 3 阶准素数，其周期长度为 ，第一个周期的左端点是 0 点；右端点是 30 点；其上的筛网见（例图 1 ）； P 3 阶准素数共有 8 个，它们是 1 、 7 、 11 、 13 、 17 、 19 、 23 、 29 ，它们相对于周期中点 15 点对称分布。根据筛网、准素数、准合数都是以 30 为周期而周期性分布，且是关于周期端点、中点对称性分布，则由 0-30 间的分布，可以推知 30-60 、 60-90 、 90-120 、 120-150 、 间的分布；由我们熟悉的 0 点右侧的 P 3 阶准素数，可以推知 30 、 60 、 90 、 120 、 150 、 点两侧的 P 3 阶准素数。即由 0 点右侧半周期的 P 3 阶准素数有 1 、 7 、 11 、 13 ，可推知 30 点左侧半周期一定有 29 、 23 、 19 、 17 ；可推知 30 点右侧半周期一定有 31 、 37 、 41 、 43 ；可推知 60 点左侧半周期一定有 59 、 53 、 49 、 47 ；可推知 60 点右侧半周期一定有 61 、 67 、 71 、 73 ； 等等。 由此可知，这时的 P n 阶准素数模型，就是我们由有限通向无穷的平直绿色通道。 例图 1 ： P 3 阶第一个周期上的筛网和准素数分布图 （见 http://sea3000.net/fengjungang/2_23.php 图 ① ） 《 2 》在利用 P n 阶准素数属性研究有关素数的问题时，（ a ）将整数 1 暂且视同为素数；（ b ）将研究区间 之长度 x 限定在 之间即可。这是因为，对于筛选素数而言， P n+1 在数轴上的第一个非重复有效筛点是 点。在此点之前的 P n+1 筛点，除了 x= P n+1 点是无效筛点外，其余的都是 P n+1 与小于它的 P i 筛点相重叠的筛点、也是无效筛点。因此，在此点之前的 P n 阶准素数，除 1 之外，已全部是素数了，不需要再用 P n+1 筛除了。例如， x=7 7=49 点之前的 P 3 阶准素数，除 1 之外全部是素数。而 x=11 11 之前的 P 3 阶准素数除了 1 和 7 的少数个整倍数 7 7=49 、 7 11=77 、 7 13=91 、 7 17=119 以外，都是素数。所以，前面举例中列出的 P 3 阶准素数，除 1 和 49 外都是素数。 因此， 点之前的 P n 阶准素数，减 1 、再加上 P 1 、 P 2 P i P n 这 n 个素 数，就是该点之前的全部素数。若用 表示小于 x 的素数数目；用 表 示小于 x 的 P n 阶准素数数目，在满足 的前提下，则有: （ ） （ 2 ） 为了今后叙述方便，定义 P 1 、 P 2 P i P n 这 n 个素数，为 P n 阶准素数的 基素数 ，也称它们为满足 的 x 之 基素数。 由利用 P n 阶准素数研究素数时的附加条件 可知，这时， P n 与 x 不再是两个相互独立的变量，在 x 增大到每个素数平方的点上时， P n 就要增大一次、准素数的阶次就要向上提升一阶。所以， 对于素数研究而言， P n 阶准素数模型又变成一个由有限通向无穷，由低阶通向高阶的阶梯型绿色通道。
今天上班一打开邮箱，就发现有一封来自Nanotechnology的邮件，原来是告诉我们关于碳化硅孪晶纳米线的论文被下载了250次。 Dear Prof Guo, I am pleased to tell you that your article, Periodically twinned SiC nanowires, in Nanotechnology, Vol 19, pp215602 (2008), has been downloaded 250 times so far. To put this into context, across all IOP journals 10% of articles were accessed over 250 times this quarter. ... ... 该论文是我们和UCLA的杜经宁教授（中央研究院院士）以及他的博士生徐迪合作完成的。我们组论文的引用率(SCI他引)都不高，最多的才30次，希望这篇文章在引用率上能有突破。
我们组关于周期性孪晶碳化硅纳米线(内容见博文: 周期性孪晶结构的碳化硅纳米线 )的文章在Nanotechnology发表后不久，就收到杂志编辑的email，说要在Nanotechweb.org上的Lab Talk栏目加以介绍，希望我给他们写个story。 虽然是个短文，但要写得简单明了，让大家都能明白还真不容易。想了一个星期，动手写了一天，再经过我们的合作者加州大学洛杉矶分校杜经宁教授的润色，总算完成了一件任务。今天编辑告诉我已经上传到Nanotechweb.org上了，网址为： http://nanotechweb.org/cws/article/lab/34422 。 Nanotechweb.org提供该论文免费下载3个月。 下面就是从 Nanotechweb.org 上复制下来的 那篇短文： Periodically twinned SiC nanowires used as reinforcement for nano-composite materials In composite materials, particles or fibers are added to a matrix to improve the properties. They are called particle- or fiber-reinforced composites. One well-known example is reinforced concrete, made by embedding steel rods or mesh into the fresh and uncured concrete. The reinforcement renders the hardened concrete structure capable of supporting greater tensile, compressive and shear stresses. The adhesive bond between the steel and the concrete is important. The adhesion can be enhanced by the incorporation of contours into the surface of the steel members. In developing nano-composite materials, nanotubes and nanowires are expected to greatly improve the properties of the composites. Silicon carbide nanowires have been regarded as an excellent reinforcement for composites due to the high intrinsic strength of the materials. However, the silicon carbide nanowires have a smooth surface and are easily pulled out when the composites break because of the weak adhesion between the nanowires and the matrix. Therefore, we need to fabricate a contoured surface of the silicon carbide nanowires in order to improve the adhesion. In a recent paper published in Nanotechnology , researchers from China and the US reported a new type of silicon carbide nanowires periodically twinned SiC nanowires, which have a contoured surface on the nanoscale. The nanowires with a hexagonal cross section, a diameter of 50300 nm and a length of tens to hundreds of micrometers feature a zigzag arrangement of periodically twinned segments with a uniform thickness along the entire growth length. Computer simulation demonstrates that the zigzag columnar structure is formed by the stacking of hexagonal discs of {111} planes of SiC. The authors proposed a minimum surface energy and strain energy argument to explain the formation of periodic twins in the SiC nanowires. The twinning structure has made the nanowires exhibit different luminescence and chemical stability. In another paper published in Nanotechnology (2006, 17 2870), the Chinese group showed that the silicon carbide naowires with beaded morphology can greatly enhance the tensile strength of an epoxy composite. Therefore, the new type of twinned SiC nanowires is expected to find important applications in nano-composites. (郭向云,2008年5月30日)
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