请教 数学家（6） 多元向量乘法的几何意义 多元向量有“点乘”，“叉乘”（内积，外积），现在我们又定义了向量乘（白， 1997 ）“分量的积做积的分量”。三者之间是既有联系又有区别的。 一般来说，如果以两个向量为边做矩形，则矩形的对角线是两向量的和，面积是两向量的积。 ‘两向量的和是以向量为边的矩形的对角线’，‘向量积是矩形的面积’，同样适用于多 元向量。 两多元 向量 A i 、 B i 的和的几何解释（i=1,2,3,... m )： 以 向量 A i 、 B i 为边做矩形，把边长按向量的分量分段，则矩形被划分为 m*m 个小矩形。两向量的和是一支以“ 分量的和做和的分量 ”的多元向量： A i + B i =（a 1 +b 1 ， a 2 +b 2 ， a 3 +b 3 ， ... ， a m +b m ） 其几何解释是对角线上m 个矩形的( m 条)对角线。 在多元向量和的基础上，考虑多元向量积。 多元向量乘法定义是： 分量的积做积的分量（白，1997） 。 向量 A i 乘 B i ， C i = A i * B i ，i=1,2,3,... m 同样以多元 向量 A i 、 B i 为边做矩形，把矩形按向量的分量分段，则有： 点积（内积）是一个数（标量）： A i * B i =a 1 b 1 +a 1 b 2 +a 1 b 3 +...a 2 b 1 +a 2 b 2 +...a m b m ，是大矩形的面积。 叉积（外积）是一个m*m 个元素的矩阵 ： A i * B i =（a 1 b 1 ， a 1 b 2 ， a 1 b 3 ， ...a 2 b 1 ， a 2 b 2 ， ... ， a m b m ），其几何解释是m*m 个分列的小矩形的面积。 向量积 C i = A i * B i =（a 1 b 1 ， a 2 b 2 ， a 3 b 3 ， ... ， a m b m ）是 m 元向量，几何解释是位于对角线上以对应分量为边的 m 个矩形的面积。 比较以上三个乘法定义， 点积失掉了分量的信息。一个大面积，等同于两个标量的乘积。分量不见了。 叉积保留了分量的信息，但却也保留了过多冗余的信息。分列的m*m 个小矩阵 。每个分量重复 m 次。 向量积简练地保留了分量的信息，没有冗余。 这样定义的多元向量乘法 ，满足交换律，结合律，分配律。而更重要的是，这样定义的乘法是封闭的，它们的积仍然是同一空间的向量；而且，它有恒等元，I（1，1，...1),逆元(分量的倒数做逆的分量），所以这样定义的向量乘法有逆运算。 多元向量有除法的一个重要意义是： ‘多元演替系统的状态转移’有解，唯一确定的解。 【参见918猜想】 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=333331do=blogid=531295 另一个重要意义是：组成了一个新的群。 图一：分量的和做和的分量 图二 分量的积做积的分量 图三 多元向量点乘得到一个标量 图四 叉乘得到m*m个矩阵 参考文献：Multi-Dimensional Sphere Model and Vegetation Instantaneous Trend Analysis T. JAY BAI1, TOM COTTRELL2, DUN-YUAN HAO3, TALA TE4, and ROBERT J. BROZKA5 (Ecological Modelling, 97/1-2. http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=333331do=blogid=449959
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