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[转载]非介质波到量子电磁波(一、二): zca1965 2016-5-11 15:06; 张崇安非介质波到施郁说量子电磁波(一、二) 曾富一、话说方向正自然国学神奇之旅中国科学院大学人文学院常务副院长、孙小淳教授，在《科技日报》发表的《也说“阴阳五行”写入“科学素质基准”》文章说：近日科技部、中宣部发布的《中国公民科学素质基准》引起关注的“阴阳五行、天人合一、格物致知”写入《基准》，被非议甚至被斥之为宣传迷信和伪科学。但把中国古代传统对科学概念、理论和方法的这几个重要表述写入《基准》，不仅是合适的，而且恰恰体现了对科学的更深刻的认识，是科普思想和方法上值得鼓励的进步。把“阴阳五行、天人合一、格物致知”写入《基准》，不是糟得很，而是好得很。科学，有必要加上历史和文化的维度，脱离了历史和文化的科学，是没有生机和活力的科学。但科学网转载后的跟帖，反对的也不少。如说：看此文，对国科大的教育捏一把汗。现代科学是严格的公理化系统，以一日千里的速度、历经几个世纪，用严格的概念、海量的实验和推导计算一砖一瓦地发展起来的恢宏大厦，不是一些不知所云的文字游戏可以瞎掺乎的。如果不具有独立发展的生命力的太监文化符号也可以和实证的思想、实验的方法和量化的体系相提并论，那么科学的圣殿就完全可以群魔乱舞了。大树长起来，一些藤蔓总是攀炎附势而上，大有盖过树冠之势，但从来没有人认为，藤蔓这种东西真的可以有参天的高度，亦没有人愿意去仰望它。然而我们体会，孙小淳教授支持自然国学的发展，是对的。难道像方励之先生在1986年前，只介绍西方的大爆炸宇宙论等，虽很好，但他对国内自然国学独立进行超旋研究，解决不平等宇宙起源难题给予压制，说“超旋”思想是1960年代初由南部提出的等。这种方向去引导科大和北大学生，中国能稳定向前？又如，像工作在海外的卢昌海学者，把西方的“量子几何”概念等翻译普及介绍到中国，这也很好，但他把国内自然国学独立进行超旋研究使用“量子几何”概念，说是抄袭他在中科院办的《三思科学》网上发表的《追寻引力的量子理论》文章中的“量子几何”概念。查看这种方向去引导他的朋友和海归粉丝，这么多年怎么没见有创新？批评孙小淳教授的人说，现代科学是严格的公理化系统，用严格的概念、海量的实验和推导计算一砖一瓦地发展起来的恢宏大厦。这是对的。但我国改革开放有科学春天以来，自然国学的量子类圈体三旋模型实现IP超旋超弦超越，唯中国独尊，重新找回国学尊严，为现代科学发展注入源源不绝的动力，为量子引力理论输送着源源不绝的养分，成为自然国学反超彭罗斯的扭量战略。为啥？在美国麻省理工学院的文小刚教授说：大自然中物质形态丰富多样，从固态、液态、气态和等离子体到晶体、液晶、铁磁体、反铁磁体、超流体、超导体，不一而足。但令人吃惊的是在凝聚态物理学中，不同材料的性能多样性，来源于材料中粒子的不同排列方式，而粒子的排列被称为“序”或者“相”。朗道曾经早就指出，排列的对称性的不同，会导致相的不同。由此可引入序参量来区分相和相变：当序参量为0，为对称相；当序参量为非零，为对称破缺相。这种对称破缺理论虽是凝聚态物理学的一块基石，但随着分数量子霍尔效应和高温超导体的发现，该理论已无法解释这两个现象甚至与之相悖。然而问题还不在这里，类似克里斯•费利著的《宝宝的量子物理学》那套6本书，从讲牛顿力学到量子物理学，所说的拓扑学都是基于球面的。序参量对称相和对称破缺相不引进到环面拓扑学，让只在国内单方面纯粹介绍西方现代科学的创新，免不了要相形见绌。其实文小刚教授也没有摆脱这类尴尬。例如他讲以可测量拓扑序为基础，建立简单的描述拓扑序的数学体系：以拓扑序这一抽象概念的定义为出发点，介绍微观拓扑序来源于基态的长程纠缠模式，从拓扑基态简并、拓扑序和相变、拓扑序表征量和拓扑序理论现状等角度，展示一系列低阶低维拓扑序的完全分类。该数学体系就可以系统地描述2+1D波色拓扑序（即局域波色子或自旋系统中的拓扑序），能解释高温度导体中的自旋液体和分数量子霍尔效应现象。但作为新的物质形态和物理现象，拓扑序和长程纠缠需要一个全新的语言和数学描述，而文小刚教授仍类似克里斯•费利教授是基于球面的。《三旋理论初探》《解读时间简史》《求衡论----庞加莱猜想应用》等书，是类似用文小刚的低阶低维长程纠缠模式可测量拓扑序、拓扑基态简并、拓扑序相变、拓扑序表征量等，对基于环面的类圈体自旋作的全新语言和数学描述。这批自然国学的书籍，采用彭罗斯解读量子论、相对论的里奇张量、韦尔张量等数学思维，以极高的数理技巧，实现了彭罗斯难在英国西方等对宇宙大爆炸、万有引力、暗物质、暗能量的深度解读，并完善形成了自然国学的自主知识产权体系，已打响IP超弦争夺战。针对国内科普了几十年，只单方面纯粹介绍西方现代科学创新，天地生人学术讲座组织人、中科院自然科学史所宋正海研究员，是国内第一个认识到创新对国家、对民族、对人民、对现代化的极端重要性的专家之一。他把自然国学复兴与中医的历史责任结合，抓住打建整体论科学共同体。这批专家认为：自然国学与中医均是整体论科学体系，有着共同的历史命运；自然国学（中国古代）与科学史分属于整体论、还原论两大体系；竺可桢、李约瑟心目中的中国科学体系是自然国学；近几十年，特别近10年，保卫中医的努力和“废伪”、“反伪”世纪之交大辩论中，整体论科学体系迅速整合，已初步显示了力量；以中医为核心的新世纪整体论科学共同体形成中，已初步形成基本共识。但非常遗憾：在这种定义自然国学的方法论下，却与反相反量反中医的不足纠缠，谈虎色变地看待环量子自然国学三旋理论对量子色动力学的全面创新，如完善量子色动化学、量子色动几何学、量子色动纠缠学、量子色动信息学、量子色动语言学等，直到年青的自然国学专家夏冰先生提出jian标学，主张用简、兼、检、鉴、见、间发展自然国学，才结束告一个段落。自然国学整体论学派力挺中医，为什么说有的反中医？情况是他们不懂真正意义上的中医，危言耸听把中医的“现代化、科学化、国际化”看成是外国阴谋、是消灭中医，主张用初中知识及以下水平，只可带徒和不受国家仪器检验等此类古代传统方法，才认为能攻克高精尖的中医难题，培养出中医名师，理科大学知识没有用。很多中医教材讲 “阴阳五行、天人合一、格物致知” ，没有达到毛主席的岳父、杨开慧的父亲杨怀中先生（ 1879-1922 ，原名杨昌济，湖南长沙人），从伦理学结合《黄帝内经》的研究，得出古中医科学的 “阴阳五行、天人合一、格物致知”类似 “藏象论原理” 和“标识无关性原理”的高度。以及南怀瑾先生谈“ 天人合一”，不仅是天人和谐，而且是延伸进“克己复礼”到克己复“理”，以讲依法，即实验检验、量化推论判定选择的高度？整体论学派的这类事情，也能理解。“ 阴阳五行”实属量子色动纠缠、量子色动信息范畴。例如近日清华大学副校长、清华大学生命科学学院院长，中科院院士施一公教授，在《生命科学认知的极限》演讲中说：生物医学饱受心血管疾病、癌症和神经退行性疾病等挑战，转向量子力学的不懈追问在古代的摸索，比如说当代的屠呦呦为找到治疗疟疾的方法，就是看了古典药学得到灵感，导致了青蒿素的发现。又如弗莱明发现青霉素，已经是用科学的方法论来探索，从简单的摸索和经验积累，到最后通过基础研究驱使药物的发现。如降胆固醇的心血管疾病的药物立普妥，在它于2011年专利过期之前，全球销售额高达160亿美元，堪称药神。但仅靠吃药，并不能阻止心血管软斑块和硬斑块的形成。免疫疗法最有名的是分子疗法，从根本上改变了人类对疾病的斗争方式。在神经退行性疾病中，最有名的就是老年痴呆症，如果从分子水平上认识老年痴呆症，可以找到治疗老年痴呆症的办法。最后过渡到大脑，不要说包括我们的电信号记录的神经冲动电位，只是一个表象，不一定是学习记忆的本质。因为我们确实是这样一个生物人，是一堆原子构成的人在理解生命。我们用五官视觉、嗅觉、听觉、味觉、触觉，理解这个世界。这个过程是不是客观的呢，肯定不是客观的。我们的五官感受世界以后，把信息全部集中到大脑，但是我们不知道大脑是如何工作的，所以在这方面也不能叫客观。人是怎么样处理信息的呢？先对信息，也就是物质做一个定义，我们有三个层面的物质：第一个物质是宏观的，就是直觉可以看到的东西。第二个层面是微观的，包括眼睛借助仪器感知到、测量到的存在，比如说原子、分子、蛋白，比如说很远的一百亿光年以外的星球。第三个层面，就是超微观的物质，只能理论推测，用实验验证，包括量子，包括光子。尽管知道粒子可以有自旋和能级、能量，但很难通过直觉理解。超微观世界决定微观世界，微观世界决定宏观世界。人就是宏观世界里的一个个体，所以我们的本质一定是由微观世界决定，再由超微观世界决定。施一公院士说：他毫不怀疑自己就是一个薛定谔方程、一个生命形式、一个能量形式。但怎么解这个方程，一堆由粒子构成的原子，如此之简单。我们身体大约有6×10^27个原子，形成大约60种不同的元素，真正的比较多的元素不过11种。原子通过共价键形成分子，分子聚在一起形成分子聚集体，然后形成小的细胞器、细胞、组织、器官，最后形成一个整体。但不管你怎么做研究，都无法解释人的意识，这超越了我们能说出和能感知的层面。他认为要解释意识，一定得超出前两个层次，到量子力学层面去考察。量子纠缠是可以进化的现象吗？“量子纠缠”不是爱因斯坦提出来的，而是薛定谔提出来的，意思是说，两个纠缠的量子，不管相距多远，它们都不是独立事件。当你对一个量子进行测量的时候，另外一个相距很远的量子，居然也可以被人知道它的状态，可以被关联地测量。这样一个简单的现象，既然存在于客观世界，相信它会无处不在，包括存在于我们的人体里。量子纠缠怎么样影响我们的生命？人的意识、记忆和思维是量子纠缠的吗？要证明一定要在实物上，寻找量子纠缠的实体。很多科学家找了很长时间，发现神经细胞里面的微管，可以形成量子纠缠。但是微管的时间尺度，是10^(-20)秒到10^(-13)秒，远远小于人的记忆和意识的形成时间。但是施一公院士说，他通过理论的实践，以模拟的方式找到了，他正在进行实验验证。比如把磷和钙放在一起，也就是磷酸钙，当磷酸钙以波斯纳分子集群形式存在的时候，它的量子纠缠时间可以长达105秒。能把这样一个极其脆弱的，对声、光、电、热都极其敏感的量子纠缠现象的持续时间提高15个数量级，那么如果再提高5个数量级，就可以达到年的水平，以年为单位来保存量子纠缠现象。那么依此类推，有一天我们人类会发现量子纠缠也是一个可以进化的现象，它可以保存一百年、一千年、一万年。也就是说，量子纠缠，它在远古的时候就存在了，在进化过程中被保存了下来：这就是古中医科学的“阴阳五行、天人合一、格物致知”的当代自然国学的科普解释。 “阴阳五行，天人合一”不说是量子纠缠，在秦汉定型《黄帝内经》一书时，仅类似古文言文翻译为现代白话文，作的自然国学科普解释。科学发展到今天，我们看世界完全像盲人摸象一样，我们自己认为它是客观的世界，其实我们已知的物质的质量在宇宙中只占4%，其余96%的物质的存在形式是我们根本不知道的，我们叫它暗物质和暗能量。盲人摸象般地认识世界是科学，叫“格物致知”也为“藏象论”。施一公院士说，每个人摸的都是真实存在，而且都是客观存在的，都是看得见摸得着的，只是我们不知道摸的是象的后背？还是尾巴？还是耳朵？当今人类的认知极限，就在于有反相反量反中医的自然国学团体和现代科学团体的存在。自然国学唯中国独尊，是不同于反相反量反中医的自然国学团体和现代科学团体。因为我们是一堆原子，处在宏观世界，施一公院士说明我们是一堆原子，处在宏观世界，他希望当代自然国学进一步翻译为白话文，这类似隔着两个世界去看超微观世界。孙小淳教授说科技部、中宣部，把“阴阳五行、天人合一、格物致知”写入《基准》，说是好得很，这没有错。但他只解读是“科学有必要加上历史和文化的维度”，也许就没有施一公院士解读与量子纠缠联系的深刻。所以有读者为国科大的教育捏一把汗，是可以理解的。因为1964年出生的孙小淳教授，作为中国科学院大学人文学院常务副院长，这与他所学的天文学史、医学史等自然科学史与科学社会学的专业知识，以及从事的实验研究水平有限，有关；但孙小淳院长也许已是尽力了。不说孙小淳教授，就是写《饶毅之问：物理学还有不是玄学的一部分？》和《慢慢来，一步到位未必好》博文的黄秀清教授与文双春教授，以及黄秀清教授博文提到的饶毅教授，和文章后写跟帖赞同的王洪吉、王国文等教授，也许也难达到施一公院士解读量子纠缠的水平。原因都和孙小淳教授一样，知识、实验水平有限有关。宋正海教授曾是孙小淳教授在中国科学院自然科学史研究所的同事， 2003 年 7 月 3 日宋正海教授在《南方周末》发表《令人深思的“蒋春暄现象”》，力挺蒋春暄教授。而反相反量的蒋春暄教授，发展桑蒂利 ISO 数论，把 “ j 为 j 2 =1 。 i 为 i 2 =-1 。 J 和 i 是一样的算子”作对待，明显存在拉科学前进的倒车的现象。由此我们问过宋正海教授，了解到他对量子色动力学，对虚数、复数和实数的关系及应用，并不是学业所长；宋正海教授说他是研究中国海洋科学史的。我们又问他：了解上古的海洋因陨石引起的海啸否？他说没研究，他研究的是近代海洋科学史。目前自然国学内部的分歧，主要来自大学基础科学教育知识求稳，产生的不足和缺乏深度学习。《中国公民科学素质基准》要实现自然国学超越全世界，按施一公院士的《生命科学认知的极限》解读与量子纠缠联系，是清楚明白的。也许科技部、中宣部的领导，也缺乏对量子纠缠的深度学。 1976 年文革结束揪出四人帮，政治上大力度拨乱反正，但四人帮宣传的“以苏解马”自然哲学，并没有给予正确的讨论。文革前我国的层子模型在北京开了五大洲科学家大会，为什么打不了天下 ? 施一公院士讲解量子纠缠的自然国学，让我们能感觉到我国传统科学还是与时俱进的。认识到自然国学，要唯中国独尊，重新找回国学的尊严，为现代科学发展注入源源不绝的动力，为量子引力理论输送着源源不绝的养分，成为反超彭罗斯的扭量思维等数学的自然国学，就要包括一是像施一公这种在海外学成的“海归”和在国外像李政道、杨振宁、陈省身、丘成桐等华人，做出的被世界公认的现代科学成就，也算自然国学。二是像屠呦呦、袁隆平等纯粹在国内学成的中国公民，做出被世界公认的现代科学成就，也算自然国学。因为他们首先是属于中国公民或华人，不管是研究挖掘中国传统发源的科学及传统科学史，还是研究挖掘西方发源的科学及传统科学史，不管是海归还是本土，其成就的自然智慧，献给了世界人民，也献给了中国人民。今天世界上人类有人类联合国，丘成桐院士说科学也要有“科学联合国”。从张崇安说非介质波到施郁说量子电磁波，要想沟通的路还很长。 IP 环量子超旋超弦为之奋斗了 50 多年，解决了自然国学中整体论与还原论纠缠合一的所有数理问题，让我们认识到像张崇安非介质波这种民科，和像施郁说量子电磁波这种名科，类似印度瓦拉纳西佛陀四圣之一的鹿野苑看到的几棵常绿菩提树。与国内看到的绝大多数菩提树不同，它们的主干是多根干的，不是单根干的：数根粗大垂直的干根紧靠坚韧且纠缠合抱在一起，共同形成一颗树高数丈，气势宏大而青葱浓密。这不奇怪。印度菩提树为桑科榕属波罗蜜亚科植物，枝干上会长出气生根。菩提树还有别名毕波罗树、黄桷树、思维树、觉树等，与佛教渊源颇深，是因释迦牟尼在菩提树下悟出大道。我们在印度旅游到此，从这种印度菩提树想到“多根文化”，对丘成桐说的“科学联合国”顿悟，也有类似忽如睡醒，豁然开悟，突入彻悟的感觉。为啥？因为我们到印度旅游前，看到过龙科多先生发表的《美国下马超级对撞机却游说中国建造是在战略忽悠吗？》文章。龙科多先生说：高能物理界把理论希望寄托在超弦理论上， “ 是一种宗教”，超弦编出的故事，完全没有作任何预测的能力，不能被实验证伪；与相对论、量子力学等预言被实验证实，描述宇宙的真实现象的科学理论不同，让人觉得只是数学游戏，与实际的宇宙可能没有关系。丘成桐来中国游说建造更大的对撞机，以蛮力产生更高能的粒子，是走到“末路”，是“ 忽悠”。是的，丘成桐院士的《大宇之形》一书，介绍他的卡 - 丘空间流形研究，如何把西方的超弦理论推上顶峰。但西方的弦理论、宇宙弦理论仍然存在三大难题： A 、弦理论解决了物质族分 3 代与卡一丘空间 3 孔族的对应，但仍有多孔选择的难题。 B 、弦理论解决了多基本粒子与多卡一丘空间形状变换的对应，但仍有多种形状选择的难题。 C 、弦理论解决具体的基本粒子的卡一丘空间图形虽有多种数学手段，但仍遇到数学物理原理的选择难题。而自然国学 IP 超弦 / 三旋理论，已能解决这三大难题。《三旋理论初探》和《求衡论 --- 庞加莱猜想应用》两书中，介绍三旋理论联系黎曼切口，能作 25 种轨形拓扑，且只能作 25 种轨形拓扑。这与超弦理论轨形拓扑卡一丘空间模型等价，且能对 25 种基本粒子图形作编码。实际量子杨 - 米尔斯质量间隙千禧问题的获解，就与这种前进有关。由于和李政道与丘成桐的向前走不同，杨振宁院士跟盖尔曼一样，把粒子规范场论推进到标准模型夸克层次，在 IP 超弦 / 暗物质面前就停下来了。自然国学唯中国独尊，要重新找回国学的尊严，不是不学习西方的现代科学的创新。这本身就像多根干的菩提树一样，即使国内看到的绝大多数菩提树是单根干的，也只是地区不同，它为桑科榕属植物没变。现代自然国学需要像张天蓉教授的《从夸克到宇宙》，施郁教授的《基本粒子与物质结构（大众简明读本）》，张轩中教授的《丘成桐出新书推动价值 400 亿的大科学项目》等名科，不遗余力的细致入微的深入浅出的介绍来自西方现代前沿科学的创新发展。当然，施郁教授的博文《人生危机催生中微子假说——纪念泡利诞辰 116 周年》，类似说爱因斯坦的广义相对论、引力波、量子电磁辐射理论等诞生于他的婚姻危机中的介绍也可以。但现代自然国学更重要是在东西方的比较、共同探讨学习与良性竞争中催生前进发展的。施郁教授在《基本粒子与物质结构（大众简明读本）》的文章中说：粒子物理标准模型包含若干基本粒子。其中有 6 种夸克、 6 种轻子以及每种粒子的反粒子，光子、正负 W 粒子和中性 Z 粒子、胶子以及希格斯粒子。 6 种夸克中有 2 种构成质子和中子。质子和中子组成原子核，原子核与电子组成原子，原子组成分子以及凝聚物质，从而构成宏观物体。这是粗略的说法，如在金属中原子核和内层电子构成的正离子形成骨架，另有电子在这个骨架间运动，而不是专属某个正离子。施郁教授的解读就很清晰明白，且可发挥解读并不是所有的宏观物质，都由原子组成。如带正负电荷的粒子，还可以形成没有固定形态的等离子体（包括由正离子和电子构成的常见的等离子，也包括其它的等离子体，如夸克胶子等离子体）；宇宙中还有全部由中子组成的中子星，还有以奇异夸克为主的奇异星；电磁波完全由光子组成等。电子是 6 种轻子之一，与之类似的轻子还有缪子和陶子，它们仨分别有一个“味道”相同的中微子，被称作电子型中微子、缪子型中微子和陶子型中微子。除上夸克、下夸克和电子，其他夸克和轻子并不自然地存在于原子中。因为除中微子，它们寿命很短，在弱相互作用中很快衰变，但是它们可以由其他粒子碰撞产生。奇异夸克在宇宙中的存在，是因可以大量聚集的形态克服不稳定性。各种中微子也都稳定，穿透性很强，而不是原子核的组分。光子是原子的组分，是因原子中电子能级的变化，伴随光子的产生或吸收。标准模型能统一电磁与弱、强相互作用，但不包括引力。因少量基本粒子间的引力可以忽略，大量粒子聚集才有很大的引力效应；暗物质就是通过引力效应推测的。等等。施郁教授的这类介绍虽然没有创新，但用来反哺基础自然国学，所谓的“引力子”还没有检测到，只是个认识问题。里奇张量既然把“引力子”分为光速部分和虚数超光速部分，这使光子和中微子在某种意义上，也能执行引力经典光速的传输功能；因为在环量子自旋编码的意义上和标度无关性上，也可变为经典的量子引力子。正因为施郁的介绍，能从经典的符号动力学的编程编码结构出发，延伸到最深层次的弦圈三旋符号动力学的编程编码，可说明这起源于新中国成立后，毛主席大力倡导自然国学的“物质无限可分说”。由此作从显物质和暗物质的区分，用环量子自旋的面旋、线旋、体旋的符号动力学进行编码，在对夸克、胶子、电子等全部基本粒子作 “量子避错编码”后，还剩下 4 /5 的 “量子冗余码”，似乎难以处理。但《夸克禁闭四色定理新解》和《魔方四色旋转证明应用大爆炸》等论证，暗物质无处不在，就在原子核内的质子和中子等重子里。夸克色禁闭类似裸黑洞的裸奇点，作为“点内空间”有类似的暗物质。这是一种隐藏着大量虚粒子的夸克和胶子的“海洋”，暗物质是真正类似有 “量子冗余码”的性质，这与或虚或实的夸克和胶子是 “量子避错编码” 性质不同：虽然暗物质是 “量子冗余码”存在，是矛盾的，但类似超导物质中的库柏对，以对偶点小飞圈不是也能解决矛盾？三旋理论正是利用环状而不是使用球体在增大量子信息量，因为环状有内外圈，其表面积的线旋时，同一转座子内外有变化。从数学角度讲意味着有更多不同的点可用作编码信息，暗藏着一种更有效和可靠的量子信息传送方式。量子传输是一种不用传播物质就能将信息进行量子纠缠的方式传播，有效地减少了量子传播中所需的能源和精力，同时提高了信息传输的可靠性。在超密量子信息的远距离传送中，利用它们共享的超纠缠量子信息编码组，可将一个特定的状态发送给远处。目前的暗物质，是专业天文学家通过间接和直接探测的办法发现的。这与我们说原子核内的质子和中子等重子里，夸克色禁闭类似裸黑洞的裸奇点，作为“点内空间”有类似的暗物质考察不同。当然把天文观测法的暗物质起引力作用的结论，转移类比引用到解释亚原子现象上，也能与实际观测数据进行对比，而能间接和直接探测结论暗物质。 2016 年4月电子工业出版社，把丘成桐新书《从万里长城到巨型对撞机》的中文版，在国内出版上市发行。张轩中教授的评论解读，突出丘成桐院士的两个观点：一是认为，巨型对撞机建成后，会吸引1万名左右的顶尖科学家来中国工作，这些科学家就好像游牧民族一样，需要寻找有草的地方放牧，发展事业。而巨型对撞机全世界只有一台，他们一定会到中国来进行合作研究。他们的工资，由所在国的大学与研究所支付；而他们的到来，相当于中国把哈佛大学等美国名校带到了中国，毕竟目前中国还没有那么多长期在中国工作的哈佛、普林斯顿等顶尖名校的教授。二是认为，从某种意义上讲，在中国建设大型对撞机，就好像在中国建成了一个“科学的联合国”，这对中国科研体制改革的推动力量，也是巨大的。这很启发人，也类似在回答龙科多先生的质疑。张轩中教授说：这本书讲述巨型对撞机的部分并不多，主要都在谈论最新近的物理学发展，这是一本很时髦的物理类科普书。中国高能物理需要一个突破，但很多高能物理学家认为，是丘成桐的“卡拉比—丘”空间，被用到极高能物理的超弦理论之中，他在热望有一台极高能量的对撞机，可以验证超弦理论中关于超对称的部分。因书中说：1957年李政道和杨振宁提出宇称不守恒思想，很快被实验验证，得到了诺贝尔物理学奖；1976年丁肇中找到新的基本粒子，部分证实了当时最前沿的夸克模型的正确性，也得到了诺贝尔物理学奖。但上世纪80年代，邓小平同志等国家领导人，支持在北京郊区建造的正负电子对撞机，使中国在“陶—粲”物理上，一直保持着国际领先的纪录。然而30年过去了，北京正负电子对撞机，已经穷尽了该能区的物理学。中国高能物理领域，必须面对这种穷尽的现实问题；虽然有大亚湾中微子实验，取得历史性的新的突破，但欧洲大型强子对撞机LHC，发现希格斯粒子更为轰动。目前寻找更多的希格斯粒子，LHC却做不到。建造巨型对撞机势在必行：即使标准模型能以惊人的精度，描写基本粒子的行为，但仍然不完整。因为该理论，无法解释宇宙大爆炸、万有引力、暗物质、暗能量等，影响深远的现象。此书丘成桐关于要建巨型对撞机，这也是张崇安说非介质波，到施郁说量子电磁波要走的路。丘成桐院士曾对张轩中教授说：有人担心和反对，一是怕建巨型对撞机，导致科研经费流向高能物理；二是讲还没有完全建立起超越粒子标准模型的理论，造巨型对撞机，好像盲人摸象、瞎猫碰死耗子，万一没有新发现怎么办？对此丘成桐认为：做科学应该有大局观念，不能只看到个人。如果找不到新发现，也不是坏消息。就好像麦克尔逊-莫雷实验测量以太漂移，最后测到零结果，但这最终也导致爱因斯坦提出狭义相对论。在中国搞巨型对撞机需要花的400亿元，是分20年投入的，资金压力不会太大，而这个项目的科学价值无与伦比，是科学大国应该做的事。这难道不也是像对自然国学说的：自然国学像巨型对撞机，自然国学像科学联合国。二、话说自然国学神奇的民科之旅《整体论科学拓荒者 ---- 天地生人学术讲座人物志》，是中国国学出版社 2014 年出版的天地生人学术讲座丛书之一。书中有两个人物使我感兴趣，一个是河南洛阳的苏三女士，她主张中国文明西来说，甚至是第三等文明，即人类文明单起点具体为：中东文明是子宫；印度、希腊、埃及等是外围文明；中国是第三梯队文明。同济大学朱大可教授的《华夏上古神系》巨著，更把中国古代史具体化为：踏上新大陆的非洲移民群落期为“ 游团”；半坡和姜寨之类的原始村落期为“部落”；把夏朝视为“酋邦”；把从商朝和周朝起才划为“王国”期。由此朱大可教授认为夏、商、周、春秋战国、秦、汉等各朝统治者，都是外国种或印度移民；墨子、庄子、惠子、孔子、老子等中国古代著名文化人；都是留学外国的“海归”或印度移民后代；《黄帝内经》《道德经》《周易》以及阴阳五行等中国古代著名学说，都是“取经抄袭”于国外印度等古经典，一点也不給黎鸣等搞老子和孔子内斗的人留情面。另一个是山西临县的张崇安，他 1965 年生， 1988 年毕业于阜新矿业学院矿山测量专业；山西省煤炭厅煤炭资源地质局高级工程师。 2016 年 4 月 1-12 日我参加绵阳 22 人印度旅游团，出发前刚完成《张崇安非介质波到施郁说量子电磁波》草稿。我虽是冲着苏三、朱大可等学者的中华文明西来“孵抱期”说去的印度，但旅游的 12 天中，我也在集中精力思考张崇安的非介质波说。因为自然国学的民科与名科之中，近百年来的中学为体西学为用，或西学为主中学为次的争论，也联系着外力的传播需不需要介质、何为介质和非介质之争。自然国学神奇民科之旅，如庄一龙的斥子说、罗正大的自然外力说、朱林的时变论等，就涉及引力的介质波和非介质波之争。而自然国学神奇的名科之旅，如量子纠缠信息学的潘建伟和饶毅科玄之争，以及卢昌海、张天蓉、施郁等教授，对西方现代自然基础科学的大量介绍，也还没有把介质波和非介质波深度学习涉及的韦尔张量与里奇张量数学说到位。例如，《爱因斯坦在 1916: 从引力波到量子电磁波》是复旦大学物理系施郁教授的一篇博文，它最先使我想到张崇安先生。施郁， 1967 年生，江苏人。 1989 年毕业于南京大学物理系， 1994 至 1996 年在复旦大学物理系作博士后研究。 1996 至 1997 年在以色列和意大利工作； 1998 年至 2003 年，在英国剑桥大学卡文迪许实验室以及理论物理与应用数学系工作； 2003 至 2004 年在美国伊利诺依大学物理系作访问学者。 2005 年 9 月起任复旦大学物理系教授，理论物理专业博士生导师。主要研究超冷原子系统的量子多体物理、拓扑量子计算、量子纠缠的基础理论及其在凝聚态物理和量子场论中的应用等。因为我在到印度出发之前，正在认真地读《整体论科学拓荒者 ---- 天地生人学术讲座人物志》一书，其中的张崇安先生，是一个典型的中国本土民科，因为他曾在多处网络论坛上介绍他的物理“空实二源观”，我曾跟他作过讨论。 2015 年 12 月 12-13 日，我在北京参加第 2 届全国自然国学创新论坛大会，这是第一次近距离接触张崇安先生，印象不错。因为张崇安在北京还不时惦记着山西企业里的事，我感到他能坚持搞基础科学不容易。众所周知，山西前段时间出了一些腐败的事，由此就问了一下。张崇安先生也不回避，说他的小公司也因为山西经济形势的而受到影响，干了活要不回来钱，业务也大大少于前几年。他顺便介绍了一下他的家庭:父亲是一位矿建工程师，写一手好字，工作认真，对子女要求严格。二十年前在主持焦家寨矿竖井施工期间因劳累等原因过早离世，当时他们弟兄三和小妹都未成家。他继承父亲的遗志走发展科学的路。2009年他自筹资金创办山西北武能源技术有限公司。他热爱科学，积极参加各种学术会议。2013年，他赞助和组织召开了第五届全国民间科技发展研讨会。2015年他又积极支持了在临汾召开的纪念广义相对论，发表一百周暨时间问题专题讨论会，并与张操、张树斌等八位时空理论爱好者在临汾汾东路双语学校建立”时间公理碑”。这值得赞赏！因为我们知道，像丹麦、瑞典等很多发达国家的私人企业家，就是把所获利润的一部分，用在支助发展科学上，而才形成本国经济的良性循环。但在北京我没再提“空实二源观”，是想到曾跟他的讨论效果不佳。张崇安的科学思想，是他近十多年在《格物》、《中国科技成果》、《科学中国人》、《科技中国》、《科技创新与品牌》等杂志发表十几篇研究论文；多次参加全国性的物理学术会议；曾三次到上海登门拜访卢鹤绂院士，多次去中科院理论物理所和山西大学光电所进行交流。这都源于上世纪80年代，他看到古代周易中卦象包含的空间图式，到北宋张载的“一物两体”说提出的“两体者，虚实也，清浊也，聚散也，动静也”；由此启发他思索惯性力的起因，提出“空实二源”，以此阐释牛顿第二定律。他说：惯性起因于空间同一，力起因于实物各异，m就是惯性，F就是力，a =F /m表明惯性与力双重作用导致的物体运动变化。这里他没有想到韦尔张量和里奇张量效应，而是到1997年他在上班途中，看到天空中飞行的行雁、放学出校门的学生队列，增添启发他想到间隔的粒子群流，具有类波形的问题，以此用来联系光和电磁波的本性。因为用规则间隔的粒子群流描述质量、能量等边界物理量，就均可呈现此起彼伏，而能采用现成的波动方程来描述。张崇安属于天才一类民科，他的间隔粒子群流具有类波形的灵感有道理，且能对比韦尔张量和卡西米尔效应的引力作用。有趣的是还能联系超导：例如，1964年有人对超导体内电子库珀对，就预测能以两种状态存在：一是所有库珀对处于同样的量子状态，作为单个实体零电阻流动的“超流体”。二是库珀对的密度，会在空间中周期性变化，有所谓的“库珀对密度波”。在库珀对理论问世50多年后的今天，哈佛大学助理研究员默罕默德·哈密迪安和苏格兰圣安德鲁斯大学的研究生斯蒂芬·艾登金斯等牵头的美、英、日、韩、德团队，用扫描隧道显微镜（STM）直接为库珀对拍照，已首次获得了“库珀对密度波”这种电子状态的直接证据。他们使用的是一种具有极高灵敏度的STM，对绝对零度之上几千分之一度含铋、锶和钙的铜酸盐进行研究。在将探头的尖端降低了一点让其与表面接触，并拾起一小块铜酸盐薄片后发现，库珀对在超导体表面和超导的尖端之间隧穿。通过检测隧穿形成的电流大小表明，库珀对密度在整个样本上表现出了周期性变化，波长为4个晶格单元。由此，该研究团队首次在一个高温超导体内发现并证实了库珀对密度波状态。但张崇安要说清他的非介质波，最高境界是解释万有引力。科学网允许张崇安先生开博客，说明他已进入名科。这是黄秀清教授在科学网博客《名科与民科：学用科学态度质疑引力波》中定的标准： “ 名科：名正言顺的职业科学工作者”。“ 民科：名不正言不顺的业余科学爱好者”。科学网官方允许开博客也许也是按这个标准来驱赶的。因为我们曾试过。张崇安先生很谦逊，说他没有好好学过数学，对里奇张量、韦尔张量等数学都不太懂。非介质传递的周期发射粒子群流波，如何去阐释麦克斯韦方程组？或者近似去推导，他认为应该有办法。但他感觉很棘手。看张崇安先生最近在科学网博客发的几篇文章，如《亚光子粒群波理论与实验》的数学方程运用也不少，很不错。如果把他的文章《亚光子海洋压力差的引力起因观》，联系韦尔张量和卡西米尔效应，而且还能解读一半的引力机制。因为波动和介质及非介质，只说明存在传播引力的现象与信息。这来源于微积分描述梯度、旋度、散度波动方程的流体力学数学的运用，早在 19 世纪前就存在，麦克斯韦巧妙移植过来描述电磁场波动方程，就大获成功。爱因斯坦学习麦克斯韦方程，用来描述引力场波动方程，也收获不小。韦尔 20 世纪初，考虑微积分光滑连续的曲线，运算中实际存在间断隔离的缝隙，也联想到这种类似存在介质或非介质的波动方程，他规范命名为“相因子”，且巧妙移植高斯与黎曼师生的数学几何张量作包装，又大获成功。特别是 1854 年杨振宁与米尔斯把韦尔的实数“相因子”移植变换为虚数或复数“相因子”，后来又联系陈省身的纤维丛拓扑等数学，一举开创了今天量子规范场和标准模型的天下。其实这中间并没有揭示，引力机制需要收缩的那层“窗户纸”。是卡西米尔平板效应的引力作用，把量子起伏的波动效应，与韦尔规范场的间断隔离缝隙效应，以及杨振宁与米尔斯以来量子规范场的介质或非介质的波动方程引力收缩的那层“窗户纸”，才全都捅破的。这也如张崇安先生想到的波动海洋压力差，是引力起因观一样。这原理是：间隔缝隙内的距离小，波动的波长必然小和少；相比间隔缝隙外波动波长的大与多，是波动压力差及其间隙收拢的起因。这也是从牛顿以来的直线和曲线运动或连接，产生韦尔张量、韦尔曲率等引力潮汐作用的一切规范场的基础。也许张崇安想到非介质的引力收缩机制和数学方程，水平就到此为止。而且他说的加入他博客的一些好友，如黄秀清、王国文、赵国求、宋文淼、张操等教授，能帮助他认知的高度也许也到此为止。这不是他们的错，是中科院的错。最近发生福州原创物理研究所所长梅晓春教授，向中科院党委、纪委，学术道德委状告《中国科学 . 数学》副主编张伟平院士等不懂黎曼，压制他对里奇张量等数学的重大科学发现，就暴露名科终身制的不足。川大数学家高隆昌教授评说：“旁观者闲言：从梅氏敢于九投不罢 / 顶层申诉的架势看，似乎他真是握有丰富 / 深刻的钢鞭（因为毕竟是成年知识分子嘛）”。但是，若梅氏的丰富内容仅只围绕着那个“曲率公式”的“问题”的话，作为观众，我认为梅氏可能站不住脚。因为“尽管高斯几何中有了内蕴思想，但它仍只属于欧式几何范畴，特别是其曲率公式更只是经典微分几何的。因此，所述黎曼几何与高斯几何的差别仍属欧式与非欧氏的差别。所以，不应该就此即说一错一对，正好似量子力学不满足牛顿力学那样。其实，黎曼几何是否错误，应从其原作中去找出逻辑缺陷才是根本的，否则，在应用上产生的矛盾理应致力于从深层次去解套才是”。高隆昌教授没说明深层次是里奇张量。因为梅晓春教授说黎曼认为蛋壳上不同方向曲率一样，不是从其原作找缺陷，是造谣，人们是不支持造谣科研的。后来梅晓春教授也承认：他只是用鸡蛋壳作比喻，为什么黎曼几何错？高斯几何二维曲面，不同方向有不同的曲率。高斯曲率公式K=K1K2中，K1和K2分别是曲面在主法方向上的最大曲率和最小曲率。实际可测量的曲率不是乘积K1K2，而是单独的K1和K2。在曲面的不同方向上，曲率一般是不一样的。但黎曼几何二维曲面，曲率张量只有一个独立分量R1212。在曲面的不同方向，黎曼曲率都可以用标量K ~ R12112来描述，因此是没有方向的。即黎曼几何实际上认为二维曲面，曲率是乘积K1K2，而不是K1和K2。黎曼是高斯的亲传学生，黎曼还比高斯早死，以上梅晓春教授说黎曼反高斯，黎曼错了高斯还赞扬，且不是科学无真理？事情是梅晓春教授和杨本洛教授与王令隽教授等，在国内掀起反相反量。原因是广义相对论方程中的爱因斯坦张量，也就是里奇张量，即描写体积减小变形的严格数学证明，至今还是一个亟待解答的大问题。在这一点说，梅晓春“造反有理”。而且梅晓春承认：他对韦尔张量不太熟悉。他主张数学量的物理解释和数学定义分离，所以他才说里奇张量的数学定义，应该以他说的“是将黎曼曲率张量两个指标数相同时求和形成的，指标不同的分量省略掉”为准。这就是他反对彭罗斯说里奇张量是整个体积的收缩效应，以及被爱因斯坦用来代表完整的空间弯曲的理由。但梅晓春又说这不是他的自编自导，说看相关的教科书都是这样。在国内梅晓春说的是真，但讨论里奇张量涉及的是爱因斯坦张量的广义相对论方程，我们一直还看国际数学物理学方面的权威，如彭罗斯的《皇帝新脑》、《时空本性》、《通往实在之路》等书。在《时空本性》一书中彭罗斯说：“韦尔张量描写潮汐变形，体积保持不变；里奇张量描写体积减小的变形”。这才真是自里奇创立里奇张量数学近百年以来，解答引力问题关键的钥匙。我们可以用一个形象的比喻：如果把韦尔张量，比喻为看到的绝大多数单根干的落叶菩提树；那么里奇张量，就类似主干是多根干的常绿菩提树。众所周知，数学和物理学中，矢量与标量不同，矢量还具有标识方向；而黎曼在导师高斯的非欧几何思想的启发下，把矢量标识运动速度在一个点的一个方向，发展推广为在一个点，有多元的方向。这就像常绿菩提树枝干上，会长出气生根或多粗状树干根一样。黎曼真可说是现代科学的“释迦牟尼”：黎曼张量就像释迦牟尼在菩提树下悟出大道一样。张量相比矢量，类似“多根”的顿悟、开悟、彻悟的感觉。何人能比？蒋春暄教授是支持梅晓春教授的。蒋春暄教授说：“ 中国数学水平太低，低于日本、南朝、新加坡。张伟平、袁亚湘水平太低。这个问题只要重视，很容易解决。黎曼几何己有很多教科书，研究生就可解决”。我们认为中科院有错，是不重视彭罗斯说的里奇张量描写的是体积减小变形的研究，以致培养出的像王令隽教授这样的物理学高材生，到美国当教授，也只把里奇张量变为爱因斯坦张量的广义相对论方程，像梅晓春一样看为是纯数学算子运算，没有一点力学效应。也许张伟平和袁亚湘院士，因没有像彭罗斯那样深度学习研究里奇张量，才无措。因为只要知道彭罗斯对里奇张量的定义，张伟平院士就能对梅晓春教授说：椭球面上任意点，沿横的方向和竖方向的曲率虽然不一样，但按里奇张量效应对横的方向和竖立的方向，有收缩的作用是一样的。而不至于当梅晓春对他说黎曼几何张量，不能正确描述空间曲率时，张伟平院士只能简单地回答说： “这不可能！”。蒋春暄教授对梅晓春教授搞自编自导的科研，我们不支持有怨言。例如他瞎说彭罗斯没研究里奇张量效应；而高能所研究生研究广义相对论，看彭罗斯的《皇帝新脑》、《时空本性》等这几本科普书，对引力宣传会是无知。蒋春暄甚至明言：“ 最近推广广义相对论，很多人研究黎曼几何，详细推导这是做一个数学题，叫计算相对论。蒋在国家图书馆，就看到许多里奇张量非常详细计算的英文书和广义相对论数学”。蒋春暄看到的那许多里奇张量非常详细计算的英文书和广义相对论数学，真超过彭罗斯了吗？能解决里奇张量描写体积减小变形的数学证明吗？梅晓春教授说：“关于里奇张量，是将黎曼张量缩并而成，其中漏掉了许多不对称的项。爱因斯坦用它来构造广义相对论基本方程，真是毫无道理的。如果讨论空间弯曲，就必须考虑所有的项。因此爱因斯坦弯曲空间引力论从一开头就是错的。不必把彭罗斯说的当真，科学问题没有什么国际权威，不必把他们的东西看得太认真。黎曼几何如果有错，彭罗斯所有的东西也都是错的”。 2014 年 10 月 18 日，杨本洛教授来绵阳拜访我们，当我们从书架上取下彭罗斯的巨著《通往实在之路 ---- 宇宙法则的完全指南》，问杨本洛教授看过没有？他说没看过，甚至他说连“ 彭罗斯”这位当代有影响的物理数学家的名字也不知道。就是这位著名的上海交大教授说：牛顿、纳维、斯托克斯、麦克斯韦、黎曼、普朗克、爱因斯坦、玻尔、薛定谔等科学家的数学不行，又说霍金、杨振宁、丘成桐、陈省身、陈维桓等物理学家和数学家也不懂微分几何、拓扑学等数学。这让我们惊愕。联系文革开初红卫兵打出“造反有理”的口号，想到梅晓春教授说他是受杨本洛教授和王令隽教授的影响、启发，才也跟着起来造黎曼几何、里奇张量的反的，真感到中科院的责任重大。对科学创新，中科院有科学家学外国盲目地宣传“科学只有第一，没有第二”，这类似只宣传介质波。其实只要按公认的标准搞科学创新，科学有第一，也有第二。这类似电磁场从一个变化到下一个变化的非介质波。例如，如果说黎曼类似释迦牟尼在多根干菩提树下悟出“众生平等”，黎曼悟出高斯非欧几何单矢量标的一点，也会生多矢量，创造黎曼张量是科学第一，那么里奇张量、韦尔张量就是科学第二。爱因斯坦把里奇张量描写体积减小变形的推导证明难度，改为时空受物质压力发生凹曲是科学第三，那么至今名科队伍，还没有人超过爱因斯坦对里奇张量引力机制的直观解读。例如，蒋春暄教授的新引力公式，根本没有引力。纯粹的波动方程，可以带信息、能量，但很难说明有引力。而且梅晓春教授状告张伟平院士，如果中国科学院党委，院领导、纪律检查委员会，学术道德委员会的同志，也不懂里奇张量描写的是体积减小变形的推证，这种老大难现象，又该怎么办呢？例如， 2006 年 6 月 3 日哈佛大学讲座教授、美国科学院院士、中国科学院外籍院士丘成桐，在北京宣布两位中国数学家——中山大学的朱熹平教授和美国里海大学教授及清华大学讲席教授曹怀东，最终证明百年数学难题庞加莱猜想；《亚洲数学期刊》以全部版面，刊登他们的长达 328 页的数学论文《庞加莱猜想与几何化猜想的完全证明：里奇流的汉密尔顿 - 佩雷尔曼理论的应用》。然而到 2006 年 8 月，是俄罗斯数学家佩雷尔曼因证明庞加莱猜想的贡献，获得 2006 国际数学家大会的菲尔茨奖。原因是庞加莱猜想获证，就涉及“里奇流、里奇曲率、里奇张量”的巧妙运用，佩雷尔曼之前证明灵魂猜想等数学难题时，就有所悟，而朱熹平教授和曹怀东教授却没有吃通。这闹得后来丘成桐、朱熹平和曹怀东等中国人，被国外认为是“抄袭”；而国内也有数学家跟着外国人起哄。这对丘成桐、朱熹平和曹怀东，是不公正的。因为即使还没吃通里奇张量，也不是大错，他们不是正在引领中国人向“里奇流、里奇曲率、里奇张量”探索吗 , 何罪之有？遗憾的，至今朱熹平和曹怀东后来发表的改正英文论文《庞加莱猜想与几何化猜想的汉密尔顿—佩雷尔曼理论证明》，也没有被翻译为中文出版发表普及宣传。蒋春暄教授说我们为什么对黎曼几何有兴趣？是因为无事可做。但我们要说，近百年来的里奇张量、韦尔张量世界科学大战，直到现在可以大体上明白：如果抛弃彭罗斯已达到理解里奇张量定义的高度，覆巢之下岂有完卵？如果反相反量反中医的名科到民科代表人物，结成统一战线，还是把引力机制的里奇张量、韦尔张量的载荷、信息等概念，建立在含糊性的糊里糊涂的自编自导上，那么像当年文革结束兵败如山倒一样，全盘皆输就不言而喻。河南理工大学的肖建华教授，是国内研究里奇张量著名的科学家。他认为，佩雷尔曼的研究成果的核心意义在于，为普通的连续介质中的物质微元（封闭流形）打开了道路，如微元的位形演化、微元间的界面相互作用等。决定里奇流的另一个方程式是一个与里奇曲率有关的泛函，在物理、力学中如何针对具体问题构造这个泛函是地地道道的物理、力学问题。肖建华教授批评说：这并没有得到学界重视；里奇流问题相关数学工具在物理、力学学界的普及性不足。原因是人们偏爱于简单、直接、直观的概念体系，尽可能拒接复杂的数学概念。这种偏爱是阻挡我们前进的原因之一。里奇流概念建立于上世纪80年代，在物理原因的描述上，的确是超前于理性力学。里奇流概念为理性力学与现代物理的结合，打开了一扇大门。肖建华，1962年生于江西。1982年毕业于中国矿业学院应用地球物理专业；1991年获该大学硕士学位。1994-1995年在英国爱丁堡大学地质和地球物理物理系做访问学者。1992年在中国煤田地质总局第一勘探局任高级工程师，1999年任教授高工。2000年获中国矿业大学博士学位，2000-2002年在该大学做博士后研究，2001年获得国务院政府特殊津贴。现为河南理工大学校聘教授。但肖建华教授研究里奇张量，也主要着眼于工程运用，还没吃通里奇张量的内在本质。这可以从他最近的博文《2个世纪过去了但问题依旧》，窥见端倪；也许这跟他的学习经历、专业局限有关。该文说的是著名理性力学代表人物沃尔特 . 诺尔（Walter Noll）指出，力学基础理论中存在的基本问题，是工程力学中的载荷概念；而国内教科书中是把具体工程问题，论述为如何把外力（压力）或是体力（重力），转换为有效载荷。肖建华批评：这类论述缺乏理性，也缺乏论据，基本上是错误的。但抽查国外力学类教科书，发现对载荷概念的处理，也基本上与国内文献类似，差别只在于指出了载荷概念的发展历史及所形成的定义。当然肖建华教授也说，在实验力学类文献中，区别于非实验力学类，对载荷概念的应用，是正确的；问题只在从不做任何的理论论述。此类现象，也许与梅晓春教授状告张伟平院士，暴露出的引力机制涉及的黎曼张量、爱因斯坦张量、里奇张量等数学物理学问题的争论，是相似的。肖建华教授提出的这个纯力学物质理论载荷概念的体力与面力的理性关系问题，我们称为“ 肖建华难题”。其实“ 肖建华难题” 这个问题，也就可以用朱熹平和曹怀东解读庞加莱猜想证明，涉及的里奇流 - 里奇曲率 - 里奇张量的汉密尔顿 - 佩雷尔曼数学方法来操作解决。把万有引力的里奇张量定义，类比肖建华难题，载荷概念是连续介质力学一个没有解决好的问题，也是力学的基本问题。载荷概念引出的公认集度矢量定义是：体力 / 体积。取体积趋于零的极限。即为单位体积微元体的受力。这也就是体力密度。有了这个概念，也能引出应力概念。而类似里奇张量定义激起的千层浪，载荷如何定义，也是一石激起千层浪。肖建华教授说，这是因为直接用多面体，面力分量引出应力概念，是错误的。而用面力载荷分量，引出应力概念，才正确。这也像蒋春暄、王令隽、杨本洛和梅晓春等对彭罗斯看不顺眼一样，今天很多物理学家也对 W. 诺尔（ Walter Noll ）看不顺眼。尤其不提 W. 诺尔一举成名的文献，那是他在 1957 年首先提出的简单物质的公理化问题，和次年发表的连续介质力学行为的数学理论，发展成的简单物质谱系。在 60 年前，力学界是用体力的体积分，面力的外表面积分，以构造动量守恒方程，替换载荷概念。这实际上还是古老的集度矢量概念，也就是载荷的积分定义，把微分换为积分。从理论上看，这似乎把载荷概念，已建立在物理学基本规律之上，但这类载荷概念其实含糊。它贯穿于整个连续介质力学，导致应力概念的混乱；再以连锁反应的方式，引起应变概念的混乱。最后集中表现在本构方程上，尤其是多如牛毛发表的这种用面力直接获得应力解方程类的文献，其基础概念的混乱特别突出。这也与引力的现状研究相似。肖建华教授说： W. 诺尔不直接提载荷概念，而是提体力与面力的理性关系，这是个 200 多年来物理学家看不顺眼，力学家觉得不是问题的问题，工程界认为是不言自明的东西，其实是还没有解决好的问题---- 肖建华难题。这是一座压在力学理论上的大山， W. 诺尔是个有历史远见的科学家，是他把实验（实践）事实，作为理论研究基本出发点，敢于面对实际存在的问题，而不刻意回避问题。理性力学工程力学的载荷概念，从 1956 年以来 R.A. 图平关于弹性电介质的系统研究，为电磁连续介质理论的发展打下基础后， 1957 年 T.Y. 托马斯关于奇异面的研究，是另一重大进展；而 1957 年 W. 诺尔则是承前启后。纯力学物质理论的主要内容，是本构关系建立纯力学物质的公理体系，并演绎出本构方程和场方程或跳变条件，然后在初始条件和边界条件下进行求解，从而得出连续介质的响应。这种理论不是个别地考察物质，而是把物质作为连续介质，进行统一的考察。纯力学物质理论，目前已发展到相当完满的地步，特别是对简单物质已有了系统的研究，并得出了简单物质谱系。简单物质，按它的响应泛函，对空间参考标架（或参考系）变化的不变性，按它的对称群，可分为固体、流体和液晶三大类，寻求固体和流体非线性问题的精确解，以及普适变形、普适运动和普适稳定性。本构关系指表征各种不同物质所固有的力学特性的数学关系，具体形式应当服从确定性、局部作用和客观性三个公理。这三个本构公理，是 W. 诺尔在 1958 年提出的。 1960 年， B.D. 科勒曼和 W. 诺尔又提出减退记忆原理，表述物质点只对近期历史有较强记忆力的性质。那么肖建华难题，之所以是世界难题，肖建华教授分析，看当年兵败如山倒的原因，就在于“二点张量”概念；当年的那批理性力学代表人物，对物质运动客观性的追求，直接导致了“二点张量”概念的建立。特别他们是在抢先创立相关理论体系的、过于急功近利的、未加深入研究的情况下，抛出的大量的相关理论性论文。由于缺乏对“二点张量”概念的数学性及物理性研究，这让理论物理界不能容忍，而他们自身也出现分崩离析。所以说，该学派的重要学术进步，也是直接导致该学派的分崩离析的原因。此后，有少数物理学家，又用理性力学代表人物的方法，对理论物理重新进行思考，建立了“连续统物理”。但这也是把如“二点张量”概念类似的含混性，代入到物理中，最后由红变暗也很快消融。这都是反黎曼张量到里奇张量物理效应的名科-民科，也应该思考的教训。而 W. 诺尔与这两者的不同，他是以连续介质中的微元行为完全不同于质点行为，作为立论依据，反驳物理学界对理性力学的批判。但 W. 诺尔对里奇张量描写体积减小变形效应的数学推证，也不行。他使用的 “二点张量”概念分析，非常勉勉强强。因为在质点行为中，并不能自然性地得到“二点张量”概念。这也类似彭罗斯，虽然对里奇张量定义得到了正确理解，但这并不等于就自然性地得到是“ 里奇张量描写体积减小变形“效应的数学证明。所以彭罗斯也和 W. 诺尔一样，对里奇张量描写体积减小变形效应的数学推证不了解。他和霍金一样，也只能神奇自然地大量应用里奇张量定义，如对黑洞与大爆炸宇宙的开头和结尾图形的分析。由此看“ 肖建华难题” ，我们也赞同肖建华教授的说法： W. 诺尔在最近几年发表的理性力学新体系，也并不能挽回败局。众所周知，中国物理学界也有过全盘皆输的教训，如层子模型对抗夸克/色动模型，唯信实数超光速传输对抗虚数/复数超光速隐形传输。那么历史上中国科学家对 W. 诺尔的态度如何？肖建华教授说，中国，之所以是中国，就是有一种不到黄河不死心的意志。在上世纪80年代，西安交大、现上海交大的力学家筐震邦教授就指出：“二点张量”概念的协变导数研究，除非使用协变偏导数的概念，否则，“二点张量”概念的协变导数，是逻辑性的循环性概念。但筐震邦教授也只是说，建立在“二点张量”概念上的力学理论，有内在矛盾性，并没有说要联系里奇张量描写体积减小变形效应的数学推证。因此这也和 W. 诺尔的命运一样，发表的论文也不可能去克服致命的缺点。再说中国矿大力学家陈至达教授，他抛弃对“二点张量”概念有关形而上学的理解，转而抓住其力学本质，使用黎曼几何的方法，在单参数变换群的概念下，建立变形几何理论，在把“二点张量”概念的不合理性抛弃。陈至达教授确实深化了力学的本质含义，他宣称的连续介质运动几何理论，与质点运动的几何理论有根本的不同，但他也不知道里奇张量描写体积减小变形效应的数学推证。因此陈至达教授也难指导 W. 诺尔，叫他不能只是简单的断言，以连续介质中的微元行为，完全不同于质点行为，作为立论依据反驳物理学界对理性力学的批判。以上的事实表明，我国在理性力学的核心领域，并不是已经超前国外至少50年。在抛弃理性力学的连续力学理论以后，覆巢之下岂有完卵？所以物理中大量的有关研究工作，只能退回到经典的无限小变形力学，及其相关的各种近似。这直接导致的后果，是连续介质物理领域的学术性退步。这与今天的反相反量反中医的结果相似。因此我们赞同肖建华教授认为， W. 诺尔对这一局面的直观感觉是对的说法。而迎着体积微元的里奇曲率流张量数学方向前进，不难理解 W. 诺尔为何有再次出击的念头。因为真正还有力量的是，中国数学家丘成桐和田刚以及朱熹平、曹怀东与汉密尔顿、佩雷尔曼等结成不到黄河不死心意志的 “科学联合国”，取得的庞加莱猜想与几何化猜想等数学证明。这些宣传造势，正在形成理性力学东山再起的客观环境。因此，在没有严格的里奇张量描写体积减小变形效应的数学推证下，理性力学的惨淡现实，也只能祝愿各路名科-民科们交好运。面对 W. 诺尔在 20 世纪 70 年代后的研究工作，如体力与面力的里奇张量理性关系，思考为何 21 世纪的出路？50多年念念不忘解决引力机制，难中更难的里奇张量描写体积减小变形效应的数学推证，既然解答不了，换个思路，把它作为一种公设，在不改动欧几里德对点的定义的情况下，加入到欧几里德几何的五个公设中，如何呢？话说自然国学神奇的民科之旅，走过这近半个世纪之后，在 2002 年总结这段历程，由四川科技出版社出版的《三旋理论初探》一书中，在一开头我们就补充了三条公设：（1）圈与点并存且相互依存。（2）圈比点更基本。（3）物质存在有向自己内部作运动的空间属性。这其中的第三条公设：物质存在有向自己内部作运动的空间属性，即为里奇张量描写体积减小变形效应数学推证的前提公设。; 个人分类: 自然国学|1510 次阅读|0 个评论

习题3.6（1，2，3）: yuewenxiong 2015-9-19 00:09; 2014年9月18日 1.证明，在双不变度量下，Lie群的曲率张量满足 2.紧致连通Lie群的指数映射是满射。 3.作为齐性空间是Einstein流形。; 个人分类: 黎曼几何|5 次阅读|0 个评论

相对论与黎曼几何-8-平行移动和协变微分: 热度 9 tianrong1945 2014-9-22 08:01; 8. 平行移动和协变微分什么是平行移动？简单地说，就是将一个矢量平行于自身的方向沿着空间里的一条曲线移动。在平坦的欧几里德空间里，这种移动方式似乎是一目了然的。比如说，让我们想象有一个极小极扁的平面生物“阿扁”，生活在一张平坦的纸上。阿扁会使用坐标系，他对他的世界进行观察和测量。他感受到的几何，是标准的欧几里德几何：三角形的三个内角之和等于 180 度；过不在同一直线上的三点，可以作一个圆；直角三角形的两条直角边的长度的平方和等于斜边长的平方……等等。图 2-8-1 ：平面和锥面上矢量的平行移动阿扁也学过微积分，会计算许多图形的面积，懂得矢量和张量等概念。阿扁所理解的平行移动，就是像图 2-8-1 左图所示的：矢量移动的时候，要保持与自己原来的方向平行。如何才能做到这点呢？只要保持这个矢量在直角坐标系中的分量不变，是一个常数，就可以了。阿扁发现，如果将矢量沿着一条闭曲线平行移动一圈再回到原来出发点的话，矢量的大小和方向都不会改变，经过了平行移动得到的矢量，和原来的矢量是一模一样。不过有一天，来了一个 3 维世界的小生物“阿三”，看见了阿扁生活的这张纸。阿三突发奇想，把这张纸剪去了一个角。比如说，像图 2-8-1 中图所画的情形，剪去了一个 40 度的角，然后将剩余图形的两条剪缝黏在一块儿，做成了一个图 2-8-1 右图所示的锥面。生活在纸上的阿扁并没有立即感到他的世界有什么变化。照样是欧氏几何，他画的直角坐标轴仍然在那儿。当他拿着他的（平面）陀螺仪，沿着他的小圆圈 C 1 或 C 2 作平行移动而回到原来出发点的时候，陀螺仪的指向和原来一样。这说明矢量平行移动的规律没有改变。不过，阿扁的技术越来越高，胆子越来越大，旅游的地点也走得越来越远。他逐渐发现了一些问题。比如说，当他沿着右图中所示的曲线 C 3 走了一圈回到原来出发点的时候，他的陀螺仪的指向和出发时候有了一个 40 度的角度差。这个新发现令阿扁激动，于是，他进行了更多的平行移动实验，绕了好多个不同的圈，终于总结出了一个规律：他生活的世界中，在右图中所标记的点 O 附近，有一个特殊的区域，只要他平行移动的闭曲线中包含了这个区域，陀螺仪的指向就总是和原来出发时的方向相差 40 度左右。如果不是绕着这个区域转圈的话，平行移动便不会使矢量的方向发生任何改变。当时的阿扁，技术还不够精确，还没有搞清楚这个区域是多大，况且，他也有点害怕那块神秘兮兮的地方，不敢在那儿逗留过久，作太多的探索，以防遭遇生命危险。还是首先从理论上研究一下“平行移动”的概念吧，阿扁想。阿扁原来所理解的平行移动是“保持这个矢量在直角坐标系中的分量不变”。但是，如果用极坐标，又应该如何操作这个平行移动呢？当然，阿扁认为他的世界中的绝大多数地方都是“平”的，除了那块该死的区域之外！只要是平的，极坐标总可以转换成直角坐标，空间的度规就变成了 d ij 函数，或是常数。不过，阿扁十分好奇：如果不平坦的地方，度规张量无法靠坐标变换来变成常数的话，平行移动是什么意思呢？那种情形下的平行移动是否就会产生诸如“陀螺仪绕一圈回不到原来方向”这样的怪事？因此，阿扁提醒自己，以后不能老是用笛卡尔的直角坐标来思考问题，即使是在平面上，有时候也得从一般的曲线坐标出发来考虑问题，就像下面的图 2-8-2 左图所画的那种坐标。总而言之，沿着某条曲线的平行移动是由许多沿着无穷小的一段弧长 ds 平行移动的连续操作而构成的。因此，首先得理清楚“平行移动无穷小弧长 ds ”的意思。“无穷小”与微分有关，于是，阿扁开始考查流形中矢量场的“导数”的概念。在上一节中提到过，黎曼流形上可以定义各种张量场。所谓“场”，就是流形上每个点都有的物理量。所谓“张量”，就是指标量、矢量、 2 阶以上张量等。如果用 n 维空间的坐标表示张量的分量的话，标量是 1 个数，矢量是 n 个数， 2 阶张量是 n 2 个数， 3 阶张量是 n 3 个数，……还可以依次类推下去。因为分量数目的这种规律，可以将坐标系中的张量分量用取值从 1 到 n 的指标 i 、 j 、 k ……等来表示。比如说：标量 f ，不需要指标，为 0 阶张量；矢量 V i ， 1 个指标，为 1 阶张量；有两个指标的度规张量 g ij 是二阶张量； 4 阶张量 R i jkr 4 个指标…… 但是，并不是说分量数目符合上述规律的物理量就一定是张量。重要的是当坐标变换的时候，张量的分量得按照某种相关的规律变化，才能将其称之为张量。另外还有一点需要说明的是，大家可能已经注意到了，上面所列举的张量的指标 i 、 j 、 k 等，有的在上，有的在下，“上、下”只是一种约定俗成，分别指“逆变”和“协变”的意思。我们仅以矢量为例说明这点。如果某矢量的分量按照和坐标基矢 e i 相同的变换规律“协调一致”地变换，这样的矢量叫做协变矢量，指标写在下面，记为 V i 。如果某矢量的分量按照和坐标基矢 e i 变换的“转置逆矩阵”的规律而变换，这样的矢量叫做逆变矢量，指标写在上，记为 V i 。其它阶张量的指标也是按照类似的规律来分成“协变”或“逆变”，从而决定该指标写在“下”或“上”，见 wiki 【 1 】。图 2-8-2 ：任意坐标下的协变矢量和逆变矢量图 2-8-2 给于协变矢量和逆变矢量直观的几何意义。同一个矢量 V ，可以用对坐标平行投影的方法表示成逆变矢量，也可以用对垂直坐标投影的方法表示成协变矢量。对直角坐标系而言，两种坐标系是一样的，所以没有“协变量”、“逆变量”的区别。张量的变换规律决定了张量的一个重要性质：如果在某个坐标系中，一个张量是 0 ，那么，这个张量在其它坐标系中也是 0 。也就是说，张量其实是独立于坐标而存在的，这点对于物理定律的描述很重要，因为物理定律也是不依赖于坐标的，坐标只是为了计算的需要而被引入。物理定律往往用一个方程式（右边等于 0 ）表示。张量应该不依赖于参照系的选择这点，从矢量的原始定义也可以看出：矢量是指一个同时具有大小和方向的几何对象，通常被标示为一个带箭头的线段，这里并没有什么坐标牵扯进来。然后，在一定的坐标系下， V 可以表示成坐标基矢 e i （或者 e i ）的线性组合： V = V i e i = V i e i （ 2-8-1 ）这个表达式中又用了另一个科学界常用的约定俗成，叫做爱因斯坦约定。它说的是：如果像在上面式子中那样，指标 i 出现两次（一上一下）的话，意思是对指标的所有可能取值求和。矢量（张量）的协变分量和逆变分量可以通过度规张量 g ij 互相转换： V i = g ij V j （ 2-8-2 ）现在，我们再回头来考虑流形中矢量场的“导数”问题。假设（ 2-8-1 ）描述的是欧氏空间的一个矢量场 V ，如果使用笛卡尔直角坐标系，基矢 e i 是整个空间不变的，对 V 的导数只需要对 V i 求导就可以了，见下面的公式（ 2-8-3 ）。但是，对一般的流形（平坦空间的曲线坐标或者不平坦的任意度规），坐标架和基矢 e i 都逐点变化，对 V 的导数就还必须考虑 e i 的导数。根据乘积求导的 chainrule ，得到（ 2-8-4 ）。一般来说， e i 的导数也仍然是 e i 的线性组合，将其系数记为 G m ab ，叫做克里斯托费尔符号，如（ 2-8-5 ）所示。度规张量 g ij 实际上是坐标基矢 e i 的内积： g ij = e i · e j 。因此，由坐标基矢之导数定义的克里斯托费尔符号与度规张量以及度规张量的导数有关，见表达式（ 2-8-6 ）。上面的公式中，（ 2-8-4 ）比较（ 2-8-3 ）而言，除了通常的对矢量分量 V a 的微分之外，还多出了正比于矢量 V a 的额外的一项。这一项反映了黎曼流形每一点的切空间上配备的度规张量的变化。这种加上包括克里斯托费尔符号的额外项一起定义的微分，叫做对矢量的协变微分，或者称之为共变导数。（注：“协变微分”中的“协变”，与“协变矢量”中的“协变”，是完全两码事。）流形上每个点与相邻点有不同的切空间，因而也有不同的坐标系和度规，为了能在流形上建立微分运算，两个相邻的切空间之间便需要定义某种“联络”，以意大利数学家列维 - 奇维塔命名的 Levi-Civita 联络是在黎曼流形，或伪黎曼流形（将在引进 4 维时空时介绍），的切空间之间保持黎曼度量不变的唯一的无挠率联络，克里斯托费尔符号则是列维 - 奇维塔联络的坐标空间表达式【 2 】。以上提到的“联络”一词，在数学上有其严格的定义。提到它是因为以后到规范场的时候还要用到，目前可暂且将它按上文理解。实际上，广义相对论需要用的黎曼几何与原来欧氏几何的最大区别不是仅仅在于空间存在曲率这一点，而更是因为有了曲率（及内蕴的概念）后使得空间的几何局部化了。在黎曼流形上的每一个点，有了一个不同的切空间，也即不同的坐标系。仍然可以使用 3 维空间的 2 维曲面来想象。黎曼流形上每一点的有限邻域不一定是“平”的，但是当这个邻域很小的时候，可以当成是平面，就如我们在日常生活中感觉不出地球是球面一样的道理。然后，在地球表面上每个点都有一个切空间，都带上了一个不同方向的活动标架。这些切空间构成一个“丛”。可以通俗地想象成在高高低低起伏不平的地球表面上长满了“树丛”。这些所有“树”的局部几何加在一起，构成了整个流形的几何。树与树之间有些枝桠互相联系起来，叫做“联络”。原来的欧式空间呢，不像刚才描述的地球模型，而只是一个无限延伸的平面，简单多了，整个平面上均匀地铺上了一层草皮而已。言归正传，列维 - 齐维塔（ Levi-Civita ， 1873-1941 ）是意大利的犹太裔数学家，和他的老师、另一位意大利数学家里奇 - 库尔巴斯托罗（ RicciCurbastro ， 1853-1925 ）一起创建了张量分析和张量微积分。列维 - 齐维塔与爱因斯坦关系密切，以至于当别人问到爱因斯坦最喜欢意大利的什么东西时，爱因斯坦风趣地回答：“意大利面条和 Levi-Civita ”！从另一方面看， V a 对 x b 的偏导数不是一个张量，但共变导数是一个张量。基于张量的坐标独立性，在黎曼几何下表达物理规律时，或者说，将物理规律从狭义相对论推广到广义相对论的弯曲时空时，通常以共变导数来代替普通导数。这给了我们一个简单而“偷懒”的原则。举平行移动的问题为例。直角坐标中平行移动 V 时： dV j /ds= 0 ，黎曼流形上，则需代之以对 V 的共变导数，表达式变成： dV j /ds + G j np V n dx p /ds= 0 。（ 2-8-7 ）将以上方程换一个写法： dV j = - G j np V n dx p 。这就是将矢量 V 沿 ds 作平行移动时，需要如何改变 V 的逆变分量的规律。参考资料：【 1 】 Wikipedia ： http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors 【 2 】 Choquet-Bruhat,Yvonne; Dewitt-Morette, C é cile; Dillard-Bleick, Margaret (1982), Analysis, manifoldsand physics. Part I: Basics, North Holland, 上一篇：黎曼几何系列科普目录下一篇：平行移动和曲率; 个人分类: 系列科普|24601 次阅读|14 个评论

从太极图说起——再谈对称: 热度 18 武际可 2014-4-21 06:38; 个人分类: 科普|11385 次阅读|26 个评论

[转载]漫谈微分几何、多复变函数与代数几何: ChinaAbel 2011-10-7 19:12; 漫谈微分几何、多复变函数与代数几何萍踪浪迹（王善钦）微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展。在这里，微分几何与多复变函数论、Lie群理论、代数几何以及PDE都彼此产生深刻的互相影响。数学在不断的分化，又不断交融。多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉，单位圆和上半平面（两者可以建立共形映射）上定义Poincare度规后，单复变函数论与微分几何的联系就历历可见。Poincare度规是共形不变量。著名的Schwarz定理在引入Poincare度规后就可以解释为：单位圆上Poincare度规在解析映射下不增加，当且仅当此映射是分式线性变换时Poincare度规不变。应用Poincare度规下的双曲几何可以轻松证明著名的Picard小定理。而Picard大定理的证明需要用到艰深的模函数理论，如果用微分几何观点，也可以以极其简明的方式证明。这里，微分几何深深渗透到复变函数论之中。在多复变函数论中，分析复仿射空间的区域定义度规后，接下来就实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。在单复变情形，所有奇点离散分布，而在多复变情形，由于著名的Hartogs开拓现象，所有孤立奇点都被吞没，甚至于奇点形成的连续区域也经常被吞没，只有形成实余维数为1的流形才可以避免这个厄运。但是，即使这种情形也需要其他限制条件才可以“确保安全”。多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。1922年Bergman引进著名的Bergman核函数，那个时代的多复变函数还是Weyl所说的草创时代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几位前辈的著名研究外几乎没有任何实质性进展，Bergman的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。在多复变函数中的域上的Bergman度量，在一维情形就是单位圆和Poincare上半平面上的Poincare度量，这注定了Bergman工作的重要性。代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点（代数簇）的性质，代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域，线性空间维数就是扩张次数。从这个观点出发，代数几何可以看成是对有限扩域的研究。代数簇的性质和其基域关系极其密切。对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇，研究的过程中不仅有大量概念和微分几何及多复变函数论重合，而且在研究过程中运用到大量有关的相似工具。复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。许多相关领域的大师，虽然看上去只研究某一领域，但是其结果却影响到其他领域。例如：Lerey研究代数拓扑得出得层论，在代数拓扑中影响不大，单却由于Serre，Weil和H• Cartan（E•Cartan长子）的引进，深刻影响了代数几何和多复变函数论。Chern研究Hermite空间的示性类，但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。Hironaka研究代数几何中的奇点消解，但是他研究的复流形到复解析空间的修改与吹胀则影响了复解析空间理论。Yau证明了Calabi猜想不仅影响了代数几何和微分几何同时影响了经典广义相对论。同时对于我们可以看出非线性常微分方程和偏微分方程在微分几何中的重要地位。Cartan研究对称Riemann空间，得出了重要的分类定理，给出了1、2、3维空间中齐性有界域的完全分类，证明它们都是齐性对称域，同时他猜想：这种等价关系在n维情形也成立。1959年，Piatetski-Shapiro却在研究对称有界域的自守函数论的过程中找到了两个反例，在4维和5维的情形中各找出一个齐性有界域，它们不是齐性对称域，他将这些域命名为Siegel域，以纪念Siegel在1943年研究自守函数论方面的深刻工作。Piatetski-Shapiro的这个结果深刻影响了多复变函数论和自守函数论，同时对于对称空间理论等一系列课题产生深远影响。正如我们知道的，Cartan将对称空间的研究化为Lie群和Lie代数的研究，这个观点直接受Klein的影响而又大大发展了Klein的初步想法。当年也正是Cartan发展了Levi-Civita联络的概念，发展出微分几何中的一般联络理论，通过流形上各点切空间的同构映射，实现了Klein的梦想，同时大大促进了微分几何的发展。同样是Cartan，断定和乐群在流形研究中的重要性，几经波折，终于在他去世后三十年左右才被证实是正确的。在这里，我们看到了微分几何的浩瀚优美。正如我们熟知的，测地线联系着ODE（常微分方程），极小曲面和高维极小子流形联系着PDE（偏微分方程）。这些方程都是非线性方程，因此对于分析学有着极高的要求。单复变函数论中著名的Cauchy-Riemann方程组联结起PDE和复分析之间的联系，在多复变情形，Cauchy-Riemann方程组不仅空前深化了这个联系而且由于Cauchy-Riemann方程组的超定性（方程个数大于变量个数）导致了奇异的现象。这又使得PDE与多复变函数论与微分几何紧密结合。大多数学习微分几何的学者都被Gauss与Riemann的内蕴几何的无比深邃击晕，被Cartan的活动标架法的优美简洁倾倒，被Chern的示性类理论的博大精深折服，被Yau深厚精湛的几何分析功底震慑。当年年轻的Chern面对整体微分几何时说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山无比向往却一时无法攀到最高峰。但是后来他却赶在Hopf和Weil之前成为这个领域的一代宗师。如果说Cartan发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式的话，那么Chern等人的微分几何不仅在延续Cartan的影响而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展。微分几何仍然像Einstein时代那样和物理紧紧相连并且从物理中不断获取研究课题为什么三维球无法赋予平坦度规却可以赋予共形平坦度规？因为三维球和其他维数的球一样无法与平坦空间建立等距映射，所以无法建立平坦度规；而n维球都是单连通常曲率空间，因此可以可以建立共形平坦度规。在微分几何中，等距的含义就是映射前后流形上对应点之间的曲线距离不变。一个流形与平坦空间等距时其Riemann截面曲率恒为零。因为所有球面的曲率都为正的常数，所以n维球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。但是还有局部共形平坦这个概念，对于流形上两个度规G和g，如果G=exp{ρ}•g，则称G与g之间的变换是共形变换。Weyl共形曲率张量在共形变换下保持不变，它是流形上的（1,3）型张量场。当Weyl共形曲率张量为零时，流形的曲率张量可以用Ricci曲率张量与数量曲率表示，所以Penrose总是强调曲率=Ricci+Weyl。一个n维Riemann流形的度规张量g在局部上共形等价于平坦度规，则称为共形平坦流形。所有截面曲率为常数的流形（常曲率流形）都是共形平坦的，所以都可以赋予共形平坦度规。而所有维数的球面（当然包括三维球）都是常曲率流形，所以必定可以赋予共形平坦度规。反过来，共形平坦流形却未必是常曲率流形。但是有一个和Einstein流形有关的美妙结果可以弥补这个遗憾：3维以上的共形平坦Einstein流形必定是常曲率流形。就是说要想让共形平坦流形却是常曲率流形，就必须要求Ric=λg，而这就是Einstein流形的定义。式中Ric为Ricci曲率张量，g为度规张量，λ为常数。Einstein流形的数量曲率S=mλ为常数。而且如果S非零则其上面不存在非零的平行切向量场。Einstein引入宇宙学常数，使得他错失了预言宇宙膨胀的伟大成就，于是Hubble就飞黄腾达了；但是带有宇宙项的真空引力场方程却产生了Einstein流形，这为数学家的展现才智提供了新舞台。对于3维连通Einstein流形，即使不要求其共形平坦，它也自动是常曲率流形，其他维数不成立这个美妙性质，我是大一暑假学习张量分析时才知道这个结果的，感觉看到这个结果是一种享受。实流形中的截面曲率与Kahler流形中的全纯截面曲率是不一样的概念，因此也产生不一样的结果。全纯截面曲率为常数的Kahler流形，其Ricci曲率必定为常数，所以必定为Einstein流形，称为Kahler- Einstein流形。Kahler流形为Kahler- Einstein流形当且仅当其作为Riemann流形时是Einstein流形。N维复向量空间，复射影空间，复环面以及复双曲空间都是Kahler- Einstein流形。Kahler-Einstein流形的研究成为几何学家的智力享受。再回头讲讲等距映射的一个重要结果。考虑两个Riemann流形M和N间的等距映射以及其诱导的切空间之间的映射，取M上任意点p，在其切空间任选两个不共线的切向量，求出其截面曲率。在映射下p点及其切空间上的那两个切向量在映射下变成另两个切向量，也求出其截面曲率。如果这个映射是等距映射，则这两个截面曲率是相等的。或者含糊些说就是等距映射不改变截面曲率。反过来，如果任意点都成立截面曲率不改变的性质，那么映射是不是等距映射？答案是否定的。甚至在三维Euclidean空间的曲面上都无法成立这个性质。在局部情形，必须加上测地线的限制，应用Jacobi场的性质才能作到这一点。这就是著名得Cartan等距定理。这个定理是Jacobi场的精彩应用。它的大范围推广是Ambrose和Hicks作出的，称为Cartan-Ambrose-Hicks定理。微分几何就是充满无穷魅力。我们给pseudo-Riemannian空间分类，可以用Weyl共形曲率张量分类，可以用Ricci曲率张量分类，也可以用运动群进行分类得出9种Bianchi型。而这些东西都是可以归结到微分几何的研究，这里遥远的Riemann观点和稍近的Klein观点完美结合，这里可以看出Cartan的伟大智慧，这里可以看出Einstein的深远影响。从Hermite对称空间到Kahler-Hodge流形，微分几何不仅与Lie群紧紧相连，也与代数几何和拓扑学血脉相通想起 1895 年伟大的Poicare写伟大的《位置分析》创立组合拓扑时曾经毫不掩饰地说高维空间的微分几何是意义不大的学科，对此他说了句：“家有美景，何须远求。”（Chern译）拓扑就是家中美景，干吗要辛辛苦苦计算曲面甚至高维流形的曲率？可是这次这个全才数学家错了，但我们能不能说这位数学天才对微分几何没有大贡献？不能。看看今天微分几何与拓扑学的紧密相关我们就知道了。一个闭形式何时才是恰当形式？在同伦于点的区域（单连通区域）有Poicare引理之逆告诉我们这个自动成立。在非单连通区域有著名的de Rham定理告诉我们如何成立，那就是微分形式在所有闭链上的积分为零。即使在Poicare所忽视的微分几何领域，他仍然以一种不经意的方式深深影响了这个学科，或者毋宁说是影响了整个数学。任何一门学科创立后都寻求推广的性质，微分几何也是这样。从曲率上来说，平直的Euclidean空间曲率为零，几何学家推广到曲率为正常数（狭义的Riemann空间）和负常数的空间（Lobachevskii空间），我们知道，非欧几何的伟大之处不仅在于它独立了第五公设而且用其他情况替代而导致新几何，更在于它的创立者能在其上进行三角分析。但是著名数学家Milnor所说，在微分几何进入非欧几何之前，非欧几何只是没手没脚的躯干而已。只有在定义了度规以后进行曲率的统一计算之后，非欧几何才焕发出生机。Riemann在1854年的演讲中只写下了一个公式，就是这一个公式统一了正曲率、负曲率和零曲率的几何。后人大都认为Riemann这个公式又是凭直觉想出来的，实际上后来人们发现了他计算这个公式用的草稿纸，才知道天才也是要勤奋的。Riemann已经探索任意维数的任意曲率流形的曲率了，但定量的计算超越了那个时代的数学工具，他只能写出常曲率流形的统一公式。但是我们知道，即使到今天，这个结果仍然是重要的，微分几何的名目繁多的“比较定理”都是以常曲率流形为比较模本的。当年Riemann曾经考虑了二次微分形式的二次方根,这就是我们都熟悉的Riemann metric,由此导出Riemannnian geometry,当时他特意提及另一个情形,就是用四次微分形式的四次方根(相当于四元乘积的和开四次方).这是两者的联系与区别。但他却说对于这种情况和前面一种情况在研究上并不要求实质上不同的方法。还说,这样的研究比较费时间并且对空间无法增加新的认识,计算的结果也缺乏几何意义。所以Riemann只研究了现在称为Riemann metric的情形。为什么后世的Finsler热衷于推广Riemann不想研究的情形?可能是数学家好推广以致于成为癖好。Cartan当年在Finsler几何方面作过努力,但成效不大,Chern对这种几何确实也寄予厚望同时也研究出一些成就.但我仍然和国际上的普遍看法一致,那就是Finsler几何前途黯淡. 这也正是Finsler几何一直无法进入微分几何主流的本质原因,它没有真正值得几何学家去奋斗的优美性质,也没有什么大的应用价值.后来的K-展空间,Cartan空间也都没有成为主流,虽然它们都是Riemannnian geometry的推广,但是没有得到什么大的发展. 实际上,有时候推广的东西能够得到的新内容不多,微分几何也是这样，不是研究的对象越平凡越好，而是应当适当的特殊才好。比如Riemann流形中,齐性Riemann流形特殊,就具有更多优美的性质,齐性Riemann流形中,对称Riemann流形更特殊,所以性质更优美.这是从流形上Lie群的作用角度分析的。从度规的角度分析,定向偶数维的Riemann流形上赋予复结构,形成复流形,性质就极其优美。近复流形只有在近复结构可积时才成为复流形。复流形必定可定向，因为可以很容易求出它的Jacobian必定非负，而实流形在一般情况下没有这个性质。再缩小范围,Kahler流形更加具有很好的性质，Kahler流形的所有复子流形都是Kahler流形，而且还是极小子流形（Wirtinger定理），这个优美的结果迷倒了多少微分几何学家和代数几何学家，因为其他更一般流形不成立这个优美结果。如果要求 (复)三维Kahler流形的第一Chern数为零,可以得出Calabi-Yau流形,这是理论物理学家极其有兴趣的流形。Calabi-Yau流形的镜流形同样是代数几何域微分几何共同的课题。流行上的Hodge结构至尽都是有着无尽吸引力的课题。微分几何，一个道不尽的话题。就像代数几何中要求双有理等价是个奢求一样，微分几何中要求等距变换何尝不艰难。分类学是整个数学的永恒课题。群论中有单群分类，多复变函数论中有区域的分类，代数几何中有代数簇的分类，微分几何也有分类。艰难的课题引起一批批年轻的几何学家和年老的学者的共同冲刺，微分几何的前景无比光明。; 个人分类: 数学天地|6271 次阅读|0 个评论

[转载]微分几何: ChinaAbel 2010-10-29 14:20; 目录 1微分几何的产生 2微分几何学的基本内容 3黎曼几何学的提出 4《埃尔朗根纲领》对微分几何的影响 5广义相对论的产生及其对几何学的影响 6曲线和曲面的整体性质 7整体微分几何的兴起　 7.1外微分形式、德拉姆定理与霍奇定理 7.2黎曼流形的完备性 7.3曲率与拓扑 7.4等距嵌入 7.5纤维丛 8微分几何和分析学新的结合微分几何学，数学的一个分支学科，主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的几何性质。微分几何的产生微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。 1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。微分几何学的基本内容微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓活动标形的方法。对任意曲线的小范围性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线转化成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。黎曼几何学的提出　　　在三维欧氏空间E 3 中，与曲线相比，曲面有着重要得多的性质。设x 1 ，x 2 ，x 3 为E 3 的笛氏坐标，则曲面S的参数方程为 (1) 曲面S的几何性质完全由被称为曲面的第一、第二基本形式的两个二次微分形式所决定。　　　　1827年德国数学家C.F.高斯的论文《弯曲曲面的一般研究》在微分几何学的历史上有重大的意义。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带有根本性的内容，他在论文中建立了曲面的内在几何学，其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上一区域的面积、测地线、测地曲率和总曲率等等，称之为曲面的内在性质。　　　　高斯之前的几何学家，在研究曲面时总是把曲面与外围空间E3相联系，找出曲面上一点的主方向，再计算两曲率线的法曲率的乘积，这是欧拉的研究。高斯证明了由曲面的第一基本形式就确定了曲面的总曲率，这就是高斯方程，所以总曲率通常也称为高斯曲率，这是高斯的著名发现，被称为极妙定理。他说：如果一个弯曲的曲面可展开到任何另外的曲面上去，则每点的曲率是保持不变的。这里，可展表示了映射是1-1（一一）且保持距离的。高斯建立的内在几何学有着深远的影响，是在微分几何上的一关键而重大的突破，但当时并未被人们所认识。　　　　更重要的发展属于德国数学家（G.F.）B.黎曼。1854年他在格丁根大学发表了题为《论作为几何学基础的假设》的就职演讲，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧氏空间中的一个几何实体。他发展了空间的概念，首先提出了n维流形（当时称为多重广延量）的概念，其中的点用n个实数(x 1 ，x 2 ，，x n )作为坐标来描述，他定义了流形上无限邻近两点(x i )与(x i +dx i )(i=1，2，，n)的距离， (2) 并以此作为几何学的出发点。后来称(2)为黎曼度量，这里(g ij )是正定对称阵。黎曼认识到度量(2)是加到流形上去的一个结构，因此，同一流形可以有众多的黎曼度量。黎曼以前的几何学家只知道外围空间E 3 的度量赋予曲面S以诱导度量，　(3) 即第一基本形式，而并未认识到曲面S还可以独立于E 3 而定义，可以独立地赋予度量结构。黎曼意识到这件事是非凡的重要，他把诱导度量与独立的黎曼度量两者分开来，从而开创了以(2)为出发点的黎曼几何。这种几何以种种非欧几何作为其特例。例如，这时可以把　（是常数） (4) 作为两个无限邻近点的距离，当0时，就是球面几何或椭圆几何（又称为正常曲率空间的几何），=0时就是欧氏几何，0时就是罗巴切夫斯基几何或双曲几何，又称负常曲率空间的几何。　　黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。在两个不同坐标系x 1 ，x 2 ，，x n 与x 1' ，x 2' ，，x n' 中，给定两个二次微分形式与，求存在坐标变换 (i=1，2，，n)将一个微分形式变到另一个的条件，这个问题1869年由 E.B.克里斯托费尔与 R.（O.S.）李普希茨解决。克里斯托费尔的解包含了以他的名字定名的记号，即第一类克里斯托费尔记号和第二类克里斯托费尔记号：， (5) 及协变微分的概念。在此基础上，1887～1896年间G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本的作用。里奇和他的学生T.列维－齐维塔在研究报告《绝对微分法及其应用》(1901)中对里奇计算法作了详细的综述。　　《埃尔朗根纲领》对微分几何的影响　　比克里斯托费尔、李普希茨解决二次微分形式的相互转换问题稍迟一些，1872年（C.）F.克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，这就是把几何学定义为研究变换群所作用的空间，例如欧氏空间具有刚体运动群，所研究的对象是在刚体运动群下不变的性质。射影空间具有射影变换群，仿射空间与共形空间分别具有仿射变换群与共形变换群等等。这样就用变换群对已有的几何学进行了分类。这些几何学中所研究的对象是在相应变换群下不变的性质。这种用群论统一几何学的思想把几何学与李群结合起来了。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起为E.J.威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起为以G.富比尼为首的意大利学派所发展。20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С..菲尼科夫等进一步发展了射影微分几何。　　　　另一方面，克莱因的《埃尔朗根纲领》与狭义相对论完美地相配合，狭义相对论中的一个原理是洛伦茨群下场方程的不变性，这导致了克莱因成为狭义相对论的最早支持者之一。洛伦茨结构在相对论中起了基本的作用。　　　　当克莱因制定《埃尔朗根纲领》时，已观察到黎曼几何并不包括在内，因为一般的黎曼空间，除恒等变换外，并不含有其他等长变换。经过W.K.J.基灵，.(-J.)嘉当的努力，使得李群成为微分几何的有力工具，而李群本身也成为微分几何的研究对象，它的推广就是齐性流形即容有可迁变换群的微分流形，这就给出了埃尔朗根纲领中所设想的几何空间的最一般形式。在齐性流形中，具有正定黎曼度量的齐性黎曼流形，特别是对称空间，显得特别重要。　　广义相对论的产生及其对几何学的影响　　　黎曼几何的建立对近代物理学产生了巨大的影响。黎曼对引力论很有兴趣，曾对牛顿的引力论发生怀疑，牛顿的引力是一种超距作用，而黎曼认为引力作用应通过接触来传递，但他并没有把黎曼几何用于引力论。50年后，爱因斯坦创立了新的引力理论──广义相对论，黎曼几何（严格地说是洛伦茨几何，这时(2)中所定义的ds 2 是非正定的二次微分形式）及其运算方法（里奇计算法）成为广义相对论有效的数学工具。爱因斯坦引进了约定求和这一很有用的符号。广义相对论的产生对微分几何的影响是令人震动的。当时黎曼几何成为研究的中心课题，斯考顿、列维－齐维塔、.嘉当及艾森哈特等人的关于黎曼几何的权威著作几乎都出现在1924～1926年期间。　　　　爱因斯坦在狭义相对论中，把时间与空间作为相关的量一起来考虑，构成了一个四重广延量，这显示了时空概念的一个根本性变化。这时，时空中两点(x i )，(x i +dx i )(i=1，2，3，4)的距离由非正定的二次形式　 (6) 所描述，其中x 4 =сt，с是光速，t是时间。这种具体形式是闵科夫斯基空间，或称闵科夫斯基四维时空，简称四维时空，它是洛伦茨流形中的一个特例。　　　　广义相对论采用的是洛伦茨流形，这时ds 2 是非正定的，它的特点是在任何一点的小邻域中和闵科夫斯基时空性质相近似。引力论的基本问题是要说明质点在引力作用下的运动轨线问题，在广义相对论中运动轨线为流形上类时（即弧长平方为负）的测地线，类时意味着质点的速度低于光速，测地线是变分　 (7) 所得微分方程的解。　　爱因斯坦的引力场方程是一个关于g ij 的二阶偏微分方程　　　 (8) 式中R ij 称为里奇张量，是由g ij 的一、二阶导数构成的；，其中由所确定；T ij 是描述物质分布的能量动量张量。特别，真空中的引力场方程由R ij =0所表述。如果弯曲空间化为平直空间，则表示引力场不存在，这时质点作匀速运动。　　　　爱因斯坦的广义相对论的思想来自物理学的研究，但值得注意的是从欧几里得几何学到黎曼几何学经历了二千多年时间，而从闵科夫斯基时空到洛伦茨流形只经过十年时间，这是因为黎曼几何学的张量分析已为此作了一切数学上的准备。爱因斯坦在建立广义相对论的过程中得益于数学家M.格罗斯曼，在发展广义相对论过程中他和.嘉当进行了许多的讨论，D.希尔伯特也参加建立场方程的研究。　　　　把黎曼几何应用于广义相对论时，列维-齐维塔平行移动的概念具有相当的重要性。（C.H.）H.外尔在1918年的名著《时间，空间，物质》中引进了仿射联络的概念，它是黎曼流形中列维－齐维塔平行移动的推广。在流形上可以用仿射联络作为出发点来定义平行移动和协变微分等结构，这样，仿射联络就不必从黎曼结构来得出。外尔所给出的联络是无挠率的（即对称的）。流形上定义了仿射联络，就得到仿射联络流形。　　　　.嘉当在他的主要论文《仿射联络流形及广义相对论理论》（1923～1924）中给出仿射联络的权威性论述，并将仿射联络这一概念推广到有挠率的情况。文中主要说明为什么爱因斯坦引力论是牛顿引力论的推广，后来他更进一步建立了各种联络理论，例如射影联络、共形联络等。　　　　黎曼几何还有另外的推广，P.芬斯勒以一般的出发建立了一种度量的几何学，F只是dx j 的正齐二次函数而不必要求它为二次型，也就是说g ij 除依赖于x之外，还是dx的正齐0次函数。对这种空间也引进了联络、曲率等等概念，从而得到芬斯勒几何。随后，还有很多的推广，得到的空间通称为一般空间。　　曲线和曲面的整体性质　　　在古典的曲线论和曲面论中，人们所研究的问题已可分为两种类型:局部问题与整体问题。曲线或曲面在一点充分小邻近成立的性质是局部性质。例如，曲线在一点的切线、法平面、曲率、挠率，曲面的切平面、法线以及各种曲率的概念都是局部性质。整体性质则是考虑整个曲线或曲面上的性质，它与局部性质所得出的定理时常是极不相同的。例如，平面凸闭曲线成立四顶点定理，即它的曲率至少有四个极值点。又如，对任何曲面，局部来说，两邻近点之间有且仅有惟一的测地线弧相连结，但从整体来说，这个问题就相当复杂。例如，欧氏空间的测地线是直线，任意两点之间有且只有一条直线段相连结，球面上的测地线是大圆弧，球面上任意两点A、B(如果不是对顶点)，可有两条测地线弧（优弧与劣弧）相连结，A、B是对顶点时，它们之间则有无限条测地线弧相连结。如果考虑闭测地线，则可看到欧氏空间没有闭测地线，而球面上任何测地线（即大圆）都是闭的。至于一般曲面有可能存在闭测地线，也有可能不存在闭测地线，可有许多情况，讨论闭测地线的存在性就是一个整体性质。　　　　又如，欧氏空间的曲面由第一、第二基本形式所决定。如果两个曲面小片S 1 ，S 2 ，它们的第一基本形式相同，第二基本形式不同，则称S 1 与S 2 是互为变形的。三维欧氏空间的一小曲面片总有无穷个曲面与它相变形，然而这个性质整体上是不成立的，例如球面以及一般的凸闭曲面不存在与之变形的曲面，这称为球面的刚性定理及凸闭曲面的刚性定理。讨论小曲面片的变形问题是局部性质，讨论曲面的变形问题则是整体性质。曲面上测地线弧的指标（它表示测地线弧的两端固定时，使其长度得到缩短的变形的维数）是一个整体的不变量。　　　　曲面的整体性质的一个重要结果是高斯-博内定理，它指明，在闭曲面S上，总曲率K的积分除以2就是曲面的欧拉数。等于1减去曲面上洞的个数，是个拓扑不变量，因而这个定理建立了曲面的微分几何量与曲面的拓扑量之间的重要联系。　　　　此外，希尔伯特还发现，双曲平面（二维的双曲几何）不能在三维欧氏空间中完整地实现，尽管它在三维欧氏空间中局部地实现对于双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）的被承认起了重大的作用。　　　　曲面和曲线的整体性质的研究激起了人们对整体微分几何的巨大兴趣。　　整体微分几何的兴起　　　现代微分几何学所研究的对象是微分流形，其上还配有附加的结构。例如，微分流形上引进黎曼度量、洛伦茨度量、辛尺度这些结构后，就分别成为黎曼流形、洛伦茨流形和辛流形，相应地也就丰富了几何内容。　　外微分形式、德拉姆定理与霍奇定理　　微分流形上的外微分形式是一个微分几何量，对它可进行外微分运算，这在几何上十分重要。外微分形式实际上是多重积分的积分元。一个外微分形式的外微分如等于零，则称它为闭形式，微分流形上r次闭形式全体构成一个线性空间。一个r次外微分形式如果是另一个(r-1)次外微分形式的外微分，则称之为正合形式。正合形式是闭形式，它所构成的线性空间是闭形式所构成的线性空间的子空间。闭形式可以划分为一些类，称为上同调类，两个r次闭形式当且仅当它们之差是一个正合形式时属于同一个上同调类。这些上同调类全体构成一个线性空间──上同调空间H r 。以瑞士数学家德拉姆而命名的著名定理说明：对于紧致流形，上同调类空间H r 必是有限维的，并且维数恰等于微分流形上第r个贝蒂数。贝蒂数是流形的拓扑不变量，它描述流形上有关连通的性质。在流形上引进了黎曼度量后，霍奇引进了调和形式的概念，并证明了著名的霍奇定理:在一个定向、紧致黎曼流形上，每一上同调类中有惟一的调和形式。这个定理是复变函数理论中紧致黎曼面的一些基本结果的一个重大的推广，它在代数几何中有重要作用。这两个定理提供了流形上局部性质与整体性质的联系，建立了流形上微分结构、拓扑结构及黎曼结构的深刻的制约关系，具有十分重要的意义。　　黎曼流形的完备性　　　在黎曼流形的研究中，完备性是一个很重要的概念。在黎曼流形上，两点之间可以定义距离，因而可成为一个度量空间，这个度量空间在拓扑意义下的完备与任一测地线均可无限延伸（依弧长或仿射参数）这一性质相等价，从而形成了完备黎曼流形的概念。特别，紧致黎曼流形是完备的黎曼流形。霍普夫与里诺给出了下述结果：完备黎曼流形上每二点均可用一极小测地线相连结，其长度就等于二点的距离。　　　　引进了完备性这一概念后，也推进了对三维欧氏空间曲面论的整体性质的研究。例如：对于曲率为常数的曲面的完备性的研究有：1959年P.哈特曼与L.尼伦伯格证明了完备的可展曲面必为柱面，迈尔斯与李卜曼证明了正常数曲率定向的完备曲面必为球面。　　曲率与拓扑　　　黎曼流形的曲率是微分几何中最重要的几何量之一，曲率和流形的拓扑结构之间的联系是一个十分重要的问题。美国数学家C.B.艾伦多弗和法国数学家A.韦伊与陈省身用不同的方法将紧致曲面上的高斯-博内公式扩充到高维曲面和紧致黎曼流形上去，这是微分几何上很重大的一项进展。另外，J.（-S.）阿达马和.嘉当发现：单连通的、曲率非正的完备黎曼流形必同胚于欧氏空间Rn。这也是极富有启发性的成果。　　　　对于黎曼流形来说，有三种不同层次的曲率，一种是截面曲率，它相应于在每点某一平面方向所相应的曲率。另一种是里奇曲率，它是由截面曲率以适当的形式作和而成。第三种是数量曲率，它是里奇曲率的迹。这三种曲率和流形的拓扑性质之间有很强的相互制约作用，这方面的研究成果非常丰富，而且是微分几何主要研究方向之一。　　等距嵌入　　　嵌入问题是指一个具有某种结构的流形是否可以作为高维欧氏空间的子流形的问题。当只涉及微分结构时，惠特尼在1936年证明了每一个n维的微分流形均可以嵌入到一个2n+1维的欧氏空间中，美国另一数学家C.B.莫利证明了对紧致的实解析流形这个结果也成立。　　　　等距嵌入是研究一黎曼流形是否能与高维欧氏空间的子流形成等距对应的问题。对于局部的等距嵌入，瑞士数学家L.施勒夫利很早就作了下述预测:n维的黎曼流形总可等距嵌入到维欧氏空间中去。1926年法国数学家H.约尼和.嘉当在黎曼流形上添上解析这一条件时证明了这个预测。因此，作为特例，一个二维的解析黎曼度量总可局部地作为三维欧氏空间中某个曲面的第一基本形式。当流形非解析时，情况相当复杂，至今还是一个研究课题，当曲率K在曲面上变号时，任一个二维黎曼流形是否可局部地等距嵌入到三维欧氏空间，已经有若干结果。　　　　黎曼流形的整体等距嵌入定理于1954～1956年由J.纳许等所给出：n 维黎曼流形总可等距嵌入到欧氏空间E ，如流形为紧致时，则可嵌入到E ；如果只考虑C 1 等距嵌入，则n维黎曼流形可嵌入于E ；如果M紧致则可嵌入到E 。纳许的方法后来对非线性分析和非线性偏微分方程的求解产生了重要影响。　　纤维丛　　　在整体微分几何发展中，纤维丛及其上的联络论的产生和发展，占有显著的地位。基本的纤维丛有向量丛和主丛，前者包括切丛、余切丛、张量丛及一般性的推广，后者是由标架丛抽象而成。在黎曼几何研究中所产生的列维－齐维塔联络被推广为仿射联络、射影联络、共形联络、然后形成了一般向量丛或纤维丛上的联络论，它以优美的形式把几何学的群的结构和流形上的微分结构有机地结合起来，陈省身-外尔映射用代数的方法通过联络和曲率作出了底流形上的一些上同调类，这种上同调类称为示性类包括陈示性类，欧拉示性类，庞特里亚金示性类等，它们都能表示纤维丛的拓扑性质。　　　　纤维丛上的联络论成为理论物理学家的有力工具，杨振宁和米尔斯所提出的规范场理论是在物理学中形成的纤维丛上的联络论，不仅如此，他们对纤维丛上的联络提出了一个过去数学家没有想到过的偏微分方程（后称为杨-米尔斯方程），这个方程不仅对物理学，而且对纯粹数学发生了重大影响。此外，联络论中的一些示性类和示性数，也得到了物理学上的解释，成为物理学中的各种粒子数，如磁单极数、瞬子数等等。由于这些事实，微分几何和理论物理的关系就更其密切了，可以说是在爱因斯坦广义相对论后的一个新的高潮。　　微分几何和分析学新的结合　　　微分几何的研究与发展离不开微分方程，达布的《曲面论》一书就包含了丰富的古典微分方程的内容。.嘉当和凯勒所发展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的方法。　　　　整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及与之有关的非线性分析。　　　　在线性理论中，一个突出的成果是阿蒂亚和辛格的指标定理，紧致微分流形上的一个线性椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有限数，其差称为指标，这个定理指出，这种指标可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关的拓扑不变量，而过去的黎曼-罗赫定理，希策布鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。　　　　微分几何学所遇到的偏微分方程大多是非线性的，调和函数的概念被推广成黎曼流形间的调和映射，它联系于一个推广的狄利克雷积分的变分问题，其欧拉方程是非线性的椭圆型方程组，J.伊尔斯等人用了多种分析的技巧证明了各种存在性和不存在性定理，近年来，R.舍恩和K.K.乌伦贝克又对广义解的奇性作了深入的分析。极小曲面理论近年来得到更深入的发展，研究范围日趋广泛，而且对流形的拓扑以及广义相对论中的数学问题均有重要应用。在调和映射、极小曲面，以及其他许多微分几何问题上，大范围变分方法成了重要工具，非线性泛函的极小元素或临界元素的正则性和存在性起了很大作用。如果考虑洛伦茨流形到黎曼流形的调和映射，就归结为双曲型偏微分方程的整体解的存在性问题，这方面成果国际上较少，谷超豪证明了闵科夫斯基平面到完备黎曼流形的调和映射的柯西问题的整体存在性定理，某些调和映射在物理学中称为非线性模型，是物理学家独立地提出的。　　　　有些微分几何学问题还必须求解真正非线性偏微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复的蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的与非线性偏微分方程有关的几何问题。　　　　具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用。; 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书评三本经典的黎曼几何名著(BULLETIN OF AMS): ChinaAbel 2010-10-14 23:58; 半个多世纪以来，黎曼几何一直是数学的主流，各种黎曼几何书籍汗牛充栋，除了陈老爷子（陈省身）的书外，不得不提到以下三本书： Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 4nd,by J. Jost, Universitext, Springer, New York, 2008, Riemannian Geometry, by P. Petersen, Graduate Texts in Mathematics, vol. 171, Springer-Verlag, New York, 1998, Riemannian Geometry, by T. Sakai, Translations of Math. Monographs, vol. 149, Amer.Math. Soc., Providence, RI,1995 下面是BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY上的有关这三本书的一篇评论文章，我认为写的比较好，拿出来与大家一同分享！ BOOK REVIEWS; 个人分类: 数学天地|7788 次阅读|0 个评论

微分流形与黎曼几何学习笔记: 热度 4 ChinaAbel 2010-6-8 08:57; 由于种种原因要恶补一下微分流形和黎曼几何，吸取一下前辈们的经验，也希望大家能提供一些更好的经验！ 1 自几何佳缘在这方面我是很有感受的。我整理了一些心得笔记，打算以后给学生上课的时候，把这些内功心法传授给他们。这里先随便讲两句。如果楼主想聊聊的话，可以写信到我的百度邮箱。以前研究生时候，我学过微分几何，用的是陈维桓那本。但是学了之后还是不得要领。因为我们的老师只是照着书念，根本没有讲出精髓来。直到后来，我重学的时候，才恍然大悟，接下来可以说是一通百通。到底是怎么回事呢？且待我慢慢道来。 (I)首先我这次选的书非常好--可以说是机缘巧合。我用的书是侯伯宇《物理学家用的微分几何》。这本书有几个特点：它讲述概念非常直观简洁，而且会告诉你这些概念的物理北景；对重要的定理结论，它不给证明，但是会详细解释它的几何意义和物理意义。初学者看此书是非常省力的。忠告：如果你初学微分几何，千万不要看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，这本书已经是高度提炼了。你没有好的几何背景根本不能消化--比如联络那一章就是。 (II)其次，侯的《物》里说了一段话，使我顿悟微几的关键所在。他告诉我们，微分几何的概念结论等等都是在一个原则下展开的：所讨论的东西都要与坐标选取无关。书中引用爱因斯坦一段话，说爱氏花了7年之功才建立广义相对论，其原因就在于他一直努力摆脱坐标系的困扰。忠告：不管你学到哪个概念，你一定要牢牢记住这个原则。举例来说，为什么定义切空间和与切空间要这么大费周章从等价类入手？就是因为它要让定义出来的东西和坐标无关。明白这个原则，基本上就越过了学微几的第一道坎。后面可说是事半功倍。 (III)学微几的另一个重要原则就是：内蕴的思想。你碰到的所有概念和结论都是内蕴的。就是说他们只和这个流形有关，和流形所在的大空间无关。这和本科的《曲面微分几何》不同，那里定义的东西常常是在3维空间里看的。忠告：牢记这个原则！在你学了公理化定义的联络以及黎曼度量以后，再回过头来看，就会明白为什么人家煞费苦心来做这些事。 (IV)理解切空间和与切空间，以及他们的张量，是微分几何入门的关键！记住上面讲的原则，你再去看一遍体会体会就会领悟的。这里不再多讲。我只想说说张量。如果看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，那你对张量的理解永远只是表面，你最多只知道他的代数定义。为什么我们要在微几里讨论张量呢？你要是不知道很多背景，就不能体会其用意。比如黎曼度量，他就是一个二阶张量。首先你要明白二阶张量不过就是矩阵！一般的张量不过是矩阵的推广！你回忆一下，向量可以看作一个1维数组，矩阵可以看作2维表格，那么3维表格不就是3阶张量吗？所以无非是要造一个在流形上处处有定义的矩阵，并且这个矩阵和坐标无关。怎么才叫和坐标无关呢？这就引出了我们说的协变规律反变规律等等。然后你在回忆一下，我们在曲面微分几何里怎么定义度量，那时候曲面的度量就是3维空间度量限制在它上面，这不是内蕴的方式。所以人们要绕个弯子，从张量上来重新定义度量，因为张量是内蕴概念，只和这个流形有关。上面的说明就是要你看到，我说的这两个原则是怎么始终贯穿在学习理解中的。 (V)学习联络又是一个很难过的坎。你要是直接看那种公理化的定义，最多只能像大多数人一样，只会背诵法律条文。这个时候，你要先去看那种不是内蕴的定义方式。然后你才会真正明白联络的几何意义，知道人家为什么这么做。公理化定义只是为了满足我刚才说的两个原则。你可以参看《黎曼几何讲义》作者记不大清了，好像有一个姓白。封面是蓝色的，版本较旧。这本书写的联络一章非常好。 (VI)过了这几关，基本上可以轻松读完陈维桓的那本书。微分几何真正困难的东西，初学者是学不到的。初学者的困难就在于没有真正把握住我说的那两条原则。上面说的都是我的经验之谈，我就是这么学过来的。黎曼几何的切入口 ( http://physt.org/bbs/viewthread.php?tid=95 ) 一般从直观的角度来说，要研究线的弯曲起码要在二维空间才能进行。（如果是非平面曲线还得在三维空间里）同样面的弯曲只能在三维空间里才能直观地研究。即便如此，三维空间的弯曲还是直观不起来了。因为四维以上的空间无法用图表示。当然用相应的类比还是可以进行研究的。要研究N维空间的弯曲是否至少要在N＋1维空间里才能进行呢? 极而言之，现在假设有一个最高是N维的空间，如果比N维的维数少的空间的弯曲情况还可以在N维空间里研究的话，那么N维空间的弯曲，由于没有更高维的空间，如何研究呢？在N维空间里研究N维空间自身的弯曲看来只能是另辟蹊径了。如果不借助更高维空间，仅通过空间自身的努力来研究弯曲的话，那你相对于黎曼几何的殿堂已经可以说是登堂入室了。此话怎讲。众所周知，在欧几里德空间里，一个矢量作平行移动兜一个圈回到原处，这个矢量的大小和方向都不会发生变化。这因为欧几里德空间是平直空间。那么在一个弯曲的空间里对矢量这样作是否会发生某种变化呢？回答是肯定的！不仅如此，还可以根据其大小和方向变化的多少来判断空间弯曲的程度和特性。换句话说，我们只要将某个矢量在N维空间里兜个圈，研究矢量的变化就可知晓此N维空间的弯曲的情况啦。看！研究N维空间的弯曲不必借助N+1维空间。关于矢量大小和方向的变化先分开来讨论比较方便。关于矢量方向的变化至少和一个叫仿射联络的量有关。如该空间是平直的，那么仿射联络量必为零。如果该空间的仿射联络不为零，则该空间就是弯曲的。不过，大家可要当心！仿射联络为零，该空间可不一定是平直的。因为仿射联络量不是一个张量。一个仿射联络不为零的空间可以通过坐标变换使它在空间的某个局部为零。关于矢量大小的变化则和一个叫度规张量的量有关。一般来说，在弯曲空间里矢量在平移时起码大小是变化的。这个度规张量可以反映空间的种种特性。当这个量与坐标和时间有关时，那么该空间不仅是弯曲的而且是蠕动的。仿射联络与度规张量似乎都能反映空间的弯曲，那么它们之间有什么关系呢？研究表明，度规张量可以完全确定仿射联络。但是仿射联络则不一定完全确定度规张量。为此，我们把度规张量看成是最基本的，并假设仿射联络总可以由度规张量计算出来。在研究矢量平移的变化过程中发现这种变化还和平移的路径有关，由于路径的不同又会引起额外的变化。（事情变得更为复杂了）这个额外的变化与一个叫曲率张量的量有关。曲率张量是唯一可以由度规张量的二阶导数的线性组合而构成的张量。此外如果该空间过分七翘八扭则还得考虑挠率张量等等。关于曲率张量按理应该大书特书一番。由于牵涉面过于复杂，只能点到为止。通过对牛顿引力方程的合理推广、广义相对论及对曲率张量的特定组合，爱因斯坦得出了一个有名的上帝的方程式爱因斯坦方程！黎曼几何竟和广义相对论挂上了钩。爱因斯坦方程就是引力场方程。于是一切就顺理成章了，爱因斯坦方程决定度规张量（物质决定度规张量）度规张量决定曲率张量曲率张量决定空间弯曲度规张量决定仿射联络仿射联络决定物质运动顺便提一下仿射联络的局部为零的参考系相当于引力场中自由降落的升降机。挠率张量的物理效应并不显著，在这方面已经有人做过点文章了，看来意义不大。无论维相还是反相要想绕过黎曼几何几乎是不可能的。下面的文字转自：漫谈微分几何---王善钦(精彩绝伦的文章) http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=374832 微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展。在这里，微分几何与多复变函数论、Lie群理论、代数几何以及PDE都彼此产生深刻的互相影响。数学在不断的分化，又不断交融。多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉，单位圆和上半平面（两者可以建立共形映射）上定义Poincare度规后，单复变函数论与微分几何的联系就历历可见。Poincare度规是共形不变量。著名的 Schwarz定理在引入Poincare度规后就可以解释为：单位圆上Poincare度规在解析映射下不增加，当且仅当此映射是分式线性变换时 Poincare度规不变。应用Poincare度规下的双曲几何可以轻松证明著名的Picard小定理。而Picard大定理的证明需要用到艰深的模函数理论，如果用微分几何观点，也可以以极其简明的方式证明。这里，微分几何深深渗透到复变函数论之中。在多复变函数论中，分析复仿射空间的区域定义度规后，接下来就实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。在单复变情形，所有奇点离散分布，而在多复变情形，由于著名的Hartogs开拓现象，所有孤立奇点都被吞没，甚至于奇点形成的连续区域也经常被吞没，只有形成实余维数为1的流形才可以避免这个厄运。但是，即使这种情形也需要其他限制条件才可以确保安全。多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。1922年Bergman引进著名的Bergman核函数，那个时代的多复变函数还是 Weyl所说的草创时代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几位前辈的著名研究外几乎没有任何实质性进展，Bergman 的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。在多复变函数中的域上的Bergman度量，在一维情形就是单位圆和Poincare上半平面上的 Poincare度量，这注定了Bergman工作的重要性。代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点（代数簇）的性质，代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域，线性空间维数就是扩张次数。从这个观点出发，代数几何可以看成是对有限扩域的研究。代数簇的性质和其基域关系极其密切。对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇，研究的过程中不仅有大量概念和微分几何及多复变函数论重合，而且在研究过程中运用到大量有关的相似工具。复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。许多相关领域的大师，虽然看上去只研究某一领域，但是其结果却影响到其他领域。例如： Lerey研究代数拓扑得出得层论，在代数拓扑中影响不大，单却由于Serre，Weil和H Cartan（ECartan长子）的引进，深刻影响了代数几何和多复变函数论。Chern研究Hermite空间的示性类，但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。Hironaka研究代数几何中的奇点消解，但是他研究的复流形到复解析空间的修改与吹胀则影响了复解析空间理论。Yau证明了 Calabi猜想不仅影响了代数几何和微分几何同时影响了经典广义相对论。同时对于我们可以看出非线性常微分方程和偏微分方程在微分几何中的重要地位。 Cartan研究对称Riemann空间，得出了重要的分类定理，给出了1、2、3维空间中齐性有界域的完全分类，证明它们都是齐性对称域，同时他猜想：这种等价关系在n维情形也成立。1959年，Piatetski-Shapiro却在研究对称有界域的自守函数论的过程中找到了两个反例，在4维和5维的情形中各找出一个齐性有界域，它们不是齐性对称域，他将这些域命名为Siegel域，以纪念Siegel在1943年研究自守函数论方面的深刻工作。 Piatetski-Shapiro的这个结果深刻影响了多复变函数论和自守函数论，同时对于对称空间理论等一系列课题产生深远影响。正如我们知道的， Cartan将对称空间的研究化为Lie群和Lie代数的研究，这个观点直接受Klein的影响而又大大发展了Klein的初步想法。当年也正是 Cartan发展了Levi-Civita联络的概念，发展出微分几何中的一般联络理论，通过流形上各点切空间的同构映射，实现了Klein的梦想，同时大大促进了微分几何的发展。同样是Cartan，断定和乐群在流形研究中的重要性，几经波折，终于在他去世后三十年左右才被证实是正确的。在这里，我们看到了微分几何的浩瀚优美。正如我们熟知的，测地线联系着ODE（常微分方程），极小曲面和高维极小子流形联系着PDE（偏微分方程）。这些方程都是非线性方程，因此对于分析学有着极高的要求。单复变函数论中著名的Cauchy-Riemann方程组联结起PDE和复分析之间的联系，在多复变情形，Cauchy- Riemann方程组不仅空前深化了这个联系而且由于Cauchy-Riemann方程组的超定性（方程个数大于变量个数）导致了奇异的现象。这又使得 PDE与多复变函数论与微分几何紧密结合。大多数学习微分几何的学者都被Gauss与Riemann的内蕴几何的无比深邃击晕，被Cartan的活动标架法的优美简洁倾倒，被Chern的示性类理论的博大精深折服，被Yau深厚精湛的几何分析功底震慑。当年年轻的 Chern面对整体微分几何时说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山无比向往却一时无法攀到最高峰。但是后来他却赶在Hopf和Weil之前成为这个领域的一代宗师。如果说Cartan发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式的话，那么Chern等人的微分几何不仅在延续Cartan的影响而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展。微分几何仍然像Einstein时代那样和物理紧紧相连并且从物理中不断获取研究课题为什么三维球无法赋予平坦度规却可以赋予共形平坦度规？因为三维球和其他维数的球一样无法与平坦空间建立等距映射，所以无法建立平坦度规；而n维球都是单连通常曲率空间，因此可以可以建立共形平坦度规。在微分几何中，等距的含义就是映射前后流形上对应点之间的曲线距离不变。一个流形与平坦空间等距时其 Riemann截面曲率恒为零。因为所有球面的曲率都为正的常数，所以n维球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。但是还有局部共形平坦这个概念，对于流形上两个度规G和g，如果G=exp{}g，则称G与g之间的变换是共形变换。Weyl共形曲率张量在共形变换下保持不变，它是流形上的（1,3）型张量场。当Weyl共形曲率张量为零时，流形的曲率张量可以用Ricci曲率张量与数量曲率表示，所以 Penrose 总是强调曲率=Ricci+Weyl。一个n维Riemann流形的度规张量g在局部上共形等价于平坦度规，则称为共形平坦流形。所有截面曲率为常数的流形（常曲率流形）都是共形平坦的，所以都可以赋予共形平坦度规。而所有维数的球面（当然包括三维球）都是常曲率流形，所以必定可以赋予共形平坦度规。反过来，共形平坦流形却未必是常曲率流形。但是有一个和Einstein流形有关的美妙结果可以弥补这个遗憾：3维以上的共形平坦 Einstein流形必定是常曲率流形。就是说要想让共形平坦流形却是常曲率流形，就必须要求Ric=g，而这就是Einstein流形的定义。式中 Ric为Ricci曲率张量，g为度规张量，为常数。Einstein流形的数量曲率S=m为常数。而且如果S非零则其上面不存在非零的平行切向量场。Einstein引入宇宙学常数，使得他错失了预言宇宙膨胀的伟大成就，于是Hubble就飞黄腾达了；但是带有宇宙项的真空引力场方程却产生了 Einstein流形，这为数学家的展现才智提供了新舞台。对于3维连通Einstein流形，即使不要求其共形平坦，它也自动是常曲率流形，其他维数不成立这个美妙性质，我是大一暑假学习张量分析时才知道这个结果的，感觉看到这个结果是一种享受。实流形中的截面曲率与Kahler流形中的全纯截面曲率是不一样的概念，因此也产生不一样的结果。全纯截面曲率为常数的Kahler流形，其Ricci曲率必定为常数，所以必定为 Einstein流形，称为Kahler- Einstein流形。Kahler流形为Kahler- Einstein流形当且仅当其作为Riemann流形时是Einstein流形。N维复向量空间，复射影空间，复环面以及复双曲空间都是Kahler- Einstein流形。Kahler-Einstein流形的研究成为几何学家的智力享受。再回头讲讲等距映射的一个重要结果。考虑两个 Riemann流形M和N间的等距映射以及其诱导的切空间之间的映射，取M上任意点p，在其切空间任选两个不共线的切向量，求出其截面曲率。在映射下p点及其切空间上的那两个切向量在映射下变成另两个切向量，也求出其截面曲率。如果这个映射是等距映射，则这两个截面曲率是相等的。或者含糊些说就是等距映射不改变截面曲率。反过来，如果任意点都成立截面曲率不改变的性质，那么映射是不是等距映射？答案是否定的。甚至在三维Euclidean 空间的曲面上都无法成立这个性质。在局部情形，必须加上测地线的限制，应用Jacobi场的性质才能作到这一点。这就是著名得Cartan等距定理。这个定理是Jacobi场的精彩应用。它的大范围推广是Ambrose和Hicks作出的，称为Cartan-Ambrose-Hicks定理。微分几何就是充满无穷魅力。我们给pseudo-Riemannian空间分类，可以用Weyl共形曲率张量分类，可以用Ricci曲率张量分类，也可以用运动群进行分类得出9种Bianchi型。而这些东西都是可以归结到微分几何的研究，这里遥远的Riemann观点和稍近的Klein观点完美结合，这里可以看出Cartan的伟大智慧，这里可以看出Einstein的深远影响。从Hermite对称空间到Kahler-Hodge流形，微分几何不仅与Lie群紧紧相连，也与代数几何和拓扑学血脉相通想起 1895 年伟大的Poicare写伟大的《位置分析》创立组合拓扑时曾经毫不掩饰地说高维空间的微分几何是意义不大的学科，对此他说了句：家有美景，何须远求。（Chern译）拓扑就是家中美景，干吗要辛辛苦苦计算曲面甚至高维流形的曲率？可是这次这个全才数学家错了，但我们能不能说这位数学天才对微分几何没有大贡献？不能。看看今天微分几何与拓扑学的紧密相关我们就知道了。一个闭形式何时才是恰当形式？在同伦于点的区域（单连通区域）有Poicare引理之逆告诉我们这个自动成立。在非单连通区域有著名的de Rham定理告诉我们如何成立，那就是微分形式在所有闭链上的积分为零。即使在Poicare所忽视的微分几何领域，他仍然以一种不经意的方式深深影响了这个学科，或者毋宁说是影响了整个数学。任何一门学科创立后都寻求推广的性质，微分几何也是这样。从曲率上来说，平直的Euclidean空间曲率为零，几何学家推广到曲率为正常数（狭义的 Riemann空间）和负常数的空间（Lobachevskii空间），我们知道，非欧几何的伟大之处不仅在于它独立了第五公设而且用其他情况替代而导致新几何，更在于它的创立者能在其上进行三角分析。但是著名数学家Milnor所说，在微分几何进入非欧几何之前，非欧几何只是没手没脚的躯干而已。只有在定义了度规以后进行曲率的统一计算之后，非欧几何才焕发出生机。Riemann在1854年的演讲中只写下了一个公式，就是这一个公式统一了正曲率、负曲率和零曲率的几何。后人大都认为Riemann这个公式又是凭直觉想出来的，实际上后来人们发现了他计算这个公式用的草稿纸，才知道天才也是要勤奋的。 Riemann已经探索任意维数的任意曲率流形的曲率了，但定量的计算超越了那个时代的数学工具，他只能写出常曲率流形的统一公式。但是我们知道，即使到今天，这个结果仍然是重要的，微分几何的名目繁多的比较定理都是以常曲率流形为比较模本的。当年Riemann曾经考虑了二次微分形式的二次方根,这就是我们都熟悉的Riemann metric,由此导出Riemannnian geometry,当时他特意提及另一个情形,就是用四次微分形式的四次方根(相当于四元乘积的和开四次方).这是两者的联系与区别。但他却说对于这种情况和前面一种情况在研究上并不要求实质上不同的方法。还说,这样的研究比较费时间并且对空间无法增加新的认识,计算的结果也缺乏几何意义。所以 Riemann只研究了现在称为Riemann metric的情形。为什么后世的Finsler热衷于推广Riemann不想研究的情形?可能是数学家好推广以致于成为癖好。Cartan当年在 Finsler几何方面作过努力,但成效不大,Chern对这种几何确实也寄予厚望同时也研究出一些成就.但我仍然和国际上的普遍看法一致,那就是 Finsler几何前途黯淡. 这也正是Finsler几何一直无法进入微分几何主流的本质原因,它没有真正值得几何学家去奋斗的优美性质,也没有什么大的应用价值.后来的K-展空间, Cartan空间也都没有成为主流,虽然它们都是Riemannnian geometry的推广,但是没有得到什么大的发展. 实际上, 有时候推广的东西能够得到的新内容不多,微分几何也是这样，不是研究的对象越平凡越好，而是应当适当的特殊才好。比如Riemann流形中,齐性 Riemann流形特殊,就具有更多优美的性质,齐性Riemann流形中,对称Riemann流形更特殊,所以性质更优美.这是从流形上Lie群的作用角度分析的。从度规的角度分析,定向偶数维的Riemann流形上赋予复结构,形成复流形,性质就极其优美。近复流形只有在近复结构可积时才成为复流形。复流形必定可定向，因为可以很容易求出它的Jacobian必定非负，而实流形在一般情况下没有这个性质。再缩小范围,Kahler流形更加具有很好的性质， Kahler流形的所有复子流形都是Kahler流形，而且还是极小子流形（Wirtinger定理），这个优美的结果迷倒了多少微分几何学家和代数几何学家，因为其他更一般流形不成立这个优美结果。如果要求 (复)三维Kahler流形的第一Chern数为零,可以得出Calabi-Yau流形,这是理论物理学家极其有兴趣的流形。Calabi-Yau流形的镜流形同样是代数几何域微分几何共同的课题。流行上的Hodge结构至尽都是有着无尽吸引力的课题。微分几何，一个道不尽的话题。就像代数几何中要求双有理等价是个奢求一样，微分几何中要求等距变换何尝不艰难。分类学是整个数学的永恒课题。群论中有单群分类，多复变函数论中有区域的分类，代数几何中有代数簇的分类，微分几何也有分类。艰难的课题引起一批批年轻的几何学家和年老的学者的共同冲刺，微分几何的前景无比光明。; 个人分类: Higher Order Partial Differential Equati|24474 次阅读|5 个评论

黎曼几何习题 Petersen: zjzhang 2010-1-17 18:32; Petersen This was done intermittently this term. A few days later, I shall be at home to have a good sunshine. So I print this work to my homepage. Wish I have the chance and enthusiasm for later developments. Below is the work for Do Carmo's. http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=253344; 个人分类: 数学|5663 次阅读|1 个评论

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