1 、标量、矢量和张量 电量 q 、质量 m 是标量，而力 F 、速度 v 、电场强度 E 都是矢量。标量只有大小没有方向，而矢量既有大小又有方向。 电偶极矩 d 是矢量， d = qr 。介质的电极化强度 P 是单位体积的电偶极矩，它也是矢量。 将介质置于电场中，介质会产生极化，其极化程度遵循电极化定律： P = αE P 是电极化强度， E 是电场强度， α 是电极化率。 当介质各向同性时， α 是常数， P 和 E 方向相同，且成正比。 当介质各向异性时，介质在不同方向有不同的性质，不同方向的介质加上同样强度的电场，产生的电极化强度不同，且方向也不一定与场强相同。当场强 E 不太大时，电极化定律仍然成立。它可以用分量表示为（只考虑二维空间）： P 1 = α 11 E 1 + α 12 E 2 P 2 = α 21 E 1 + α 22 E 2 也可以用下面的矩阵表示： 场强 P 是矢量，它要用 E 1 、 E 2 两个数表示。而各向异性介质的电极化率是张量，它要用 α 11 、 α 12 、 α 21 、 α 22 四个数来表示。 2 、点的坐标变换 x'oy' 是坐标系 xoy 绕 o 点旋转角 而成。 点 Q 在坐标 xoy 的坐标为 (x,y) ， 在坐标 x'oy' 的坐标为 (x',y') 。 也可以写成： x 1 ’ = a 11 x 1 + a 12 x 2 x 2 ’ = a 21 x 1 + a 22 x 2 即： 3 、二维空间张量的定义 零阶张量：即标量。 一阶张量：即矢量。它的定义如下： 一个量 A ，它在坐标系 xoy 中的值为 （ x 1 ， x 2 ） ，若其在不同坐标系中的变换规律和点的坐标变换规律相同： 则 A 是矢量，也称一阶张量。 二阶张量： 一个量 A ，它在坐标系 xoy 中的值为 （ x 11 ， x 12 ， x 21 ， x 22 ） ，若其在不同坐标系中的变换规律为： 则称 A 是二阶张量。 由此类推，可得其他高阶张量的定义。 膺矢量的定义： 在坐标转动时取正号，坐标反演时取负号。而矢量则在任何时候都取正号。 其他膺张量的定义与此类似。 可以验证，各向异性介质的电极化率是二阶张量。
行列式是线性代数中，联系线性方程组解，特征多项式和线性算子标准形式的一个枢纽。在西方科学史上，矩阵起先只是作为行列式所用的表示形式，线性代数的内容早就在这学科形成之前，在行列式的研究中已被了解了。行列式计算的解析表达式，是纯粹用代数方法来讲述这门学问的有力工具，但也因莫名其妙而饱受诟病。 6.1 行列式的几何含义 许多教科书都用莱布尼茨公式作为行列式的定义： 这里 p=(p 1 ,p 2 , …, p n ) 是数组 (1, 2, …, n) 全排列中的一个置换，共有 n ！个，σ (p) 是这置换的奇偶性，奇置换为 -1 ，偶置换是 1 。这是个纯粹用算法程序来定义的函数，很难看出与经验关联足以想象的含义。这公式定义了行列式作为 n 阶方阵中 n 2 个参数作为变量的多元函数，充满了对称的美、抽象方法的奇妙和构造性计算的确定性。也许教科书的作者想让学生，以此领略抽象代数中一些基本构件的联系，以及代数方法的简洁。但猛然来怎么一下，想看懂它和应用的联系，谁都觉得晕。 在科学理论中列为范本的是欧几里德的几何原理，从简单的几条公理出发，纯粹用逻辑演绎出一套定理，无所不包地解释平面几何中一切关系。现代数学走向公理化的形式逻辑推理，抽象的代数方法无疑是最简洁和严谨的。却没去深思，几何研究面对的是图形，物理概念基于经验，抽象的美好来自于对已知具象的涵盖，驱动推理的灵感是心中的直观想象。除此之外，抽象的概念只是个符合定义条件的约束、什么都可代入的容器，逻辑推理只是句法的机械操作搬弄符号，无关语意，没有灵魂。所以符号主义的人工智能，缺乏人类联想的创作性和驱动推理的方向。高度抽象的数学，是到了高级阶段时对前面知识的总结，只在拥有了丰富的经验内容之后，才能显示出价值。对于初学线性代数的学生，用复杂的算法来定义一个重要的数学概念，会让人迷失在算法的程序中，与现实事物无从接轨。 这里给行列式一个可以想象的几何含义的定义，让你能从图像中“看出”行列式的各种性质。 行列式是用矩阵描写平行多面体广义体积的函数，以正负值来表示行列顺序在空间的定向。 在n维空间中，n个线性无关的向量 x 1 ,x 2 ,…,x n 构成了一个平行多面体，它的广义体积是以这些向量为变量的多元线性函数V( x 1 ,x 2 ,…,x n )，这函数有下列性质： 单位正交基向量的函数值等于1，V( e 1 ,e 2 ,…,e n )= 1. （n维单位立方体的体积为1） 如果变量中有两个向量相等，则函数值为0.（退化平行多面体的体积为0） 体积函数对其变量具有线性关系，V(…, a x +b y , …) = aV(…, x , …) + b V(…, y , …) 。 当 n=2 时，矩阵描写了平行四边形， n=3 时，它是平行六面体，图形如下，你可以想象高维的情况。 V 作为广义体积定义的性质，在线性空间的数域是实数时，符合经验的想象。 应用性质 2 和 3 ，不难推导证明，若变量中两个向量对调位置，则 V 函数乘上 -1 ，这对应着在高一维的空间中，广义的体积作为与这平行多面体垂直向量的长度时它的朝向。 向量 x 1 ,x 2 ,…,x n 在标准正交基 { e 1 ,e 2 ,…,e n } 上，表示为 n 个列向量 A 1 , A 2 , …,A n ，用它们组成一个 n 阶方阵 A = ( A 1 , A 2 , …,A n ) ，代入不难证明上面的莱布尼茨公式。 列向量也可以直接看成是向量，把它们 n 个打包成方阵 A ， A 的行列式表示为 A 到数域的函数， |A| = V( A 1 , A 2 ,…,A n ) ，函数值是这些列向量构成的平行多面体的广义体积。 直接从行列式的几何定义出发，很容易想象，任何方阵如果其中的行向量或列向量是线性相关的，它们形成的平行多面体退化成一个低维空间上的几何体，体积为 0 。所以非零值行列式的矩阵的充要条件是满秩的。 满秩的方阵可以分解为初等矩阵的乘积。任何方阵都可以分解成几个初等矩阵与对角线上只有 1 和 0 的对角阵。对角线上有 0 的对角阵对应着奇异的（不满秩的）方阵，即列向量线性相关，其行列式为零。单位矩阵行列式值为 1 。在这些初等变换中，数乘变换 D i (k) 把其中一个向量变长了 k 倍，面积也成 k 倍，列交换 P ij 改变了向量扫过平行四边形的方向，相反的方向乘上 -1 ，而切变矩阵 T ij (k) 进行剪切变形，将 j 轴向 i 轴方向推斜了 k:1 斜度，保持体积不变，这些初等变换的行列式值分别等于 k ， -1 ， 1 ，所以，方阵的行列式等于分解成的那些初等矩阵与对角阵行列式的乘积。因此，相乘的两个方阵行列式等于它们行列式的乘积。 满秩方阵 A 的转置等于分解它初等矩阵和对角阵转置后的反向乘积 A’ = (P 1 P 2 …P k )’ = P k ’…P 2 ’P 1 ’ ，而对角阵的转置保持不变，初等矩阵转置后行列式不变，所以转置的矩阵行列式保持不变 |A| = |A’| 。这意味着上面几何定义的行列式也可以用在行向量，所有对列操作运算的性质对行也适用。 6.2 代数余子式与向量的外积 中学数学里介绍过，三维向量 a 与 b 的外积是 ，它的结果是一个向量，这向量的长度是由 a 和 b 形成的平行四边形的面积，方向 n 是与这平行四边形平面垂直，按右手定则确定的朝向。将这些向量表示成在 i, j, k 轴的分量形式，可以用行列式的式子来表示： 这里的 i ， j ， k 分别是这些列向量作为坐标表示的单位正交基向量 e 1 ， e 2 ， e 3 ，这个外积向量在这些基向量的分量是这行列式的代数余子式，也可以看成把这两个向量分别投影到与这些基向量垂直的平面上平行四边形的面积。从三维空间中 3 个向量形成的行列式，可以推出 这里 a x b 表示平行四边形面积的法向向量，向量 c 对这法向向量的投影与平行四面体面积的乘积（ a x b ）· c 自然是这平行六面体的体积。这个几何的解释完全与行列式的计算一致。 我们感兴趣的是怎么把这个几何直观推到 n 维空间。把这 3 个向量放在 4 维空间，依行列式的计算有 这说明行列式计算的广义体积，对应着在高一维空间中与这平行多面体垂直向量的长度。这向量可以用行列式表示为 n 个向量在 n+1 维空间上的广义外积。下面进一步解释细节。 教科书都是用公式推导证明， n 阶行列式可以按列（行）展开来计算， |A| = Σ i a ij D ij ，这里的 D ij 叫做 a ij 的代数余子式，它是矩阵 A 中划去第 i 行第 j 列后 n-1 阶行列式的值乘上 (-1) i+j 。这低一阶的行列式如法炮制，又可以用再低一阶的行列式来计算，这种递归算法叫做拉普拉斯定理。然而，从几何解释中直接看出这一点，将给我们更清晰的图像理解。 对应着 A 的第 j 列向量 A j 的代数余子式 (D 1j ,D 2j , …, D nj ) T 组成代数余子式向量 D j ，行列式 |A|= A j · D j 。从行列式是广义体积的几何图像来看， D j 就是 n 维 A 矩阵中，除去 A j 余下的 n-1 个向量，张成 n-1 维空间里平行多面体的广义体积。这 n-1 维的广义体积的向量与它所在的子空间垂直，它与 A j 的内积作为“面积”与“高”的相乘，构成 n 阶行列式的广义体积。 代数余子式向量可以看做三维空间中两个向量外积概念的推广，从三维空间中两个向量平行四边形面积为长度的法向向量，推广到 n 维空间 n-1 个向量平行多面体广义体积为长度的法向向量。代数余子式 A ij 是对应于 j 的法向向量对第 i 坐标轴的投影，这法向量与多面体所在的子空间垂直，相当于这多面体向与第 i 坐标轴垂直的子空间的投影，所以在计算广义体积时，不计这 n-1 个向量在第 i 坐标轴上的分量，在构造余子式的 n-1 阶子行列式中，需要移动矩阵 A 的第 j 列移和第 i 行到子行列式外，其中交换列和行 2n-i-j 次，所以代数余子式要乘上 (-1) i+j 因子。 一般形式的拉普拉斯定理，把这种三维空间中“高”与“面积”的相乘得到“体积”的思路，进一步推广到 n 维空间广义体计算积中，用 k 阶行列式的子式表示的投影到“高”那 k 维部分的向量，与 n-k 阶代数余子式表示的“面积”部分向量的内积。 如果你还没有形成足够的空间想象能力，能通过上面的描述看到几何图像，建议用上面二维和三维空间行列式和向量外积计算，在纸面上画出图形来理解。线性代数课是继平面几何，解析几何之后，对抽象的空间想象能力的训练。抽象概念的想象也是在课程学习中，逐步建立起来能够看到的画面，在学习中忽视了这一点，你就无法看到进一步学习内容中的图像。 6.3 逆矩阵和克莱姆公式 矩阵 A = ( A 1 , A 2 , …,A n ) 的代数余子式向量构成的矩阵 D = ( D 1 , D 2 ,…,D n ) 的转置，叫做 A 的伴随矩阵。代数余子式向量与张成它的 n-1 阶多面体垂直， D i · A j = 0 ， i ≠ j ；由拉普拉斯定理有 D j · A j = |A| ，所以 D T A = |A|I ，这得出非奇异方阵的逆的解析表达式 A -1 = D T /|A| 。 对于线性方程组 A x = c ，将 A 的伴随矩阵左乘方程两边，则得到 |A| x = ( D 1 , D 2 , …,D n ) T c ，所以 x 的第 i 个分量有 |A| x i = D i · c ，由 6.2 节中拉普拉斯定理的解释得知这个内积等于行列式 | D 1 , D 2 ,…D i-1 ,c,D i+1 ,D n | ，当 A 是非奇异时则有克莱姆公式 x i =| D 1 , D 2 , …D i-1 ,c,D i+1 ,D n |/|A| 。 行列式是个有确定结果的算法表达式。无论是求矩阵的逆还是线性方程的解，以及以后的各种应用，都能用它得出解析的式子，这在理论上有很大意义。但是由于它的计算量与其阶数成指数函数关系，所以除了 2 阶等极端情况外，在实践中都是先将矩阵变换成三角阵或准三角阵后再行计算。 6.4 张量和半张量积 行列式的值对于它的列向量（或行向量）都有线性关系，它可以看成是一种斜对称的多线性函数，向量的内积是两个变量的对称双线性函数。研究多线性代数的数学称为张量分析。张量是用来表示在标量、向量和其他张量之间线性关系的多线性函数。它是一种比向量更广泛意义上的“数量”，它的概念可以包括标量、向量、线性算子等等作为特殊情况。在线性空间上线性作用的重数称为张量的“阶（ rank ）”，标量可以看作是 0 阶的张量，向量是 1 阶的，线性算子是 2 阶的。在给定的坐标下，向量表示为 1 维的数组（即列向量），线性算子为 2 维的数组（即矩阵）， r 阶张量为 r 维数组。在坐标变换中依变换的方式不同，其指标可以分成协变和逆变两种，具有丰富的表达能力，在物理和工程上有着广泛的应用。 高维数组在数学和工程问题上经常使用，尤其应用在对多线性和非线性问题的处理，但在显示和分析上十分不便。如果把它们按一定的顺序排成一列或矩阵，规定它们间合适的运算规则，则既可以方便地在书面上显示、作理论分析，又能与原来的数组运算等价。这种新的矩阵运算叫做“半张量积”，是对普通矩阵乘法进行推广。传统上矩阵的乘法 AB ，要求 A 的列数与 B 的行数相等，相乘时 A 与 B 中的相应的元素是 1 对 1 的运算；矩阵的张量积没有这限制，它是 A 中的每个元素与整个 B 矩阵来相乘，但它与传统矩阵乘法不能兼容；而半张量积与张量积一样，对 A 、 B 矩阵的列行数并无要求，其运算规则介乎传统乘法与张量积之间，当列行数相等时即为传统的矩阵乘法，但有倍数关系时就变成其中一个矩阵元素与另一矩阵按倍因子分块配对的乘法，进而推广到任意的两个矩阵。半张量积的这种矩阵运算规则，不仅适用于多维数组排成矩阵后的等价运算，而且它与矩阵的加法有分配律，与矩阵通常乘法有结合律，这是一种漂亮地解决多维数组书面表达、分析、计算和扩展矩阵乘法的设计。这是程代展教授对矩阵理论的原创性贡献，经过十多年普及，现已成为表达有限集合上映射及性质，研究有限集合上的动态系统的演化规律及控制的有力工具，在动力系统、网络、线路设计与检测等方面有许多应用。 （待续） 【补充】贴在评论 之后 一些读者对半张量积好奇，希望给个简单的例子。这里简介一下。 定义：设 A 是 mxn 矩阵， B 是 pxq 矩阵，记 n 与 p 的最小公倍数为 t . 定义 A 与 B 的半张量积为 (A ⊗I t/n )( B ⊗I t/p ) ，这里 ⊗ 是矩阵的张量积（ Kroneckerproduct ）。 注：上述定义中，如果 n=p 称 A 与 B 是等维数，如果 n 与 p 其中一个能整除另一个，则称是倍维数的 , 其他为一般情况。定义是对一般情况给出的。 对于等维数的情况 , 它退化为普通矩阵乘法，倍维数可简化为分块积。因此 , 半张量积是普通乘法的推广。倍维数情况定义左半张量积是最常用的。在这定义下结合律与分配律对半张量积仍成立。 仍然觉得晕？好吧，举例说明。张量积 A ⊗B 意思是 A 中每一个元素与每一个 B 中元素相乘的矩阵，或者说 A 中每一个元素与整个 B 相乘，然后按 A 的布置排出的矩阵，比如说： 假如 A 是 3x4 的矩阵， B 如上是 2x2 的矩阵，它们的最小公倍数是 4 ， I 1 是 1 ， A 与 B 的半张量积 如下 （注： 不是半张量积的标准符号，只是无法找到这标准符号，暂时用它聊以示意） . 因为这是倍维数的半张量积，也可以把 它化简为 A 中的列分成 2 块与 B 向乘。 为什么定义这样的乘法？想一想 A 原来 是个 3x2x2 的三维数组 展成的矩阵 ， A 1 ， A 2 是三维数组的第三个下标的两个断面，为了显示方便把它们并排放一起变成一个矩阵，这第三个下标方向按传统方式与 B 来相乘 （ 想象一下 线性算子的复合），然后再把它们排放成一个矩阵 。想进一步了解它的 理论和 应用，详见： 程代展 , 赵寅 . 矩阵的半张量积 : 一个便捷的新工具 . 科学通报 , 2011, 56: 2664 – 2674 程代展 , 齐洪胜，矩阵的半张量积理论与应用，科学出版社， 2007
7. 黎曼几何 在介绍“内蕴几何”一节中说过，高斯以他的“绝妙定理”建立了曲面内在的微分几何。之后，是高斯的得意门生黎曼，将曲面的概念扩展到流形（ Manifolds ），将内蕴几何扩展到 n 维的一般情形，建立了黎曼几何。 和高斯一样，黎曼（ 1826-1866 ）也是德国数学家，同样出生在贫困的普通家庭。黎曼比高斯刚好小五十岁，于 1826 年生于德国的一个小村庄，有趣的是，按时间算起来，高斯那时候正好在这个地区进行土地测量。时间的巧合，给人一种异想天开神话式的联想：上帝是否就在那时候，将非欧几何 - 黎曼几何的思想种子，植根到了那片被丈量的土地上。 遗憾的是，黎曼只活了 39 岁，不过，他短暂的一生，却对数学做出了杰出的贡献。他小时候家境贫困，但父亲是教堂的牧师，很重视儿子的教育，也注意到黎曼在数学上的杰出能力。因此，父亲没有为了尽早改善家庭的经济状况而阻止黎曼往数学的方向上发展，这才有了现代数学上著名的黎曼面、黎曼几何、黎曼猜想、……等等。 黎曼 19 岁进入哥廷根大学读书时，高斯将近 70 ，已经是那儿鼎鼎有名的教授，正是在听了高斯的几次数学讲座之后，黎曼才下决心改修数学。 1847 年，黎曼转入柏林大学学习，也许是冥冥中某种力量的召唤，两年后他又回到哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。博士毕业后，黎曼为了申请哥廷根大学的一个“无薪”教职，需要作一个难度颇高的就职演说。为了确定论文的选题，他向高斯提交了 3 个题目，以便让高斯在其中选定一个。没想到高斯选中了黎曼当时并没有多少准备的几何基础题目。更没想到的是，正是这篇黎曼花了不到两个月时间准备出来的演讲论文《论作为几何基础的假设》（原文见 【 1 】 ，英文翻译版见 【 2 】 ），提出了一大堆陌生概念，开创了一种崭新的几何体系，令哥廷根的数学同行们大吃一惊。 某些传言可能并不过分，据说当时在黎曼就职演讲的听众中，唯有高斯听懂了黎曼在说些什么。 从前面“内蕴几何”一节中，我们已经知道：根据曲面的第一基本形式，也就是曲面上计算弧长的公式，可以建立起曲面的内蕴几何。三维空间中两个参数 u 和 v 所描述的曲面的第一形式可用下式表达： ds 2 = E du 2 + 2F dudv+ G dv 2 （ 2-7-1 ） 图 2-7-1 ：平面（ a 、 b ）和球面（ c ）上的弧长（微分）表达式 公式（ 2-7-1 ）中的 E 、 F 、 G 是曲面第一基本形式的系数。黎曼在他的就职演说中，将二维曲面的概念扩展为“ n 维流形”，将 E 、 F 、 G 等系数扩展为定义在 n 维黎曼流形上 每一点 p 的“黎曼度规” g ij (p) ： 有了度规，就有了度量空间长度的某种方法，也就才能够测量和计算距离、角度、面积等等几何量，从而建立流形上的几何学。首先，我们可以从图 2-7-1 所示的平面和球面上的弧长微分计算公式，对黎曼度规 g ij 得到一点直观印象。对图中的二维平面和二维球面，下指标 i 和 j 的取值从 1 到 2 ，这时，可以将度规 g ij 写成 2 × 2 的矩阵形式： 总结一下上面 3 种情况下度规的性质： a. 平面直角坐标的度规是个简单的 d ij 函数（ i 等于 j 时为 1 ，否则为 0 ），而且对整个平面 所有的 p 点 都是一样的； b. 平面极坐标的度规对整个平面不是常数，随 点 p 的 r 不同而不同； c. 球面坐标上的度规也不是常数。由上面 a 和 b 的结论可知：同样是描述平面，但如果所选择的坐标系不同，度规也将不同。平面上的极坐标和直角坐标是可以互相转换的，因此，第二种情况 b 的极坐标度规可以经过坐标变换而变成 a 那种 d ij 函数形式的度规。那么，现在就有了一个问题：第 3 种情况的球面度规是否也可以经过坐标变换而变成如 a 所示的那种 d 形式的度规呢？对此数学家们已经有了证明，答案是否定的。也就是说，在 ds 保持不变的情形下，无论你作何种坐标变换，都不可能将球面的度规变成 a 所示的 d 形式。由此表明，球面的内在弯曲性质无法通过坐标变换而消除，黎曼度规可以区分平面和球面或其它空间的内在弯曲状况。 一般来说，黎曼流形上每一点 p 的“黎曼度规” g ij (p) 随 p 点的不同而不同，这种以空间中的点为变量的物理量叫做“场”。 像黎曼度规 g ij (p) 这种具有两个指标（ i 和 j ），并且在坐标变换下按一定规律变化的几何量叫做二阶张量。因此， g ij (p) 是黎曼流形上的 2 阶张量场。不难看出，对 n 维流形上的点 p ， g ij (p) 在给定的坐标系中有 n 2 个分量，因而可以表示成一个 n × n 的矩阵。除了 2 阶张量场之外，黎曼流形上也能定义 0 阶张量（标量）场、 1 阶张量（矢量）场、 3 阶、 4 阶以及更高阶的张量场。 张量在物理及工程上有广泛的应用，尤其是大家所熟知的“矢量”的概念，连日常生活中也都比比皆是：速度、加速度、力、电流、水流、电场、磁场等等，这些既有方向，又有大小的物理量，都可以用矢量来表示。 n 维 空间 的矢量有 n 个分量，标量则只有 1 个分量，比如温度、湿度、密度、能量等，属于标量。 物理量表达的是某种物理实在，应该与人为选择的坐标系无关。因此，标量、矢量、张量等，都是独立于坐标系而存在的。只不过，为了测量和计算的方便，人们总是要选取一定的坐标系，这样一来，这些量在不同的坐标系之下，便有了不同的分量值。然而，无论坐标系如何选取，因为总是对应于同一个东西，总有些量是不会改变的。因此，在坐标系变换时，张量的坐标分量便必须遵循某种规则，才能保证这一点。就好比对于同一个人，不同的人对他可以有不同的称呼：“爸爸”、“儿子”、“爷爷”、“哥哥”、“弟弟”，都有可能。但是，这些称呼之间的变换应该会符合某些逻辑原则，才能保证它们指的是同一个人。 有时候，坐标系的选取可以简化计算，或者更清楚地表征空间的某种性质。前面所说的度规张量就是如此。如果一个黎曼流形上 每一点的 的度规张量都可以写成 d ij 函数形式的话，黎曼将其称之为“平”流形。流形“平”或“不平”，定义在它上面的几何规律将完全不同。 黎曼将二维曲面的球面几何、双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）、和欧氏几何，统一在下述黎曼度规表达式中： 公式（ 2-7-6 ） 中的 a ，是 2 维曲面的高斯曲率。当 a=+1 ，度规所描述的是三角形内角和 E 大于 180 度的球面几何；当 a=-1 ，所描述的是内角和 E 小于 180 o 的双曲几何；当 a=0 ，则对应于通常的欧几里德几何。黎曼引入度规的概念，将 3 种几何统一在一起，使得非欧几何焕发出蓬勃的生机。 如同我们看到的嵌入三维空间中的大多数二维曲面都不是可展的一样，大多数流形都不是“平”的。高斯定义了高斯曲率来描述平面和“不可展”曲面的差异，黎曼将曲率的概念扩展为“黎曼曲率张量”。那是 n 维流形 每个点 上的一个四阶张量，张量的分量个数随 n 的增大变成很大，并且表达式非常复杂。不过，由于对称性的原因，可以将独立的分量数目大大减少。 也可以用黎曼定义的“截面曲率”来描述流形的内在弯曲程度。为此需引进过流形上一点 p 的切空间的概念。在这儿需要强调的是，黎曼研究的是一般情况下的 n 维流形，通常 n=3 ，但我们人类的大脑想象不出，计算机也画不出来这些高维而又“不平坦”的流形是个什么样子，所以只好用嵌入 3 维空间的 2 维曲面的图像来表示这种“弯曲”流形，如图 2-7-2 所示。 图 2-7-2 ：流形和过每一点的切空间 一个 n 维流形过点 p 的切空间是一个 n 维的欧氏空间。设 Pp 是这个欧氏切空间中的一个平面，截面曲率 K(Pp) 定义为以 Pp 作为切平面的 n 维流形 过 p 点 的那个 2 维截面的高斯曲率。在特别情况，如果 n=2 的话，即对 2 维流形而言，只有一个截面曲率，正好就是原来的高斯曲率。 上面的表述对 n 大于 2 的情况不好直观想象，对 n 等于 2 又稍微显得平凡。尽管如此，从图 2-7-2 中，我们仍然可以将 2 维曲面图像添加一些想象而延伸到一般的流形及其切空间，从而得到某种直观印像。 黎曼是把流形概念推广到高维的第一人。流形的名字来自他原来的德语术语 Mannigfaltigkeit ，英语翻译成 manifold ，是多层的意思。一般的流形，不但“不平”，而且其“不平”度还可以逐点不一样，流形的整体也可能有你意想不到的任何古怪形状。不过，黎曼流形仅仅指其中定义了黎曼度规的可微分流形。 形式上来看，黎曼是将高斯的 2 维曲面几何推广到了 n 维，但实际上黎曼所做工作的意义远不止于此。首先，高维流形中的曲率的概念要比 2 维曲率丰富得多。此外，因为黎曼度规是基于弧长微分 ds 的计算公式，所以黎曼几何完全不同于之前的欧几里德几何，或笛卡尔坐标几何那种对整个空间都适用的几何学，而是一种局部化的几何。这是黎曼在几何上迈出的革命性的一步。研究黎曼几何时，我们不需要整个空间，只需要其中局部的一小块就够了。在黎曼流形上的每一点，都可以定义一个切空间，从而再进一步建立起黎曼流形上的微分运算等，这些将在下一节中介绍。 参考资料： 【 1 】 Ueberdie Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität in ponderabeln Körpern,wenn diese nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als demEnthalten von Spannungselectricität mit endlicher Kraft widerstrebendbetrachtet werden (Amtlicher Bericht über die 31. Versammlung deutscher Naturforscher undAerzte zu Göttingen im September 1854) 【 2 】 On theHypotheses which lie at the Bases of Geometry (Bernhard Riemann, translated by William Kingdon Clifford, Nature, 8(1873), 14-17, 36-37) http://www.emis.de/classics/Riemann/WKCGeom.pdf 上一篇：相对论的诞生 系列科普目录 下一篇： 平行移动和协变微分
题目：张量的微分学（刘彤） 主讲：刘彤 时间：（待定） 地点：16楼308 主要内容： 1.反对称张量的微分 2.反对称张量和积分理论 3.复空间中的微分形式 4.共变微分 5.共变微分和度量 6.曲率张量 参考书：《现代几何学：方法与应用（第一卷）曲面几何、变换群与场》（第五版）Б. А. 杜布洛文 С. Л. 诺维科夫 А. Т. 福明柯
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