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[转载]周期化约100个小波滤波器组以分解单位矩阵的误差: SciteJushi 2012-10-13 18:16; 原载新浪SciteJushi http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140101b9d3.html 双正交小波分析滤波器系统有两个低通滤波器, 即尺度滤波器h,h1. 序列长度可以是偶数或奇数，也可能是无穷. 将尺度滤波器序列倒序后取共轭，再与1、-1交替序列相乘，即经过调制实现频谱搬移，两低通滤波器分别变换为了适当的高通滤波器g1和g. 这四个滤波器可构成双正交共轭滤波系统. 将h和g 周期（偶数2N）化，然后再做偶数移位，并取其主值区间，分别得到N个长度为2N的向量，用这些向量作为矩阵的行向量，得到一个（2N）x(2N)维的矩阵A；类似地，由h1和g1可以得到另一个（2N）x (2N) 维的矩阵B. 这两个矩阵定义了一对对偶小波变换 (《基于双正交 FDWT 的雷达数据压缩及目标识别方法》, 电子科学学刊20(1), 44-49,1998). 周期化双正交共轭滤波系统，要求B * A=AB * =E (*表示共轭转置，E表示单位矩阵)，或取共轭转置等价地说A * B=BA * =E. 如果未指定h1, h1为空，就令h1=h，则A=B，那么A * A=AA * =E，则特别地称为周期化正交共轭滤波系统. 从MATLAB (R2011a版) 等文献和工具包中收集了100组滤波器，列在本文末Case 1至Case 100 （增益未标准化，有些Case可能重复）. Case 1至Case 18, 是双正交的例子. Case 19至Case 61, 对应MATLAB中Daubechies小波db1至db43. Case 62至Case 95, 对应MATLAB中Symlet 小波sym2至sym35. 其余对应Coiflets. 假设周期长度为2N=2 S M，其中S=1、2、3、4、5、6, M=1、3、5、7、9、11，总共有36种周期长度(分别是2, 4, 8, 16, 32, 64; 6, 12, 24, 48, 96, 192; 10, 20, 40, 80, 160, 320; 14, 28, 56, 112, 224, 448; 18, 36, 72, 144, 288, 576; 22, 44, 88, 176, 352, 704). 用误差矩阵(AB * -E)和(B * A-E)的元素的绝对值的最大值，度量各种周期长度和滤波器组时分解单位矩阵的数字误差. 结果如下图1所示, 横轴指示滤波器组(Case)的编号号码, 纵轴表示分解单位阵的误差. 图中共36条曲线, 分别对应36种周期长度. 周期为2时, 所有滤波器的结果都变为Haar小波的情形, 与其余周期长度比较, 分解误差最小;做误差曲线, 同时计算了A与B的各元素的绝对值与理想Haar小波比较的误差.周期大于2 时, 误差随周期长度的变化不明显. 使用Scilab-5·3·3 (不含小波工具箱) 编程计算. 计算3600种情形以得到图1的结果, 总共需要CPU时间约11分钟. 用了联想手提式电脑T61, 处理器为x86 Family 6 Model 15 Stepping 11 GenuineIntel ~2194 Mhz, 总的物理内存为2GB, 总的虚拟内存为2GB. 将Case 1至Case 100中的滤波器序列, 首先用各自的模最大值归一化, 再乘以10 8 , 取整、抛弃小数位, 然后重复前面的所有计算, 得到的结果如图2. 与图1比较, 可以看出滤波器系数切断误差, 增加了单位阵的分解误差. 误差曲线图1 误差曲线图2 新浪赛特居士SciteJushi-2012-10-13. 附 :滤波器组系数集 case 1 : h= ; h1= ; case 2 : h= ; h1= ; case 3 : h= ; h1= ; case 4 : h1 = ; h= ; case 5 : h1 = ; h = ; case 6 : h1 = ; h= ; case 7 : h1 = ; h= ; case 8 : h1= ; h= ; case 9 : h1= ; h= ; case 10 : h1= ; h= ; case 11 : h1= ; h= ; case 12 : h1= ; h= ; case 13 : h= ; h1= ; case 14 : h= ; h1= ; case 15 : h= ; h1= ; case 16 : h= ; h1= ; case 17 : h= ; h1= ; case 18 : h= ; h1= ; case 19 : h= ; case 20 : h= ; case 21 : h= ; case 22 : h= ; case 23 : h= ; case 24 : h= ; case 25 : h= ; case 26 : h= ; case 27 : h= ; case 28 : h= ; case 29 : h= ; case 30 : h= ; case 31 : h= ; case 32 : h= ; case 33 : h= ; case 34 : h= ; case 35 : h= ; case 36 : h= ; case 37 : h= ; case 38 : h= ; case 39 : h= ; case 40 : h= ; case 41 : 小波滤波器组系数Case41至Case61 http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140101b9dv.html 小波滤波器组系数Case62至Case100 http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140101b9ed.html; 1775 次阅读|0 个评论

小波十讲: razorenhua 2012-9-2 13:49; 上传了一本经典教材; 2143 次阅读|0 个评论

[转载]matlab 小波以及傅里叶变换函数: 热度 2 a6657266 2012-8-4 19:44; 1. 离散傅立叶变换的 Matlab 实现 Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 算法；而函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则用来计算反 DFT 。这些函数的调用格式如下： A＝fft(X,N,DIM) 其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果 X 小于该数值，那么 Matlab 将会对 X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为 N ；DIM 表示要进行离散傅立叶变换。 A＝fft2(X,MROWS,NCOLS) 其中，MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进行零填充后的 X 大小。 A＝fftn(X,SIZE) 其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定 X 相应维进行零填充后的长度。函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。例子：图像的二维傅立叶频谱 % 读入原始图像 I＝imread('lena.bmp'); imshow(I) % 求离散傅立叶频谱 J=fftshift(fft2(I)); figure; imshow(log(abs(J)), ) 2. 离散余弦变换的 Matlab 实现 2.1. dCT2 函数功能：二维 DCT 变换格式：B=idct2(A) B=idct2(A,m,n) B=idct2(A, ) 说明：B＝idct2(A) 计算 A 的 DCT 反变换 B ，A 与 B 的大小相同；B＝idct2(A,m,n) 和 B=idct2(A, ) 通过对 A 补 0 或剪裁，使 B 的大小为 m×n。 2.3. dctmtx函数功能：计算 DCT 变换矩阵格式：D＝dctmtx(n) 说明：D＝dctmtx(n) 返回一个 n×n 的 DCT 变换矩阵，输出矩阵 D 为 double 类型。 3. 图像小波变换的 Matlab 实现 3.1 一维小波变换的 Matlab 实现 (1) dwt 函数功能：一维离散小波变换格式： =dwt(X,'wname') =dwt(X,Lo_D,Hi_D) 说明： =dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数 'wname' 对信号 X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量； =dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2) idwt 函数功能：一维离散小波反变换格式：X=idwt(cA,cD,'wname') X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,'wname',L) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经小波反变换重构原始信号 X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。 X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。 3.2 二维小波变换的 Matlab 实现二维小波变换的函数 ------------------------------------------------- 函数名函数功能 --------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换 waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量 appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量 upwlev2 二维小波分解的单层重构 dwtpet2 二维周期小波变换 idwtper2 二维周期小波反变换 ------------------------------------------------------------- (1) wcodemat 函数功能：对数据矩阵进行伪彩色编码格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) Y=wcodemat(X,NB,OPT) Y=wcodemat(X,NB) Y=wcodemat(X) 说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) 返回数据矩阵 X 的编码矩阵 Y ；NB 伪编码的最大值，即编码范围为 0～NB，缺省值 NB＝16； OPT 指定了编码的方式（缺省值为 'mat'），即： OPT＝'row' ，按行编码 OPT＝'col' ，按列编码 OPT＝'mat' ，按整个矩阵编码 ABSOL 是函数的控制参数（缺省值为 '1'），即： ABSOL＝0 时，返回编码矩阵 ABSOL＝1 时，返回数据矩阵的绝对值 ABS(X) (2) dwt2 函数功能：二维离散小波变换格式： =dwt2(X,'wname') =dwt2(X,Lo_D,Hi_D) 说明： =dwt2(X,'wname')使用指定的小波基函数 'wname' 对二维信号 X 进行二维离散小波变幻；cA，cH,cV,cD 分别为近似分量、水平细节分量、垂直细节分量和对角细节分量； =dwt2(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信号 X 。 (3) wavedec2 函数功能：二维信号的多层小波分解格式： =wavedec2(X,N,'wname') =wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D) 说明： =wavedec2(X,N,'wname') 使用小波基函数 'wname' 对二维信号 X 进行 N 层分解； =wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D) 使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信号 X 。 (4) idwt2 函数功能：二维离散小波反变换格式：X=idwt2(cA,cH,cV,cD,'wname') X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,'wname',S) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S) 说明：X=idwt2(cA,cH,cV,cD,'wname') 由信号小波分解的近似信号 cA 和细节信号 cH、cH、cV、cD 经小波反变换重构原信号 X ；X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R) 使用指定的重构低通和高通滤波器 Lo_R 和 Hi_R 重构原信号 X ；X=idwt2(cA,cH,cV,cD,'wname',S) 和 X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S) 返回中心附近的 S 个数据点。 (5) waverec2 函数说明：二维信号的多层小波重构格式：X=waverec2(C,S,'wname') X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R) 说明：X=waverec2(C,S,'wname') 由多层二维小波分解的结果 C、S 重构原始信号 X ，'wname' 为使用的小波基函数；X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R) 使用重构低通和高通滤波器 Lo_R 和 Hi_R 重构原信号。; 10500 次阅读|2 个评论

[转载]利用matlab写的小波分解图像与重构: a6657266 2012-7-15 19:00; http://blog.csdn.net/chenyusiyuan/article/details/2514119 下面给出重构程序的代码，包括有： mywaverec2(), myidwt2(), myidwt(), upspl() 。 function xrec=mywaverec2(coef,recdim,wname) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数 MYWAVEREC2() 对输入的分解系数矩阵 x 进行 recdim 层重构，得到重构矩阵 xrec % 输入参数： y —— 分解系数矩阵； % recdim —— 重构级数； % wname —— 重构所用的小波函数 % 输出参数： xrec —— 重构矩阵。 % % Copyright by Zou Yuhua ( chenyusiyuan ), original : 2007-11-10, modified: 2008-06-04 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 求小波函数对应的重构滤波器组系数 = wfilters(wname,'r'); % 通过小波系数矩阵求出图像的分解级数 decdim =size(coef); % 小波系数矩阵 coef 是一个细胞矩阵（ cell matrix ） , 其中有 yr 个子矩阵， yc=1 decdim=(yr-1)/3; % 图像的 N 级分解会产生 1 个低频矩阵， N*3 个高频矩阵 if decdimrecdim error( ) end rcA=coef{1}; for i=1:recdim % 依次获取第 decdim 级至第（ decdim - recdim + 1 ）级的高频系数矩阵 rcV=coef{(i-1)*3+2}; rcH=coef{(i-1)*3+3}; rcD=coef{(i-1)*3+4}; rcA=myidwt2(rcA,rcV,rcH,rcD,Lo_R,Hi_R); % 第 N 级重构得到第 N-1 级低频系数矩阵 end xrec=rcA; % 重构结束后得到的矩阵 rcA 即为输出矩阵 xrec figure; xr=uint8(xrec); % 将矩阵 xrec 的数据格式转换为适合显示图像的 uint8 格式 =size(xr); imshow(xr); title( ); xlabel( ); % 显示重构矩阵的大小 function outcA=myidwt2(rcA,rcV,rcH,rcD,Lo_R,Hi_R) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数 MYIDWT2() 对输入的子矩阵序列进行逆小波变换，重构出矩阵 y % 输入参数： rcA,rcV,rcH,rcD —— 第 N 级低频、高频系数矩阵 % Lo_R,Hi_R —— 图像重构用到的低通、高通滤波器系数 % 输出参数： outcA —— 第 N-1 级低频系数矩阵，当 N-1=0 时即为重构图像。 % Copyright by Zou Yuhua ( chenyusiyuan ), original : 2007-11-10, modified: 2008-06-04 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 系数矩阵规范化，使各矩阵大小一致 =size(rcA); rcV=rcV(1:m,1:n); rcH=rcH(1:m,1:n); rcD=rcD(1:m,1:n); % 将四个第 N 级系数矩阵组合成一个矩阵 tmp_mat= ; =size(tmp_mat); % 这里 tmp_mat 的行列数比第 N-1 级低频矩阵 cA(N-1) 的要长 lnf-1 行（列） % 求出滤波器的长度 lnf=length(Lo_R); for k=1:col % 首先对组合矩阵 tmp_mat 的每一列，分开成上下两半 ca1=tmp_mat(1:row/2,k); % 分开的两部分分别作为平均系数序列 ca1 、细节系数序列 cd1 cd1=tmp_mat(row/2+1:row,k); % ca1 、 cd1 的长度恰好等于 tmp_mat 的行数 row tmp1=myidwt(ca1,cd1,Lo_R,Hi_R); % 重构序列的长度是（ row+lnf-1 ） % 注意不论是分解或重构，卷积后序列的长度都会比原序列要长（ lnf-1 ） % 所以这里 tmp1 的长度要比 cA(N-1) 的行数长 2*(lnf-1 ）行 % 故有效的重构序列应该是以 tmp1 中心的长度为（ row-lnf+1 ）的那一段 % 通过 Matlab 函数 wkeep() 来实现截取 yt1(:,k)=wkeep(tmp1,row-lnf+1); % 截取后的重构序列存入缓存矩阵 yt1 end =size(yt1); for j=1:row1 % 将缓存矩阵 yt1 的每一行，分开成左右两半 ca2=yt1(j,1:col1/2); % 分开的两部分分别作为平均系数序列 ca2 、细节系数序列 cd2 cd2=yt1(j,col1/2+1:col1); tmp2=myidwt(ca2,cd2,Lo_R,Hi_R); outcA(j,:)=wkeep(tmp2,col-lnf+1); % 同理，也要截取 tmp2 中间长度为（ col-lnf+1 ）的那一段，存入输出矩阵 outcA end function y = myidwt(cA,cD,lpr,hpr); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数 MYIDWT() 对输入的小波分解系数进行逆离散小波变换，重构出信号序列 y % 输入参数： cA —— 平均部分的小波分解系数； % cD —— 细节部分的小波分解系数； % lpr 、 hpr —— 重构所用的低通、高通滤波器。 % Copyright by Zou Yuhua ( chenyusiyuan ), original : 2007-11-10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% lca=length(cA); % 求出平均、细节部分分解系数的长度 lcd=length(cD); while (lcd)=(lca) % 每一层重构中， cA 和 cD 的长度要相等，故每层重构后， % 若 lcd 小于 lca ，则重构停止，这时的 cA 即为重构信号序列 y 。 upl=upspl(cA); % 对平均部分系数进行上抽样 cvl=conv(upl,lpr); % 低通卷积 cD_up=cD(lcd-lca+1:lcd); % 取出本层重构所需的细节部分系数，长度与本层平均部分系数的长度相等 uph=upspl(cD_up); % 对细节部分系数进行上抽样 cvh=conv(uph,hpr); % 高通卷积 cA=cvl+cvh; % 用本层重构的序列更新 cA ，以进行下一层重构 cD=cD(1:lcd-lca); % 舍弃本层重构用到的细节部分系数，更新 cD lca=length(cA); % 求出下一层重构所用的平均、细节部分系数的长度 lcd=length(cD); end % lcd lca ，重构完成，结束循环 y=cA; % 输出的重构序列 y 等于重构完成后的平均部分系数序列 cA function y=upspl(x); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数 Y = UPSPL(X) 对输入的一维序列 x 进行上抽样，即对序列 x 每个元素之间 % 插零，例如 x= , 上抽样后为 y= ; % % Copyright by Zou Yuhua ( chenyusiyuan ), original : 2007-11-10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N=length(x); % 读取输入序列长度 M=2*N-1; % 输出序列的长度是输入序列长度的 2 倍再减一 for i=1:M % 输出序列的偶数位为 0 ，奇数位按次序等于相应位置的输入序列元素 if mod(i,2) y(i)=x((i+1)/2); else y(i)=0; end end 运行结果图示： 1、Bior3.7 小波 3 级分解由分解图可见，低频系数图像的边缘是有一定宽度的黑色边带，这是由于行、列变换时卷积产生的冗余数据，黑色表示这些数据的值为零，边带宽度与滤波器长度有关。图像原始大小为 256*256，n = 256, bior3.7小波的滤波器长度为 lnf=16，则上图中各级系数矩阵的大小可由公式 lenca1 = floor((n-1)/2)+lnf 计算得出： Level-1: 256+16-1=271, floor(271/2)= 135 (128) ( 7) Level-2: 135+16-1=150, floor(150/2)= 75 ( 64) (11) Level-3: 75+16-1= 90, floor( 90/2)= 45 ( 32) (13) 上面两列括号内的数据，第1列是有效的图像小波分解系数大小，第2列是黑色边带的宽度。 2、Bior3.7 小波 1 级重构 3、Bior3.7 小波 2 级重构 4、Bior3.7 小波 3 级重构 5、最后做一个有趣的实验，如果将分解后得到的平均系数 cA 清零，保留其它细节系数，然后进行重构，我们就会得到下面这样的重构图像：这个重构图像完全是由各级细节系数重构得到的，可以说它表现了原始图像的轮廓、边缘特征的所有信息。应该可以作为图像纹理分析、边缘检测等应用的基础，呵呵，不知说的是否恰当，希望能抛砖引玉，欢迎大家拍砖，多多讨论交流！; 13325 次阅读|0 个评论

通俗地介绍《信号与系统》【转载整理】: JRoy 2012-5-28 20:12; 引子工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。也许更多人和我一样，原本不是电子专业的却后来走入这个行业。如我是机械电子专业，对信号与系统知识当初根本就不是重点学习内容，很多知识甚至概念都模糊了。而现在做的研究却是信号处理领域的，如何快速建立信号与系统的一个大体的知识印象库呐？等到具体应用那些部分的时候能够知道所云？所需与相关？下面转载网上一个比较有名的通俗讲义，修改了部分语言错误。讲一个故事 : 张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，花了一个波形图。 "很好！"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！" 这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?" 于是上帝出现了: "张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！" 张三照办了，"然后呢?" 上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。" 张三领悟了:" 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?" 上帝说:"叫卷积！" 从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！ ---------------------------------------- 张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说: "看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！" 张三摆摆手:"输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?" 经理怒了:"反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！" 张三心想:"这次输入信号连公式都没给出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢?" 及时地，上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来" "宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。" "我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了" "同时，时间域的卷积在f域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看" "计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！" 张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知道了，f域的变换有一个名字，叫做傅利叶，什么什么... ... ---------------------------------------- 再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三开始学拉普拉斯了...... 后记: 不是我们学的不好，是因为教材不好，老师讲的也不好。很欣赏Google的面试题: 用3句话向老太太讲清楚什么是数据库。这样的命题非常好，因为没有深入的理解一个命题，没有仔细的思考一个东西的设计哲学，我们就会陷入细节的泥沼: 背公式，数学推导，积分，做题；而没有时间来回答"为什么要这样"。做大学老师的做不到"把厚书读薄"这一点，讲不出哲学层面的道理，一味背书和翻讲 ppt，做着枯燥的数学证明，然后责怪"现在的学生一代不如一代"，有什么意义吗? 第二课到底什么是频率什么是系统? 这一篇，我展开的说一下傅立叶变换F。注意，傅立叶变换的名字F可以表示频率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因为它只是一个概念模型，为了解决计算的问题而构造出来的(例如时域无限长的输入信号，怎么得到输出信号)。我们把傅立叶变换看一个C语言的函数，信号的输出输出问题看为IO 的问题，然后任何难以求解的x-y的问题都可以用x-f(x)-f-1(x)-y来得到。 1. 到底什么是频率? 一个基本的假设: 任何信息都具有频率方面的特性，音频信号的声音高低，光的频谱，电子震荡的周期，等等，我们抽象出一个件谐振动的概念，数学名称就叫做频率。想象在x-y 平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动，把x轴想象成时间，那么该圆周运动在y轴上的投影就是一个sin(t)的波形。相信中学生都能理解这个。那么，不同的频率模型其实就对应了不同的圆周运动速度。圆周运动的速度越快，sin(t)的波形越窄。频率的缩放有两种模式 (a) 老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的，当我们快放的时候，我们会感觉歌唱的声音变得怪怪的，调子很高，那是因为"圆周运动"的速度增倍了，每一个声音分量的sin(t)输出变成了sin(nt)。 (b) 在CD/计算机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢唱，不会出现音调变高的现象：因为快放的时候采用了时域采样的方法，丢弃了一些波形，但是承载了信息的输出波形不会有宽窄的变化；满放时相反，时域信号填充拉长就可以了。 2. F变换得到的结果有负数/复数部分，有什么物理意义吗? 解释: F变换是个数学工具，不具有直接的物理意义，负数/复数的存在只是为了计算的完整性。 3. 信号与系统这们课的基本主旨是什么? 对于通信和电子类的学生来说，很多情况下我们的工作是设计或者OSI七层模型当中的物理层技术，这种技术的复杂性首先在于你必须确立传输介质的电气特性，通常不同传输介质对于不同频率段的信号有不同的处理能力。以太网线处理基带信号，广域网光线传出高频调制信号，移动通信，2G和3G分别需要有不同的载频特性。那么这些介质(空气，电线，光纤等)对于某种频率的输入是否能够在传输了一定的距离之后得到基本不变的输入呢? 那么我们就要建立介质的频率相应数学模型。同时，知道了介质的频率特性，如何设计在它上面传输的信号才能大到理论上的最大传输速率?----这就是信号与系统这们课带领我们进入的一个世界。当然，信号与系统的应用不止这些，和香农的信息理论挂钩，它还可以用于信息处理(声音，图像)，模式识别，智能控制等领域。如果说，计算机专业的课程是数据表达的逻辑模型，那么信号与系统建立的就是更底层的，代表了某种物理意义的数学模型。数据结构的知识能解决逻辑信息的编码和纠错，而信号的知识能帮我们设计出码流的物理载体(如果接受到的信号波形是混乱的，那我依据什么来判断这个是1还是0? 逻辑上的纠错就失去了意义)。在工业控制领域，计算机的应用前提是各种数模转换，那么各种物理现象产生的连续模拟信号(温度，电阻，大小，压力，速度等) 如何被一个特定设备转换为有意义的数字信号，首先我们就要设计一个可用的数学转换模型。 4. 如何设计系统? 设计物理上的系统函数(连续的或离散的状态)，有输入，有输出，而中间的处理过程和具体的物理实现相关，不是这们课关心的重点(电子电路设计?)。信号与系统归根到底就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一个复杂的信号分解为若干个简单的信号累加，具体的过程就是一大堆微积分的东西，具体的数学运算不是这门课的中心思想。那么系统有那些种类呢? (a) 按功能分类: 调制解调(信号抽样和重构)，叠加，滤波，功放，相位调整，信号时钟同步，负反馈锁相环，以及若干子系统组成的一个更为复杂的系统----你可以画出系统流程图，是不是很接近编写程序的逻辑流程图? 确实在符号的空间里它们没有区别。还有就是离散状态的数字信号处理(后续课程)。 (b) 按系统类别划分，无状态系统，有限状态机，线性系统等。而物理层的连续系统函数，是一种复杂的线性系统。 5. 最好的教材? 符号系统的核心是集合论，不是微积分，没有集合论构造出来的系统，实现用到的微积分便毫无意义----你甚至不知道运算了半天到底是要作什么。以计算机的观点来学习信号与系统，最好的教材之一就是 Structure and Interpretation of Signals and Systems ，作者是UC Berkeley的Edward A.Lee and Pravin Varaiya----先定义再实现，符合人类的思维习惯。国内的教材通篇都是数学推导，就是不肯说这些推导是为了什么目的来做的，用来得到什么，建设什么，防止什么；不去从认识论和需求上讨论，通篇都是看不出目的的方法论，本末倒置了。第三课抽样定理是干什么的 1. 举个例子，打电话的时候，电话机发出的信号是PAM脉冲调幅，在电话线路上传的不是话音，而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列，在收端恢复语音波形。那么对于连续的说话人语音信号，如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真，可以传输呢? 很明显，我们想到的就是取样，每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅，把振幅转换为脉冲编码，传输出去，在收端按某种规则重新生成语言。那么，问题来了，每M毫秒采样一次，M多小是足够的? 在收端怎么才能恢复语言波形呢? 对于第一个问题，我们考虑，语音信号是个时间频率信号(所以对应的F变换就表示时间频率)把语音信号分解为若干个不同频率的单音混合体(周期函数的复利叶级数展开，非周期的区间函数，可以看成补齐以后的周期信号展开，效果一样)，对于最高频率的信号分量，如果抽样方式能否保证恢复这个分量，那么其他的低频率分量也就能通过抽样的方式使得信息得以保存。如果人的声音高频限制在3000Hz，那么高频分量我们看成sin(3000t)，这个sin函数要通过抽样保存信息，可以看为: 对于一个周期，波峰采样一次，波谷采样一次，也就是采样频率是最高频率分量的2倍(奈奎斯特抽样定理)，我们就可以通过采样信号无损的表示原始的模拟连续信号。这两个信号一一对应，互相等价。对于第二个问题，在收端，怎么从脉冲序列(梳装波形)恢复模拟的连续信号呢? 首先，我们已经肯定了在频率域上面的脉冲序列已经包含了全部信息，但是原始信息只在某一个频率以下存在，怎么做? 我们让输入脉冲信号I通过一个设备X，输出信号为原始的语音O，那么I(*)X=O，这里(*)表示卷积。时域的特性不好分析，那么在频率域 F(I)*F(X)=F(O)相乘关系，这下就很明显了，只要F(X)是一个理想的，低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框)，它在时间域是一个钟型函数(由于包含时间轴的负数部分，所以实际中不存在)，做出这样的一个信号处理设备，我们就可以通过输入的脉冲序列得到几乎理想的原始的语音。在实际应用中，我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点，3k赫兹的语音信号，抽样标准是8k赫兹。 2. 再举一个例子，对于数字图像，抽样定理对应于图片的分辨率----抽样密度越大，图片的分辨率越高，也就越清晰。如果我们的抽样频率不够，信息就会发生混叠----网上有一幅图片，近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦，摘掉眼睛看到的是梦露----因为不带眼睛，分辨率不够(抽样频率太低)，高频分量失真被混入了低频分量，才造成了一个视觉陷阱。在这里，图像的F变化，对应的是空间频率。话说回来了，直接在信道上传原始语音信号不好吗? 模拟信号没有抗干扰能力，没有纠错能力，抽样得到的信号，有了数字特性，传输性能更佳。什么信号不能理想抽样? 时域有跳变，频域无穷宽，例如方波信号。如果用有限带宽的抽样信号表示它，相当于复利叶级数取了部分和，而这个部分和在恢复原始信号的时候，在不可导的点上面会有毛刺，也叫吉布斯现象。 3. 为什么傅立叶想出了这么一个级数来? 这个源于西方哲学和科学的基本思想: 正交分析方法。例如研究一个立体形状，我们使用x,y,z三个互相正交的轴: 任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话，一个物体的3视图就可以完全表达它的形状。同理，信号怎么分解和分析呢? 用互相正交的三角函数分量的无限和：这就是傅立叶的贡献。第四课傅立叶变换的复数小波说的广义一点，" 复数 "是一个"概念"，不是一种客观存在。什么是"概念"? 一张纸有几个面? 两个，这里"面"是一个概念，一个主观对客观存在的认知，就像"大"和"小"的概念一样，只对人的意识有意义，对客观存在本身没有意义(康德: 纯粹理性的批判)。把纸条的两边转一下相连接，变成"莫比乌斯圈"，这个纸条就只剩下一个"面"了。概念是对客观世界的加工，反映到意识中的东西。数的概念是这样被推广的: 什么数x使得x^2=-1? 实数轴显然不行，(-1)*(-1)=1。那么如果存在一个抽象空间，它既包括真实世界的实数，也能包括想象出来的x^2=-1，那么我们称这个想象空间为"复数域"。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1? +-符号在复数域里面代表方向，-1就是"向后，转!"这样的命令，一个1在圆周运动180度以后变成了-1，这里，直线的数轴和圆周旋转，在复数的空间里面被统一了。因此，(-1)*(-1)=1可以解释为"向后转"+"向后转"=回到原地。那么复数域如何表示x^2=-1呢? 很简单，"向左转"，"向左转"两次相当于"向后转"。由于单轴的实数域(直线)不包含这样的元素，所以复数域必须由两个正交的数轴表示--平面。很明显，我们可以得到复数域乘法的一个特性，就是结果的绝对值为两个复数绝对值相乘，旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。为什么有这样的乘法性质? 不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质决定认识)，而是发明复数域的人就是根据这样的需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质)，是一种主观唯心主义的研究方法。为了构造x^2=-1，我们必须考虑把乘法看为两个元素构成的集合: 乘积和角度旋转。因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影，所以，在复数域，三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手，立刻可以得到形式更简单的，复数域的，和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单，所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数，但是由于和实数域的级数一一对应，我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。那么傅立叶变换，那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分，就是先微分，再积分，傅立叶级数已经作了无限微分了，对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题，想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大，各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数，每个分量常数的求解过程，积分的区间就是从T变成了正负无穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小，那么让每个分量都去除以f，就得到有值的数----所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理，各个频率分量之间无限的接近，因为f很小，级数中的f，2f，3f之间几乎是挨着的，最后挨到了一起，和卷积一样，这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分式：傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化：离散的频率，每个频率都有一个"权"值，而连续的F域，每个频率的加权值都是无穷小(面积=0)，只有一个频率范围内的"频谱"才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数，是复数频率域上面的可以画出图像的东西? 那个根号2Pai又是什么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后，信号不变。我们可以让正变换除以2，让反变换除以Pi，怎么都行。慢点，怎么有"负数"的部分，还是那句话，是数轴的方向对应复数轴的旋转，或者对应三角函数的相位分量，这样说就很好理解了。有什么好处? 我们忽略相位，只研究"振幅"因素，就能看到实数频率域内的频率特性了。我们从实数(三角函数分解)-复数(e和Pi)-复数变换(F)-复数反变换(F-1)-复数(取幅度分量)- 实数，看起来很复杂，但是这个工具使得，单从实数域无法解决的频率分析问题，变得可以解决了。两者之间的关系是: 傅立叶级数中的频率幅度分量是a1-an,b1-bn，这些离散的数表示频率特性，每个数都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数: 对于f域每个取值点a1-aN(N=无穷)，它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数)积分的结果----这个求解和级数的表示形式是一样的。不过是把N个离散的积分式子统一为了一个通用的，连续的积分式子。复频域，大家都说画不出来，但是我来画一下！因为不是一个图能够表示清楚的。我用纯中文来说: 1. 画一个x,y轴组成的平面，以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线: (直线方程x=2)，把它看成是一块挡板。 2. 想象，有一个原子，从(1,0)点出发，沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x轴的复数方向射向x轴的正数方向，那么这个原子运动在挡板(x=2)上面的投影，就是一个简协震动。 3. 再修改一下，x=2对应的不是一个挡板，而是一个打印机的出纸口，那么，原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线! 上面3条说明了什么呢? 三角函数和圆周运动是一一对应的。如果我想要sin(t+x)，或者cos(t)这种形式，我只需要让原子的起始位置改变一下就可以了：也就是级坐标的向量，半径不变，相位改变。傅立叶级数的实数展开形式，每一个频率分量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt)，我们可以证明，这个式子可以变成 sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式，那么：实数值对(An,Bn)，就对应了二维平面上面的一个点，相位x对应这个点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了，因此实数频率唯一对应某个复数频率，我们就可以用复数来方便的研究实数的运算：把三角运算变成指数和乘法加法运算。 ------------------------------------------------------------------------- 但是， F变换仍然是有限制的(输入函数的表示必须满足狄义赫立条件等)，为了更广泛的使用"域"变换的思想来表示一种"广义"的频率信息，我们就发明出了拉普拉斯变换，它的连续形式对应F变换，离散形式就成了Z变换。离散信号呢? 离散周期函数的F级数，项数有限，离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数)，离散F级数，仍然项数有限。离散的F变换，很容易理解---- 连续信号通过一个周期采样滤波器，也就是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么? 反过来容易理解了，时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。两者的区别：FT =从负无穷到正无穷对积分 LT =从零到正无穷对积分 (由于实际应用，通常只做单边Laplace变换，即积分从零开始) 具体地，在Fourier积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在laplace变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a0）做域变换。而 Z变换，简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换，可由抽样信号的Laplace变换导出。ZT =从n为负无穷到正无穷对求和。Z域的物理意义: 由于值被离散了，所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必然的关系(t只对连续信号有意义)，所以频域的考察变得及其简单起来，我们把 (1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本序列看成是数字频率最高的序列，他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi)，其他的数字序列频率都是N分之 1Hz，频率分解的结果就是0-2Pi角频率当中的若干个值的集合，也是一堆离散的数。由于时频都是离散的，所以在做变换的时候，不需要写出冲击函数的因子离散傅立叶变换到快速傅立叶变换----由于离散傅立叶变换的次数是O(N^2)，于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换，变换的计算复杂度就下降到了O(NlogN)，再把计算的结果累加O(N)，这就大大降低了计算复杂度。再说一个高级话题: 小波。在实际的工程应用中，前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。什么是小波？先说什么是波：傅立叶级数里面的分量，sin/cos函数就是波，sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧，变成了一系列的波的求和，一致收敛于原始函数。注意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的，严格的。不过前面我们说了，实际应用FFT的时候，我们只需要关注部分信号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了，那么对于函数的部分分量，我们只需要保证这个用来充当砖块的"波函数"，在某个区间(用窗函数来滤波)内符合那几个可积分和收敛的定义就可以了，因此傅立叶变换的"波"因子，就可以不使用三角函数，而是使用一系列从某些基本函数构造出来的函数族，只要这个基本函数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢？sin(t)被加了方形窗以后，映射到频域是一堆无穷的散列脉冲，所以不能再用三角函数了。我们要得到频率域收敛性好的函数族，能覆盖频率域的低端部分。说的远一点，如果是取数字信号的小波变换，那么基础小波要保证数字角频率是最大的 2Pi。利用小波进行离频谱分析的方法，不是像傅立叶级数那样求出所有的频率分量，也不是向傅立叶变换那样看频谱特性，而是做某种滤波，看看在某种数字角频率的波峰值大概是多少。可以根据实际需要得到如干个数字序列。我们采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性，那么对应的时间波形就是倍数扩展(且包含调制---所以才有频谱搬移)的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数，时域就是钟形函数。当然其他类型的小波，虽然频率域不是窗函数，但是仍然可用：因为小波积分求出来的变换，是一个值，例如(0,f)里包含的总能量值，(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形，对于结果来说影响不大。同时，这个频率域的值，它的分辨率密度和时域小波基函数的时间分辨率是冲突的(时域紧频域宽，时域宽频域紧)，所以设计的时候受到海森堡测不准原理的制约。Jpeg2000压缩就是小波：因为时频都是局部的，变换结果是数值点而不是向量，所以，计算复杂度从FFT的O(NlgN)下降到了O(N)，性能非常好。用中文说了这么多，基本的思想已经表达清楚了，为了"研究方便"，从实数傅立叶级数展开，到创造了复数域的傅立叶级数展开，再到傅立叶变换，再扩展到拉式变换，再为了时频都离散的情况简化为Z变换，全部都用一根主线联系起来了。; 个人分类: 科研笔记|3179 次阅读|0 个评论

A wavelet tour of signal processing 第三版(Mallat) 下载: Liushli 2011-5-13 15:31; 网上找这本书不太好找,刚上传了,提供下载地址: 地址1:http://bbs.sciencenet.cn/forum.php?mod=viewthreadtid=319560extra=page%3D1(无积分,要注册) 地址2:http://ishare.iask.sina.com.cn/f/10028709.html?from=isnom(要积分,要注册) 地址3:http://download.csdn.net/source/1319864(用积分,要注册,但速度很快); 个人分类: 写写|175 次阅读|0 个评论

小波的尺度伸缩，男女声合唱与数学显微镜--教学难点讨论之三: 热度 20 tangchangjie 2011-3-30 11:38; 上文《比喻实例讲哲理，引玉之砖释小波》展示了利用一组有内涵的对象作为坐标基底，从而表达更复杂对象的思路。本文拟通俗解释小波的尺度伸缩和数学显微机制。　　 1 常说尺度,而少说频率小波就像优秀跳水运动员激起的水面昙花，涌现第一波，就很快消散了，衡量跳水运动的压水花的水平，用尺度显然比频率合适。（这里说 “ 像”，而非 “是”，请参见上文中在珍珠入水那一段的补充解释，也谢谢评论14的建议）。　　　　　设墨西哥草帽小波的函数为y=f(t/a), 　　　则 a=1/4时 , y=f(4t)，绰号瘦草帽; a=1/2 时，y=f(2t)，绰号中草帽; 　　　a=1时， y=f(t), 绰号胖草帽， a= 2 时，y=f(t/2),是超胖草帽… 　　　这里的a 称为尺度（scale），尺度越大体型越胖，符合直观。幽默是机智、知识和心态的综合，学过小波的的同学开起玩笑也玩新概念，看见胖子来了，说：“Wow! How big Scale”(好大的尺度)，而不说“好低的频率”。　　　直观地，小波中至少有一次“一正一负”的波动，尺度越小，波动的频率越高，尺度与频率是有关的。暂时保留这个美好的悬念，留到第3小节解释。　　 2 小波和 2 k 倍尺度小波正交仅以K=1来说明思想。下图中，有两个Harr小波, f(t)的尺度是g(t)的尺度的两倍. 　考察f(t)和g(t)的约会，相约在老地方--内积平台。　f(t)在上心态平和，始终取+1，在t4b时，f(t)=0。　g(t)的情绪不稳定，在上阳光灿烂（+1），在突然由晴转阴，取值（-1），t2b时沉默不语，g(x)=0，　f(t)g(t)在上为正，在上为负, 正负相抵,这样的约会当然没有结果; 于是，内积∫f(x)g(x)dt=0，它们有缘无分。　其他形状的小波复杂一些，需用严格的数学推导，但哲理相同。　　 3 尺度怎样联系频率把Harr 波的波形拓扑地变成正弦波。得到如下的分段定义函数 F(t)=sin(ωt) 当ωt 在中 F(t)=0 其他情形 1/ω是上述分段函数的尺度，而ω是正宗sin(ωt)在无限区间上的频率，这大致说明了尺度越小，对应于频率越高。　　奇怪的是，在小波列表中没有这个函数，这里仅仅借用它在直观上说明尺度和频率的联系。不妨把它称为伪小波。之所以说“伪”，是因为按正宗做法，从母函数克隆出正交基时，需要要用平移、伸缩和加减法运算。虽然这个伪小波在适当的平移或倍频变换下，也可以造出正交波；但作加减法时候，要用到三角函数的和差化积，或积化和差，这里就出问题了；做一点改造，把sin(ωt)换成sin(πt)/πt,就构成了Shannon小波的父小波，深刻的道理请数学专家来解释。既然尺度联系上了频率和正交，下面暂时偏离小波片刻，说说与频率正交相关的趣事。 4 男女声合唱与声波的正交。下面是C调的音阶 1,2,3,4,5,6,7与频率表：（Hz) ================================================================================ 唱名 dou ruai mi fa sou la xi dou(高) 计算数值 261.63 293.66 329.61 349.23 391.80 439.77 493.6 523.26　 ================================================================================== 注意, 2*261.63= 523.26；即，C调的高音dou之频率是（标准）dou之频率的2倍。　　事实上，2的12次方根 d=1.0594630，以d为公比，做一个等比级数 ,a 1 , a 2 ,…, a 12 ，　　首项是C调的 dou为a 1 =261.63, 而a 12 =523.26 是高音Dou的频率，这就是十二平均音阶，是中国明代音乐理论家兼数学家朱载堉（公元1536-1610年）发明（发现？）的。上述等比级数中， a i+1 比a i 高半个音，音乐中加进适当的半音，常使旋律优美欢快。曾经听到过一首歌《新疆故事》，居然在sou上也升半个音，比较少见，挺好听。　　　　 4.1 一条坏消息考虑两个单位向量波 u(t), v(t)。 u在v上的投影分量为 (u.v)v, 这就是u对v的干扰。设u,v两人一起唱歌，如果u唱跑了调，声音又大 (歌厅中常见的一道风景线)，而v的定力不够强，或者是跟着跑调，或者就停唱了。　　当然，这种干扰也不是全是坏处，从17世纪起，人们就发现音频之间适当的互相干预可能产生好听的和声（包括和弦与和声进行），作为菜鸟，只觉得唱和声的歌手特别不容易，需要定力特别强，这一主题要请声学专家或音乐家来做科普了。　　 4.2 一条好消息设男女声合唱时，旋律一样，但女声高8度，则女声频率刚好是男声频率的2倍。上面的分析表明，两者互相正交，所以只要都唱对了旋律，就不会互相干扰；还有一种解释，如果作谐波分析，女声的谐波刚好是男声的偶次谐波，女声加强了男声中本来就有、但幅度较小的偶次谐波成分，所以不会互相干扰，听起来很和谐，请这方面的专家来指正和解释。　　 4.3 朱载堉如何发明十二平均音阶明代的朱载堉虽然是数学家，但考虑到他逝世后33年（即1643年），牛顿才出生，估计他不懂关于弦振动的偏微分方程，没有频率检测仪器，也不懂波的正交，他是怎样发明（发现）音阶十二平均律的呢？有两点猜测: (a)在合奏时，在固定张力下，把琴弦缩短一倍，得到的高8度旋律，发现它与中8度旋律听起来很和谐，这属于发现；（b)按压琴弦时，按 1.0594:1 的比例来缩短琴弦（升高半个音），比较适合手指头的分辨率，这也能解释在拉二胡或提琴时，各“把”（例如中八度和高八度）中，升半音需缩短琴弦的绝对长度是不一样的，但有一个不变量，即各音阶所对应的弦长之间的公比，在自然规律的基础上制定了规范，这属于发明。多做些实验，把不同的琴弦长度、聆听感觉等，记录下来，再手工做一下数据挖掘，就能得到规律了。朱载堉是否这样挖掘出来的？这里的猜测权当戏谈。　　Now ,言归正传。 5 构造小波正交标准基　　前面解释了“适当“的平移和 “适当”的缩放可以创造正交的机会。 “适当”二字中包括向量间的正交性，整个集合的完备性（不缺少）和无冗性，也包含了数学家们的闪光智慧和一言难尽的酸甜苦辣。　　下面的集合就是一个harr小波正交基　　　 6 小波基的完备性。上面的小波基的完备性是靠人海战术完成的，例如j=3, 缩小到1/8的尺度，就有8个这样瘦波，他们依次平移，挨个儿塞满了那个区间。为了下面的方便，给前面几个基向量取一些夸张的绰号：　　J=0,只有一个，取名冬瓜（尺度最大）用汉语拼音首字母，记为D 　　J=1, 有两个，取名土豆，用汉语拼音首字母，记为T 1 , T 2 　　J=2 ,有4个。取名芝麻, 用汉语拼音首字母，记为 Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 . 7 观察波形的显微镜 7.1朴素丈量原理。朴素的丈量，是用一个做标准的尺元，去匹配对象，看对象是尺元的多少个整数倍，这要求尺元比对象小，学生尺最小单位是1mm,则不能精确测量小于1mm对象。“百步穿杨”就是用“步”度量长度，如果长征时有现在的健身用的计步器，则对万水千山的长征历程的丈量可以精确到“步”。红歌“红军鞋”中唱道：“红军鞋是我的量天尺，穿上它，万水千山也能量完”，不但意境美，旋律美，也符合测度原理。 7.2 焦点访谈：关注波形局部性质。考虑下图的波形中小方框里的那段波形W的构造，太小了，看不清楚，怎样做适当的“放大”呢？，如果是社会问题，央视会派一个记者组，去做一次焦点访谈。访谈常讲究地位匹配：小人物由小记者采访，大人物由大记者采访，如央视的水均益常作高端人物访谈节目，数学的焦点访谈也讲究尺度匹配。　　　　用第5小节的小波基（冬瓜、土豆、芝麻波等）去丈量它。小波基中有无穷个元素，一般只要前面的一部分组成焦点访谈采访组，就可以达到足够精度。把小波基平移到待观察的小方框的中间的横坐标处，让W在小波基上分解。假定结果为 W= 7*Z 1 +2*T 2 ，这说明: 　　（1）W 与冬瓜波正交（无关），（大尺不量小对象）；　　（2）注意芝麻波在区间中位置，Z 1 是四个芝麻波最左边的一个，Z 2 向右边平移了一点， Z4最靠右边 .同理，在区间中，土豆波T 1 靠左，T 2 靠右；所以，从假定 W= 7*Z 1 +2*T 2 得知W的左边部分是芝麻波Z1在纵向上放大了7倍，而右边部分由土豆波T 2 在纵向上放大了2倍。　　（3） Z 1 中有一上一下的波动，其尺寸比较小，用它做尺子，匹配对象的上下波动就比较快，所以W的左边有芝麻波的较高频率；而右边部分与土豆波2*T 2 匹配，有土豆波的上下波动频率。这就从数学上比较精确地描述了对象的局部性质，也符合直观的观察，左边部分波动剧烈一些，右边平缓一些。（注意，图只是个示意，上面的图不符合那个假定）　小波基中有尺度从大到小的无穷个基小波，再小的对象，也有一款适合它。这是否达到了“显微”的目标？　　　　需要说明，笔者没有专门讲授过小波课程，在数据挖掘中有一章有基于小波的数据挖掘，为了回答学生关于“数据挖掘+小波”的问题，和学生一起学小波，一起讨论小波，做了一些直观解释。比喻和解释不能取代严密的推理和艰苦的学习。　　疏漏之处，请专家指正。写后感：科普博文是难者不会，会者不难。把教学经验和现成的PPT上，改写为博文不太难，花时间比较少。这个系列的博文，包括男女声合唱的正交性解析，都是教学PPT中提出来整理的。周末花一个小时作键（盘）耕（耘），既是手脑保健操键，又是休息。相关博文辐射、服碘、补盐、空袭和卷积 ----- 教学难点讨论之一引玉之砖释小波--教学难点讨论之二尺度伸缩，男女声合唱与数学显微镜--教学难点讨论之三怎样讲解较复杂对象的演化过程 — 教学难点讨论之四实事实地有实照，从此点名不烦恼--介绍一款照相点名系统其他科普博文安徽高考作文“梯子不用时横着放”的科普版其它系列博文的入口唐常杰博客主页科学博客主页其它系列博文的入口唐常杰博客主页科学博客主页; 个人分类: 教学科研|17998 次阅读|48 个评论

比喻实例讲哲理，引玉之砖释小波 ----教学难点讨论之二: 热度 22 tangchangjie 2011-3-28 11:40; 曾经抛砖引玉议卷积。上文《辐射、服碘、补盐、空袭和卷积》针对教学中难点，借用直观例子对卷积作了解释，初衷为抛砖引玉，结果是“抛斧引班” ---- 抛出了斧头，引出了鲁班群体，好些朋友在科学博客上发了好博文，或观点高、或方法简，或分析深，或应用好；朋友们的讨论对解决这一教学难点提供了更多思路。好像电视剧中常在结尾又来新任务，上文的评论中，两位朋友给了一个任务，希望对小波做直观解释。又来“弄斧邀班”释小波。数据挖掘中要用到小波，如基于小波分析的时间序列挖掘、聚类，分类、相似性搜索等，我们研究团队也有些实践，由于选修学生来自理工医文，基础有差异，部分学生反映学习小波像幼时背古诗文，不太爽顺，需要一些通俗解释。这个任务有点难。相关书籍相当厚，例如教科书有 400 多页，研究生用一个学期来学习，也是个不轻松的课程，仅靠个人博文难以胜任，只好再来一次“弄斧邀班”，请出科学网上的达人，一起来讨论这个教学难点。利用周末，从讲课的 PPT 中取了一些素材，写成这篇博文。以学过小波而觉不爽的学生为参考对象、以教学方法讨论为目的，从大思路、远轮廓、以及哲理的角度给讨论开个头，为避开复杂公式和形式化描述，采用例子和比喻来做解释，例子和比喻不能取代数学老师的严格训练。疏漏之处，请朋友们指正。小波三特点：一小、二波、三速降图 1 中给出了典型的小波， 1 号中规中矩、 3 号像白鹤亮翅，正视着读者； 4 号是哈尔小波，体型方头方脚，尺度有胖有瘦； 5 号是墨西哥草帽，漂亮且对称。从外形看，它们像一粒珍珠落入了九寨沟那湖面如镜的镜湖，动静不大而信息丰富；首次冲击之后，激起的涟漪随时间很快地渐行渐小。这里说“ 像 ”而不用“ 是 ”，是因为有两个物理对象:(a)中心点的上下振动随时间变化的曲线图，它在人的想像中（可视为小波）；(b)水面波，由周围的质点振动形成，且传递能量,可被视觉感知；因为前者是后者的原因，所以波形相像。特征可描述为：一小、二波（有正有负，有起有落）、三速降。这些特性确保了小波分析的局部性，后两条还保证了在无穷区间上积分收敛，有如数学上的交错级数，有正有负，而绝对值渐行渐小，级数和不会无穷大。下面给出一些类比的例子，与小波相比，事虽不同，但哲理同；旨在说明采用有语义、有内涵的坐标基，可以描述比较复杂的对象。下面由浅入深地表述。几何坐标基底简单但缺乏语义解析几何中，在直角坐标系 X ， Y ， Z 轴正方向上，各选一个单位向量，记为 i ， j ， k, 向量 V=a*i+b*j+c*k, 对应从原点指向（ a,b,c ）那一点的向量。在等式两边点乘 k, 立刻得到 V*k=c; 坐标值 c 即 v 在 k 上的投影的长度。（ a,b 也有类似意义），计算、存储和信息交换都很方便。但是，这可能误导初学者，以为单位向量都是那么抽象、那么简单、没有内部结构、也没有语义。带语义的7维象棋空间中国象棋讲究“势”和“力”， “势”由棋子类型及其位置的综合表达，“力”是一个 7 维向量，（红方的）向量基底是帅，仕，相，车，马，炮，兵。向量 (1,2,2,2,2,2,5) 表示开局时红方 16 个棋子的全部力量。中国象棋中，子型不能变换，所以各维度可视为正交，而向量（ 1,1,0,1,0,0,0,0 ）就表示只剩下一帅，一仕，一车的残局了。此例中，单位向量有一点语义了。人生追求的坐标系考虑描述理想与追求的多维空间，设有坐标基底（土地（亩），牛，炕，车，房，妻子，儿子 , 职称，论文，成果， …. ），则向量（ 30,1,1,0,0,1,1 ， 0 ， 0 ， …. ）就表示了“三十亩地一头牛 …. ”的那种低标准追求， ….. 音乐的合成与分解一场有众多乐器的合奏，在菜鸟耳中，也许只是一个好听的波 W 。而乐队指挥或骨灰级的发烧友能够准确地把 W 按音色个性分解，例如，分解出 W= 1* 钢琴 +3* 提琴 +1* 长号 +1* 黑管 +… ，在排练时，谁出了一点小错，都逃不过乐队指挥那明察秋毫的耳朵。这是以复杂对象（如钢琴，提琴，长号等）为基元的分解，而不是傅里叶分解，傅里叶分解的基本单元是没有音色个性的 Sin( ω t), Cos( ω t)。 w 好像一盘东北农家名菜“大丰收”，而傅里叶分解把他们全磨成了带有频率标记的粉末，打乱后，再按频率标记分堆；已经品尝不到玉米、土豆、花生的单独的味道了。用墨西哥草帽小波来做基向量。设有三个两两正交墨西哥草帽波 U ， V ， W ；根据其外形，依次给绰号为：胖帽，中帽和瘦帽。不难造一个波 Y =3*U+4*V+5*W ，即 Y 可以由三个胖帽， 4 个中帽，和 5 瘦帽来合成。Y 的形状比较复杂，普通人看到Y ，难知其配方，好像按秘方配制的云南白药。而分解成 3*U+4*V+5*W 之后。就容易描述、分析、复制或重建了，下面是一个应用。人工多喷口间歇泉的池面波分析和异地重建为了简单，想象一个人工间歇喷泉 , 有三个涌泉水管，捆绑在一起（从而可简化为一个点涌），每隔N 分钟，喷涌一次; 精心设计喷口形状，使得喷涌波形（近似地）表达为胖、中、瘦的三个墨西哥草帽小波，且草帽的尺度（暂理解为水平方向的代表性尺寸）为 w1,w2,w3 。控制水压，使得三个涌泉口以一定的加权系数p.q.r喷涌, 他们在时间上依次延时b 秒（时间轴上的平移b ）。结果，观众看到了复杂多变的美丽喷泉和一池水波。如果知道 w1,w2,w3 ，b,p,q,r,则池面波形可计算、可重复，可在异地重建。现在反过来，设w1,w2,w3 ，b,p,q,r，或其中一部分是秘密参数。用摄录像机记录下了池面的波的视频，能够从视频分析出上述数值吗？换言之，能把池面的波分解为小波基底上的向量吗？不知类似的分析能否在防洪堤坝的管涌分析方面找到应用？小波压缩和信息编码如果上述分解成功了，就不需要存储和传送复杂的池面的波函数，而只需传递w1,w2,w3 ，b,p,q,r等数值。如果系数p 比q ,r 小 10000 倍，忽略它引起的失真很小，这就就压缩了小波，在异地重建时，可节约经费。如果秘密参数w1,w2,w3 ，b,p,q,r包含一条重要信息的编码，间歇喷泉就构成了喷泉密码或小波密码；外行看到的是美丽的喷泉，内行知道其传递的消息。由解析几何常识，正交的基向量能使表达简单，怎样寻找正交的小波基呢：方法之一是：时间平移创造正交下图中有 4 个尺度一样的但带不同时间平移的 Harr 小波，现说明他们是正交的。两个函数 U(t) ， V(t)的向量内积 U*V= |U|*|V|cos( α ) = ∫ U(t)V(t) dt ( 在一定的积分限上 ) 如果内积为 0 ，表示 α 为直角，称两函数（向量）正交或无关（没有缘分）。看他们都长得端庄方正，似乎有缘，由于巧妙的延时，它们约会作内积时，你不为零我为零，我不为零你为零，总是相错，即使相约无穷长时间，内积还是为 0 ；那匍匐在横轴上的长长尾巴，就像一声长叹：实在是有缘无分。易见，上面 4 个向量是两两正交的。其他类型的小波要复杂一些。大致情况是：在适当的时移之下，两个小波的主部在时间上错开，而次要部分的绝对值渐行渐小，又正负抵消，以至内积为零，当然，有了直观启示后，还需要严格的数学计算。所以，用适当的时移可以创造正交的向量集。博文已经较长，剩下的内容还要长一些，或许更有趣一些，拟在下文中回答下列问题：问尺度，常听说 2 K 倍尺度，为什么 2 K 倍尺度能创造正交小波？有直观解释吗？问显微，人说小波分析是数学显微镜？怎样显微，有直观解释吗？问基底，怎样直观地构造一个小波正交基底？有直观解释吗？相关博文辐射、服碘、补盐、空袭和卷积 ----- 教学难点讨论之一引玉之砖释小波--教学难点讨论之二尺度伸缩，男女声合唱与数学显微镜--教学难点讨论之三怎样讲解较复杂对象的演化过程 — 教学难点讨论之四实事实地有实照，从此点名不烦恼--介绍一款照相点名系统其他科普博文安徽高考作文“梯子不用时横着放”的科普版其它系列博文的入口唐常杰博客主页科学博客主页参考文献陈安龙 , 唐常杰 , 元昌安 , 朱明放 , 段磊 , 基于小波和偶合特征的多数据流压缩算法 , , 软件学报 Vol.18, No.2 。 P177-184 陈安龙 , 唐常杰 , 傅彦 , 廖勇 , 基于能量和频繁模式的数据流预测查询算法 , 软件学报 ,2008,Vol.19 ,,N0.6 PP,1413-1421 Zheng Jiaoling, Tang Changjie, Qiao Shaojie, Yang Ning, Wang Yue, Chen Yu, Zhu Jun, MMIR: Mining Multi-scale Intervention Rules in Sub-Complex System, The 12th International Asia-Pacific Web Conference (APWeb 2010, pp369-371) 成礼智等， “小波的理论和应用”（研究生教学丛书），科学出版社， 2004.9; 个人分类: 科普札记|20869 次阅读|44 个评论

小波多尺度分析的发明：跨学科创新的典范: 热度 22 stone1971111 2011-3-25 10:58; ----------------------- 名词解释：小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号( 函数 )逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。多尺度分析是小波分析的基本理论框架，其发明人为S. Mallat和Y. Meyer。文章发表于87-89年之间。 --------------------------------------------------------------------------------------- 最近在中科院研究生院讲小波课，这门课讲了十年了，每次讲到小波分析的核心架构：小波多尺度分析的时候，都要回顾一下当年的历史，我试图给学生们展示当时的历史环境，试图分析出作为主要创造人的法国年轻数学家S. Mallat 在博士阶段为什么能够创造出这个美妙的理论框架。虽然几经分析，也没有特别好的结论。06年，Mallat博士来我这里访问，我请他在我的课堂上做了一个报告，原希望请他讲讲他当时是如何思考并提出多尺度分析的，他摇了摇头，说，他自己也不知道怎么想出来的，不好讲，最后还是讲了他的最新成果。到今天，我似乎只能得到一个结论，那就是，这是个跨学科创新的美妙的例子，只有Mallat这样的人才有可能提出类似的理论。首先， Mallat学习工科出身，做的数学理论研究。 Mallat先学了一个通信专业的专科和本科，然后就去读数学专业的博士。这个专业优势使得他能够同时理解工程论文和数学论文。看Mallat的第一篇论文的文献就可以看出，他看了IEEE上的关于图像紧致编码的论文，该论文提出了金字塔结构，也看了他的老师Y. Meyer的数学论文：小波与算子和Morlet(需要一提的是，这位是做地震信号处理的，也经常在数学杂志上发文章，他的小波文章就在SIAM上)的小波文章，前者是在信号和图像处理中的论文，没什么复杂的定理和公式，有的只是计算方法和图片，后者是纯粹的数学理论。两者之间的跨度是很大的。记得我读小波分析的时候，还没有几个数学界同行能够读IEEE上的论文，尤其是读懂没有公式的论文。Mallat正是将两者的优势集中在了一起，才有了多尺度分析（MRA, Mult-resolution Analysis），他的博士论文发表了三篇文章，两篇在IEEE上，一篇在美国数学会会刊上，其实是一个思想的两种表现。如果换了一个纯粹数学的，就不会去看IEEE的论文，即便看了，也未必有深入的理解。其次， Mallat是初生牛犊。一个准备到美国旅游的同志顺便读了个博士，从来没想到什么重大的创新。他的老师是纯数学的，他肯定不大喜欢，都是经典的调和分析，比较难啃。他自己的出身是工程的，因此，就两者相结合，还真的就搞出了名堂。他的老师非常肯定他的工作，他是3年拿的博士学位，这在美国是很难的。复次， Mallat有个好老师。 Mallat博士期间应该是自由自在的做学问的，可以从他的博士论文发表的情况可以看出。他的论文都是一个作者，他自己。别人都没有署名。也就是承认了他的创造的独立性，并不是他老师给的想法，他做的习题。这个和很多其他的牛人的学生是很不一样的。能够放弃大牛老师的题目自己找问题，这本身就是很重要的一个特点。而老师能够放弃在一个非常重要的成果上的署名同样值得我们尊敬。 Mallat的数学基础非常好。尽管他是学工科出身的，但是其数学基础比得上国内任何大学数学专业出身的。这可以从他的论文的论证精确性能够得到结论。结合国内工科的教学，我们在这方面是很不够的。工科的数学和数学专业相差万里。学了工科学数再到数学系，需要从头念（这是一些大学从工科转学到数学系的规定，二年级工科到数学系后，从一年级开始上）。从Mallat身上我们应该明确的提出，工科的数学教育需要大大的提高。小波分析的其他的专家，如，I. Daubechies，也是工程、物理和数学兼通的学者。Daubchies本来是学物理的，比利时的女土博士。后来做理论物理研究，转向了调和分析，做小波，然后还做了不少信号方面的工作。这同样说明，跨学科带来的好处。但是，只要去跨学科，那就要在相关学科中有深入的功底。我们很多学者太把自己的学科专业看重，把自己贴上了学科的标签。对其他地学科抱有恐惧和排斥的心理，这些对真正的创新并不有利。分成各个专业有利于知识的传播，但是作为创新的过程中来说，更需要学科的融合。这就是我们教育的矛盾。总之，从小波理论的发展历史中，我们能够看到跨学科的优势，尤其是工程和理论的完美结合。我们需要做的就是学工科的加强数学基础的学习，学习数学的，多学习物理和工程的知识，只有这样，我们或许才能走出创新无门的尴尬境地。; 个人分类: 教学闲论|20030 次阅读|48 个评论

空域中基于ROF模型的小波图像修补方法: ccpicasso 2010-10-14 14:44; ROFModel-basedMethodForWavelet ImageInpainting inPixelDomain 摘要图像修补问题是图像处理领域的重要内容之一，本文简要介绍了图像修补问题及现在一些主要的图像修补技术。根据图像修补的目的，提出小波图像修补问题不必局限于小波域求解，也可以在空域得到解决的思想。文中给出了该思想的具体实现依据和步骤，并提出一种在空域中基于 ROF (Rudin-Osher-Fatemi) 模型来实现上述思想的小波图像修补方法。图像修补仿真实验的结果表明，本文提出的方法可以得到较好的图像修补视觉效果，峰值信噪比 (Peaksignaltonoiseratio,PNSR) 小于 10dB 的缺损图像经处理后其 PSNR 达到约 30dB ，较以前的小波图像修补方法，该算法更加显著地提高缺损图像的 PSNR 。因而，本文在空域实现了小波图像修补，本文提出的思想是可行的。关键词图像处理；图像修补； ROF 模型；小波 Abstract Imageinpaintingisoneofthemostimportantproblemsinimageprocesing. Imageinpaintingandsomeofitsmaintechniquesarepresentedinthispaper briefly.Accordingtothetargetofimageinpainting,anideatosolvewavelet imageinpaintingnotonlyinwaveletdomainbutalsoinpixeldomainanditsreason andstepstobeimplementedaregiven.Awaveletimageinpaintingmethodinpixel domainbasedonROF(Rudin-Osher-Fatemi)modelisproposedtoputtheabove idea intopractice.Experimentsshowedthatthemethodcouldgetgoodvisualeffect ofimageinpainting,withhigherPSNRcomparedwithformermethods PSNR ofdamagedimageincreasedfromlessthan10dBto30dBafterprocessingusingourproposedmethod. Therefore,waveletimageinpaintingisachievedinpixeldomain,whichmeansthatourproposedthought ispracticable. Keywords imageprocessing;imageinpainting; Rudin-Osher-Fatemi model;wavelet PDF全文下载; 个人分类: 资料下载|6302 次阅读|3 个评论

空域求解小波图像修补问题的非局部方法: ccpicasso 2010-10-14 14:35; 摘要本文介绍了图像修补和小波图像修补问题，在分别研究了小波域和空域的图像修补技术的基础上，提出在空域解决小波域的图像修补问题的思想。本文简要给出了该思想的实现依据，引入非局部方法，提出实现该思想的非局部方法。实验表明，本文方法可以得到较好的图像修补效果，显著提高图像的峰值信噪比，说明小波域修补问题在空域中解决的可行性。关键词图像处理；图像修补；非局部；小波 Non-localMethodSolvingWaveletImage InpaintingProbleminPixelDomain Abstract TheproblemofImageinpaintingandwaveletimageinpaintingarepresentedinthispaper. Basedonthestudyofvariousmethodstoinpaintimageinwaveletandpixeldomainrespectively, wegetanideatosolvewaveletimageinpaintingprobleminpixeldomain.Non-localmethodisintroduced.Amethodusingnon-localmethodinpixeldomain isproposedtoputthethoughtaboveintopractice.Theexperimentsdemonstratesthemethod works,andinpaintingeffectisgood.Italsoillustratesthefeasibilityofsolvingwaveletimage inpaintinginpixeldomain. Keywords Imageprocessing;Imageinpainting;Non-local;Wavelet PDF全文下载; 个人分类: 资料下载|4766 次阅读|0 个评论

Wavelet Image Inpainting Based on Dictionary Learning ......: ccpicasso 2010-10-14 14:26; WaveletImageInpaintingBasedon DictionaryLearningwithaBetaProcess Abstract -Theproblemofimageinpaintingandwaveletimageinpainting we representedinthis study . D ictionary L earningwith aB eta P rocess(BPDL) wa sintroduced. AnewmethodbasedonBPDL wa sproposedforwaveletimageinpainting.Unlikeconventionalmethodswhichmostlybasedondiffusion theoryinphysics,thismethodisbasedonsparseimagerepresentationand considers an imageasa combinationofdifferent structuralpatterns toachieveinpainting.Theimage simulat ionexperiments we redesignedtotestthealgorithm.Theresultsdemonstrate dthat theconnectivityprincipleofhuman perception wa swellrealizedwithgoodvisioneffect. ThePSNRofthe waveletcoefficientspartly damaged imageswasimproveds i gnificantly after processed bythenewmethod . It'salsoavailableforNIRimages. It ' s concludedthatthepresentedmethodbasedonBPDLwas aneffectivemethodforwaveletimage inpainting. Keywords - ImageI npainting ,W avelet ,DictionaryLearning,Betaprocess pdf全文下载; 个人分类: 资料下载|5424 次阅读|0 个评论

小波图像修补实验结果\窃喜: ccpicasso 2010-5-24 23:01; 有一种喜悦，发自心底的喜悦，实验效果比自己想象中的还好。如果自己心底其实并不喜欢这样的科研生活，而因为这样那样的原因，不得不这样走下去，实在是没有想过会有什么惊人的成果。因为，如果如自己这般混的话，还有成果出现，不是很对不起那些兢兢业业埋头苦干的可敬的科技工作者了么。俗话说的好，老天没眼。喜悦，我很久都是只会暗地里喜怒了，所以窃喜。这次的实验是学校时候了解的一点点东西，关于小波图像修补的，其实仅仅知道问题是什么，然后就偶尔想想，捡到什么工具了，总忘不了拿过来试试效果。这次的效果真的很好。有搞图像处理方面的朋友，可以了解一下wavelet image inpainting，然后过来欣赏这次实验的结果吧【如下图】。具体的做法，下次整理好再细说。顺便说一句，其实这次实验的方法我自己都不清楚，只是实验结果如人意，我才对该方法有兴趣，不然学了方法，出来的结果不如人意，不是白忙活了么。建议大家先用方法，然后看结果，好的话把它就搞清楚，不好的话不如罢了。这个当然不是做科研的说的话，但是，其实是对做科研的人说的话。【附注】图中似乎有个红色条状物，我喜欢一边听歌，一边看paper，一边实验; 个人分类: 奇妙思想≈≈奇思妙想|3255 次阅读|2 个评论

小波工具对碳通量进行时间尺度的分析: TanBeyoung 2010-4-1 11:22; 最近返修一篇论文，审稿人建议进行碳通量的小波分析；因此，我们更新了一个进行小波分析的matlab程序，如果有兴趣的博友可以email我： tanzh@xtbg.ac.cn ，欢迎讨论。 Ref: 以上言论仅为一家之言，偏颇之处在所难免，仅供博友消遣之用，不到之处敬请谅解。; 个人分类: 未分类|463 次阅读|0 个评论

什么是小波图像融合: liqin860408 2010-3-29 01:56; 图像融合是将两幅或多幅图像融合在一起，以获取对同一场景的更为精确、更为全面、更为可靠的图像描述。融合算法应该充分利用各原图像的互补信息，使融合后的图像更适合人的视觉感受，适合进一步分析的需要；并且应该统一编码，压缩数据量，以便于传输。图像融合可分为三个层次: 1.像素级融合 2.特征级融合 3.决策级融合其中像素级融合是最低层次的融合，也是后两级的基础。它是将各原图像中对应的像素进行融合处理，保留了尽可能多的图像信息，精度比较高，因而倍受人们的重视。像素级的图像融合方法大致可分为三大类: 1.简单的图像融合方法 2.基于塔形分解（如Laplace塔形分解、比率塔等）的图像融合方法 3.基于小波变换的图像融合方法小波变换是图像的多尺度、多分辨率分解，它可以聚焦到图像的任意细节，被称为数学上的显微镜。近年来，随着小波理论及其应用的发展，已将小波多分辨率分解用于像素级图像融合。小波变换的固有特性使其在图像处理中有如下优点： 1.完善的重构能力，保证信号在分解过程中没有信息损失和冗余信息； 2.把图像分解成平均图像和细节图像的组合，分别代表了图像的不同结构，因此容易提取原始图像的结构信息和细节信息； 3.具有快速算法，它在小波变换中的作用相当于FFT算法在傅立叶变换中的作用，为小波变换应用提供了必要的手段； 4.二维小波分析提供了与人类视觉系统方向相吻合的选择性图像。像素级图像融合的主要步骤以两幅图像的融合为例。设A，B为两幅原始图像，F为融合后的图像。若对二维图像进行N层的小波分解，最终将有(3N+1)个不同频带，其中包含3N 个高频子图像和1个低频子图像。其融合处理的基本步骤如下：（1）对每一原图像分别进行小波变换，建立图像的小波塔型分解；（2）对各分解层分别进行融合处理。各分解层上的不同频率分量可采用不同的融合算子进行融合处理，最终得到融合后的小波金字塔；（3）对融合后所得小波金字塔进行小波重构，所得到的重构图像即为融合图像。图 1 在图像融合过程中，小波基的种类和小波分解的层数对融合效果有很大的影响，对特定的图像来说，哪一种小波基的融合效果最好，分解到哪一层最合适，都是需要考虑的问题。为此可以通过引入融合效果的评价来构成一个闭环系统。如图2所示。对图像而言，小波变换是将图像分解成频域上各个频率段的子图，以代表原图的各个特征分量。这对后续的融合处理极为重要，使得融合处理可以根据不同的特征分量采用不同的融合方法以达到最佳融合效果。图像的融合策略（方法）是图像融合的核心，方法与规则的优劣直接影响融合的速度与质量。在一幅图像的小波分解中，绝对值较大的小波高频系数对应着亮度急剧变化的点，也就是图像中对比度变换较大的边缘特征，如边界、亮线及区域轮廓。融合的效果就是对同样的目标，融合前在图像A中若比图像B中显著，融合后图像A中的目标就被保留，图像B中的目标就被忽略。这样，图像A、B中目标的小波变换系数将在不同的分辨率水平上占统治地位，从而在最终的融合图像中，图像A 与图像B中的显著目标都被保留。目前小波域的融合规则主要分为两种：一、基于单个像素的融合规则主要包括:（1）小波系数的直接替换或追加；（2）最大值选取；（3）加权平均。二、基于区域特征的融合规则。主要包括:（1）基于梯度的方法；（2）基于局域方差的方法；（3）基于局域能量的方法。基于像素的融合规则在融合处理时表现出对边缘的高度敏感性，使得在预处理时要求图像是严格对准的，否则处理结果将不尽人意，这就加大了预处理的难度。基于区域的融合规则由于考虑了与相邻像素间的相关性，降低了对边缘的敏感性，所以具有更加广泛的适用性。针对不同类型的图像，下面介绍几种常用的融合方法：（1）取系数绝对值较大法适合高频成分较丰富，亮度、对比度较高的原图像，否则在融合图像中只保留一幅图像的特征，其他的特征被覆盖；融合图像中基本保留原图像的特征，图像对比度与原图像基本相同。小波变换的实际作用是对信号解相关，并将信号的全部信息集中到一部分具有大幅值的小波系数中。这些大的小波系数含有的能量远比小系数含有的能量大，从而在信号的重构中，大的系数比小的系数更重要。（2）加权平均法权重系数可调，适用范围广，可消除部分噪声，原图像信息损失较少，但会造成图像对比度的下降，需要进行图像灰度增强。（3）消除高频噪声法高频噪声基本消除，融合图像对比度较高，原图像特征可较好地保留在融合图像中，但在消除高频噪声的同时，损失了部分高频信息。（4）双阈值法适于原图像中一幅图像的灰度分布均衡，高频成分较多；双阈值可选，增加了算法的实用性，但选择阈值时要考虑原图像灰度分布的特点，否则有可能出现边缘跳跃的现象。; 个人分类: 未分类|8658 次阅读|1 个评论

因式提升（小波）－－助记辞: metanb 2010-3-11 19:02; 滤对互补玩提升，低端偶奇单公因。偶奇左上商幺常，低则高倒保偶项。偶奇补相造对角，右上左下奇偶商。补相提升得原相，因式提升一步遥。; 个人分类: 教学研究|3198 次阅读|0 个评论

提升（小波）－－助记辞: metanb 2010-3-9 00:19; 滤对互补玩幺相，提升项在补劳伦。【注：吼吼，就这么简单！】; 个人分类: 教学研究|2392 次阅读|0 个评论

FIR小波变换－－助记辞: metanb 2010-3-8 22:35; 综合分析上下采，调制低高左右反。对偶倒转调二幺，有限调偶皆可逆。偶方还加奇方倒，镜和平均镜差倒。多相左右偶奇降，方转得调一则半。相偶倒转幺完构，行列单项相偶逆。且把多相归幺相，偶相小波立可得。; 个人分类: 教学研究|3358 次阅读|0 个评论

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