作者 : 王季陶 我们知道热力学第二定律熵增原理 : ( 孤立系统或绝热过程的熵增不可能为负 ) 及其数学表达式 : d S ≥ 0. (1) 熵增原理只能适用于孤立系统或绝热过程 . 那末对非孤立系统或非绝热过程应该怎么办 ? 很简单 , 只需要选择以下两种说法中一句话的熵产生原理 . 1. 第一种说法 : 把系统熵增 ( d S ) 和环境熵增 ( d S surr ) 加在一起 , 不就是成为了大孤立系统或绝热过程的熵增 , 称之为熵产生 ( d i S = d S + d S surr ), 它不可能为负 , 于是就得到熵产生原理 : ( 任何系统的熵产生不可能为负 ) 及其数学表达式 : d i S ≥ 0. (2) 2. 第二种说法 : 把系统的熵增 ( d S ) 分成两部分 : 由于 物质和能量交换引起的熵增部分 , 称为熵流 ( d e S ); 而由于 内部不可逆过程引起的熵增部分 , 称为熵产生 ( d i S ); 即 d S = d i S + d e S . 于是熵流是 可正可负 , 而熵产生不可能为负 , 就 得到热力学第二定律的熵产生原理 : ( 任何系统的熵产生不可能为负 ) 及其数学表达式 : d i S ≥ 0. (2) 两句话等价及计算方法 环境的熵增可以被认为是从系统和环境在能量或物质交换时流出来的环境熵增 , 即熵流等于负的环境熵增 : d e S = − d S surr (3) 因此以上两种说法实际上是相同的 , 既可以写成 : d i S = d S + d S surr (4) 也可以写成 : d S = d i S + d e S . (5) 两 种不同的熵产生说法 , 在计算时所用的方法也完全相同 , 都可以任意选择使用 (4) 式或 (5) 式 . 实际上通常都采用 (4) 式 , 即 熵产生 (d i S ) = 系统熵增 (d S ) + 环境熵增 (d S surr ) . 由此可见 , 以上列举的 “ 熵产生 ” 两种说法 , 本质上是完全相同的 . 必须注意: 用热力学参数讨论任何非平衡态时 , 一定包含了局域平衡近似 . 在使用熵增原理和熵产生原理时也没有例外 . 小结 熵产生原理的正确性毫无问题 , 实际上就是熵增原理的正确扩展 . 以上两种 “ 熵产生 ” 说法本质上完全相同 . 计算方法更是完全相同 . 但是目前国内的热力学教科书因为前一种说法非常容易理解一带而过 , 不提熵产生 ; 而把后一种说法 , 归纳在可教可不教的 “ 非平衡热力学 ” 或 “ 不可逆过程热力学 ” 的附加章节中 . 结果绝大多数学过热力学的人连什么是 “ 熵产生原理 ” 都不知道 ! 甚至有时把熵增原理 (d S ≥ 0) 直接错误地用于开放系统 , 非常遗憾 !
假定现在我们已经知道早在 1865 年克劳修斯的热力学第二定律表述 （黑字是本博主的注） ： 第二基础原理 , 在我所给出的形式中 , 断定所有在自然界中的转变可以按一定的方向 , 就是我已经假定是正的方向 , 而不需要补偿地由它们自己进行 （指只有正方向自发过程的简单体系） ; 但是对相反的方向 , 就是负的方向 , 它们就只可能在同时发生的正转变的补偿下进行 （指正、负方向自发过程和非自发过程互相补偿的复杂体系） . 克劳修斯的 补偿 现在常被称为 热力学耦合 。如今， 1865 年克劳修斯的热力学第二定律表述 的数学表达式可以写成： 经典热力学第二定律的判据是： d i S 1 = d i S = 0. 体系的熵产生 d i S 等于内部自发过程熵产生 d i S 1 （对只有自发过程的简单非耦合体系） 现代热力学第二定律的判据是： d i S 1 0, d i S 2 0 d i S = 0. 其中体系的熵产生 d i S 等于内部自发过程熵产生 d i S 1 和非自发过程熵产生 d i S 2 之和， d i S = (d i S 1 + d i S 2 ). （对同时包含自发过程和非自发过程的复杂耦合体系） 针对不熟悉 熵产生 的， 可以翻译成相应的等温等压条件下的形式 经典热力学第二定律的判据是： (d G 1 ) T,p = (d G ) T,p = 0. （对只有自发过程的简单非耦合体系） 现代热力学第二定律的判据是： (d G 1 ) T,p 0, (d G 2 ) T,p 0 (d G ) T,p = 0. 其中体系的吉布斯自由能变化 (d G ) T,p 等于内部自发过程吉布斯自由能变化 (d G 1 ) T,p 和非自发过程吉布斯自由能变化 (d G 1 ) T,p 之和， (d G ) T,p = . （对同时包含自发和非自发过程的复杂耦合体系） 在我们已经了解这一切的情况下，还犹豫什么！ 勇敢地学习、使用克劳修斯正、负方向补偿原理！ 第一例：非常肯定地说：把熵增原理等同于热力学第二定律一定是错误的， 熵增原理 热力学第二定律 第二例：通常所说的物理过程，如： 1850 年克劳修斯的表述： 不可能把热从低温物体传到高温物体而不引起其他变化 ，或 1851 年开尔文的表述： 不可能从单一热源取热使之完全变为有用的功而不产生其他影响 。都是指克劳修斯的正方向， d i S 1 = d i S = 0 （只有自发过程的简单非耦合体系） ； 完全符合（ 1850 年克劳修斯的和 1851 年开尔文的 ）热力学第二定律！ 而地球上的生物进化、社会发展或技术进步都是克劳修斯的负方向， d i S 2 0 （ 非自发过程 ） ，那么什么是克劳修斯正方向的补偿呢？答案非常明确：就是阳光的退化， d i S 1 0 （ 自发过程 ） ；体系就是 。这就是一个同时包含自发过程和非自发过程的复杂耦合体系，因此该体系的熵产生 d i S = (d i S 1 + d i S 2 )=0 。完全符合（ 1865 年克劳修斯的 ）热力学第二定律！ 注意： 1. 对开放体系完全不能使用熵增原理！ 2. 对开放体系完全不能使用负熵等错误术语作为热力学的判据！ 3. 正熵产生是任何 体系 的普适热力学判据，但是不能用于复杂体系的单个内部过程！ 结论： 1850年克劳修斯的表述或1851年开尔文的表述（它们是等价的），和1865年克劳修斯的表述都是热力学第二定律的组成部分！后者和前二者之间是不等价的，而是互补的！ 克劳修斯正、负方向补偿原理可简称为（克劳修斯）补偿原理，或热力学耦合原理！
热力学是一门严谨的学科。 然而就在热力学和相关领域中，可以说是 任意扭曲或自编自造热力学的 热力学第二定律 和熵理论成风，国内外都一样！国外 2005 年 Challenges to the Second Law of Thermodynamics （对热力学第二定律的挑战） （以下简称挑战）一书中就归纳了所谓的 热力学第二定律 和 熵的表达式 各自有 21 种！可能他们还来不及归纳 张启仁 . 热力学第二定律的一个普遍的信息论证明 . 中国科学 G 辑 : 物理学力学天文学， 2008 年第 38 卷第 6 期 , 781~784 （以下简称 热 文）中的 熵定义 ： 。当然挑战一书中也不得不承认：这些 所谓的 热力学第二定律 和 熵的表达式 ， 它们并非全都等价的 , 也就是说 , 满足了一个式子不一定能满足另一个式子 . 某些形式相互覆盖的 , 而另一些则似乎是完全不同的定律 . 既然如此，就不能允许任意采用某个所谓熵理论来证明真正的热力学第二定律！ 热 文并没有能证明文中引入的 熵定义 自身就是克劳修斯的熵。 热 文的 熵定义 可能和 1948 年 Shannon 提出的 信息熵 的定义也不同，而且 Shannon 还把他引入的概念称为信息熵，以表示不同于热力学的熵！而 热 文中完全把 信息熵和热力学的熵混淆起来！这种可能是 第 22 个乃至第 100 个的所谓 熵的表达式 。 这些被扩展提出的这些所谓 熵 不同于目前绝大多数热力学学者的理解 , 至少并非属于热力学学科范围 , 或许可能归属于热力学以外的其他学科 . 为什么到 热 文的 最后突然一下子就变成热力学中的 克劳修斯的熵增原理中的熵呢！这种证明能成立吗！ 不同学科之间的类比或借鉴是允许的，但是决不能混淆起来！ 请看均已出版的我中英文版现代热力学（Modern Thermodynamics）第一章中，就有以下一段话： ===== 2005 年卡培克 (V. Cpek) 和希汉 (D.P. Sheehan) 所著的 对热力学第二定律的挑战 : 理论和实验 (Challenges to the Second Law of Thermodynamics: Theory and Experiment) 一书就是一个方面的代表 . 该书强调第二定律 一旦建立即放任地繁衍出各种表述形式 ; 它们并非全都等价的 , 也就是说 , 满足了一个式子不一定能满足另一个式子 . 某些形式相互覆盖的 , 而另一些则似乎是完全不同的定律 . (Once established, it settled in and multiplied wantonly; ... . Not all formulations are equivalent, such that to satisfy one is not necessary to satisfy another. Some versions overlap, while others appear to be entirely distinct laws.) 于是 , 卡培克和希汉就把所谓的 热力学第二定律 和 熵的表达式 各自列举了 21 种 . 除了卡诺 (Sadi Carnot) 、开尔文 (Lord Kelvin) 、克劳修斯 (Rudolf Clausius) 、吉布斯 (Josiah Willard Gibbs) 等人的表述或表达式以外 , 他们把波茨曼 (Boltzmann) 的 几率熵 (probability entropy) 和申农 (Shannon) 的 信息熵 (information entropy), 以及用量子力学密度函数来定义的 熵 (entropy) 等都混为一谈 . 他们所列举的清单上也包含了克劳修斯的 宇宙基本定律 (fundamental laws of the universe). 在这样的混淆中 , 卡培克和希汉就推出了他们各自的 量子挑战 (quantum challenges) 和 重力挑战 (gravitational challenges). 当然 , 被他们扩展提出的这些所谓 热力学第二定律 和 熵 不同于目前绝大多数热力学学者的理解 , 至少并非属于热力学学科范围 , 或许可能归属于热力学以外的其他学科 . 另一方面 , 挑战来自于少数经典 ( 或传统 ) 的热力学家 . 他们主要是夸大经典热力学的作用和适用范围 , 同时试图把整个热力学的适用范围局限于经典热力学的适用范围以内 , 即认为经典 ( 或传统 ) 热力学就是热力学的全部 . 例如 , 在 2005 年克莱登 ( A. Kleidon) 和劳伦兹 (R.D. Lorenz) 编辑的 非平衡热力学和熵产生 生命 , 地球及其他 (Non-equilibrium Thermodynamics and the Production of Entropy Life, Earth, and Beyond) 一书中倾向于把各种复杂的问题都归结为基于经典热力学的 最大熵原理 (maximum entropy principle). 他们在 前言 中以爱因斯坦在 1949 年的一句名言为自豪 , 即爱因斯坦说过 : 一个理论 , 如果它的前提越简单 , 而且能说明各种类型的问题越多 , 应用的范围越广 , 那么它给人们的印象就越深刻 . 因此 , 经典热力学给我留下了深刻的印象 . 经典热力学是具有普遍内容的唯一物理理论 . 我深信在其基本概念适用的范围内是绝不会被推翻的 . (A theory is more impressive the greater the simplicity of its premises is, the more different kinds of things it relates, and the more extended its area of applicability. Therefore the deep impression which classical thermodynamics made upon me. It is the only physical theory of universal content concerning which I am convinced that, within the framework of the applicability of its basic concepts, it will never be overthrown.) 其实 , 爱因斯坦说的是经典热力学 在其基本概念适用的范围内是决不会被推翻的 , 而 在其基本概念适用的范围 以外就可能是不适用的 . ====
谢谢张学文老师在我的前面博文 “ 同位素分离中的现代热力学 ” 和 “ 熵产生也是状态函数的变化值 ” 提出的评论中所包含的重要基本问题。因为对等温等压可逆过程的图作了省略，回复还不够清楚，为此继续在博文中通过作图等作进一步回复和扩展。 标题： 发表评论人： zhangxw 删除 回复 王教授，您好！ 您的此文中，到公式 2 的计算，我明白也承认了。 可由于这个过程中对环境没有影响。所以环境也不应当有因为里面的气体膨胀而引起的状态变化，于是环境不会因为该膨胀过程而有状态变化。所以我自然理解环境没有熵的变化，所以后面您的分析我就不知道是什么了 -- 这就是我简单想法。 您说 “ 可逆等温膨胀时的环境熵变是 -19.14 J×K-1” 这句话我就不理解其来源。 张学文 博主回复：如果我把等温等压可逆膨胀过程的虚线孤立体系图也画出来。这时环境就有熵变，因为环境提供的热量 dQ 除以温度 T 再积分就得到 -19.14 JK-1 （环境是放热所以是负值）。而等温等压可逆膨胀的熵产生还是体系的熵变 19.14 JK-1 和环境的熵变 -19.14 JK-1 相加。结果等于零。这完全符合虚线表示的孤立体系熵增原理，内部只有可逆过程熵增等于零。 王季陶 为了了解熵产生的真正含义，我再补充可逆等温膨胀时的图： 1 mol 理想气体作等温膨胀到 10 倍于原来的体积。这一过程可以通过一个可逆途径来实现，见图 3 。可逆等温膨胀时体系 的熵变是 Δ S rsyst = Q R / T 的积分 = 19.14 J × K - 1 。 可逆等温膨胀时的环境熵变是 - 19.14 J × K - 1 ，因为对环境而言，是提供热量取负号， Δ S surr = - Q R / T 的积分 = - 19.14 J × K - 1 。这样从图 4 中孤立体系 来看，可逆等温膨胀时孤立体系的熵变是 Δ S iso = ( Δ S syst + Δ S surr ) = 0 。 这完全符合孤立体系的熵增原理，即孤立体系内只有可逆过程时熵增为零。但是请注意：在这样短短的讨论中，又已经引入了两个 “ 体系 ” 的概念。 (1) 把气体膨胀的部分 称为封闭体系。 (2) 把气体膨胀的部分和环境 称为孤立体系。引入 “ 熵产生 ” 的概念后就没有这样的容易混淆问题。 根据前面的熵产生定义式 d S = d i S + d e S ，也可以写成 Δ S sys = Δ i S + Δ e S 。于是体系的熵流 Δ e S = Δ S syst － Δ i S 或 Δ S surr = － Δ e S 。因此，可逆等温膨胀时体系的 熵变 Δ S syst = 19.14 J × K - 1 ，环境的 熵变 Δ S surr = － 19.14 J K -1 . 于是可逆等温膨胀的熵产生 D i S = ( D S syst + D S surr ) = 0 ( 可逆过程 ) 以及 熵流 D e S =19.14 J K -1 . 请注意在前一博文 “ 熵产生也是状态函数的变化值 ” 的讨论 不可逆真空膨胀的 图 1 和图 2 图中涉及了两个孤立体系，即实线包围部分的孤立体系和虚线包围部分的孤立体系。这次讨论了 可逆等温膨胀 的 图 3 和图 4 图中涉及了一个封闭体系和一个孤立体系。下面再讨论 可逆气体分割开放体系 的 图 5 和图 6 ，这样就 涉及了一个开放体系和一个孤立体系。熵产生计算的方法和原则完全相同，因此熵产生原理是普适的。 根据前面的熵产生定义式 d S = d i S + d e S ，也可以写成 Δ S sys = Δ i S + Δ e S 。于是体系的熵流 Δ e S = Δ S syst － Δ i S 或 Δ S surr = － Δ e S 。假定气体（也可以是液体或固体）的熵值为 S 0 ，则分割前后体系失去了 0.5 S 0 的物质，体系的 熵变 Δ S syst = － 0.5 S 0 ；环境得到了 0.5 S 0 的物质，环境的 熵变 Δ S surr = 0.5 S 0 。 于是可逆气体分割的熵产生 D i S = ( D S syst + D S surr ) = 0 ( 可逆过程 ) 以及 熵流 D e S = － 0.5 S 0 . 注意：这是负的熵流，但是和生命毫无关系，熵流的正负不是热力学的判据！ 结论完全相同：熵产生就是 孤立体系的熵增，当然也一定就是孤立体系的态函数的变化值。千万不要把这个大范围的 “ 孤立体系 ” 和我们讨论的普适 ( 孤立、封闭或开放 ) 的具体 “ 体系 ” 混淆起来！当然也不能把 “ 熵增原理 ” 和普适的 “ 熵产生原理 ” 混淆起来！ 对更复杂的体系如何计算熵产生 有的老师可能会担心：计算这样简单体系的熵产生就如此复杂，那么计算复杂体系的熵产生一定很困难。其实不是这样。因为以上的讨论是为了弄清楚标题所说的“熵产生也是状态函数的变化值”。如果要直接计算以上三个例子非常方便。例如，气体可逆分割开放体系和可逆等温膨胀封闭体系中都只有可逆过程，根本不用计算就知道它们的熵产生都低于零， Δ i S = 0 。而不可逆的向真空作膨胀时的熵产生的计算也非常方便。不可逆过程的熵变必须通过对应的可逆等温膨胀熵变来计算，不可逆的向真空作膨胀时环境没有熵变。于是不可逆的向真空作膨胀时的熵产生 Δ i S =(Δ S syst + Δ S surr )= 19.14 J×K -1 。 此外熵产生是和不可逆过程直接联系的，因此如果一个体系中有多个不可逆过程就可以分别计算，然后相加就得到体系的熵产生。 如果体系中多个不可逆过程的熵产生有的是正，有的是负，也只要直接相加就可以了。这就叫做克劳修斯的“补偿”或叫做“热力学耦合”， 或 。 于是你就进入到现代热力学了！多么方便！ 1990 年以来，激活低压金刚石的一系列计算就是这样完成的，先后发表了几十篇论文和几本中英文专著，全世界的低压金刚石实验数据都“免费”提供给我们计算和发表论文，所以，当时我的硕士生和每人都发表好几篇论文（包括 sci 论文），有一二届博士生达到 10 篇论文发表，一直处于国际领先和独创。国际上至今没有发现有第二个激活低压金刚石的热力学理论模型可以成功解释，更不用说定量计算了。这就是客观事实的检验。
在我的前一博文“ 同位素分离中的现代热力学 ”的评论中，张学文老师进一步提出一个极其重要和有价值的基本问题：按我的理解就是“ 熵产生是不是状态函数的变化值 ？ ”。本文作肯定的回复。如有不妥之处欢迎拍砖和讨论。 标题： 发表评论人： zhangxw 删除 回复 王教授好！ 感谢您对过去的问题的热情说明。 可我认为我的疑问依然没有解决。 熵是状态的函数，状态没有变化，熵的值就没有变化。状态是计算熵的基础。这个论点是热力学的基本认识，我想，您也是承认的，对吗？ 所以我就简单地抱着这个理，即状态没有变化，它的熵自身就没有变化！所以 dsi=0. 而且用量热学（ + 计算）的办法，我们也得不出熵变化了。 关于普里高津的热力学提出的熵流概念，我大概相信过一年，后来就一直持怀疑态度。现在的解释是让我们接受普氏公式，而以牺牲熵的态函数的基本认识为代价的。这我认为是不能这样做。 按照这个理解思路，似乎外来的熵流决定了内部的熵产生，而这个熵产生根本不能用实验测量（内部的熵依然的可以计算的，而且温度不变，物质没有丢失，熵值不变。不变就是变化量 =0 ，而不是大于 0 。 博主回复：我完全同意： “ 熵是状态的函数，状态没有变化，熵的值就没有变化。 ” 但是 “ 状态没有变化，它的熵自身就没有变化！所以 dsi=0.” （我不了解什么是 dsi=0 ）这句话可能不对，因为 “ 熵自身就没有变化 ” 不等于 “diS=0” ，因此是错的。 “ 熵流概念 ” 不是普里高津首先提出来的，但是普里高津同意和使用 “ 熵产生和熵流 ” 是正确的。 在热力学中 状态函数的变化值极其重要。相对而言，状态函数的绝对值除非为了物质的特性列于热力学数据手册中和计算以外，通常不会去使用。与此相反，状态函数的变化值往往是热力学的判据。例如，孤立体系的熵增 (Δ S ) iso ，等温等压体系的吉布斯自由能变化 (Δ G ) T,p 等。长期使人困惑的是这些 状态函数的变化值的适用面都很狭窄。 (Δ S ) iso 仅仅适用于 孤立体系， (Δ G ) T,p 仅仅适用于 等温等压体系。普适的熵产生的概念也就应运而生。从 康狄普特 (Dilip Kondepudi) 和普里高京合著的 “ 现代热力学 ” 一书中可以知道： 在 20 世纪初期 杜亥姆 (Pierre Duhem, 1861-1916), 纳坦舜 (L. Natanson) 和乔曼 (G. Jaumann) 等人引入了熵产生 (entropy production) 和熵流 (entropy flow) 的概念 , 把体系的熵增 d S 分成熵产生 d i S 和熵流 d e S 两部分 , 即 : d S = d i S + d e S . 其中熵产生就是由于体系内部不可逆过程引起的熵增部分 , 而熵流就是由于体系和环境的物质和能量交换引起的熵增部分 . 于是得到比熵增原理更普遍适用的熵产生原理 , 它可以适用于任何孤立 , 封闭和开放的宏观体系 . 熵产生原理的文字表述就是 : 任何体系的熵产生永远大于或等于零 . 参见我的博文 正熵产生原理 , 即 熵增原理的普适化 . 普适的第二定律的数学表达式就可以写成 : d i S = 0 . ( 1 ) 普利高京在 1978 年荣获诺贝尔奖以后，正值我国的改革开放时期。曾经应邀到我国访问，这时他大力宣传介绍熵产生原理，对国内有较大影响。他对推广熵产生原理是有贡献的。但是不要把它误称为“普利高京熵”。 为了了解熵产生的真正含义，我们先看一个具体的例子： 1 mol 理想气体作等温膨胀到 10 倍于原来的体积。这一过程可以通过一个可逆途径或通过一个不可逆的向真空作膨胀来实现，见图 1 。它们的熵变必须是相同的，因为两者的初态和终态都相同。可逆等温膨胀和不可逆的向真空作膨胀时体系 的熵变都是 图 1 气体向真空膨胀的不可逆过程 可逆等温膨胀时的环境熵变是 - 19.14 J × K - 1 ，但是从图 2 中孤立体系 来看，不可逆的向真空作膨胀时的环境熵变是零。因此，可逆等温膨胀时孤立体系的熵变是Δ S iso = ( Δ S syst + Δ S surr ) = 0 ，而不可逆的向真空作膨胀时的孤立体系熵变是 Δ S iso = ( Δ S syst + Δ S surr ) = 19.14 J × K - 1 。 图 2 孤立体系 中的气体向真空膨胀的不可逆过程 这样的情况都符合孤立体系的熵增原理。但是请注意：在这样短短的讨论中，已经引入了两个“体系”的概念。 (1) 把气体膨胀的部分 称为体系。 (2) 把气体膨胀的部分和环境 称为孤立体系。引入“熵产生”的概念后就没有这样的容易混淆问题。 正如 李铭老师所 归纳 的“ 计算熵变三部曲 ” ： (1) 根据实际的过程确定初态和末态； (2) 在初态和末态之间假设一个可逆过程； (3) 沿着假设的可逆过程对 d Q / T 做积分。 而 熵产生计算的方法 实际上就是在 “ 计算熵变三部曲 ” 的基础上，最后增加环境熵变的计算。 (1) 根据实际的过程确定初态和末态； (2) 在初态和末态之间假设一个可逆过程； (3) 沿着假设的可逆过程对 d Q / T 做积分； (4) 环境熵变的计算。最后把前三步得到体系的熵变 Δ S syst 和后一步得到环境的熵变 Δ S surr 相加就是体系的熵产生 Δ i S ( 即另一 孤立体系的熵增 ) 。如果实际的过程是可逆过程 , 体系的熵产生一定等于零。如果实际的过程是不可逆过程 , 体系的熵产生一定大于零。前面的熵产生定义式 d S = d i S + d e S ，也可以写成 Δ S sys = Δ i S + Δ e S 。于 是体系的熵流 Δ e S = Δ S syst － Δ i S 或 Δ S surr = － Δ e S 。 同样的例子： 1 mol 理想气体作等温膨胀到 10 倍于原来的体积 . (a) 可逆等温膨胀 . 从前面已知 : 体系的 熵变 Δ S syst = 19.14 J × K - 1 ，环境的 熵变 Δ S surr = － 19.14 J K -1 . 于是可逆等温膨胀的熵产生 D i S = ( D S syst + D S surr ) = 0 ( 可逆过程 ) 以及 熵流 D e S =19.14 J K -1 . (b) 向真空膨胀 . 从前面已知 : 体系的熵变 Δ S syst = 19.14 J K -1 , 而环境的初态和末态未变 Δ S surr = 0. 于是不可逆真空膨胀的熵产生 D i S = ( D S syst + D S surr )= 19.14 J K -1 ( 不可逆过程 ) 以及 熵流 D e S = 0. 模仿李铭老师的话说: “只要你遵守我这个四部曲，你就对熵产生有了准确的把握。” 通过具体实例的计算，我们就可以更清楚地看到：熵产生就是 孤立体系的熵增。普适的熵产生原理就是从熵增原理的扩展。“熵产生”概念和普适的熵产生原理也一定是完全正确的。 结论：熵产生就是 孤立体系的熵增，当然也一定就是孤立体系的态函数的变化值。千万不要把这个大范围的“孤立体系”和我们讨论的普适 ( 孤立、封闭或开放 ) 的具体“体系”混淆起来！当然也不能把“熵增原理”和普适的“熵产生原理”混淆起来！
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