这是本人最近的系列论文之一，欢迎讨论！ 该文的核心部分是定理1及其证明，其余都是普及性质的成因分析： 定理 1 对于任一根据性质 j ( a )定义的集合 A ={ a ， j ( a )} (13) 则 A 中的元素不包括 A 本身，即 A ~ ∈ A， 证明 分3种情况 : 1) 若 A ={},则 A 中无元素等于 A ，即 A ~ ∈A ；2）若 A 只有一个元素，设用 a 表示之，即 A ={ a }，由（1）式知， a ≠ A ，故 A ~ ∈ A ; 3）若 A 中有多个或无限个元素，用 a 1 , a 2 , a 3 ,…表示之，即 A ={ a 1 , a 2 , a 3 ,…}，因为 a i ≠{ a 1 , a 2 , a 3 ,…}= A ，( i =1,2,3…)，即 A ~ ∈ A 。 证毕 若 j ( a )为 a ~ ∈ a 即 A ={ a | a ~ ∈ a } ，由定理 1 知， A ~ ∈ A 而不可能 A ∈ A ，即 推论 1 罗素悖论并不存在 由于任何集合都可用（ 13 ）定义，故由定理 1 知， 不存在 A ∈ A 的集合，即 推论 2 不存在不平常集。 由推论 2 立刻可得： 推论 3 { a | a ~ ∈ a }={ a , a = a } ，即 { S | S ~ ∈ S }={ S , S = S }; 由推论 2 ， 3 也可证明不存在罗素悖论（略）。 不难看出，上述证明其实只用到了素朴集合论中关于集合与元素的区别，或集合的集合与集合的区别这些基本知识，可见，罗素悖论本质上就是因为混淆了这些概念所致。 全文如下： 康托、罗素悖论的成因及其根除 摘要 只有 在同一律、矛盾律和排中律这三大定律都成立的论域即可行域内，形式逻辑才是可靠的。如果思维不严格、使得推理范围偏离了可行域，产生各种悖论并不奇怪。发现并严格证明了引发了第 3 次数学危机且至今未真正解决的康托悖论和罗素悖论都是由于思维未严格限制在可行域所致，实际上根本不存在。数学界、逻辑学界和哲学界因为该悖论而导致的各种变化，也并不是都有必要的。 关键词：数学基础；康托悖论； 罗素悖论；集合论；可行域 ; 逻辑学 The Causes of Cantor and Russell Paradoxes and the Way to Eradicate Them abstract Only in the feasible domain, in which all of the three laws of formal logic , i.e. , the law of identity, the law of non-contradictory and the law of excluded middle, are hold true, the formal logic is reliable. If the thinking is not strict and the scope of reasoning deviates from the feasible domain, it is not surprising that various paradoxes arise. It was found and strictly proved that the Cantor and Russell paradoxes, which caused the third mathematical crisis and have not been solved completely so far, are caused by the fact that the thinking is not strictly limited in the feasible domain, and in fact does not exist at all. Not all the changes caused by the paradoxes in mathematics, logic, and philosophy are necessary. Key words: mathematical foundation; Cantor 's paradox ; Russell's paradox; set theory; feasible domain; logic 0引言 长期以来，自然科学所取得的巨大成就使人们坚信：自然科学所使用的推理工具：逻辑学、尤其是形式逻辑是高度可靠的。 然而，康托悖论 、罗素悖论 等逻辑悖论的出现不但形成了第三次数学危机，也动摇了人们的信心。人们不禁问道：如果形式逻辑都没有可靠性，如何保证自然科学尤其是数学的可靠性？ 其实，如所周知，形式逻辑是以同一律，排中律和矛盾律这三大定律为基础的，因此，只有在这三大定律都成立的条件下，形式逻辑才有可靠性可言。然而，在现实世界中，三大定律并非始终成立。例如，在生命产生前后，地球这一概念的外延就发生了翻天覆地的变化，同一律并不成立。事实上，由于地球上每时每刻都在发生着各种变化，因此，严格来说，只有在完全静止的一刹那，地球这个概念才符合同一律。 再例如，孩子出生前后，“家庭一切成员”这一概念的外延发生了变化，同一律也不再成立。因此，若要将讨论严格化，就必须在时间或空间上进行分割即分别讨论。相反，如果将动态地变化着的概念看作静止不变的，即笼统地讨论“家庭一切成员”这一概念，就可能发生逻辑错误 。 因此，在使用形式逻辑时，必须将推理严格限定在三大定律都成立的范围内才有可能得到可靠的结论。为讨论方便，与文献 一样，本文把三大定律都成立的推理范围称为可行域。 本文将指出，在可行域内，形式逻辑依然是可靠的，而所谓逻辑悖论只不过是人们的思维不严格、使得推理范围偏离了可行域所致。因此，只要人们的思维足够严格，逻辑悖论根本不存在。 然而，到目前为止，在数学领域内，由于人们并没有认识到这一点，逻辑悖论的形成原因依然是一个谜，故没人能从加强思维的严格性这一角度来真正地消灭悖论，而只是治标不治本地为解悖而解悖，不但未必能真正解决矛盾，反而可能把简单的问题复杂化，甚至越弄越乱。例如，类型论和各种公理化集合论 都以牺牲研究范围为代价来绕开悖论，但却都没能真正地解决悖论，也不能保证不再出现其他悖论。“直到今天，悖论问题仍然没有彻底解决” 。 本文将揭示对数学界有重大影响的康托悖论和罗素悖论的产生原因：思维不严谨，从而彻底消除了这些悖论对数学界、逻辑学界和哲学界的不良误导，还学界一个正本清源的基础。 1 产生康托悖论和罗素悖论的原因 1.1 背景知识 在康托建立的素朴集合论里，先后“发现”了康托悖论和罗素悖论。从而产生了公理化集合论等以消除这些悖论为主要目的的理论探索。 由于公理化集合论是之后才出现的，为了尊重历史，在讨论这些悖论时，除非特别注明，本文仅在素朴集合论的范围内进行讨论。 如所周知，在素朴集合论里，集合被定义为一些事物的整体，并用集合符号{}列出这些被称为元素的事物。例如，一个元素 a 的集合用{ a }表示，两个元素 a , b 的集合用{ a ， b }表示……要注意元素与集合的区别，例如， a≠ { a } (1) (1)式可直接根据素朴集合论定义证明（反证）：如果 a ={ a }, 则不能用集合符号{}来定义集合，与定义矛盾，故（1）式成立。 在ZF公理化集合论里，由于并没有集合的定义，故（1）式需要用正则公理证明。同理，公理化集合论里的外延公理 在素朴集合论里也只是一个可直接根据集合定义证明的定理。 在素朴集合论里，集合也被视作事物，故集合的整体即集合的集合也可看作是集合。例如，如果 a 是集合，则集合的集合{ a }也是集合。但要注意的是，这时{ a }与 a 仍然不同，即（1）式仍然成立。 集合内元素的数目称为基数。 一个集合的幂集是指用该集合的元素直接组成的所有可能的集合（含没有元素的空集{}）的集合，例如，集合{1，2}的幂集为{{}，{1}，{2}，{1，2}}。对于 n 个元素组成的集合，其幂集有2 n 个元素。 1.2 康托悖论 所谓康托悖论（ Cantor's paradox ） 是逻辑悖论之一。 1899 年由德国康托提出，但直到 1932 年才发表于他的《书信集》中。这一悖论认为考虑一切集合所构成之集 ∨ ，设它的基数为 λ 。因为 ∨ 是最大的集，任何集合的元素必定是 ∨ 的元素，所以 λ 应该是最大的基数，但这与康托定理“任一集合 ∨ 的幂集的基数大于集合 ∨ 的基数”相矛盾。 如前所述，产生康托悖论的原因在于康托将在动态地变化着的、不符合同一律的“一切集合”看成是静止不变的、符合同一律的概念所致。 为了清楚地揭示这一点，我们不妨先假定“一切集合”中只有 ∨ 1 和 ∨ 2 两个集合（当然也可以讨论有3个，4个….甚至无限多个集合的情形），那么虽然 ∨ ={ ∨ 1 ， ∨ 2 } (2) 也是一个集合，但该集合并不是原集合 ∨ 1 和 ∨ 2 中的任何一个，而是新的第三个集合，这样，一切集合已经不是两个而至少有 ∨ 1 ， ∨ 2 ， ∨ 及包括 ∨ 在内的 ∨ 的4个幂集元素{}{ ∨ 1 }{ ∨ 2 }{ ∨ 1 ， ∨ 2 }。如果做更仔细的考察，由于 ∨ 1 ， ∨ 2 是原来的所有集合，其中应该包括空集，那么定义 ∨ 之后，去掉重复的空集，“一切集合”至少有2+（4 - 1）=5个，如果再考虑更多层次的幂集即幂集的幂集等，那“一切集合”就可以有无限多个！ 既然“一切集合”的数目并不是静止不变的，而是随着人们引入新的集合定义而不断快速增长的，当然也不存在一个如康托所想象的最大集合，康托悖论自然根本就不存在了！ 以上推导是如此简单，以至于任何一个初次接触集合论的人都很容易推出，但偏偏集合论的创立者及其追随者们却始终没有做这个简单之极的工作！ 不难看出，康托推导的逻辑错误在于：用“一切集合”定义了一个新集合后，“一切集合”这一概念的外延已经发生了变化，故这时对“一切集合”的同一律已经不再成立，推理已不在可行域之内，从而得出了悖论。 1.3 罗素悖论 罗素(Russell B.)在上世纪初提出了著名的悖论 ，其细节在各种出版物中得到了广泛的体现 。通常，人们认为罗素悖论引起了第三次数学危机，并对后来的数学基础的发展起到了很大的推动作用 ，甚至“极大地震动了数学界、逻辑学界和哲学界” 。虽然偶尔有质疑的文章 ，但未见有能严格地否认该悖论的文献报道。例如，虽然文献 认为百年前策梅洛（E. Zermelo）就认为用公理化之前的经典集合论就可以解决罗素悖论，但并没有给出具体的解决方法。事实上，一直到现在，该悖论仍然困扰着人们并引发诸如从形式构造、逻辑系统甚至修正经典二值逻辑等方面的研究 ，且一直没有公认的消解方法。 罗素是用文字来描述罗素悖论的 。由于文字叙述不一定很清楚，故通常将罗素的文字叙述写成数学公式。 设 A ={ S | S~ ∈ S } （ 3 ） 式中， S 表示一切集合中的任一个集合，其中 符合 S ~ ∈ S 的集合，即集合的元素中不包含集合本身的集合，称为正常集或平常集，否则称为不正常集或不平常集。 所谓罗素悖论源于罗素自问自答的问题： A 是平常集还是不平常集？为了讨论方便，以下将该问题称为罗素之问。罗素是这样回答该问题的： 如果 A ~ ∈ A ， 由于 A 是由所有符合 A ~ ∈ A 的集合组成的，所以 A 的元素中应该有 A , 即 A ∈ A ， 形成矛盾；同理 ， 如果 A ∈ A ， 这时 A 中间不应该出现 A ， 即有 A ~ ∈ A 成立 ， 也 形成矛盾。 这就是罗素悖论！ 与我们解决康托悖论一样，为了回答罗素之问， 不妨也先做一些最简单的具体实例演算：不妨先假定世界上只有一个(当然也可有多个或无限个)平常集 S 1 和另一个(也可多个或无限个)不平常集 S 2 。这样，根据（3）式立刻可得 A ={ S 1 } （4） 注意到 A 的元素中只有 S 1 ， 由（1）式可见， S 1 ≠ A ，即并没有如罗素所想的那样在 A 的元素中出现 A 。 故 A ~ ∈ A ， A 为平常集且并没有出现任何矛盾！ 那么罗素悖论又是从何而来？ 不难发现，如果将上述 假定改成“世界上除了一个平常集 S 1 和另一个不平常集 S 2 外，还有一个集合 A ”，这时就会出现所谓罗素悖论（读者不妨据此自己推导一下）！ 罗素可能是这样想的：既然 S 是指一切集合中的一个， A 也是一个集合，一切集合中自然应该包括 A ，所以才可以修改原假定并据此回答罗素之问。 其实，不管罗素是不是这样想的，他实际上就是自觉或不自觉地这样做的，否则无论如何都得不出所谓的罗素悖论！ 然而，问题在于， A 是对 S 概括后才出现的，因此，在用(3)来对 S 进行概括前是不存在 A 的，既如此，怎么可以在概括前就假定 A 的存在呢？ 显然，罗素并没有注意到集合出现的这种先后次序，把概括后才出现的 A 当成了被概括的集合，陷入了思维混乱，从而才导致了悖论。 打一个比方，孩子出生之前，小家庭的一切成员只有夫妻两个人（ S 1 和 S 2 ），罗素却误以为，既然是家庭的一切成员， S 1 和 S 2 中就应该包括后来才出生的孩子 A ！ 因此，所谓罗素悖论，本质上不过是不能把概括后才出现的 A 当成概括前就存在的集合的反证而已。 与康托悖论一样，本来只要做一些最简单例题演算就可以发现并避免的这种低级错误，偏偏逻辑学家罗素及其追随者们却始终没有做这类工作，从而延误至今！ 其实，在定义 A 之后，如果非要像罗素所想的那样把 A 也看作是一切集合中的一个，则一切集合这一概念的外延已经发生变化，为了防止概念的混淆，这时已不能再用原来的符号 S 来表示 “一切集合”中的任一集合了，不妨用 S’ 表示之。这时， 由于（3）式的右端变了，即集合的外延变了，根据素朴集合论的外延定理，（3）式的左端当然也变了，故也不能再用原来的符号表示，不妨将 （ 3 ）式改写为 A’ ={ S’ | S’ ~ ∈ S’ } （5） 由于已经证明 A 是平常集，故立刻可得 A’ ={ A , S 1 } （6） 可见，由于 A ’Iuml; A ’，故即使一切集合中含有 A , A ’仍然是平常集且不存在矛盾。 而且，即使我们不用到“ A 是平常集”这一结论，也不会产生任何矛盾：如果 A 是不平常集, 则 A’ ={ S 1 } （7） 即 A ’仍然是平常集且也不存在任何矛盾 。 显然，上述讨论也很容易推广到一切集合里有任意多或无限多个平常集和不平常集的一般情形（略）。 综上所述，在严格遵守同一律的条件下，罗素悖论根本不存在。 如果再作进一步的深究，连 不平常集的存在与否都经不起推敲： 事实上，到目前为止，还从来没有人能够真正构造出一个严格意义上的不平常集。 教科书上常常用概念的集合也是概念作为不平常集合的例子。但仔细考查，该例子并不成立。例如，即使把一切概念：概念 1 ，概念 2 ，概念 3 ， …. 的集合 G ={ 概念 1 ，概念 2 ，概念 3 ， ….} （ 8 ） 也看作是一个概念，但是显然 G 决不可能是概念 1 ，概念 2 ，概念 3 ， …. 中的任何一个， G Icirc; G 并不成立！ 那么，既然 G 也是一个概念，是否可以把 G 也列入所有概念之列（其实这就相当于罗素把 A 当作 S ，是导致罗素悖论的根源所在），即把 (8) 式写成： G ={ G , 概念 1 ，概念 2 ，概念 3 ， ….} （ 9 ） 但根据素朴集合论的外延定理，（8）、（9）两个公式的元素不同，集合自然不同，不可用同一个符号 G 表示，否则就犯了“偷换概念”这一违反同一律的低级错误！因此，（9）式左端必须换用其它符号，例如，可以表示成 G ’={ G , 概念 1 ，概念 2 ，概念 3 ， ….} （ 10 ） 显然，这仍然是一个平常集！这里， G ， G ’ 虽然在字面上都称作是一切概念的集合，但实际上与康托悖论中的“一切集合”一样，其外延已经发生了变化，并不是同一个概念，同一律已不再成立！ 其实，根据素朴集合论的定义，一个严格意义上的不平常集应该表示为 X ={ X,Y , Z ….}= {{ X , Y , Z ….}, Y , Z ….}= {{{ X , Y , Z ….}, Y , Z ….}, Y , Z ….}=…（11） 这种无限嵌套的集合是否可能存在？ 例如，对单元素不平常集合，（11）式变为 X ={ X }= {{ X }}= {{{ X }}}=…. （12） 显然与（1）式直接矛盾！ 由于罗素悖论是以假定存在不平常集为前提的，因此，如果根本就不存在不平常集，那么罗素悖论自然也不存在：在只有平常集的世界里， A 就是一切集合的集合，而且以下两个途径都可独立地证明这时 A 也是一个平常集：1)既然不存在非平常集， A 也只能是一个平常集; 2)与从（8）只能得出（10）式而得不出（9）式一样， A 不可能包含自身。 以上用具体演算说明了并不存在罗素悖论，且甚至根本不存在不平常集！以下是上述结论的严格证明： 定理 1 对于任一根据性质 j ( a )定义的集合 A ={ a ， j ( a )} (13) 则 A ~ ∈ A 。 证明 分3种情况 : 1) 若 A ={},则 A 中无元素等于 A ，即 A ~ ∈A ；2）若 A 只有一个元素，设用 a 表示之，即 A ={ a }，由（1）式知， a ≠ A ，故 A ~ ∈ A ; 3）若 A 中有多个或无限个元素，用 a 1 , a 2 , a 3 ,…表示之，即 A ={ a 1 , a 2 , a 3 ,…}，因为 a i ≠{ a 1 , a 2 , a 3 ,…}= A ，( i =1,2,3…)，即 A ~ ∈ A 。 证毕 若 j ( a )为 a ~ ∈ a 即 A ={ a | a ~ ∈ a } ，由定理 1 知， A ~ ∈ A 而不可能 A ∈ A ，即 推论 1 罗素悖论并不存在 由于任何集合都可用（ 13 ）定义，故由定理 1 知， 不存在 A ∈ A 的集合，即 推论 2 不存在不平常集。 由推论 2 立刻可得： 推论 3 { a | a ~ ∈ a }={ a , a = a } ，即 { S | S ~ ∈ S }={ S , S = S }; 由推论 2 ， 3 也可证明不存在罗素悖论（略）。 不难看出，上述证明其实只用到了素朴集合论中关于集合与元素的区别，或集合的集合与集合的区别这些基本知识，可见，罗素悖论本质上就是因为混淆了这些概念所致：虽然（ 3 ）式中 A 也是一个集合，但并不与（ 3 ）式中的 S 所表示的集合（一切集合中的任何一个） 是同一个集合。 2 新素朴集合论与其它集合论的区别 在素朴集合论中证明了定理1后，素朴集合论消除了罗素悖论。虽然定理1是在素朴集合论内证明的，但在本文之前，并未出现（否则罗素悖论早就不存在了），为了讨论方便，暂时把包含定理1的素朴集合论称为新素朴集合论，而把康托的素朴集合论称为旧素朴集合论。 2.1 新素朴集合论与类的概念 引入类的概念是为了避免旧素朴集合论中的悖论。由于通常悖论都发生于集合的集合之类较大的集合，故后人把较大的集合称为类，把类中会导致悖论的类称为真类。真类不再看作是集合，这样悖论自然也就被排斥在集合论之外了。 打一个比方，本来人们可以在大地上任意行走，后来发现某些地方有问题，于是就做了标志绕道走。 显然，这其实只是回避矛盾而不是解决矛盾的办法，其缺点是明显的：有些该去的地方不能去了，而且我们原则上并不知道哪些地方有问题，故并不能排除再度碰到问题的可能。 新素朴集合论就不同了。由于定理1表明，悖论并不存在。故我们仍然可以在大地上任意行走。当然，思维要严格，以防止像康托或罗素那样因为思维不严格而导致不必要的悖论。 2.2 新素朴集合论与公理化集合论 在没有搞清楚产生悖论的原因的情况下，公理化集合论也通过人为划分禁区的方法来避免悖论。因此，上述人为缩小研究范围且无法保证不再出现悖论等问题仍然存在。 笔者以为，即使公理化集合论还有其他积极意义，也应该大幅修改：保留素朴集合论的关于集合定义，尽量将仍然有必要保留但无法证明的公理改为可以证明的定理等。 例如，外延公理完全可以直接根据集合的定义得到证明。 3 总结和讨论 由于世界在不断地变化，建立在静止不变基础上的形式逻辑并不具有普适性，而只能应用在很小的时间和空间范围内，即应用在可行域内。 将推理范围严格地限制在可行域内，是严格思维的最基本要求。 对于较大的研究范围，原则上必须将其在空间和时间上进行分隔，即分割成各个可行域。如果分割不够细致，就可能产生各种悖论。例如，将不同的“一切集合”混为一谈，是产生所谓康托悖论和罗素悖论的原因。 虽然公理化集合论等成功地避免了罗素悖论，但却不合理地以缩小集合论的适用范围为代价，且未必一定能避免一切悖论。 无论是康托悖论还是罗素悖论，其实都是一些诸如概念混淆之类违反同一律的非常低级的错误所导致，只要做一些类似于本文的最简单的具体演算，这些错误都是很容易发现的。不能不批评的是，在数学基础范围，似乎过于迷恋于用一些并不严格的抽象思维“创造”一些惊世骇俗的结论而不愿做一些哪怕是最简单的基础工作来避免错误似乎已成为一种风气，这种浮躁的风气或许是这些如此低级的错误长久未被发现的原因。 数学是高度依赖于推理的科学。任何在逻辑上不严格、经不起推敲的东西都可能在推理的长链上因为失之分毫而差之千里，从而造成灾难性的后果。因此，数学必须是绝对严格的科学。 由于思考问题不严格，由康托和罗素分别建立的其他数学理论的可靠性恐怕也值得质疑和审视。 参考文献 冯契主编 ; 尹大贻 , 朱立元 , 朱贻庭等副主编哲学大辞典•上 . 上海辞书出版社 . 2007 Russell B. Letter to Frege (1902).//Heijenoort J. From Frege to Godel. Cambridge: Harvard University Press. 1967:124-125. 李鸿仪思维规律及其可靠性与实践的关系 .in: 何全胜，郭泽德主编 . 科学思维 ，经济日报出版社 2017 ： 364-377. 戴牧民 陈海燕 郑顶伟 . 公理集合论导引 . 北京：科学出版社， 2011. 张寅生 . 证明方法与理论 . 北京 : 国防工业出版社， 2015. Russell B. The Principle of Mathematics(I) Cambridge: Cambridge University Press ,1903:102. Victor P. Novikov. Aspectual Principle, Benford's Law and Russell's Paradox . arXiv:1012.5537. Nerode A. Logic for applications. New York: Springer Verlag,1997. Link G. Bertrand Russell Invention of mathematical philosophy, one hundred years of Russell’s paradox. De Gruyter Series in Logic and its Applications 2004,6 Clement K. A new century in the life of a paradox. 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