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小学四年级奥数：巧妙求和: 热度 5 carldy 2010-11-27 14:08; 今天小孩在完成奥数练习，主要是关于等差数列的，其中涉及到高斯求和方法，特帮其总结归纳如下：高斯求和法是用来计算等差数列各项和的速算方法。数列指按照一定的次序排列的一串数就叫数列。数列中的每一个数称为数列的一项，第几个数就称为第几项，一般，第一项称为首项；最后一项称为末项。等差数列指的是：在数列中，从第2项起，每一项与它前面一项的差都相等。这个差就叫做公差。高斯求和公式如下：总和＝（首项＋末项）项数2 项数＝（末项－首项）公差＋1 末项＝首项＋公差（项数－1）练习：（1）有一个等差数列：9、12、15、18、、2004，这个数列共有多少项？（2）已知等差数列：1000、993、986、979、、20，这个数列共有多少项？（3）求等差数列：1、6、11、16、的第61项。（4）求等差数列：307、304、301、298、、的第99项。（5）计算：4+5+6+7+8++80 （6）计算：11+12+13++200 补充：用简便方法计算（要求有算式、过程）（7）2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13+...+101+102-103 此题解答如下： 2+3+(-4+5+6-7)+7+(-7+8+9-10)+10+（-10+11+12-13）+13+（-13+14+15-16）...+100+（-100+101+102-103） =2+3+（7+10+13+16+。。。+100） =5+ *(7+100)/2 =5+107*16 =1717 （8）2005+2004-2003+2002+2001-2000+1999+1998-1997+...+1006+1005-1004 原式=（2005+2004-2003）+（2002+2001-2000） =2006+2003+2000++1007 =2006+1007）*334/2 =503171; 个人分类: 童真世界 Time for Childhood|10322 次阅读|0 个评论

[转载]小学奥数，思维训练: carldy 2010-10-4 15:00; 今天我们父子俩在一起做奥数，有几个问题难住我们，比如，请找出如下问题的规律： 1） 3，3，9，6，27，9，（），（）想不出来，我们求助网络朋友，结果发现了如下的训练手册：【备注】如下内容转载于 http://www.meblog.cn/user3/4092/archives/2009/66878.shtml 《奥赛天天练》第 1 讲《找规律巧填数》。规律填数一般有两大类型：数列和图表。最基本的理论基础还是数列，图表的填空也是以数列知识为基础的。需要阅读《数列的初步认识》，请点击： user3/4092/archives/2009/66878.shtml （请见下面的链接）寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手：一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律。二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。《奥赛天天练》第 1 讲，模仿训练，练习 2 【题目】：按规律在？处填数。（请看文后的图片）【解析】：第（ 1 ）小题，仔细观察前三幅图，通过计算可找到规律：上格的数字与左下格数字之差的 2 倍就是右下格数字，如第一幅图中：（ 8-6 ） 2=4 。所以第四幅图中？处的数字为：（ 13-6 ） 2=14 ；第五幅图中？处的数字为： 32- （ 24 2 ） =20 。第（ 2 ）小题，仔细观察前两幅图，通过计算可找到规律：中间方格中的数字就等于左、上、右方三角形中三个数字连乘的积，如第一幅图中： 1 4 5=20 。所以第三幅图中？处的数字为： 3 5 2=30 ；第四幅图中？处的数字为： 56 （ 7 8 ） =1 。《奥赛天天练》第 1 讲，巩固训练，习题 2 【题目】：将 8 个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和。如果第 7 个数和第 8 个数分别是 81 ， 131 ，那么第一个数是多少？【解析】：根据题意列出数列（未知数字用方框代替）： □、□、□、□、□、□、 81 、 131 从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和，倒过来可以推出，这个数列中每个数等于这个数后面两个数的差。如：第 8 个数等于第 7 个数与第 6 个数的和，则第 6 个数就等于第 8 个数与第 7 个数的差，可求出第 6 个数为： 131-81=50 。依次倒推，可求出前面 5 个数。第 5 个数为： 81-50=31 ；第 4 个数为： 50-31=19 ；第 3 个数为： 31-19=11 ；第 2 个数为： 19-11=8 ；第 1 个数为： 11-8=3 。本题答案就是斐波那契数列的一部分。数列的初步认识一、基本概念：我们把按某种规律或一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中项的总个数为数列的项数，排在数列第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）；排在第二位的数称为这个数列的第2项，依次类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。通项公式：数列的第N项a n 与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。递推公式：如果数列｛a n ｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。二、常见表示方法：数列的一般形式可以写成：a 1 ，a 2 ，a 3 ， a n ，，简记为｛a n ｝。三、常见数列类型：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；各项呈周期性变化的数列叫做周期数列；各项相等的数列叫做常数列。四、等差数列简介：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。通项公式为：a n =a 1 +(n-1)d；前n项求和公式：S n =n(a 1 +a n )2；项数公式：项数＝（末项-首项）公差＋1；所有项总和＝（首项＋末项）项数 2 ；首项=总和2 项数-末项；末项=总和2 项数-首项。五、等比数列简介：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。通项公式为：a n =a 1 q (n-1) ；当q 1时，等比数列的前n项求和的公式为： S n =a 1 (1-q n )/(1-q)=(a 1 -a n q)/(1-q)。　　六、两个著名的数列：（1）大衍数列：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50......。大衍数列来源于《乾坤谱》，用于解释太极衍生原理,是一系列符合太极衍生法所形成的一组无限数列。通项公式：a n =(ｎｎ－1) 2 (ｎ为奇数)；　　a n =ｎｎ 2 (ｎ为偶数)。前n项求和公式：S n = (n-1)(n+1)(2n+3) 12 (ｎ为奇数）；　 S n = n(n+2)(2n-1) 12 (ｎ为偶数）如图：（文后图片）（2）斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。　斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契，因列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为兔子数列：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子呢？从新出生的一对小兔子开始：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔，总数有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对斐波那契数列还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。这个数列有一些非常奇妙的属性： ①这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的：　a n =(1/ 5){ n - n }（ 5表示根号5） ② 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887 ③从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（比如第3项的平方比前后两项之积多1，第4项的平方比前后两项之积少1） ④递推公式： a 1 +a 2 + +a n-2 =a n -1 。公差=（末项-首项）（项数-1）; 个人分类: 父与子 Father and Son|3148 次阅读|0 个评论

华德福教育发展较慢的原因: 热度 3 arithwsun 2010-5-23 18:30; 华德福教育发展较慢的原因王永晖小巫今天的演讲圆满结束（华德福小学低年级数学教学），整整两个小时，中间没有休息。自从孩子进了华德福理念的幼儿园，就开始关注华德福教育理论，开始一些思考。结合小巫的讲座，我发现，华德福对教学养成的要求是很高的。比如说，国内普通的小学教材，我想我们家长稍微看看，就能教。但是，华德福教学，比如小巫今天演讲的内容，示范如何用故事来学习数学，如何用游戏来学习数学，如何通过身体运动来学习数学，这些都必须身临其境，才能学会，强调感受性。普通的书本，是很难负载这个信息量的，正如折纸和绳结，目前市场上也有书卖，但买了后，普通人不花大力气，是很难看懂的。大家可以想象，在以前没有多媒体记录和传播的时代，华德福这种教育方法，是很难传播出去的。更重要的是，华德福对教师素质的要求是很高的。应该说，主班老师，在人类的三种语言，自然语言，数学语言，艺术语言之中，至少要精通一种，掌握两种；而在人类的三种课程方式，或曰思维方式，身-力性方法，心-礼性方法，脑-理性方法，至少要精通2种，掌握全部3种。比如小巫，是北大英语语言文学本科毕业，Rutgers大学教育学硕士（这个学校的数学系非常不错，级别很高），对自然语言的掌握，肯定没有问题，但是她有勇气敢到首师大数学系演讲小学数学教学，符合我们中国数学界的华罗庚学习法下棋找高手，弄斧到班门，这种勇气一定是来源于她本身的底子的。确实，她告诉我，她从小到大，数学都很不错。至于艺术语言，音乐，小巫今天没有特别展现，我也是第一次跟她见面，不知道数据。小巫本人的水平当然是很高了，只有这样，才能真正把高层次的教学法的魅力发挥出来。但是，如果主班老师达不到这种要求，自然就很难达到华德福教育理论的初始设定，如果差的太多，很可能在专业学习上，华德福学生反而会弱于比较好点的传统学校。关于师资方面存在的问题，小巫跟我讨论时，又补充一点，大概意思是，因为华德福教育，是强调学生能力发展期的，所以允许每个学生，按自己的节奏学习，教师需要迎合（meet）这种节奏，而不是让学生都装在一个框框里。那么，很显然，并不是每个人，每个教师都有这种能力的，能达到这种水平的人，估计管个百八人的公司，不在话下（悄悄问一句，他们/她们愿意做小学教师吗）。当然，在目前小学班级人数过多的情况下，即使有能力的老师，也不可能在这样的班级上施展个性化教学。据传，北京市小学，今年九月份，会全面实行小班化教学，每班人数降低到30人，如果此情报准确，小学教育的情况看来会得到大大好转。上述两大问题，我想是华德福教育发展较慢的原因。第三大原因，也有可能出在它的治理结构上，根据张五常的研究，人类社会中只可能存在两种形态，资本社会和等级社会，前者强调产权明晰，后者强调等级明晰。教育机构比较复杂，兼具这两种社会形态。而华德福的治理结构，如果不做好适应教育机构发展特点的产权明晰、等级明晰，仅仅使用Steiner粗糙的三元社会理论，连校长都没有（关键责任人赋权不足），理想虽好，恐怕需要深入精化。三元社会理论，本身是对的，但在应用时，需要沿着那个思想方向，继续深化精化、具体化。实际上西方社会和西方大学的很多做法，就是三元社会理论中所建议的那样，不知是本来就有的，还是学Steiner的。华德福教育，自1919年在德国开始，发展至今，全世界也不过1000来所学校。我的同学告诉我，他们加拿大多伦多，有100所Montessori学校，但只有2所Waldorf学校，估计问题不外乎在上面三种原因里找。附注：现阶段怎么样把华德福小学，从无到有的做起来。我跟小巫介绍，现在海淀区的一批家长们（尚未包括我，不过我给他们提了很多建议，毕竟大多数家长都不是做教育界的，有些东西还真不知道），正在琢磨攒个华德福小学。初期想法是，尝试在公立学校，办一个华德福实验班，一举解决，教室和学籍两大问题。既然如此，就必须符合公立学校的硬性要求，不可能完全按照国外的华德福模式来。既然如此，我们应该坚持什么，以作为华德福实验的切入点。我意以为，是家委会的设置。很多东西可以妥协，包括课程内容，但是一定要坚持住华德福的家委会的设置。现在的公立学校，很难组织学生的校外活动，甚至学校内部的户外活动，也能少就少。如果家委会成立后，则可以将学生的校外活动，完全承包，家长们自行签署安全协议。学校不用承担任何责任，这样的家委会，学校是乐观其成的。家委会，除了这些，还可以做哪些事呢？ A1. 培训实验班的任课老师，比如由家委会出资，资助老师们去参加高阶培训； A2. 培训家长，比如每周或每隔两周，举办教育讲习会。家长们参与教学，是学生教育质量提高的重要法门，尤其是对于幼小教育，效果更为显著。只想把孩子放到学校教育的家长，华德福实验班是应该拒绝考虑的。这个教育讲习会，除了邀请华德福资深专家讲授外，还可以就直接邀请任课老师主讲，付给他们讲课费，相当于变相地给他们提了一次工资。实际上，家长送钱送物给老师们，据说已经比较普遍。与其如此，还不如把这个钱，花在促进教师学习和思考上，要知道，为准备一次这样的讲习课，是需要花很多准备的。家长们跟教师们一块儿成长，最终的受益人，必然是孩子们。当然，家委会可以设立细则，规定以后家长们不可以再单独赠送贵重礼物给教师，只能由家委会统一负责。孩子们自制的，或旅游时购买的小礼物，想送给教师，这是允许和提倡的，本来也是中国传统的尊师重道的体现，关键是要通过制度，不让它变味即可。另外一言，今天来的人，并没有预想的那么多，可能有五六十人，主要是我们通知的传播面，局限在学术系统和一些私人关系上。我是想通过这次邀请，试探一下，学术界中倒底是有多少父母，特别关注教育，愿意拿出时间，去主动地做一些事情的。很遗憾的是，这次来的学者比较少，只有5、6个人，相比于我通过电邮和办公系统，以及科学网博客上发出去的通知，实在很少。其实，即使不知道华德福教育，但若是关注儿童教育，愿意主动地为自己的孩子做些事情，也完全可以有更多的学者，来加入做一些事情。比如，我就在想，如果海淀区的大中小学，科研机构，出版单位的老师学者们，主动愿意做这些事的人比较多，那我们这些家长们，可以预先成立一个家委会，然后这个家委会，跟海淀区的小学谈，看能不能办一个实验班，也不一定非要是华德福模式的，关键是这个实验班，要有我上述所说权力和活动的家委会。我曾经跟筹建华德福小学的家长们说，必须要有教育学术界的家长们参与，才有可能把它建好。不过，这次探测，看来是有点失败。难道，中国人注重教育的传统，这次有点失灵？我想，原因可能在于，中国的家长们注重教育，但可能不注重于主动做事，有个名校数学系的系主任，自己明知小学奥数不对，还是把孩子送到奥数培训班，并在那里，碰到不少数学界的同仁，此事在媒体上可以查到。其实，我们这么多有学问的大学老师们，完全可以自己联合起来，采用适当的形式，比如上述实验班形式，把自己的孩子教好。当然，这是需要人手的。如果，愿意启动此事的学者们，能超过6人，我想这件事情就能办成（2011学年，我小孩明年上小学，也许人数足够，现在就可以为此成立一个2011级家委会）。; 个人分类: Book-W|11103 次阅读|4 个评论

小学奥数的问题: arithwsun 2010-4-21 14:05; 小学奥数的问题今天让我的研究生，汇报了一下，她在一个北京教育培训机构（以后简称为XRS培训学堂吧），课堂上讲过的小学奥数四年级的几道难题。除了数学内容外，我还问了她 1. 用多少时间讲一道这样的难题，（10分钟～20分钟）； 2. 一学期，讲多少道这样的难题，（每周一次，一次3小时，想想看，有多少道，当然难度不会都这么高）。 3. 学生学会了没，下次碰见这道题时，他们能做出来么？（不能，主要就是一个了解） 4. 是否有教学进度要求，规定一学期必须讲授这么多题目？（是，有的）这样学数学，恐怕会给这些孩子们，在未来学习时，反而造成巨大困难。原因很简单，数学最重要的是，察觉未知的能力，相比于解决未知，前者实际上是一个更加重要的天赋。在XRS培训学堂上，这样教下来，孩子们很容易搞不清楚，自己真正什么是懂的，什么是不懂的，反而降低了自己察觉未知的敏感度。联想我在首师大教学，发现这些主要是北京生源的学生们，最大的问题是，他们不知道问题在哪里。老师，这段我看不懂，您给我讲讲吧，---好啊，你说说看，这段里面，你哪个地方看不懂，哦，嗯～～，--- 那你自己分析一下，到底是主语还是谓语还是宾语，在哪个地方.. .不懂，必须把语法知识加上，帮他引导，才能找到具体要问的地方，然后才能开始真正的答疑。真正的数学教学，要把隐藏的问题，揪出来，当然这样就必然会增加教学和学习的难度，所以，如果在教学中，采取相反的态度，故意避开它们，学生们可能一时高兴，却会受害终身，无法知道什么是真正的数学。所以，当我听到某位老师或某位名师在那发挥，我可以把东西讲的很简单，让学生很容易就弄懂，都往往不禁生疑，想去真正了解一下，倒底是因为他数学水平高而做到的，还是他采取了那种故意避开的教学技巧，当然这样讲的老师，大多数都是后者。在我看来，数学是应该花大力气学的，但并不是像培训机构这么做。应该是会一道，做一道，真正把问题搞清楚，哪怕一道题做上半个学期，都是值得的。如果学生没到那么理智的程度，坚持不了这种高程度的集中注意力，那也就不应该来参加小学奥数，而应该在心智发展到理性阶段时，再投入（据诸多科学家传记，这个时间在11岁～13岁）。为引起注意，必须得加说一句，我这篇文章的立意，普通人不一定看得懂，所以需要最后点一下题。小学奥数，以往的批评，往往是从学生压力、减负的角度，从学生兴趣的角度，从有用无用（生活中根本用不到那些数学题）的角度说的。我这篇文章则说的是，作为中国人，即使我们还要保持吃苦耐劳的优良传统，即使我们还是要保持数理化打天下的崛起意识，但我们也要，吃苦吃的有效率。目前，小学奥数的种种乱象，可将原因归根于中国数学家集体退出（我的几位师伯师叔曾是中国奥数的权威），由学术水准较差的人士参与（XRS的创始人据说是位北大本科，在普通人看来，算是高的了），形成市场。市场化机制跟数学普及和提高工作，这二者能做到良性循环吗。我的数论同事，王崧（两届奥数金牌得主），在科学时报的采访中就指出，真正得奥数金牌的人，都不是奥数培训出来的。这个观点，很可能是正确的，中国数学会真应该按这个观点，发掘一下数据，看看王崧说的对不对。另外一句话，在引导中华民族的数学学习热情方面，中国数学会是不是有很多事情，是可以做而尚未做的。在很多社会舆论的关键点上，是可以站出来说话，摆事实讲道理，而未站出来的。也许，数学家们，真应该自己联合起来，建立一个数学家教育联盟，面对提高国家整体数学水准的各项事宜之时，不再采取失声的态度。; 个人分类: Book-W|5178 次阅读|0 个评论

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