【注】在研究 等边三角形量子点量子线中的电子声子相互作用 时，需要使用拉普拉斯算符在等边三角形区域上的本征值和本征函数。觉得求解拉普拉斯算符在等边三角形上的本征值和本征函数的方法有不同思想，特分享与大家。 拉普拉斯算符在等边三角形(正三角形)上的本征值和本征函数问题不能像圆形和正方形那样通过分离变量法求解。针对此问题，Lame 首先进行了研究。随后研究者用不同的方法得出在不同边界条件下的本征值和本征函数。Dirichlet边界条件(第一类边界条件)研究得最多，Neumann边界条件(第二类边界条件)和Robin边界条件(第三类或混合边界条件)等也有相关研究。 Mathews 和Walker 把等边三角形铺满整个平面构造一个三角形格子，利用周期性进行傅里叶展开法求解出等边三角形在Dirichlet边界条件下的本征值和本征函数。Jung 在一维情况下考虑三体相互作用问题，通过设定势函数和坐标变换利用群论等方法求出等边三角形、30-60-90三角形和等腰直角三角线在Dirichlet边界条件下的本征值和本征函数。当三体质量相同时求出等边三角形在Dirichlet边界条件下的本征值和本征函数。Krishnamurthy 通过3个硬球在一维情况下的运动通过坐标变换成单个粒子在等边三角形中的运动，进而求出Schrodinger方程的本征值和本征函数(Dirichlet边界条件)，类似此方法，Jain 通过三个费米子在圆周的运动变换成单个粒子在等边三角形中的运动。Wai-Kee Li 通过重心坐标和等边三角形D3群的投影算符求的单个粒子在等边三角形中运动的本征值和本征函数。通过三角坐标系和分离变量法，McCartin 求得在Dirichlet、Neumann和Robin等边界条件下的等边三角形的本征值和本征函数。通过重心坐标系，孙家昶教授 研究出任意三角形在一个二阶椭圆微分算符的本征值和本征函数。当变成等边三角形时，这个二阶椭圆微分算符退化为拉普拉斯算符。另外还有通过延展和折叠等方法 求出等边三角形在不同边界条件下的本征值和本征函数。 拉普拉斯算符在等边三角形上的本征值和本征函数问题在工程应用中也常出现。如等边三角形波导中的TE、TM模，等边三角形薄膜的振动，单个粒子在等边三角形中的运动，等边三角形外形的谐振腔中的激光模等，可查阅相关文献。 为了更形象地看出等边三角形的本征函数形状，我们以Wai-Kee Li求解的本征函数为例。根据对称性，可以把本征函数分成对称本征函数部分和反对本征称函数部分。 对称部分： m = 0, 1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3, . . ., l = m + 1, m + 2, . . .,A为三角形的高线。 反对称部分 m = 1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3, . . ., l = m + 1, m + 2, . . ..,A为三角形的高线。 下面给出几个最低能级波函数的图形 图1：基态波函数 图2：第一激发态对称波函数 图3：第一激发态反对称波函数 Wolfram Demonstrations 里面也有些介绍，见网站： http://demonstrations.wolfram.com/QuantumMechanicalParticleInAnEquilateralTriangle/ 参考文献 M. G. Lame. Lecons sur le Thdeorie Mathedmatique de lElasticite des Corps Solides. Bachelier, Paris, 1852. J. Mathews and R. L. Walker. Mathematical Methods for Physicists. Benjamin, 1970. C. Jung. An exactly soluble three-body problem in one dimension. Can.J. Phys., 58:719728, 1980. H R Krishnamurthy, H S Mani, and H C Verma. Exact solution of the schrodinger equation for a particle in a tetrahedral box. J. Phys. A: Math. Gen., 15:21312137, 1982. Sudhir R. Jain. Exact solution of the schrodinger equation for a particle in a regular n-simplex. Phys. Lett. A, 372:19781981, 2008. Wai-Kee Li and S. M. Blinder. Solution of the schrodinger equation for a particle in an equilateral triangle. J. Math. Phys., 26:27842786, 1985. Brian J. McCartin. Eigenstructure of the equilateral triangle, part i: The dirichlet problem. SIAM Rev., 45:267287, 2003. Brian J. McCartin. Eigenstructure of the equilateral triangle, part ii:The neumann problem. Math. Probl. Eng., 8:517539, 2002. Brian J.McCartin. Eigenstructure of the equilateral triangle. part iii. The robin problem. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 16:807825, 2004. Brian J. McCartin. Eigenstructure of the equilateral triangle, part iv:The absorbing boundary condition. Int. J Pure Appl Math, 37:395422,2007. Brian J. McCartin. Eigenstructure of the equilateral triangle, part v:The impedance boundary condition. Appl. Math. Sci., 4:21872217,2008. Jiachang Sun and Huiyuan Li. Generalized fourier transform on an arbitrary triangular domain. Adv. Comput. Math., 22:223248, 2005. Milan Prager. Eigenvalues and eigenfunctions of the laplace operator on an equilateral triangle. Appl. Math., 43:311320, 1998. Mark A. Pinsky. The eigenvalues of an equilateral triangle. SIAM J. Math. Anal., 11:819827, 1980. G. Dassios and A..S. Fokas. The basic elliptic equations in an equilateral triangle. Proc. R. Soc. A, 461:27212748, 2005. Andrey V. Shanin. Excitation of a wave field in a triangular domain with impedance boundary conditions. J. Math. Sci., 102:43284338, 2000.
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