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[转载]简单混沌系统的吸引子的生成的程序段: SciteJushi 2014-1-10 10:27; 原载 http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140101nqh2.html 2014_01_10.zip 有网友问及Rossler吸引子。谢谢其兴趣，特地在科学网的附件中上载2014_01_10.zip。其中temp_Rossler.sci是主程序，调用子程序tbyode计算坐标，使用5个输入，依次为：指定求解方法的字符串、采样点数、采样间隔、初始值向量、定义系统方程组的函数的名字。修改这些输入，可能计算出不同结果，例如附件中的 Chen吸引子。用Scilab的编辑器打开主程序，在其中运行，可见《Rossler混沌与超混沌吸引子》(2011-03-19)中的3D吸引子(图片12、图片13)。程序(刚才还在Scilab-5.3.3中使用过)中的可见的处理1D图、2D图、功率谱、自相关(自协方差)序列的部分，未被删除，但已被“注释符”关闭。上传的附件中带了1D和2D图形的PNG文件。选用其中的定步长4阶龙格-库塔法( FRK4)、定步长 5阶龙格-库塔法( FRK5)、变步长龙格 -库塔法(ARK45 )、Scilab系统自带的ode函数(SODE)，都可以看到相似的3D图像。但是，这一例子中，选用简单的1阶(1ORDER)、2阶(2ORDER)近似法，得不到3D图片。变步长龙格 -库塔法(ARK45 )，需要调用子程序TlmArk45。这一Scilab子程序，是用他人的Matlab程序rkf45.m改写的。附件包含了这一m文件，其中有来源和作者信息。现实中的系统可以很复杂，混沌现象可能很多、很难解。现在已知的、可以处理的，可能只是些简单的特例。居士放在网上的吸引子和分形图片，只为业余娱乐。那些系统是文献中可查的具有混沌或超混沌行为的典型例子，但是，对于某个特定的吸引子，居士未分析更多判据以明确混沌行为特性，所以这里特地使用了“ 简单混沌系统的吸引子 ”而非“ 简单系统的混沌吸引子 ”更非“ 简单系统的超混沌吸引子 ”。新浪赛特居士SciteJushi-2014-01-10。; 1677 次阅读|0 个评论

一个有待深入研究的三维动力系统: 热度 1 guanky 2013-11-7 08:36; 几天前（ 11 月 1 日），美国科罗拉多州立大学物理系教授 R.Mark Bradley 在学术交流网站 ResearchGate 上公开提出如下问题： How can I solve a^2 y = y^3 – y’’’ –y’? Can any one suggest an analytical method to solve the ODE a^2 y = y^3 – y’’’ –y’, where a is a positive constant? The solution should have y(0)=0. Also y - a as y’- 0 as x - infinity. 已有一些学者意识到该问题不大可能用分析的方法解决，英国 Bristol 大学的 A.R. Champneys 建议使用平衡点的不稳定流形沿自变量逆向通过 shooting 找到该解，但没有给出具体描述，也没有尝试给出结果。我则对该方程，首先利用传统变换，令 z(y)=y’ 将方程降为二阶 zz’’ + z^2 z’ + z + a^2 y – y^3 = 0 （ 1 ）并尝试利用在文献中的方法证明方程（ 1 ）除平庸的 Lie 变换 y - y + c, z - z, 外，不再接受其它的大范围的解析李群。这样就可较严格地断定原方程不能用积分法求解（尚未完成）；其次是引进变量替换 : x - t, y - x, y’ - y, y’’ - z, 于是 Bradley 的方程化成如下的三阶（自治）动力系统 dx/dt = P(x,y,z) = y dy/dt = Q(x,y,z) = z (2) dz/dt = R(x,y,z) = x^3 – a^2 x – y 利用动力系统的基本方法，可以看到该系统存在 3 个平衡点： p0= (0, 0, 0), p1=(-a, 0, 0), p3 = (a,0,0) 。由于 Px + Qy +Rz = 0 ( 这里， Px 表示 P(x,y,z) 对 x 的偏导数 ) ，因此自治系统（ 2 ）是保守的，即任何一个相空间的初始体积，当它按由（ 2 ）定义的流随时间 t 变化时，形状可以变化，但体积不变。因此，（ 2 ）的平衡点中不可能有渐进稳定的。不难通过计算证明，平衡点 p0 具有一个一维稳定流形和一个二维不稳定流形（它对应的特征根是一对有正实部的共轭复数），而 p1 与 p2 均有一个一维不稳定流形及一个二维稳定流形（对应的特征根是一对负实部的共轭复数）。用 W^s(p2) 表示通过 p2 的稳定流形。几何上， W^s(p2) 的任何局部都相当于一小片二维曲面。在 W^s(p2) 上的积分曲线一定会螺旋式地收敛到平衡点 p2. 我想英国的 A.R. Champneys 很可能是利用这一事实提出他的前述建议，我也正是基于这一图像提出（我具体做这一工作时，没注意到 Champneys 的建议）从 p2 的很小邻域内任选一点当作初始点，沿时间逆向数值地积分系统（ 2 ），如果该积分曲线在某时刻 t0 (t0 0) 与平面 x=0 （即 yz 坐标平面）的 y 0 部分相交，这就意味得到了 Bradley 所要求的一个特解。我也提出，如果找到这一特解，这就意味 W^s(p2) 与 xy 平面的 y0 部分有个交点。这时， W^s(p2) 与这部分的交点绝不会仅此一个点，至少形成过此点的一条曲线。而以此曲线上的任何一点当作出发点，系统（ 2 ）的积分曲线都会沿着时间的正向，螺旋式地收敛到 p2 。这些曲线均对应着 Bradley 所需要的解（因此有无穷多解）。我在 a=1 的情况下具体做了一系列数值实验证实了上述想法。图 1 是以 p2 的很小邻域内一点作初始点，沿时间逆向数值积分系统（ 2 ）得到的，该积分曲线在某时刻 t0 (t0 0) 确与 yz 平面的 y 0 部分相交。图 1 图 2 是上述曲线对应的 Bradley 所要求的解图 2 图 3 显示 10 条有上述性质的积分曲线，由它们可以近似地张成二维稳定流形 W^s(p2) 的一部分图 3 图 4 显示了上述的部分 W^s(p2) 与 xy 平面的交线图 4 由于系统（ 2 ）是保守的，没有什么引人注意的复杂吸引子，所以系统（ 2 ）显得有些平庸（ trivial ）。然而，我注意到它的几个平衡点的稳定流行及不稳定流形仍具有令人感兴趣的性质，只要将 Bradley 的方程稍加改变，就可能形成极有趣味的动力系统。我尝试将他的方程改为 a^2 y = y^3 – y’– b y’’ – y’’’ (3) 要求其中参数 b 是个正数。于是对应的自治系统（ 2 ）就变为 dx/dt = P(x,y,z) = y dy/dt = Q(x,y,z) = z (4) dz/dt = R(x,y,z) = x^3 – a^2 x – y – b z 对系统（ 4 ），由于 Px + Qy + Rz = -b 0, 它不再是保守的了，而是一个有负散度的流，具有吸引性。因此，该系统可能存在有趣的吸引子。 p0, p1, p2 都还是平衡点，而且当参数 b 不大时，它们的性质变化不大。该系统与著名的 Lorenz 方程有类似之处，都只有三个平衡点，都对空间坐标反射对称，流的散度都是负值有吸引性。但从下面的初步数值研究可看出两者又有重大的不同。数值计算表明，当 a=1, b=0.315 时，系统（ 4 ）有个非平凡的有界吸引子。图 5 显示了该吸引子在不同视角下的立体图像，我不能严格证明它是否是一条封闭曲线还是具有其它复杂结构的几何体。图 5 图 6 显示其中的积分曲线 x(t) 部分随时间变化的关系（类似于概周期函数）图 6 当 a=1, b=1/3 时，吸引子似乎变成稍复杂的封闭空间曲线，见图 7 。图 7 当 a=1, b=1/2 时，吸引子似乎变成简单的空间闭曲线（空间极限环？）。见图 8 图 8 当 a = 1, b 1 时， p0 成为渐进稳定的，自己就是个孤立的平凡吸引子。显然吸引子的几何性质随参数 b 而变化。这会形成有趣的分叉现象。以上都是最近一两天的研究结果，已在 ResearchGate 上做了介绍。相信系统（ 4 ）的吸引子结构问题内容丰富，研究方法将涉及到三维几何与三维动力系统的基本困难问题。这一系统是否能联系到实际问题尚待研究。特此，将这些初步发现在科学网上公布。迫切希望国内有志学者共同探索。参考文献 Minghui Liu and Keying Guan， The Lie Group and Integrability of the Fisher Type Travelling Wave Equation, Acta Mathematicae Applicatae Sinica ， 03/2009; 25(2):305-320.; 5911 次阅读|3 个评论

混沌电路: 热度 8 tianrong1945 2013-4-5 08:55; 有读者在上篇博文的评论中质疑，为什么总是以西方人的结果开始啊？好啦，向东挪挪，本篇博文的主角是个美籍华人，沾上了点儿‘华’字。他就是名噪一时的虎妈之爸：蔡少棠。与现代科技有关的名词中，‘电’这个词汇大概是最为公众所熟悉的。完全可以毫不夸张地说，离开了电，很难想象当今的人类文明社会会成为个什么样子。蒸汽机和电，是人类社会进步中不可缺少的两大引擎。人类对‘电’的认识，伴随着人类社会的每一次进步。公元前 600 年左右，希腊哲学家达尔斯就发现了静电；几乎两千年之后，美国的著名政治家兼科学家富兰克林放风筝研究雷电的形成，这是妇孺皆知的故事。富兰克林是一位难得的懂科学的政治家，他起草独立宣言、签署美国宪法，对美国独立的功劳仅次于华盛顿。如今，电已渗透到人类生活的各个方面，几乎无所不包，无所不用，电是人类文明的火花，给我们的生活带来无限光明。特别是近年来，电子、通讯、及计算机技术的突飞猛进，这个‘电’引爆的一系列火花将我们的生活点缀得五彩缤纷。电子线路不但为我们创造了一个有声有色的文明社会，也为科学家工程师们提供了最便于研究和控制的物理系统。学界对很多混沌现象的研究，包括本书之前所叙述的大部分内容，都是基于一般人不喜欢听的‘非线性微分方程’之类的数学模型。就连电子工程师们，也不那么喜欢微分方程，尽管你磨破了嘴皮，告诉他们这些微分方程如何如何地演化到混沌行为，他们仍然想：百闻不如一见啊！既然混沌魔鬼无所不在，肯定在电路中也能找到它的踪影。当然，电子线路中也少不了方程，起码有基于著名的基尔霍夫定律的方程，这些方程看起来有些类似于洛伦茨系统的方程哦！那么，就有可能用我们所熟悉的、看得见摸得着的那些电路元件，造出一个我们能够随意控制的小玩意儿，将混沌魔鬼既能诞生其中，又被牢牢地关在里面。然后，哈哈，我们便只需站在旁边挥舞指挥棒，就能让魔鬼在小盒子中尽情地表演一番啦！最擅长鼓捣电子线路的日本人就是这样想的。日本早稻田大学松本实验室的学者们相信，虽然洛伦茨系统中的那个貌似蝴蝶翅膀的古怪吸引子图形来源于气象科学，但电子线路应该能创造奇迹，达到异曲同工之妙。不过，实验结果很令松本沮丧。他们的确搭建出了一个“洛仑兹 ”电路，又经过几年来的不断改进，线路越来越复杂，使用了几十个集成电路，能调节各个参数，理论上好像已经不断地靠近洛仑兹系统，可是不知道为什么，这混沌魔鬼就是不肯现身！ 1983 年十月，加州大学柏克莱分校的美籍华人教授蔡少棠访问松本实验室，才使松本的这个课题有了转机。云开日出，混沌电路诞生于世！蔡少棠后来在一篇文章中【 1 】，对那一段历史有过生动的描述： “我来到实验室的第一天，就目睹他们演示这个不断改进的，十分复杂的电路……” 松本实验室企图在电路中寻找混沌的想法也激起了蔡少棠的极大兴趣，蔡毕竟是预言了忆阻器存在的学术界大牛，也不愧为是二十几年后响当当的‘虎妈’之爸，他数学物理功底深厚，电路理论又玩得溜溜转，当天晚上临睡之前，他已经有了灵感和具体线路的构思，第二天一早，便胸有成竹地将此想法告诉了松本。松本迫不及待地在计算机上模拟这个电路，终于看到了他思念已久的魔鬼！这个后来被人称之为蔡氏电路的第一个混沌电路，比松本实验室的设计简单多了，请见图（ 1 ）。图（ 1 ）：蔡氏电路和混沌双涡卷吸引子蔡氏电路是一个简单的振荡电路【 2 】，运动规律其实也多少雷同于上一章中所说的单摆。只不过单摆是人眼可见的机械运动，而蔡氏电路产生的是电振荡。好在机械振荡和电振荡对一般人都不陌生，人们在实用中经常将两者互相转换，比如当我们打电话时，便包括了无数次的电波与声波（机械波）的互相转换过程。这样，我们不难理解，振荡电路应该和单摆一样，在一定的条件下，有可能产生混沌现象。话虽这样说，松本实验室的振荡电路，为什么改进了好几年，即便‘众里寻他千百度’，却仍然不见混沌的踪影呢？那天晚上，蔡少棠久久地注目洛伦茨吸引子图的两个颇似蝴蝶翅膀的怪圈，望着那些扑朔迷离、不停绕圈的轨道。这些轨道从一个圈中出发，有时似乎伸展欲飞，但后来却又因为非线性效应，而弯曲折叠到另一个圈中。每个圈都有一个中心点。那么，两个中心点，就意味着系统的两个平衡点…… 想到这儿，蔡少棠突然意识到，如果振荡电路中只有一个平衡点，可能不容易观察到混沌。如果利用非线性元件，给线路提供两个不稳定的平衡点，也许它们就能互相推动和制约，使得电流产生伸展和折叠的效应。这样，就更像洛仑兹系统，更有可能引发混沌行为了。思路清晰了，再从最简单的振荡电路开始考虑。蔡少棠认为，为了产生混沌，振荡电路至少需满足以下条件： (a) 非线性元件不少于 1 个 ; (b) 线性有效电阻不少于 1 个 ; (c) 储能元件不少于 3 个。规定了上面的条件就好办了，那我们就来搭建一个最简单的混沌电路吧。蔡少棠稍作计算，在一个旧信封和几张餐巾纸上画来画去，便画出了符合以上标准的最简单电路，也就是图（ 1a ）所示的，之后广为所知的世界上第一个混沌电路 ——‘蔡氏电路’。看来，由电路产生混沌，并不需要像松本实验室的研究人员那样，画蛇添足地用上几十个集成电路啊。不过，要从这个简单电路，观察到洛伦茨的‘蝴蝶翅膀’吸引子，仍然并非易事。关键的问题是要巧妙地选择电路中唯一的那个非线性元件的非线性特性。而这个元件需要具有什么样的非线性，才能使这个振荡电路产生两个平衡点呢？我们经常提到‘线性’和‘非线性’，简单地说，它们是相对于某种输入输出关系而言的。对电路中的元件来说，就是指流过元件的电流，与其两端电压之间的关系。如果这关系能用一条直线表示，则是线性元件，否则便是非线性元件。既然线性关系可用一段直线表示，非线性的特点便是相对于直线有所偏离。例如，可以用两段斜率不同的线段接起来表示最简单的非线性特征。在蔡氏电路中，如我们在图（ 1b ）中所看到的，则用了三截线段连接起来，表示这个被称为‘蔡氏二极管’的非线性元件。为什么要用三段直线段呢？因为如此得到的振荡线路，将会具有三个平衡点，当我们调节线路的参数，即线性电阻 R 的数值时，可以使得三个平衡点中的两个变成不稳定的平衡点，从而最后观察到如洛伦茨吸引子那样的混沌现象。振荡电路产生的混沌，易于控制和优化，因而也便于应用。在蔡氏电路中，如果不断地改变电阻 R 的数值，可以得到各种有趣的周期相图和吸引子，可观察到倍周期分岔 , 、单涡卷、双涡卷（图 1c ）、周期 3 、周期 5 、等十分丰富的混沌现象。加上后来又出现了五花八门、形形色色的变化改进了的蔡氏电路，为混沌的研究和应用开辟出一片广阔的新天地。参考资料：【 1 】 L.O.Chua:The genesis of Chua's circuit, Archiv Elektronic Ubertransgungstechnik, 46,4,pp.250-257 (1992). 【 2 】 Chua'sCircuit: A Paradigm for Chaos, edited by R.N.Madan, World Scientific, 1993. 上一篇：条条大路通混沌系列科普目录下一篇：股市大海捞混沌; 个人分类: 系列科普|3226 次阅读|11 个评论

结缘非线性动力学之吸引子: 热度 3 suguang 2013-3-9 04:19; 看到科网上有些朋友对吸引子感兴趣，特别写了这篇博文，仅供交流学习。写的不对的地方，请大家批评指正。吸引子（ attractor ）的种类有多少种呢？维基百科上给出的一个分类是不动点（ fixed point ），极限环（ limit cycle ），极限环面运动（ limit torus ），奇怪吸引子（ strange attractor ）。不动点和极限环比较常见，奇怪吸引子因为蝴蝶效应而出名，反倒是极限环面运动很少听说，更常见的说法是环面运动或概周期运动（quasiperiodic motion）。其实，不动点和极限环的几何结构比较简单，极限环面运动的几何结构相对复杂些，而奇怪吸引子的几何结构则更为复杂，具有多层次性和自相似性。极限环寻找吸引子有几个需要注意的问题。首先，既然是吸引子，在演化中就应该具有某种不变性，比方说，吸引子内的点总在吸引子内运动。如果吸引子内的点都跑出去了，那还能称为吸引子吗？吸引子除了具有自身演化的不变性，还应该具有对外的吸引性。比方说，随着时间的推移，周围的点会聚集到吸引子上，这个区域就叫做吸引域。这个条件包含了对其稳定性的要求，吸引子应该是在某种意义下稳定的。比方定义一个系统的能量函数，观察在吸引子处是否能量最小；或者直接观察扰动下的运动，是否能回到原来的吸引子上。奇怪吸引子虽然呈现出混沌运动，而且明显存在局部的不稳定现象，我们常说的蝴蝶效应正体现了局部不稳定性。但是它并没有发散，这是因为它内部还存在着折叠和压缩，因而能保持有界运动。写完吸引子的这两个方面，我联想到了两句话：“天行健，君子自强不息；地势坤，君子厚德载物。”用这两句话总结吸引子的不变性和吸引性，还是比较形象的。环面运动最后需要补充的是，吸引子的定义是非常严格的，还有很多相关的现象不能归入其中，比方中心不动点，不稳定的不动点，半稳定的不动点，不稳定的极限环等。但这些现象对我们认识非线性动力学系统也很重要，它们和吸引子结合在一起，共同描述了丰富多彩的动力学系统。奇怪吸引子维基百科和图片的链接： http://en.wikipedia.org/wiki/Attractor http://www.yvanix.ch/ModularWalkers/index.html http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/script/b3d/hypertorus.html http://www.christianwannerstedt.com/category/3d/#strange_attractor/; 个人分类: 工作点滴|14374 次阅读|8 个评论

《走近混沌》-13-奇异吸引子: 热度 4 tianrong1945 2012-9-11 05:51; 第十三章﹕奇异吸引子现在回到王二的问题：什么叫吸引子？或者说，什么叫‘动力系统’的吸引子？那我们首先得弄清楚‘系统’这个概念。什么是‘系统’呢 ? 简单地说 , 系统是一种数学模型。是一种用以描述自然界及社会中各类事件的 , 由一些变量及数个方程构成的一种数学模型。世界上的事物尽管千变万化 , 繁杂纷纭 , 但在数学家们的眼中 , 在一定的条件下 , 都不外乎是由几个变量和这些变量之间的关系组成的‘系统’。在这些‘系统’模型中 , 变量的数目或多或少 , 服从的规律可简可繁 , 变量的性质也许是确定的 , 也许是随机的 , 每个系统又可能包含另外的‘子系统’。由‘系统’性质之不同，又有了诸如‘决定性的系统’ 、‘随机系统’、‘封闭系统’、‘开放系统’ 、‘线性系统’、‘非线性系统’、‘稳定系统’、‘简单系统’、‘复杂系统’等等一类的名词。例如 : 地球环绕太阳的运动 , 可近似为一个简单的二体系统；密闭罐中的化学反应 , 可当成趋于稳定状态的封闭系统；每一个生物体，都是一个自适应的开放系统；人类社会，股票市场，则可作为复杂的、随机性系统的例子。无论是何种系统，大多数的情形下，我们感兴趣的是系统对时间的变化，称其为‘动力系统’研究。这是理所当然的，谁会去管那种固定不变的系统呢？研究系统对时间变化的一个有效而直观的方法就是利用系统的‘相空间’，一个系统中的所有独立变量构成的空间叫做系统的‘相空间’。相空间中的一个点，确定了系统的一个‘状态’，对应于一组给定的独立变量值。研究状态点随着时间在相空间中的‘运动’情形，则可看出系统对时间的变化趋势，以观察混沌理论中最感兴趣的‘动力系统的长期行为’。状态点在相空间中运动，最后趋向的极限图形，就叫做该系统的‘吸引子’。换句通俗的话说，吸引子就是一个系统的‘最后归属’。举几个简单例子，更易于说明问题。一个被踢出去的足球，在空中飞了一段距离之后，掉到地上，又在草地上滚了一会儿，然后静止停在地上，如果没有其它情况发生，静止不动就是它的最后归属。因此，这段足球运动的吸引子，是它的相空间中的一个固定点。人造卫星离开地面被发射出去之后，最后进入预定的轨道，绕着地球作二维周期运动，它和地球近似构成的二体系统的吸引子，便是一个椭圆。两种颜色的墨水被混合在一起，它们经过一段时间的扩散，互相渗透，最后趋于一种均匀混合的动态平衡状态，如果不考虑分子的布朗运动，这个系统的最后归属 - 吸引子，也应该是相空间的一个固定点。在发现‘混沌现象’之前，也可以粗略地说，在洛伦茨研究他的系统的最后归属之前，吸引子的形状可归纳为如下左图所示的几种‘经典吸引子’，也称‘正常吸引子’：图（ 13.1 ）经典吸引子和奇异吸引子第一种是稳定点吸引子，这种系统最后收敛于一个固定不变的状态；第二种叫极限环吸引子，这种系统的状态趋于稳定振动，比如天体的轨道运动；第三种是极限环面吸引子，这是一种似稳状态。如图（ 13.1 ）左图所示，一般地说，对应于系统的方程的解的经典吸引子是相空间中一个整数维的子空间。例如：固定点是一个零维空间；极限环是一个一维空间；而面包圈形状的极限环面吸引子则是一个二维空间。钟摆是个简单直观的例子。任何一个摆，如果不给它不断地补充能量的话，最终都会由于摩擦和阻尼，而停止下来。也就是说，系统的最后状态是相空间中的一个点。因此，这种情况下的吸引子是第一种：固定点。如果摆有能量来源，像挂钟，有发条，或电源，不停下来的话，系统的最后状态是一种周期性运动。这种情况下的吸引子就是第二种：极限环。刚才我说的摆，都只是在一个方向摆动，设想有一个摆，如果除了左右摆动之外，上面加了一个弹簧，于是就又多了一个上下的振动，这就形成了摆的耦合振荡行为，具有两个振动频率。王二反应快：“哦，明白了！第三种，极限‘面包圈吸引子’就是对应于好几个频率的情形。”王二喜欢自作聪明，得意地说。可是，张三却反驳： “好像不完全是这样。在大学一年级“普通物理”中学过的，如果这两个频率的数值成简单比率的关系，也就是说，两个频率的比值是一个有理数，那在实质上仍然是周期性运动，吸引子仍是第二种：归于极限环那种。如果这两个频率之间不成简单比率关系，也就是说，比值是一个无理数，就是那种小数表达式包含无穷多位，并且没有重现的模式的数。当组合系统具有无理频率比值时，代表组合系统的相空间中的点环绕环面旋转，自身却永远不会接合起来。这样的系统看起来几乎是周期的，却永远不会精确地重复自身，被称作‘准周期的’，但是，运动轨道总是被限制在一个面包圈上，这就应该对应于图中的第三种情形。” 总而言之，用上述三种吸引子描述的自然现象还是相当规则的。这些是属于经典理论的吸引子，根据经典理论，初始值偏离一点点，结果也只会偏离一点点。因此，科学家甚至可以提前相当长的时间预测极复杂的系统的行为。这一点，是‘拉普拉斯妖’决定论的理论基础，也是洛仑兹梦想进行长期天气预报的根据。但是，从两次计算的巨大偏差，洛仑兹感到情况不妙，于是，才想到了把他的计算结果画出来。也就是将上一章中给出的三个方程（ 12.1-3 ）中 x 、 y 、 z 对时间的变化曲线，画到了三维空间中，看看它到底是三种吸引子中的哪一种？这一画就画出了一片新天地！洛仑兹怎么也不能把他画出的图形归类到任何一种经典吸引子。看看自己画出的图形，即图（ 13.1 ）的右图，洛仑兹觉得这个系统的长期行为十分有趣：似稳非稳，似乱非乱，乱中有序，稳中有乱。这是一个三维空间里的双重绕图，轨线看起来是在绕着两个中心点转圈，但又不是真正在转圈，因为它们虽然被限制在两翼的边界之内，但决不与自身相交。这意味着系统的状态永不重复，是非周期性的。也就是说 , 这个具有确定系数 , 确定方程 , 确定初始值的系统的解 , 是一个外表和整体上呈貌似规则而有序的两翼蝴蝶形态 , 而内在却包含了无序而随机的混沌过程的复杂结构。当时，眼光不凡的洛伦茨准确地将此现象表述为‘确定性非周期流’。他的文章发表在 1963 年的《大气科学》杂志上。上一篇：《走近混沌》-12-洛伦茨的迷惑回到系列科普目录下一篇：《走近混沌》- 14-蝴蝶效应; 个人分类: 系列科普|25882 次阅读|7 个评论

直接延迟反馈系统混沌吸引子的画法: Kupeprntlkn 2011-1-10 22:32; 这是上周的总结，解决了一个困扰很长时间的问题，那就是解决了这么求取直接延迟反馈系统混沌吸引子的画法。 1.系统模型如下形式：这种模型在MATLAB下不能直接用ODE45求解，所以得考虑别的方法，下别是通过调试系数得到的混沌状态下的运动波形 2.仿真波形（1）稳定周期解（2）混沌解下面接着要学习如何画分岔图，好好努力！; 个人分类: 随想记事|1795 次阅读|0 个评论

科学&艺术：陈氏混沌吸引子族: wangxiong868 2010-5-25 19:09; 这是科学，更是艺术数学的神奇如诗般绚丽; 个人分类: 生活点滴|7294 次阅读|1 个评论

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