物理学家创建分形形状的电子 诸平 据荷兰乌特勒支大学 （ Utrecht University ）和 乌特勒支大学理学院 （ Utrecht University Faculty of Science ） 2018 年 11 月 12 日 提供的消息 , 乌特勒支大学理学院 的研究人员 2018 年 11 月 12 日 在《自然物理》（ Nature Physics ）杂志网站发表了他们的最新研究成果，建立了电子的分型状态。图 1 就是谢尔宾斯基三角形（ Sierpiński triangles ）的照片，右边的是电子处于非键 （ non-bonding ）状态，而左边的图片则是电子处于成键（ bonding ） 状态，基准尺度为2 nm 。 Fig. 1 Electrons in bonding (left) and non-bonding (right) Sierpiński triangles; scale bar 2nm. Credit: Kempkes et al., Nature Physics , 2018 众所周知,在物理学中电子在三维、二维和一维中的表现非常不同。这些行为会导致不同的技术和电子系统应用的可能性。但是如果电子处于在1.58维状态,究竟会发生什么呢?荷兰乌特勒支大学的理论物理学家和实验物理学家在调查这些问题，他们的一项新的研究结果已经在2018年11月12日发表于《自然物理》杂志网站——Sander N. Kempkes, Marlou R. Slot, Saoirsé E. Freeney, Stephan J.M. Zevenhuizen, Daniël Vanmaekelbergh, Ingmar Swart, Cristiane Morais Smith.Design and characterization of electrons in a fractal geometry.Nature Physics, 12 November 2018, DOI: 10.1038/s41567-018-0328-0 . 对于处在 1.58 维的电子行为 可能很难想象 , 其实并非如此，它要比你乍一看想象的 更熟悉。非整数维 , 如 1.58 维 , 可以找到如肺 一样的 分形 结构。一个分形自相似结构在尺度上与正常对象相比是不同的， 如果你放大 , 你会看到同样的结构。例如 , 一小块罗马花椰菜 （ Romanesco broccoli ）通常类似于整个的西兰花（ broccoli ） 。在电子技术中 , 分形 被用于天线就是利用了在很大的频率范围内的接收和发射信号的性质。 在分形学（ fractals ）中一种相对较新的话题就是量子行为，如果一直放大电子的所有尺度 ， 量子行为就会浮现出来 。使用量子模拟器 , 乌特勒支 大学的物理学家 Sander Kempkes 和 Marlou Slot 能够建立这样一个分形的电子。研究人员制作 了一个 “ 松饼罐 （ muffin tin ） ” ，将电子关在其中以便形成 分形形状 , 通过将 CO 分子 放置 在配有扫描隧道显微镜的合适形状的铜背景上。被关在其中的电子结果形成三角形的分形形状，将这种分型形状被称为谢尔宾斯基三角形（ Sierpiński triangles ） , 分形维数为 1.58 维。研究人员观察到在此三角形中的电子实际上表现得好像他们处于 1.58 维的行为。 这项研究的结果显示如何将谢尔宾斯基三角按照能量分为成键 ( 左图 ) 和非键 ( 右图 ) 两种情况 , 通过这些分形结构产生很好的传输电流的机会。在成键的情况下 , 电子 被连接起来 , 可以很容易地从一个地方到另一个 地方 ( 高传播 ), 而在非成键情况下 ，电子未被连接在一起 , 需要 “ 跳 ” 到另一个地方 ( 低传输 ) 。同时 , 通过计算电子波函数的维 度 , 研究人员观察电子本身局限于这个维度和波函数继承这个分数维度的相关情况。 理论物理学家 Cristiane de Morais Smith 和 实验物理学家 Ingmar Swart 和 Daniel Vanmaekelbergh 一起监督和指导 这项研究。理论物理学家 Cristiane de Morais Smith 说 : “ 从理论的角度来看 , 这是一个非常有趣和突破性的结果 。它打开一个全新的研究领域 , 提 出了一些 问题如 : 电子被局限在非整数维 空间究竟实际上是意味着 什么 ? 它们表现得更像在一 维 还是在二维空间呢 ? 如果打开一个垂直 于样品的磁场会发生呢 ? 分形已经有大量的应用 , 因此这些结果可能 对于量子尺度产生巨大影响。 ”更多信息请注意浏览原文和相关报道。 Electrons in 1.58 dimensions? What the frac!（ 12 NOVEMBER 2018 ） Quantum simulator' facilitates research into theoretical supermaterials \0 Abstract The dimensionality of an electronic quantum system is decisive for its properties. In one dimension, electrons form a Luttinger liquid, and in two dimensions, they exhibit the quantum Hall effect. However, very little is known about the behaviour of electrons in non-integer, or fractional dimensions 1 . Here, we show how arrays of artificial atoms can be defined by controlled positioning of CO molecules on a Cu (111) surface 2 , 3 , 4 , and how these sites couple to form electronic Sierpiński fractals. We characterize the electron wavefunctions at different energies with scanning tunnelling microscopy and spectroscopy, and show that they inherit the fractional dimension. Wavefunctions delocalized over the Sierpiński structure decompose into self-similar parts at higher energy, and this scale invariance can also be retrieved in reciprocal space. Our results show that electronic quantum fractals can be artificially created by atomic manipulation in a scanning tunnelling microscope. The same methodology will allow future studies to address fundamental questions about the effects of spin–orbit interactions and magnetic fields on electrons in non-integer dimensions. Moreover, the rational concept of artificial atoms can readily be transferred to planar semiconductor electronics, allowing for the exploration of electrons in a well-defined fractal geometry, including interactions and external fields.
关于杂色美及其它 四月末的一天，约了几个同学去了沈阳的北陵，在后山林林总总绿荫荡漾的树林里找找大自然，释放释放，放放风。仰着看天成了习惯，所以去了自然少不了也要看看天，透过婆娑舞动的绿荫看看天。树随风动，影随树动，大类川上逝水，自有时间匆匆太匆匆之感。拍了几张树影的照片，回来随便翻翻时想入非非。 想到那份杂色美，想到不规则中的杂乱美，或者讲是不规则中存在的某种合理秩序，有些像控制学科里非线性的某种尚未认识的规则；想到了科学和艺术之间存在的某种关联，某种和谐；想到了人在过日子的种种范式中自自然然的生活范式，随意率性自然自在纯真从容。 一 记得是初中或是高中时，随便翻翻高年级的美术教科书时，偶遇杰克逊波洛克(Jackson Pollock 19121956)的滴画(drip painting)，一眼看上去好像什么也不是，但是仔细看看，反倒是有些味道，在看似杂乱无章中，好像又潜伏了某种难以言说的东西，有些摄人心魄，总之感到了一种说不出的杂乱美。 关于杰克逊波洛克及其滴画(drip painting)，搜集的资料如下： 杰克逊波洛克，被人评论为20世纪美国抽象绘画的奠基人之一。在杰克逊波洛克看来，现代艺术家不应当再像传统艺术家那样追求再现，而应该关注内在精神和情感的表达。他说：现代艺术家生活在一个机器时代，我们有机器手段来逼真地描绘客观对象，如相机、照片。在我看来，艺术家的工作是表现内在世界换句话说是表现活力、运动以及其他的内在力量。现代主义艺术家的着眼点是时间和空间，他表现情感，而不是图解社会。(埃伦H约翰逊编，姚宏翔等译：《当代美国艺术家论艺术》，上海人民美术出版社，第8页。) 然而，对波洛克艺术影响最大的，还是那些来自欧洲的超现实主义艺术家所带来的思想。给我印象最深的，波洛克曾经回忆说，是他们关于艺术源自无意识的观念。这种观念对我的影响胜过这些特殊画家的创作。(埃伦H约翰逊编，姚宏翔等译：《当代美国艺术家论艺术》，上海人民美术出版社，第3页。) 他一开始先是热衷于描绘那种所谓生物形态的图形。这些图形充满原型的、好斗的、动物性的、色情的、神秘的特点。他给这些超现实主义作品加上传统的或神话的标题，以表现在特定环境下不朽的人类情感。1947年，波洛克的绘画有了决定性的突破，从而诞生了他那自由奔放的滴画(drip painting)。事实上，对这种风格有决定性影响的，恰是超现实主义关于艺术源于无意识的观念，即所谓心理自动化的创作方法。 波洛克曾经详细介绍了其滴画的创作方法：我的画不是来自画架。在作画时我几乎从不平展画布。我更喜欢把没有绷紧的画布挂在粗糙的墙上，或放在地板上。我需要粗糙的表面所产生的摩擦力。在地板上我觉得更自然些。我觉得更接近，更能成为画的一部分，因为这种方法使我可以绕着走，从四周工作，直接进入绘画之中。这和西部印第安人创作沙画的方法相似。我进而放弃画家们通常用的工具，像画架、调色板、画笔等等。我更喜欢用短棒、修平刀、小刀、以及滴淌的颜料或搅和着沙子的厚重涂料、碎玻璃和其他与绘画无关的东西。一旦我进人绘画，我意识不到我在画什么。只有在完成以后，我才明白我做了什么。我不担心产生变化、毁坏形象等等。因为绘画有其自身的生命。我试图让它自然呈现。只有当我和绘画分离时，结果才会很混乱。相反，一切都会变得很协调，轻松地涂抹、刮掉，绘画就这样自然地诞生了。(埃伦H约翰逊编，姚宏翔等译：《当代美国艺术家论艺术》，上海人民美术出版社，第5页。) 波洛克这种自由奔放、无定形的抽象画风格，成了反对束缚、崇尚自由的美国精神的体现。这种全新的绘画，体现了画家惊人的创造力。它在两个方面充分展示了新颖性和独创性。 其一，满幅的构图风格。我们知道，以往的绘画中，往往都有一个倍受关注的视觉中心。无论是所谓封闭的古典主义绘画，还是开放的巴洛克绘画，画面形象都有核心形象与陪衬形象的差别。而如今，在波洛克的画面上，这种差别消失得无影无踪，所谓画面的中心，已全然无迹可寻。画面散漫无际，全面铺开，毫无主次。这种无重点满幅展开的画法，在印象派画家莫奈的晚期名作《睡莲》中，其实已初见端倪。而波洛克在画中将之发展到了前所未有的自由程度。正因为此，波洛克的这种画法被赞誉为1911年毕加索和勃拉克的分析立体主义绘画以后最引入注目的绘画空间方面的新发明。(罗伯特休斯著，刘萍君等译；《新艺术的震撼》，上海人民美术出版社，第276页。) 其二，绘画作品成为画家由情感所支配的行为的直接记录。波洛克作画过程中的那种充满节奏的自由运动，在那铺于地板的巨幅画布上留下痕迹。对于完成后的作品会是什么样子，事先全然不知，画完后才根据需要剪裁一块，绷到画框上去。艺术评论家罗森伯格将这种绘画称作行动绘画，其含义便是，画家在这里所呈现的已不是一幅画，而是其作画行动的整个过程。画布成了画家行动的场所，成了画家行动的记录。 值得一提是，我们的艺术家总是不像我们的科学家那样在常人看来神经正常，他们好像更容易抑郁化，也更容易神经质，甚至有些时间几乎疯狂，像外国的梵高，毕加索等等，当然了国内的也不乏其例，像诗人海子等等，要是罗列啊，能弄一大把一大把，咱先姑且不提，留待以后再说。我们的波洛克也算是其中的一位了，他对自己的行动绘画经常失去信心,在苦闷中有些精神异常,1956年在酗酒之后开车失事身亡。而他的这种负面倾向在他的某些画中是有所体现的，观了之后让人不寒而栗，让人发紧，这或许是美中不足的地方，是要避开的。 图一 杂色美（1） 所体味到的杂色美，又想到了自己也不知道在哪个地方看到的一首诗，英国诗人霍普金斯（Gerard Manley Hopkins 1844-1889)的杂色美，里面的颇具特色的物象词加上修饰词，成就了一幅好的诗歌语言。有些时间很佩服诗人，在一些物象上在加上自己赋予的意义，好像有了灵性似的，招之麾下，在自己的诗中成了自己的士兵，在前面冲锋陷阵，勾画诗意。又翻开了几年前的笔录，找到了，姑且摘录如下，翻译地信达雅。当时摘录时翻译的原诗也没有署名翻译的作者，很遗憾后来也没查到。当然了，照我理解霍普金斯这首诗中的上帝，可能有悖于霍普金斯所说的上帝，不过这并不妨碍理解杂色美。我理解中的上帝不是基督中的，也不是别的宗教中的上帝，它应该是冥冥之中一种客观存在，只不过我们还未认识到，找上帝来做代名词罢了。 Pied Beauty Gerard Manley Hopkins (1844-1889) Glory be to God for dappled things For skies of couple-colour as a brinded cow； For rose-moles all in stipple upon trout that swim； Fresh-firecoal chestnut-falls；finches' wings； Landscape plotted and piecedfold，fallow，and plough； And all trades， their gear and tackle and trim. All things counter，original，spare，strange； Whatever is fickle，freckled， With swift，slow；sweet，sour；adazzle，dim； He fathers-forth whose beauty is past change： Praise Him. 杂色美 杰拉德霍普金斯（1844-1889） 我把上帝赞扬，为了着斑驳的物象---- 为了天空的双色如同母牛的花斑， 为了水中的鳟鱼全身玫瑰痣像幅点彩画， 新裂的栗子如火炭烫金痴雀的翅膀， 风景分成条块田----梯田地、休耕地、犁翻地 还有手艺百家，齿轮、花车、装备琳琅满目。 一切对立的物象，新奇，多变，异样 遍布着快慢甜酸的雀斑----- 变化多端的光和暗使人眼花 全是他创造 而他的美超越了变化， 赞美他吧！ 图二 杂色美（2） 关于中国的国画，不像波洛克这样的没有意象随意发挥，倒是中国的泼墨画先是随意泼，再随之已泼成的图加上想象和当时心情，勾勾画画而成，很是有意思的，这个在网上没有相对应的枝枝节节之类的图画，所以就拿吴冠中先生的中国画来凑了，吴先生用中国画的材料工具、西方现代艺术的形式、色调观念与方法表现传统的诗情、境界，颇值得玩味的。 图三 杂色美（3） 四月末，北陵后山的绿意，带着几分离春入夏的青涩，不是很浓烈。透过阳光拍的这些照片，很有骨子清新爽朗的味道，所以很感觉蛮好的。把波洛克的滴画，吴冠中先生的中国画，还有自己拍的这些照片放在一起就是要比较下，体味下，自然界里的这些事儿，好玩的事儿。要说的是，这些画都是截取的，没有全构图，都是采用的部分图，但是这些个人认为已经能体现这层意思了。这些画和照片如图一图二图三所示。 二 有关资料把波洛克的滴画艺术归结为数学这个众科学之王中的分形几何中的一种，个人是认同这种说法的，可能波洛克也想不到自己的画和分形几何还有一段姻缘。 朱也旷在《混沌和齿轮对卡夫卡世界的一种新观》一文中，这样写到： 一个名叫理查德泰勒的物理学家在任职于澳大利亚新南威尔士大学期间，迷上了美国抽象派画家波洛克（J. Pollock）的绘画。一个偶然事件使他意识到波洛克的画中可能隐藏的秘密。在两位同事的帮助下，借助于计算机辅助分析技术，他发现波洛克的画作《秋天的韵律》具有典型的分形（fractal）特征，其分数维D值可以准确地计算出来。 这是一个奇妙的结果。我们知道，曼德布罗德在1977年出版的《大自然的分形几何》一书中，曾经给出过由计算机生产的模拟葛饰北斋巨浪的分形图形，两者之间还是有较大差别的。也就是说，撇开画中的小船不谈，葛饰北斋的《神奈川冲浪》也仅仅是在直观上具有自相似的特点，其分数维D值无法准确计算。 更奇妙的是，在他们所分析的全部20幅作品都具有这一特征。同时他们还分析了5幅被怀疑是出自波洛克之手的作品，结果它们都不具备分形特征，并据此认为这些表面上与波洛克的作品很相似的作品都是赝品。这一结果令人吃惊。要不是大名鼎鼎的《自然》杂志发表了这位客串到绘画领域的物理学家的研究论文，我简直要怀疑这不是真的（即便如此，我仍多少持一点保留意见，因为《自然》杂志发表它，显然不是因为它在科学上有多重要，而是因为它十分有趣；一篇在科学上重要的论文通常会受到严格的检验乃至多次重复实验的检验，而这篇奇特的论文会有人检验吗？）。不过怀疑归怀疑，在找到充分的证据之前，我们还是可以说：渗透于大自然中的分形韵律以同样的数理方式渗透到了波洛克的绘画中！ 理查德泰勒目前在美国的俄勒冈大学当物理学教授。据说他将继续沿着这一独特的蹊径开展对波洛克绘画的研究。 像朱也旷先生说的那样，渗透于大自然中的分形韵律以同样的数理方式渗透到了波洛克的绘画中！还有有一定的道理的，我在想是否在社科类的东西要是有数理方式来描述能描述下来么，要是能描述下来，世界还会这样五彩斑斓么？这真是个问题！控制学科里的非线性所描述的某种规律，至今好像没有很大的突破，不过还好还非线性的问题还能局部线性化。正如朱也旷先生在文中也说过教科书中几乎所有的经典方程都是线性的，因为线性方程易于求解，它们温顺纯洁，如同唱诗班上的小歌手。但大自然在本质上是非线性的，所谓的线性，只是特例中的特例，就像随手画一条线很少会画成直线一样。物理学家费米曾经深有感触地说：《圣经》并没有说一切自然定律都是线性的。 三 波洛克的画和分形几何联系起来了，管中窥豹，科学和艺术的某种关系，可见一斑了。 看来科学和艺术还是一家的，就像亲兄弟或者亲姊妹。这也不让人不想到，散见分子学科生命学科天体学科里研究的微小颗粒或者巨大天体所具有的那种形状美、秩序美、和谐美。 就是在多问为什么的时候，科学和艺术追求的立足点或许是一直的，爱因斯坦在物理学家普朗克的生日宴会上的敬词《探索的动机》里关于探索的动机这样说过，除了这种消极的动机（要逃避日常生活中令人厌恶的粗俗和使人绝望的沉闷，要摆脱人们自由变化不定的欲望的桎梏）外，还有一种积极的动机。人们总想以最适合于他自己的方式，画出一副简单的和可理解的世界图像，然后他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界并征服后者。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家各按自己的方式去做的事。各人把世界体系及其构成作为他的感情生活的中枢，以便由此找到他在个人经验的狭小范围内所不能找到的宁静和安定。我们的波洛克先生，我们的吴冠中先生也是奔的这个去的吧。理工的多看看人文的，人文的多看看理工的，这个好像是吃饭，杂食些对身体总是有好处的。 四 从所搜集的相关资料介绍来看，波洛克的这些滴画的成画方式，很有些类似中国古代的泼墨画。不同的是，滴画艺术在随意的滴画时，不考虑画意物象，全靠作画的人自由发挥，画什么是什么，要是说的不怎么好的话，大类中西方古代的女巫张牙舞爪，痴人呓语。可是在画成之后呢，看似杂乱无章，但是似乎有些神秘杂乱的美还是犹存的。中国泼墨画虽在最开始时随意，但是画着画着靠着想象，勾勾画画的，往现实中的物象上靠，也就成了一幅杰作。像《桃花扇》中的桃花扇，极富故事色彩的泼墨画。影片《唐伯虎点秋香》中的开始唐伯虎拿人画的泼墨画，虽有些搞笑成分，但是个人认为还是有些神似形似泼墨技艺的。相同之处就是随意自在从容，这个最最值得称道，是像汉语里的，水到渠成，瓜熟蒂落，讲究的就是自自然然的，这个在老庄的经典之作里，到处可见，但是果真能到如此之境界的又有几人呢？假使婴儿和老人果真能到此境界，那夹在其中不上不下青年中年人呢？ 恬适悠闲自在从容自然随意率性，是中外艺术滴画 泼墨画所能体现的。这个大有隐者达者智者的风范，不为五斗米折腰的陶渊明所构想的桃花源式的生活怕也莫过于此。张中行先生的生活和他的《顺生论》，倒是可为这个做个注。 最后还是要对文中提到的诸位先生和他们的大作致上敬意和谢意！
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