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2018 发表的论文（EI,）: x1871sjy 2019-7-8 20:10; 板状钢筋混凝土结构燃气爆炸荷载安全评估变分法分析.pdf; 个人分类: 燃气爆炸评估|1572 次阅读|0 个评论

杂说两种常用的研究方法: 热度 5 fdc1947 2019-3-15 11:18; 杂说两种常用的研究方法在研究工作中，预测数量往往是一桩最常见而最重要的的任务，几乎没有一项研究工作不与数字打交道的。这在自然科学领域内好像是没有什么疑问的，对于人文学科领域也有很多情况下涉及数字。我前几天写了一篇文章，讨论文献记载的孔子在鲁国的俸禄 “粟六万”如今应该折合多少人民币，也是一个预测数字的事情。在这样的研究工作中，总需要运用一些科学方法，本文就随便说一说两种常用的方法。我们测量某一个数字，最简单的方法无疑是直接测量。我要知道前面一张书桌的长度，拿一把尺直接量度一下就可以了。但是，很多情况下，直接测量是困难的，那就只有用间接的办法，或者说是测量或研究两个或多个量的相对值。比如，人们要知道太阳中的化学组分。我们不能到太阳上面去，更无法取一些太阳物质到地球上来，怎么能够知道太阳的化学组分？我们靠光谱分析。大家都知道，太阳光照射在棱镜上就会分成从红色到紫色的彩虹般的光带。从红色到紫色的各种光，就是频率不同的电磁波。所有的这种电磁波组成了所谓的光谱。在可见光的频率范围内，有可见光谱。最早被仔细研究的就是可见光谱。化学物质总会不断的发出或吸收电磁辐射，每一种原子会发出或吸收某些特定频率的电磁波，这些特定频率的电磁波对于每一种原子就像指纹或 DNA对于我们每一个人一样，称为这种原子的特征频率。当高温物体发出的由各种波长组成的光，透过温度较低的气体时，气体中的原子会吸收掉它的特征频率的那些电磁波，使得光谱中出现一条条暗线，这些暗线就可以用来指证组成这个气体中有哪些原子。太阳的中间部分在进行热核反应，温度非常高。所谓太阳光，就来自这种热核反应产生的高温辐射。当这种光经过相对温度较低的太阳表面时，表面的气体也会吸收它们的特征频率的光线。所以，我们收到的太阳光谱中就有一条条的暗线（称吸收线）。我们对太阳光谱的吸收线进行分析，就能够找到太阳中存在哪些原子的踪迹。但是，仅仅对这样的特定频率的分析，只能得到存在多少种原子的信息，但是还不能知道这些元素的多少。好得我们还知道，某一种原子越多，它吸收掉的这些特征频率的光线就越多。所以，从吸收线的明暗程度，又可以知道各种原子的相对数量。虽然我们不知道他们的绝对数量，但是可以知道各种原子数量的相对比例。正是根据这些吸收线的明暗程度，即谱线的强度，人们得到了太阳中各种原子多少的相对比例。例如，我们知道了氢原子谱线与氦原子谱线的强度比，可以知道，氢原子与氦原子的数量比约为 12：1（由氢的原子量为1而氦的原子量为4，得到质量比为3：1）。同样得到，氢原子与氧原子的数量比为约1500：1（质量比约97：1），氢原子与碳原子的数量比为3000：1（质量比约257：1），与其余元素的数量比和质量比都可以用同样方式知道。因此，我们就可以用这种间接的方法计算出太阳质量中约有四分之三是氢元素，近四分之一是氦元素，而其余四十多种元素加起来不到百分之二。太阳中各种元素的绝对质量值也就知道了。我们在分析孔子俸禄的数量时，由于不知道 “粟六万”的量度单位，所以无法知道其价值到底有多少。但是，我们也用了一个办法，就是知道了孔子俸禄与“管家薪水”之间的相对大小，即孔子俸禄是管家薪水的近百倍。知道了这样的相对值，也是很有用处的。为进一步研究其绝对价值提供了基础。实际上，一切测量一开始都是从相对测量开始的。最简单的例子，量度长短，一开始都是与人的身体来比较，与手指、手臂或脚、步跨的长度比较。以后，把手指、手臂或脚、步跨的长度 “标准化”了，规定了寸、尺或foot（英尺）、yard（码）的标准长度，于是原来相对的测量便得到了似乎绝对的数据。在这中间，寸、尺、foot、yard等单位长度的确定就是一项重要的工作。这就是确定基准。基准确定了，就可以用已定的标准来度量未知的量了。在孔子俸禄的例子中，如果我们知道了管家薪水的价值，那么孔子俸禄的价值也就知道了。但是，问题就是不知道管家薪水的价值，但是，我们可以估计出管家薪水的最低值。因为管家要拿薪水去养家糊口，他的薪水一定不会低于能够使家人生存下来的价值，这就是一个社会的最低劳动力价格。低于最低劳动力价格的薪水是无法维持社会的稳定存在的。而管家薪水还要适当地高一些，这样，我们从管家薪水的一个较低的估计值，就能够得到孔子俸禄的较低的估计值。我们得到孔子俸禄应当相当于如今百万人民币这个数量级的估计，正是一种从最小值出发的方法。在科学研究中，从一个物理量的最小值或者最大值出发，对这个物理量进行估计也是一种常用的方法。例如，在通常情况下，稳定存在的化学物质总是处在它的电子基态的最稳定构型。如水分子由一个氧原子和两个氢原子构成，通常情况下，它处于基态。它的能量随着水分子的构型（即氧原子与氢原子之间的距离以及氢氧氢原子之间的夹角）不同而变化。一般而言，如果我们知道了一个化学反应的反应物和产物的能量随它们体系构型的变化，我们就能够充分地了解这个化学反应的详细过程了（包括反应的速度、能量效应等）。用量子力学方法可以建立分子体系的薛定谔方程，解出这个方程，就可以得到分子体系的波函数和能量，从而得到这个体系随着组成体系的原子位置变化的所有规律，也就是这个化学反应的全部规律（所谓化学反应实际上就是组成体系的原子位置的变化）。这个方法可以代替我们做很多化学实验研究，也就是说，很多化学实验可以用计算来代替，这将会有很大的经济和环境效益。但是，很遗憾，一般分子体系的薛定谔方程是复杂的，到现在为止以及在可以预见到的将来是无法严格解出的，也就是无法严格得到体系分子的波函数和能量值（这里 “严格解出”的意思就是像中学解二元一次方程组那样用数学推导的方式解出）。但是，我们知道分子的能量是波函数决定的，只有严格正确的分子波函数才能够得到分子的能量。如果我们用一个近似的波函数，求得到能量值一定比它的真实的基态能量值高。根据这个原理，如果我们用带有一些变数的波函数代入薛定谔方程，求解得到的能量当然也在随这些变数而变化。而由此求得的能量最小值，一定仍然比真实的基态能量高。换句话说，我们用带有变数的波函数求得的能量最小值，是真实基态能量值的上限。这种方法在数学上说是一种变分法，在量子力学中，用变分法可以估计出真实基态能量的上限。也就是说，用变分法求得的能量值越低，就越是接近于真值，实际上我们就用这个值作为真实基态能量的近似值。这个方法构成了用量子力学方法计算分子体系的基础，换句话说，变分法是量子化学这个学科中最重要的计算方法。目前由量子化学计算得到的大量科学数据，基本上都建立在变分法的基础之上。在这些数据的支持下，现代的化学、材料学、生物学、药物学等学科的发展如虎添翼，得到了飞速的进步。在科学研究中，应用的各种方法有许许多多，本文只是随便说了两种常用的方法，一种是间接量度，另一种是估计它的最小值或最大值。实际上，这些科学方法不但在研究自然科学或工程技术问题时有用，在研究人文学科领域的问题甚至我们日常生活或了解日常知识时也是很有用处的，像我在理解孔子俸禄的问题上就用到了上述方法。所以，我主张所有的人包括研究人文学科的人都应当至少是初浅地学习一点自然科学，不但要学习自然科学知识，也要学习一点科学的研究方法。; 个人分类: 科教与社会|8265 次阅读|10 个评论

周四讨论班:泛函极值问题——变分法及其应用（王则严）: 热度 1 GrandFT 2015-3-24 23:54; 题目:泛函极值问题——变分法及其应用主讲人:王则严时间: 2015年3月26日星期四下午 4:30 地点: 16教学楼308室引言:1696年约翰伯努利提出的最速降线问题引发数学届极大震荡，直接孕育变分法这一数学分支。时至今日，变分法在物理学领域及其他领域依然发光发热。敝人希望通过较为细致的讲解，使听众了解、熟悉变分法及其应用。内容: 1.最速降线问题及变分法的引入 2.度量(距离)空间以及度量函数空间 3.泛函及泛函极值 4.欧拉方程及其应用 5*.条件极值问题及等周问题; 个人分类: 周四讨论班|3665 次阅读|1 个评论

《数理同源》-6-狄多女王的智慧: 热度 15 tianrong1945 2014-4-16 07:55; 5. 狄多女王的智慧再回到经典变分问题，补充介绍一个著名的的例子：等周问题（ Isoperimetricinequality ）。等周问题来源于公元前 200 多年的古希腊。据说狄多（ Dido ）女王因为智慧地解决了这个问题而建立了迦太基城。问题听起来挺简单的：给你一条长度固定的绳子，如何用它在平面上围出一块最大的面积？人们很容易直观地得出问题的答案是一个圆，如同两千多年前的狄多女王的直觉一样，好像也不需要很多智慧。但是，要真正从数学上严格证明这个问题却不那么容易了，一直到十九世纪（ 1838 年）才被雅各·史坦纳用几何方法证明【 1 】。图 1 ：圆形是等周问题的解的简单说明从图 1 所示的几个图形，可以对等周问题的答案进行一点简单的直观几何解释：（ a ）图表明，解曲线一定是处处“凸”的。因为如果某处凹下去了的话，便可以用与图 a 类似的方法将凹处边缘对称于红线翻转到虚线的位置而变“凸”，却仍然保持同样的周长，得到更大的面积。（ b ）图说明：在固定周长的情形下，图形越对称，面积越大。（ c ）图则表明，正方形不可能是等周长图形中面积最大的。因为我们可以将方形的一个角剪去再拼到一条边上，这样作了之后得到的图形与原来方形有相同的面积和周长但却不是完全凸的，所以面积不是最大。从以上三个直观理解可以得出如下结论：等周长而围成最大面积的那个图形，应该是“最凸”和“最对称”的。那么，基于直观感觉，符合这两个要求的，应该是非圆莫属！我们感兴趣的是从变分法的角度来分析解决这个问题。这个问题与前面所述的几个变分法例子的不同之处是除了需要求泛函的极值（围成的面积最大）之外，还包含了一个较为复杂的约束条件：图形的周长不变。 1776 年，年轻的拉格朗日（ 19 岁）提出了拉氏乘子法，用以解决带约束条件的极值问题。被欧拉称赞为“这应该是不论怎样赞美也不过分的贡献” 【 2 】！如何将平面上的等周问题用数学公式来描述？可以假设问题中平面上的一闭合曲线用参数方程 x(t) 和 y(t) 表示。这样，曲线所围成的面积 A 和周长 L 就可以分别用积分式表示为：等周问题要解决的就是要找到 x(t) 和 y(t) 满足的方程，使得在周长固定的条件下（ L=C ）面积 A 最大。为了解决上述的平面等周问题，我们将首先介绍两个预备知识：一是为了求出曲线 (x(t),y(t)) 所包围的面积而需要使用的格林定理（ GreenTheorem ）；第二个便是当年受到欧拉高度评价的拉格朗日乘子法。 a ）格林定理牛顿和莱布尼茨对微积分贡献的精华是“微积分的基本定理”，如下面的公式（ 3 ），这个定理将互逆的微分和积分关联起来： “微积分的基本定理”说的是什么呢？仔细看看公式（ 3 ），如果用语言来叙述它，说起来有点拗口：“一个函数 F(x) 的微分的积分，等于它的边界值 F(a) 和 F(b) 之差”！说些什么呀，微分又积分，不就什么也没干吗？当然和原来的函数有关啰。不过，这儿好像也玩了点儿花招，右边的结果并不完全是原来的未知函数 F(x) ，而是被表示成了原函数的边界值。因此，换个说法，我们也可以如此来叙述公式（ 3 ）：“一个变量在一段期间中无穷小变化之和，等于变量从始到终的净变化”。也许有人会耸耸肩膀，认为刚才说的都是废话，我们是学科学的，学物理的，不喜欢咬文嚼字，你干脆说说这“微积分的基本定理”有什么用处吧！在本篇的第一节最开始介绍微积分时，谈到“微分”更符合动态和变量的观念，“积分”更是静态的。当微积分理论被建立起来之后，人们发现这个“工具”的最大优势是求积分。大家从学习经验中也能体会到：绝大多数函数的微分都不难得到，绝大多数函数的积分计算却都不容易！而在很多时候，“基本定理”便能够帮助我们计算这些困难的积分。还要再一次将“基本定理”换一个说法。也可以这么说：公式（ 3 ）是将一个 1 维的积分转换成了边界上 0 维的积分。所以说，“基本定理”的精神也可以理解为将积分的维数降低了 1 阶，或许这就是用它能简化积分计算的关键所在！既然如此，我们经常会碰到多变量（例如 2 维）的困难积分，那么，有没有什么定理，能把平面上 2 维的积分转换成 1 维边界上的积分呢？答案是肯定的，这就是格林定理，见上面的公式（ 4 ）。因此，可以说格林定理的实质就是微积分基本定理在 2 维的推广。图 2 ：格林定理是二维的斯托克斯定理实际上，格林定理在物理中有多种表述方式：斯托克斯定理，散度定理，高斯定理……，其实这些都可以说是同一个概念的不同名称而已。也许应用的环境和空间维数稍有不同，但它们表达的内在精神是一致的。理解数学公式的“精神”所在很重要。现在，我们该轮到研究公式（ 4 ）及图 2 的精神了，首先看看公式（ 4 ）：它的左边是一个在面积 D 上的二重积分，而右边则是一个沿着 D 的边界 C 进行的线积分。也就是说，这个式子将一个 2 重积分与比之低 1 维的线积分联系起来。一个对面积的积分怎么就变成了一个边界上的线积分？这儿如果结合一点儿物理，可以更容易理解。事实上，格林是在研究静电场和静磁场等物理问题时得到格林定理的，这个定理也能很方便地被用于流体力学的研究中。在电磁场或流体力学的具体物理情况下，函数 P(x,y) 和 Q(x,y) 可以看作是某个力的分量，而格林定理也就可以用力场的性质来描述。比如说，在力场的矢量分析中，我们可以定义矢量场的旋度和散度等等概念。如此一来，我们便可以把这些符号写进格林定理中而使它改头换面成另一种更符合某种物理内容的模样，比如散度定理。如图 2 右图所示，力场对面积的积分可以看作是许多无限小的圆圈线积分之和。当这些小圈线积分相加时，区域内部各个小圈积分的邻近部分因为积分方向相反而互相抵消了，最后便只剩下了边缘部分的积分（左图）。格林定理在物理中有广泛的应用。不过，我们这儿要使用格林定理的目的，不是为了解决电磁场或流体力学的问题，而只是用它求曲线的面积而已。这只需要令公式（ 4 ）中的函数 Q=x/2，P=-y/2 就可以得到了。如此而得到等周问题面积表达式（ 1 ）中的被积函数 f(x,y)= (1/2)(xy’-yx’) 。另外，周长表达式（ 2 ）中的的被积函数 g(x,y)= sqrt((x’) 2 +(y’) 2 ) 。 b ）拉格朗日乘子法历史地看，拉格朗日当年用“拉格朗日乘子法”是为了解决更为困难的变分问题。但这个方法后来在解决带约束条件的一般函数极值问题中发挥了很大的作用。为了更好地理解拉格朗日乘子法，我们逆反着这个方法的历史过程，从更简单的函数极值问题开始叙述。图 3 ：带约束条件函数极值问题的例子首先举两个带约束条件函数极值问题的例子。图 3a 所示的小狗，就面对着爬到高处的极值问题：爬得越高，才能吃到越多的食物。如果小狗是自由的，它当然希望爬到山顶上的最高点。这是无约束条件的极值问题，“自由”便意味着小狗没有约束。但是，如果小狗被主人拴在了大柱子上，它的行动便受到了绳子长度的约束，它因此可能爬不到山坡顶，而只能爬到一定的高度。在图 3a 中，绿色曲线表示山坡不同高度的等高线，红色圆圈则对应于绳子给小狗的约束方程。与红线相切的那条绿线的高度，就是小狗能爬到的最大高度。图 3b 所示的是一个在企业中常常会碰到的最小花费问题。比如，某公司某月要用两家不同的工厂 A 和 B 来生产 90 台平板电脑。这两家工厂生产不同数目（ n 台）电脑所给出的价格 J(n) 不是那么简单的线性关系。比如说， A 厂给出生产 n 台电脑的价格 J A (n)=6n 2 ，而 B 厂生产 n 台电脑的价格 J B (n)=12n 2 。问题是，如何将这 90 台平板电脑的任务分配给两个工厂，才能达到花费最少的目的？现在，我们将上面的任务分配抽象成数学问题。我们仍然用处理变分时所用的 f(x,y) 和 g(x,y) 来表示极值函数和约束条件。但是，需要注意的一点是：在变分问题中（公式 1 和 2 ），它们不直接是欲求极值的函数和约束条件本身，而是积分号内的被积函数，积分之后的面积 A 及周长 L 才是目标函数和约束条件。而在上述这个更为简单的函数最优化问题中， f(x,y) 和 g(x,y) 本身就是目标函数和约束条件。如图 3b 所示的例子，如果该公司请 A 厂和 B 厂生产的电脑数目分别是 x 和 y ，那么，所需要的总费用则可以表示成 x 、 y 的函数。目标函数 f(x,y)=6x 2 +12y 2 。所需电脑的总数目是固定的 90 台，因而约束条件为： g(x,y)=x+y-90=0 。这样，问题可以重新被叙述为：在满足 g(x,y)=0 （ 90 台）的条件下，求花费 f(x,y) 的最小值。如何用拉格朗日乘子法解决这个问题呢？拉格朗日的妙招是引进一个“乘子 l ”，然后将约束条件和目标函数两个方程并成一个方程。也就是说，产生一个没有约束条件的新的目标函数 F ： F(x,y, l ) = f(x,y)- l g(x,y) = 6x 2 +12y 2 - l (x+y-90) 因为 F(x,y, l ) 没有任何条件，便可以用一般函数求极值的方法，即分别令 F 对三个变量的偏微分为零。这样，就可以得到 3 个方程，然后则能解出：当 x=60 ， y=30 ， l =720时， F(x,y, l ) 有极小值 32400 。换句话说，生产 90 个平板电脑最小的花费是 32400 元，分配方案是 A 厂生产 60 台， B 厂生产 30 台。从图 3b 可以更好地理解这个例子。图中的红色直线代表约束条件，它与目标函数的某一条等位线相切的那个点，便是问题的解。拉氏乘子 l 在不同的具体问题中有其不同的物理意义。我们稍微解释一下这个例子中拉氏乘子 l 的意义：它是约束条件改变时，目标函数变化的最大增长率。换言之，当问题中需要生产的电脑数目不是 90 台而是 91 台（或 89 台）的时候，花费的最大变化是从 32400 元增加 720 元或者减少 720 元。这个例子中的约束条件只有一个，但一般应用拉格朗日乘子法时，约束条件的数目可以扩展到更多。总之，拉氏乘子法的实质就是对 n 个约束条件引进 n 个乘子，产生新的不带任何约束条件的目标函数，将带约束的极值问题转换成了不附加任何条件的极值问题。 c ）等周问题【 3 】对变分法中的等周问题，也是引入同样的拉格朗日乘子 l ，将问题转换成不带约束条件的 F 的变分问题：最后得到无条件的泛函 F 的欧拉 - 拉格朗日方程，再解出 x(t) 和 y(t) 后可知，它们所满足的方程是一个圆。这个问题中的拉氏乘子 l ，则是所得圆的曲率半径。另外，在从微分方程求解 x(t) 、 y(t) 时所得到的 2 个任意常数，则确定了圆心所在的位置。参考资料：【 1 】 J.Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angewMath. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer,Berlin, (1882). 【 2 】钱伟长，论拉氏乘子法及其唯一性问题，力学学报，第 20 卷，第 4 期， 1988 。【 3 】 CraigG. Fraser, “Isoperimetric Problems in the Variational Calculus of Euler andLagrange” (Historia Mathematica, February 1992, pp. 4–23). 上一篇：数学的诗篇系列科普目录下一篇：上帝也懂经济学吗？; 个人分类: 系列科普|17235 次阅读|29 个评论

专题讨论班：变分法在数学物理问题中的应用（董成伟）: 热度 1 GrandFT 2013-11-25 09:33; 题目：变分法在数学物理问题中的应用主讲：董成伟时间： 2013 年 11 月 25 日星期一下午 2:00 地点： 16 教学楼 308 室提纲： 1. An introduction: variational method for findingperiodic orbits 2. Organization ofspatially periodic solutions of the steady Kuramoto-Sivashinsky equation 2.1 Search for dynamically important equilibria for system size L=43.5 2.2 Steady solutions of the KSe at a given c value 2.3 The bifurcations of the fundamental cycles 3. A variational approach to connecting orbits in nonlineardynamical systems 3.1 The improved algorithm 3.2 Some examples 4. The ionized electron return phenomenonof Rydberg atom in crossed fields 4.1 A new transition state 4.2 The return phenomenon and its physical significance 5. Future plans; 个人分类: 专题讨论班|2847 次阅读|1 个评论

专题讨论班（周三）：散射中的变分方法（一）（李文都）: GrandFT 2012-10-22 21:29; 题目：散射中的变分方法（Variational Methods）主讲：李文都时间：2012年10月24日星期三下午2:00-3:30 地点：16教学楼308室散射中的变分方法这次讨论班的主要内容是应用变分方法来处理散射问题 10.1．Hulthen-Kohn 变分原理 10.2．Schwinger变分原理 10.3．散射理论中的最小原理参考文献：C.J. Joachain, Quantum Collision Theory第10章; 2326 次阅读|0 个评论

周四讨论班：高维变分法及其应用简例（邱荣涛）: 热度 1 GrandFT 2011-3-28 00:25; 题目：高维变分法及其应用简例说明：这是《中场论》课程的讨论班的一部分，但它是完全独立的。内容是 Б.А.杜布洛文, С.П.诺维可夫, А.Т.福明柯的《现代几何学:方法与应用》中的一部分。主讲：邱荣涛时间：2011年3月31日16:30 地点：16楼308 这次讨论班可作为场论课的补充材料。从作用量变分的角度给出一些常见的场的方程。首先快速回顾一下一维变分法，给出欧拉 - 拉格朗日方程的过程，通过对比及简单的推广，立刻转入高维变分问题，并直接给出高维的欧拉 - 拉格朗日方程，并构造出对称的能动量张量。然后给出一些具体的例子，这些例子主要包括电磁场的例子、引力场的例子及其他一些有意思的例子。提纲： 1、变分法的一般原理——由一维到高维，这个“高”体现在哪里？ 2、例1 ：电磁场方程——狭义相对论框架下的 3、例2 ：引力场方程——广义相对论 4、其它例子参考文献： Б.А.杜布洛文, С.П.诺维可夫, А.Т.福明柯的《现代几何学:方法与应用》; 个人分类: 中场论|3902 次阅读|0 个评论

[转载]泛函分析: ChinaAbel 2010-10-29 13:51; 本文转自中文百科在线 http://www.zwbk.org/zh-cn/Lemma_Show/68412.aspx ，根据自己学习实变和泛函的一些体会做了一些增补。目录 1泛函分析的特点和内容 2泛函分析的起源 3泛函分析的形成 3.1度量空间和函数希尔伯特空间 3.2连续线性泛函 3.3巴拿赫空间 3.4算子谱论 4泛函分析的重要分支 4.1巴拿赫代数 4.2拓扑线性空间 4.3广义函数论 4.4非线性泛函泛函分析（Functional Analysis），现代数学的一个分支，是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。　　泛函分析是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。半个多世纪来，一方面它不断以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间（也称拓扑向量空间）理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析的特点和内容　　泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。泛函分析的起源　　　泛函分析的源头之一是变分法。18世纪形成的变分法的核心课题是研究形如　　（或更复杂）的积分的极值。这里函数 y＝y(x)是在某个集合Y上变动，例如Y可以是［，b］上具有连续导函数(或再附加一定的约束条件，如y()＝0，y(b)＝1等)的函数的全体。如果说微积分是研究以数 x为自变元的函数(x)，那么变分法就是研究以函数y为自变元的函数J 。函数y 在这里被视为点。19世纪末， J.（-S.）阿达马首先给这种函数的函数J 冠以泛函的名称。在泛函J 的极值的研究中，需要考察与一个函数y 0 相邻近的一切函数，这就向人们暗示:Y 中的函数(点)与函数(点)之间有着某种衡量远近的几何度量，从而Y是具有某种度量的、由函数(点)构成的空间。但是，认识到要把函数视为点，把某些函数构成的集合视为空间（函数空间），还是在和其他学科长期发展的历史过程中形成的。所以就连泛函一词的出现也并不是在变分法形成的18世纪，而是直到19世纪末。　　　　泛函分析的另一个源头是积分方程。自从1823年 N.H.阿贝尔从力学问题中提出并研究积分方程 (x)以后，19世纪末在微分方程，例如在狄利克雷等问题的研究中，出现了上述积分方程的推广形式，所谓沃尔泰拉型积分方程。（E.）I.弗雷德霍姆 1900年又对积分方程作了重要研究。后者引起了 D.希尔伯特的极大兴趣。1904～1906年，希尔伯特在这方面完成了 6篇论文。他在实连续积分核K(x，y)是对称的(即K(x，y)=K(y，x))的条件下，获得许多比弗雷德霍姆更深入的结果。例如，证明特征值是实的，给出预解式的形式与特征展开等等，这些通常称为希尔伯特谱论。希尔伯特利用正交展开将积分方程求解问题化成无限阶的线性方程组求解问题，并在此基础上引入无限维（实）欧几里得空间l 2 ，即满足的实数列＝( 1 ， 2 ，， n ，)全体。他提出了l 2 上有界双线性形式、有界线性形式(即所谓连续线性泛函)以及两种收敛（即所谓的强、弱收敛）等概念，给出了l 2 上的选择原理(即所谓的闭单位球的弱紧性)，还发现连续谱的存在等等。这表明用代数方法来研究分析中某些课题是很自然的。泛函分析的形成　　　泛函分析作为学科的形成，以致它的整个发展，至今主要是围绕着对偶理论和算子谱论展开的。　　度量空间和函数希尔伯特空间　　　几乎与希尔伯特同时， M.R.弗雷歇就提出并研究了以具体函数类为主要背景的抽象度量空间（也称距离空间）以及度量空间中的紧性、完备性、可分性等泛函分析的基本概念。这里包含着一般拓扑学（又称点集拓扑学）的萌芽。另一方面，希尔伯特的学生E.施密特在积分方程的研究中发展了希尔伯特谱论。他在1908年的论文中已使用复l 2 、内积和范数的符号，给出了正交、闭集、向量子空间的定义，并证明在闭向量子空间上投影的存在性。这是基本的几何概念正式进入了泛函分析。1902年 H.L.勒贝格的积分理论问世(似乎当时希尔伯特不知道)，有力地加速泛函分析的形成。1906～1907年， E.菲舍尔和 F.（F.）里斯利用新积分工具相互独立地证明了里斯菲舍尔定理。里斯在此基础上引入平方可积函数空间L 2 ，证明了它的完备性、可分性，并很自然地将弗雷德霍姆理论推广到K(x，y)是矩形上平方可积函数的情形。　　连续线性泛函　　　泛函分析的一个基本概念。围绕对它的研究形成的对偶理论至今仍是泛函分析中心课题之一。对它的研究最早可追溯到 C.博莱特 (1897)提出要用连续性条件来刻画一定函数类上的连续线性映射T:EF。1903年阿达马在E是C ( 上连续函数的全体)，F是实数域，当{ n }一致收敛于时，T n T的情况下，将T 表示成一列积分的极限的形式。但这种表示不惟一，并且有极大任意性。后来在实l 2 空间上，弗雷歇和里斯独立地在T 是所谓强连续假设下给出简单而惟一的表示，即希尔伯特空间l 2 上的连续线性泛函表示定理。里斯在1909～1910年又相继给出C 、L p 、l p (p1)上的表示定理。在这些表示定理的证明中实质上已蕴含线性子空间（又称向量子空间）上连续线性泛函必可延拓到全空间的事实。E.黑利从1912年开始（中间经过第一次世界大战的中断），直到1921年用赋范数列空间(他并未用这个名称)代替具体的C 、L p 、l p 等而考虑较抽象形态的延拓问题。他使用了凸性以及在有限维空间情况下早为 H.闵科夫斯基用过的术语，如支撑超平面等。巴拿赫空间　　　在许多具体的无限维空间以及它们上面相应的收敛性出现之后，抽象形态的线性空间（向量空间）以及按范数收敛的出现就成为自然的了。1922～1923年，E.哈恩和巴拿赫（同时还有N.维纳）独立地引入赋范线性空间。当时的讨论事实上都限于完备的赋范线性空间。1922年哈恩从当时分析数学许多分支已达到的成果和方法中提炼出了共鸣定理。1927年H.施坦豪斯和巴拿赫用完备度量空间的第二纲性代替原来所谓滑动峰证明方法，给出现今常见的证明。1922～1923年巴拿赫又得到了压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年哈恩完全解决了完备赋范线性空间上泛函延拓定理的证明，并第一次引入赋范线性空间E的对偶空间（共轭空间）K（当时称为极空间）。两年后，巴拿赫用同样方法也得到同样结果（后来，他承认哈恩的优先权），并看到这个定理可以推广。这个推广形式在后来的局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年巴拿赫将他1923～1929年的工作以及当时主要成果写成《线性算子理论》一书，书中大部分讨论他1929年开始研究的弱收敛，这又成为局部凸拓扑线性空间理论出现的先导。在同一书中还发表了完备赋范线性空间上连续线性算子值域不是第一纲集便是全空间以及闭图像定理等重要结果。这时，作为完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，它的许多结果已成为泛函分析应用中的强有力工具。人们为纪念他的功绩，把完备赋范线性空间称为巴拿赫空间。近年来，人们特别感兴趣的一个领域是研究巴拿赫空间的几何学。　　算子谱论　　　事实上，希尔伯特谱论已是泛函分析算子谱论的开始（虽就算子而言是具体的由核K(x，y)所确定的积分算子，可就观念和研究方法而言却是代数的）。　　　　然而早在18世纪，人们已从数学的各个领域的经验中开始对算子有所意识，特别从种种方程的解具有叠加性中了解到许多重要运算，例如微分运算、积分运算等都具有线性。但作为谱论的直接源头是弗雷德霍姆理论，这个理论与有限阶线性方程组求解理论极其相似。人们自然会问：怎样的线性运算和熟知的有限维空间上线性变换的若尔当型与弗雷德霍姆理论有相似的性质？这个问题在里斯之前，有人探索过，但未解决。1916～1918年，里斯给出了完全的回答。他先限于l p ，后又考察C ，他未用希尔伯特的双线性形式，而直接用术语算子代替它，引入全连续算子概念。最终他又把讨论基本上推广到了巴拿赫空间上。其中涉及共轭算子的某些结果，后由J.P.绍德尔(1932)补充完成。通常称它为里斯绍德尔理论。里斯受希尔伯特发现连续谱现象的启发，用与希尔伯特完全不同的但具有典型泛函分析意味的方法得到l 2 上有界自共轭算子A的谱分解: ，其中是上的连续函数，{E }是l 2 上一族投影算子。这对希尔伯特发现的连续谱或说应是近似点谱做出了很好的解释。或说：非特征值的连续谱所相应的是广义特征向量。当然他当时的表达形式是较原始的。20世纪20年代是量子力学的大发展时期，不断出现的新思想要求寻找合适的数学工具。物理学家们最终发现，可观察量的性质与希尔伯特空间（当时还没有这个名称）上自共轭算子的性质具有不平常的一致性，而希尔伯特所提出的数学上的谱可以用来解释物理学上原子的谱，因此纷纷来找希尔伯特帮助。1926年，作为助手来到希尔伯特身边的 J.冯诺伊曼开始曾以 L 2 上积分算子进行尝试，发现物理学家所必须运用的狄喇克－函数的概念中，从当时的数学看来，包含着矛盾。冯诺伊曼为提供量子力学的严格数学基础，于1929～1932年，正式引入并定名抽象的（即现在的）希尔伯特空间概念。鉴于物理学上的可观察量以及奇异积分方程、微分方程中出现的重要算子都是无界的，冯诺伊曼引入稠定闭算子概念。他做出系统的奠基性的工作：给出了无界自共轭算子的谱分解，发现对称算子和自共轭算子的区别，建立了对称算子亏指数理论，又给出了酉算子和正常算子谱分解，证明了量子力学中交换关系的表示在酉等价意义下是惟一的（即量子力学体系的数学描述本质上只有一种）等等。此后作为单个算子谱论，人们最主要兴趣是非正常算子谱论和巴拿赫空间算子谱论。巴拿赫的《线性算子理论》一书问世以及冯诺伊曼的谱理论的出现，标志着泛函分析已作为独立的数学分科诞生。在形成过程中，它的每个重要结果都伴随着它在其他领域中的许多有价值的应用。　　泛函分析的重要分支巴拿赫代数　　　20世纪30年代初代数环论的重要进展以及它在群表示论上的应用，促使冯诺伊曼于1935年开始以很大的兴趣研究了希尔伯特空间 H上有界线性算子全体B(H)的(对称)弱闭子环，获得（部分与 F.J.默里合作）完整而深入的结果。后人称这种算子环为冯诺伊曼代数，也称W 代数。1941年又出现了 И.М.盖尔范德在巴拿赫代数方面的开创性工作，将算子谱推广到巴拿赫代数中的元素。特别是他(部分与М.A.奈玛克等合作)完成系统而精美的C 代数（虽是特殊的，但重要的巴拿赫代数）理论。代数的方法在这里充分显示了威力。这些代数理论汇成了泛函分析的新分支─巴拿赫代数（包括W 代数）。它不仅成为建立局部紧群上调和分析以及后来50年代研究局部紧群的线性表示理论的重要工具，而且在研究经典分析某些课题中也取得了令人惊异的效果。拓扑线性空间　　　泛函分析的另一重要分支是拓扑线性空间理论。在弗雷歇引入距离，并用它来统一过去分析学中的许多重要收敛时，就知道上一列函数的点点收敛概念是不能用距离收敛来描述的。跨入30年代，泛函分析中大量使用弱收敛、弱拓扑。它们都不能用距离来描述，这就很自然地要把赋范线性空间理论发展成更一般的拓扑线性空间理论，其中最主要的成就是局部凸拓扑线性空间理论。这一分支的发展是与一般拓扑学的发展紧密联系在一起的。拓扑学方法在这里发挥了极重要的作用。勒雷绍德尔不动点定理是有力的例证之一。从1935年开始，经过十多年时间，这一分支终于形成，它的许多重要结果不仅在泛函分析中有广泛的应用，也为其他分析学科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。　　广义函数论　　　泛函分析中具有广泛应用的又一重要分支。30年代开始，很多数学家研究微分方程的弱解，这自然地导致广义导(函)数概念。应注意的是点点不连续的函数可能有广义导数而仅在一点不连续的函数却可能没有广义导数。对一个具体的微分方程，所需的广义导数可以容纳在当时已形成的巴拿赫空间理论的框架之中。然而对物理学家P.A.M.狄喇克引入的不存在的函数，通过如下一些操作，例如 (这里g是n次连续可微函数)，等等，竟能得到正确的结论，这在那时候是使数学家们费解的。С.Л.索伯列夫(1936)迈出了决定性的一步，他除了引入了广义导数（后人称为索伯列夫导数），更重要的是将( n )(x-)视为开集上无限次可微且具紧支集的函数空间D()上的线性泛函，即这在数学上是完全可以接受的。他用这种方式处理、 n ，在双曲型方程的柯西问题中取得了重要成功。但他对这种函数所规定的连续性概念尚不能容纳在当时形成的巴拿赫空间理论中。随着拓扑线性空间理论以及调和分析理论的发展，终于在1945年出现了L.施瓦尔茨的分布论(又称广义函数论)，完全解决了广义函数（包括－函数）的傅里叶变换问题，并将这方面已有的种种重要观念汇成了统一和完整的理论。广义函数论把函数概念提高到一个新阶段，它一出现就强有力地推动偏微分方程的发展。例如，50年代末出现L.赫尔曼德尔的叶理论，紧接着60年代又出现了伪微分算子理论和傅里叶算子理论。从此，偏微分方程的研究出现了新局面。　　非线性泛函　　　上面所谈到的一些重要的成果和分支，除其中个别定理（如不动点定理）外，都属于泛函分析中的线性部分。就泛函分析的起源而言，变分法中所讨论的泛函J 就已经是非线性的了。然而就发展的现状来说，泛函分析中非线性理论远没有达到线性理论部分那样丰富多采的结果。这很可能是由于线性与非线性问题有本质区别，而线性问题要比非线性问题简单得多。对分析学各个领域中出现的各种形式的问题，只要本质上属于线性的问题，尽管是很复杂的问题，相对的说，人们是易于取得成功的。在丰富成果的基础上自然容易形成统一而漂亮的线性理论，获得广泛的应用。然而，现实中非线性问题远比线性问题多。由于处理上的困难，不少非线性问题就用线性的近似来代替。随着认识的深入，线性问题研究到一定阶段，人们自然就向非线性问题进军，这就为泛函分析非线性部分的发展提供了前提。围绕着非线性积分方程、非线性积分微分方程以及各种近似求解法等等，已逐渐形成了在应用上具有一定广泛性的泛函分析的非线性理论，例如近似解理论、单调算子理论、隐函数理论、拓扑度理论、分歧理论等等。随着近代微分几何、拓扑学和大范围分析的发展，今后非线性泛函分析定将有更广阔的前景。附两篇介绍泛函分析的文章：文一：泛函分析泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了希尔伯特空间的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。泛函分析的特点和内容泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。文二：泛函分析什么是泛函分析赋范线性空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容目录什么是泛函分析　　泛函分析（ Functional Analysis ）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（ Stefan Banach ）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（ Vito Volterra ）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。　　泛函分析是 20 世纪 30 年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。赋范线性空间　　从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究 Frchet 空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。　　泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出 C* 代数和其他算子代数的基本概念。　　 1. 希尔伯特空间　　希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为 50 ）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。　　 2. 巴拿赫空间　　一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。　　对于每个实数 p ，如果 p 1 ，一个巴拿赫空间的例子是所有绝对值的 p 次方的积分收敛的勒贝格可测函数所构成的空间。（参看 Lp 空间）　　在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。　　微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。主要结果和定理　　泛函分析的主要定理包括：　　 1. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。　　 2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。　　 3. 罕 - 巴拿赫定理（ Hahn-Banach Theorem ）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。　　 4. 开映射定理和闭图像定理。泛函分析与选择公理　　泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（ Zorn's Leema ）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕 - 巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（ Axiom of Choice ）弱于布伦素理想定理（ Boolean prime ideal theorem ）的一个形式。泛函分析的研究现状　　泛函分析目前包括以下分支：　　 1. 软分析（ soft analysis ），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。　　 2. 巴拿赫空间的几何结构，以 Jean Bourgain 的一系列工作为代表。　　 3. 非交换几何，此方向的主要贡献者包括 Alain Connes ，其部分工作是以 George Mackey 的遍历论中的结果为基础的。　　 4. 与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照 Israel Gelfand 所述，其包含表示论的大部分类型的问题。泛函分析的产生　　十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。　　本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了希尔伯特空间的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。　　由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。　　非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知， n 维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。　　这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。　　这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。　　研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。泛函分析的特点和内容　　泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。　　泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。 n 维空间可以用来描述具有 n 个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。　　正如研究有穷自由度系统要求 n 维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。　　泛函分析是分析数学中最年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。学习实变和泛函分析的一些体会：周民强的《实变函数》几乎完全是分析的观点来讲授实变函数，基本上不涉及代数的观点，所以读起来直观一点，夏道行的《实变函数与泛函分析》上策则带有很多代数的观点，更加抽象一些。但这才是学实变最后应该道道的理解成都，所以可以放在最后看。还有中科大的徐森林的是《实变函数论》也不错，定理得证明很细致，不怎么跳跃，也适合自学阅读。这三本书就够了，其它书最多是某一小段写的好，泛函分析的书很多，有了很好的实变基础，泛函随便那本都不难看懂。当然内容最全的还是北大张恭庆的《泛函分析》。其实学习实变和泛函要转变我们以前的数学的思维方式。以前我们学中学数学也好，高数也好，我们解决问题的方法都是公式推导，登时变换和数字计算之类。而学实变和泛函主要是用设计构造方法来解决问题。; 个人分类: 数学天地|7950 次阅读|0 个评论

悼念钱伟长先生专辑－杂记篇－3：一本不可多得的应用数学专著: sqdai 2010-8-10 23:37; 评介钱伟长院士的专著《格林函数和变分法在电磁场和电磁波计算中的应用》最近，上海大学出版社推出了钱伟长院士撰写的应用数学专著《格林函数和变分法在电磁场和电磁波计算中的应用》（修订版），该书初版于 1989 年问世，原为上海工业大学辐射和天线研究班的授课讲稿，出版后广受欢迎，很快售磬，现经作者修订，以更精致的形式发行。此书共分十章，前三章和第四、五章分别阐述格林函数和变分法的基本理论，后五章论述它们在电磁衍射、辐射、散射以及波导问题中的应用。全书视角独特、深入浅出、论点鲜明、论述严谨，是一本不可多得的应用数学专著。众所周知，钱伟长院士是闻名中外的大科学家，但多数人只知道他从事的主要专业是应用数学和力学，他怎么能写出一本涉及电磁场的专著呢？原来，钱伟长先生有一段鲜为人知的经历： 1942 年他在加拿大多伦多大学获得应用数学博士学位之后，出于当时二战的需要，曾作过一段电磁波导的研究，而且在理论和实践上颇有建树，由于他毕业于清华大学物理系，在物理学和数学方面功底深厚，加上有实践的积累，写起这种专著来自然是得心应手的了。一般人著书立说的时候，手头总是放着一大堆有关书籍，不时翻阅查看，以便引经据典，但是，据他当时的一位学生所说，钱先生写这本书的时候却另有一景：他的案头不放任何典籍，全书一千多个公式，都是信手写来，时而在草稿纸上作一些推导，可见对已有的学术成果他早有成竹在胸，而书上的不少结果，是出于他本人的创造。大家知道，格林函数法和变分法的提出和发展已有二三百年的历史，有关专著如汗牛充栋，要把这类著述写得有特色、有新意，真是谈何容易！而笔者在通读这本书时却一再拍案叫绝，深深感受到它是出于大家手笔。掩卷之时，总结出它有如下特点：（1）视角的独特性。尽管论述格林函数法和变分法的书籍不在少数，但把它们与电磁场、电磁波计算捆绑起来描述的专著在国内外并不多见，尤其是从变分原理出发作系统的电磁学计算更为少见。笔者系统地学过电磁学，对书中提到的格林函数描述并不陌生，在日常科研实践中也时常应用，但通读此书后仍有提醐灌顶之感，觉得使自己过去所学的知识系统化、实用化了；而对于一些电磁变量、参数的的变分计算，则是倍觉新鲜。笔者想，对于从事电磁场的理论和应用研究的教学、科研人员来说，若能熟读此书，定能得益非浅；（2）论述的科学性。大家知道，应用数学类的专著有两种写法：归纳式的和演绎式的，或者两者兼而有之。研究纯数学出身的人对演绎法更为青睐，从定义、假设、公理、命题出发，证明引理、定理，作出推论、应用，倘若这本书如此写来，肯定会吓退一批电子工程师；而钱先生在此书的写作中实践了他的一贯主张，即应用数学的论述应以归纳式为主，即从实践应用出发，分析若干案例，归纳出主要结论，再加以演绎、证明、推广。比如说，他在引进格林函数时，先举通俗易懂的三个例子：单弦受横载的变形、单弦受迫振动、梁的横弯曲（这里他也流露了他的力学家本色），据此讲述格林函数的五大特性，并引进互易定理，然后再用一般的二阶方程、狄拉克函数，严格地论述格林函数；再如，在论述变分原理时，他又举出三个经典的例子：两点间的最短连线问题、最速降线问题、短程线问题，自然地阐明了变分法的基本概念，如泛函的极值、约束条件、约束的变分（条件变分）等等，接着再叙述欧拉方程、变分基本定理、拉格朗日乘子法等；在叙述他最拿手的拉格朗日乘子法时也是从最简单的函数条件极值讲起，使得读者即使数学基础薄弱，也能毫无困难地跟着他的思路走向更高的境界，学到实际的本事。然而，作者作这种归纳性的叙述时，并没有放弃数学的严格性，对书中出现的每个概念、定理，都进行了严谨的描述和严密的证明。（3）内容的可读性。听过钱伟长院士授课的人都会为他深入浅出、引人入胜的阐释能力所倾倒，这本书也保持了这种阐述特色。一些相对地艰深的部分，经他一讲述，就变得明白易懂的了。例如，条件变分、广义变分原理、拉格朗日乘子法。 Rayleigh-Ritz 法等等，数学根底稍差的就会觉得难以掌握，但钱先生先告诉你最浅显的实例、最基本的思路、最重要的应用的程式，使读者在不知不觉中了解了概念或方法的核心。作者掌握了人类的认识规律，所有叙述都是由浅入深式的：讲格林函数，从一维、到二维、三维，从纯量格林函数到并矢格林函数；讲变分法从无约束变分到条件变分、从边界条件到自然条件、从 Sturm-Liouville 方程的特征值问题到 Schrodinger 方程的能级；讲应用，从简单的衍射、辐射，到表面散射、小孔衍射，乃至波导中的电磁波传播。这样，听着作者娓娓道来，读者能很快领略全书的内容。（4）选材的实用性。作者认定本书的主要读者是电子工程的从业人员，因此用了半本书的篇幅阐释了几个最主要的电磁辐射方面的实际问题，包括电磁波在界面、物体和孔隙上的衍射和散射，在空腔和波导管中的传播和截止，给出了有关衍射 - 散射波幅和能量和共振频率、截止频率的计算公式，这些结果可以在工程实践中直接应用。（5）专著的自洽性。作者对全书的内容作了精心安排，有关格林函数法和变分法的内容从头讲起，很有系统性，所有概念和方法的引入、公式的推导无不有理有据、自成体系。更值得一提的是，此书还有一个很好的附录，涉及矢量代数和矢量分析、矢量空间和线性算子、并矢分析以及狄拉克记号，叙述简约具体，所以，具有工科数学基础的人，在参阅了这些附录之后可以不费劲地读完此书。综上所述，这本书堪称应用数学类专著的一个典范，对电子工程专业从业人员来说，是一本很好的参考书；对其它专业的人员来说，如果要了解或格林函数和变分法，也不妨细细阅读此书；对笔者这样从事应用数学研究和教学的人来说，不仅可以从中学到具体知识，而且在治学方面，可以得到莫大的启迪。从出版质量角度来看，此书属于上乘，编排规范、印制清晰、装帧精良，就笔者阅读所见，尚未发现大的印刷错误。可以看出，编校人员为出版此书付出了辛勤的劳动。笔者认为，大师级作者的著作应该有这样的出版质量。原载于《应用数学和力学》 2002 年第 22 卷第 7 期 771 ～ 772 页; 个人分类: 名人纪实|3395 次阅读|1 个评论

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