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此文是否有逻辑错误？——请逻辑大侠指点迷津: 热度 1 ggjjhh 2020-8-28 21:10; 此文是否有逻辑错误？——请逻辑大侠指点迷津高金华近期学习数理逻辑，焦头烂额。看到一篇论文，感到其有逻辑错误，请懂逻辑的老师指点迷津。一、陈的论文摘录陈慕泽.词项周延性的一阶语言定义 .中国人民大学学报,1997(3):28-31. 周延性概念的意义集中体现在词项推理的下述准则中，不妨记该准则为ZY：在前提中不周延的词项，到结论中不得周延。 ZY体现了演绎推理的本质，其合理性与必须遵守是显然的。尽管有的教科书强调周延性是就命题形式而言的，但周延性的上述定义并不是一个形式定义，什么叫“全部外延被断定”，缺乏明确的界定，这不可避免地会带来含混。例如：问题一，所有在某个北京高校留学的日本学生都参加了座谈会；板太郎没有参加座谈会，因此，板太郎不是在任一北京高校留学的日本学生。这一推理的成立是显然的。但在直觉上同样显然的是，词项“北京高校”在前提中未被断定全部外延，因而不周延，在结论中却被断定全部外延，是周延的。违反ZY。问题出在哪里呢？ …… 下面就给出词项（一元谓词）周延性的一个形式定义。 …… 下面基于周延性的形式定义，来讨论若干对传统逻辑来说是存疑的问题。 ⿻ 二、我的疑问之点 “所有在某个北京高校留学的日本学生都参加了座谈会；板太郎没有参加座谈会，因此，板太郎不是在任一北京高校留学的日本学生。” 这一推理的显然是不成立的。也就是说，这一推理是错误的（这一推理有逻辑错误）。从“所有在某个北京高校留学的日本学生都参加了座谈会”不能推出“对任一北京高校来说，所有在其中留学的日本学生都参加了座谈会”。事实模型：国家教委召开一个座谈会，在北京师范大学留学的日本学生都参加了座谈会；板太郎没有参加那个座谈会，板太郎是在北京语言大学留学的日本学生。” “问题出在哪里呢？” 陈文中提出的关于周延性的数理逻辑公式（形式定义）和对留学生案例的传统逻辑分析都是正确的吗？＃备用语句此文逻辑错误何在？——请逻辑大侠指点 2020-08-28 词项周延性的一阶语言定义_陈慕泽.pdf; 个人分类: 科研笔记|2143 次阅读|1 个评论

数理逻辑——算法数学的形式化语言: 热度 5 dongmingwang 2017-12-25 11:10; 上帝所做的、胜过一切想象中的幸福行为，莫过于纯粹的思考，而人的行为中最接近这种幸福的东西，也许是与思考最密切的活动。 ——亚里士多德逻辑作为一种思维和认知方式，对现代人的学习和生活都是必不可少的。人们日常的交流讨论需要逻辑；新知识、新技能的学习需要逻辑；保障人们有序生活、工作的各种规章制度、法律条文的表述也都基于逻辑。逻辑在人们学习、工作和生活中的重要作用已得到广泛认可，许多家长都注重从小培养孩子的逻辑思维能力。那么，究竟什么是逻辑呢？逻辑（英文logic）一词来源于古希腊语（ λογική ），其最初的意思是“话语”，之后逐渐被用于描述思考或推理的过程和方式，即通过一些确定的思维“模式”建立起连接假设与结论的纽带。这种朴素的思考和推理方式长期被古希腊学者用于演讲和辩论。而后逐渐被人们用于哲学、数学以及各种自然科学的研究。图1 逻辑方阵（15世纪）逻辑含义的演化反映了人们对思维认识的深化。古希腊思想家认为，只有通过这种“逻辑”思考才能领悟物质世界的实质和精髓。柏拉图认为，人可以通过对物质世界的观察抽取基本真理，再通过理性的（逻辑）思考探究世界的规律。正是通过这种“思考”，人们能够从正确的前提出发，获得正确可靠的结论。更进一步，亚里士多德认为，逻辑是自然科学研究的基础，因而需要将“理性的思考”与具体物质世界的真理相分离。为此，他提出了著名的三段论、反证法等逻辑推演法则。亚里士多德所开创的逻辑也被称为亚里士多德逻辑，在随后近两千年的历史进程中广为传播，长期被人们视为哲学思考和研究的基本思维方式，促进了自然科学的发展。特别是对于数学的发展，它起到了至关重要的作用：指明了从公理和定义出发，由逻辑推理建立一套严格理论体系的途径和方法。正是基于这种逻辑推理的方法，欧几里得的《几何原本》才成了构建数学知识大厦的不朽典范。图2 1573年版《几何原本》十七世纪后期，德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨首先提出，要建立一种“通用的形式语言”，用于描述数学推理。在这种语言中，每个概念都应该用一个符号表示；这样，抽象的“思维过程”就可以通过机械的“符号演算”来处理。尽管莱布尼茨没有明确给出现代逻辑的表示方式，但他提出的这种形式语言和符号演算的思想却正是现代数理逻辑的主要特征。到了十九世纪中叶，逻辑终于从“论证”的手段转变为处理数学问题的系统方法。1854年，乔治·布尔出版了《The Laws of Thought》，首次从代数系统的角度阐述了逻辑推演方法。布尔接受了亚里士多德逻辑的主要观念，并对传统逻辑进行了系统化推进：扩展了命题的数量，提供了抽象的逻辑推演规则，加入了数学最基本的符号——等词。该代数系统就是著名的布尔代数，它是现代命题逻辑和计算机科学的基础。 1879年，戈特洛布·弗雷格发表了《概念文字》（Begriffsschrift）。他在命题逻辑中引入量词（“全部（任意）”、“一些（存在）”）符号，将原本简单的命题符号扩充为带有量词的谓词语句。这种扩展大大增强了逻辑的表达能力，使得许多数学分支都可以由该（一阶）逻辑系统的形式语言去刻画。例如，基于若干公理构建的自然数算数系统（皮亚诺算术）就可以通过一阶逻辑完全刻画（见图4）。至此，“数理逻辑”的概念和理论逐步形成。图3 皮亚诺算数公理的一阶逻辑表示数理逻辑是用数学方法研究逻辑的学问，它既包含数学推理的抽象规则，又为具体数学知识的描述提供形式语言，是现代数学必不可少的组成部分。随着数学知识的不断扩充，要将所有数学结论列举出来似乎并不可行。人们转而期望能够选择有限多个不证自明的数学论断作为初始公理，通过逻辑推理获得所有其他数学结论。1900年，戴维·希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的报告，提出了23个著名的数学问题。其中第二个问题就是希望能以严谨逻辑推理的方式证明任意公理系统内命题的相容性（一致性）。 1910年到1913年，伯特兰·罗素和他的老师阿尔弗雷德·怀特海德合著了《数学原理》，期望根据有限的数学公理，通过与具体领域无关的逻辑推理获得各个数学领域中的全部真理。这就要求数学公理系统具有两个重要性质：可靠性（即所有可证的数学命题都是正确的）和完备性（即所有为真的数学命题都是可证的）。 1929年，库尔特·哥德尔证明了一阶逻辑系统自身的完备性，其可靠性也可以证明。看上去，一切似乎都十分顺利。然而，在1931年他又证明了著名的哥德尔不完备定理，指出皮亚诺算数系统具有不完备性，从根本上否定了通过严格逻辑证明获得全部数学定理的可能性；稍微复杂些的数学公理系统（如包含皮亚诺算术的公理系统）都会存在不能被证明的命题。这一结论击碎了几代数学家的梦想，同时也说明了形式化语言的局限性。 1936年和1937年，阿隆佐·邱奇和艾伦·麦席森·图灵基于各自的计算模型——lambda演算和图灵机，再次从可计算的角度分别独立地给出了希尔伯特第二问题的否定答案，即，不存在一个通用的算法，它可以用于判定任何一个数学命题是否为真。图4 不完备定理的经典对角线构造尽管哥德尔、邱奇和图灵对数学公理系统的完备性给出了否定答案。然而，他们的工作却为数学研究打开了另外一扇大门——可以根据具体需要选择恰当的断言作为初始公理，使得数学向着更为广阔的领域发展。目前，数理逻辑正在沿着四个相互独立却又内部关联的方向——模型理论、证明理论、可计算性和集合论——不断发展，继续夯实现代数学和计算机科学的理论基础。随着计算机和移动设备计算能力的不断提升，数理逻辑在定理自动证明、程序验证、知识管理、数学计算中的作用日益突显，为数学机械化、算法数学、计算机应用、人工智能等学科之间的立体交叉提供了基石、架起了桥梁；同时，数学与计算机科学的交叉融合也在促使数理逻辑自身不断地向前发展。（文中图片来自百度百科、维基百科等网上资料；感谢阿狗数学AlgoMath的老师和同学们对文章内容、措辞的修改和建议）（北京林业大学信息学院蒋东辰）来源：阿狗数学AlgoMath; 个人分类: 阿狗数学|15211 次阅读|8 个评论

数理逻辑发展的基本动机: 热度 13 saif 2017-9-12 05:19; We know that mathematicians care no more for logic than logicians for mathematics. The two eyes of exact science are mathematics and logic, the mathematical sect puts out the logical eye, the logical sect puts out the mathematical eye; each believing that it sees better with one eye than with two. —— Augustus De Morgan “ 我们都知道数学家对逻辑的关心从未比逻辑学家对数学的关心更多。数学和逻辑学是精密科学的两只眼睛，但是数学家对逻辑视而不见，逻辑学家对数学视而不见。双方都相信自己只用一只眼比用两只眼视物更清楚。 ” ——德摩根莱布尼兹曾经有两个梦想： 1. 创建一种“普遍语言”（characteristica universalis）使得任何问题都可以用这种语言表述； 2. 找到一种判定方法（decision method）以解决所有可以在“普遍语言”中所表述的问题。这两个问题是上百年来数理逻辑、数学哲学和数学基础问题的核心、实质。对前一个问题的回答就是自弗雷格、罗素开始，经公理集合论运动的最终结果：以一阶谓词逻辑为语言所形式化阐述的集合论，现在已经成为数学的普遍语言，现代逻辑学、特别是将符号逻辑应用于数学领域所产生的数理逻辑，其最重要的目标就是为整个数学提供一个严格精确的语言。这是我们在学习数理逻辑时应当把握的方向。而第二个问题则是现代哲学和计算机科学最关注的问题之一：是否可以解决用这个“普遍语言”所形式化描述的所有问题？这个问题就是所谓“可判定性问题”（Entscheidungsproblem，decision problem）。对这个问题的研究最终导致了理论计算机科学的诞生：阿隆佐·丘奇和阿兰·图灵分别以各自的方式对这个问题做出了否定的回答。他们在研究这个问题时首先对“可判定的”（decidable）这个直觉概念进行了深入研究并给出了形式化定义和解释，进一步把这个问题归结成“可计算的”（computable）问题，并最终将其定义为“可计算函数”（computable function）问题的研究。为此，丘奇和图灵分别提出了关于可计算函数的模型。图灵的模型就是著名的图灵机，它已经成为现代计算机科学的理论基础；而丘奇的模型则是lambda演算，这成为后来计算机语言Lisp和现代函数式程序语言的理论基础。其后图灵证明了这两个模型其实定义了同一类别的可计算函数。可以说，丘奇和图灵对数理逻辑的研究是从传统的解决数学基础问题出发开创了一个崭新的领域：计算科学。与此同时，美国数理逻辑学家哈斯凯尔·克里（Haskell Curry，又称柯里）在研究怀特海/罗素的类型理论时发现了逻辑中的蕴含命题可以归结成类型问题，从而使得证明论研究可以转化为对类型理论的研究。对这个问题的更深入研究始于1969年威廉·霍华德（William Howard），他的研究表明，逻辑与类型论之间的对应关系可以从多个逻辑系统得到，从而将逻辑学的证明论与计算理论归结为同一理论的两个侧面，这就是著名的克里-霍华德同构（Curry-Howard isomorphism）。由此来看，数理逻辑所研究的最本质主题有两个：形式系统的表述能力(the expressive power）和形式证明系统的演绎能力(the deductive power)。对一阶谓词的语义学的研究导致了模型论的出现，而对逻辑的核心问题推理的形式化研究特别是20世纪初希尔伯特的公理化研究演化成证明论、而对自然数集合及其函数的研究催生了递归论的出现，而集合论则是所有数学分支的基础语言。从这些领域出发又可派生出和其它领域相关的子分支，例如从模型论派生出形式语义学，从证明论派生出以产生式系统为核心概念的形式句法，从递归论派生出可计算性和计算复杂性以及可计算函数的研究。从集合论出发，产生出了更抽象的范畴论，而集合论本身已经成为所有数学分支的基础语言。因此，现代数理逻辑的学习，大致包括了两个方面：符号逻辑学基础：一阶逻辑（莱布尼兹第一问题，语言问题），逻辑应用（演绎推理问题）：数学公理化和建构性数学（constructive mathematics）、以及理论计算机科学的核心问题：可计算函数的研究以及相关的可计算问题和计算复杂性问题。 “ 所有科学的宏大目标都是：从最小数量的假说或公理出发通过逻辑演绎推理说明最大数量的实验事实。 ” —— 阿尔伯特·爱因斯坦 The grand aim of all science is to cover the greatest number of empirical facts by logical deduction from the smallest number of hypotheses or axioms. —— Albert Einstein; 个人分类: 逻辑学|11445 次阅读|17 个评论

专题讨论班：数理逻辑（下）（田远鸿）: GrandFT 2017-8-11 01:21; 题目：数理逻辑（下）主讲：田远鸿时间：2017年8月11日（星期五）下午14:30 地点：天津大学新校区32教学楼302室本专题旨在了解逻辑推理形式和完备理论逻辑的形成，并以欣赏的角度学习哥德尔的思想和一些方法提纲： 1.从完备性定理说起 2.算术逻辑系统，哥德尔数 3.哥德尔不完备性定理参考文献：胡世华陆钟万《数理逻辑基础》 Ebbinghaus H.D 《Mathematical logic》; 2016 次阅读|0 个评论

专题讨论班：数理逻辑（中）（田远鸿）: GrandFT 2017-7-26 23:53; 题目：数理逻辑（中）主讲：田远鸿时间：2017年7月27日（星期四）下午14:30 地点：天津大学新校区32教学楼302室本专题旨在了解逻辑推理形式和完备理论逻辑的形成，并以欣赏的角度学习哥德尔的思想和一些方法提纲： 1.重言式系统 2.赋值，哥德尔完备性定理 3.模型论，紧致性定理，勒文海姆斯科伦定理 4.形式逻辑的独立性参考文献：胡世华陆钟万《数理逻辑基础》 Ebbinghaus H.D 《Mathematical logic》; 个人分类: 专题讨论班|1709 次阅读|0 个评论

专题讨论班：数理逻辑（上续）（田远鸿）: GrandFT 2017-7-20 01:03; 题目：数理逻辑（上续）主讲：田远鸿时间：2017年7月20日（星期四）下午14:00 地点：天津大学新校区32教学楼302室本专题旨在了解逻辑推理形式和完备理论逻辑的形成，并以欣赏的角度学习哥德尔的思想和一些方法提纲： 1.一阶谓词逻辑 2.摹状词理论与偏函数 3.范式，逻辑演算的系统特征，逻辑系统的归约参考文献：胡世华陆钟万《数理逻辑基础》 Ebbinghaus H.D 《Mathematical logic》; 个人分类: 专题讨论班|1728 次阅读|0 个评论

专题讨论班：数理逻辑（上）（田远鸿）: 热度 1 GrandFT 2017-7-18 17:35; 题目：数理逻辑（上）主讲：田远鸿时间：2017年7月19日（星期三）下午14:00 地点：天津大学新校区32教学楼302室本专题旨在了解逻辑推理形式和完备理论逻辑的形成，并以欣赏的角度学习哥德尔的思想和一些方法提纲： 1.逻辑，逻辑词，变形关系； 2.形式证明 3.命题逻辑参考文献：胡世华陆钟万《数理逻辑基础》 Ebbinghaus H.D 《Mathematical logic》; 个人分类: 专题讨论班|2433 次阅读|1 个评论

逻辑的序列与位置：广义双语联动函数: geneculture 2017-7-11 20:01; 逻辑的序列与位置：广义双语联动函数摘要：本文旨在从形式逻辑与数理逻辑两类表达形式的基础着手，确立逻辑的序列与位置，进而，明确广义双语联动函数。其方法是：步骤一，明确形式逻辑的演绎符号体系，可与自然语言文字符号体系，建立等价互换的函数关系；步骤二，再明确数理逻辑的演绎符号体系，可与算数其它进制的数字符号体系，建立等价互换的函数关系；步骤三，可在序数符号体系与文字符号体系之间建立联动函数关系。其特征在于：利用数字与文字双列表乃至双矩阵的方式，建立两个系列符号体系之间的连续互换的联动函数关系，并依托人机交互系统来呈现，其中，批处理与交互过程之间，还可存在联合函数关系。其结果是：双重形式化的人机协作系统，依托逻辑的序列与位置，以及联动函数，经人机交互过程各系列有针对性的选择，可把人脑与电脑双方的优势都发挥得恰到好处，即：可产生语言领域和知识领域以及软件领域中的全球测序定位系统。其意义在于：这样的目的、方法和结果贯通之后，不仅可形成语言、知识、软件和硬件的形式化系统工程，而且，还可形成与之配套的教育、管理、学习和应用的社会化系统工程。由此就奠定了知识大生产的基础，再假以时日，其充分必要条件就形成了。（注：本文是 “ 双语信息处理方法及其原理 ” 的一个局部思想的进一步开拓并深入之后的研究报告）关键词：形式逻辑；数理逻辑；序位逻辑；知识大生产；测序定位系统（提示：全文稍后上载）逻辑的序列与位置.pdf; 个人分类: 学术研究|3 次阅读|0 个评论

我读《傅种孙与现代数学》: 热度 5 jiangxun 2015-1-25 01:28; 作者：蒋迅本文已发表在北师大出版社热门书评栏目。我手头有一本王世强教授送给我的《傅种孙与现代数学》。这是北京师范大学出版社出版的“北京师范大学教授文库”中的王世强卷。顾名思义，这应该是王世强教授的论文集，应该是最能表现王先生的工作的那些部分。但从书名来看又完全是关于傅种孙教授的。这是怎么回事呢？傅种孙先生是中国20世纪的数学家，最近看到已经有一些纪念文章了，但用王先生的话说，他只是“一个在今天几乎鲜为人知的前辈数学家和数学教育家。”显然，王先生对这个事实不能满意。而他多年来一直在找不同的机会向中国的数学界介绍傅先生对现代中国现代数学的贡献。正好北京师范大学出版社编辑找他出书，请他把自己的重要结果整理出书，于是他决定就以傅种孙先生为线索来整理他的研究工作，让人们看到傅种孙先生从中起到的作用。这本书有三部分。第一部分是“傅种孙与数学基础及数学教育”。这部分主要是前辈数学家和科学家与傅种孙先生的交往及回忆。在这里我们可以看到大批中国科学家和数学家与傅种孙的交往的故事。比如钱学森说，是傅老师把几何的逻辑推理讲得透彻极了，而且也很现代化。有一句印在钱的脑海里的一句话是：“有了公理系统以后，定理是根据公理逻辑推断的必然结果。只要承认了公理，根据公理推出的定理只能有一个，没有第二个。不但在附中的教室里是如此，在全中国也是如此；不但在全中国如此，在全世界也是如此；就是到了火星上，也还是如此。”傅老师的几何课让钱“第一次懂得了什么是严谨科学”。成名后的钱学森对这个说法十分欣赏。他说，“我看这个讲法好，彻底极了。火星上都是一样的，跑不了的。”齐民友写的《数学与文化》一书介绍过傅先生的一段往事：1899年出现了希尔伯特的明珠《几何基础》（Grundlagen der Geometrie），以严格化的公理化方法重新阐述了欧几里德几何学。这部名著的意义远远超出了几何学本书。它为数学的公理化方向开辟了道路。……早在1924年，已故数学家傅种孙教授曾根据英译本第一版译之为中文，书名《几何原理》；……。在这部分里有大量傅先生的语录和部分现代数学家的语录，是数学史料里不可多得的宝物。第二部分是“数学基础对现代数学的应用举例”。对于一般的读者来说，这是本书最有价值的部分。我以前一直以为王先生只是局限于抽象代数和数理逻辑领域。读了这段之后才发现，他的知识面和研究领域覆盖了整个数学学科。这部分里的论文都很短，有的只有一两页，而且全是王先生从未发表过的作品，非常珍贵。当然作为一名数理逻辑方面的专家，他把重点放在了用数理逻辑方法帮助解决纯数学性问题的事例上。“关于Baire定理等的真假”和“空间基底、代数闭包等是否存在”，“非标准方法对Banach空间应用的例”等是泛函分析方面的。“模型论简单应用的例”，“ Q p 上Artin猜想的证明及其他”，“Whitehead问题的独立性”，“代数整数环上的Hilbert第十问题”，“关于Burnside问题”等属抽象代数的内容。拓扑方面有“拟Alexandroff问题的独立性”，“集论拓扑中的独立性结果举例”，“Moore空间的Jones猜想”等。“常微分方程的奇异摄动”显然是常微分方程的课题。也有一些“初等数学”的内容：如“广义‘高中代数问题’的否定解答”，“实数三角恒等式的公理组”等。当然数学分析和微积分是一定会有的：“一个数学分析问题的独立性”，“数学分析中几个常见定理的强弱”，“数学分析中的递归可计算性”（一）（二），“实分析中的递归可计算性”等。我甚至惊讶地看到了广义函数理论的文章“非标准方法对广义函数的应用”，数学物理方面的“数学物理方程中的递归可计算性”，调和分析领域的文章“一个经典调和分析问题的解答”和复变函数中的“ Hilbert零点定理的推广”等。相信这些短文对从事大学数学教育的老师们会有很大的帮助。第三部分是“献给傅老师的几篇习作”。所谓习作，其实就是他多年来在数理逻辑和模型论方面发表的部分论文。这部分难度明显加大，王先生把这部分归为“附录”。由于本人学习不广不深，而且早已不做数学，本人感觉无法对这部分内容做什么评论。还希望有专业人士完成。王世强教授专于数理逻辑和代数，倡导模型论的研究。从计算机科学、多值逻辑和模糊逻辑发展背景中提出格值模型论，并将模型论应用于代数方面，研究一些命题间的相对和谐性和独立性。“模型论与判定问题”的研究1986年获国家教委科技进步奖一等奖。从本书我们清晰地看到他受傅种孙先生严格逻辑思维的影响。这本书教育读者要从高观点看数学，自觉地使用数理逻辑的方法和观点来看代数，看分析，看几何。当你达到了这样一个境界的时候，你就会有“一览众山小”的感觉了。; 个人分类: 谈数学|5751 次阅读|8 个评论

自我指涉（7）——语言限制了数学: 热度 5 xying 2013-12-2 11:12; 数理逻辑用严谨的方式研究语法、语义，涉及语言的局限性。先略加解释要用到的概念、术语和符号。用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号（或称谓词符号），以及与 ∧、或 ∨、非、蕴涵 →等命题连接词，加上“存在 ∃ ”和“一切 ∀ ”两种量词构成了谓词逻辑语言。语言中，用符号表的字符，按照形成规则组成的字符串叫公式。不含有自由变量的公式叫句子（ sentence ）。如果量词“存在”和“一切”只允许对个体使用，不允许对集合或谓词等使用，叫一阶语言【 1 】，它是描写形式公理化系统的标准语言。逻辑语言和这语言中一组句子（称为公理）组成了理论。在一阶语言里如果包含有谓词演算的所有公理、非逻辑公理和谓词演算的所有推理规则，叫一阶理论。如果一阶理论里包含有算术公理，这理论叫一阶算术。在理论 S 里一个句子 ψ 为真，指的是语义（ semantic ），它解释的客观事件是真的。用模型论【 2 】的术语说： ψ 在模型 M 里是真的，记为 M ⊨ψ . 哥德尔完备性定理说：一阶理论中的句子 ψ 在 S 的所有模型中都是真的，等价于 ψ 在 S 里成立，记为 S ⊢ ψ 。说句子 ψ 按照真理 T 的定义是真的，指在 S 中证明 Tψ 是真的。这里所说：定义为真的，可以形式逻辑推导出来，被证明，都是同一个意思，记为 S ⊢ φ ψ. 谓词φ是理论里的一个公式，它用来定义某种属性，包括真理。作为定义要求它对所有的 ψ ，理论都能证明其真假，也就是可判定的。一个理论 S 是相容的（ consistent ）说； ψ 和 ψ （表示一对相反的命题）至少有一个不能在 S 里被证明。完全的（ complete ）的意思是， ψ 和 ψ 至少有一个能在 S 里被证明。所以在相容且完全的理论里，能够对任何命题证明其真伪，能够定义任何属性，能够判定任何命题。反过来，这些性质也都要求理论是相容且完全的才行。设 ψ 是谎言悖论的句子，这样的句子无法判断其真伪。在（包含一阶算术的）形式语言里无法定义真理。它表示的命题或反命题，在一阶算术理论里都不能被证明。这说明一阶算术理论不可能是相容且完全的。从这就不难理解塔斯基定理和哥德尔定理的结论。计算机是实现一阶算术理论的逻辑运算工具，所以图灵停机问题也是不可判定的。这些结论的严谨数学证明，在于怎么用形式语言表达出谎言悖论的句子来，这是哥德尔的主要贡献。下面勾画出这个轮廓，更深入地剖析这些局限的本质和这几个定理间的关系。当自我指涉的悖论撼动数学基础时，康托尔在之前，就曾经用它创造了对角线法的技巧。这个方法通过假定要证明的反命题成立，来构造出自我指涉的悖论。这从此成为一个数学的利器，证明了许多令人惊异的重要定理。受到康托尔对角线法技巧的启发， Carnap (1934)在哥德尔编码的基础上，证明了如下的“对角线引理”【 3 】：设S是包含着一阶算术的理论，对任给公式φ(x)存在一个句子ψ，有 S ⊢ ψ ↔ φ ψ . 这里 S ⊢ 的意思是：理论 S 能够证明右边的式子成立。右边式子里的意思是：句子ψ语义的真假与ψ是否具有属性φ是等价的。这里φ ψ 是φ (ψ) 的简写，是评判句子ψ具有φ性质的谓词表达式， ψ 是句子 ψ 的哥德尔数，看作是对句子的指称。这个引理说：对于任给一个属性，可以构造出这样一个句子ψ，用自然语言来说是“这句子具有属性φ”。当然这里的ψ是用形式语言表达的，在理论 S 里证明它是这个意思。前面章节里用它构造个谎言悖论ψ ↔ T ψ 证明了塔斯基定理。塔斯基定理：任何包含着一阶算术的理论，也包含了T模式，则是不相容的。（ Any theory extending first-order arithmetic and containing schema T is inconsistent . ）在一阶算术里构造一个公式φ，φ ψ 的意思为“命题 ψ 不能在理论里得到证明”，则可以推出哥德尔定理。我在《哥德尔定理的证明》系列里介绍了这个经典的证明。下面介绍怎么从塔斯基定理，推出哥德尔第一不完全性定理的梗概。以此可以理解：哥德尔定理揭露出来形式公理化数学系统的局限性，其实是由语言的局限所决定的。哥德尔第一不完全性定理（ Gdel's first incompleteness theorem ）：假如一阶算术理论是ω-相容的（ω-consistent），则它是不完全的。这 ω- 相容【 4 】的意思是：对于任何公式φ (x) ，如果系统里对于每个自然数 n ，φ (n) 都不成立，则不能推出存在着一个 x 让 φ(x) 成立。用符号记为： ⊢ φ(n) for all n ∈ Z ，则 ⊬∃ x φ(x). 这个 ω- 相容性比相容性的强，可以推出后者来（ J Barkley Rosser 在 1936 年证明这定理对较弱的“相容”条件也成立）。哥德尔证明了可以用形式算术语言构造出公式 Dem(n, φ) ，有： ⊢ Dem(n, φ) 当且仅当 n是证明句子φ的形式语言符号串的哥德尔数如果理论是ω - 相容的且完全的，不难从定义中推出， ⊢ ∃ xDem(x, φ) 等价于对给定的φ，有个具体的 n 使得 ⊢ Dem(n, φ) ，根据上面元语言的解释即是，对所有的句子（命题）有： ⊢ ∃ xDem(x, φ) ↔ φ， forall sentence φ 公式 ∃ xDem(x, φ) 是用形式语言表达了命题 φ 在理论里可以得到证明的意思，也就是符合“句子 φ 在这理论里被证明为真”的定义。所以我们可以把它缩写成指称为真的谓词 T ，即有： ⊢ Tφ ↔ φ , forall sentence φ . 这就是 T 模式。这证明一阶算术如果是ω - 相容的和完备的，则包含了 T 模式。从塔斯基定理得知，它是不相容的。这个矛盾证明了哥德尔定理。上面 T 模式产生了矛盾的直接解读是：一阶算术理论中的有些真理，不可能在一阶算术理论中得到证明。这个矛盾产生的原因是语言的局限性：在一阶算术里，不能定义形式逻辑的推导（证明）作为判定命题真假的谓词。停机问题是数理逻辑中可计算性理论的重要问题【 5 】。图灵的停机问题不可判定性定理（ Undecidability of the Halting Problem ）说：“不存在着图灵机能够确定停机问题。”用现代的计算机概念来说是：没有一个程序能够通过检验输入的计算机程序，来判断它是否会在有限的时间内完成计算。这个定理原来是通过用图灵机模仿对角线法来证明，下面是程序版的证明，可以让了解 C 编程的人，对这问题有个直观的理解。假设上帝程序 God_tell 通过检查 program 和 data ，告诉我们 true 还是 false ，对应着 program(data) 能否在有限时间内完成运算。 bool God_tell (char* program, char* data) { if ( program with data will not run forever) //check program to get the answer return true; return false; } 构造一个魔鬼程序 Satan_tell 和上帝唱反调，会完成的程序让它进入死循环，否则就完成它。 bool Satan_tell (char* program) { if ( God_tell (program, program) ) { //God tell us program(program) will finish and return. while(1); // loop forever! return false; // can never get here! } else //God tell us program(program) will not stop return true; //let’s exit } 现在问 Satan_tell (Satan_tell) 会在有限的时间内完成计算吗？相当于问图灵机会停机吗？这是个自我指涉的问题，它的逻辑类同于 Grelling 悖论，在那悖论里问：“异质”是异质的吗？ Satan_tell 就是那个异质形容词，它与形容的对象 program 的表现相反，所以也陷入 Grelling 悖论。我们再分析一下它为什么是悖论。 Satan_tell (Satan_tell) 的结果不外乎两种，一是进入死循环，不能完成，一是完成计算后返回。假如能完成，从上帝程序的设计知道 God_tell(Satan_tell, Satan_tell) 将返回 true ，这样在魔鬼程序里便进入死循环不停机，与假设矛盾。假如不能停机， God_tell(Satan_tell, Satan_tell) 将返回 false ，在魔鬼程序里则返回 true ，却是完成返回。又是一个矛盾。这说明上帝程序 God_tell 不可能存在，否则就会产生悖论。也就是说不可能有个程序能够判断给定程序的停机问题。哥德尔不完备性定理、塔斯基不可定义性定理和图灵停机问题不可判定性定理，是上个世纪数理逻辑里最亮丽的风景线，它们紧密相连。分别表达了数学形式证明能力的局限性，形式语言表达能力的局限性和机器计算能力的局限性。它们都是用自我指涉的悖论来证明的。为什么自我指涉悖论动摇了数学和语言理解的基础，大家因此制定规则来阻止它，我们却又可以用它来证明定理呢？（待续）【参考资料】【1】 Wikipedia ， First-orderlogic http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic 【2】科学网博文，理解数学——模型（ 3 ） http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-717208.html 【3】Wikipedia ， Diagonallemma http://en.wikipedia.org/wiki/Diagonal_lemma 【4】Wikipedia ，ω -consistenttheory http://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A9-consistent_theory 【5】SEP ， Turing Machines http://plato.stanford.edu/entries/turing-machine/; 个人分类: 科普|10602 次阅读|12 个评论

为什么中国读书人容易患上思维分裂症？: 热度 7 张能立 2013-8-13 09:06; 　　“为什么中国读书人容易患上思维分裂症”？要说清楚这个命题，首先要界定“中国读书人”的范围，这里的“中国读书人”是指鸦片战争以降到现在这个时间段，在中国本土的读书人。因为在此之前，中国的读书人是“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”，读书人没有非分之想，因此不存在“思维分裂”这个问题。其次，要从中国传统的思维逻辑--“名家逻辑”和“十月革命一声炮响”之后送来的礼物“辨证逻辑”说起。　　1、什么是“名家逻辑”？　　关于这个什么是“名家逻辑”这个问题，历史学家冯友兰先生在其著作《中国哲学简史》一书中，是以公孙龙的“白马非马”作为典型特征来介绍的：　　他的著作《公孙龙子》，有一篇《白马论》。其主要命题是白马非马。公孙龙通过三点论证，力求证明这个命题。　　第一点是：马者。所以命形也；白者，所以命色也。命色者非命形也。故曰：白马非马。若用西方逻辑学术语，我们可以说，这一点是强调，马、白、白马的内涵的不同。马的内涵是一种动物，白的内涵是一种颜色，白马的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各不相同，所以白马非马。　　第二点是：求马，黄黑马皆可致。求白马，黄黑马不可致。……故黄黑马一也，而可以应有马，而不可以应有白马，是白马之非马审矣。马者，无去取于色，故黄黑皆所以应。白马者有去取于色，黄黑马皆所以色去，故惟白马独可以应耳。无去者，非有去也。故曰：白马非马。若用西方逻辑学术语，我们可以说，这一点是强调，马、白马的外延的不同。马的外延包括一切马，不管其颜色的区别。白马的外延只包括白马，有相应的颜色区别。由于马与白马外延不同，所以白马非马。　　第三点是：马固有色，故有白马。使马无色，有马如己耳。安取白马？故白者，非马也。白马者，马与白也，白与马也。故曰：白马非马也。这一点似乎是强调，马这个共相与白马这个共相的不同。马的共相，是一切马的本质属性。它不包涵颜色，仅只是马作为马。这样的马的共性与白马的共性不同。也就是说，马作为马与白马作为白马不同。所以白马非马。　　名家这种“逻辑”用到诉讼上，往往变成，正说有理，反说也有理。冯友兰先生在《中国哲学简史》这本著作中介绍了一个非常生动的故事：　　《吕氏春秋》还有个故事，说是洧水发了大水，淹死了郑国的一个富人。尸首被人捞去了。富人的家属要求赎尸，捞得尸首的人要钱太多，富人的家属就找邓析打主意。邓析说：不要急，他不卖给你。卖给谁呢？捞得尸首的人等急了、也去找邓析打主意。邓析又回答说：不要急，他不找你买，还找谁呢？。　　由此可见，邓析的本领是对于法律条文咬文嚼字，在不同案件中，随意作出不同的解释。这就是他能够苟察缴绕，使人不得反其意的方法。他专门这样解释和分析法律条文，而不管条文的精神实质，不管条文与事实的联系。换句话说，他只注重名而不注重实。名家的精神就是这样。　　2、什么是“辨证逻辑” 　　自从鸦片战争失败之后，中国的前途和命运一直与洋人文明交织在一起。最重要的影响是“十月革命一声炮响，给中国送来了马克思主义”。当今中国的政体、经济、文化、教育，虽然较M时代有很大的不同，但没有哪个领域没有打上“十月革命”的烙印，政治和教育领域尤甚。不过，国人看待“十月革命一声炮响”对中国的影响，主要是从政治和经济等制度方面，其实，制度方面是表象，更深层次的是认知方法。对中国人认知方法的影响，莫过于“十月革命一声炮响，给中国送来了唯物辩证法”。　　“唯物辩证法”包含三个基本规律：对立统一规律、质量互变规律和辩证否定观，五个基本范畴：现象和本质、内容和形式、内容和形式、可能性和现实性、偶然性和必然性和三个扩展范畴：整体和部分、个性和共性、相对和绝对。“唯物辩证法”采用矛盾分析法。矛盾分析法包括：矛盾的同一性和斗争性、矛盾的同一性和斗争性、两点论和重点论的统一、具体问题具体分析。　　3、数理逻辑是如何看待“白马非马”这个问题？　　从数理逻辑角度看，“白马非马”里面的“白马”和“马”概念不清，“白马”和“马”到底是指具体的对象，还是指一个集合？（就集合而言，“白马”是所有颜色为白色马的集合，“马”是所有动物为马的集合）。可以分为如下几种情况来讨论：　　（1）“白马”和“马”都是集合　　在这种情况下，“马”是父集，“白马”是子集。显然，“白马”属于“马”，而不是“白马”非“马”。　　（2）“白马”和“马”都是对象　　在这种情况下，“白马”和“马”是两个不同的对象，是两匹不同的马，因此“白马非马”是成立的。就像“张三”、“李四”都是人，但“张三非李四”。　　（3）“白马”是对象，“马”是集合　　在这种情况下，因为“马”这个集合是包括所有的马，自然就包括不同颜色的马。因此，“白马”这个对象也是“马”这个集合的成员。故在这种情况下，“白马非马”显然是错误的。　　（4）“白马”是集合，“马”是对象　　在这种情况下，集合不是对象，因此，“白马非马”也能够成立。　　笔者在这里用数理逻辑解剖“白马非马”这个命题，并不是要用现代数学知识苛责古人，毕竟集合的概念自莱布尼兹提出之后，经过了数百年发展，才取得了如今数理逻辑这样的成就。笔者在这里花费笔墨，是苛责那些食古不化的后人，这些没有出息的后人，认为公孙龙“白马非马”就是高明，仍然还继承名家这种诡辩逻辑。　　4、科学是如何看待“唯物辩证法”？　　就科学发现而言，笔者从未见到哪个诺贝尔自然科学奖获得者，宣称是运用“唯物辩证法”做出的科学发现。也没有见到哪个世界杰出的科学家说是运用“唯物辩证法”来指导自己的科学研究工作。就“质量互变规律”而言，这里的“量”和“质”是一个什么样的概念呢？如果把“量”理解为物质的多少，“质”理解为物质的本质的话，那么，在烧开水的过程中，壶里的水，因不断汽化，量越来越少，但是，整个过程没有发生什么质的变化的呀，水蒸气仍然还是水，其化学分子式仍然没有发生任何变化。因此，就笔者看来，“唯物辩证法”宣称的规律，没有一个在科学意义上能够成立的。当然，笔者也没有完全否定“唯物辩证法”。例如，“唯物辩证法”宣称“世界是一个有机的整体，认为世界上的一切事物都处于相互影响、相互作用、相互制约之中”，这个观点仍然是“对”的，不过这种“对”只能验证，不能用数学和科学来证明。这个观点与爱因斯坦的观点“宇宙万事万物存在某种秩序”是一致的，不过，严格地说，只能作为信念或者信仰来看待，无法用现代数学和科学来严格证明。　　5、什么中国读书人容易患上“思维分裂症”？　　受“十月革命”和欧美文明的影响，现在中国读书人，在其受教育的生涯中，要学习两种逻辑：“唯物辩证法”和数理逻辑。受中国传统文化及思维影响，现在的读书人，也要潜移默化受“白马非马”这种名家逻辑的影响。试想，一个人的脑袋里面“安装”了“名家逻辑”、“唯物辩证法”和数理逻辑，这个人的思维就彻底混乱了。这类人论证一个命题的时候，如果问他“你现在是在用什么逻辑在论证问题”，这类人的表现基本上都是瞠目结舌。因为，他们论证一个问题的时候，从未主动想到要用什么逻辑来论证。他们其实是在运用动物本能“对我有利”来看待、分析和论证问题，从不关心所运用的逻辑是否自洽。在中国当今教育模式下，“名家逻辑”、“唯物辩证法”和数理逻辑都会进入读书人的脑袋，如果数理逻辑不能压制住“名家逻辑”和“唯物辩证法”的话，那么，这样的读书人十有八九都会患上“思维分裂症”，一生都要被这种思维疾病所折磨。 6、“名家逻辑”和“辨证逻辑”在中国实践带来的危害（1）对中国现代数学和科学发展的伤害中国以十几亿人口的大国，现代数学和科学上的成就，放到世界上来说，几乎可以忽略。这有本土诺贝尔自然科学奖仍然是零，菲尔茨奖记录也是零，完全解决希尔伯特问题的记录也是零等事实佐证。虽然造成此结果有政治、经济、教育、文化等各种原因，但是，与“名家逻辑”和“辨证逻辑”在中国属于“正统逻辑”，数理逻辑属于边缘角色有直接的关系。因为，数学问题和科学问题，历史上从没有一个是用“名家逻辑”和“辨证逻辑”解决的，将来也不会有。另外，从没有一种像汽车、飞机、宇宙飞船、电视、冰箱、洗衣机、计算机、网络及手机等现代化物品，是用“名家逻辑”和“辨证逻辑”创造出来的。这两种逻辑除了充当“棍子”之外，再没有任何作用。（2）、对中华民族发展的伤害正是由于“名家逻辑”和“辨证逻辑”，于是，经过“雄才大略的M”的“非凡”创造，产生出“革命逻辑”和“爱国逻辑”。远的有M主席的“阶级斗争，一抓就灵”、“坚持无产阶级专政下继续革命”和“文化大革命就是好，就是好，就是好！”等“革命逻辑”，近的有某副省长的“不爱国的人是败类、人渣！让他们赶快去美国”这类“爱国逻辑”。中华民族不能走理性和平发展道路，除了西方列强的干涉这个外因，最主要的还是“革命逻辑”和“爱国逻辑”这个内因起了关键作用。翻开中国当代史，正是“革命逻辑”和“爱国逻辑”，将中华民族推向了苦难的深渊。“文革”不仅是中国人的耻辱和灾难，也是人类文明史上的耻辱和灾难！　　7、出路　　从上面的分析可以得知，思维的混乱是由“名家逻辑”这种诡辩式逻辑和“唯物辩证法”这种更高级的诡辩式逻辑带来的，因此，只有将脑袋里面的“名家逻辑”和“唯物辩证法”剔除，让数理逻辑常驻大脑，才能医治“思维分裂症”，舍此，笔者没有看到有其它出路。　　参考文献：　　1、冯友兰，《中国哲学简史》，　　2、唯物辩证法， http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%94%AF%E7%89%A9%E8%BE%AF%E8%AD%89%E6%B3%95; 个人分类: 教育|3447 次阅读|19 个评论

集合的分类及其典型示例新解: geneculture 2012-6-12 15:06; 集合的分类及其典型示例新解; 个人分类: 信息学基础研究|1634 次阅读|0 个评论

《公理集论》汪芳庭: ustcpress 2012-4-25 09:11; 出版日期：1997年第2次印刷出版社：中国科学技术大学出版社书号（ISBN）：7-312-00597-7 正文页码：197（32开）定价：8.00元编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF）【内容简介】本书是讲述公理集论基础知识的一份讲义，内容包括集论的公理化，序数与基数，连续统假设的相对无矛盾性与相对独立性等．取材精练，论证严谨、完整．练习题附有提示或解答．可用作数学系研究生及高年级本科生教材或教学参考书，并可供数学教师和有关研究人员参考。【作者简介】汪芳庭，中国科学技术大学数学系教授，著有《数学基础》《公理集论》《复变函数》等有影响的教材和专著。本书第一次印刷于1995年，很不错的书，1年多后就进行了再次印刷。老书就是便宜，现在8元钱还能买到什么？; 个人分类: 数学图书|6976 次阅读|0 个评论

《数理逻辑》（第2版）汪芳庭: ustcpress 2012-4-5 17:25; 出版日期：2010年9月出版社：中国科学技术大学出版社书号（ISBN）：978-7-312-02708-6 字数：272千正文页码：205（16开）定价：22.00元编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF）当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=20936921 【内容简介】本书内容分两部分：第一部分属数理逻辑基础，包含命题演算与谓词演算的基本知识。第二部分为形式算术与 Godel 不完备性定理。本书对 Godel 第一不完备性定理、 Godel-Rosser 定理、 Tarski 定理及形式算术的不可判定性定理等都提供了完整的证明。结合对 Church 论题与 Turing 论题的介绍，对这些定理的意义进行了讨论。书中还提出了 Godel 第二不完备性定理的一种易证形式。本书可用作计算机专业研究生或高年级本科生教材，并可供数学、哲学、逻辑等专业研究及教学人员参考。【作者简介】汪芳庭，中国科学技术大学数学系教授，著有《数学基础》《公理集论》《复变函数》等有影响的教材和专著。【目录】再版前言前言引言 0 预备知识 0.1 集论初等概念 0.2 Peano 自然数公理 0.3 可数集 1 命题演算 1.1 命题联结词与真值表 1.2 命题演算的建立 1.2.1 命题演算公式集 1.2.2 命题演算 L 1.2.3 演绎定理 1.2.4 反证律与归谬律 1.2.5 析取，合取与等值 1.3 命题演算的语义 1.3.1 真值函数 1.3.2 赋值与语义推论 1.4 命题演算 L 的可靠性与完全性 1.5 命题演算的其他课题 1.5.1 等值公式与对偶律 1.5.2 析取范式与合取范式 1.5.3 运算的完全组 1.5.4 应用举例 2 谓词演算 2.1 谓词演算的建立 2.1.1 项与原子公式 2.1.2 谓词演算公式集 2.1.3 谓词演算 K 2.1.4 其他课题：对偶律与前束范式 2.2 谓词演算的语义 2.2.1 谓词演算 K 的解释域与项解释 2.2.2 公式的赋值函数 2.2.3 闭式的语义特征 2.2.4 语义推论与有效式 2.3 K 的可靠性 2.4 K 的完全性 3 形式算术与递归函数 3.1 带等词的谓词演算 3.2 形式算术 KN 3.3 可表示函数与关系 3.3.1 什么是可表示 3.3.2 函数的复合和 μ 算子保持可表示性 3.4 递归函数 3.4.1 递归函数的一般定义 3.4.2 递归关系和递归集 3.5 递归函数的可表示性 3.6 对 KN 的递归分析 3.6.1 唯一读法引理 3.6.2 Godel 数 3.6.3 过程值递归 3.6.4 KN 的一些递归性质 4 不完备性定理 4.1 Godel 不完备性定理 4.1.1 Godel 定理 4.1.2 Godel-Rosser 定理 4.1.3 Church 论题 4.1.4 关于不完备性定理的一些讨论 4.1.5 GiSdel 第二不完备性定理 4.2 形式算术的不可判定性定理 4.3 递归可枚举集与算术集 4.3.1 可证公式集的递归可枚举性 4.3.2 递归可枚举集的算术可定义性 4.3.3 真公式集的非算术可定义性 4.4 Tufing 机与 Turing 论题 4.5 人与机器部分练习答案或提示符号汇集参考文献; 个人分类: 数学图书|10301 次阅读|0 个评论

“西塔潘猜想”的戴维.西塔潘简介: 热度 1 avein 2012-3-29 17:48; “西塔潘猜想”的“戴维.西塔潘”简介西塔潘.戴维（David Seetapun）1991年在剑桥大学获得博士学位，博士论文“Contributions to recursion theory ”1， 1991－1993年，获“迪克逊教员和自然科学基金支持”在芝加哥从事博士后研究，合作导师Robert I. Soare 2 。后回伦敦从事金融工作，1995年到加州伯克利从事数理逻辑方面博士后研究，他的合作导师Theodore Slaman 对西塔潘有很高的评价：“作为一个数理逻辑学者，戴维非常杰出。我们合作的文章包含他对一个著名难题的巧妙解决和一个完美例行计算发掘，我将他的理论介绍给了数学界。”1996年西塔潘离开了伯克利，到瑞士银行工作，数月后他被高盛投资的伦敦分行挖走，专门从事与利率期权交易。1998年3月被挖回，年薪达一百万美元（含奖金）。1998年9月他所建立的运行模型崩溃，损失近一亿美元，被解雇。离开伦敦到赌城拉斯维加斯玩12点（扑克），后移居佛罗里达从事危险的深海船员工作。 3 1. http://en.scientificcommons.org/45101307 2. http://people.cs.uchicago.edu/~soare/CV/students.html 3. http://www.timeshighereducation.co.uk/story.asp?storycode=148896; 4532 次阅读|1 个评论

与博友讨论“普遍符号”: 热度 2 gl6866 2011-7-23 08:21; 我前不久写过一篇 “莱布尼茨的普遍符号” 的博文。这篇博文的主要目的是将莱布尼茨所说的“普遍符号”的西文名称罗列一下，这篇文章与我在北师大的报告“ 大衍之数、普遍符号和通用图灵机 ” 有一定的关联，因而从某种意义上，是我科研的一部分，但博文刊出后，有了意外的收获。大致有二个方面吧。我觉得这些对我将来的工作都极其有价值。因而把留言整理出来，和大家分享。其一，是关于莱布尼茨与易经的关系的问题，网友史晓蕾问我“国内盛传的莱布尼茨与易经（二进制）的说法，到底靠谱的程度有多大？您的看法呢。”我的回答是，“莱布尼茨受到易图的启发而发明二进制是没问题的。但他发明二进制与易图没关系。而且易图也不是二进制。这个关系一定要厘清。至少用途不一样，在莱布尼茨那里他希望找到上帝从虚无中进行创世的证据。而在中国易图大概用在风水，算命上比较多些。国内有人比较痴迷这种没什么意思的讨论，我不想设身其中，让他们自娱自乐吧。当然从另一个角度是可以把易图解释为二进制，例如，“加一步法”就是二进制算术。但所有这些都与现代计算机无关。另外，爱因斯坦曾有过”真理再发现“的说法，那发明计算机的人承认这一说法当然就更好了。”关于这个问题我曾在另一篇博文“ 莱布尼茨是首个发明二进制算术的吗？” 有点儿简单的涉及。其二，是与网友王玉峰的互动，她（他？）在方面颇有建树，但却更偏重于自然语言，我认为莱布尼茨的初衷可能是希望找到一种能沟通全人类语言的工具，例如，像世界语那样的东西。可是在我看来，莱布尼茨真正的思想却是希望通过“普遍符号”达到他“理性演算”的目的。如果我的分析有一定道理，那么“普遍符号”就是一个中介，我所关心的是这个问题。而没又去过多考虑自然语言问题，尽管目前在自然语言方面的研究进展也很发达，例如，在机器翻译方面等。可是这些都离不开现代的计算机。控制论创始人维纳曾说过，如果为控制论找一个“守护神”的话，就找莱布尼茨，因为他对控制论之所以重要就在于他的“普遍符号”和“理性演算”。我倒是认为，维纳还是掐算得比较准确。下面就是我与王玉峰的互动：王：归根到底，其（莱布尼茨）基础思想是语义的二分法。计算机的二进制、莱布尼兹的思想，都离不开二分法思想，所以莱布尼兹和计算机发生了联系。 “如果这件事真能成功，那将是最伟大的发明之一。”……说真的，莱的这种设想本身是错误的：“通过对这些字母造出的词的分析，我们就可以发现和判断一切事情”，莱可能以为自然语言不够精确、或对于发现真理来说是个障碍，其实并非如此。与其发明另一套符号，不如直接采用自然语言符号。自然语言符号本身就是一套完全抽象的符号，并且本身就是他想要的、表达我们思想的抽象符号。还有就是各语种可以互译，这说明各语种符号可以互相作为表达，也就是说，不必发明中间语言符号，各语种都只是中间语言的一个变形、或说一个变换，只是我们尚未发现其变换之道罢了......。还好最终的结果是好的，他终于走到数理逻辑、其实就是逻辑学这个领域，并且引发了许多有意义的成果。虽然出发点是错的，但坚持研究，总会有一些有意义的成果。就象心理学，到现在也未能证明心理学的实验方法是科学的，但就这么一个基础非常不牢的科学，经过多年的发展，也还是取得了许多有意义的成果。所以还是值得发展。不知道博主同意我的分析吗？数理逻辑就是逻辑。刘：莱布尼茨是很有趣的人。不清楚你是否读过弗雷格的《概念文字》，弗雷格的“概念文字”实际上指的就是莱布尼茨的普遍符号。弗氏是第一位构造出完整的数理逻辑系统的学者，后来罗素在他著作出版之前，给他写了一封信，经过弗雷格的仔细思考，承认罗素的分析，从而引起第三次数学危机。而罗素的那封信中所言便成为“罗素悖论”。当然，你说的自然语言也有道理，但难度似乎要比形式语言更大，也有人从这方面入手，可是我觉得计算语言也是一种手段，一种符号系统。而逻辑学的英文名为logic，本意就是把一切集合起来的意思。不知你是否同意，我倒是认为你的说法有一定道理。王：顺便帮你分析一下“普遍符号语言真的可以更准确、更有效地描述理性思想？”——我想这位读者非常有见地。他的意思是：是不是一个人工规划好的语言就比自然语言能够更好地表达思维？答案是否定的。别看自然语言貌似很不精确，其实没有比自然语言更好的、表达我们思维的语言——这包括数学语言、当然也包括数理语言。所以，所谓的普遍符号语言并不能更准确、更有效地描述理性思想。这种普遍符号语言要么丢失了我们的思维中的一些内容，要么其描述的内容超出了我们思维的范围——这指的是用数学或逻辑计算或推导的结果却并不符合我们的自然。要克服普遍符号语言的这种对我们的思维的描述不够准确的问题，只能是往纯粹逻辑上靠，现在的数理逻辑就是纯粹的逻辑学的一个分支、并不会在语言学和数学或称逻辑学范围之外建立什么。这样的最终定位就大致正确啦，但还有一个问题，就是现在逻辑学比之自然语言，在内容上是缺失了一些东西的。理想的逻辑学应该就是自然语言。总之，普遍符号语言并不是会更准确、更有效地描述理性思想，从理论上是这样的。这不合乎我们的直觉，但这是事实。那为什么我们还要使用普遍符号语言呢？——因为我们还没有找到拿现成的自然语言符号来直接进行逻辑推理的方法，这在未来也许可以实现。理想的逻辑学应该就是自然语言——关于这一点，看一下形式语言的发展目标是什么，就知道啦。形式语言的发展目标就是成为自然语言。刘：逻辑与数理逻辑还是有区别的，前者重推理；后者重计算。从某种意义讲，计算比其他类型的思维形式更简单，当然不可能完全反映出理性的全部内容。可话又说回来，莱布尼茨普遍计算的理念就是让人把从繁重、重复的计算工作中解脱出来，以便让人从事更有创造力的理性思维。现在他的这种理想达到了（至少部分达到了），估计下一步科学家就会从认知科学的角度对人脑等更为精致的器官进行研究，可所有进一步的研究之所以成为可能，并取得成功，必须借助于先进的计算机。但愿形式语言的发展目标能够成为自然语言吧。王：你确实在这些方面研究了许多，幸会。很多学科都没有太清晰的界限。有人说逻辑是数学的一个分支，有人说逻辑学研究的全是自然语言逻辑，所以逻辑学也可算是语言学的一个分支，...... 我看不必去管它谁管谁、到底应该如何分类，只要能解决问题就有意义。我很喜欢数理逻辑，我自己就搞这方面~。莱布尼兹是个很了不起的人，他的成就就不必说啦。关于普遍符号，我想，每位科学家都有个探索过程，谁都是在摸索真理，所以有个把不对是很自然的。莱在提出普遍符号时，可能对思维、语言、逻辑之间的关系不是非常清楚，莱是个数学家，想问题当然偏数理，其实要想研究明白逻辑的本质——这是弗雷格擅长的，确实需要对自然语言的本质有深入研究才行。初始设想是建立在一个不完美的理解之上——这并不影响数理逻辑这门学科的伟大性。每门科学、每位科学家都有它的或大或小的不完美存在，并不影响他们的伟大，相反，倒是极正常的，科学本来就是不断发展的。欢迎常交流~。刘：大多人大概只把莱布尼茨作为一个科学家来对待，但科学只占他研究领域的极小部分。他把亚里士多德逻辑进行了改造，逻辑的面目就彻底改变了。可是莱布尼茨把逻辑只是作为他的形而上学的一个工具，因而他要寻求一种普遍符号。当年他曾认为汉字可以为他的普遍符号服务，但却失望而归。莱布尼茨专家Nicholas Rescher就曾说过，罗素把莱布尼茨的哲学分成好的坏的是不对的，因为他的逻辑学与他的形而上学不能割裂开来。否则数理逻辑就只能成为数学的基础，现在则成为数学的一个分支。这个局面在我看来就是罗素抛弃了莱布尼茨的“坏”哲学所造成的，但怀特海却把莱布尼茨的所谓“坏”哲学发展成过程哲学，也就是莱布尼茨单子论那部分。单子论是非常好的哲学，尤其莱布尼茨写的那种缜密。很高兴在科学网上结识了一位逻辑学家。请问你在哪里供职？; 个人分类: 信息哲学|3360 次阅读|2 个评论

此逻辑非彼逻辑：关于计算机硬件的非逻辑性: luocun 2010-8-11 11:46; 读Allen Newell的The Knowledge Level一文，其中有个图：乍一看吓我一跳，逻辑层次（Logic Level）在图中怎么跑到程序（Program）和寄存器（Register）下面去了。回过神来，才注意到这里指的是计算机硬件里面逻辑电路的层次，而不是人工智能里面知识的逻辑表示那样的层次。虽然文章是在谈人工智能，但Newell这个图里的逻辑是数字逻辑电路的逻辑。于是想起来，数字逻辑（digital logic）不是数理逻辑（mathematical logic），数字逻辑其实根本就不是逻辑，不是逻辑学家们研究的那东东。逻辑学家们研究的逻辑是关于可以为真为假的命题如何构成、如何按照一定的推理规则互相联系起来，从而保证在推理过程中如果前提为真，结论就不会为假。换句话说，逻辑讲究的是推理中的真值保持（truth preservation），也算是尊重理性的一种努力吧。在数字电路的层次上，其实根本就没有真和假，而只有电压信号的输入输出和存储转换关系。所谓数字逻辑只是将传统命题逻辑的真假概念借用来代表高低电压，用命题结构来表示电路结构，用真值表来描述电路的输入输出关系等等；就是说，只是用命题逻辑的真值代数部分来给数字电路建模，而根本就不关心真值保持，不操心命题的真假，甚至不涉及到命题这个概念。归根结底，数字逻辑在给数字电路建模中真正利用的其实是布尔代数结构，而并不涉及作为命题逻辑或者任何逻辑之核心的真值保持。只是因为命题逻辑的语义域也刚好具有布尔代数的结构，所以命题逻辑里的不少形式结构也就可以为借用过来描述数字电路了。之所以数字电路的建模被叫做数字逻辑，而且相应的电路由此被叫做逻辑电路，恐怕是因为计算机技术的起源跟数理逻辑研究之间的历史渊源，让数理逻辑术语被借用来谈论电路如何工作，而在这个术语的借用过程中完全丢掉了逻辑本来最核心的内容。由此看来，尽管计算机在硬件层次上是用所谓逻辑电路拼出来的，但是这并不意味着计算机在硬件层次上就是讲逻辑、甚至有理性的。计算机在硬件层次上的运作不需要（逻辑学家的）逻辑，正如伽利略的铁球下落不需要基于万有引力定律的演绎一样。换句话说，计算机硬件不讲逻辑，就像太阳系不做微积分那样。那么，我们可不可以用数字计算机里头的与、或、非门等逻辑电路来实现真正的逻辑系统里面的与、或、非操作呢？当然可以，而且很方便。但是，这跟在模拟计算机里头可以用电容来做积分一样，只是因为器件的设计属性刚好适合用这些逻辑或者数学操作来建模。况且，用数字计算机的逻辑电路来实现非法的、不能保持真值的逻辑系统也是同样的方便：比如做个系统，让它从一切前提出发，都得出1+1=3，那真是太容易了。所以说，计算机在硬件层次上其实是无所谓逻辑不逻辑、理性不理性的。当我们说计算机由逻辑部件构成时，千万别把自己太当真。我们之所以这样谈论计算机，恐怕真的是出于历史的偶然而已。; 个人分类: 计算哲学|3452 次阅读|2 个评论

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