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物理学笔记一则（1）：“万能方程”: 热度 12 lev 2014-9-9 15:54; 物理学笔记一则（1）：“万能方程” 昨天点开科学网首页：“李轻舟：悲剧”赫然入目，着实吓了我一跳——俺咋就悲剧了呢？开个玩笑，咱们书归正传...... 话说当年有门课叫《数学物理方法》，主要包括复变函数和数学物理方程（“偏微分方程”与“特殊函数在物理学中的应用”），主讲人Z教授是位讲课慢条斯理的老头儿，我们都挺喜欢他，却免不了私下攒了一个稍显“恶毒”的段子：Z老师的课，你大可打个盹儿，因为你醒了会发现他老人家还在讲你去见周公之前的部分...... Z老师讲课极其仔细，生怕我们漏掉一个细节。期末时，他老人家还把用了几十年的手写讲义（稿签纸都发黄发脆了......）贡献出来，复印成册供我们作复习资料——这份讲义资料连同当年的各种笔记，我一直保存着，有时想起一些问题，还会拿出来翻翻。在讲义中，Z教授的有些表述属于“老派的风格”，与现行的数学表述（专业数学文献里表述）略有不同。最令我印象深刻的是一个他老人家“总结”的“万能方程”——“ 万能”这个名字是我取的，当然是定域的“万能”（我不相信有非定域的“万能”），三角函数里不是也有个一组“万能公式”么？我不确定这个“方程”是否Z教授原创，他老人家没说，我们也没问：考虑如下类型的偏微分方程：式中，A、B、C是三个常数；V=V(x,y,z)是某个实函数；是偏微分方程“待求”的“函数解”——即“状态函数”；，是三维空间中的某个区域；t为任意时刻。这个“万能方程”在“形式上”涵盖了“理物”基础中重要的基本偏微分方程——不信？请看（讲义内容+我的笔记与补充）：（1）不妨设若，表示机械波在均匀弹性介质中的传播速率，Y为杨氏模量，为介质密度，这个方程即为均匀弹性介质中的机械波波动方程，态函数物理意义为空间位移或角位移；若a=c，即真空中的光速，这个方程可以表示真空中平面电磁波的波动方程，态函数物理意义为电场强度或磁场强度。（2）不妨设为扩散率或温度传导率，这个方程可以表示基于傅里叶定律的扩散或传导方程，态函数的物理意义为温度。（3）不妨设这便是刻画稳定场的拉普拉斯方程，态函数的物理意义可以是温度（温度场）也可以是电势（静电场）。（4）不妨设此处h表示约化普朗克常量ћ，这便是非相对论性薛定谔方程，态函数的物理意义即波函数。上述方程主要刻画各项均匀同性与“无源无汇”的情况（态函数在空间的分布与时间上的演化）。若是“有源”或“有汇”的情况，可以“实事求是”地“改造”方程（等号右边的“0”），比如连续性方程、泊松方程等。我一度把这个“万能方程”视为跨物理学各具体领域的一个“形式公理”，现在我更倾向于把它理解为一个“形式意义”上的“基本模型”（“原模型”）——从一个基本“形式”出发，根据具体情况的需要，衍生出各种各样的“具体模型”...... It's amazing!; 个人分类: 格物笔记|6132 次阅读|31 个评论

数学家们、数理学界的高手快来！救命！: 热度 2 yangxintie1 2014-7-5 10:18; 在在双曲和椭圆型规律之间的跳跃的系统，他的扰动（噪声）有什么不同的特征？在跨光速区域，基本方程已经是抛物型的了，应当有两条路，一条是沿着亚光速椭圆型退回来，一条是沿着双曲型走下去。这是任何搞数理方法的人都很明白的事情。至今为止所见到的这类方程所研究的现象，除了相对论出现虚数表达的以外，自然界还没有任何一种物理现象在抛物型方程之后过渡到虚数方程里面去的，流体力学把这个看成假象，过去也用虚数表达，但是二战以后，超音速飞机飞的哗哗的，谁再想象这里有个虚数空间，那就是脑残了，除非实数方程算不出来的时候也用虚数方程，叫做虚特征线方法，美国早年搞了一阵，中国也有人在81-85年左右搞，非常复杂，我亲眼见有搞出自闭症来的。谢天谢地，后来流体再也不用虚数特征线了。现在的教材把这章就删了。现在美国宇航院也在光纤里面做实验，做得是光进入光纤后如同吹入风洞产生激波的实验，这个实验是用光子做得，关键在数理方程解来说，这些很难算出来的解有个光学试验验证是很神奇的，结果不仅可以用到高超音速飞行器上，也可以用到电子加速器上。在这里，方在于空气动力学在这个抛物型的过渡区还不止开头说得两条发展之路，还有一条路是在双曲型区域和椭圆型区域震荡，产生一个数学上的间断，我想这点对加速器近光速时候古怪的噪声可能是个很好的解释，如果把这种间断的能谱及特征提取一下，从数理上说明这是一种在双曲和椭圆型规律之间的跳跃，那也是很不错的，老实说空气动力学者到这里功力已经不足了，数学家们。数理学界的大拿们快来呀！救命呀！！！！！！！！！！对了，除了请教数学家以外，还想问一下声学研究者，或者风洞边试验员。难道亚音速试验段和跨音速试验段的震耳欲聋的噪声真的在谱特征上就没有区别吗？我们搞试验的时候可是确确实实看到，启动过程中那个激波在露头的时候是忽闪忽闪如同火苗子一样的，一会在喉道上，一会在喉道下方，还来回跳呐，这种噪声的特征就没有什么数学量来表达吗？; 个人分类: 非线性数理方法|4294 次阅读|4 个评论

《数学物理方程》（第2版）严镇军: ustcpress 2012-4-13 10:40; 丛书：中国科学院指定考研参考书出版日期：2010年6月第7次印刷出版社：中国科学技术大学出版社书号（ISBN）：978-7-312-00799-6 定价：18.00元编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF）当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=20856198 【内容简介】本书是作者在中国科大三十年教学实践中编写的。其内容包括：数学物理中的偏微分方程、分离变量法、柱函数、球函数、积分变换方法、基本解和解的积分表达式、方程的分类和适定性以及变分法，共七章及一个附录。各章都配备了较多的例题和习题，书末附有全部习题答案。本书在注意科学性与严密性的同时，又注意了它的使用性。具有深入浅出、便于学生自学等特点。可供高等院校理科各系（除教学系）及工科对数学物理方程要求较高的各系专业作为教材或教学参考书，还可以供偏工科专业的研究生作为继续学习数学物理方程的教材。【目录】第二版序第一版序第一章数学物理中的偏微分方程 1.1 偏微分方程的一些基本概念 1.2 三个典型方程 1.3 数学物理方程导出 1.4 定解条件和定解问题 1.5 关于定解问题的解法习题一第二章分离变量法 2.1 有界弦的自由振动 2.2 圆柱体稳态温度的第一边值问题 2.3 固有值问题的斯图模 - 刘维尔理论 2.4 几个例子 2.5 非齐次情形习题二第三章柱函数 3.1 贝塞尔方程的导出 3.2 贝塞尔函数 3.3 贝塞尔函数的性质 3.4 贝塞尔方程的固有值问题 3.5 可化为贝塞尔方程的微分方程及其他形式的贝塞尔函数附录习题三第四章球函数 4.1 勒让德方程的导出 4.2 勒让德方程的解 4.3 勒让德多项式的性质及素母函数 4.4 勒让德方程的固有值问题 4.5 球函数习题四第五章积分变换方法 5.1 用富里叶变换解题 5.2 用拉普拉斯变换解题 5.3 用积分变换方法解题的一般原理习题五第六章基本解和解的积分表达式 6.1 函数 6.2 广义函数简介 6.3 Lu=0 型方程的基本解 6.4 Ut=Lu 型方程柯西问题的基本解 6.5 Uu=L 型方程柯西问题的基本解 6.6 场位方程的边值问题习题六第七章方程的分类和适定性问题 7.1 两自变数的情况 7.2 一维波动方程初始问题的适定性 7.3 一维波动方程混合问题的适定性 7.4 调和函数的基本性质和场位方程狄氏问题的适定性 7.5 热传导方程混合问题的适定性 7.6 不适定的例子习题七附录变分法 1 泛函的极值问题 2 泛函的变分和最简单情形的欧拉方程 3 多个函数和多个自变量的情形 4 泛函的条件极值问题 5 自然边界条件习题八习题答案; 个人分类: 数学图书|9019 次阅读|0 个评论

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