2007年下半年，我回到自己攻读博士学位的单位-----中科院自动化所复杂系统与智能科学重点实验室访问研究，此时二型模糊集合理论开始得到人们的关注。当时，王飞跃教授安排我们专攻二型模糊集合方面的研究，有一天，易建强老师在他办公室十分认真地对我说：大家要好好做二型模糊集合，不能到时候捡砖头。在接下来的日子里，易老师带着赵亮、李成栋及我三学生开始了二型模糊方面的工作，直到今天，二型模糊集合相关理论依然是我们四人研究重点，其中，易老师和成栋的工作很出色，得到了一些非常漂亮的结论。前段时间，成栋在电话里说：很感谢王教授当时为我们选了一个好的课题。的确，王教授能精准把握学术前沿，敏锐感知社会、生产与生活中的热点、难点问题并提出相应的解决方法。 对二型模糊集合方面的研究，王教授当时非常关注，有一次，当面让我写出footprint of uncertainty (FOU)的表达式，我当时毫不迟疑地把Mendel文献上的公式 写在纸上(当时几乎所有的文献,FOU对应的图形如图1中阴影部分)，看着我写的这个公式，王教授立刻就说：如果 是一个区间的话，这个并集不仍然是一个区间吗？自己仔细想想，哦，还真的不对，赶紧在“并集符号”和“ ”之间添加 ,这样该公式变为： 图1 ：二型模糊集合的FOU 王教授很严厉地说：以后看文献要认真思考，有独到的见解。想想作为数学出身的自己，的确很汗颜。对于相关文献中给出FOU的不正确定义，当时并没有打算写论文修正该公式，因为作者在写论文期间，本身处于对该问题的探讨阶段，有错误在所难免，没有人能拍着自己胸脯说：我的论文中没有一处错误。直到近三年，发现大量文献在引用Menel关于FOU的定义与表述公式，在审稿的一些论文中也是如此，且数量呈现上升的趋势，尽管此时Mendel等人意识到该定义的问题而采用了新定义。为此觉得以免后续从事二型模糊集合的人仍采用该定义，就写了一篇论文《Modefication of FOU》投稿到2011年自动化大会，在去年初，看到Fuzzy set的主流期刊上发表的论文中，FOU的表达式仍然表示为原来的定义，因此，在去年四月份，我们觉得写一篇论文投稿到《Information Sciences》,题目为《footprint of uncertainty for type-2 fuzzy sets》，已录用， DOI: 10.1016/j.ins.2014.02.092。该文包括以下内容： 1 给出了二型模糊集合的新定义，首先定义主隶属度函数，再定义次隶属度函数； 2 给出了FOU的新定义； 3 在二型模糊集合新定义的基础上，比较了Zadeh, Mizumoto及Mendel关于二型模糊集合定义的异同； 4 讨论了FOU的性质，指出FOU为主隶属度函数，是隶属度介于上下边界的一型模糊集合全体，是次隶属度函数在任意一点的支集之并； 5 提出了FOU划分法来表述主隶属度，FOU及对应的区间二型模糊集合，见图1。 欢迎大家批评指正！ 相关参考文献： Wang F Y. Modeling , analysis and synthesis of linguistic dynamic systems: a computational theory. Proc. of IEEE Int'l Workshop on Architecture for Semiotic Modeling and Situation Control in Large Complex Systems, Monterey, CA, pp:173-178, 1995. Wang F Y. Fundamental issues in research of computing with words and linguistic dynamic systems. Acta Auto-matica Sinica, 2005, 31(6): 844-852. Wang F Y. On the abstraction of conventional dynamic systems: from numerical analysis to linguistic analysis. Information Science, 2005, 171(1- 3):233-259. Wang F Y. Outline of a computing theory for linguistic dynamical systems: towards computing with words. International Journal of Intelligent Control and Systems, 1998, 2(2):211-224. Mo Hong, Wang F Y. Linguistic dynamic systems based on computing with words and their stabilities. Science in China, 2009, 52(5):780-796. Mo Hong, Wang F Y, Zhou Min, Li Runmei, Xiao Zhiquan. Footprint of uncertainty for type-2 fuzzy sets. Information Sciences, DOI: 10.1016/j.ins.2014.02.092.
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