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统一路-12-粒子和场: 热度 10 tianrong1945 2015-5-14 05:49; 12. 粒子和场世界的本源是什么？是物质和运动。那么，物质和运动的本源又是什么？如果将“本源”理解为构成世界的最基本成分的话，根据目前大多数物理学家所认可的“标准模型”，这些基本成分归结为 62 种基本粒子（暂且不作具体讨论）和 4 种相互作用。实际上，相互作用在“基本粒子”表中也有它们所对应的“作用传播子”，所以，不妨就可以将世界当作是这 62 种基本粒子组成的。然而，虽然仍然把它们称作基本“粒子”，但它们已经远不是人们脑袋中那种经典的、一个一个小球模样的“粒子”形象了。上面这句话其实不完全正确，对光量子，或电磁场而言，粒子说和波动说一直都在交叉地争夺天下。原来那种“小球粒子”，主要是针对电子、原子、质子、中子一类的“物质粒子”而言的。是 1900 年诞生的量子力学，摧毁了经典粒子和经典场的形象。所有问题都是这个奇怪的“量子”带来的，量子力学赋予了光波以粒子的属性，又粉碎了实物粒子的经典图像。按照经典的说法，实物由粒子构成，光和引力，是场。但量子力学的诞生模糊了两者的界限。实物粒子表现出波动性，电磁场却表现出了粒子性。上节介绍的路径积分方法十分确切地将这两者统一在同一个思想框架中：量子力学可以被看作是经典运动在微观尺度下的修正，这些修正来源于不同的路径，在相位上相对于经典路径成指数衰减，它们使得经典的轨道和环境都变得“模糊”起来。既然粒子和场之间是模模糊糊的，并没有明确的界限，为何不干脆将它们都用一种单一的“形象”表达出来呢？回答应该是肯定的，这也算是统一的第一步吧。然后，下一个问题便是：这个形象应该是粒子为本，还是场为本呢？也许你可以说，两者都是“本”，一切都既是粒子又是波。既是波又是粒子。但大多数的人都认为只应该有一个本体，到底哪一个才是更基本的？并且，当物理学界构造理论和数学模型时，也需要决定首先构造哪一个呀。最后，物理学家们选择了“以场为本”，并将此理论取名为“量子场论”。显而易见，量子场论还应该与狭义相对论相容【 1 ， 2 】。历史地看，量子场论的提出与之前介绍过的狄拉克方程有关。狄拉克的电子方程本来是用来解释单个电子的相对论运动状态的，但是，它却引导出了无限多的负能量的能级，为此，狄拉克不得不假设了一个狄拉克“海”的概念，认为真空中的负能级上已经充满了电子，偶然出现一个“洞”，便意味着出现了一个正电子，虽然这个理论成功地预言了正电子的存在，但并不说明这个理论就是完全正确的。狄拉克的本意是像薛定谔方程那样，得到单电子的波函数，最后却想不到拉扯出了无穷多个电子。无穷多个电子存在的状态，还能被称为“真空”吗？真空中无穷多个能级被占据，也导致了无限大又不可测量的能量密度。此外，这种思维方式是基于电子这种费米子所遵循的泡利不相容原理。如果试图以类似的方式来建立玻色子的方程就不适用了，因为玻色子并不受泡利不相容原理的束缚。既然狄拉克海的解释涉及到了无穷多个电子，还不如一开始就考虑多电子的运动而不要只考虑单电子的运动。正电子也可以从一开始就冠冕堂皇地进入理论中，而没有必要作为真空的一个空洞而出现。所以，狄拉克海的假设虽然不完善，这种“真空不空”的思想却被大家接受并移植到量子场论中。对量子场论还有另外一个要求：要能够处理粒子数变化的情形。量子力学提供的是单电子图景，电子数是固定的，永远是那一个电子。而描述光子运动的麦克斯韦电磁理论，虽然方程描述的电磁场是弥漫于空间中的“场”，但是，也无法处理光子数改变的情况，比如说，应该如何描述原子中因为电子状态的跃迁而辐射光子的过程？如果系统中本来没有任何经典电磁场存在，为什么突然就冒出了几个光子呢？这种现象是经典电磁场无法解释的。按照量子场论的观点，每一种基本粒子，都应该有一个与它对应的场，这些场互相渗透、作用、交汇在一起，就像大气那样，充满了整个空间。真空被看作是各种量子场的基态，粒子则被看成是场的瞬息激发态，例如，电子和正电子是电子场的激发态，夸克是夸克场的激发态……。不同的激发态，有不同的粒子数和不同的粒子状态。不同场之间的相互作用，引起各种粒子的碰撞、生成、湮灭等等过程，用作用在这些量子态上的算符（包括产生、湮灭、粒子数算符等）来描述。上世纪 20 年代末，狄拉克、约旦和维格纳等人，为量子场论建立了一套称之为“正则量子化”的数学模型，根据这个模型，麦克斯韦的电磁场，以及从薛定谔方程、狄拉克方程等解出的波函数，都可以被量子化。人们将这种方法称为“二次量子化”，意思是有别于量子力学中求解波函数的量子化过程。实际上，“二次量子化”只是一种因为历史过程而形成的说法。从费曼路径积分的观点，可以说不存在什么“一次”“二次”量子化的问题，因为路径积分的思想对两者是一样的，只是讨论的对象不同而已。量子力学中研究的是单粒子的时空运动：一个粒子从时空中一个点到达另一个点的总概率幅，等于所有可能路径的概率幅之和。在量子场论中，研究的是系统量子态的演化：系统从一个状态过渡到另一个状态的总概率幅，也是等于所有可能演化路径的概率幅之和。两种情形下的路径积分，用的是形式相类似的同一公式：图 12-1 ：量子场论中的路径积分路径积分应用到量子力学和量子场论的区别只是在于积分的空间不同，以及拉格朗日量表达式的不同。量子场论路径积分表达式（ 12-1 ）中包含两个积分：一是对所有路径贡献的概率幅求和，对各种不同系统而言，在它可能历经的所有路径构成的空间中进行。出现在指数函数中的另一个积分，是对某个给定的路径，从拉格朗日函数密度计算作用量时的积分，在场分布的真实空间中进行。因为量子场论是量子力学和相对论结合而成，第二个积分空间的维数通常是（ n=1+m ）。当 m=3 时，这是包括时间和 3 维空间的闵可夫斯基空间（不考虑引力的话）。当 m=0 的时候，计算作用量的积分空间只有一维时间轴（ t ），公式（ 12-1 ）便简化回归到单粒子量子力学的情况。另外，空间维数 m 也可以扩展到大于 3 的情形，等于 10 或者别的什么正整数值都行，其数学表达式都是类似的，只需要根据具体情况将物理意义加以推广到高维而已。路径积分表达式（ 12-1 ）是最小作用量原理的量子场论版，我们在上一节中曾经指出：对应于作用量最小的那条轨道是经典粒子的轨道，如果令 S 的变分为 0 ，可以得到欧拉 - 拉格朗日方程，再进一步可以导出经典粒子的运动规律，即牛顿定律。类似地，从（ 12-1 ）式出发，设定变分为 0 ，也能对应于一条系统演化的经典轨道。相应的欧拉 - 拉格朗日方程被称为 Schwinger–Dyson 方程。换言之，从量子场论的观点看， Schwinger–Dyson 方程是欧拉 - 拉格朗日方程的量子场论版，是该系统的某种经典场描述。例如，对标量场而言，在一定的条件下， Schwinger–Dyson 方程成为克莱因 - 高登方程。换句话说，从量子场论的观点看，量子力学中描述单粒子运动的波函数是一种经典场。无论是用正则方法，还是用路径积分，量子场论中的具体计算都不容易，对复杂的系统更是困难重重。比如说，所谓的“路径空间”实际上是一个无穷维的空间，积分是无穷维重积分，一般无法精确计算。不过，观察一下（ 12-1 ）中的两个积分可知，路径积分的计算结果依赖于拉格朗日函数的具体形式。我们在本系列第 4 节中介绍了经典粒子及场的拉氏函数，大致都是如图 12-2 中所示的某种“动能减势能”的形式。图 12-2 ：拉格朗日函数动能部分稍微好办一些，因为它们是场（或者场的微分）的二次项。如果没有后面势能 l V( f ) 一项的话，经过一系列繁复的代数运算之后，最终可以将路径积分的结果表示成图中所示的高斯积分的形式。势能项描述的是相互作用，当相互作用比较小而被忽略不予考虑的情况下，得到的便是“自由场”的结果。对于复杂而任意变化的相互作用，物理学家也想出了一些可行的办法。因为势能部分 l V( f ) 的大小取决于相互作用常数（假设为 l ），当 l 比较小的时候，可以将拉氏函数中包括 l V( f ) 的指数函数用 l 的泰勒级数展开，展开式通常被称为戴森级数，它描述了相互作用对自由场的各级修正。费曼提出了一种形象化的方法来表示戴森级数，叫做费曼图。费曼给费曼图制定了一套简单形象的规则，可以很方便地计算粒子因相互作用产生的各种反应的散射截面（即发生反应的可能性），欲知详情，请见参考资料中所列的任何一本量子场论参考书【 1 ， 2 ， 3 】。费曼图的两个简单例子如图 12-3 所示，描述了发生在 2 维时空（ x, t ）中的相互作用。图 12-3 ：费曼图图 12-3a ：时空点 1 的电子，和时空点 2 的正电子，在时空点 3 相遇并湮灭，产生一个虚光子。虚光子运动到时空点 4 时，生成夸克和反夸克，反夸克在时空点 5 发射一个胶子。最后，夸克运动到 6 ，反夸克到 7 。图 12-3b ：电子从时空点 1 运动到 2 的费曼图，最左边的图是没有产生虚光子的直接路径；第二个图中产生一个光子，后来又吸收了这个光子；第三个图包括了两次产生和吸收光子的过程；第四个图是更高阶的修正。量子场论“以场为本”，认为粒子只是场的“激发态”，犹如水波中的涟漪。但是，对如此而定义的“场”的本质，应该如何理解？它们到底是某种物理实在，还是仅仅是为了“激发”出可观测“粒子”而使用的一种数学方法？这仍然是物理学界难以回答、颇存争议的问题。不过，类比电磁场的例子，笔者认为，“场”和“粒子”两者都应该是物理实在，这种观点似乎更具有说服力。对此，你的答案是什么呢？参考文献：【 1 】 M. E. Peskin and D. V. Schroeder ， An Introduction to Quantum Field Theory ， RedwoodCity: Addison-Wesley ， 1995 【 2 】 Stephen Weinberg ， The QuantumTheory of Fields ， Cambridge University Press ， 1996 【 3 】 A. Zee ， Quantum Field Theory in a Nutshell ， PrincetonUniversity Press ， 2003 ，好像有中译本。上一篇：费曼的游戏系列科普目录下一篇：基本粒子知多少; 个人分类: 系列科普|17730 次阅读|11 个评论

专题讨论班：相互作用场与费曼图（二）（张驰）: GrandFT 2014-4-20 20:34; 题目：相互作用场与费曼图主讲：张驰时间： 2014 年 4 月 21 日星期一上午 10:00 地点： 16 教学楼 308 室（这是场论课程配套讨论班的一部分）题目:相互作用场与费曼图 3. 维克定理 4. 费曼图参考书目： Peskin 《 An Introduction to Quantum Field Theory 》; 个人分类: 专题讨论班|2453 次阅读|0 个评论

专题讨论班：相互作用场与费曼图（张驰）: GrandFT 2014-4-12 10:17; 题目：相互作用场与费曼图主讲：张驰时间： 2014 年 4 月 15 日星期二下午 2:00 地点： 16 教学楼 308 室（这是场论课程配套讨论班的一部分）题目:相互作用场与费曼图 1 ．相互作用场的引入 2. 关联函数的微扰展开 3. 维克定理 4. 费曼图参考书目： Peskin 《 An Introduction to Quantum Field Theory 》; 个人分类: 专题讨论班|2372 次阅读|0 个评论

回复黄秀清：费曼图的时间在哪里: 热度 16 wliming 2013-10-19 18:39; 首先希望黄秀清心平气和讨论问题。黄同学对BCS超导理论的质疑上升到了对整个现代物理学的质疑。还有不少外行跟着起哄，大有推翻现代物理学之势。黄同学讽刺道，好像科网就我一个懂物理，本人深感惭愧。真正的高人不愿出手，出现了现在这种猴子充大王的局面。为了科学事业，有一份力发一份光，每个职业学者都有义不容辞的责任。我的确觉得，现代物理学已经超越了普通社会公众的理解力。这是哲学被科学抛弃走向愚昧的根源。不仅如此，我自己在某些学术领域也常常感到智力不够用（比如微分几何之类）。所以，外行不懂现代物理学很正常。现代物理学怎么走到了这一步？这是很无奈的事情。自从牛顿力学对微观世界的复杂情况无能为力，物理学就开始了飞跃之旅，从量子力学发展到量子场论......。不过这个过程也不是完全无本之木，跟牛顿力学的发展还是有共同的渊源。牛顿力学发展到分析力学，拉格朗日和欧拉方程更加深刻地描述了宏观的力学世界。这个思想是如此地深入人心，以至于现代物理学还是借用了这条套路，把量子力学发展为更广泛的场论表述，场论的拉格朗日加上相应的欧拉方程就得到量子力学甚至电动力学。看似不相关的电动力学跟量子力学统一在场论这个共同的框架里。这是现代物理学的一个巨大的飞跃。顺便说一句，有人怀疑地问，量子力学靠谱吗？这话太外行了，现代科技，尤其是现代新材料（比如各种芯片，硬盘的磁头等等），几乎都在量子力学的掌控之下。由于相互作用的复杂，严格的计算公式极其复杂而且繁琐。费曼在量子场论的微扰计算中发明了一种直观而又实用的图形。他发现，计算公式中的每一项可以严格地对应一种图形。于是，人们可以倒过来干活，先画出图形再把图形按照确定的规则翻译为公式，从而使计算大大地简化。特别是，费曼图经过模块化，最后得到戴森方程，简直可以说是出神入化，竟然可以把无穷多的微扰项包括进来，远远地超越了量子力学的一阶近似二阶近似等微扰论。下面是一个典型的费曼图。它表示两个电子之间散射的一阶贡献。这个图形本来应该跟一个数学公式对应。可是，这个图形却极其“诡异”地表现了一个物理过程：两个电子交换一个光子发生电磁作用（排斥），从而相互散射。我之所以说“诡异”，是因为前面这个所谓的物理过程仅仅是个比喻。这种“诡异”还表现在图形中交换的光子是虚光子。光子满足质壳关系（$k^2=0$），但虚光子不满足。所以，这里所谓的交换虚光子，就只能是一种数学上的想象。这个认识是我个人对费曼图的理解，对不对可以批判。不过，怎么认识有什么关系呢？你这么认识，他那么认识，都没有实质性的区别，重要的是计算结果是一样的。一些外行物理学爱好者的思维总停留并纠结在这种无谓的“认识”上面。费曼图还有高阶项，是电子之间交换多个光子的贡献。如下图所示，是一个二阶费曼图。这个图更加“诡异”。图中的圈圈表示真空中“鼓泡泡”，一个光子产生一对正反电子，又湮灭成光子。两个电子的电磁相互作用包含了所有的各种可能的图形。再说一遍，费曼图对应着散射的数学表达式，并非实际的物理过程。所以，真空是否真地“鼓泡泡”鬼也不知道。如果你一定要质疑这个“诡异”过程，你就跟“鬼”开战去，物理学不理你。至于费曼图的时间在哪里？这问题我想了很久。内部时间和空间经过积分，表现为入射电子和出射电子与虚光子之间的能量和动量守恒，在波浪线与电子入射线和出射线的交点处。外部时间沿着图形向上，表示两个电子入射，经过散射最后出射的时间，是从时间$-\infty$到$\infty$的。另外，在量子力学里，除非特别研究随时间变化的相互作用，时间$t$是不出现的。量子力学也没有经典轨迹，只有状态，所谓超距作用的问题是不存在的。; 个人分类: 物理学|8617 次阅读|41 个评论

自我科普（一）费曼图对应的是什么？: 热度 1 qianlivan 2012-7-10 14:04; （本系列博文主要是整理给自己看的，对这些知识熟悉的可以略过。）大四的时候学了一个学期量子场论，基础不扎实，毕业之后也没用过。当时学到的现在已经记不起多少了，有一个问题一直没有搞太清楚，就是算概率幅用到的费曼图到底对应什么，如果直接从微分（积分）方程出发，这些图对应的应该是什么？最近又想起这个问题，有点绕不过去的感觉，于是决定看看书弄清楚些。费曼图主要用来计算粒子的相互作用，有相互作用，就对应于哈密顿量中除了自由项$H_0$，还应有相互作用项$H_I$，也就是哈密顿量为 \begin{equation} H=H_0+H_{\rm I}. \end{equation} 假设一个系统由时间依赖的态矢$\vert \Phi(t)\rangle$描述，那么在相互作用绘景（Interaction Picture）中，运动方程写为 \begin{equation} i\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\vert \Phi(t)\rangle=H_{\rm I}(t)\vert \Phi(t)\rangle \end{equation} 其中 \begin{equation} H_I(t)=e^{iH_0 (t-t_0)}H^{\rm S}_{\rm I} e^{-iH_0 (t-t_0)} \end{equation} 其中$H^{\rm S}_{\rm I}$是薛定谔绘景哈密顿量的相互作用项。定义S矩阵 \begin{equation} \vert\Phi(\infty)\rangle=S\vert \Phi(\infty)\rangle=S\vert i\rangle \end{equation} 矩阵元定义为 \begin{equation} \langle f\vert \Phi(\infty)\rangle=\langle f\vert S\vert i\rangle\equiv S_{fi} \end{equation} 运动方程可以写为积分方程的形式 \begin{equation} \vert \Phi(t)\rangle =\vert i\rangle +(-i)\int^t_{-\infty}{\rm d}t_1 H_{\rm I}(t_1)\vert\Phi(t_1)\rangle. \end{equation} 迭代可以发现发现$\vert\Phi(t)\rangle$可以写为一系列一重、二重……积分之和，根据S矩阵的定义式，S矩阵可以用这些积分之和表示 \begin{eqnarray} S=\sum^{\infty}_{n=0}(-i)^n\int^{\infty}_{-\infty}{\rm d}t_1\int^{t_1}_{-\infty}{\rm d}t_2\cdot\cdot\cdot \int^{t_{n-1}}_{-\infty}{\rm d}t_n H_{\rm I}(t_1) H_{\rm I}(t_2)\cdot\cdot\cdot H_{\rm I}(t_n)\\ =\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-i)^n}{n!}\int^{\infty}_{-\infty}{\rm d}t_1\int^{\infty}_{-\infty}{\rm d}t_2\cdot\cdot\cdot \int^{\infty}_{-\infty}{\rm d}t_n {\rm T}\{H_{\rm I}(t_1)H_{\rm I}(t_2)\cdot\cdot\cdot H_{\rm I}(t_n)\}\\ \end{eqnarray} S矩阵的各项就对应各种费曼图。至于具体的每一项对应的费曼规则，改天再自我科普。; 个人分类: 知识|9298 次阅读|1 个评论

量子物理中的数学真实: 热度 4 wliming 2011-5-12 17:36; 我今天创造“数学真实”这个词汇，一定会让很多人深感不安。数学就是数学，完全是人类意识的反映，怎么能跟客观实际联上姻呢？我下面用实例说话，信不信由你。大家都知道，费曼图是一种计算量子系统配分函数的数学技术，而配分函数基本上决定了一切的物理。我们把配分函数展开成无穷多项，而每一项都可以用费曼图表示出来。实际的运算过程正好反过来，先画出费曼图，再翻译成数学表达式。这个技术大大简化了计算，使繁琐而复杂的展开式变得直观而简洁。费曼图的精妙还在于，它具有非常直观的物理图像，以下图为例。这个费曼图表达的是两个电子之间的电磁相互作用中的一个二阶项。从这个图可以看出，左边的电子（直线）向右边的电子发射一个光子（左边波浪线），这个光子在真空中激发一对粒子--反粒子对（中间圆圈上下两半），然后，粒子对湮灭为一个光子（右边波浪线），光子被右边的电子（直线）吸收，从而对两电子之间的相互作用产生一个贡献。这个图像够直观吧？但是，你千万不要认为这是一个实实在在的物理过程！事实上，这只是一个虚过程，中间的光子和粒子对是不可以用实验观测的。这个图本质上仅仅是一个数学表达式的图像表示。可是，按照这样的费曼图所计算出来的相互作用精确地表达了电子和电子之间的相互作用，其精确度达到了10个以上有效数值。这就是我说的“数学的真实”。真实不真实，就看你怎么理解“真实”。物理学的“数学真实”就这样客观地描述了自然界，信不信由你。有人说（比如黄秀清），这是数学，不一定是真理。算了吧，真理能当饭吃吗？我断言：真理是胡说八道的哲学创造出来的词汇！科学并不需要真理（够狠吧）。科学只承认事实和逻辑！请内行指正。; 个人分类: 物理学|2471 次阅读|10 个评论

谁来讲《场论》专题讨论班：费曼图应用的微分几何与物理基础: GrandFT 2011-3-14 21:55; 围绕《中场论》课程，将安排系列的专题讨论班，讨论班题目有的在课上公布，有的写在这里。愿意讲某个题目的同学可以直接联系我们。题目：费曼图应用的微分几何与物理基础参考文献：S. L. Marateck, 《Feymann图应用的微分几何与物理基础》，高燕芳译，马守全、陆柱家校，《数学译林》，2009第二期。原文Notice of the AMS, vol. 53 (2006) No.7, 744-752. (谁找到这篇英文文章寄给我们一份); 个人分类: 中场论|3869 次阅读|0 个评论

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