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关于几何: 热度 1 ComeOnBoy 2015-11-25 16:15; 从小学到高中到大学，我们学的几何都是建立在欧几里得的5个公设（ http://userpages.umbc.edu/~rcampbel/Math306/Axioms/Euclid ）之上：公设一：由任意一点到任意一点可作直线。公设二：一条有限直线可以继续延长。公设三：以任意点为心及任意的距离可以画圆。公设四：凡直角都相等。公设五：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。（等价命题：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。）这里公理和公设不是一个概念，《几何原理》中给出了23个定义（definitions）5个公设（Postulates）和5个公理（common Notions）。这就是我们所说的欧式几何。而非常有意思的是，人们认为公设五可以被证明或可以被替代，从而发展了非欧几何（如罗氏几何，黎曼几何），非欧几何越来越受到人们的重视。罗氏几何第五条公设是，过直线外一点可以做两条直线和已知直线平行，这完全颠覆了人们在欧式几何中的公设。这就构成了一个新的几何空间，着实有趣。; 个人分类: 数学|2640 次阅读|1 个评论

无人喝彩的划时代论文: 热度 43 wozaikx 2015-2-26 12:17; 1829 年 2 月 23 日一个寻常的下午，俄罗斯喀山大学的物理数学系学术会议上，罗巴切夫斯基（ Nikolay Ivanovich Lobachevsky 1792-1856 ）有些激动而又忐忑地宣读着他的关于几何的论文——《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。参加这次学术会议的学者不乏著名的数学家、天文学家、科学院院士等。然而，这位年轻的数学教授像是喝醉了，说的全是“胡话”。比如三角形内角和小于 180 度、三角形面积越大内角越小、向锐角的一边作垂线延长后可以不和另一边相交 … 不仅荒诞离奇，而且与欧几里得《几何原本》相抵触。最让人吃惊的是这些“胡言乱语”竟然从一个严谨的数学教授口中说出，着实令听众瞠目。他滔滔不绝谈论的几何不但与人们的经验感知相违背，而且与有着两千多年的漫长历史、辉煌成就的欧氏几何矛盾。谁会让自己被这些离奇不经的论断“忽悠”呢？你可以想象当时听众的表情，大多在摇头，即使是最宽容的听众也流露出不解的神情。论文宣讲后，罗巴切夫斯基请在座的同行和专家提提意见，谁知会场竟然陷入长时间的沉默，没有人发言或评论。会后的专家鉴定意见无疑否定的，最后据说居然把论文原稿还弄丢了。然而，正是这篇突破性的论文的问世，标志着非欧几何的诞生。这个寻常的日子成为它的生日。标志着古老的几何学从经典走向了现代，并开启了一个科学的新时代。罗巴切夫斯基的发现无疑是突破性的，但为何不仅无人喝彩，后来还遭到诋毁中伤呢？这还要从欧几里得著名的《几何原本》说起。公元前三世纪，尼罗河三角洲北端的亚历山大城的希腊数学家欧几里得，集前人几何研究之大成，写了一部由定义、公理出发，根据严密的逻辑，推导出初等几何的全部定理和命题。全书共计 13 卷。 2000 多年以来，被无数自然哲学家和数学家奉为至高无上的经典，具有极其深远的影响。这种公理体系的逻辑推理方式也影响了后世许多科学著作，如牛顿的《自然哲学之数学原理》等。《几何原本》的开篇就陈述了 23 个定义 (Definitions) 、 5 条公理 (Postulates) 、 5 条公设 (CommonNotions) 。其中五条公理是： 1. 等于同量的量彼此相等； 2. 等量加等量，其和相等； 3. 等量减等量，其差相等； 4. 彼此能重合的物体是全等的； 5. 整体大于部分。五条公设是： 1. 过两点能作且只能作一直线； 2. 线段 ( 有限直线 ) 可以无限地延长； 3. 以任一点为圆心 , 任意长为半径 , 可作一圆； 4. 凡是直角都相等； 5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180° ，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。其中最后一条公设就是著名的第五公设也叫做平行公设。也可以等价的表示成为容易理解的形式：即过直线外一点有且仅有一条直线与原直线平行。等等！也许你会追问公理和公设是从哪里来的呢？好问题。据说提问环节凡是不容易回答的问题都会先得到这样的回复。从上面的罗列你会注意到，公理是那些极简的、必然的观念或共识，被认为是纯粹的、先验的真理，并且与人类无数次的实践经验相一致。公理不像公设那样局限于几何，近代几何不区分公设、公理，统称公理。后世学者对《几何原本》中五个公理和前四个公设还是很放心的，唯独对第五个公设总觉得不踏实，提出了质疑。多数也并不是怀疑它的真实性，因为它的内容和形式与前面几条有所不同，用途在书中也远不如前面几条广泛，更像个可以被证明的定理，只不过由于欧几里得没能将它证明，才不得不把它放在公设之列。因此自公元前 3 世纪起到 19 世纪初，很多人耗费了无数的精力曾试图用前几条公设证明之，从而把它变成一个定理，但都没有成功。罗巴切夫斯基正是两千余年来试图解决欧氏第五公设问题的过程中的一个数学家，能有幸走上发现之路，与他不懈的思考分不开。他原本想用数学中常用的反证法来证明，即假设过一点可以作两条以上的直线与原直线平行，这样只要推出的结论与已知的公理或定理矛盾就可以说明其假设的错误，也就是佯谬，从而反证出平行公设的正确，进而把其从公设中剔除。但他经过长久的证明推导后来发现，欧几里得第五公设是独立的，不可能由欧几里得的其他公理给予证明。这原本也没什么，历史上有很多人已经证实了这个结果。但罗巴切夫斯基的数学眼光毕竟是高人一筹，他想既然无法证明第五公设，那么建立在另外的公设基础上的几何学在逻辑也是可行的！这无疑是一个观念的飞跃。与第五公设不同，他提出假设，即罗巴切夫斯基平行公理：过直线 AB 外一点 C ，在平面上可以作不止一条直线和 AB 平行。听起来懂但不好理解，这也反映了被他称为“虚几何”的特点，与头脑中的平直空间相悖 … 此外，平行直线 m 和 n 构成平行与不平行直线间的边界，由此可见，过 C 点的 AB 的平行线不止一条而有无穷多条。在不涉及平行公理的部分，罗氏几何和欧氏几何是一样的；反之则不同。比如在罗氏几何中，三角形内角之和小于 180° ，而且随着面积、边长的增大而减小。当面积趋于零时，三角形内角之和趋于 180° 。也就是说，二者并不矛盾，甚至可以把欧式几何视为是罗氏几何趋近无穷小的近似解。后来的黎曼几何也就是球面几何，内角和就大于 180° 。可以简单用下面图示来说明这种不同几何间的差异，可究竟哪个是对的呢？当然在各自的公设出发点来说也它们都是正确的。所以今天我们的中学数学还要从欧式几何学起。在这篇论文之后的几十年，罗巴切夫斯基的工作都没有得到数学界应有的承认，甚至是已经独立研究出相同结果的数学泰斗高斯（ CarlGauss ），也没有勇气公开正面宣布支持罗巴切夫斯基的工作。当然还有匈牙利的数学家鲍耶（ JánosBolyai ）后来也独立完成了类似的工作，因此后世把这三位共同称为非欧几何（ Non-Euclideangeometry ）的发现者与创始人。有人称之为紫罗兰现象，因为这好像春天到了紫罗兰遍地花开一样。但客观地说，对非欧几何的诞生贡献最大的无疑还是那位一生都没有离开过喀山的罗巴切夫斯基。非欧几何影响深远，不仅仅是几何或数学领域的巨大进步，而且对物理学、天文学以及时空观念的变革都产生了深远的影响。后来非欧几何中的黎曼几何被作为爱因斯坦广义相对论的重要工具，深刻地影响了近代科学的发展，是人类认识史上又一个的伟大成果。终于，在 1893 年，喀山大学树立起了据说是世界上第一个专门为数学家所立的雕塑。他就是被后人赞誉为 “ 几何学中的哥白尼 ” 的罗巴切夫斯基。但令人遗憾的是，他生前没有获得这样荣誉。晚年双目失明，晚景凄凉。巧合的是他的去世日期是 2 月 24 日，与他那篇当时无人喝彩的划时代论文宣讲日期仅相隔一天。; 32710 次阅读|70 个评论

相对论与黎曼几何-4-内蕴几何: 热度 9 tianrong1945 2014-8-12 10:42; 4. 内蕴几何高斯在 1827 年的著作《关于曲面的一般研究》中，发展了内蕴几何【 1 】。所谓“内蕴”，是相对于“外嵌”而言。指的是曲面（或曲线）不依赖于它在三维空间中嵌入方式的某些性质。“内蕴”的概念也可以被解释得更为物理一些：一个观察者在自己生活的物理空间中所能够观察和测量到的几何性质就是这个空间的内蕴性质。也有人比喻说：外嵌是机械设计工程师看待曲面的方法，将曲面看成为他的三维机械零件的表面；而内蕴几何则是地球上的测地员测量地球表面测量到的几何性质。比如说，内蕴几何量的最简单例子就是弧长。一条直线可以在 3 维空间中看起来转弯抹角地任意弯曲，即随意改变它的曲率和挠率，但生活在直线上的“点状蚂蚁”观察不到这些“弯来绕去”，只能测量到它爬过的弧长。因此，空间曲线的曲率和挠率，是三维空间的生物观察这条曲线时得到的重要性质，但却并不是内蕴几何量。对曲面来说也是如此，弧长并不因为平面卷成了柱面或锥面而改变。弧长与曲线嵌入空间中的弯曲情况无关，因而是个内蕴几何量。曲线没有内蕴几何，因为所有空间曲线的内在性质都与直线相同。因此，内蕴几何主要用于研究曲面的性质。既然弧长是内蕴的，弧长所导出的其它几何量，诸如面积、夹角等便也是内蕴的。在一个坐标系中如何计算弧长？有了微积分之后这点并不困难，首先要有计算一小段弧长的公式，这个公式可从最古老的欧氏几何中的勾股定理得到，然后进行积分便能求得弧长。弧长是一个任何曲面都有的、最基本最简单的内蕴几何量，由此可定义曲面的等距变换，即保持弧长不变的变换。曲面的内蕴几何量都是等距变换下的不变量。或者说，根据计算弧长的公式（专业术语称之为曲面第一基本公式），可以建立起曲面的内蕴几何。刚才说过，空间曲线的曲率和挠率不是内蕴的。对曲面来说，欧拉定义过曲面上的两个主曲率，将这两个主曲率相加除 2 ，可定义“平均曲率”。然而人们发现，主曲率和平均曲率都不是内蕴几何量。直观地看，如前讨论过的柱面和锥面等可展曲面，应该与平面有相同的内蕴几何，而球面一类的不可展曲面，代表了另外种类的几何。虽然主曲率和平均曲率不是内蕴的，但高斯从几何直观可以感觉到，应该存在某种“内蕴曲率”，于是，他开始探讨什么才是曲面的 “内蕴曲率”？图 2-3-3 ：高斯映射和高斯曲率高斯通过研究曲面在一个给定点及其附近邻域的法线方向，定义了高斯映射，继而再定义了曲面的内蕴曲率，即高斯曲率。如图 2-3-3a 所示，高斯映射将曲面在一个给定点 P 及其附近邻域（总面积为 A ）的法线矢量，保持原来的方向将端点平移到原点，这些法线与单位球面相交于一块面积为 B 的图形。高斯认为，面积 B 与面积 A 的比值可以代表曲面在 P 的内蕴弯曲程度。高斯将其定义为高斯曲率。可以举例说明高斯曲率为什么代表了曲面的内在弯曲度。比如说，如果曲面是一个平面，那么， P 点附近所有法线都指向同一个方向，高斯映射将整个平面映射为单位球上的一个点，因此：面积 B 为 0 ，因而得到平面的高斯曲率为 0 。如果曲面是一个柱面，高斯映射是单位球面上的一个圆，圆的面积也是 0 ，因而柱面的高斯曲率也为 0 。图 2-3-3c 所示的是半径为 r 的球面的情形，根据高斯曲率 K 的计算公式： K= B/A = 1/r 2 ，可见 r 越大，高斯曲率越小，这点符合我们对球面内蕴曲率的直观理解。如上所定义的高斯曲率与欧拉所研究过的主曲率有一个简单的关系：高斯曲率就等于两个主曲率的乘积。重温两个主曲率的意义：分别是过曲面上某一点截线曲率（绝对值）的最大值和最小值，对柱面、锥面、及切线面三种可展曲面，最小值为 0 ，因此两个主曲率相乘而得到的高斯曲率也为 0 。高斯发现了高斯曲率是一个曲面的内在性质时，一定是无比兴奋和激动的，情不自禁地将他的结论命名为 “绝妙定理”：三维空间中曲面在每一点的曲率不随曲面的等距变换而变化。意思就是说，高斯曲率是一个内蕴几何量。绝妙定理绝妙之处就是在于它提出并在数学上证明了内蕴几何这个几何史上全新的概念，它说明曲面并不仅仅是嵌入三维欧氏空间中的一个子图形，曲面本身就是一个空间，这个空间有它自身内在的几何学，独立于外界 3 维空间而存在。图 2-3-4 ：内蕴几何是测地员（或“爬虫”）观察到的几何如图 2-3-4b 所示，内蕴几何是生存在各种类型曲面空间中的“爬虫生物”所观察到的几何。图中所示的曲面空间有三种：平面、球面、及双曲面。平面是一个 2 维的欧氏空间，而球面和双曲面则是非欧氏空间，这使我们联想到也是在那个年代发现的非欧几何，即罗巴切夫斯基几何，或双曲几何。尼古拉·罗巴切夫斯基（ Nikolai Lobachevsky ， 1792-1856 ）是俄罗斯数学家，非欧几何的创始人【 2 】。欧几里德几何是一个基于公理（或共设）的逻辑系统，公理犹如建造房屋时水平放在基底的大砖头，有了牢靠平放的基底，其它的砖块便能够一层一层地叠上去，万丈高楼也就平地而起。基底砖块破缺了，或者置放得不水平，楼房就可能会倒塌。在逻辑系统中的数条公理，应该是公认的、显而易见的、确认无法被证明的一些假设。作为欧氏平面几何大厦的基底有五条公理，其中第五条公理是论及平行线的，也称为平行公设，它说的是： “若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。” 人们对前面四条公理都没有什么疑问，唯独对这第五条公理没有好感，总觉得它说起来拗口，听起来不是那么显然和直接。数学家们并不怀疑它的正确性，而是觉得它不像一个不证自明的公理。大家的意思就是说，欧氏平面几何的大厦用前面 4 块大砖头可能也就足以支撑了，这第五块砖头，恐怕本来就是放置在另外四块砖头之上的。因而，欧氏几何创立以来，许多几何学家都曾经尝试用其他 4 条公理来证明这条公理，但却都没有成功。这种努力一直延续到 19 世纪初， 1815 年左右，年轻的数学家罗巴切夫斯基也开始思考这个问题。在试图证明第五公设而屡次失败之后，罗巴切夫斯基采取了另外一种思路：如果这第五公设的确是条独立的公理的话，将它改变一下会产生什么样的结果呢？第五公设也可以有另外一种表达方式：“通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。” 罗巴切夫斯基巧妙地将这一条公理的表述改变如下：“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”。然后，将这条新的“第五公设”与其它的公设一起，像欧氏几何那样类似地进行逻辑推理，推出新的几何命题来。罗巴切夫斯基发现，如此建立的一套新几何体系，与欧氏几何不同，但却是一个自身相容的，没有任何逻辑矛盾的体系。因此，罗巴切夫斯基宣称：这个体系代表了一种新几何，只不过其中许多命题有点古怪，似乎与常理不合，但它在逻辑上的完整和严密却完全可以与欧氏几何媲美！可以列举几条罗氏几何中的古怪而不合常理的命题：同一直线的垂线和斜线不一定相交；不存在矩形，因为四边形不可能四个角都是直角；不存在相似三角形；过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆；一个三角形的三个内角之和小于 180 度……等等。从这种反证法能得到不同几何体系的事实，说明第五公设是一条不能被证明的公理。从此以后，数学家们不再纠结于第五公设的证明。然而，由于罗氏几何得出的许多结论和我们所习惯的欧式空间的直观图像相违背，罗巴切夫斯基生前并不得意，还遭遇不少的攻击和嘲笑。罗巴切夫斯基在 1830 年发表他的非欧几何论文。无独有偶，匈牙利数学家鲍耶·亚诺什（ JánosBolyai ， 1802-1860 ）在 1832 年也独立地得到非欧几何的结论【 3 】。那段时期也正是高斯发展他的内蕴几何观点之时，同是几何研究，这位号称数学王子的天才，不可能不思考非欧几何的问题，他对罗巴切夫斯基等的工作，又是如何看待的呢？匈牙利数学家鲍耶的父亲，正好是高斯的大学同学。当父亲将鲍耶的文章寄给高斯看后，高斯却在回信中提及自己在三十多年前就已经得到了相同的结果。这给予鲍耶很大的打击和疑惑，甚至怀疑高斯企图盗窃他的研究成果。但实际上，从高斯的文章、笔记、书信等等可以证实，高斯的确早就进行了非欧几何的研究，并在罗巴切夫斯基与鲍耶之前，已经得出了相同的结果，不过没有将它们公开发表而已【 4 】。图 2-3-5 ：非欧几何鼻祖：（从左到右）高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶早在 1792 年， 15 岁的高斯就开始了关于平行公理独立性的证明。他继而研究曲面（球面或双曲面）上的三角几何学， 17 岁时就深刻地认识到：“曲面三角形之外角和不等于 360° ，而是成比例于曲面的面积”，这可以说是高斯 - 博内定理的早期版本。 1820 年左右，高斯已经得出了非欧几何的很多结论，但不知何种原因，高斯没有发表他的这些关于非欧几何的思想和结果，只是在 1855 年他去世后才出现在出版的信件和笔记中。有人认为是因为高斯对自己的工作精益求精、宁缺勿滥的严谨态度；有人认为是高斯害怕教会等保守势力的压力；有人认为高斯已经巧妙地将这些思想包含在他 1827 年的著作中【 5 】。意大利数学家贝尔特拉米在 1868 年证明，非欧几何可以在欧几里得空间的曲面上实现。比如罗巴切夫斯基和鲍耶的几何就是双曲面（也叫马鞍面）上的几何，而将第五公设改变成“通过特定的点没有平行线”的话，则能得到球面几何。因此，的确可以说，高斯已经将他的非欧几何思想蕴涵在他的内蕴几何中。参考文献：【 1 】 CarlFriedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead(Translator), General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged (Paperback),Wexford College Press, 2007, 【 2 】 Geometricalinvestigations on the theory of parallel lines. Halstead, G.N. (tr.). 1891.Reprinted in Bonola: NonEuclidean Geometry 1912. Dover reprint 1955. 【 3 】 MartinGardner, Non-Euclidean Geometry, Chapter 4 of The Colossal Book of Mathematics,W.W.Norton Company, 2001, 【 4 】 GAUSS CF. Werke IV . Gottingen: Kêniglichen Ge2 sellschaft der Wlsse Nschaften,1880: 2172258; Ⅷ 226; 381; 442; 4352436; 182. 【 5 】 KarlFriedrich Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825,(1902) The Princeton University Library. (A translation of Gauss's originalpaper.) (Currently does not display the translated text) 上一篇：曲面的微分几何系列科普目录下一篇：相对性原理; 个人分类: 系列科普|31954 次阅读|9 个评论

Erlangen纲领——几何学: songshuhui 2010-10-5 17:30; 季候风发表于 2010-09-30 16:02 非欧几何的发现是19世纪最大的数学进展之一. 主要的先驱人物是俄国的罗巴切夫斯基, 匈牙利的鲍耶, 和德国的高斯. 非欧几何的故事已经流传很广了, 它与欧氏几何的不同就在于所谓欧氏平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 如果把这条公理改成过直线外一点有两条以上的直线与已知直线平行, 而保持其它公理不变, 就得到一种新的几何, 称为非欧几何. 关于非欧几何的文章发表于 1830 年左右. 有迹象表明高斯在早些年就得到了一些结果. 然而非欧几何这个名称在 1854 年黎曼的就职演讲发表以后含义就不够精确了（因为黎曼提供了无穷多种非欧的几何形态）, 现在大部分数学家把上述这种公理化几何称为双曲几何. 19世纪还出现了一种几何叫射影几何. 研究这种几何的动机是非常贴近生活的它主要研究中心投影现象。通俗一点说, 如果有一盏灯, 它照射在纸面上, 那么纸面上的图形在地面上的投影是怎么样的? 最明显的就是, 纸面上的圆周在灯光下的影子一般不再是圆周, 可能是个椭圆周; 然后注意到, 如果纸面不平行于地面, 纸面上两条平行的直线在灯光下的投影可能不再平行; 更奇异的现象是, 如果纸面足够大，它上面的一个圆周也足够大, 使得圆周上有些点比电灯所处位置更高, 那么这个圆周在地面上的投影就会是双曲线. (记得高中的解析几何课本封面上绘有一个圆锥面, 用不同的平面去截就得到不同的圆锥曲线. 如果把锥的顶点视为一盏灯, 就容易看到所有这些圆锥曲线都可以互为中心投影.) 还有一种几何是研究平行投影下图形怎么变化的, 叫做仿射几何. 如果把上面的灯换成太阳, 由于距离太远, 在小范围内是非常精确的平行投影纸面上两条平行直线总是投射为地面上的平行直线. 圆周会投射为椭圆周, 但决不会是双曲线。在 1872 年, 所有这些几何把数学家搞懵了到底什么是几何? 这时候 23 岁的德国人克莱因在爱尔朗根大学为其教授就职演讲准备了一篇讲稿这篇稿子后来被称为爱尔朗根纲领虽然他后来的演讲并没有讲这个讲稿上的内容. 这篇讲稿提出, 每一种几何对应一个变换群, 这种几何研究的对象是各种形体在相应变换群下不变的性质. 群是描述对称性的数学结构. 变换群被伽罗瓦发明出来研究代数方程的可解性. 而克莱因的合作者法国人李(Lie)到 1872 年已经研究了某些连续的变换群, 现在称为 Lie 群. 以上所说的这几种几何都对应到不同的 Lie 群. 现在我们从克莱因的爱尔朗根纲领来看待以上提到的这些几何: 欧氏几何是最小的几何, 研究的就是长度啊, 全等啊这些性质. 对应的群就是所谓欧氏变换群, 它里面的元素包括平移, 旋转, 反射以及它们的累次作用. 这些变换保持长度不变; 我们说两个图形是全等的当且仅当有一个欧氏变换把一个图形变为另一个. 我们初中高中的时候还研究相似三角形. 这种包含相似性的几何对应到什么变换群？我们可以把欧氏变换群扩大, 即, 加入伸缩这个变换, 这样就得到更大的相似变换群. 我们能用相似变换把不同长度的对象等同起来, 比如不同半径的圆周, 在相似几何中就被视为同样的图形. 三角形的相似就是相似几何中的全等. 这个相似变换群包含欧氏变换群, 所以在这个群下不变的性质自然在欧氏变换群下不变, 也就是说, 相似几何的概念都是欧氏几何的概念. 反过来就不对, 举个例子, 长度是欧氏几何的概念, 但不是相似几何的概念. 这句话说得直白一点就是，几何体的长度在欧氏变换群下不变，但在相似变换群下有可能改变。仿射几何是更大的几何. 对应的群叫仿射变换群, 包括平移, 线性变换以及它们的累次作用. 线性变换的意思基本上就是那些把直线还变到直线的变换。由于旋转, 反射, 伸缩都是特殊的线性变换, 所以仿射变换群包含相似变换群. 在仿射几何里, 圆和椭圆是同一种图形; 所有的平行四边形都全等; 在这个几何里, 长度, 角度都失去意义, 能谈论的只能是平行性质, 或者共线三点的分比(单比), 等等这些很粗略的性质. 射影几何是以上提到的几何中最大的几何. 从仿射几何到射影几何的扩张, 比之前的几次扩张要复杂得多. 特别地, 我们需要给平面添上无穷远直线来使得射影变换是一对一变换. 这其实很容易理解，如果纸面不平行于地面，那么从光源水平射出的光线就只与纸面相交而不与地面相交，这样它与纸面的交点在射影变换下就没有像。如果我们假设地面的无穷远处存在所谓无穷远点，那么就可以把这些无穷远点作为水平光线与地面的交点。平面的所有无穷远点构成无穷远直线。在射影几何中, 所有圆锥曲线椭圆, 双曲线, 抛物线, 都是全等的图形. 所以射影几何研究的性质是最粗略的性质, 比如曲线的次数: 直线是由一次方程定义的曲线, 圆锥曲线是由二次方程定义的曲线; 再比如共线四点的交比. 射影几何是非常有趣的几何, 有很多巧合, 部分原因就是这个几何的变换群非常大, 对称性高. 同志们如果实在闲得无聊, 可以找本书看看, 书名一般叫做 Projective geometry. 对于熟悉计算机的同志, 可以看出在每种几何里我们都重载了全等这个概念这正是关键所在凡是能用一个变换互相转换的对象, 我们都看成同样的对象. 自爱尔朗根纲领提出以来, 对称性(群论)日益收到重视, 到了今天, 已经成为根深蒂固的观念. 物理学中, 自相对论、量子力学以来, 对称性也被作为基本原理, 到了 1970 年代, 物理学家发现自然界四种基本相互作用的根源都是对称性. 由此可见伽罗瓦, 李, 克莱因这些前辈的深刻洞察力. 最近俄罗斯数学家佩雷尔曼解决了百万美元问题庞加莱猜想及更广泛的瑟斯顿几何化猜想. 后面这个猜想就是天才的瑟斯顿继承爱尔朗根纲领的精神给出的解决三维流形分类问题的蓝图. 具体内容如何, 且待下回分解.; 个人分类: 数学|1461 次阅读|1 个评论

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