26. 量子霍尔效应的解释(1) 量子霍尔效应的发现是 20世纪凝聚态物理学的一项重大成就。因为对它的产生机制的解释，特别是对分数量子霍尔效应的解释，带给了物理学许多崭新的概念，大大促进了凝聚态物理研究的发展。 为了更好地理解量子霍尔效应，首先重温一下高中物理中学过的电子在磁场中的运动情形。 一个在均匀磁场中运动的经典二维电子，其所受到的磁力（洛仑兹力）遵从右手规则，应该处处与其运动方向垂直（图 26.1a）。由于磁力不对电子作功，因此，电子的速率将保持不变但运动方向则不断改变，这意味着电子将保持回旋的圆周运动。电子回旋的半径与它的初始动量有关。有趣的是，电子的回旋角频率 w c ，是一个只与其荷质比及磁场大小有关的量。因此，当磁感应强度 B增加时，电子的回旋频率 w c 也增加，如图 26.1b所示。 图 26.1： 经典运动电子的回旋频率 w c 随磁场的增大而增大 如果在电子运动的二维平面上同时还存在着电场的话，电子便会在做回旋运动的同时，又在电场库仑力的作用下，在二维平面上移动。这也就是解释经典霍尔效应的理论基础。 从前一节的叙述可知，量子霍尔效应的特点就是霍尔电阻图上一个一个的平台。平台表示不连续，即霍尔电阻是一份一份地跳跃增加的。这种‘不连续’、‘一份一份’，便是物理学中量子的基本特征。因此，量子霍尔效应的解释需要用到量子力学。 首先，整数量子霍尔效应（ IQHE）可以用我们在此系列中用过多次的能带理论、费米能级等概念来粗略地说明。 IQHE是在二维电子气中观察到的。电子在二维电子气的垂直方向（磁场方向）被束缚住了，不能运动，因此我们只关心电子在平面方向的运动，即X和Y方向，X方向是施加正规电压的方向，Y方向则是产生霍尔电势的方向。 在朗道和栗弗席兹所编写的量子力学教程中 【 1】 ，朗道给出了均匀磁场中二维电子体系的量子力学解（薛定谔方程）。朗道证明，如果磁场垂直于二维平面，可以使用朗道规范将问题简化为类似于一维谐振子的情况而得到电子能量的本征值。这些分离的能量的本征值被称为朗道能级。 诸位可能还记得我们开始介绍能带论的时候，讨论过电子共有化后成为自由电子，能级就扩展成了能带的过程（见第 7节图2）。现在对二维电子气加上磁场的情形似乎是相反，原来无磁场时连续的能带又变成了一个一个分离的朗道能级。见图26.1a，其中分离的红色及淡蓝色短线表示的便是朗道能级。 这些朗道能级是什么意思呢？尽管这是量子力学的结果，我们仍然不妨与刚才提及的电子在磁场中运动的经典图像类比一下，以加深记忆和理解。 概括一下迄今为止我们所了解的电子的量子行为与经典行为的区别：一是电子是那种喜欢独居一室的费米子，这是电子能带论的基础；二是电子有个称为‘自旋’的内禀特性，这是自旋电子学和磁电子学的基础。 我们还知道，量子化的最重要特征就是一份一份的，正如爱因斯坦 1905年发现光电效应时提出的观点：光是由一个一个能量为h w 的量子组成的。其中的 h叫做普朗克常数，凡是微观世界的量子现象都与它有关，朗道能级也是如此，朗道能级表示的是磁场中的电子可能具有的能量值。能量最小的基态是0.5h w c ，能级之间的距离是 h w c 。这儿的 w c 便正是上面所述经典电子运动时的回旋角频率。 这样一说，大家就明白了：哦，原来朗道能级就是磁场中经典电子圆周运动各种模式的量子对应物。 图 26.2：朗道能级和安德森局域化 因为 w c 正比于磁场，所以朗道能级的基态值和间隔也都正比于磁场。这从图 26.2a可以看出来：当B增加时，能级的间隔随之增大。 能带论中的费米能级是研究电子在物质中输运性质的有力工具。从费米能级的不同位置，可以区分导体、绝缘体、半金属、半导体等等。对于磁场中的二维电子系统，只要维持 MOSFET的栅极电压不变，磁场的变化并不影响载流子（电子）的密度，为了简单而方便地解释量子霍尔效应，我们可以粗略地假设费米能级也是不随磁场而变化的。因此，在图26.2中，我们用左右贯穿的一条水平红色虚线表示系统的费米能级。 水平红色虚线以下的能级，表示已经被电子填充（红），水平红色虚线以上的能级，则为尚未填充电子的空能级（蓝）。从图 26.2a可见，磁场为0时，电子能量是连续的（红色连续区域），磁场存在时，连续区变成分离的能级，而因为总的电子数目并未减少，朗道能级一定是简并的，简并的意思就是说，同一个能量对应于多个量子态。当磁场增加时，朗道能级数目减少，每个朗道能级的简并度也将随之增加，以保持相同的总电子数。 要解释量子霍尔电阻的曲线中，为什么会出现平台，还需要简单介绍一点点另一位凝聚态物理大师的工作 -安德森的局域化理论 【 2】 。 菲利普·安德森（ Philip Anderson，1923年－）是美国物理学家。局域态、扩展态的概念和理论，是当他五十年代在新泽西的贝尔实验室工作时首先提出来的，为此他和vanVleck、Mott分享了1977年的诺贝尔物理奖。 什么叫局域态和扩展态呢？其实这两个概念我们早已使用，不过没有为其正名而已。比如，在周期格点排列的晶体中，电子的运动是公有化的，其波函数可自由扩展到整个晶体，这种态就被称为扩展态。反之，电子如果不是公有化的自由电子，而是只在局部区域里转悠，则称之为电子的局域态。 安德森的理论说，如果晶格中存在随机的无序杂质，周期性就会被破坏。使得电子无法自由地在整个晶体中运动，而是在杂质周围打转，就像被束缚在原子周围的情形一样，成为了局域态。在金属或半导体中，只有扩展态的电子才能形成电流，处于局域态的电子对电流没有贡献。 将此理论应用于二维电子气，会是什么情形呢？二维电子气系统中总是有一些无序杂质存在的。所以，电子便会被局域化。电子局域化对能级的影响则是减小能级的简并度，将能级扩展成能带。于是，在原来是线状的、狭窄的每条朗道能级两边，便产生了一个边沿分布，如图 26.2b中的灰色阴影部分所示，称之为朗道子能带。 安德森等人在 1978年的工作中还发现，无磁场的二维体系中，只要有任意小的无序杂质存在，最后将会使所有的电子局域化。由此而得出一个结论：无磁场的二维体系，一定是不能导电的绝缘体。 但是，冯•克利青等人发现的量子霍尔效应，却显示二维体系仍然具有导电性，那又该如何解释呢？从理所当然地推理便能猜想：一定是磁场起了作用！更多的研究也发现，二维电子体系有磁场时，和无磁场情况不一样，不再是只有局域态，而是局域态和扩展态共存。 再回到图 26.2b，人们认为，能导电的电子扩展态，聚集在理想的朗道能级周围（红色），而用灰色表示的其余尾部部分，则都是不能导电的局域态。 即使有了扩展态的能级，也不是总能导电的。大家可能还记得我们曾经说过，物体的导电性能取决于费米能级在能带中的位置，或者说，是取决于费米能级附近，有没有被电子占据了的扩展态。在图 26.2b中我们看到，虽然代表费米能级的红色虚线是一条数值固定的水平线，但因为朗道能级的图像是随着磁场变化的，所以费米能级与朗道子能带的相对位置便也随着磁场而变化。 现在，我们便能试图解释一下量子霍尔效应了。（待续） 参考资料： 【 1】Landau, L. D.; E. M. Lifshitz (1977).Quantum Mechanics: Nonrelativistic Theory. Pergamon Press. 【 2】Anderson, P. W. (1958). Absence ofDiffusion in Certain Random Lattices. Phys. Rev. 109 (5): 1492 – 1505. 上一篇：量子霍尔效应的诞生 系列科普目录 下一篇：量子霍尔效应的解释（2）
24. 霍尔效应大家族 凡是学过物理的人一定都知道大名鼎鼎的麦克斯韦，麦克斯韦建立的电磁理论让人类美美地用上了一百多年，连爱因斯坦也评价它“是牛顿以来，物理学最深刻和最富有成果的工作”。 不过很遗憾，在麦克斯韦生前，他的电磁理论却并未被同行们广泛承认。并且，麦克斯韦 48岁就去世了，他最后几年的生活充满烦恼：妻子久病不愈，学说不被人理解，他带病坚持作电磁学讲座，却只有两名听众：一个是美国来的研究生，另一个是后来发明电子管的弗莱明 【 1】 。但无论如何，时间是最好的试金石，麦克斯韦电磁理论的光辉最终照遍了全球。 即使是如此伟大的电磁理论奠基人麦克斯韦，也不是无可挑剔的。麦克斯韦在他的《电磁学》卷二中这样写道：“作用在磁场中一个通电导体上的机械力，是作用在导体上，而不是电流上。在导线中流动的电流完全不受附近磁铁的影响……” 当时，一个叫霍尔的无名小子，美国霍普金斯罗兰教授的一个博士学生，对这句话产生了怀疑。因为霍尔的老师罗兰，还有瑞典物理学家埃德隆教授，都明确地认为，在磁铁的作用下导电体会产生移动，是因为有一个力作用在电流上。 霍尔的全名叫埃德温·霍尔（ Edwin Herbert Hall, 1855 – 1938）。为了验证到底是麦克斯韦的判断正确，还是罗兰和埃德隆的观察正确，他进行了严谨仔细的实验 【 2】 。 上述的麦克斯韦和埃德隆等的分歧，是在于到底有没有力作用在‘电流’上。这儿用的是‘电流’而不是‘电子’，是因为当时大家还不知道电子为何物，完全不清楚金属的导电机制是由于其中自由电子的移动而造成的。 汤姆森发现电子还是在 20年之后的1899年的事情。 霍尔在罗兰教授的支持鼓励下，经过了许多次实验的失败和教训而楔而不舍，最后终于获得了成功。 1879年10月28日，刚好在麦克斯韦去世前一星期，霍尔第一次正式确切地观察到之后以他的名字命名的霍尔效应 【 3】 。他发现通过金箔片的电流在磁场里确实受到了磁场的作用，并因而产生了一个方向与电流和磁场都垂直的电压，这个电压之后被称为霍尔电压。 图 24.1：霍尔效应和霍尔 金属的霍尔效应中，磁场、电流、及霍尔电压三者方向之间的关系如图 24.1左图所示。 霍尔电压也经常被人称为横向电压，以区别于沿电流方向的驱动电压。横向电压的大小与磁感应强度 B和电流强度I 的大小都成正比, 而与金属板的厚度d成反比。 根据横向电压和纵向电流 I之比，我们可以定义一个横向的霍尔电阻R h 。这个电阻应该与磁感应强度B成正比，即R h 与B的关系是一条倾斜上升的直线。 在电子发现之前，很难真正理解经典霍尔效应产生的本质，但在电子发现以后，随着对金属及半导体材料导电机制研究的不断深入，对霍尔效应的理解也不断加深。在麦克斯韦电磁理论的框架下，就完全可以解释经典霍尔效应。实际上，霍尔电压的产生是因为在磁场中运动的电荷会受到洛伦兹力的缘故。洛伦兹力使得金属中运动的自由电子产生一个额外的横向运动，在与原来电流垂直的方向堆积起来，形成一个横向电压。这个电压阻止电荷的继续堆积，最后将与洛伦兹力平衡。 电子的发现使我们能够解释霍尔现象，反过来，霍尔效应对材料中导电载流子的研究也提供了一个很有效的途径。 比如说，如何判定金属导电时是其中的电子（负电荷）在移动，而不是带正电荷的质子移动呢？正是霍尔效应帮助我们证实了这点。更一般地说，我们可以借助霍尔效应研究半导体中的载流子，确定掺杂后的半导体材料中的载流子类型，到底是空穴还是电子？也可以进一步测量载流子的浓度。 图 24.2：半导体中的霍尔效应 比如，假设在某种半导体材料中，电流为 X方向，磁场施加在Z方向，那么，霍尔电势会是什么方向呢？答案取决于材料中的多数载流子是哪一种类型？是正电荷还是负电荷？让我们分别讨论这两种情况。如图24.2所示，如果X方向（图中向右）的电流是因为电子的运动而引起的话，带负电荷的电子则是往左运动，这时作用在电子上的洛仑兹力是在-Y的方向。另一种情形，如果电流是因为带正电的空穴的运动而引起的话，空穴运动方向与电流一致，即往右运动，这时作用在空穴上的洛仑兹力也是在-Y的方向。也就是说，无论导电机制是空穴还是电子，洛仑兹力的方向都是一样的。因为电子和空穴，它们所带电荷符号相反，运动方向也相反，两个‘相反’互相抵消，造成了最后横向运动的方向‘相同’（图中红色箭头所示的方向）。 不过，横向运动方向相同，并不等于霍尔电压方向相同。而恰恰因为载流子所带电荷的符号不同，使得实际上，这两种导电机制将形成极性相反的霍尔电压。正因为如此，我们才能够根据实验中霍尔电压的极性，来确定材料中载流子的类型。 利用洛仑兹力来解释霍尔效应，可以推导出霍尔电阻是正比于磁场、反比于导体中的载流子密度。因此，经典霍尔效应除了可以用于研究材料中的载流子种类之外，还可以测量载流子浓度、制成磁传感器等。此类霍尔器件被用以检测磁场及其变化，已经在各种与磁场有关的工业场合中得到大量应用。 霍尔在非铁磁性材料中发现常规霍尔效应后，又于 1880年在铁磁性金属材料中发现了反常霍尔效应。所谓‘反常’是指，当没有外磁场存在时，通电流的铁磁体内也会产生一个横向电压。这个现象令人迷惑，因为金属中霍尔电压的产生被解释为电子受到的洛仑兹力，既然没有外磁场，就没有洛仑兹力，也就无法用洛仑兹力的概念来解释反常霍尔效应。所以，反常霍尔效应至今尚未有一个统一的理论解释。一般认为，它与正常霍尔效应在本质上是完全不同的，不能仅仅用经典电磁理论来解释，而需要结合量子理论中自旋和轨道相互作用等等概念。 至今为止，距离霍尔效应的发现，已经有 140多年。期间对各种霍尔效应的研究一直连续不断。特别是在上世纪80年代发现量子霍尔效应之后，更多霍尔效应的家族成员相继被发现，成为凝聚态物理中的一大热门课题。 2013年4月9日，由中国清华大学薛其坤院士领导的团队（包括清华、中科院、斯坦福大学的物理研究人员）宣布，他们从实验中观测到了量子反常霍尔效应。他们的论文，3月15日已发表在国际权威学术杂志《科学》上。这个发现，为霍尔效应大家族成员的不断到来划上了一个句号。 ． 图 24.3：霍尔效应大家族的三重奏 【 4】 中国科学家们的最新发现，得到国际学术界的高度评价和关注，正如美国新泽西州立大学物理与天文系教授 Seongshik Oh在4月12日出版的《科学》（Science）杂志的文章中所指出的：“这个结果证实了期待已久的量子反常霍尔效应的存在，这是量子霍尔家族的最后一位成员”，它“使人们终于能够完整地演奏量子霍尔效应的三重奏” 【 4】 。 参考资料： 【 1】Campbell, Lewis (2010). The Life of JamesClerk Maxwell: With a Selection from His Correspondence and Occasional Writingsand a Sketch of His Contributions to Science 【 2】Leadstone, G.S., The discovery of the HallEffect, Physics Education (Great Britain), Volume 14, Number 6, 1979,pp.374-379 【 3】Edwin Hall (1879). On a New Action ofthe Magnet on Electric Currents. American Journal of Mathematics(American Journal of Mathematics, Vol. 2, No. 3) 2 (3): 287 – 92. 【 4】The Complete Quantum Hall Trio，Seongshik Oh，Science 12 April 2013: Vol. 340 no. 6129 pp. 153-154 上一篇： 物质的千姿百相 系列科普目录 下一篇：量子霍尔效应的诞生
1.霍尔效应：1879年Edwin Hall观测到在金属平板中施加纵向电流，并在垂直于金属平面的方向上外加一个磁场，由于电子受到洛伦兹力，在金属平板的横向会分别聚集正负电子，出现横向电压，称之为霍尔效应。 2.反常霍尔效应：1880年Edwin Hall在一个铁磁性的金属平板中发现，即使是在没有外加磁场的情况下（或弱外场），也可以观测到霍尔效应。这种铁磁性材料中的霍尔效应后来被称之为反常霍尔效应。在具有自旋-轨道耦合并破坏时间反演对称性的情况下，材料的特殊电子结构会导致动量空间中非零Berry相位的出现，而该Berry相位的存在将会改变电子的运动方程，从而导致反常霍尔效应的出现。这是通常所说的反常霍尔效应“本征机制”。 3.量子霍尔效应：当外加磁场足够强，温度足够低时，电子全部局域在量子化的朗道能级上，从而体材料成为绝缘体，而边缘仍然可以导电，边缘上得相应能带各贡献一个通道，从而使霍尔电导量子化，称之为量子霍尔效应。 4.自旋霍尔效应：The Spin Hall Effect (SHE) is a transport phenomenon predicted by Russian physicists M.I. Dyakonov and V.I. Perel in 1971. It consists of the appearance of spin accumulation on the lateral surfaces of a current-carrying sample, the signs of the spin directions being opposite on the opposing boundaries.The SHE belongs to the same family as the anomalous Hall effect , known for a long time in ferromagnets, which also originates from spin-orbit interaction. 5.量子自旋霍尔效应： The quantum spin Hall state is a state of matter proposed to exist in special, two-dimensional, semiconductors with spin-orbit coupling . The quantum spin Hall state of matter is the cousin of the integer quantum Hall state, but, unlike the latter, it does not require the application of a large magnetic field. The quantum spin Hall state does not break any discrete symmetries (such as time-reversal or parity).
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