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tag 标签: 斐波那契数列

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仙人球与数学联想
热度 5 ecoliugy 2014-7-9 18:17
最近看《世界一部历史》一书,其中讲世界各种思潮(学派、宗教与文明)的起源、传播、激荡与消亡,读来荡气回肠,有种任督二脉突然被打开的感觉。其中在古希腊诞生了一门学派,这群人专门以几何和数学来认知世界,探索自然和人类社会。他们认为,万物皆数。世间万物无论任何形态的存在均可用极为简单的数与形来表达。 万事万物,乃至那些极端抽象的概念,如存在、动静、平衡、美丑等,一切皆可以用简单完美的数学来表达。即便在今天,很多受过科学教育之人,乃或是拥有硕博士学位之人,又有几个人能完全理解这种世界观呢?朔源古地中海动荡的历史,真的 很难想象,正是这样一群极端的思想狂徒,在那样一种生存环境之下,带领后人们走上了科学的道路。从神话与宗教盛行的世界中,通过数学,走出一条无尽的科学探索之路。若是从新来过,恐怕也再难以重复。 我大胆猜想想,当初的这群先辈们其实也没那么伟大,无非也是一群屌丝,也是一小撮想要通过鼓捣神秘学术观点,迷惑老百姓,以获取权贵和利益的人。通过各种晦涩难懂的“歪门邪说”(比如当今中国之科学),获取社会地位,最终联合宗教和军队,掠取土地与财富而已。本质上,这与中国的孔子、印度的释迦牟尼,以及中东的耶稣基督和穆罕默德并未大的差异。然而,世事难料。科学成功了,并且为当今世界精英阶层所崇拜敬仰。以历史的角度,不得不令人惊叹。 那么,这种以数看待世界的观点到底如何形成的呢?是什么东西激发了先人的思想洪流。一个被海水冲上岸的海螺,盛开的花朵,还是一块安静的石头,乃或是一个下落的苹果。活到三十多岁,也被迫学了无数的数学知识,虽然高中之前的数学成绩还算不错,但我大学毕业之前,从未体会到数学的美,乃或数学的魔力。直到我碰到的斐波那契数列,这个奇异的数列可解我心中关于植物形态的奥秘之时。方才对数学产生了敬仰之情,如滔滔江水,如洪峰奔流。(可看 TED 上数学家讲斐波那契数列 视频 ) 感叹虽已至不惑之年,但依然充满迷惑。想要从新理解数学是不可能滴了,但恰巧在版纳植物园苗圃看到仙人球上精美的数学结构,不禁再次感叹数学与自然的精美。数学思潮的灵感恐非来自仙人球,但仙人球所特有的复杂与简洁,美得令人心醉。植物与数学之间,形态能结合得如此精美,实在难得。 延伸阅读: 花瓣为什么多为5瓣 辐射对称的仙人球本身就极美,但中心藏着一个更为神奇的数列 另一种仙人球更为复杂的对称结构 (FB数列还在孕育之中) 随着花朵的孕育,斐波那契数列双螺旋来了。有没有什么生态学意义呢? 完美的左右旋的排列(我数了数,右旋是17,左旋是24,貌似也不符合斐波那契数列,啥回事?) 昨天NASA拍摄的台风“浣熊”,形态为斐波那契扇形线 银河系也是一个美妙的斐波那契扇形线(Via nature)
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花瓣与数字”5“的艺术关系
热度 11 ecoliugy 2013-11-2 22:13
版纳植物园有位热带植物画家问: “ 为啥植物花瓣,多数是 5 个? “ 我在日常的观察中多有思考,拍了不少照片,今天尝试着回答一下这个不解之谜。 首先,“植物花瓣都有 5 个 ” 可能是一种认知错觉。 从数学或美学的角度分析,五角星象征着一种极度的美。五角星的图形中,每两条线条均称黄金分割点,组成成极度完美的图形,给人予极端的美感。再加 5 个花瓣的花朵色泽艳丽多姿,从色泽和形态上都很容易让人将其从杂乱的自然界中辨识出来,产生认知偏差和印象。 从植物多样性的角度分析,有花植物之中比较大的菊科、兰科、禾本科、豆科都不是五个花瓣,而热带植物中最为典型的天南星科、爵床科和最为多样话的棕榈科也并非五个花瓣。所以在植物界中,植物的花瓣数量并非恒定于某个数量。这些 5 花瓣的花卉颜色多样,且多运用于园艺之中。或许是出于五花瓣花卉比较漂亮的缘故,给我们造成植物多为 5 个花瓣的错觉。 5 瓣花不算多,但却普遍存在。确实有很多花是 5 花瓣形状, 我收集了一些图片,作为佐证。 5 花瓣的植物种类主要存在于蔷薇科、锦葵科、葫芦科、杜鹃花科、茜草科、毛茛科,以及报春花科等双子叶植物类群之中。在植物进化的系统树中, 5 瓣花很普遍,有时集中分布在某个类群中,如锦葵科中多数为 5 花瓣;有时又是零星分布于某些类群中,如爵床科中 5 花瓣很少。有花植物在白垩纪晚期崛起之后,快速进化出各种类群,伴随着有花植物进化的主要传粉昆虫是甲虫和蜂(蜜蜂和熊蜂),鞘翅目和膜翅目在花朵颜态、颜色和结构进化上都有重要的驱动作用。为什么是 5 花瓣呢?我查阅了很多书籍和资料,尚未找到传粉上的结论。花瓣数量与昆虫选择如何作用,不得而知。 其实,为啥植物花瓣多为 5 个的问题还可以扩大到其它生物特征。不仅仅是花瓣,很多花萼和果实裂开之后,也会呈现出 5 瓣,如桢桐的萼片,假苹婆和红花芭蕉的开裂的果实等等。 我觉得 5 可能是一个相当经济的数据, 也是个奇异的数字。在西方,数学家发现了大自然中很多形状都遵循一个奇异的数列--- 斐波那契数列(见 百度百科 ) 。植物叶、枝和花也遵循这个数列,很多花朵的花瓣数也遵循斐波那契数列。数字 5 便是这个 F 数列中较为经济的数字之一,植物花瓣为 5 既符合生态经济,又符合美学规则,实在是极为巧妙的选择。 而东方哲学中,5也是相当传奇的数字。古人什么都讲五,不知根据什么理论基础创造出了牛皮的五行理论。五行相生相克是代表物质、能量、信息的演化形式,它是朴实的世界观与自然科学。五行理论也是关乎自然的呈现与持续运作,五行结合阴阳理论中“一生二、二生三,三生万物”。 斐波那契数列与东方的五行哲学实在是如出一辙,是人类社会经验、科学、哲学和艺术的完美发现,实乃妙不可言 。 这个问题远没有找到答案,谁要有兴趣,就去探索挖掘吧!无论什么方式方法,越是奇异越有可能找到真理和答案。 萝藦科铁草鞋的小花中有两个五角星,完美到了极致 亚麻科石海椒也有五个对称的黄色花瓣,蜜蜂极为喜欢 茜草科玉叶金花花瓣五角星呈现出两种姿态 木槿科扶桑花暖烘烘的五花瓣,传粉着为蝴蝶 锦葵科乔槿与爵床科黑眼睛均是五个黄色花瓣,黑色的心,花朵颜色功能相似。 黄色花瓣与黑色的心这种花朵结构普遍存在于有花植物之中,锦葵科、爵床科、旋花科等均可找到。 萝藦科牛角瓜五个花萼和花瓣极其可爱,被称为 “ 五狗卧花心 ” 合生的花冠比离生的花瓣要进化。 旋花科掌叶鱼黄草花冠呈喇叭状,但花冠中依然有个五角图形。 梧桐科假苹婆花和果均是五角星形状, 可能是子房发育限制造成的 马鞭草科桢桐花瓣凋落后,萼片呈显出极为美丽的红五角 红花芭蕉成熟开裂也成五个瓣,巧合还是上天注定?
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一定是斐波那契数列么?
热度 2 pxc417 2012-12-13 16:55
一定是斐波那契数列么? 彭翕成 pxc417@126.com 武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079 本文是博文《 下一个 数是? 》的续篇。 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…… 看到这列数,肯定有人会说,不用写下去了,规律很明显,不就是斐波那契数列么? 一定是么?且慢下结论!如果我们将这列数输入到网站: 整数数列在线大全-OEIS ,就会发现有很多备选答案。这些都还是被数学研究者认为是比较有意义的整数列,并非为了充数。如果只为了凑多,利用拉格朗日插值公式可得无数多组解。下面列出5种,供大家参考。 可能性1:斐波那契数列对30取余,编号为 A137290 。 斐波那契数列前10项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55……对30取余得1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, 25…… 也许有人会说,这样也算?那将30换成其他数,不又可以得到新数列么?确实如此,但估计你想不到对30取余这列数具有周期性吧,其周期为120。 论证这一结论不难,斐波那契数列对2取余,依次得1,1,0, 1,1,0……周期为3;斐波那契数列对3取余,依次得1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1,……周期为8;斐波那契数列对5取余,依次得1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1,……周期为20;2、3、5互素,可得斐波那契数列对30取余,周期为120。 数论中有这样的问题:设 为斐波那契数列,求证: 。 证法1:设 ,列出下表观察规律, 以8为周期,结论显然正确。 证法2: ,而 ,根据数学归纳法可得结论。 可能性2: 的展开系数,编号为 A147659 。 将 在 处展开得 ,系数分别为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,90, 146…… 类似地,若将 在 处展开,可得系数数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…… ,编号为A185357。 上述两个表达式如何得来?如果了解一点形式幂级数和母函数的知识,就可以自己找出表达式。 在数学中,某个序列 的母函数是一种 形式幂级数 (所谓形式幂级数,就是形式上像幂级数,但不考虑级数收敛、发散等性质),每一项的 系数 可以提供关于这个序列的信息。 赫伯特· 维尔夫 比喻道, 母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。 譬如将斐波那契数列作为形式幂级数的系数,设 ,则 ,可得 。 此表达式看似简单,展开之后却包含斐波那契数列所有信息。 或这样推导,设 ,则 , ,三式相加得 , 如果 满足 ,且 ,那么 。 有兴趣的读者可参看史济怀先生的《 母函数 》一书。 可能性3:将 表示成连分数,渐近分数的分母,编号为 A041247 。 的渐近分数依次是 , , , , , , , , 分母依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 475…… 可能性4: ,编号为 A005181 。 俗称天花板函数,是指不小于 的最小整数。如果 从0开始计算,那么 依次为0.60,1,1.64,2.72,4.48,7.39,12.18,20.09, 33.12,54.60……,而 依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…… 斐波那契数列增长速度很快。能否构造指数函数去拟合呢?这当然是可以的。斐波那契数列的通项公式正是指数函数的组合: 。 虽然只有在项数较少时,与斐波那契数列完全吻合,但胜在形式简单。 可能性5: , , ,编号为 A093332 。 是指不大于 的最大整数。如果 从1开始计算,那么 依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 56…… 以平方、开方、取整的方式竟然能准确得到斐波那契数列的前9项,不能不让人概叹数学之奥妙!从公式中出现的 ,笔者猜想该公式的得来可能与斐波那契数列的两个恒等式有关。设 为斐波那契数列, 。 恒等式1: 证明: 。 恒等式2: 证明:设矩阵 ,则 ,而由 可得 ,展开第一项可得 。 几经尝试,发现上述两个恒等式不能推出希望的结论。若不急于使用斐波那契数列的性质,反倒一下子推导出来了。 。 等式的最后一步,只有当 较小时成立,因为此时 和 相差较大,经过取整运算可将后者忽略。而经过计算验证,此公式可得到斐波那契数列的前9项。 也许有人会说,数学讲究简单美,斐波那契数列从两个1出发,简单相加,但奥妙无穷,何必再去花时间鼓捣一堆复杂规律?有意义么? 确实,斐波那契数列简单中蕴含复杂,很美很值得研究。但我们也必须要认识到,科学的研究,除了探究美,还必须探究真。只要其他数列符合你写下的前几项,那么你就必须要承认他的存在,哪怕发现它是困难的,计算它是繁杂的。更何况,其他的规律也各自有研究价值,不能无视,哪怕将它们视为斐波那契数列的衍生产 品。
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这群鸽子够数学的
jiangxun 2011-1-7 09:09
作者:蒋迅 图片来自网络 看这群鸽子,排列在一根电线上,正好形成 斐波那契数列 ( Fibonacci number )。这张图片在网上传播很广,已经不知道谁拍摄的了。 费波那西数列,又称为黄金分割数列。它的定义是: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… 也就是说,从第三项开始,每一个数是前两个数之和。这个数列是由 比萨的列奥纳多 最早引入的,他的父亲有一个外号叫“Bonacci”,意即“好”、“自然”、“简单”。因此他得到一个外号“Fibonacci”,就是Bonacci之子的意思。於是这个数列就用了他的这个外号。顺便一提的是,他还是向欧洲引入阿拉伯数字的第一人。 费波那西数列有很多应用。本人在“ 闲话数学与音乐 ”里谈过它与音乐的关系。 有一天在开车的时候看到一群鸽子,排列得也很整齐。於是抓拍一张。
个人分类: 够数学|5817 次阅读|4 个评论

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GMT+8, 2024-6-16 04:58

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