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仙人球与数学联想: 热度 5 ecoliugy 2014-7-9 18:17; 最近看《世界一部历史》一书，其中讲世界各种思潮（学派、宗教与文明）的起源、传播、激荡与消亡，读来荡气回肠，有种任督二脉突然被打开的感觉。其中在古希腊诞生了一门学派，这群人专门以几何和数学来认知世界，探索自然和人类社会。他们认为，万物皆数。世间万物无论任何形态的存在均可用极为简单的数与形来表达。万事万物，乃至那些极端抽象的概念，如存在、动静、平衡、美丑等，一切皆可以用简单完美的数学来表达。即便在今天，很多受过科学教育之人，乃或是拥有硕博士学位之人，又有几个人能完全理解这种世界观呢？朔源古地中海动荡的历史，真的很难想象，正是这样一群极端的思想狂徒，在那样一种生存环境之下，带领后人们走上了科学的道路。从神话与宗教盛行的世界中，通过数学，走出一条无尽的科学探索之路。若是从新来过，恐怕也再难以重复。我大胆猜想想，当初的这群先辈们其实也没那么伟大，无非也是一群屌丝，也是一小撮想要通过鼓捣神秘学术观点，迷惑老百姓，以获取权贵和利益的人。通过各种晦涩难懂的“歪门邪说”（比如当今中国之科学），获取社会地位，最终联合宗教和军队，掠取土地与财富而已。本质上，这与中国的孔子、印度的释迦牟尼，以及中东的耶稣基督和穆罕默德并未大的差异。然而，世事难料。科学成功了，并且为当今世界精英阶层所崇拜敬仰。以历史的角度，不得不令人惊叹。那么，这种以数看待世界的观点到底如何形成的呢？是什么东西激发了先人的思想洪流。一个被海水冲上岸的海螺，盛开的花朵，还是一块安静的石头，乃或是一个下落的苹果。活到三十多岁，也被迫学了无数的数学知识，虽然高中之前的数学成绩还算不错，但我大学毕业之前，从未体会到数学的美，乃或数学的魔力。直到我碰到的斐波那契数列，这个奇异的数列可解我心中关于植物形态的奥秘之时。方才对数学产生了敬仰之情，如滔滔江水，如洪峰奔流。（可看 TED 上数学家讲斐波那契数列视频）感叹虽已至不惑之年，但依然充满迷惑。想要从新理解数学是不可能滴了，但恰巧在版纳植物园苗圃看到仙人球上精美的数学结构，不禁再次感叹数学与自然的精美。数学思潮的灵感恐非来自仙人球，但仙人球所特有的复杂与简洁，美得令人心醉。植物与数学之间，形态能结合得如此精美，实在难得。延伸阅读：花瓣为什么多为5瓣辐射对称的仙人球本身就极美，但中心藏着一个更为神奇的数列另一种仙人球更为复杂的对称结构（FB数列还在孕育之中）随着花朵的孕育，斐波那契数列双螺旋来了。有没有什么生态学意义呢？完美的左右旋的排列（我数了数，右旋是17，左旋是24，貌似也不符合斐波那契数列，啥回事？）昨天NASA拍摄的台风“浣熊”，形态为斐波那契扇形线银河系也是一个美妙的斐波那契扇形线（Via nature）; 6947 次阅读|6 个评论

花瓣与数字”5“的艺术关系: 热度 11 ecoliugy 2013-11-2 22:13; 版纳植物园有位热带植物画家问： “ 为啥植物花瓣，多数是 5 个？ “ 我在日常的观察中多有思考，拍了不少照片，今天尝试着回答一下这个不解之谜。首先，“植物花瓣都有 5 个 ” 可能是一种认知错觉。从数学或美学的角度分析，五角星象征着一种极度的美。五角星的图形中，每两条线条均称黄金分割点，组成成极度完美的图形，给人予极端的美感。再加 5 个花瓣的花朵色泽艳丽多姿，从色泽和形态上都很容易让人将其从杂乱的自然界中辨识出来，产生认知偏差和印象。从植物多样性的角度分析，有花植物之中比较大的菊科、兰科、禾本科、豆科都不是五个花瓣，而热带植物中最为典型的天南星科、爵床科和最为多样话的棕榈科也并非五个花瓣。所以在植物界中，植物的花瓣数量并非恒定于某个数量。这些 5 花瓣的花卉颜色多样，且多运用于园艺之中。或许是出于五花瓣花卉比较漂亮的缘故，给我们造成植物多为 5 个花瓣的错觉。 5 瓣花不算多，但却普遍存在。确实有很多花是 5 花瓣形状，我收集了一些图片，作为佐证。 5 花瓣的植物种类主要存在于蔷薇科、锦葵科、葫芦科、杜鹃花科、茜草科、毛茛科，以及报春花科等双子叶植物类群之中。在植物进化的系统树中， 5 瓣花很普遍，有时集中分布在某个类群中，如锦葵科中多数为 5 花瓣；有时又是零星分布于某些类群中，如爵床科中 5 花瓣很少。有花植物在白垩纪晚期崛起之后，快速进化出各种类群，伴随着有花植物进化的主要传粉昆虫是甲虫和蜂（蜜蜂和熊蜂），鞘翅目和膜翅目在花朵颜态、颜色和结构进化上都有重要的驱动作用。为什么是 5 花瓣呢？我查阅了很多书籍和资料，尚未找到传粉上的结论。花瓣数量与昆虫选择如何作用，不得而知。其实，为啥植物花瓣多为 5 个的问题还可以扩大到其它生物特征。不仅仅是花瓣，很多花萼和果实裂开之后，也会呈现出 5 瓣，如桢桐的萼片，假苹婆和红花芭蕉的开裂的果实等等。我觉得 5 可能是一个相当经济的数据，也是个奇异的数字。在西方，数学家发现了大自然中很多形状都遵循一个奇异的数列--- 斐波那契数列（见百度百科）。植物叶、枝和花也遵循这个数列，很多花朵的花瓣数也遵循斐波那契数列。数字 5 便是这个 F 数列中较为经济的数字之一，植物花瓣为 5 既符合生态经济，又符合美学规则，实在是极为巧妙的选择。而东方哲学中，5也是相当传奇的数字。古人什么都讲五，不知根据什么理论基础创造出了牛皮的五行理论。五行相生相克是代表物质、能量、信息的演化形式，它是朴实的世界观与自然科学。五行理论也是关乎自然的呈现与持续运作，五行结合阴阳理论中“一生二、二生三，三生万物”。斐波那契数列与东方的五行哲学实在是如出一辙，是人类社会经验、科学、哲学和艺术的完美发现，实乃妙不可言。这个问题远没有找到答案，谁要有兴趣，就去探索挖掘吧！无论什么方式方法，越是奇异越有可能找到真理和答案。萝藦科铁草鞋的小花中有两个五角星，完美到了极致亚麻科石海椒也有五个对称的黄色花瓣，蜜蜂极为喜欢茜草科玉叶金花花瓣五角星呈现出两种姿态木槿科扶桑花暖烘烘的五花瓣，传粉着为蝴蝶锦葵科乔槿与爵床科黑眼睛均是五个黄色花瓣，黑色的心，花朵颜色功能相似。黄色花瓣与黑色的心这种花朵结构普遍存在于有花植物之中，锦葵科、爵床科、旋花科等均可找到。萝藦科牛角瓜五个花萼和花瓣极其可爱，被称为 “ 五狗卧花心 ” 合生的花冠比离生的花瓣要进化。旋花科掌叶鱼黄草花冠呈喇叭状，但花冠中依然有个五角图形。梧桐科假苹婆花和果均是五角星形状，可能是子房发育限制造成的马鞭草科桢桐花瓣凋落后，萼片呈显出极为美丽的红五角红花芭蕉成熟开裂也成五个瓣，巧合还是上天注定？; 19099 次阅读|16 个评论

一定是斐波那契数列么？: 热度 2 pxc417 2012-12-13 16:55; 一定是斐波那契数列么？彭翕成 pxc417@126.com 武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079 本文是博文《下一个数是？》的续篇。 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…… 看到这列数，肯定有人会说，不用写下去了，规律很明显，不就是斐波那契数列么？一定是么？且慢下结论！如果我们将这列数输入到网站：整数数列在线大全-OEIS ，就会发现有很多备选答案。这些都还是被数学研究者认为是比较有意义的整数列，并非为了充数。如果只为了凑多，利用拉格朗日插值公式可得无数多组解。下面列出5种，供大家参考。可能性1：斐波那契数列对30取余，编号为 A137290 。斐波那契数列前10项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55……对30取余得1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, 25…… 也许有人会说，这样也算？那将30换成其他数，不又可以得到新数列么？确实如此，但估计你想不到对30取余这列数具有周期性吧，其周期为120。论证这一结论不难，斐波那契数列对2取余，依次得1,1,0, 1,1,0……周期为3；斐波那契数列对3取余，依次得1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1,……周期为8；斐波那契数列对5取余，依次得1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1，……周期为20；2、3、5互素，可得斐波那契数列对30取余，周期为120。数论中有这样的问题：设为斐波那契数列，求证：。证法1：设，列出下表观察规律，以8为周期，结论显然正确。证法2：，而，根据数学归纳法可得结论。可能性2：的展开系数，编号为 A147659 。将在处展开得，系数分别为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55，90, 146…… 类似地，若将在处展开，可得系数数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…… ，编号为A185357。上述两个表达式如何得来？如果了解一点形式幂级数和母函数的知识，就可以自己找出表达式。在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数（所谓形式幂级数，就是形式上像幂级数，但不考虑级数收敛、发散等性质），每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。赫伯特· 维尔夫比喻道，母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。譬如将斐波那契数列作为形式幂级数的系数，设，则，可得。此表达式看似简单，展开之后却包含斐波那契数列所有信息。或这样推导，设，则，，三式相加得，如果满足，且，那么。有兴趣的读者可参看史济怀先生的《母函数》一书。可能性3：将表示成连分数，渐近分数的分母，编号为 A041247 。的渐近分数依次是，，，，，，，，分母依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 475…… 可能性4：，编号为 A005181 。俗称天花板函数，是指不小于的最小整数。如果从0开始计算，那么依次为0.60，1，1.64，2.72，4.48，7.39，12.18，20.09， 33.12，54.60……，而依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…… 斐波那契数列增长速度很快。能否构造指数函数去拟合呢？这当然是可以的。斐波那契数列的通项公式正是指数函数的组合：。虽然只有在项数较少时，与斐波那契数列完全吻合，但胜在形式简单。可能性5：，，，编号为 A093332 。是指不大于的最大整数。如果从1开始计算，那么依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 56…… 以平方、开方、取整的方式竟然能准确得到斐波那契数列的前9项，不能不让人概叹数学之奥妙！从公式中出现的，笔者猜想该公式的得来可能与斐波那契数列的两个恒等式有关。设为斐波那契数列，。恒等式1：证明：。恒等式2：证明：设矩阵，则，而由可得，展开第一项可得。几经尝试，发现上述两个恒等式不能推出希望的结论。若不急于使用斐波那契数列的性质，反倒一下子推导出来了。。等式的最后一步，只有当较小时成立，因为此时和相差较大，经过取整运算可将后者忽略。而经过计算验证，此公式可得到斐波那契数列的前9项。也许有人会说，数学讲究简单美，斐波那契数列从两个1出发，简单相加，但奥妙无穷，何必再去花时间鼓捣一堆复杂规律？有意义么？确实，斐波那契数列简单中蕴含复杂，很美很值得研究。但我们也必须要认识到，科学的研究，除了探究美，还必须探究真。只要其他数列符合你写下的前几项，那么你就必须要承认他的存在，哪怕发现它是困难的，计算它是繁杂的。更何况，其他的规律也各自有研究价值，不能无视，哪怕将它们视为斐波那契数列的衍生产品。; 7233 次阅读|5 个评论

这群鸽子够数学的: jiangxun 2011-1-7 09:09; 作者：蒋迅图片来自网络看这群鸽子，排列在一根电线上，正好形成斐波那契数列 ( Fibonacci number )。这张图片在网上传播很广，已经不知道谁拍摄的了。费波那西数列，又称为黄金分割数列。它的定义是： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，… 也就是说，从第三项开始，每一个数是前两个数之和。这个数列是由比萨的列奥纳多最早引入的，他的父亲有一个外号叫“Bonacci”，意即“好”、“自然”、“简单”。因此他得到一个外号“Fibonacci”，就是Bonacci之子的意思。於是这个数列就用了他的这个外号。顺便一提的是，他还是向欧洲引入阿拉伯数字的第一人。费波那西数列有很多应用。本人在“ 闲话数学与音乐 ”里谈过它与音乐的关系。有一天在开车的时候看到一群鸽子，排列得也很整齐。於是抓拍一张。; 个人分类: 够数学|5816 次阅读|4 个评论

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