Taylor point blast.pdf 有个量纲分析请参考（孙博华，量纲分析和相似论，Bohua Sun, Dimensional Analysis and Theory of Similarity, 2015. DOI: 10.13140/RG.2.1.1830.800) http://www.researchgate.net/publication/280775971 点源爆炸标度律与天津大爆炸的能量预测 孙博华 天津大爆炸后，由于造成巨大的破坏，媒体上对其爆炸威力有各种各样的预测。有说相当于21吨TNT，有说相当于1000吨TNT，或相当于一个小型亚临界核弹的威力。我们不知道这些预测的根据，但从事故调查的科学性来说，有关爆炸的威力估计是非常必要的，其研究对于危险易爆物品的储存到底应该离居民区多远有重要意义。由于是偶发事件，不可能有事先的测量准备，只有通过考察其破坏效果反过来估计其爆炸当量。 这里介绍有关点源爆炸的能量计算公式，希望有关专家可以根据有关测试或录像信息，用这里的公式预测出天津大爆炸的能量。 点源爆炸问题的解决在量纲分析发展史上是非常有名的，通过这个问题的解决展示了量纲分析用于解决复杂问题的能力，所以量纲分析一般都要介绍这个例子。 这个问题源于美国的第一颗原子弹实验，非常有故事，在二战期间的困难时期，1940年英国科学家G.I.Taylor 被George Thomson教授邀请参加一个工作午餐，Thomson 是刚成立的英国铀军事应用委员会的主席，GII(同事都这样友好的尊称他)被告知要制造一种利用核反应可以产生巨大能量的炸弹，那时还没有使用原子弹这个名词。传统的炸弹的机械效能是通过在有限的空间里短时释放大量高温高压气体获得的，而对于这种新炸弹当时的实际问题是希望了解这种在极端聚焦的点源没有伴随气体的爆炸的机械效能是否与通常的炸弹类似，答案显然对这个问题非常重要。 就在他们这次交流之前收到美国著名爆炸专家G.Kistiakovsky的报告，认为即便这种弹能爆炸威力也没有期望的那么有威力。Ronald WilliamClark 在他的名著The Birth of the Bomb中指出，当时全英国只有一个人可以解决这个问题，那就是G I Taylor 教授。GI对这个问题的研究报告于1941 年6 月27 日（星期5）提交给了英国民防研究委员会。 为了回答这个问题，GI不得不理解和计算空气在瞬间爆炸产生的运动和压力。GI很清楚爆炸会产生一个热冲击 波，即一个点源瞬间释放巨大但有限的能量E，将对其周围的空气进行急剧的压缩和加温，并以超过声速的球形冲击波向外急速膨胀。 他开始列出了问题的流体力学偏微分方程组，这个方程组是非线性的，更难的是其中一个初始条件是积分形式。当时无法求解，不得不进行简化，据说这个方程组直到现在都没人找到什么解析办法。GI除了做进一步的简化外就借助于量纲分析这个有力工具。有个量纲分析请参考。 1941年6月27日G I Taylor给英国有关机构提交了报告； 当时参加美国原子弹曼哈顿工程的大科学家John von Neumann也研究同一个问题，他利用周末检查168个公式，并于1941年6月30日(星期一)给Los Alamos Lab. 提交了有关点源爆炸的报告。由于保密的原因，以上两个报告当时都没有公布，G I Taylor 在1950年才容许发表结束其研究内容，von Neumann的结果在1947年发表在Los Alamos的Blast Wave报告第二章中。苏联参加原子弹研究的L.I.Sedov 也对这个问题进行了独立研究，结果没有保密而是于1946年发表在公开的学报上。后来比较他们三人的研究发现，von Nuemann于Sedov结果类似，von Neumann使用Lagrange坐标系推导而GI使用Euler坐标系。 在GI Taylor（1950）的第二篇论文中，Taylor利用1947 年美国公开发表的原子弹爆炸火球照片(Fig.2)，从中测量出时间和半径，利用以上公式计算预测了美国第一颗原子弹的爆炸当量是E = 7.19 x 10^13J=1.7万吨TNT当量。 据文献介绍，预测结果发布后很让美国政府难堪，虽然爆炸照片已经公开了，但这个爆炸当量是高度绝密参数。 提取照片的数据利用量纲分析公式预测原子弹的当量是Taylor的一大贡献，得到了超出科学界的巨大社会效果，所以Taylor 的结果也特别有名。 由于以上原因，建议绝密的材料照片不要发表，以免有高人可以借图推测。 【具体公式见pdf附件，Taylor的原子弹能量的具体数值计算可以参考谈庆明，量纲分析，中国科技大学出版社，2005】
摘自 The new science of cities, by Michael Batty l Metcalfe’s Law ：随着城市增长，其潜在的连接数量随着人口的平方变化； l Bettencourt-West Law/Marshall’s Law ：随着城市增长，其平均真实收入 / 财富随着人口超线性增长； l Zipf’s Law ：规模越大的城市数量越少； l Von Thunen’s Law ：当城市从一个中心聚集区开始生长时，其各个地区的密度随着该地区距离中心的距离或者出行成本非线性降低； l Alonso-Wilson Law ：当城市增长时，两个城市之间人们的交往次数随着其规模的乘积增长，随着二者之间的距离或出行成本而降低； l Bussiere’s Law ：当城市增长时，其中心区域的人口密度会降低，密度分布会变得平缓； l Brand’s Law ：城市越大就越具有可持续性，即越“绿色”。
指数分布 过去，当通信运营商需要估计移动通信中占线的电话数量并优化资源配置、交通部门想要模拟交通流量的模式或事故发生频率、以及网络和街区零售业意欲改进仓储和服务设置时，人们往往用齐次泊松过程来描述这些问题。即人类行为发生的时间间隔服从负指数分布，事件发生的数量服从泊松分布。所以指数分布是大家都熟悉的一种分布，在不同坐标下的图形如下所示： 幂律分布 幂律分布实际上很早就被发现了，但是直到 Barabasi 在 Nature 上发了那篇开山之作后这种默默无闻的分布律一下子就火了起来，在随后的两三年中，现实生活中大量的幂律分布集中涌现，仿佛不说幂律就没人重视，文章就发不出来。幂律分布在双对数坐标下表现为直线形式，暗示事件发生的概率极不均匀，小观测值的事件大量发生而大观测值的事件虽然数量众多但是发生的概率却都非常的小，表现在时间间隔的分布上即长时间的静默和短时间的爆发交织共存。下图即引自 Barabasi 的那篇文献，幂律分布与指数分布下事件发生模式的区别可见一斑。 指数截断的幂律分布 实际上很多现实的分布规律都难以用单一的分布函数来拟合或者预测，而是者混合的，一种常见的混合分布即带有指数截断的幂律分布。这种分布我们在博客发布和商业订单中均有发现。如下图所示，两个分布分别可由包含一个幂律和两个幂律部分 的函数式 表示。 漂移幂率分布 漂移幂率 (shifted power-law) 也是一种综合了幂律与指数特征的分布形式，其中参数 可以控制分布在幂律 ( ) 与指数 ( ) 之间自由转换。示例如下： References: 1. Chang Hui, Su Beibei, Zhou Yueping, et al. Assortativity and act degree distribution of some collaboration networks . Physica A, 2007, 383: 687-702. 2. Wang Yongli, Zhou Tao, Shi Jianjun, et al. Empirical analysis of dependence between stations in Chinese railway network . Physica A, 2009, 388:2949-2955. 3. Wang Peng, Zhou Tao, Han Xiao-Pu, Wang Bing-Hong. Modeling correlated human dynamics. arXiv:1007.4440v3. 除了混合形式的分布还有分段形式的分布被观测到，如： 单峰分布 如图所示，作者在考察物流运输的各个环节后发现，时间间隔分布表现为 一种特殊的单峰形态特征：左半部分具有较小波峰且含有极大值，右半部分具有明显的重尾特征并可用幂律函数近似拟合。 Wang Qing, Guo Jin-Li. Human dynamics scaling characteristics for aerial inbound logistics operation. Physica A, 2010, 389:2127-2133. 双峰分布 如上图，作者统计了手机用户互发短消息的时间间隔后发现该分布表现为以上形式，幂律分布后跟着一个指数分布，作者称之为为双峰分布，因为该指数分布位于幂律拟合直线的上方，而不是指数截断那样在拟合直线的下方。个人认为这种说法并不准确，因为指数部分并没有峰值，所以谈不上双峰除非把坐标系逆时针旋转让拟合直线成为横坐标才会出现两个峰值点。 Ye Wu, Changsong Zhoud, Jinghua Xiao, et al. Evidence for a bimodal distribution in human communication. PNAS, 1013140107.
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