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群论:说不完的伽罗华(Galois)
大毛忽洞 2020-6-25 02:55
2011年,欧洲数学学会(European Mathematical Society)出版了英文版的伽罗华数学作品(The mathematical writings of évariste Galois),作者是Peter M. Neumann。内容包括伽罗华的手稿,草稿纸,备忘录,等等,是系统展示伽罗华和群论的第1本英文版书籍。 这本书的作者说: Although there have been several French editions of his writings, there has never until now been a systematic English translation. Translations of historical material are of little use without the originals alongside, however. What is offered here therefore is a bilingual edition. 关于伽罗华(Galois),有中文文献称为伽罗瓦。更有趣的是:中文文献多说他活了21岁,西文文献都说他活了20岁。 需要强调的是,岁数多大不是一个数学问题,更多是一个文化问题。例如,你多大了,“虚岁”和“实岁”就不一样。 如果较真,你多大了,答案可以五花八门。例如, 用年回答,则不考虑零头月; 用月回答,则不考虑零头天; 用天回答,则不考虑零头小时。 由此可见,最好不要纠缠人家的岁数问题,没有数学含量。 关于伽罗华,有一点是确定的和唯一的: 伽罗华 (Galois):1811年10月25日出生,1832年5月31日逝世。 2012年,我录制视频公开课(魔方和数学建模)的时候,在第五讲,讲到了伽罗华(Galois)和群论。2012年我还没有看到欧洲数学学会的书,我也不懂法语,只能根据一些零碎的英文资料做出选择。今天对照欧洲数学学会的书,我讲的故事没有问题。伽罗华确实是群论的缔造者,换句话说,伽罗华最先告诉世人“大象是群论”,比伽罗华先触摸到“大象”的几位著名数学家,他们没有意识到“大象是群论”。 在《魔方和数学建模》的第五讲,为了把课程推向高潮然后谢幕,我串联了几个典故:徐迟的哥德巴赫猜想,卞和献玉,伽罗华和群论,盲人摸象,谢赫特曼和准晶体,谢赫特曼和Pauling,然后演示我的20个菱形头尾相接的3D动画,五讲《魔方和数学建模》谢幕。 当然了,那个 3D动画3D旋转的时候,课程达到了高潮,达到这个高度,需要精通群论,此时此刻,必须要提及伽罗华。 现在人们玩的五魔方( 12面体),整体对称性和谢赫特曼的正20面体完全一样。 2012年,我在我的《魔方和数学建模》视频公开课的第五讲里说: 1829年  不到 20 岁的伽罗瓦 把关于群论的手稿 也就是论文 交给了法国科学院 当时法国科学院 委托 著名的数学家柯西来鉴定 谁知 柯西 数学家柯西 把伽罗瓦的(有关)群论的手稿 当作普通石头丢弃了 第二年 伽罗瓦又重写了 关于群论的论文 又交给了法国科学院 这一次是著名数学家傅里叶经手的 不幸的是不久傅里叶就去世了 人们在清查傅里叶的遗物的时候 并没有发现伽罗瓦的关于群论的手稿 也就是说傅里叶也把伽罗瓦的手稿 当作普通的石头丢弃了 年轻的伽罗瓦于 1829-1832年间 提出了群论 但是直到他去世后的 14年 一个叫刘维尔的法国数学家 在他自己创办的《纯粹与应用数学杂志》上 刊出来之后才为世人所知 下面是英文版( The mathematical writings of évariste Galois)作者Peter M. Neumann的演讲(PPT):
个人分类: Megaminx-五魔方|6618 次阅读|0 个评论
伽罗瓦理论之美
热度 29 zhaohaotong 2017-4-14 17:37
伽罗瓦理论之美 【 写这篇文章不是给学习近世代数的人用的,而是给不熟悉数学的人看的。哪怕不能完全看懂,也希望人们能了解数学研究所达到的高度,希望能够领略数学之美。 】 伽罗瓦( varisteGalois ,1811~1832),一个21岁就去世了的年轻人,开创了现代代数学的先河。他创建的群论、域论,优美奥妙,已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论,随着理解的深入,我内心不断感受到震撼,心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上 最优雅的旋律一样,不由自主的希望与别人共享。遗憾的是,数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。伽罗瓦理论虽然优美,但是却足够深奥,除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外,尚不能被普通大众所理解。 可是我不甘心,我期望着尽自己的努力,用最简明通俗的语言,尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导,而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人,伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事,一边尝试着攀登这座高峰吧。 首先,我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify themaccording to their complexities rather than their appearance; this, I believe,is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in thiswork.” ( 跳出计算,群化运算,按照它们的复杂度而不是表象来分类;我相信,这是未来数学的任务;这也正是我的工作所揭示出来的道路。 ) 当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候,没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。甚至是在伽罗瓦第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年内,都没有人彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么,他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的?看看这些霸气的名字吧,高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松、……,这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗瓦的理论,从这个意义上讲,伽罗瓦恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。 让我们先来看一些对比: (1)1824年,挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文,用了50多页的篇幅和大量的计算,论证了对于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。当时阿贝尔的证明今天看来,充满着智慧和复杂的计算,但是仍不够严谨。当我们今天使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候,论证过程为“ 一般一元五次方程的伽罗瓦群同构于全置换群S 5 ,而S 5 不是可解群,因此一般一元五次方程不可根式求解。 ” (2)1801年,年轻的24岁“数学王子”高斯通过复杂的计算推导,证明了x p -1=0(p为素数)是可根式求解的,证明过程使用了大量计算技巧,充分展示了高斯的数学计算天赋。今天我们使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候,论证过程为“ 方程x p -1=0(p为素数)在有理数域Q上的伽罗瓦群同构于素数阶模p同余类乘群Z p ,而Z p 是循环群,必为可解群,因此方程x p -1=0可根式求解。 ”甚至我们可以类似的论证p不为素数时的方程x n -1=0在Q上的伽罗瓦群同构于模n同余类乘群Z ’ n ,为可换群(阿贝尔群),必为可解群,因此方程x n -1=0可根式求解。 伽罗瓦理论还可以轻松的解决正n边形的尺规作图问题,证明三等分角、倍立方、化圆为方(这个有赖于π是超越数的证明)的尺规作图不可能问题。今天,伽罗瓦的理论已经发展成叫做“近世代数”(又叫抽象代数)的一个专门数学分支,其应用拓展到了拓扑、微分几何、混沌等前沿数学研究领域以至于物理、化学等众多科学领域,成为了现代科学研究的重要基础工具。1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯(AndrewWiles)证明著名的“费马大定理”的时候,就主要应用了伽罗瓦理论。 当看到一大批通过繁杂计算很难得到证明的问题,能够被使用精巧的数学结构来简洁而精准证明的时候,你也许开始感受到伽罗瓦理论的优美——但这仅仅是一个开始。从这个“开始”,我们会逐渐感受到伽罗瓦所说的“Jump above calculations, group the operations.”的含义。那么伽罗瓦到底发明了什么数学结构和工具,使得原来复杂的问题变得清晰起来了呢? 一、更高层次的抽象——群、环、域 【伽罗瓦的故事】 有人说“数学也许只存在于数学家的头脑之中”,至少数学是发端于数学家头脑的。1823年,12岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦进入了他的第一所学校——路易·勒格兰皇家中学,一所声望很高但相当专制的学校,但是直到16岁,伽罗瓦才被准许读他的第一门数学课程。虽然12~16岁期间的伽罗瓦没有机会研究数学,但是这时期法国社会上和学校中发生的一些事件点燃了他的共和主义倾向,奠定了他日后参与政治的悲剧人生的基础。 原本成绩优秀的伽罗瓦一旦开始学数学,就像变了一个人,变得对其它课程都不重视,而只醉心于数学这一门课程。学校给他的评语是“ 该生只宜在数学的最高领域中工作,这个孩子完全陷入了对数学的狂热之中。 ”没有人知道16~18岁中学时期的伽罗瓦头脑中在想些什么,人们只能从表面上看到他所掌握的数学知识足以通过中学的考试要求,但是他对问题的解答往往让考官理解不了。更糟糕的是,他经常把大量的演算放在头脑中进行,使得平庸的考官们更为茫然和沮丧。 现有的材料表明,17岁的伽罗瓦已经开始研究一般的一元五次方程求解的问题了,他曾提交了2篇论文给法国科学院,当时的评审专家是著名数学家柯西。柯西显然被伽罗瓦的论文所震惊,他建议伽罗瓦重新以专题的形式提交这两篇论文,并参加数学大奖的评审。这期间正赶上伽罗瓦的父亲因政治原因而自杀,伽罗瓦在参加完父亲的葬礼后,把改好的专题论文提交给了法国科学院秘书、著名数学家傅立叶。可惜的是,傅立叶在评审前几个星期就去世了,在这个过程中伽罗瓦的论文也丢失了,从而失去了参加评奖的机会。天知道为什么这两篇很可能是那个时代最伟大的论文被丢失了?难道上帝都在嫉妒伽罗瓦么? 【伽罗瓦理论】 在我们已经全面了解并极大发展了伽罗瓦理论的今天,回想1828年伽罗瓦提交的那两篇论文,我们有理由猜测,伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗瓦看来,“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构,这是一种更加本质、更加抽象的数学结构,当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候,就形成了新的数学概念——群。 (1) 群 :给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”(这个“乘法”不是数字运算的乘法,而只是借用了这个名字,因此加上了引号),如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足: 1 封闭性:集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内; 2 结合律:这个“乘法”满足(a*b)*c=a*(b*c); 3 单位元:集合中存在某个元素e,对于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a,e被称为单位元; 4 逆元:对于集合中任意元素a,一定存在集合中的另外一个元素a -1 ,使得a*a -1 =a -1 *a=e,a与a -1 互为逆元。 此时,这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。 我本不愿意罗列概念,但是如果要想感受到伽罗瓦理论之美,就必须弄清楚“群”的概念。就像一个人想要欣赏美妙的音乐,你总要能区分音调高低、节奏快慢一样,如果高音“1”和低音“1”在你听来是一样的,那么很难想象你可以欣赏美妙的交响乐。 “群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证,整数集合在加法运算下成群(这里的加法就通常意义的数字加法,对应着群定义中的“乘法”),其单位元是数字0;但是整数集合在乘法运算下不成群,这是因为对于大部分整数,没有乘法的逆元。 其实群在日常生活中也会存在,常见的是魔方,它的全部操作构成一个集合,再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”,则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群,叫做RUBIC群。 (2) 环与域 :在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”,如果这个集合在这个“加法”下成群,而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”,则称这个集合与这两种运算构成一个“环”;如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群,则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然,“域”是一种特殊的“环”。 对不起了,伽罗瓦理论是够抽象的,对于完全没有接触过群论、域论的人来说,这几个概念就挺费琢磨。可是没有办法,伽罗瓦理论这座高峰就需要踩着这些概念的台阶来攀登,你想欣赏最美好的风光,就需要把这些“概念”踩在脚下,“无限风光在险峰”。 如果看懂了这三个概念,特别是看懂了“群”和“域”这两个概念,就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。比如:有理数在加法和乘法运算下构成一个域,0是加法单位元,1是乘法单位元,不包含0的有理数在乘法运算下成群;实数、复数在加法和乘法下都构成域;无理数在加法和乘法下不能构成域,这是因为无理数之和可能是有理数,不满足封闭性。 下面用群和域的概念做一个思维体操,证明有理数是最小的数域(由数字和加法、乘法构成的域): 数域必有加法单位元0和乘法单位元1; 由加法封闭性得到n个1相加必然还在域内,于是任意自然数n在域内; 再 由加法存在逆元得到-n也在域内, 这样 全部整数必然在域内; 再由乘法存在逆元得到,任意整数n(0除外)的倒数1/n必在域内; 再由乘法成群(去除0后)得到,任意m/n(m和n是整数)也在域内。 这样,就证明了有理数必须在数域之内,而且构成了一个域。因此,有理数是最小数域。 做完这个思维体操我们可以知道,不要小看群、环、域这样一些基本概念,这些概念定义的是一种数学结构,只从基本概念出发,就可以得到很多复杂的结果。譬如直到上世纪80年代,数学家们才真正彻底解决了全部有限单群分类的问题,这是经过了近30年时间、由超过100位数学家在500多种期刊上写下的超过10000页的论文而最终解决的,其基础则是200年前伽罗瓦提出的概念——群。 (3) 群和域的同构 群,不是随随便便就能构成的;域,或许更复杂一些。 伽罗瓦发现,有些表象不同的群之间,其实质是完全相同的。这样的群称为是“同构”的,也就是说,这样的群在结构和性质上都完全相同,只有表面符号上存在差别。同构的群在去掉表象之后,可以认为是同一个群。 比如,对某一向量进行旋转的操作构成一个集合A={逆时针转0度,逆时针120度,逆时针240度},定义这个集合中元素的“乘法”为先进行第一个操作、再进行第二个操作,于是A在此“乘法”下构成一个群;再定义另外一个集合B={1,e 2 πi/3 ,e 4 πi/3 },定义其上的“乘法”为普通的复数乘法,则B在乘法下也构成一个群。简单分析即可发现,A和B这两个群结构是完全相同的。 群同构的严格定义是:存在两个群A、B之间的一个双射(即一一对应的映射) ϕ :A →B,满足 ϕ (a*b)= ϕ (a) × ϕ (b) ,其中a、b∈A, ϕ (a) 、 ϕ (b) 和 ϕ (a*b) ∈B,*和×分别是群A和B的“乘法”。 类似的,域也有同构的情况。简单说两个域的同构定义为:两个域上的“加法”群同构,并且去除“加法”单位元之后的两个域上的“乘法”群也要同构。 好了,先不再讲述数学概念了,一些不熟悉数学的人可能已经糊涂了。哪怕只看完最基本的概念,我们也会震惊于伽罗瓦的天才头脑。一个16岁才开始接触数学、21岁就因决斗而死去的年轻人,是如何在那短短5年的时间里面,想通如此复杂的数学构造、得到如此美妙的数学结论的呢? 二、巧妙的概念——扩域、根式可解、根式塔 【伽罗瓦的故事】 由于伽罗瓦的父亲死于政治 事件,再加上伽罗瓦自身的共和主义政治倾向,导致他偏执的认定他的论文丢失事件是由于政治原因而被法国科学院故意制造的。特别是一年以后,伽罗瓦的另外一篇论文被科学院拒稿后,他更认定了这一点。 但是,今天再来分析这件事,可以比较确定的讲,伽罗瓦的这种判断完全是他的一厢情愿。事实上论文丢失很可能就是一个偶然事件(特别是由于傅立叶的去世),而第二次拒稿则是由于伽罗瓦的思维过于跳跃,论文中的论证过于简单,没有详细展开,导致论文评审者无法判定论文是否严密正确。事实上,以伽罗瓦的天才,在他眼里看来很简单、显然成立的论证过程,可能在别人眼里看来是需要复杂证明的。 于是,伽罗瓦开始放松了他的研究工作而主要来从事共和主义事业的斗争。这时的伽罗瓦就读于高等师范学校,他作为闹事者的名气已经超越了作为数学研究者的名声,大家已经不再把他当作是数学研究者了,而更多的把他看成是闹事学生。特别是在1830年的七月革命期间,他公开发表严厉攻击校长的言论,终于被校长基尼约特给开除。从此,伽罗瓦的正式数学生涯到此结束。 被开除后的伽罗瓦参加了国民警卫队的炮兵部队,试图成为一名职业反叛者。可是仅仅1个月后,新国王路易·菲利普取消了炮兵部队,伽罗瓦彻底失业了。索菲·热尔曼,一位当时的年长女数学家曾经在信件中记述伽罗瓦“ 他身无分文,他的母亲也几乎没有钱财,但他却不改变得罪人的习性 ”。 在1831年上半年的一次共和主义者聚会活动上,伽罗瓦表达了杀死国王的意图,于是被控“威胁国王生命罪”而受审。陪审团最终考虑到他年仅20岁,尚未完全成熟,判决无罪释放。一个月后,1831年7月14日的巴士底日,伽罗瓦身着已经被解散并查禁的炮兵警卫队制服在巴黎游行,从而被判处监禁。之后在监狱的几个月中,他学会了喝酒,在一次喝醉后还试图自杀。 1832 年3月,由于霍乱的爆发,伽罗瓦被提前释放。之后的几个星期里,伽罗瓦和一位巴黎医生的女儿斯特凡妮发生了风流韵事。偏偏这个女人已经和一名叫做Pescheux d’Herbinville的绅士订婚了。这名绅士知道了自己未婚妻和伽罗瓦的事情后,十分愤怒,毫不犹豫向伽罗瓦提出挑战。这名绅士是当时法国一名最好的枪手,伽罗瓦深知决斗会给自己带来什么,但是他仍然接受了挑战。 挑战的前夜,伽罗瓦知道第二天将是自己生命的终结了,他唯一担心的是他被法国科学院拒绝的数学研究成果会永远消失,毕竟当时还没有人能够理解他的理论。他在这一个晚上力图写下他全部的数学思想,书写的字里行间不时的出现“斯特凡妮”或者“一个女人”等字样,还多次出现“我没有时间了”的感叹。在第二天凌晨,伽罗瓦写完了他的数学思想,并给他的朋友写了一封信。 伽罗瓦决斗前一晚所写的他的数学思想 信中,伽罗瓦自信的写到“ 在我的一生中,我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我写在这里的一切已经清清楚楚地在我脑海里形成1年多了,我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或者高斯对这些定理的重要性(而不是定理的正确与否)发表他们的看法。然后,我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的事。 ”。 第二天,1832年5月30日,伽罗瓦只身一人参与决斗,最终腹部中弹,无望地倒在地上,胜利者悄然离去。伽罗瓦的兄弟阿尔弗雷德在几个小时之后到达现场,把他送到医院,但是为时已晚,腹膜炎已经形成,5月31日,伽罗瓦离开了人世。 【伽罗瓦理论】 我无法想象1830年到1832年这段时间,伽罗瓦在食不果腹、不断入狱的条件下,在把主要精力都投入到政治斗争的情况下,是如何继续深入思考他的数学研究课题的。在我看来,即使衣食无忧的情况下想把伽罗瓦的理论全部学懂,都是不容易的,何况是创造出来。 由于伽罗瓦的研究成果是以上面提到的方式展现在世人面前的,因此没有人能够准确知道他到底是如何想到这些概念和证明的,先后顺序是怎么样的,思维总体上是怎样贯穿的?以下只是我个人的猜测。 (1)伽罗瓦可能首先从“域”的角度出发,思考了域的扩张。 我们知道,有理数域Q是最小的数域,实数R、复数C也都构成一个数域,那么是否存在数域,范围大于有理数Q但是小于实数R、或者大于R小于C呢?甚至是否存在数域,其范围大于Q小于C,同时又不完全包含或者包含于R呢?这要从最小数域的扩张开始,域的扩张称为扩域。 扩域 :把某个域F中添加进一个或几个不属于这个域的元素,在不改变原来域的“加法”和“乘法”的条件下,按照域的定义形成的新域E被称为原来域的扩域,记为E/F。 比如,我们在有理数域Q上添加一个无理数√2,形成一个新的数域Q(√2),则Q(√2)/Q就是Q上的一个扩域。由域的定义知道,这个形成的新域不只是包含√2,还包含着任何通过有理数与√2进行加法和乘法得到的数。其实,除了加法和乘法,域里面还有着逆元,加法的逆元运算对应着减法,乘法的逆元运算对应着除法。也就是说,表面上域定义了加法和乘法,实质上确定了加减乘除四则运算。域是更高层次上抽象出来的结构,但是落实到我们日常的数字和运算上,与小学就开始学习的四则运算没有什么不同。 可以证明,任何可以表示为a+b√2(a,b∈Q)的数都属于Q(√2)这个域,而这个域里面的任何数也都可以表示成为a+b√2(a,b∈Q)的形式。显然,这个Q(√2)就是一个范围大于Q但是小于R的数域。有了扩域这个工具,我们可以构造出无穷多个数域。 (2)之后伽罗瓦考虑的应该是如何定义方程的根式可解 因为在伽罗瓦从事数学研究的那5年,人们已经在开始猜测一般的一元五次方程不可根式求解。可是,到底什么是根式求解?字面意思很容易理解,就是一个一元高次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来,就是可以根式求解的;如果不能以这种方式表达,那就是不可以根式求解的。可这样的定义虽然从语言和表达的角度来说没有歧义,但是从数学的角度来说,还不够清晰。 伽罗瓦通过自己的深入思考,给出了根式可解的更优美的定义。在了解这个优美定义之前,需要思考以下一些毫无疑问是正确的结论: 一个数域里面的任何数,都可以通过这个数域中的其它数的加减乘除运算组合表达出来; 除了个别特殊情况外,一般来讲,数域中某个数的开方运算的结果是不属于这个数域的(类似于√2 ∉ Q ); 把数域中某个数开方运算的结果扩张进来成为一个扩域后,扩域中的数都可以使用原来数域中的数和这个开方运算的结果的加减乘除运算组合来表达,或者说这种扩域中的数一定可以使用原来数域之内的数的加减乘除和开方运算进行根式表达; 明白了上面这3条结论,就可以知道,能否根式表达与上面说的这种把数域中某个数的开方运算的结果扩张进来形成的扩域有着密切关系。我们把这种扩域定义为纯扩域。 纯扩域 :B/F为扩域,B=F(d),d∈B,d m ∈F,此时把B称为F的m型纯扩域。 显然,所谓 m 型纯扩域就是在域 F 中找一个数开 m 次方,然后把开方结果扩进来形成的扩域。可别小看这个纯扩域,根据前面的分析,纯扩域 B 中的任何数都可以通过域 F 中的数的加减乘除和开m次方运算得到。如果继续这样扩域下去,把F扩为F 1 ,把F 1 扩为F 2 ,…,无论多少次这种扩域,只要是有限次,最终的扩域F n 中的数都可以由域F中的数经过加减乘除和开方运算得到。由此,引出一个新概念,根式塔。 根式塔 :不断扩域形成的域列,F=F 1 ⊆F 2 ⊆F 3 ⊆ … ⊆F r+1 ,如果每个扩域 F i+1 /F i ( i=1,2, …,r )都是一个纯扩域,则称此域列为一个根式塔。 于是,数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数,一定包括在某个根式塔的 F r+1 之中。由此,伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。 根式可解 :设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内,此方程的全部根都包含在域E之内,且E是包含f(x)全部根的最小域(此时称E为F上多项式f(x)的 根域 ),如果存在根式塔 F=F 1 ⊆F 2 ⊆F 3 ⊆ … ⊆F r+1 ,且E ⊆ F r+1 ,称域 F 上的方程 f(x) 根式可解。 看到伽罗瓦给出的根式可解定义,我有一种感觉,也许伽罗瓦的脑子天生就是结构化的,他可以直接在一个大的范畴上进行思考和逻辑推导。本来通过语言描述的根式可解是一种模模糊糊的东西,但是经过伽罗瓦重新定义的根式可解变得清晰明确,有数学实体可以抓了。 三、“神来之笔”——域的自同构、伽罗瓦群与伽罗瓦对应 【伽罗瓦的故事】 伽罗瓦的葬礼因政治原因而变得混乱,政府认为伽罗瓦的葬礼将会造成一次政治集会,为了维护稳定,政府在葬礼之前的晚上逮捕了30名伽罗瓦的同志。尽管如此,还是有两千多个共和主义者参加了葬礼,从而与政府人员之间爆发了一场混战。这之后,不断有人怀疑伽罗瓦与斯特凡妮的风流韵事是一个阴谋,用来害死伽罗瓦的阴谋。直到今天,伽罗瓦到底是死于愚蠢的爱情还是政治阴谋仍然没有定论。但无论是哪种原因,这位研究数学才5年但是却被认为是最伟大的数学家之一的天才,在21岁的时候就离开了人世。这对数学界来说是一个重大的损失,只不过当时的人们还完全认识不到。 伽罗瓦虽然在决斗的前夜把他的数学思想写了出来,但是这种潦草的内容、跳跃的思维并不是立刻就被数学界所理解的。虽然伽罗瓦的兄弟和朋友把他写下的数学思想重新整理了一遍,并分送给了高斯、雅可比等人,但是伽罗瓦的伟大研究成果仍然没有得到理解和承认。直到14年后,法国数学家约瑟夫·刘维尔(JosephLiouville)重新整理并发表了伽罗瓦的著作,才使得伽罗瓦理论逐渐被世人所理解。 刘维尔本人也是一位著名的数学家,一生从事数学、力学和天文学的研究,涉足广泛,成果丰富,尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题和数论中的超越数问题有深入研究。他是第一个证实超越数存在的人。 即使是这样一位著名数学家,仍然从1843年到1846年用了3年的时间来彻底研究伽罗瓦的理论,终于在1846年比较全面的理解了伽罗瓦的成就并发表出来。刘维尔虽然在数学领域有不小的贡献,但很可能他整理、理解并发表伽罗瓦理论是他在数学领域最大的贡献。代数学能够取得今天的成就,刘维尔功劳不小。 刘维尔在反思为什么伽罗瓦的理论在很长一段时间内不能得到理解的原因时,写下了这样一段话: 过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时,应该首先尽力避免这样做。事实上,当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时,清晰性是绝对必需的,就像笛卡尔说过的那样:“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”伽罗瓦太不把这条箴言放在心上,…… 伽罗瓦再也回不来了!我们不要再过分地作无用的批评,让我们把缺憾抛开,找一找有价值的东西,…… 我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后,我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的,在那个瞬间,我体验到一种强烈的愉悦 。 真心希望大家了解了伽罗瓦理论之后,能够像刘维尔一样有一种“强烈的愉悦感”。伽罗瓦的故事讲完了,伽罗瓦那天才的思想还需要继续。 【伽罗瓦理论】 从前面的介绍我们知道,根式可解需要找到一个根式塔,根式塔是一个域列。只知道这些,我们还是解决不了方程是否能够根式求解的问题,因为我们仍然不知道怎样判断是否存在这种根式塔? 伽罗瓦在思考这个问题的时候,发现或者说找到了一种对应关系——伽罗瓦对应。应该讲,这种对应关系是人类思维领域的“神来之笔”。我无法想象伽罗瓦到底是通过怎样的思考发现了这种对应关系,对我自己来说,能够较快理解伽罗瓦对应就已经谢天谢地了。 伽罗瓦对应的发现应该是从域的自同构映射开始的。 域的自同构映射 :前面我们介绍了域的同构,知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的,我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上,这种自同构映射未必只有一个,我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut(E)。 现在开始,我们的思维要在理解群、域的基础上再上一个台阶,开始思考域的自同构映射组成的集合了。记住,Aut(E)中的元素是E → E 集合间的映射。 下面再做一个稍复杂点的思维体操,定义Aut(E)上两个元素σ 1 和σ 2 之间的“乘法”为σ 1 *σ 2 (a)=σ 1 (σ 2 (a)),证明Aut(E)在这个“乘法”下构成群。 1 构成群首先要满足封闭性,也就是对于σ 1 ∈Aut(E)和σ 2 ∈Aut(E),要证明σ 1 *σ 2 ∈Aut(E)。证明如下: 请记住,Aut(E)中的σ都是自同构映射,必然满足σ(a+b)=σ(a)+σ(b),σ(a*b)=σ(a)*σ(b)。由此,我们可以得到 σ 1 *σ 2 (a+b)=σ 1 (σ 2 (a+b))=σ 1 (σ 2 (a)+σ 2 (b))=σ 1 (σ 2 (a))+σ 1 (σ 2 (b))=σ 1 *σ 2 (a)+σ 1 *σ 2 (b) σ 1 *σ 2 (a*b)=σ 1 (σ 2 (a*b))=σ 1 (σ 2 (a)*σ 2 (b))=σ 1 (σ 2 (a))*σ 1 (σ 2 (b))=σ 1 *σ 2 (a)*σ 1 *σ 2 (b) 也即σ 1 *σ 2 也满足自同构映射的条件,于是σ 1 *σ 2 ∈Aut(E)。封闭性得到了满足。 2 结合律: (σ 1 *σ 2 )*σ 3 (a)=(σ 1 *σ 2 )(σ 3 (a))=(σ 1 (σ 2 (σ 3 (a)))=σ 1 *(σ 2 *σ 3 )(a) 也就是(σ 1 *σ 2 )*σ 3 =σ 1 *(σ 2 *σ 3 ),满足结合律。 3 单位元:显然对于E → E 上的恒等映射σ e ,满足σ e (a)=a, ∀a ∈ E ,容易验证 σ e 即为 Aut ( E )的单位元。 4 逆元: ∀ σ∈ Aut ( E ), a ∈ E 且 a ≠ 0 ,有 σ( 0 ) = σ( a-a ) = σ( a ) - σ( a ) =0 ; σ( a ) = σ( 1*a ) = σ( 1 ) * σ( a ) ⇒ σ( 1 ) =1 ; σ( 1 ) = σ( a*a -1 ) = σ( a ) * σ( a -1 ) =1⇒ σ( a )≠ 0 ;即 a ≠ 0 时σ( a )≠ 0 。 于是得到, a ≠ b 时,σ( a-b ) = σ( a ) - σ( b )≠ 0⇒ σ( a )≠σ( b )。这说明σ是单射,单射必有逆映射,令其逆映射为σ -1 ,则必有σ * σ -1 ( a ) = σ(σ -1 ( a )) =a⇒ σ * σ -1 = σ e ,确定逆元必然存在。 综上, Aut ( E )在上述“乘法”定义下构成群。 对群、域不熟悉的人来说,也许这个思维体操稍微有些“绕”,但是对于熟悉的人来说,这个关系是一眼就可以看出来的。我想,如果一个不熟悉的人把上述并不复杂的推导看明白后,也会感觉到愉悦的。 当然,我相信对于伽罗瓦来说,上述结论是瞬间就想到了的。不仅如此,伽罗瓦还进一步找到了群Aut(E)的一类子群——我们今天称之为伽罗瓦群。 伽罗瓦群 :E/F是扩域,且E是系数在F内的某个多项式方程的根域(根域参见前面的说明,以后会将这种根域叫做F的 正规扩域 ),E上全部自同构映射的集合Aut(E)中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut(E)的一个子群,称为E在F上的伽罗瓦群,记为G(E/F)。 概念越来越复杂了,解释一下,就是Aut(E)中的自同构映射,有一部分是在F上的恒等映射,也就是说F中的元素在这些映射的作用下是不变的,这类映射的全体组成的集合也构成一个群,是Aut(E)的子群,叫做E在F上的伽罗瓦群。 有人会问,为什么要搞出个伽罗瓦群的概念呢? 下面就是见证奇迹的时刻了 : 设f(x)∈F (意思是f(x)的系数都在F内),则对于任意σ∈G(E/F),必然有σ(f(x))=f(x),这是因为σ作用在F上是恒等映射;同时,设方程f(x)=0有n个根,分别是a 1 、a 2 、…、a n ,那么f(x)=(x-a 1 )(x-a 2 )…(x-a n ),于是σ(f(x))=(x-σ(a 1 ))(x-σ(a 2 ))…(x-σ(a n ))=f(x)= (x-a 1 )(x-a 2 )…(x-a n )。这说明σ(a 1 )、σ(a 2 )、…、σ(a n )只是a 1 、a 2 、…、a n 的一组置换(意思是,还是这n个数,只是位置发生了变化,如σ(a 1 )= a 2 、σ(a 2 )= a 1 之类的变换)! 看到了么,伽罗瓦群中的每个映射都对应着方程根的一组置换!要知道,从500年前的费尔洛解出了一般一元三次方程,到400年前的塔尔塔利亚、卡丹、费拉里解出一元四次方程,一直到200年前的拉格朗日创造出了方程的预解式,高斯得到了高斯定理,都是在大量的计算推导中,模模糊糊的察觉到方程的解与根的置换似乎有关系。 直到伽罗瓦横空出世,清晰的告诉世人,一元高次方程是否可以根式求解的奥秘,就藏在这些根的置换当中。 当然,只知道宝藏的位置还不够,还需要有打开宝藏的钥匙。天才的伽罗瓦找到了这把钥匙,我把它称为“神来之笔”——伽罗瓦对应。 记得讨论根式可解的时候,我们说需要找到一个根式塔,根式塔是一个域列。假设存在一个域列 F=F 1 ⊆F 2 ⊆F 3 ⊆ … ⊆F r+1 =E (注意,这个域列不要求一定是根式塔),且 E/F 是正规扩域(参见上面描述),则可以证明任意 E/F i , i=1, … ,r ,也是正规扩域。于是存在一组伽罗瓦群 G ( E/F i ),这组伽罗瓦群都是 G ( E/F )的子群,而且可以证明每个 G ( E/F )的子群一定对应着一个 E 的子域,这种对应是一一对应,这个神奇的对应被称做伽罗瓦对应。 通过伽罗瓦对应,我们把对复杂的域列问题的研究转换到了对伽罗瓦群的子群列的研究上,这就是打开方程根式可解的金钥匙。 伽罗瓦那不到20岁的头脑中,可能就已经想通了这些问题。当我想到这一点的时候,心中对伽罗瓦的钦佩感无以复加。就像有人评论,欧拉作为数学史上最伟大的数学家之一,他对数学贡献的丰富程度可能远超伽罗瓦,但是如果考虑到欧拉专心研究数学60年,而伽罗瓦仅仅是残缺不全的5年,那么从天赋上讲,大数学家欧拉完败于伽罗瓦。 四、美妙结论——正规子群、可解群、正规扩域 继续深入写下去所涉及到的数学知识、逻辑复杂度都大大的提升了。考虑到这篇文章的目的是寄希望于数学爱好者之外的人也能尽量理解,就不再深入描述后面的理论了。我承诺大家,从现在开始,不再使用任何数学符号了。 前面说了,E是每个F i 的正规扩域,但是相邻F i 之间却不一定是正规扩域。要知道,纯扩域必然是正规扩域,域列想成为根式塔,或者说相邻域都是纯扩域,就必然要求相邻F i 之间都是正规扩域。伽罗瓦证明了,相邻F i 之间都是正规扩域等价于对应的相邻伽罗瓦群是正规子群。 正规子群意味着商集合成群,或者说相邻伽罗瓦群的商群存在,如果这个商群是可换群(群内的“乘法”满足交换律),那么这样的伽罗瓦群被称为 可解群 。 通过进一步复杂的证明可以得到,域F上的方程f(x)的根域为E,如果伽罗瓦群G(E/F)是可解群,那么f(x)可根式求解;如果f(x)可根式求解,则伽罗瓦群G(E/F)必为可解群。即 方程的根式可解等价于方程的伽罗瓦群为可解群 ! 从此,困扰了人们数百年之久的多项式方程根式可解问题被伽罗瓦漂亮而彻底的解决了, 以他名字命名的伽罗瓦理论从此诞生 。在解决这个问题的过程中,群论、域论交相辉映, 迂回曲折,难怪当时的那些审评大师们如堕五里雾中。“ 就伽罗瓦的概念和思想的独创性和深刻性而言,任何人都是不能与之相比的。 ” 法国数学家毕卡(C..Picard,1856-1941)在1879年评述19世纪数学成就时如是说。 再回想本文开篇引用的伽罗瓦自己所写的话“ Jump above calculations,group the operations, classify them according to their complexities rather thantheir appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians;this is the road I'm embarking in this work.” ,相信每个了解了伽罗瓦理论的人都会有更深刻的认识。 总结一下伽罗瓦的思想,一是在更高的层次上看待数和计算,形成了群、域的概念;二是通过域和扩域的方法给出了方程根式可解的更准确的数学定义;三是发现了域的某类自同构映射对应着方程根的置换,找到了方程根式可解的奥秘;四是找到了伽罗瓦对应这把打开奥秘大门的钥匙,把域列和群列优美的对应了起来;五是基于深刻的逻辑推导形成了可解群的概念,并证明了根式可解与伽罗瓦群是可解群的等价关系。 伽罗瓦理论是一个非常“好”的数学成果,它不是仅仅解决了多项式方程根式求解的问题,它还是一个非常有价值的数学工具,伽罗瓦理论的思想开创了代数学从研究“计算”到研究“结构”的先河,打开了现代代数学研究的大门。遗憾的是,200年后的今天,在网上查找抽象代数的相关知识时,中文的内容还是非常少。很多国人对数学的观念还停留在速算、数独、找规律甚至是脑筋急转弯的层面。这种状况可能还比不上200年前的法国。 真心希望国人能够对数学之美有着更准确的认识和欣赏能力,起码能理解200年前数学研究前沿达到的高度吧。
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二郎神·群论
热度 5 kongmoon 2015-2-10 09:46
算经阅,叹群论,传奇昭烈。 自闭锁、逆元犹纂刻,结合律、幺元临帖。 晶体编程纠量子,是对称、拜求它写。 不禁问、天才姓甚,创举通悉一切? 狂野,伽罗瓦氏,僭君欺蔑。 蹇宿命、南冠封几度,应决斗、红颜情孽。 欲把明珠贻后世,卷成在、诀别永夜。 恨天妒英才,角不三分,方程无解……    群论是一个数学分支。所谓的群,就是给定一个运算,满足:①封闭性;②结合律;③存在幺元;④存在逆元;的一个集合。例如全体整数在加法运算中就构成了一个群,因为任意两个整数加起来还是整数,满足①封闭性;三个整数相加满足②结合律,例如2+(3+4)=(2+3)+4;存在0这个数,什么整数加0都不变,我们把在运算中保持得数不变的东西叫“幺元”,就像书法临帖,写出来的都一样;每个整数都存在它的相反数,例如5的相反数是-5,两个相反数相加等于幺元,即0,所以对于每个整数都存在他的“逆元”,即相反数,有点像纂刻的字是刻反的一样。由于整数对加法来说满足这是个条件,所以我们可以这样说:全体整数对加法形成一个群。   显然对于乘法来说,全体整数并不能构成一个群。乘法中,很明显幺元是1,因为什么乘以1都不变。而整数的逆元应该是它的倒数,例如5*1/5=1,倒数是一个分数已经不是整数了,所以乘法不满足那4个条件,所以对于乘法运算,全体整数就不构成一个群。简单吧!其实不然,群论是一门高度抽象的数学,专门研究它的学科叫做《抽象代数》或《近世代数》。现代物理学的量子力学、标准模型、相对论等都需要用到群论,化学研究也要用到群论,晶体研究、编程算法……大凡解决与对称性有关的问题,都要用到群论作为工具,那么是谁发明了这个群论呢?   1832年5月30日清晨,在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人,过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤,就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点,这个可怜的年轻人离开了人世,数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说,他的死使数学的发展被推迟了几十年,他就是伽罗瓦。   伽罗瓦是狂热的共和主义者,但似乎一生都没交过好运:因为反君主复辟活动入狱几次,很多数学思想都是他在狱中完成的。他当时主要是研究5次以上的方程为什么还找不到求根公式,因为一元一次、二次、三次、四次方称都有其求根公式,而五次方程的求根公式却困扰了人类几百年,伽罗瓦在总结前人的基础上,着眼于方程的本质结构,创新性地提出了“群”的概念和方法,不仅证明了五次以上的方程没有公式解,还一举证明了困扰人类上千年的尺规作图三大难题中的“三分角”和“倍立方”是不可能的。他两次向巴黎科学院投稿,但论文却是两度莫名其妙丢失,大数学家刘维尔和傅里叶对他的论文不屑一顾……   英雄难过美人关,由于心爱的女人(一说是妓女),他答应了情敌的决斗,决斗前夜,他连夜将关于群论的手稿进行整理,托付给挚友……中枪后,他并没有立刻死去,在神志仍然清醒的时候,拒绝了一个神父的祈祷。他弟弟流着泪赶到了,他却努力去安慰他的弟弟:“不要哭,我需要我的全部勇气在20岁时死去。” 1832年5月31日,他被埋葬在南公墓的普通壕沟里,他不朽的纪念碑是他60页的著作。
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张益唐,陈景润对伽罗华,谈创新艰难
热度 29 dulizhi95 2015-2-9 12:30
张益唐,陈景润对伽罗华,谈创新艰难 陈景润张益唐可以说都算是幸运儿,他们的科研成果也可以说是:攻其一点,不及其余。多少年的艰辛努力,就攻一点,最后攻克了,他们的成果也很快得到了认可。 比这两位无疑要卓越得多的伽罗华就没有那么幸运了。伽罗华开创了一个全新的数学分支,为人类数学史上的一代宗师,然他就是得不到与他同时代的那些当道的比他平庸得多的专家们的认可。 为何如此,各位? 其实道理也很简单。 张益唐陈景润所搞的并非真正的全新的创新! 陈景润运用筛法证明了 1+2 。而在这之前,筛法已经广泛地被理解被认可被应用,他只是突破了一个关键点,因而他的证明很容易被人理解和接受。 张益唐亦是如此。张证明无穷多对的孪生素数,也是在别人的基础上突破了一点,也就是说,在此之前,相关的思路的绝大部分已经被别人完成了,被学界理解认可了。请看: “ 2012 年 7 月 3 日 ,在一个阳 光明媚的下午,张益唐在科罗拉多州好友齐雅格家后院抽烟, 20 多分钟里他犹如神明启示般地想出了主要思路,找到了别人没有想到的特别突破口。 ” 戈德斯通的研究小组证明了,即使在很大 的数中,仍然存在紧邻的素数。要直接把戈 德斯通的方法应用于孪生素数问题却有很本 质的困难。这个困难被张益唐巧妙地克服了。 也就是说张益唐是在戈德斯通研究小组的基础上完成的成果,也就是说,其开创性有限。 伽罗华就不同了,他创造了全新的方法:群论。从而那帮当道的就是理解不了和不愿意接受。 各位,本文的对比,对各位年轻的在科研上有较大抱负希望搞出真正成果的科研人,无疑大有参考价值。 那就是,不要创造全新的方法,或试图搞出全新的成果,而是在已有的基础上突破一点! 当今全国上下号召创新、鼓动创新,甚至向谁谁学习创新!创新是鼓动得了学习得了的吗? 张尧学的国家自然科学一等奖,他那个客户服务器系统设想,号称“超越了冯诺依曼模型”、“解决了信息网络的安全问题”是创新吗? 遍布当今中华大地科研领域的虚蒙造假是创新吗?当然是创新,是最容易的创新,是成本最低的创新,是收益/付出比值最大的创新! 创新是非凡的天分加可遇不可求的机遇的结晶,那可是号召不来的,学习不来的!
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拜读伽罗华遗书杂感
热度 1 lwg 2014-6-25 09:36
拜读伽罗华遗书杂感 今天,在科学网 拜读伽罗华遗书。掩卷长思,难以平复——唯有: 痛惜!还是痛惜。   泊松拒绝伽罗华论文的 理由 ——“不可理解”——让后人真的不可理解! 数学定理,是高度明晰、明确无误一步一步推定的东西,泊松“不理解”(并不是泊松认定“不正确”),为什么不请能理解的人看一看?为什么不直接和伽罗华讨论讨论? 伽罗华死去十多年后,刘维尔怎么就可以理解呢?可见,即使伽罗华在世时,也应该是可以找到理解伽罗华群论的人的!为什么不找? 仅仅以“莫须有”的理由,就拒绝了伽罗华在数学领域具有重大创新意义的群论论文?这是泊松,我所敬重的科学家,永远难以洗刷的耻辱!
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伽罗华 理论的正确理解和修正 解任意n次不可约代数方程
可变系时空多线矢主人 2013-9-26 22:39
伽罗华 理论的正确理解和修正 解任意 n 次不可约代数方程 中国科学院力学研究所吴中祥 提 要 任意 1 次到 4 次代数方程的公式解,根式解,早已被逐次求得。但大 于 4 次的,虽经历代数学家近 500 年的努力,却至今尚未得到 。特别是, 1830 年,伽罗华 (Galois, E.) 给出代数方程能够根式求解的判据 之后,学术界就似乎已公认 n4 的不可约代数方程没有根式解。 本人 2011 年的博文 已具体分析得到:伽罗华理论所证明的,实际上,只是“在求解 n 次不可约代数方程的整个过程中,所添加根式的指数, n* ,应是小于 4 ” ,并非所解方程的次数, n ,应是小于 4 ,并非方程的次数 n 大于 4 就不能有根式解。 并且,具体给出了任意 5 次、 6 次代数方程的根式解法。还推广到 m 逐次增大的,任意 n=2m 和 2m +1 次代数方程的根式解的相应解法。其中,添加的根式都小于 4 ,因而,都具体表明:对伽罗华 理论的如上的理解才是正确的,与实际相符,而不矛盾的。 本人 2013 年 8 月 8 日 的博文 进而,给出任意 n 次不可约代数方程的多种公式解和 根式解。所添加的根式,也都小于 4 ,也都更为有力的表明:纠正“通常错误理解伽罗华理论“的正确和必要。 本文将具体分析说明,并修正, 伽罗华 理论。更为全面、确切地解决 任意 n 次不可约代数方程求解的问题。 关键词:不可约代数方程 根式解 公式解 伽罗华理论 1. 伽罗华 理论的产生及其正确理解 早在公元前 3 世纪,就已得出 2 次不可约代数方程的根式解。但是,只到公元 16 世纪,才先后得到 3 次和 4 次不可约代数方程的根式解。它们的解法都引进了含有方程参量系数的 2 次、 3 次的根式。 而此后的近 4 个多世纪,虽有许多人寻求 n4 的不可约代数方程的根式解。却都没能成功。 进而伽罗华可能正是从解方程的过程中引进根式各方程的群的特点研讨,给出代数方程能够求得根式解的判据之后,阿贝尔 (Abel, N.N. 1830) 据此,首先提出 n4 的不可约代数方程不能根式求解,学术界就似乎已公认 n4 的不可约代数方程没有根式解 。 而对于 n4 的不可约代数方程,就只能在具体分析其各“解”所在数域的基础上,数值地逼近,或引入某些特殊函数求解。这当然就给许多实际问题和理论工作造成不便。 其实,具体分析伽罗华理论 ,确可证明:方程根式解的可解性是 相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性,而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数,而当这种变换群的阶数 4 时,其 对称置换群,及其子群,就都是非交换群的单群,就都是不可解的。 因此,伽罗华 理论所能证明的,只是:“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数 n*4 时,一般不可约代数方程没有根式解”。 显然,其整个求解过程中添加根式的最大指数, n* ,并非所解方程的次数 n ,按伽罗华理论,完全得不出其整个求解过程中添加根式的最大指数, n* 等于所解方程的次数 n ,或两者有任何关系的根据。阿贝尔也未能给出 n4 的不可约代数方程就没有根式解的任何根据。因而,按伽罗华 理论,迄今似已公认的“ n4 的不可约代数方程没有根式解”的结论,只有当 n* 等于 n 时,才能得出。 但是, n* 并不必须等于 n ,若能使 n* 始终保持小于 4 ,例如 文采用的各种解法,就都能与正确理解的伽罗华理论并不矛盾地,求得任意 n 次不可约代数方程的根式解。 2. 代数方程变换变量、引入根式所形成的群 对于任何代数方程都可采用变换变量使其在复平面上移动、转动,使其各系数作各种有理运算和引进根式,而有不同的形式,这些不同形式的方程,形成相应的群。例如: 对于 2 次方程: x^2+a1x+a0=0, (2.1) 引进含有方程参量系数 2 次的根式 ,一般而言,实际上,就是将方程变化到使其根在复平面移动、转动,即:能 解得根式解 : x=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2), =-a1/2-((a1/2)^2-a0) ^(1/2), (2.2) 一般说, (a1/2)^2-a0 ,可能是负值,而 ((a1/2)^2-a0)^(1/2) 就可能是虚数。 实际上,一般而言,任意复数, s ,则 -s 的 j 次根式, (-1)^(1/j) s^(1/j), 就产生了以 (-1)^(1/j) 标志的各自与实数不同的数类。 当 j=2 , (-1)^(1/,2) 就被定义为 i ,就标志该数是所谓“虚数”。 但是,当 j = 其它数,如果把它们也都当作是不同类的数,则当 j 非素数,该类是相应素数的相应次数的自乘积。都可形成不同的彼此正交的数轴。这种数轴可形成多维的复空间。而有许多复杂、麻烦。不能得解。 然而,实际上,它们都是与实数、虚数有各种不同的关系,例如: (-1)^(1/2)=i, (-1)^(1/3)=i’, i^(1/3)=I’^(1/2), i^(2/3)=i’, … 等等。 因而,由此已可仅由实数和虚数的各种运算表达。而不宜采用其它任何新的数类。 这就表明:如果在方程的变换中,出现 j 大于 2 的其它数,的 (-1)^(1/j) ,就不能由这种变换而得解。为了求解就必须避免出现这种情况,否则,就不可能有相应的根式解。 对于 3 次方程: y^3+b1y+b0=0, ( 2.3 ) 就因可利用 x^2+x+1=0, 的 2 个根 , w1=(-1-i3^(1/2))/2, w2=(-1+i3^(1/2))/2, 将 y 的 3 个根由 w1 , w2 , 及两个参量 z1 , z2 , 分别表达为 : y0=z1+z2 , y1=w1z1+w2z2 , y2=w2z1+w1z2 ,而按方程根与系数的关系,引进了含有方程参量系数的 3 次根式,但根式内的数值,取其绝对值,而不取 (-1)^(1/3) 的标志,而解得: z1=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3), z2=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3), y0=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3) +(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3), y1=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3) +w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3), y2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3) +w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3) , (2.3) 其中,根式内的数值都仅取其绝对值,并不出现 (-1)^(1/j) ; j 大于 2 的情况。 于是,解得任意的 3 次 y 方程的根式解。 实际上,就是由 w1 , w2( 有: w1+w2=-1 , w1,w2=1) , 及两个参量 z1 , z2 , 将方程变化到使其各根在复平面移动、转动,都能由 两个参量 z1 , z2 表达,而 解得 3 次的根式解 。 又因当时 4 次不可约方程的解,最高只引进了 3 次的根式,而认为 5 次以上的方程会需引进更高根式,而且一直未能得解。 因此, 伽罗华 理论 ,确 可由此分析得出: 方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性,而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数,而当这种变换群的阶数 4 时,其 对称置换群,及其子群,就都是非交换群的单群,就都是不可解的。 在 博文“任意 n 次不可约代数方程的公式解” 中给出的任意 n 次不可约代数方程的多种公式解和根式解, 也 因 所添加的根式,都小于 4 ,而都能符合正确理解的伽罗华理论。 3. 对 伽罗华 理论的修正 但是,按上节的分析,应只是 在方程的变换中,出现 j 不 =2 的其它数的 (-1)^(1/j) ,就不能由这种变换而得解。 如能类似于解 3 次方程的方法,虽然, 在方程的变换中,引进了 大于 2 的其它数的根式,但是,并不 出现 j 大于 2 的其它数的 (-1)^(1/j) ,就仍然能由这种变换而得解。例如 : 可以利用: 3 次方程 : y^3+y+1=0, 的解: v0=(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3), v1=w1(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3) +w2-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3), v2=w2(-1/2+((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3) +w1-1/2-((1/2)^2+(1/3)^3)^(1/2))^(1/3) , (3.1) 将 4 次方程 : Y^4+b2y^2+b1y+b0=0, 的各根分别由 v0 、 v1 、 v2( 有: v0 + v1 + v2=0;v0 ( v1 + v2)+v1v2=1; v0v1v2=-1) , 并引进 z0 、 z1 、 z2 , 3 个参变量 , 表达为 : y1=z0+z1+z2 , y2=v0z0+v1z1+v2z2 , y3=v2z0+v0z1+v1z2 , y4=v1z0+v2z1+v0z2 , (3.2) 再利用各方程的各根与各系数的关系式,就也可求得有 4 次根式的 4 次不可约方程的根式解。 类似地,也可求得有更高次,乃至任意次,根式的更高次,乃至任意次不可约方程的根式解。 因此,应将 伽罗华 理论修正为:只要 在方程的变换中,避免出现 j 大于 2 的 (-1)^(1/j) ,就能由这种变换而解得可引入相应高次根式的 任意次不可约方程 的根式解。 4 .参考文献: 数学百科全书编委(顾问)苏步青等(主任)王元等科学出版社 1994 Basic algebra 1-2 Jacobson, N. Freeman 1974-1980 Algebra 1-2 B.I. Van Der Waerden Springer-Verleg 1955-1959 “任意 n 次不可约代数方程的根式解” http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html “ 任意 n 次不可约代数方程的公式解 ” http://blog.sciencenet.cn/blog-226-715274.html
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再评程代展 博友对伽罗华 理论的错误理解和科普
热度 4 可变系时空多线矢主人 2013-7-7 07:10
再评程代展 博友对伽罗华 理论的错误理解和科普 程代展 博友 的 精选 博文:“当以真诚待科研” 以数学家科普的姿态,极力宣扬对伽罗华 理论的错误理解,仍然强调歪曲攻击本人,对那种错误的具体纠正,和已具体给出的 5 次、 6 次,乃至任意 n 次,不可约代数方程的公式解和根式解。不顾鲜明的事实,仍然顽固地坚持大于 5 次的不可约代数方程不可能有公式解和根式解。 为此,重要的依据就是当今 学界 普遍对伽罗华 理论的错误理解。因此,同要给咱们“科普”了。 他在 “伽罗华理论究竟讲了什么?”的标题之下,连吹带唬 地写道: 想将伽罗华 理论的内容在这里讲清楚是不可能的 ( 虽然我可以负责任地说,我对这部分内容完全掌握 ), 但我可以将它到底讲的是什么讲清楚: 对于每一个一元有理多项式,伽罗华都定义一个用来刻画这个多项式本质的东西, 这个东西后来被称为伽罗华群。伽罗华 理论讲的是:一个有理多项式有根式解,当且仅当它的伽罗华 群 可解。 ( 这里,可解是指可分解成一列嵌套的正规子群。这超出本文范围,读者也不必细究,这不妨碍本文阅读。 ) 哈!他在此,究竟对 伽罗华 理论“科普” 了些什么呢?看来,只是: 1. “ 内容在这里讲清楚是不可能的 ” 2.“ 我对这部分内容完全掌握 ” 看来,他首先要把 伽罗华 理论神秘化,吓唬咱们凡人 是“不可能清楚”的,只有他才“完全掌握”,就听他随便“科普”吧! 3, “ 一个用来刻画这个多项式本质的东西,这个东西后来被称为伽罗华群 ” 4.“ 伽罗华理论讲的是:一个有理多项式有根式解,当且仅当它的伽罗华群可解。 ” 哈!这东西还真神秘,你看: 这个 伽罗华 群 究竟是个怎样的群? 这个群究竟怎样才“可解”? 怎么能因此理论判定 5 次以上的不可约方程不可能有根式解? 这些关键问题,却都完全没有得 到“科普” ! 实际上,本博客 2011 年的博文“任意 n 次不可约代数方程的根式解” http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html 早已 按如下文献的介绍, Basic algebra 1-2 Jacobson, N. Freeman 1974-1980 Algebra 1-2 B.I. Van Der Waerden Springe r-Verleg 1955-1959 对伽罗华 (Galois) 理论介绍道, 确可证明:方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运 算与逐次添加相应根式的变换群的可解性,而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数,而当这种变换群的阶数 4 的对称置换群,及其子群,就都是非交换群的单群,就都是不可解的。 哈!这样看来,那东西也并非那么神秘,这就已经简单明确地说明: 1 ,所谓“伽罗华群”就是“将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群”。 2 ,“方程根式解的可解性”是相应于“伽罗华群的可解性”。 3. “这种变换群的‘阶数’等于其整个求解过程中‘添加根式’的‘最大指数’”。 4. 当“这种变换群的阶数 4 ” 的对称置换群,及其子群,就都是“非交换群的单群”,就都是“不可解”的。 因此,伽罗华理论所能证明的,只是:“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数 n*4 时,一般不可约代数方程没有根式解”。 显然,由对伽罗华 理论如上的正确理解,就自然地得出如下结论: 迄今似已公认的所谓“ n4 的不可约代数方程没有根式解”,只是当其整个求解过程中添加根式的最大指数, n* ,等于所解方程的次数 n 时,才能得出。 但是, n* 并不必须等于 n ,若能使 n* 始终保持小于 4 ,例如本文 所采用的如下各种方法,就都能与伽罗华 理论并不矛盾地,求得任意 n 次不可约代数方程的根式解。 而自吹“ 对这部分内容完全掌握 ”的这位数学家却要对以上的正确理解根本否认,并攻击本人 “信口开河”。 那么,究竟是谁在“信口开河”呢?! 更可笑的是:这位自吹 完全掌握 伽罗华 理论的数学家, 仍然顽固地强调:“ x 5 − 2 = 0 就有根式解。 ” 显然,这就与他们对 伽罗华 理论的理解发生了 “自相矛盾”。 为了逃避这个显然的“自相矛盾”,这位 完全掌握 罗华 理论的数学家 竟然用上了他“科普”的绝技,要把 伽罗华 理论歪曲为: “伽罗华理论说的是:不是所有的 n 4 的不可约代数方程都有根式解。有的有,有的没有,要看它对应的伽罗华群是否可解。” 哈!这是何等的“真诚”?却反而充分暴露出: 这位数学家根本没有弄懂伽罗华 群 怎么才可解? 前面已经具体介绍,伽罗华 理论是具体说明: 当“这种变换群的阶数 4 ” 的对称置换群,及其子群,就都是“非交换群的单群”,就都是“不可解”的。 既然你们认为:“ n4 的不可约代数方程没有根式解”,就是认为, n4 的这种变换群都是“非交换群的单群”,就都是“不可解”的,那还有什么“ 有的有,有的没有 ”呢?你岂不是又陷入了非常可笑的“自相矛盾”吗?! 而且 ,在此,这位数学家是把“根式”混淆为“含有方程系数的根式解”,岂不更加可笑! 可见,不管你如何狡辩,只要你不改正你们对 伽罗华 理论的那种错误理解,就不可能自圆其说,而只能始终陷入 非常可笑的“自相矛盾”,而不能自拔!
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[孤独专题]有限单群:一段百年征程
songshuhui 2011-9-4 20:57
方弦 发表于 2011-08-07 10:29 1832年的某个清晨,革命中的法国见证了又一次决斗。在某个瞬间,某位青年被对手的枪射中腹部,随后去世。在当时狂热的政治斗争中,只有寥寥数人意识到,法国,甚至世界,又失去了另一个伟大的头脑。这位青年姓伽罗华,他的最大遗产围绕着一个数学概念:群。 在接下来的一百多年后,一群在世界各地的数学家,沿着这位青年开辟的路径,对有限群的结构进行了彻底的分析。其中的发现,可能出乎所有人的意料。 这是一个关于群的故事,这是一个关于单群的故事。 高度抽象的对称 交错群A_5的一个Cayley图(一种群的图示) 什么是群?一个数学家可能会给你这样的回答: 一个群是一个集合G以及在G上的一个运算·,满足以下三个条件: 1. 存在一个G中的元素e,使得对于G中的任意元素x,有x=x·e=e·x。这样的e叫做群的单位元 2. 对于G中的任意元素x,y,z,有(x·y)·z=x·(y·z),这是结合律 3. 对于G中的任意元素x,存在G中的一个元素y,使得e=x·y=y·x。这样的y被称为x的逆元 这样的定义,即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。但数学的力量就在于它的抽象。它什么都不是,所以它什么都是。 整数和加法就构成一个群。什么数加上0都不变,所以0是单位元;a+(b+c)=(a+b)+c,这是小学的加法结合律;一个数加上它的相反数是单位元0,所以相反数就是逆元。正实数和乘法也构成一个群,1是它的单位元,乘法有结合律,倒数是逆元。如果我们认为9点+5点相当于9点的5个小时后,也就是2点的话,就连时钟也构成一个群。宝石的晶体构造,电脑的压缩校验算法,以至于魔方的还原,无不牵涉“群”这个概念。而对于自然界的各种对称性,群也是对其最自然的描述方式。难怪有人会说,群就是对称,研究群,就是研究各种对称性。 正是由于放弃了与现实的对应,像群这样的抽象数学概念才能在现实中获得广泛的对应。我们研究群,并不关心它的具体元素是什么,是x,y,z还是姬十三、猛犸、桔子都无所谓,只要知道元素通过运算产生的关系就够了,这就是群的全部。只要符合群的公理,能应用到x,y,z上的结论就能应用到姬十三、猛犸、桔子上,这就是抽象的力量。 超越时代的孤独 伽罗华的画像 也正由于这种抽象,群的概念在一开始并没有很快地被接受。 伽罗华是在研究一元五次方程的根式解时开始触及群的概念的。对于一元二次方程来说,我们可以将方程的所有解写成有关方程系数的一个根式(允许四则运算和开常数次方运算组成的式子),这称为方程的根式解。对于三次以及四次方程,也有这样的公式,可以直接从方程的系数得到方程的所有解。然而,对于五次以及更高次的方程来说,此前阿贝尔已经证明一般的公式并不存在。伽罗华要解决的,是判断何时存在这样的根式表达。 为了解决这个问题,他首次定义了群这种代数结构,仔细地研究了群的各种性质,以及它与更高级的一种代数结构——域——的关系,并以此发展了一套理论,完整地解决了这个问题。他写下了关于这套理论与高次方程根式解的备忘录,并将其递交到法兰西科学院。 他的不幸从此开始。 这份备忘录的评审人是柯西。虽然认识到了伽罗华工作的重要性,柯西却没有接受这份备忘录,而是建议伽罗华修改这份备忘录以竞逐科学院的数学奖。 伽罗华接受了这个建议,第二次提交了备忘录。 天意弄人,评审人傅里叶之后不久就逝世了,伽罗华的备忘录不知所踪。 伽罗华决定最后一搏,但这也被泊松驳回,理由是“无法理解”。当消息传到伽罗华耳中时,他早已因为政治斗争而身陷囹圄,此时离他的决斗只有半年时间。 没有人理解他的理论,或者说没有人愿意去理解他的理论。 就是这套理论,使伽罗华的名声流芳百世。尽管他无法发表他的备忘录,但他此前发表的论文讲述了这个理论的一些基础。泊松的驳回理由,使他更认真地打磨他的理论,以冀数学界的认同。 但死神的镰刀没有给他这个时间,上天不打算给他安排生前的荣耀。1832年5月30日,年方二十的伽罗华,迎来了他第一次也是最后一次的决斗。这场决斗的细节已经被时间之砂打磨掩盖,什么对手,什么原因,有人说是为了爱情,有人说对手背后有政治阴谋,众家各执一词。我们只知道,在这场决斗中,伽罗华腹部中枪,不久后魂归天国。 “不要哭,阿尔弗雷德!在二十岁死去,我需要我的全部勇气。”这就是他对弟弟说的最后一句话。 而决斗前夕给他的朋友Chevalier的信,可以算是他对世界的遗言。信中密密麻麻地写着他的数学理论,他正在思考的问题,他脑中的一切。他大概冀图某天,世界能够通过这封信,理解他。 幸而,Chevalier实现了他挚友的意愿。伽罗华的理论,现在以他的名字命名:伽罗华理论。 也就是这封信,吹响了一场百年战役的号角。 构筑对称的砖块 Z/6Z的一个Cayley图,其中可以看出它可分解为两个单群 在伽罗华理论,乃至于更广泛的群的理论中,有一个很重要的概念:正规子群。 我们以下只讨论那些只有有限个元素的群,它们被称为有限群。例如,魔方操作组成的群就是有限群,因为变化的可能性是有限的。而整数与加法组成的群则不是有限群,因为整数有无限个。 在一个群里,有些元素自己会组成一个小圈子。它们并非不与外界交流,但无疑它们喜欢抱团:小圈子内的元素经过运算得到的结果仍然在这个小圈子里,而它们的逆元也在小圈子里。简而言之,这个小圈子对于原来的运算也组成一个群。这样的小圈子,叫做群的子群。 有些子群比别的子群更特别,它们不仅自己是一个群,如果“除”原来的群,得到的也是一个群。这样的子群叫做正规子群,而它们对原来的群作“除法”得到的群叫商群。首先观察到并提出正规子群这个概念的,正是伽罗华。 通过研究更简单的正规子群和商群,我们可以得到群的很多性质。这就是数学家特别钟爱正规子群的原因。 如果我们将正规子群和商群看成群的一种分解的话,那么必定有着不能被继续分解的群,我们将之称为单群。 对于任意的有限群,我们可以将其分解成一串单群,而且这样的分解是唯一的。单群在有限群论中的地位,跟素数在数论中的地位,还有原子在化学中的地位一样:它们都是构建它们所在世界的砖块。通过研究这些“砖块”,我们可以知道它们组成的各种结构的性质。如果能列出所有有限单群,就能从一个侧面了解所有离散的对称性的性质。 有限单群就是这个故事的主角。 与化学家当年寻找新元素的动机一样,数学家也开始了对有限单群的寻找。他们想做的跟化学家做的差不多:列一个单群的“元素周期表”。不过数学家要做的任务多了一项:证明这个“周期表”包含了所有的单群。 这看起来不太容易,事实正是如此。 转眼百年的长征 Higman-Sims图,可导出散在单群Higman-Sims群 伽罗华是寻找有限单群当之无愧的第一人。是他首先发现所谓的交错群A_n对于所有n=5都是单群,从而不是可解群。正是从这个结果出发,他证明了高于五次的方程一般而言没有根式解。而数学家此前对数论的研究也容易导出另一族的单群:素数阶的循环群Z_p。它们也是唯一的交换单群,也就是说运算满足交换律(a·b = b·a)的单群。 无需太纠结为何这些群取这样的名字。对于数学家而言,群就像是宠物,给宠物取的名字可能反映了宠物的性格,也可能是纯粹的趣味。但名字毕竟只是名字,只是称呼这些群的一种方式而已。 像这样整个家族出现的单群,还有16族所谓的有限李群,它们可以看作离散域上的矩阵组成的群。对它们的系统化研究是由挪威数学家Sophus Lie开始的,所以后人以此命名。而其中首先被发现的是所谓的射影特殊线性群PSL_n(q),其中q是一个素数的幂。在伽罗华生命最后的那封信上,就已经提到PSL_2(p)对于大于3的素数p是单群。后来Chevalley对其进行了更深入的研究,将其推广到一般的素数的幂。对于其余的15族有限李群,Chevalley也功不可没。 除了这一共18个有限单群家族之外,还有26个单独存在的有限单群。它们不属于任何一个家族,而它们之间也没有一个统一的联系,三三两两各自放浪于数学天地之间。数学家给他们起了个相当适合的名字:散在单群。它们是单群中自成一派的例外。成家族出现的单群结构总是相似的,而散在单群却各有各的美丽。 同时进行的则是证明这就是所有的有限单群,这就是所谓的有限单群分类定理。如果将寻找单群比作在森林里抓兔子的话,有限单群分类定理的证明则是确保森林里所有的兔子都被抓光了。这就要求数学家对森林的地形——也就是有限群的结构——有一定的了解。 从某种意义上,整个证明可以追溯到1872年的Sylow定理。这个定理不仅使数学家开始明白有限群更深层的结构,也为后来对各种群的分类讨论提供了武器。而真正明确提出对有限单群分类的,则是1892年的Hölder。他同时也证明了,每一个非交换有限单群的元素个数,是至少四个不同素数的乘积。 从此开始便是百年的征程,对数学家更不利的一面是,出发的时候还不知道森林里有多少兔子要抓。事实上,分类定理的证明和对有限单群的寻找,很大程度上是交错叠积的。有时是证明的途中,忽然找到了又一个新的有限单群;有时是对于已有的单群的研究启发了证明。这也是可以理解的,毕竟这是研究同一件事物的两条路径。 所以,当1983年Gorenstein宣称有限单群分类定理被证明之时,群论学界可是欢呼雀跃。整个证明散落在各期刊的500多篇论文之中,合计过万页,每篇论文都对某种特殊情况进行了处理。将这些特殊情况合起来,覆盖了绝大多数的有限群类别,而Gorenstein认为,他的新论文恰好补上了仍未处理的那些有限群,从而完成了整个分类定理的证明。 问题是,他弄错了。他以为一类名为“拟薄群”(quasi-thin group)的类别已经被处理好了,但事实上没有。直到2004年,由Aschbacher和Smith撰写的一篇一千多页的论文才将这个情况完全处理妥当,从而填补了这个漏洞。此时,有限单群分类定理,这个有限群理论的圣杯,才正式被圆满证明。 18个有限单群家族,再加上26个散在单群,这就是所有的有限单群。从伽罗华开始历时一个多世纪,跨越两次世界大战的搜索,随着1976年最后一个散在单群被发现,2004年有限单群分类定理的最终证明,这场数学家和有限单群之间的捉迷藏游戏才告结束。这个列表,包含着数代数学家辛勤的汗水,大概还有不少的咖啡、粉笔、墨水和纸。 故事仍未结束。在所有有限单群中,那些散在单群特别令人在意。成它们的出现看似无章可循,没有什么必然的规律。但是,尽管有着“散在单群”这个名字,它们并非与世隔绝之徒。最有名的例子,莫过于那个最大的散在单群——魔群(Monster Group)。 意料之外的联系 魔群是在1973年被Fischer和Griess分别独立发现的。虽然它是最大的散在单群,但它并不是最后一个被发现的。实际上,“魔群”这个名字就源于它庞大的体积。魔群的准确元素个数是808017424794512875886459904961710757005754368000000000,也就是大概8*10^53个。与之相比,太阳系的原子个数也就是大约10^57个,仅仅高了两个数量级。如果我们用线性空间和矩阵变换来表示魔群的话,我们至少需要一个196883维的线性空间,才能忠实表达魔群的整体结构。这种表达方式又被称为群的线性表示。 也正是由于魔群如此庞大,所以一开始数学家们并没有直接将它构造出来,而只能指出它的存在性。发现魔群的Griess,也要几个月后,才最终把魔群的元素个数计算出来。而魔群的直接构造,要等到9年后的1982年。那年,Griess提出了一个名为Griess代数的代数结构,而魔群恰好就是这个代数结构的自同构群。换句话说,魔群恰好刻画了Griess代数的所有对称性。值得一提的是,Griess代数的维度是196884,比196883多1。 如果说每一族单群和每一个散在单群代表一种对称性的话,那么魔群一定有着非同寻常的对称性。体积如此庞大的群,却仍然是一个不可分解的单群,这本来就是个奇迹;而且与那些成系列的量产型单群不同,它的结构和对称性还是独一无二的。用个物理上不太恰当的比喻,如果第二大的散在单群是一颗无暇的钻石的话,按照比例,魔群大概就是一颗完全由钻石组成的星球,而且透明得能从一边看到另一边的星空。 如果说如此瑰丽的魔群,仅仅是数学中的一个与世隔绝的孤岛的话,那数学之神未免太浪费了。 而此时,在数学的另一个领域——数论,另一群数学家正在研究一些完全不同的东西。 模形式理论是数论的一个分支,它研究的正是模形式。模形式是复平面上满足一定性质的函数,它们跟一类叫“椭圆曲线”的数学对象密切相关。椭圆曲线是平面上的一类曲线,它经过的整点有一种自然的群的结构,而对这些群的结构的研究可以获得整数的很多性质,包括轰动一时的费马大定理的证明。 在模形式理论中,有一个特殊的函数占据着相当重要的地位,它叫j不变量。它的历史也不短,各种性质已经被数学家们研究得相当透彻了,也为模形式理论的发展立下过汗马功劳。它可以干净利落地展开成如下的傅立叶级数,其中每个系数都是整数: 其中是不是有个数字很眼熟?对,就是第二个傅立叶系数196884,正好是Griess代数的维数,也就是魔群的最小忠实线性表示的维数加1。这仅仅是个巧合,还是有某种内在的联系? 当John McKay在上个世纪七十年代末将这个发现告诉Conway时(顺带一提,这位就是发明“生命游戏”的那个Conway),他们并不认为这是一个单纯的巧合。如果是3或者5这种小数字,那巧合或许还能解释,但196884的话,说是巧合未免过于牵强,“有某种尚未发现的内在联系”这个解释听起来更加合理。Conway和另一位数学家Norton随后发现,j不变量的其它傅立叶系数也与魔群的所谓不可约表示的维数有着紧密的联系:这些傅立叶系数恰好可以表示成不可约表示维数的一些简单的线性组合。这就远远不是巧合能够解释的问题了。 在这些基础上,Conway和Norton提出了他们的所谓“魔群月光猜想”。他们猜想,存在一个基于魔群的无限维代数结构,通过魔群的不可约线性表示,它恰好给出了j不变量的所有傅立叶系数,而魔群每一个元素在这个代数结构上的作用,都自然地给出了与某个群相关的模形式。这其中牵涉到的数学,即使笔者也无从驾驭,需要长时间的学习,方能领会个中美妙滋味。 “魔群月光”这个名字,奇怪地带着些浪漫色彩,但这不过是错觉。“月光”的原文是“moonshine”,在俚语中的意思毫不浪漫,反而是用作形容那些带点疯狂的主意。这就是当时Conway听到这个巧合之时的反应。即使对于最有想象力的数学家来说,要承认数论中被研究得相当透彻的j不变量,与有限群论这个不太相关的领域中新发现的魔群有着这么紧密的联系,这个主意也未免有些疯狂。 但更疯狂的还在后头。 不久,数学家们构造出了一个被称为魔群模(Monster Module)的特殊代数结构,被认为极有可能是满足魔群月光猜想的那个代数结构。要构造这个代数结构,首先要从一个名为Leech格的代数结构开始(顺带一提,这个代数结构有着特殊的对称性,可以构造出数个散在单群),构造一个24维的环面。在这个环面上的玻色弦理论,通过共形场论中的顶点算子来表达,就是魔群模。换句话说,联系着有限群论中的魔群与数论中的j不变量的魔群模,实际上是一个高维空间中的弦理论,表达的是某个高维空间中的可能的物理理论。 数学的两个不同分支,居然通过理论物理被联系了起来。 接下来的事情,就是证明魔群模的确满足了魔群月光猜想。这项工作在1992年由Brocherds完成,证明同时包含了数学和物理,其中用到了弦论中的No-ghost定理来构造证明中必不可少的一个代数结构,Brocherds也由于这个证明获得了菲尔兹奖。通过这个定理架起的桥梁,数学家们也发现了魔群、模函数和弦理论之间更多的千丝万缕的联系。甚至有人过于疯狂地设想,魔群也许就代表着我们这个宇宙终极的对称性。 如果伽罗华仍然在世的话,会对这种柏拉图式的设想有什么看法呢?不过毫无疑问的是,他一定会赞叹他的后继者在他之后,在他铺设的地基上建起的这些晶莹无暇的数学理论。 不应重现的叹息 有限单群分类定理是有限群理论的一块里程碑,标志了我们对所有有限对称性的系统理解的开端。对于魔群的研究,也引发了数学家对散在单群的兴趣。关于有限单群的各种研究,至今方兴未艾。 在这个关于单群的故事中,最值得关注的就是整个故事的起点,也就是伽罗华。他的研究奠定了整个有限单群研究的基础。超越时代的他,活着的时候是个孤独的研究者,但现在,谁谈到群论又能绕过他呢? 在数学的天空中,伽罗华宛如一颗匆匆划过的璀璨流星。他的身体太单薄,无法承受时代的狂风;但他发出的光芒,照亮了整个天空,被不同的人以不同的形式记录下来,并将长久不息。以他的名字命名的各种数学概念,已经产生了深远的影响。这使人不禁思考:如果没有那场决斗,他将会做出多大的成就呢?然而,历史没有假设。 这使人不禁想起同为法国人的化学家拉瓦锡的遭遇。在拉瓦锡被构陷上断头台后,数学家拉格朗日的叹息是:“砍下这颗头颅只需一瞬,但百年的等待可能仍不足以使其重现。”一根有智慧的芦苇,需要整个社会长期的积淀产生的土壤,方能破土而出。但芦苇总归是芦苇,命运无常,须臾即可毁去;即便是它脚下的土壤,赤炎燎原,十年亦成焦土。伽罗华的悲剧,现在还在很多地方,以不同的形式,或明或暗地上演着。
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[转载]感动中国的正义人物,怎一个“剽”字了得?
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中国学术评价网学术不端行为评议团公告(第7号) 中国学术评价网学术不端行为评议团已对洪荞网友举报方舟子《科学史上著名公案——数学天才伽罗华之死》一文涉嫌抄袭抄袭英文维基百科和美国普林斯顿大学、英国圣安德鲁大学相关网页(见【方舟子涉嫌抄袭剽窃】公示第三号,链接: )一案进行了评议,认定方舟子的文章确系抄袭之作,现将评议书和抄袭剽窃认定证书予以公布,同时将其抄送相关机构。 中国学术评价网版主 柯华 2011年2月2日(北京时间) 文件编号:学评网201102021号 抄送对象: 被抄袭人英文维基百科、美国普林斯顿大学物理系、英国圣安德鲁斯大学数学和统计学院、《经济观察报》、《中国青年报》冰点周刊主编徐百科、《中国青年报》冰点周刊科学版编辑杨芳、《中国青年报》新闻热点、中国科技大学校友会、党政办、生命科学院、团委、研究生院、新闻中心、福建省云霄县县长信箱、云霄县委宣传部网站、云霄一中、云霄一中校友会、福建省图书馆读者活动中心、中国新闻网编辑部、中央电视台、新华社总编室、学术批评网版主、密歇根州立大学学术诚信办公室、密歇根州立大学主管研究生工作副校长、密歇根州立大学学生报纸主编、被抄袭人Stanton Braude、被抄袭期刊现任主编、美联社、《科学》杂志新闻在线、《自然》杂志新闻编辑、《自然》杂志Asia-Pacific correspondent、《纽约时报》新闻部、美国《剽窃》(Plagiary )电子杂志编辑、科学诚信网 China Academic Integrity Review 方舟子抄袭案(第3号) 评议书 2011年1月12日,中国学术评价网版主柯华博士就洪荞网友举报方舟子发表于2009年3月30日《经济观察报》的文章《科学史上著名公案——数学天才伽罗华之死》抄袭英文维基百科和美国普林斯顿大学、英国圣安德鲁大学相关网页一事(见【方舟子涉嫌抄袭剽窃】公示第三号,链接: )召集本评议团进行评议。本评议团由三人组成,分别为美国行为科学博士、化学博士和美国法律工作者。 中国学术评价网在组成评议团之前,曾将举报材料送达方舟子,请他做出辩解或提出反驳。但是,方舟子至今没有对此作出任何回应。 评议团成员分别审查了举报材料,并一致认为,举报人提供的证据清晰可信,超过了“优势证据”标准,尽到了初始举证责任。 举报人提供了被举报人署名的中文文章和被抄袭的英文资料的出处。经评议团查证,这些资料出处无误。被举报人的文章内容,没有超出这些资料的范围。 因此,评议团确认,有理由通过比对涉嫌抄袭文章和被抄袭英文资料,来判定被举报人是否利用这些资料而没有注明出处,或是否有抄袭行为。 举报人对照分析了涉嫌抄袭文章和被抄袭英文资料。评议团成员重复了举报人的对照分析,认同举报人的发现:涉嫌抄袭文章不但在行文结构上抄袭了上述英文资料,在修辞上也抄袭了这些资料,特别是Tony Rothman的文章。例如,方舟子文章出现的“《数学大师》的浪漫笔调激励了许多年轻人投身于数学研究,” 明显抄袭自 Tony Rothman引用的Freeman Dyson 的著作:“the romantic prose of E.T. Bell's Men of Mathematics, …has awakened many people of my generation to the beauties of mathematics… The legend … has fired the imagination of generations of mathematics students.”(Disturbing the Universe,New York: Harper and Row, 1979, p14.)。 评议团进一步认定,涉嫌抄袭文章的大多数语句与上述英文资料相同,可以肯定这些文字直接抄自这些资料。有些段落稍有不同,也显然是根据资料编译而成。不论是抄录还是编译,被举报人都应该注明资料出处。但是,被举报人没有注明资料出处。因此,被举报人的这种行为构成了抄袭。 评议团还注意到,正如举报人指出的,涉嫌抄袭文章中出现了数处误读资料导致的错误。评议人同意: 被举报人抄袭的资料是由用户自由编辑的百科全书性质的文件,属于第二手资料。假如被举报人是根据原始文献写成的文章,不可能出现那些常识性错误。鉴于被举报人没有证明他直接参考了原始文献,评议团只能断定他间接使用了第二手资料。无论是使用原始文献还是二手资料,被举报人都必须说明自己的资料来源,而被举报人没有这样做。 评议团最后确认,被举报人这种貌似编译而又不注明出处的抄袭手法,是典型的跨语际抄袭。 《中华人民共和国著作权法》、美国和大不列颠及北爱尔兰联合王国的版权法规对于合理、合法翻译外文作品有相似的界定,即未经著作权人许可,以改编、翻译等方式使用该作品的,属于侵犯版权行为。本评议团敦请柯华先生就方舟子侵权行为通知有关机构。 此致 中国学术评价网版主柯华博士 中国学术评价网 学术不端行为评议团全体成员 2011年2月1日 关于我们 中国学术评价网由分布在世界各地的中国学者自发组成,旨在保护中国学者免受来自跨国网络恐怖、暴力团伙的人格侮辱和人身攻击,保护其职业生涯和家庭生活免遭肆意破坏。我们为学者发表自己的意见和观点提供平台。目前,我们致力于对方舟子现象的研究,对方舟子的不端及非法行为进行记录、揭发、评议和举报。 China Academic Integrity Review Fang Zhouzi’s plagiarism Case #3 The Verdict February 1, 2011 Dr. Ke Hua, On 01/12/2011, Dr. Ke Hua, the coordinator of China Academic Integrity Review called on a three person panel (the Panel) to review the complaint filed by Mr. Hong Qiao (the Complainant) that Dr. Fang Zhouzi, (the Accused) in his essay“A well-known Case in the History of Science: The Death of Galois,”published on 03/30/2009 in Economic Observation copied the relevant entry of Wikipedia, an on-line encyclopedia, and relevant webpage of Princeton University, the United States, and San Andrews University, the United Kingdom. See the Suspected Plagiarism Case No. 3, at . The Panel involved one individual, who holds a PhD in behavioral science, an individual who holds a PhD in Chemistry, and an individual who has engaged in legal profession in the United States. Prior to the review by the Panel, China Academic Integrity Review forwarded the complaint to the Accused , requesting his defense or rebuttal. However, the Accused has not responded to the request. The Panel members, having individually reviewed the complaint and all corroborating evidence., unanimously agreed that the complainant supplied clear and convincing evidence, which surpassed the standard of preponderance of evidence, and therefore, fulfilled his initial burden of proof as required. The Complainant provided the essay written by the Accused in the Chinese language and all related sources of information (the Material). The Panel further verified those sources and found them to be accurate and credible. Further, the Panel found that the contents of the essay by the Accused did not extend beyond those sources. Therefore, the Panel established that it is reasonable to review the complaint and determine whether the Accused copied the Material without attribution to the sources, or whether his act as displayed in his essay constituted that of plagiarism, by comparing his essay and the Material. The complainant compared and analyzed the essay by the Accused and Material he allegedly plagiarized. The Panel repeated the same approach and came to concur with the Complainant’s finding: The Accused in his essay not only copied above mentioned Material in terms of textual construction, but also rhetorical elements, particularly the essay by Tony Rothman. For example, in his essay, the Accused put: “The romantic prose inspired many young people to engage in the study of mathematics. Obviously, this passage was lifted from Tony Rothma’s quotation from Freeman Dyson’s work as the following : “the romantic prose of E.T. Bell’s Men of Mathematics, ... has awakened many people of my generation to the beauties of mathematics. ... The legend ... has fired the imagination of generations of mathematics students.”(Disturbing the Universe,New York: Harper and Row, 1979, p14.) The Panel further established that most sentences and phrases which the Accused constructed in his essay were sufficiently similar, if not identical, to the Material, so as to lead to the determination that those sentences and phrases were copied from the Material. Some paragraphs appeared different, but were obviously translated from the Material. Whether those paragraphs were copied or translated, the Accused should have properly acknowledged the sources. However, the Accused did not do so. Therefore, the Accused’s act as displayed in his essay constituted plagiarism. The Panel also noted that, as the complainant observed, the Accused made several errors in his essay as a result of his misreading of the Material. The panel concurred with the Complainant that the Material the Accused copied remained secondary sources. If the Accused relied on primary sources while writing his essay, he would have not made such “common sense” errors. However, in light of the fact that the Accused made no indication that he ever used any primary sources, the Panel could only come to the conclusion that he only indirectly relied on secondary sources. Further, no matter whether he used primary sources or secondary sources, the Accused was expected to acknowledge his sources. However, the Accused failed to do so. Finally, the Panel established that the Accused’s plagiarism, which appeared like a translation, but carried no acknowledgement of his sources, may be seen as a classical example of “interlingual plagiarism.” China’s copyright laws, and relevant laws and regulations in the United States and the United Kingdom all have similar provisions concerning translations of foreign language works. These laws and regulations all stipulate similarly that verbatim, unacknowledged translation, with no attribution given to the original author constitute plagiarism and violation of the author’s copyright. In this connection, the Panel urges Dr. Ke Hua to notify relevant organizations of Mr. Fang’s violation of copyright laws. The Academic Misconduct Assessment Panel China Academic Integrity Review About Us China Academic Integrity Review (AIR-China) is formed by a group of Chinese scholars from all over the world after the world-astonishing event involving internationally-acclaimed urologist Xiao Chuanguo and self-assumed science cop Fang Zhouzi. Our mission is to safeguard Chinese scholars’ human dignity, academic reputation, and legal rights from harassment, intimidation, threats, and terror by a certain transnational internet group, as well as from unwarranted and baseless attacks by laypersons who are not in the academic circle but use anonymous posts on the internet and/or sensational journalism to belittle Chinese scholars' achievements. We provide a platform for scholars to express their views on related issues. 方舟子抄袭剽窃认定证书链接: Link to Certificate of Plagiarism for Fang Zhouzi: 【方舟子涉嫌抄袭剽窃】公示第三号(举报人:洪荞) 【说明: 2011年1月1日下午9:59(北京时间),本人以《就〈科学史上著名公案——数学天才伽罗华之死〉一文涉嫌抄袭的通知》为题,给方舟子发出如下邮件: 方舟子先生台鉴: 我是“中国学术评价”网站“方舟子系列”专题“抄袭剽窃”专辑主持人。日前收到网友洪荞的文章,《让方舟子自己说说他这是不是抄袭》,其中认为您在2009年3月在《经济观察报》上发表的《科学史上著名公案——数学天才伽罗华之死》一文,系抄袭自英文维基百科和普林斯顿大学、英国圣安德鲁大学相关网页。 经认真核对,仔细比较,本人认为洪荞的指控成立。按照“中国学术评价”网站《抄袭剽窃案例认定程序》(见: ),本人现将洪荞的文章转发给您,请您务必在三天内为自己的行为作出解释或者辩护。本人将根据您的回复,决定是否将其提交本网站评议团裁决。逾期不予回复,此案将自动按照《抄袭剽窃案例认定程序》处理。 特此告知。 顺祝 新禧! 亦明 谨上 2011年1月1日 至今,五日期限【据《程序》修改稿】已到,但方舟子仍未回信。根据本网站《抄袭剽窃案例认定程序》,现将洪荞网友的举报文章公布出来,提请版主召集评议团就此举报是否成立予以评议。同时,欢迎诸位网友对此案踊跃发表自己的意见。 亦明 《中国学术评价网•方舟子系列专题•抄袭剽窃专辑》主持人 2011年1月6日】 让方舟子自己说说他这是不是抄袭 洪荞 2010/12/22 方舟子于2009年3月在《经济观察报》上发表了“科学史上著名公案——数学天才伽罗华之死”。这篇文章后来改名“数学天才伽罗华之死”被收录在《爱因斯坦信上帝吗?——方舟子解读科学史著名谜团》一书。文章讲的是数学天才伽罗华与人决斗身亡的故事。经笔者查证,这篇文章的内容几乎全部来自下面三篇文章: 这里 是WiKi2009年2月5日的版本, 是 中列出的链接。由此看来,“公案”一文充其量是编译,把这样的文章称为原创无疑是造假。现在的问题是,“公案”仅仅是编译还是涉嫌抄袭呢?按方舟子的说法,“判断科普文章、随笔是否抄袭,不在于是否一一标注了文献,而在于文章的主旨、写法和语句是否雷同”,那么下面我们就按照主旨、写法和语句三个方面来看一看“公案”是不是够得上抄袭。 需要声明的是,由于“我打击学术腐败,主要靠的是一种人格的力量”,本文无意讨论方舟子的动机,人格等问题。但由于方舟子是“黑夜中的灯火”,我们还是应该考虑提高标准,就象他曾经说过的:“不管是因为什么原因撰写科普著作的,不管乐不乐意,既然承担了下来,就应该老老实实地写,而不应该靠抄袭来投机取巧。身为院士,更应该严格要求自己。试想,如果一个爱好科学的青少年读者在阅读了两本著作,发现其雷同之后,误以为书也可以靠抄袭来写,‘院士干得我也干得’,那会是多么恶劣的影响!” 好了,言归正传,先说文章的主旨。“公案”一文我们可以说是在介绍历史解读谜团。而 是WiKi关于伽罗华网页, 是美国一个著名数学史网站上关于伽罗华网页,两个都是在介绍历史。 的作者是普林斯顿物理系的一个教授,其内容是探讨这段历史的传说与事实。同“公案”一样,这三篇文章的对象都是普通读者,都是在介绍伽罗华的生平。由此看来,主旨一致是不争的事实了。 现在我们再来看看写法。上面所列的三篇文章基本上是按时间顺序来叙述伽罗华的生平,因此对他的数学工作和政治活动是交替地介绍。反观“公案”一文,读了之后给人一种杂乱无章的感觉。其叙述既不是按时间顺序,也不是以数学政治或事件等主题为顺序。比如关于决斗原因的讨论竟然分散在第四,第七,和第九三个不同的段落里。那么是不是说“公案”一文的结构是其作者自己设计的呢?同WiKi对比我们很容易发现“公案”的第五,第六和第七段与WiKi的“政治狂热”和“最后的日子”两部分有着完全相同的结构(当然我们要除掉WiKi中的数学部分)。两者的顺序都是先讲法国当时的历史背景,然后伽罗华如何卷入政治,最后是决斗的前因后果等(句子的雷同我们下面另外讨论)。由此我们可以看到“公案”主要部分的雏形。当然只凭这一条我们还不能马上断言“公案”是抄袭之作。但是如果我们再把“公案”的前四段与 的前三段相比较,我们马上就会有一种原来如此的感觉。请看(中英文的原文附在最后): “公案”的写法:先是《数学大师》一书中的描写,然后是《数学大师》的浪漫笔调激励了年轻人,最后是1832年5月30日伽罗华决斗身亡 的写法:先是1832年5月30日伽罗华决斗身亡,然后是《数学大师》的浪漫笔调激励了年轻人,最后是《数学大师》一书中的的描写。 不仅结构雷同,而且方舟子对《数学大师》一书中段落的选择以及对《数学大师》那“浪漫”的形容也与 完全一致。由此再说“公案”的构思是原创就很难说得通了,因为不可能你和人家都恰好读了相同的一段,都觉得很浪漫,都看到了它对年轻人的激励。通过下面对文字的比较我们会看到方舟子的确是看到了 的。对人家这么动人的开头方舟子拿来就用,使得读者以为是方舟子看出了《数学大师》的浪漫笔调,以为自己是被方舟子的文字所感动,这不是对读者的欺骗还是什么呢?用方舟子的话说:“何谓创作?就跟research paper一样,必须是真正属于自己的东西是也,即使英雄所见略同,也绝不会大段大段的相似。整段抄别人的,如果不注明,甚至连个引号都不用,在读者看来,自然而然会把它当成你自己的东西,被揭发出来,就是抄袭:第一侵害了原作者,第二欺骗了读者,第三骗取了名声”。我们已经看到了,“公案”前四段的写法抄袭了 ,接着三段的写法抄袭了 ,而剩余的三段则是由 中的其它部分拼凑而成。按照方舟子的原则,“公案”当属剽窃无疑。现在回过头来看,“公案”的杂乱无章正是这种拼凑的结果。 虽然结构雷同,但“公案”并不是一字不差地完全照抄我们上面提到的 的章节。“公案”的做法是以这些章节为基础,再把 中的一些其它细节加进来。这事实上是方诌子科普的标准模式。别人这么做时方舟子曾尖锐地批评:“如此大面积的照抄照搬,即使注明了出处也有剽窃之嫌,更何况对原作者、原文只字不提,以“有关的文章”一语带过,让读者以为是他自己根据原始材料综述而成的,这不是剽窃是什么?我花了许多时间看许多资料费心构思写成的文章,就怎么轻松地像无主之物一般粘贴复制过去,最后加一段感想就成了自己的东西,整个写作过程估计不会超过一个小时,这样的文章未免太好写,这样的教授未免太好当了吧?”如此的义正言辞,可到了方舟子自己抄袭的时侯,这些话就全都无影无踪了。 现在我们来比较一下语句方面的雷同。我们还是先听一听方舟子是怎么指责他人的:“杨雄里院士抄袭的方法,基本上是忠实地翻译,个别地方对语序做了改动,结果反而与原意不符,出现了错误”,“抄袭的痕迹是非常明显的,而且秋实在抄时,故意做了篡改”,“上面这段话,曹文只是把高文略做改动而已,调换了句子顺序而已”。我们想要看看的是这些话能不能用在方舟子身上。因为这部分比较长,所以被附在文章的后面。这里我们只看几个例子(全部来自 )。 1832年5月30日清晨,伽罗华在决斗中被击中腹部,被路过的农民送往医院。第二天早晨10点他死于医院,临终前拒绝接受神甫的祈祷,对他的弟弟阿尔佛 雷德说:“不要哭,阿尔佛雷德!我需要全部的勇气在20岁时死去。” On 30 May 1832, early in the morning, he was shot in the abdomen and died the following day at ten in the Cochin hospital (probably of peritonitis) after refusing the offices of a priest. He was 20 years old. His last words to his brother Alfred were: Don't cry, Alfred! I need all my courage to die at twenty. 但是到了1830年,议会中的自由派占了多数,查理十世面临被废黜的危险,于是他在这一年的7月颁布敕令,这激起了街头革命。查理十世被迫逊位,议会推举 路易-菲利浦继承王位。 and by 1830 the opposition liberal party became the majority. Charles, faced with abdication, staged a coup d'état, and issued his notorious July Ordinances, touching off the July Revolution which ended with Louis-Philippe becoming king. 伽罗华高举匕首高呼“为路易-菲利浦国王干杯”,第二天以“企图暗杀国王”的罪名被捕。一个多月后被宣告无罪获释。7月14日“巴士底日”(后来的法国国 庆节)那天,伽罗华身穿炮兵队制服,携带步枪、手枪和匕首,与法律系的学生杜沙特雷一起带领群众在街上示威,再次被捕,被判入狱6个月。1832年4月 29日伽罗华获释。 Galois proposed a toast to King Louis-Philippe with a dagger above his cup, which was interpreted as a threat against the king's life. He was arrested the following day, but was later acquitted on June 15. On the following Bastille Day, Galois was at the head of a protest, wearing the uniform of the disbanded artillery, and came heavily armed with several pistols, a rifle, and a dagger. For this, he was again arrested, this time sentenced to six months in prison for illegally wearing a uniform. He was released on April 29, 1832. 方舟子曾明确指出:“有可能构成语句方面的剽窃的是那些有特异性、有一定的长度的语句,由不同的人来书写会有不同的表述,不可能独立地碰巧写出雷同的句子”。 看了上面的例子,方舟子会说什么呢? 方舟子对抄袭质疑曾这样回答:“说是“翻译”,就请把我翻译的“原文”给列出来一一做个对比,看我是如何“翻译”的,否则乃是地地道道的无中生有的诽 谤”,“请松鼠会具体地证明我哪篇文章是“直接是英语文章翻过来的”。我指控别人抄袭,都是列出了证据的,... 松鼠会想要反过来指控我抄袭,也应该学着证明之,可别自己抄袭英语文章抄惯了,就想当然地以为别人也难免和你一样”。对这次抄袭质疑,方舟子的这个回答已 经不再管用了。笔者期待方舟子能给出一个更有创意的辩解,以娱乐广大网民。 最后指出“公案”中的一个小错误:“其实她是伽罗华出狱后居住的旅店的医生的女儿”。看了这句话读者肯定会感到奇怪,旅店要医生干什么?WiKi的原文是 the daughter of the physician at the hostel where Galois remained during the final months of his life。如果把hostel当成旅店那是典型的望文生义。在WiKi上查hostel我们可以看到In a few countries, the word hostel sometimes also refers to establishments providing longer-term accommodation (often to specific classes of clientèle such as nurses, students, drug addicts, court defendants on bail) where the hostels are sometimes run by Housing Associations and charities. 如果方舟子认真一点,从 就可以看到事实上为了避免霍乱伽罗华和其它犯人们被安置到这个hostel(当时伽罗华并未被释放),而那里有个医生。 这个例子也从一个侧面证明了方舟子对他写的这个故事一无所知,因此文章不可能是他的原创。 作为结尾,我们当然还是要再列上几句方舟子的名言: 这种文章,只要读得懂英文就可以写, 像这样翻译外文资料,拼凑起来就当成自己的文章的,在当前中国学界,是并不罕见的现象。 抄了就是抄了,整理不能抄袭文字,你要在美国的话,你会被开除的。当然在中国,天下文章一大抄,你习惯了,就觉得没错。 如果真的只有一小部分抄袭,甚至只抄了一、两段的话,就不能算抄袭吗?答案是否定的。2002年,美国著名历史学家安布罗斯的一本畅销著作被发现有几小段 直接抄自另一位历史学家的著作,虽然他用脚注注明了出处,还是全美舆论大哗,被指控是抄袭。可见,即使注明了出处也必须对引用别人的部分用自己的语言进行 复述,才不会被视为抄袭。 我被人称为“学术打假人士”,整天揭发别人抄袭,如果自己也干抄袭的勾当,这样的“人”是该被分到最卑劣的一群里头去的。 让我们问一下方舟子,你承认你的这篇文章是抄袭之作吗? 附件 1. 文字的对比 其中最令人心酸的莫过于对在20岁时死于决斗的法国数学天才伽罗华的描写:在决斗的前夜(1832年5月29日晚),伽罗华预料到自己将会死去,通宵达旦 奋笔疾书,与时间赛跑,力图把他的所有数学成果纪录下来,时不时在一旁写下“我没有时间”、“我没有时间”。贝尔说:“他在黎明前那些绝望的最后时刻写下 的东西,将会使一代代数学家忙上几百年。”“他一劳永逸地发现了一个折磨了数学家几个世纪的谜团的答案:在什么条件下一个方程有解?” The most memorable chapter ... describes the life and death of the French mathematician Galois, who was killed in a duel at the age of twenty. ... All night long he had spent the fleeting hours feverishly dashing off his scientific last will and testament, writing against time to glean a few of the great things in his teeming mind before the death he saw could overtake him. Time after time he broke off to scribble in the margin "I have not time; I have not time," and passed on to the next frantically scrawled outline. What he wrote in those last desperate hours before the dawn will keep generations of mathematicians busy for hundreds of years. He had found, once and for all, the true solution of a riddle which had tormented mathematicians for centuries: underwhat conditions can an equation be solved? 《数学大师》的浪漫笔调激励了许多年轻人投身于数学研究,the romantic prose of E.T. Bell's Men of Mathematics, ... has awakened many people of my generation to the beauties of mathematics. ... The legend ... has fired the imagination of generations of mathematics students. 后来的科普文章在介绍伽罗华时也多沿用贝尔的描述。Much of the drama surrounding the legend of his death has been attributed to one source, Eric Temple Bell's Men of Mathematics. 被20世纪著名数学家赫曼•威尔称为“可能是人类全部文献中最重大的一篇文稿”。 Hermann Weyl, one of the greatest mathematicians of the 20th century, said of this testament, "This letter, if judged by the novelty and profundity of ideas it contains, is perhaps the most substantial piece of writing in the whole literature of mankind." 群论的创建足以使数学家忙上几百年,但并非一夜之间的事。Galois had indeed helped to create a field which would keep mathematicians busy for hundreds of years but not "in those last desperate hours before the dawn." 自17岁起伽罗华就在从事这方面的研究,并写了几篇论文, Galois had been submitting papers on the subject since the age of 17. 他的遗书中的相当篇幅是在为这些论文做注释和更正。至于那句著名的“我没有时间”,则只在遗书手稿的旁边注释中出现了一次:“要完成这个证明还需要做些工 作。我没有时间。” During the course of the night he annotated and made corrections to some of his papers. He comes across a note ... writes directly beneath it: "There are a few things left to be completed in this proof. I have not the time". This famous inscription appears only once 1832年5月30日清晨,伽罗华在决斗中被击中腹部,被路过的农民送往医院。第二天早晨10点他死于医院,临终前拒绝接受神甫的祈祷,对他的弟弟阿尔佛 雷德说:“不要哭,阿尔佛雷德!我需要全部的勇气在20岁时死去。”On 30 May 1832, early in the morning, he was shot in the abdomen and died the following day at ten in the Cochin hospital (probably of peritonitis) after refusing the offices of a priest. He was 20 years old. His last words to his brother Alfred were: Don't cry, Alfred! I need all my courage to die at twenty. Evariste Galois confronted an adversary in a duel to be fought with pistols, and was shot through the stomach. Hours later, lying wounded and alone, Galois was found by a passing peasant. 但是阿尔佛雷德认为他是被谋杀的, Alfred Galois, unjustifiably in his view, did maintain that his older brother was murdered. 他生活在法国历史上一个动荡不安的历史时期。Galois lived during a time of political turmoil in France. 1815年,拿破仑在滑铁卢惨败后,法王路易十八复位,1824年路易十八死后,由其弟弟查理十世继位。The year 1815 saw the famous one hundred days. Napoleon entered Paris on March 20, was defeated at Waterloo on 18 June and abdicated for the second time on 22 June. Louis XVIII was reinstated as King but died in September 1824, Charles X becoming the new King. 但是到了1830年,议会中的自由派占了多数,查理十世面临被废黜的危险,于是他在这一年的7月颁布敕令,这激起了街头革命。查理十世被迫逊位,议会推举 路易-菲利浦继承王位。and by 1830 the opposition liberal party became the majority. Charles, faced with abdication, staged a coup d'état, and issued his notorious July Ordinances, touching off the July Revolution which ended with Louis-Philippe becoming king. “七月革命”爆发时,伽罗华正在巴黎师范学校读书,该校校长为阻止学生上街作战,关闭校门,使伽罗华失去参加革命的机会。伽罗华在报上发表来信攻击校长, 被开除。 The July revolution of 1830 reared its head. The Director of l'Ecole Normale, M. Guigniault, locked the students in so that they would not be able to fight on the streets. Galois ... in doing so missed the revolution. ... Galois saw his chance for attack and jumped into the squabble with a blistering letter to the Gazette des Ecoles. ... the result is what might have been anticipated: Galois was expelled. 在正式被开除之前,伽罗华已离开学校,参加拥护共和的国民卫队炮兵队,Even before his expulsion from Normale was to take effect on January 4, 1831, Galois joined the staunchly Republican artillery unit of the National Guard. 并加入当时最激进的秘密革命组织“人民之友社”。 Galois probably joined the Society of Friends of the People, one of the most extreme republican secret societies 不久,政府解散国民卫队炮兵队,并逮捕其19名军官,指控他们阴谋推翻政府。这些军官后被无罪释放。1831年5月9日,在庆祝这些军官获释的宴会上,伽 罗华高举匕首高呼“为路易-菲利浦国王干杯”,第二天以“企图暗杀国王”的罪名被捕。一个多月后被宣告无罪获释。7月14日“巴士底日”(后来的法国国庆 节)那天,伽罗华身穿炮兵队制服,携带步枪、手枪和匕首,与法律系的学生杜沙特雷一起带领群众在街上示威,再次被捕,被判入狱6个月。1832年4月29 日伽罗华获释,1个月后就迎来了那场致命的决斗。on December 31, 1830,the artillery of the National Guard was disbanded out of fear that they might destabilize the government. At around the same time, nineteen officers of Galois' former unit were arrested and charged with conspiracy to overthrow the government.In April, all nineteen officers were acquitted of all charges, and on May 9, 1831, a banquet was celebrated in their honor, ... Galois proposed a toast to King Louis-Philippe with a dagger above his cup, which was interpreted as a threat against the king's life. He was arrested the following day, but was later acquitted on June 15. On the following Bastille Day, Galois was at the head of a protest, wearing the uniform of the disbanded artillery, and came heavily armed with several pistols, a rifle, and a dagger. For this, he was again arrested, this time sentenced to six months in prison for illegally wearing a uniform. He was released on April 29, 1832 ... A month after his release, on May 30, was Galois' fatal duel. 其实她是伽罗华出狱后居住的旅店的医生的女儿。伽罗华为了她主动挑起决斗。和伽罗华决斗的人是谁?伽罗华在遗书中说约他决斗的是两名“爱国者”。根据大仲 马的回忆录,决斗者是当初被捕的19名军官之一德艾尔宾维尔。但是根据决斗几天后一家报纸的报道,与伽罗华决斗的是和他一起被捕的“人民之友社”成员、他 的好友杜沙特雷。 the woman he was in love with was apparently a certain Mademoiselle Stéphanie-Felicie Poterin du Motel, the daughter of the physician at the hostel where Galois remained during the final months of his life ... and this might have prompted him to provoke the duel himself on her behalf. ... As to his opponent in the duel, Alexandre Dumas names Pescheux d'Herbinville, one of the nineteen artillery officers ... However, Dumas is alone in this assertion, and extant newspaper clippings from only a few days after the duel give a description of his opponent which is inconsistent with d'Herbinville, and more accurately describes one of Galois' Republican friends, most probably Ernest Duchatelet, who was also imprisoned with Galois on the same charges. Galois also writes another, similar letter ... I have been provoked by two patriots 由于是朋友决斗,所以没有采取手枪对射的方式,而是采用“俄罗斯轮盘赌”,用枪口互相顶着对方开枪,其中只有一把枪装着子弹。 because of their old friendship they could not bear to look at one another and left the decision to blind fate. At point-blank range they were each armed with a pistol and fired. Only one pistol was charged ... deciding the outcome by a gruesome version of Russian roulette 第一次是在1829年,在他中学最后一年,提交了关于群论初步研究结果的论文,审稿人是著名数学家柯西。柯西意识到这一论文的重要性,曾在一封信中提及将 在科学院的会议上对之做介绍。但是在那次会议上柯西却只介绍自己的工作。为何柯西没有按计划介绍伽罗华的工作,成了一个谜。有人猜测是因为柯西建议伽罗华 将其研究写成更完整的论文参加科学院的数学大奖赛。伽罗华于1830年2月提交论文参加该大奖赛,寄给当时科学院终身秘书傅立叶,但傅立叶在5月去世,伽 罗华的论文也没了着落。On May 25 and June 1, 1829, while still only 17, he submitted to the Academy his first researches on the solubility of equations of prime degree. Cauchy was appointed referee. ... a letter of Cauchy ...proves that ... he had planned to present them to the Academy in January 1830. ... Cauchy was ... very likely aware of their importance. At the following session on 25 January, however, Cauchy, while presenting his own memoir, did not present Galois's work. Taton hypothesizes that between January 18 and January 25, Cauchy persuaded Galois to combine his researches into a single memoir to be submitted for the Grand Prize in Mathematics, for which the deadline was March 1. Whether or not Cauchy actually made the suggestion cannot yet be proved, but in February Galois did submit such an entry to Fourier in his capacity of perpetual secretary of mathematics and physics for the Academy. ... the death of Fourier on May 16, 1830. Galois's entry could not be found among Fourier's papers. 1831年1月,应泊松的邀请,伽罗华再次向科学院投稿。但泊松又以伽罗华的工作无法理解为由退稿。接到退稿时伽罗华正因政治活动入狱,Simeon Poisson asked him to submit his work on the theory of equations, which he submitted on January 17. Around July 4, Poisson declared Galois' work "incomprehensible", ... the rejection report ... took some time for it to reach Galois, which it finally did in October that year, while he was imprisoned. 在一次酒醉后曾试图用匕首自杀,被同牢犯人制止。While in Sainte-Pélagie prison Galois attempted to commit suicide by stabbing himself with a dagger but the other prisoners prevented him. 有两、三千名共和党人参加了他的葬礼。two or three thousand republicans later attended the funeral 伽罗华被埋在一块普通墓地,很快就被人遗忘,现在已找不到其坟墓。 Galois's body was interred in a common burial ground of which no trace remains today. 附件 2. “公案”的开头: 美国数学家埃里克•坦普尔•贝尔在1937年出版了一部至今还在印刷的科普名著《数学大师》,其中最令人心酸的莫过于对在20岁时死于决斗的法国数学天才 伽罗华的描写:在决斗的前夜(1832年5月29日晚),伽罗华预料到自己将会死去,通宵达旦奋笔疾书,与时间赛跑,力图把他的所有数学成果纪录下来,时 不时在一旁写下“我没有时间”、“我没有时间”。贝尔说:“他在黎明前那些绝望的最后时刻写下的东西,将会使一代代数学家忙上几百年。”“他一劳永逸地发 现了一个折磨了数学家几个世纪的谜团的答案:在什么条件下一个方程有解?” 《数学大师》的浪漫笔调激励了许多年轻人投身于数学研究,甚至成为著名数学家,其中包括诺贝尔经济学奖获得者约翰•纳什。后来的科普文章在介绍伽罗华时也 多沿用贝尔的描述。据称,伽罗华在这一晚写就的几十页手稿开创了数学一个极为重要的分支——群论,被20世纪著名数学家赫曼•威尔称为“可能是人类全部文 献中最重大的一篇文稿”。还有一种说法是,由于伽罗华的不幸早逝,人类数学研究的进展推迟了几十年。 这些描写和评论都是为了增添天才早逝的悲剧色彩的夸大其词。群论的创建足以使数学家忙上几百年,但并非一夜之间的事。自17岁起伽罗华就在从事这方面的研 究,并写了几篇论文,送交法国科学院或在期刊上发表,其中有3篇在1830年发表。他的遗书中的相当篇幅是在为这些论文做注释和更正。至于那句著名的“我 没有时间”,则只在遗书手稿的旁边注释中出现了一次:“要完成这个证明还需要做些工作。我没有时间。” 1832年5月30日清晨,伽罗华在决斗中被击中腹部,被路过的农民送往医院。第二天早晨10点他死于医院,临终前拒绝接受神甫的祈祷,对他的弟弟阿尔佛 雷德说:“不要哭,阿尔佛雷德!我需要全部的勇气在20岁时死去。”按照伽罗华在决斗前夕留下的遗书中的说法,他是做为“一个下流的风骚女人的牺牲品”而 死去的,但是阿尔佛雷德认为他是被谋杀的,后来也有很多人怀疑这是一个保王党清除激进的共和党人的政治阴谋。 的开头: In Paris, on the obscure morning of May 30, 1832, near a pond not far from the pension Sieur Faultrier, Evariste Galois confronted an adversary in a duel to be fought with pistols, and was shot through the stomach. Hours later, lying wounded and alone, Galois was found by a passing peasant. He was taken to the Hospital Cochin where he died the following day in the arms of his brother Alfred, after having refused the services of a priest. Had Galois lived another five months, until October 25, he would have attained the age of twenty-one. The legend of Evariste Galois, one of the creators of group theory, has fired the imagination of generations of mathematics students. Many of us have experienced the excitement of Freeman Dyson who writes: In those days, my head was full of the romantic prose of E.T. Bell's Men of Mathematics, a collection of biographies of the great mathematicians. This is a splendid book for a young boy to read (unfortunately, there is not much in it to inspire a girl, with Sonya Kovalevsky allotted only half a chapter), and it has awakened many people of my generation to the beauties of mathematics. The most memorable chapter is called "Genius and Stupidity" and describes the life and death of the French mathematician Galois, who was killed in a duel at the age of twenty. Dyson goes on to quote Bell's famous description of Galois's last night before the duel: All night long he had spent the fleeting hours feverishly dashing off his scientific last will and testament, writing against time to glean a few of the great things in his teeming mind before the death he saw could overtake him. Time after time he broke off to scribble in the margin "I have not time; I have not time," and passed on to the next frantically scrawled outline. What he wrote in those last desperate hours before the dawn will keep generations of mathematicians busy for hundreds of years. He had found, once and for all, the true solution of a riddle which had tormented mathematicians for centuries: under what conditions can an equation be solved? 公示链接: 方舟子抄袭案(第3号) 评议书(第1号) 本评议人认为举报人的证据充分,论证合理。首先,举报人的证据可靠,翔实,直接。所有引文均引自涉嫌抄袭文章和上述有关资料来源。我认为,举报人的证据清晰可信,超过了“优势证据”标准,尽到举报人初始的举证责任。 举报人查证,涉嫌抄袭的文章内容几乎全部来自下面三篇文章: en.wikipedia.org; www.physics.princeton.edu; www-history.mcs.st-andrews.ac.uk 其次,举报人的论证合理。判定抄袭,原则上要根据作品的主旨,结构和语句来判断。举报人还引用被举报人的说法,“判断科普文章、随笔是否抄袭,不在于是否一一标注了文献,而在于文章的主旨、写法和语句是否雷同。” 涉嫌抄袭文章和上述三篇文章题材相同。主旨也并无二致。读者对象也是一般大众,而非数学专业人士。涉嫌抄袭文章的实质内容,没有超出这三篇文章涉及的范围。因此,通过对照涉嫌抄袭文章和上述三篇文章,来判定被举报人是否抄袭,是合乎情理的。 举报人从主旨、写法和语句三个方面详细对照涉嫌抄袭文章和上述三篇文章。举报人发现,涉嫌抄袭文章的一些段落,上述原文的相关段落的结构完全相同,措词写法也相似。有些段落,甚至可以说是资料来源的逐字翻译。举报人特别指出,一些复杂的长句,语句和英文原文高度相似。而两个不同语种的作者,如果不是抄袭,很难写出这样高度相似的长句。正如举报人指出的,被举报人也持这样的看法。然而,涉嫌抄袭文章,即使在这些高度相似的地方, 也没有注明自己的文字实际上是翻译。 鉴于被举报人没有注明他的文章是翻译,他的行为也就构成了抄袭。 即使假设被举报人文章是翻译,由于他没有注明出处,根据美国大学有关翻译注明出处的规定,他的行为仍然视为抄袭。例如,西佛罗里达大学规定: Translation from one language to another is not using your own words and ideas and is treated as plagiarism. Translations fall under the guidelines for quotations, summaries and paraphrasing. (See ) 被举报人这种貌似编译而又不注明出处的抄袭手法,是典型的“跨语际抄袭”。 Bilingual plagiarism is the act of passing off the work of others (in particular, the writing of others) as one’s own and disguising the plagiarism by intentionally translating the work into another language without giving due attribution to the original author. (参见Carmel McNaught and David M. Kennedy, “Bilingual Plagiarism in the Academic World,”in Ethical Practices and Implications in Distance Learning, IGI Global, 2009.) 本评议人还注意到,举报人专门引述了被举报人谴责抄袭行为的原话,表明即使按照被举报人的界定,他的做法也属于抄袭。举报信已经提交被举报人。但是,被举报人没有反驳举报中的指控,也没有就自己言行的不一作出任何解释。被举报人在有机会反驳和解释的时候,放弃自己的责任。因此,裁决机构可以根据举报人现有的证据判定被举报人的行为构成了抄袭。 方舟子抄袭案(第3号) 评议书(第2号) 对于洪荞举报方舟子“科学史上著名公案——数学天才伽罗华之死”一文抄袭的评议意见 洪荞在“让方舟子自己说说他这是不是抄袭 ”一文(以下简称:洪文)中指称方舟子发表在《经济观察报》及收入《爱因斯 坦信上帝吗?——方舟子解读科学史著名谜团》一书中的“科学史上著名公案——数学天才伽罗华之死”(方文)一文抄袭自英文维基百科网页(引文1 )及该网页列出的两个链接(引文2 ,作者Tony Rothman ;引文3 )。经过认真审阅洪文、方文及相关引文,评议人认为洪文提供的证据是真实和充分的,洪文认定方文抄袭的结论是成立的。 (一)根据洪文列举的证据,可以看出方文大部分是源于引文1 的内容、部分段落源于引文2 经过编译而成。然而方文中没有任何文字提及引文1 及引文2 的出处。这是一种把他人的作品改头换面据为己有的行为,所以洪文认定方文抄袭是合理的。 (二)除了洪文中列举的方文与引文1 和2 中大量语句、结构及叙述事实相似乃至雷同之外,方文中出现了数处误读引文1 而导致的特征性错误,从而进一步确证了方文抄袭的结论。引文1 是由用户自由编辑的百科全书性质的文件,属于二次文献。如果方文是根据原始文献而非引文1这种二次文献归纳而成,是不可能出现如下列举的常识性错误: 1.正如洪文指出的:方文中“其实她是伽罗华出狱后居住的旅店的医生的女儿”是根据引文1 中“the daughter of the physician at the hostel where Galois remained during the final months of his life。”而“望文生义”导致的错误翻译。实际上,如果仔细阅读作为引文1 的引用文献引文2 就会知道:伽罗华的最后一段监禁(1832年3月16日至4月29日)是在Sieur Faultrier的一个疗养院中,而卷入伽罗华感情生活的女性是这家疗养院的驻院医生的女儿。 (参见引文2 :“...March 16, 1832, when he was transferred to the pension Sieur Faultrier. Ironically enough, this was to prevent the prisoners from being exposed to the cholera epidemic then sweeping Paris.”;“she was Stephanie-Felicie Poterin du Motel, daughter of Jean-Louis Auguste Poterin du Motel, a resident physician at the Sieur Faultrier, where Galois stayed the last months of his life.”) (译文:“...1832年3月16日,他(伽罗华)被转送到Sieur Faultrier休养院。很讽刺的是,这次转送是为了防止囚犯们感染巴黎当时流行的霍乱。”“她是Stephanie-Felicie Poterin du Motel,Sieur Faultrier (疗养院)驻院医师Jean-Louis Auguste Poterin du Motel的女儿,伽罗华在生命中最后数月住在那里”。 需要指出的是,引文1 根据引文2 而表述的“the daughter of the physician at the hostel where Galois remained during the final months of his life。”是可以接受的。请注意“final months”所用的是复数。伽罗华从出狱到死亡只有1个月时间,方文却特意强调“出狱后居住的”,显然方文作者不仅缺乏对其文章中主角伽罗华生平的基本了解,同时英文阅读理解犯了错误,因为即使不知道“hostel”的确切含义,从“final months”中的复数用法也可推断这肯定不是出狱后发生的。如果通过阅读原始文献而整理成的文章是不会出现方文中这样望文生义的错误。 2.方文的下面一个错误也是由于编译引文1 而产生的: 方文:“和伽罗华决斗的人是谁?伽罗华在遗书中说约他决斗的是两名“爱国者”。根据大仲 马的回忆录,决斗者是当初被捕的19名军官之一德艾尔宾维尔。但是根据决斗几天后一家报纸的报道,与伽罗华决斗的是和他一起被捕的“人民之友社”成员、他 的好友杜沙特雷。” 引文1 :“As to his opponent in the duel, Alexandre Dumas names Pescheux d'Herbinville, one of the nineteen artillery officers ... However, Dumas is alone in this assertion, and extant newspaper clippings from only a few days after the duel give a description of his opponent which is inconsistent with d'Herbinville, and more accurately describes one of Galois' Republican friends, most probably Ernest Duchatelet, who was also imprisoned with Galois on the same charges. Galois also writes another, similar letter ... I have been provoked by two patriots ” 而事实上,“决斗几天后一家报纸”的报道并没有给出决斗对手的名字,在该报道中只是用以下语句形容这个对手“one of his old friends, a young man like himself, like himself a member of the Society of Friends of the People”“ L.D., his adversary, is a bit younger” (译文:“对手是像他(伽罗华)一样的年轻人,一样是人民之友协会成员”;“L.D., 他的对手比他年轻一点”)”)。而正是引文2 的作者Rothman根据以上叙述在引文2中第一次推测这篇报道中名字缩写为L.D.的对手是Ernest Armand Duchatelet。事实上,对于伽罗华的研究者们来说,决斗对手的真实身份至今仍然是个谜。(参见引文1 :Given the conflicting information available, the true identity of his killer may well be lost to history.(根据治现存相互矛盾的资料,杀手的真实身份仍迷失在历史中)。 (三) 方文开篇提到了贝尔的《数学大师》一书(贝文 )及“后来的科普文章在介绍伽罗华时也多延用贝尔的描述”。然而,方文除了转引贝书中关于叙述的伽罗华最后一夜的内容外(引文2开篇部分引述过贝文这部分内容 ),其它大部分事实与《数学大师》中涉及伽罗华的部分完全不同。例如决斗的方式:贝文377页 是这样描述的:“The dual was with pistols at twenty five paces. Galois fell, shot through the intestines”(译文:决斗是用手枪距离25步远进行的,伽罗华倒下了,被射穿了肠子)。所以方文是不可基于贝文的复述创作的。 洪文指出:“方舟子对《数学大师》一书中段落的选择以及对《数学大师》那“浪漫”的形容也与 完全一致。”。事实上,引文2中的“浪漫”说法的段落是直接引述F Dyson在其书中(Disturbing the Universe, 引文2 列举的参考文献1)对贝尔全书的一句感官评价。《数学大师》共有29章,介绍了从公元前到19世纪历史上著名数学家们的生平和数学上的贡献。其中第20章“Genius and Stupidity”(天才和愚蠢)是介绍伽罗华的生平和数学贡献。然而,单从描述伽罗华的这一章来看,无论从其题目“天才和愚蠢”,还是伽罗华的论文被法国科学院丢失、拒绝,与一文不值的女孩(worthless girl, 贝文374页 )的感情,及最后伽罗华在愚蠢的决斗中丧命的情节,都难以想象出怎么用“浪漫的笔调”写出的这一章节。这不合情理的用词旁证了方文中“《数学大师》的浪漫笔调”是复制自引文2。 此外,方文在介绍贝尔书的语句也抄袭维基网站关于《数学大师》的介绍 方文:“美国数学家埃里克•坦普尔•贝尔在1937年出版了一部至今还在印刷的科普名著《数学大师》,”“ 《数学大师》的浪漫笔调激励了许多年轻人投身于数学研究,甚至成为著名数学家,其中包括诺贝尔经济学奖获得者约翰•纳什。” 英文维基网页 : “Men of Mathematics is a well-known book on the history of mathematics written in 1937 by the mathematician E.T. Bell.”“Men of Mathematics has inspired many young people, including a young John Forbes Nash Jr., to become mathematicians.”( 译文:“《数学大师》是由数学家贝尔写于1937年的关于数学史的名著”;“ 《数学大师》激励了许多年轻人,包括约翰纳什,成为数学家”)。需要指出的是,最后一次印刷《数学大师》英文版是在1986年,所以方文中虽然添加了维基网页 中没有的“至今还在印刷”一句却反而是不确切的。 综上所述,洪文引证的方文中大多语句与引文1及2的雷同,并出现数处只能由于误读引文1而导致的常识错误。由此可以判定方文是主要基于引文1编译而成,同时也引用了引文2和一些其它文章的内容。方文中完全没有提及及标注这些引用内容的来源,所以评议人支持洪文中判定方文抄袭的结论。 参考文献: a. 洪文引文1: b. 洪文引文2:“Genius and Biographers: The Fictionalization of Evariste Galois”,Tony Rothman, c. 洪文引文3: d. “Men of Mathematics—The lives and Achievement of the Great Mathemayicians from Zeno to Poincare”,E.T. Bell, Simon Schuster Inc,New York,1965. e. “Men of Mathematics” From Wikipedia, the free encyclopedia: 方舟子抄袭案(第3号) 评议书(第3号) 我仔细阅读了洪荞的举报材料, 并考证了相关文章的原始出处。 发现如下事实: 1. 举报材料是真实的; 2. 方舟子的署名文章发表时间是在原始文献的发表之后; 3. 方舟子的署名文章没有引证原始文献、也没有在文章中说明其信息来源; 4. 方舟子的署名文章和原始文献有大量的雷同之处。 分别说明如下: 1. 洪荞在举报材料中给出了方舟子署名的中文文章和被抄袭的英文文章的出处。 经查证无误。 2. 同样, 洪荞说明了举报材料中, “ 是WiKi2009年2月5日的版本, 是 中列出的链接”。 经查证无误。 由Tony Rothman在1982年发表于American Mathematical Monthly. 3. 方舟子的署名文章的电子版可见于: 没有引证原始文献、也没有在文章中说明其信息来源。 4. 洪荞敏锐地发现: 方舟子不但在行文结构上抄袭了原始文献, 在语言上也不知羞耻地剽窃了原始文献, 特别是Tony Rothman的文章。 如:方舟子的文中出现“《数学大师》的浪漫笔调激励了许多年轻人投身于数学研究” ,而Tony Rothman引用Freeman Dyson 的著作:“the romantic prose of E.T. Bell's Men of Mathematics, ... has awakened many people of my generation to the beauties of mathematics. ... The legend ... has fired the imagination of generations of mathematics students.”(《Disturbing the Universe》(New York: Harper and Row, 1979), p. 14.) 方舟子的抄袭确实很“浪漫”, 一点也不科学! 更可笑的抄袭是: 方舟子在文中写道“群论的创建足以使数学家忙上几百年,但并非一夜之间的事。”, 方舟子的这种不通顺的汉语, 原来是来自对Tony Rothman的文章的硬译: “Galois had indeed helped to create a field which would keep mathematicians busy for hundreds of years but not "in those last desperate hours before the dawn." ” (见 ) 洪荞把方舟子署名文章和原始文献对比, 充分地揭示了方舟子抄袭剽窃的事实。 方舟子的署名短文, 无段落不抄, 是属于性质极为恶劣的剽窃。 建议通知原文作者, 特别是Tony Rothman。
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纵论人类历史上无法超越的最顶级人物
热度 5 dulizhi95 2011-2-6 13:05
纵论人类历史上无法超越的最顶级人物 春节了,首先给看本人博文的各位博友、网友、朋友拜个年。 为避免麻烦,必须首先声明,本博文论及无法超越的顶级人物,只是强调其无法超越性,而并不一定是赞美,打个比方,在对人类的爱方面,耶稣基督无法超越(注意这里指的是对全人类的爱,若是专指对中国人民的爱,那我们的共产党就是无法超越的了),而在邪恶方面,魔鬼撒旦无法超越。 另外,从人生哲学的角度,此文也并非意味崇拜和羡慕这些人。其实每个人都差不多,都不过是几十年的衣食住行而已,这些人最后留给历史的(包括留给他自己的),亦不过是一个符号。而对任何个人,整个环境、整个世界、包括他自己的全部努力、奋斗、目标等等,对他自己唯一的价值也就在于:他大脑皮层的感觉! 这里谈及顶级人物的话题,只是给各位助助兴 。 就我个人而言,能轻松自如地度过此生就是最大的幸福。 如前所述,从本质上讲,任何顶级人物留给历史的仅是一个符号,整个宇宙当初也就那么一个微不足道的小点点,一个人还有什么值得狂的呢?但在人类社会的范畴内,在人的力度范围内,人的确有强弱高低之分,尼采就曾说过,一个卓越的人物要胜过一万个鸡毛蒜皮的琐碎人。 在人类社会的范畴内,某些顶级的历史人物是无法超越的,后世的人再怎么狂,再怎么出现“造英雄”的“时势”,亦不太可能超越。敝人以个人愚见,列举如下。 首先,科学史上的尊神牛顿是无法超越的,这家伙太神奇了,若是将这家伙劈成十份,每一份都有资格位于人类历史上最顶级的科学家之列。还有那个被某个猪狗般小人枪杀了的娃娃 --- 伽罗华大帝,二十岁即攻克了长期困扰数学界的顶级难题,并开创了一个全新的数学分支,更开启了一个新的数学时代,这小子,同龄的牛顿恐怕也难以与之匹敌吧 。 从神圣和威严的角度,那个横扫六合,一统天下的秦始皇大帝,恐怕再无人能超越了。 从强力政治手腕来看,从让自己的臣民崇敬、让各级官员敬畏、让觐见者诚惶诚恐的角度来看,从玩政治运动、玩大清洗就像玩游戏一样地自如来看,无人能超越那个被称为“古往今来没有哪一个暴君砍其臣民的头颅数能超过他”的君主 --- 斯大林大帝 。 我们再来看看另一个无法超越的人物,为了避免被一些伪君子或浅薄之徒抓辫子责骂,我这里就不点他的名了。那个从一个流浪汉、一个没有受过多少正规教育的人,奋斗到一个优秀民族的绝对统治者,那个在整个人类政治史上唯一有资格被称作“真正独裁者”的人,唯一一个在政治、经济、军事、外交、意识形态及宣传等领域全方位独裁、全方位亲自操持一人说了算的家伙,如果说就连像斯大林这样的强力人物尚要通过阴谋和清洗来保证自己独裁地位的话,这个人只靠直接而简单的口头命令来行使独裁。 许多伪君子和浅薄之徒喜欢从道义的角度来攻击这个人,其实即使仅仅从道义的角度,这个世界上许多人也是无资格攻击这个人的,为什么?因为这个人是为了加强自己的民族而对外犯罪,比那些为了加强自己的腰包而对自己的人民犯罪者,那不是要强上万倍吗 ? 那个仅用了几十天时间就推翻了一个大国政权,并建立了自己的政权的天才革命大师,在这几十天之前,即将被他推翻的那个政权是强大的且呈稳定态,而他自己看得见的力量则几乎为零,几十天后,倒了个个儿,那个政权变为了零,他自己则成了一个大国的统治者 ---- 列宁,无疑是所有革命者的最高偶像。 不可否认,美国对人类发展进步事业起着积极的重要的作用,正如三国中曹操所言:设使天下无孤,则不知有几人称帝几人称王,若无美国,则人类不知要多出多少独裁暴政,比如萨达姆,再比如,二战中若不是美国,中国人民恐怕还要长久地呻吟在万恶而兽性般凶残的小日本的铁蹄下,等等。那个美利坚合众国事业的开创者,美国国父,那个在大成就之后主动放弃权位而甘当农民的家伙,华盛顿从两个角度无法超越,一是他所开创的事业(以美国为标志的民主政治),其生命力和对人类的影响力,二是事成之后主动放弃权位 。 那个以弹丸之邦,起自于弹丸之地,而横扫欧亚大陆,所向无敌的一代天骄成吉思汗,作为征服者,恐怕是无法超越的。 那个仅用了三年时间就完成了从放牛娃到开国帝王历程的东汉光武帝刘秀,其迅猛神奇的奋斗史,肯定应是前无古人后无来者了,此种速度,就连那个举世闻名的狂人流浪汉,也是望尘莫及的,要知道,区区三年,就是让从零开始而迅猛发展的军队的各级干部,完成相互熟悉的时间也不够啊?! 那个集豪情、胸襟和才略于一身,吞天吐地,包揽宇宙的魏武太祖,同时还拥有多位英才盖世的儿子:曹冲称象,曹植赋诗,曹丕文韬武略,能集所有这些于一身的天之骄子,古今中外恐怕只有阿瞒曹操一人! 。。。。。。。 希望各位网友补充 。
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