2 ）、波函数的本征态、本征值 波函数 Ψ ( x ,k) ＝ A( x ,k)e x p{－ i(k. x－ ω t)} ＝ A( x ,k)e x p ( - i k μ x μ ) 在特定的测量条件下，可做广义傅里叶分解，对于定态 波函数 H ( x, k ) ﹡ Ψ n ( x, k ) =E n Ψ n ( x, k ) A ( x, k ) ＝ ∑ 0 ∞ C n Ψ n ( x, k ) ∫∫ Ψ n ( x, k ) ＊ Ψ m ( x, k ) d x d k ＝ δ nm （ 18 ） 分解系数的模平方就是实数空间测到质点在该本征态的概率 。在原子内部由于本征态之间的非连续性特征，k空间将具有对应能级的层级结构特性，并且随着能级间距的缩小，空间层级也将从不连续过渡到连续。这里希尔伯特空间将发挥其应有的作用。
5 、双 4 维复 时 空的物质波 双 4 维复空间， 复数 波函数 ψ （ x,y ） ＝ u ( x, y ) +iv ( x, y ) ＝A( x,y )exp(- i y μ x μ ) （ 12 ） 波函数必须是解析函数，所以它的实部和虚部应满足Cauchy-Riemann条件： ▽ x u( x , y)= ▽ y v( x, y ) ▽ y u( x,y )= － ▽ x v( x,y ) 复数 波函数振幅 A ( x, y )= 1/2 将式 （ 12 ）中用 y =k 代换，即进入双 4 维复数时空，得物质波 波函数 ψ （ x,k ） ＝A( x,k )exp(- ik μ x μ ) ＝A( x,k )exp{- i （ k · x － Et /ħ ) } （ 13 ） 在定态情况下 ， A ( x, k ) 仅与 三维空间坐标和三维曲率坐标 有关 ，即 A (x, k ) = A ( x, k ) ， k 与势函数 V( x ) 相关， 微观客体的内在运动状态与微观客体受到的相互作用相关；物质波的振幅，是空间坐标与微观客体自身空间结构信息变化的函数。 它满足如下微分方程 H ( x, k )exp A ( x, k ) = H ( x, k ) ﹡ A ( x, k ) =E A ( x, k ) （ 14 ） H ( x, k ) 为体系的经典哈密顿函数。这里*运算就是是Moyal乘积，定义如下： F ( x, y ) ﹡ g( x, y )= F ( x, y )exp g ( x, y ) 任何物理量 F ( x, k ) 在这个定态下的平均值可以写成 F - = ﹤F﹥=∫ -∞ ∞ F ( x, k ) A ( x, k ) d x d k （ 15 ） 物理系统总体波函数波长可以通过广义的德布罗意关系式来定义 。如何理解通过 Dirac 变换理论得到的其他表象中的波函数的物质性质，将是我们下一步的工作。
4 、双 4 维复数时空的数学准备 1 ）、 双4元数复空间，可定义如下： Z μ ＝ x μ ＋i y μ Z ※ μ ＝ x μ －i y μ 这里 x μ 可以看成双4元数复空间实4维时空坐标矢量，即 x μ ＝ （ x 1 , － x 2 , － x 3 , － x 4 ), y μ 可以看成双4元数复空间与 微观客体的 曲率 k 相关的洛伦兹矢量，即 y μ ＝ (k 1 , － k 2 , － k 3 , － k 4 ) ， 由是生成了 双4维复数时空 x （ x 1 , － x 2 , － x 3 , － x 4 ), k (k 1 , － k 2 , － k 3 , － k 4 ) ， 双4维复数时空的度规张量 g μν ＝ diag (1,－ 1, － 1, － 1 ) ，所以 x 2 ＝ x μ g μν x ν ＝ x 1 2 － x 2 2 － x 3 2 － x 4 2 , y 2 ＝ y μ g μν y ν ＝ k 1 2 － k 2 2 － k 3 2 － k 4 2 , 以及 ∣Z∣ 2 ＝ ZZ ※ ＝ x 2 ＋ y 2 ， ∣Z∣ 2 ＝ ZZ ※ ＝ x 2 ＋ k 2 都是Lorentz不变量。 我们由一个双4元数复空间得到了一个双4维复数时空。
Mandelbrot 集的出现仅显漏这一未知世界的一丝微妙，不可思议的现象还多着呢。当以 M 集函数 x 2 项系数作时间轴变量，生成三维数集形体随时间连续变化的图像，可见三维 M 集在四维时空中非常有意思的演变过程。 若 x 2 项 系数在实数区间 取值，数集形象会有一连串的惊人表现。这里以区间 为例，其形象演变见下图，会看到这样一幅景象：在 M 集头前“针须”远端，一个新子集无中生有创生出来，可见时仅是一小点，然后，好像在本体的吸引下沿“针须”线向本体靠近，且运动中渐渐长大成样。等子集抵达，平稳对接，这才形成三维 M 集。 看到了吧， M 集的头部不是原地聚集成的，也不是内部长出来的，而是如此创生演化另安上去的。就像孙悟空头被砍掉后本来身体上没有头，说来就来从远处飞来，自动安上就有头了。 若把局部细节放大，还可以看到 M 集自相似子集的演变过程。与头部的生成形式一样， M 集“针须”上众多自相似子集的形成恰似鸡生蛋过程，经无中生有，顺道移动，演变长大，依序就位而成。真是不可思议，数集演变过程竟然也与生物过程不谋而合。
2 、量子力学曲率诠释中的物理概念准备 本文我们用角标 0 表示与 “静态”微观客体相关的物理量，而用 角标 1 、 2 、 3 、 4 ， 表示 4 维时空及与 “动态”微观客体相关的物理量。 （ 1 ） P 0 ＝ m 0 c 称为“静态”微观客体的康普顿动量。象静能 E 0 =m 0 c 2 一样， P 0 是不可直接观察量，是“自在实体 ”的属性。（ 2 ） p 1 ＝ mc 称为“运动”微观客体的康普顿动量。 m 为动质量。（ 3 ） p ＝ m v 为运动微观客体的相对论动量， p 是可观察量。 m 为动质量。（ 4 ） λ 0 ＝ h / m 0 c 为“静态”微观客体的康普顿波长，亦是“自在实体”的属性。（ 5 ） λ 1 ＝ h /mc 称为“运动”微观客体的康普顿波长。（ 6 ） λ ＝ h / m v 为运动微观客体的德布罗意物质波波长。（ 7 ） R 0 ＝ ħ / m 0 c 、 K 0 ＝ m 0 c / ħ 称为“自在实体”的曲率半径和曲率，是不可直接观察量。常用来指称“静态”微观客体的特征长度和特征曲率。（ 8 ） R 1 ＝ ħ / mc 、 k 1 ＝ mc / ħ 称为运动微观客体的曲率半径和曲率； R 1 也常称为“运动”微观客体的特征长度。（ 9 ） R ＝ ħ / m v 、 k ＝ m v / ħ 称为与微观客体的运动增量——动量 p 对应的曲率半径和曲率，是量子力学主要研究对象。 3 、量子力学曲率解释中的物质波 1 ）、微观客体的曲率描述 自旋是微观客体的固有属性 。微观客体不是点，是“限制在一定分布空间的转动物质球。在相应的微观环境中，也不适宜做质点抽象。”物质波场的运动状态与微观客体受到的相互作用相关。 曲率诠释中承载微观客体物质实在性的，是微观客体的曲率半径和曲率。“静态”微观客体曲率半径由 R 0 ＝ ħ / m 0 c （1） 建构。 R 0 呈现“静态”微观客体‘内在’物质波场分布的广延性。 而 曲率 K 0 由 K 0 ＝1/ R 0 ＝ m 0 c / ħ （ 2 ） 定义。 呈现“静态”微观客体“表面”的弯曲程度。 运动微观客体曲率半径 R 1 与曲率 k 1 分别定义为 R 1 ＝ ħ / mc ， k 1 ＝1/ R 1 ＝ mc / ħ 这里 R 1 和 k 1 的取值范围如下： 0 ﹤R 1 ＝ ħ /mc ≦R 0 ， K 0 ≦k 1 ＝mc/ ħ ﹤∞ 。 曲率 k 的引入是对波矢 ( 波数 ) 物理意义的拓展，是物质几何化的又一案例。 2 ）、相对论能量E与动量p 、曲率 k 、 K 0 的内在联系。 若 m ， m 0 是微观客体的动、静质量，由 相对论能量关系式 E 2 ＝(m v ) 2 c 2 ＋m 0 2 c 4 ， (mc) 2 ＝(m v ) 2 ＋(m 0 c) 2 可得 p 1 2 ＝ p 2 ＋ P 0 2 k 1 2 ＝ k 2 ＋ K 0 2 p 1 、 p 、 P 0 ， k 1 、 k 、 K 0 的矢量关系是 p 1 ＝ p ＋ P 0 （ 3 ） k 1 ＝ k ＋ K 0 （ 4 ） k 1 、 k （ 2 、 3 、 4 ） 构成微观客体的四维曲率 k(k 1 , － k 2 , － k 3 , － k 4 ) ，其中 k 1 ＝mc 2 /c ħ ＝mc/ ħ 。 微观客体的曲率半径和曲率抽象，类似于宏观客体质点抽象，象质点具有物质的实在性一样，曲率半径和曲率也具有物质的实在性。 K 0 不可直接观察，在本体世界； k 有可观察现象对应，在现象世界。 k 1 是联系本体世界和现象世界的桥梁。 3 ）、坐标复空间、 曲率复空间 的复数与微观客体曲率抽象的对应 微观客体的物质波形态用复数时空描述。 坐标复空间，复数 z ＝ x +iy ＝re i α 是球心在坐标原点，复空间球面坐标的任意二维复平面描述。 若上述复数的模 r ，由微观客体曲率半径 R 定义，即令 r=R 则上述复空间的球面坐标，描述一半径为 R 的物质球球面坐标。 对于“静态”微观客体，R=R 0 ＝ ħ /m 0 c ，R 0 是一个与运动无关的不变量。 若R为运动微观客体的曲率半径，曲率半径R会因运动速度的增大而变小,其变化范围为 0 ﹤R＝ ħ /mc ≦R 0 , 所以，对于物质球而言，坐标 x 、 y 取值范围在半径为 R 的 物质球内。 引入 曲率复空间 w ＝ u + i v ＝1/z ﹡ ＝1/(re- I α )=ke i α w 是 z 的 映射空间，描述球心在坐标原点，模为 k ＝1/r的 曲率球球面坐标 （二维复平面表示） 。同样，若 k 由微观客体物质球的曲率 k ＝1/R 定义，则 曲率复空间 w ，描述一半径为 R 的物质球的曲率球球面坐标。对于“静态”微观客体有 k ＝ K 0 ＝1/R 0 ， 运动微观客体的曲率k要增大，且 K 0 ≦k＝mc/ ħ ﹤∞。 对于z空间，物质波场在球内， 球外是空的； 而对于映射空间w，物质波场通过曲率映射到球外， 球内是空的。相对于物质球， z 空间与w空间相互映射，描述同一物质波场。 象质点与实空间几何点对应一样，在实空间，用质点的运动描述物体的轨道运动或概率分布；而在复空间，则用曲率半径 R 和曲率 k 的运动和变化描述物质波。
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