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热度 1 renxl 2013-1-31 23:43

一、什么是虚数？首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。这相当于两次逆时针旋转90度。因此，我们可以得到下面的关系式：　 (+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1) 如果把+1消去，这个式子就变为： (逆时针旋转90度)^2 = (-1) 将"逆时针旋转90度"记为 i ： i^2 = (-1) 这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。二、复数的定义既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。三、虚数的作用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。四、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？ 45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）： ( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i ) 所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于： ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i ) 这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。五、虚数乘法的数学证明为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？下面就是它的数学证明，实际上很简单。任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：　a + bi = r1 * ( cosα + isinα ) c + di = r2 * ( cosβ + isinβ ) 这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于 r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ ) 展开后面的乘式，得到 cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ ) 根据三角函数公式，上面的式子就等于 cos(α+β) + isin(α+β) 所以， ( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) ) （转自阮一峰的博客）

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虚数i 把现实世界一切两半

热度 1 wliming 2012-6-25 16:27

上篇《虚数$i$是量子物理的灵魂》讲了虚数$i$ 在量子物理中的重要意义。这里讲讲虚数$i$ 到底是怎么起作用的。简单地说，虚数$i$把粒子的概率密度$\rho$一切两半，成为$\psi^*\psi$. 这个$\psi$ 就是波函数。概率密度是现实世界的物理量，是实数，可以测量。但是，切了一半的波函数不再属于现实世界，是复数，测不了。所以，现实世界被切成了两半。有人讲，这虚东西怎么能存在？当然可以存在。相位，大家都知道，可以实验测量。比如，示波器上就可以测出交变电信号的相位。光波的相位也可以用很多办法测量出来。但是，一个光子的相位却测不出来，于是有了量子不可克隆定理。一个光子的相位来自于它的实部与虚部之比。这个相位存在但测不出来。为什么说它存在? 没有相位，你就不可能解释单光子的双缝干涉。而且，大量的单光子干涉总效果和光波的干涉效果完全一样。这就是虚数必须存在的理由。同理，波函数也有很强的物理效应。电子的波函数可以干涉，可以叠加，产生可以测量的物理效应，比如AB效应，量子振荡等等。

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在虚时空中， E = m(ic)^2 = -mc^2

热度 3 readnet 2011-6-1 23:56

【系统分类：科研笔记】【个人分类：科学八卦】【个人学术观点】在虚时空中， E = m( ic )^2 = -m c ^2 故【负能量】存在于【虚数（复数）时空】中。扩展阅读 “空间”与“时间”相互关系的新认识宇宙开端于虚数时间？ —— 霍金的“虚数时间Ψ” 2011-5-13 15:31 宇宙有一个无限的过去，还是有一个“开端”？这可以说是科学家们长期以来就在绞尽脑汁思考的一个终极问题。进入 20 世纪以来，被称为“宇宙论”的一门学科发展迅速。根据宇宙论的研究，关于宇宙的起源，今天基本上有了一个如下的共识： ... 没有虚数ｉ，就无法描述单个电子的行为 —— “量子力学”与虚数 2011-5-12 15:23 爱因斯坦相对论在用了虚数以后变得容易被人理解，但并不是这个理论本身非要使用虚数不可。爱因斯坦在 1915 － 1916 年发表的“广义相对论”也是如此，即使没有虚数，理论仍然成立。不需要虚数的物理理论还有艾萨克·牛顿 ... 向上坠落的苹果 2011-5-10 15:58 “爱因斯坦相对论”和“毕达哥拉斯定理”之奇特关系 ——“四维时空”与虚数 “ 直角三角形斜边的平方等于底边平方与高边平方二者之和 ”，这就是著名的毕达哥拉斯定理。利用这个定理，纵向相隔 ... 负数乘负数为何得正数？ —— 复平面的奇特性 2011-5-9 14:59 负数与负数相乘，为什么得到的是正数呢？其实，虚数就是由这个规则产生出来的。如果两个负数相乘得到的也是负数的话，那么“负数的平方根”就是负数，也就不会出现虚数了。实际上，负数相乘也不一定非是正数不可。数学规则，归根到底，毕竟是一种“约定”。同“正负 ... 虚数在数轴之外 —— 虚数的可视化和“复数” 2011-5-6 16:44 在欧拉向人们揭示了虚数的重要性之后，仍然有许多人不承认虚数的存在。正数，可以想象为“个数”或“线段的长度”，而虚数却不能。尽管重要，没有视觉形象，人们还是难以接受。当初，欧洲人也曾以同样的理由不承认“负数”的存在。 ... 科网群英烩尉吉勇时空、物质、能量与相对论的探索者

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高斯与复平面　高斯整数和高斯素数

热度 3 readnet 2011-5-16 13:33

“能够用圆规和没有刻度的直尺作图绘出的正多边形只有正三角形和正五边形”，这是古希腊数学家的一种常识。在2000多年里，多少人反复尝试，都希望能够有所突破。结果是一位18岁的青年获得了成功，他就是后来的大数学家高斯，他给出了可用尺规作图的正多边形的条件。 1、i、－1和－i 这四个数的四次方都等于1，换句话说，这四个数都是“1的四次方根”。在复平面上将这四个点用直线连接起来，便得到一个正方形。事实上，在复平面上绘出一个以原点为中心，有一个顶点位置为1的正n边形，那么，这个正n边形的各个顶点便必定都是“1的n次方根” 。上述正四边形不过是一个例子而已。 18岁的高斯，利用他已经想到的复平面的性质，证明了只使用圆规和没有刻度的直尺可以作图绘出正17边形。紧接着在1797年，高斯又证明了，利用圆规和无刻度直尺还可以绘出正257边形和正65537边形。根据高斯的日记，正是这一发现，促使他决心一生都从事数学研究。两年后的1799年，高斯证明了一个被称为“ 代数的基本定理 ”的重要定理。根据这个定理，像“x^2 = -4”一类没有实数解的方程在复数范围内则一定有解。这个结论并不限于二次方程，即使四次方程，甚至100次方程，任何方程只要在复数范围内都必定有解。这样，高斯就证明了，复数已经完成了数王国的扩张，再也没有继续扩充概念的必要了。能通过作图绘出“正17边形”？高斯整数和高斯素数高斯还进行过将整数和素数等概念推广到复数世界的研究。实数部分（实部）和虚数部分（虚部）都是整数的复数叫做“高斯整数”。高斯整数中不能表示为其他两个高斯整数之积的，叫做“高斯素数”。例如 “13”是素数，但是它在复数世界却不是素数（不是高斯素数）。因为13＝（2＋3i）×（2-3i），即可以表示为两个高斯正数之积。在这种“推广的正数和素数”世界得到定理，对于实数的正数和素数也成立。高斯素数的分布高斯素数在复平面上具有以原点为中心，形成独特辐射状花样的分布。【想要破解“哥德巴赫猜想”之谜的朋友可要注意了，在高斯平面，高斯素数的分布看来是有对称规律可循的，它可是“1的四次方根”型的对称分布喔，O(∩_∩)O~。比如，下面【二傻】的新logo，... 举报 wanglaow 2011-5-13 13:48 二傻兄，你新换的头像让我眼晕－－我这人有较强的强迫症。举报 zlyang 2011-5-10 11:35 深奥的新logo！举报赵国求 2011-5-7 07:28 "小图出现了对称性【4】", 中间好象还有个"点"耶! 举报赵国求 2011-5-7 07:18 大图是对称性【3】，为何小图出现了对称性【4】了呢？奇怪! . 是微观的再放大? 四维展示? 天意! 举报赵国求 2011-5-6 17:28 鲍得海:你新图案极类似量子伴生空间的物质波! 外部物理空间的质点如何与其对应想过吗? 博主回复(2011-5-6 21:45) ：这个。。。大图是对称性【3】，为何小图出现了对称性【4】了呢？奇怪! 举报 zlyang 2011-4-19 16:59 新logo？博主回复(2011-5-6 21:47) ：在小LOGO中看见【铁十字架】了吗？它是如何出现的涅？举报隔壁家的二傻子 2011-4-17 23:20 【1+1 = 2 * （322 + 11：11）= 666】举报隔壁家的二傻子 2011-4-17 13:49 最近练习萨满，出问题了！搞不明白【1+1】= ？　　隔壁家的二傻子】

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宇宙开端于虚数时间？ —— 霍金的“虚数时间Ψ”

热度 3 readnet 2011-5-13 15:31

宇宙有一个无限的过去，还是有一个“开端”？这可以说是科学家们长期以来就在绞尽脑汁思考的一个终极问题。进入 20 世纪以来，被称为“宇宙论”的一门学科发展迅速。根据宇宙论的研究，关于宇宙的起源，今天基本上有了一个如下的共识： “ 我们的宇宙日复一日不停地在膨胀。这意味着，在极其遥远的过去，宇宙应该是被挤压在一个极端微小的区域。按照最新观测结果推算，这个宇宙开始于约 137 亿年前。” 那么，这个“宇宙的开始”能够用物理学加以说明吗？在 20 世纪 60 年代，霍金与同是英国物理学家的罗杰·彭洛斯（ 1931 －）共同证明了一个叫做“ 奇点定理 ”的定理。这个定理的要点是：“ 如果认为在宇宙之初宇宙只有极其微小的大小，那么，在那样一个微小的宇宙中，广义相对论会失效，不能使用。既然如此，那该怎么办呢？霍金想出了一个新奇的主意，他指出： “宇宙之初存在的是一种虚数时间，是在不久之后才改变为实数时间的”。霍金认为，有了这种“虚数时间”的假定，我们便仍然可以在广义相对论的框架内来讨论宇宙的开始。宇宙之初流动的真的是虚数时间吗？遗憾的是，没有办法证实。提出虚数时间的意义在于，如果想象存在着一种虚数时间，那么，宇宙起源这个终极问题便也能够得到答案。难道宇宙之初流动的是虚数时间，后来才变成实数时间？为什么需要“虚数时间”？美国特福兹大学的亚历山大·维兰金博士（ 1949 －）在 1982 年发表了他的“ 宇宙由虚无创生论 ”，那就是基于存在虚数时间的假设提出的一种宇宙起源假说。由于虚无发生涨落而诞生出来的宇宙种子本来是不能够翻越能量“山”的，但是，如果流动的是虚数时间的话，就能够翻越。这种现象可以用量子力学的“ 隧道效应 ”来解释，然而其实质却是前面介绍的在虚数时间世界“苹果向上坠落”。换句话说，当流动的是虚数时间时，力倒转方向，能量“山”变成了能量“谷”。因此，宇宙种子能够顺利地通过能量壁垒。另外，霍金在 1983 年还同哈特尔博士一起发表了一种“ 无边界假说 ”。该假说认为，如果假想在宇宙之初曾经有过虚数时间的话，那么，在那样的宇宙中，空间和时间经没有区别（道理与前面介绍的闵可夫斯基的虚数时间相同）。这样一来，宇宙的开端经没有任何特别之处，同时也就消除了导致广义相对论失效的“奇点”。 “宇宙开端”之谜也许可以利用“虚数时间”得到说明扩展阅读没有虚数ｉ，就无法描述单个电子的行为 —— “量子力学”与虚数向上坠落的苹果叶峰：数学的真理是什么？【摘要现代物理学告诉我们，宇宙可能是有穷的，时空也可能是离散而非连续的，但在现代数学中我们似乎有着非常确定的、关于某些无穷和连续的数学对象和结构的真理。这些独立于物质世界的数学对象和结构果真存在吗？数学定理果真是关于它们的客观真理？我们的物质性的、有限的大脑又如何真的可能认识那些独立于物质世界的、而且是无穷的事物？也许不应该以这种方式理解数学真理？这是令当代西方一些哲学家困惑的一个问题。本文的目的是向哲学专业以外的读者介绍近代与当代一些哲学家对这个问题的思考，并作一些评述。关键词数学哲学真理数理逻辑康德弗雷格哥德尔卡尔纳普蒯因作者简介：叶峰，普林斯顿大学哲学博士，北京大学哲学系副教授】陈钊：宇宙确实有质心已有 42 次阅读 2011-5-18 12:58 | 系统分类: 科研笔记有些议论认为宇宙没有中心或处处是中心，深思后，发觉存在漏洞。为了简便计，这里只考虑质心。现有观测还不能给出河外星系的全部质量分布（因为银河悬臂的遮挡），但是从已经有的资料看，大尺度上星系分布虽然是均匀的，但质量分布很可能是不均匀的。质心不一定位于观测者的位置。（见图，红色线上“空泡”比较多，蓝色线上星系比较多，且遭遇星系较多的方位都位于同一侧）（无论参考系如何选取），如果是初速度为0，合外力为0的力学系统的话，这个系统的质心是不随时间改变的，这个结论在狭义相对论和经典力学都成立，但我不知道在广义相对论是否也成立？星系分布发表评论评论 ( 3 个评论) 举报周少祥 2011-5-18 13:45 你只能站在宇宙之内，何以跑到宇宙之外去了？何言质心或中心？凭什么？举报 xiaojy 2011-5-18 13:28 我也曾试图考虑这样高深的问题，但后来发现“我的智力不适合这个” 举报 xiaojy 2011-5-18 13:26 太高深了，看不懂，需要科普。

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没有虚数ｉ，就无法描述单个电子的行为 —— “量子力学”与虚数

热度 4 readnet 2011-5-12 15:23

爱因斯坦相对论在用了虚数以后变得容易被人理解，但并不是这个理论本身非要使用虚数不可。爱因斯坦在 1915 － 1916 年发表的“广义相对论”也是如此，即使没有虚数，理论仍然成立。不需要虚数的物理理论还有艾萨克·牛顿所建立的“牛顿力学”和詹姆斯·麦克斯韦集大成的“电磁学”。直到 19 世纪所形成的所有物理学理论，全都不需要虚数或复数，只在实数范围就能够一切搞定。然而，进入 20 世纪以后，终于出现了必须要使用虚数的物理理论。这就是“量子力学”（量子论）。量子力学是说明原子和电子的行为等眼睛看不见的微观现象所遵循的规律的一种理论。量子力学的基本方程是奥地利物理学家艾尔文·薛定谔（ 1887 － 1963 ）所建立的“薛定谔方程”。这个方程开头就是一个虚数单位 i 。在所有原子中，最简单的是氢原子（ H ）。氢原子仅由一个质子和一个电子组成，通常被描述为“中心有一个质子，另有一个电子围绕着质子旋转”。若要具体知道“电子距离质子究竟有多远”，那就只有利用薛定谔方程才能求得答案（严格说来，得到的是电子位置的一种“概率分布”）。在求解薛定谔方程时，必然要进行包含虚数或复数的计算。量子力学的基本方程中包含有虚数 i 小结物理学中最重要的四个理论 1. 牛顿力学说明具有质量的物体的运动规律的理论。利用牛顿力学的基本方程“运动方程”（ F=ma ）可以说明炮弹的轨迹和月球围绕地球的运动等。牛顿力学只需要用到实数。 2. 麦克斯韦电磁学关于电和磁之间相互作用的理论。利用电磁学的基本方程“麦克斯韦方程”可以说明作为电磁波（电和磁的波）的光（可见光）和无线电波等的性质。电磁学只需要用到实数。 3. 爱因斯坦广义相对论阐明引力是具有质量的物体所引起的“时空弯曲”的理论。基本方程是“爱因斯坦方程”。利用爱因斯坦方程可以求出太阳周围时空的弯曲方式等。广义相对论只需要用到实数。 4 量子力学的基本方程 “薛定谔方程”中包含有虚数 i 说明原子或电子等及其微小的物质所表现的性质的理论。根据量子力学，在没有进行观测时，单个电子所在的位置是不确定的（称为“不确定性原理”）。但是，通过计算可以知道“在什么位置容易发现这个电子”。这种概率分布是用具有复数值的“波函数”（严格说来，应该是波函数绝对值的平方）来表示的。利用量子力学的基本方程“薛定谔方程”，可以求出波函数随时间的变化。这个方程中有一个十分显眼的虚数单位 i 。事实上，量子力学可以说是一个没有虚数或复数就不能够成立的物理理论。扩展阅读刘全慧刘全慧： “秒杀”狭义相对论 2011-05-02 每一们理论学科都有其 “ 魂魄 ” 在。而只有掌握了其 “ 魂魄 ” ，才能说进入了这们学科的大门。在博文《读一部高等量子力学著作 ... 刘全慧：《通过无限深势阱理解量子力学非定域性》 “ 许多人在原则上都接受量子力学非定域性，可以遇到具体实际问题时却又落入经典定域性的陷阱 ” ——王正行《严谨与简洁之美--王竹溪 ... 刘全慧：量子力学应用于石墨烯的一个基本困难 2011-02-16 一，预备知识物理学研究自然界的物质及其运动。理论物理和物理理论的侧重点有些许差别。理论物理会预言自然界会存在某种 ... 曹天德曹天德：谁说波函数不存在？ 2011-5-12 09:18 波函数是量子力学的核心概念，通过波函数可以建立各观测量之间的联系。说波函数不存在，就是认识深刻？不！因为取消了波函数，就得重建一门科学，可是这个重建的影子都没有看见，否定波函数不就是空话吗？有人会问：“波函数直接表示什么？”这就有点那个什么味道啦！ ... • 从量子力学的波函数想开去黄秀清黄秀清：惊梦！新型量子武器“波塌弹” 罗教明 • 权威文献摘录：量子力学要点、争议与混乱尉吉勇 • 薛定谔方程或是信息波方程概率是真空涌现粒子概率吴国林 • 量子纠缠具有实体性

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荒岛上的宝藏埋在何处？

热度 1 readnet 2011-5-12 08:40

在一个无人居住的荒岛上，埋藏有非常值钱的财宝。有一页流传下来的古老文字，关于埋藏地点是这样记述的：岛上有一个绞死叛徒的绞刑架，还有一颗柞树和一颗松树。先站在绞刑架前，向柞树走去，记下走到柞树跟前的步数，然后向右拐直角弯，走同样的步数，在那里打下第一根桩。回到绞刑架，这次向松树走去，记下走到松树跟前的步数，然后向左拐直角弯，走同样的步数，在那里打下第二根桩。财宝就埋藏在第一根桩和第二根桩之间的中点处。有个年轻人意外地得到了这页文字，他到岛上去挖财宝。柞树和松树还在，但是却没有见到最关键的绞刑架。大概是年代太久，腐朽消失了。年轻人只好到处乱挖，始终未能找到宝藏，最后垂头丧气地离开了小岛。各位看官，你们能想出什么办法，帮助找出这个荒岛上的宝藏吗？【负数乘负数为何得正数？ —— 复平面的奇特性删除回复举报 Babituo 2011-5-11 12:25 虚数i，并不是在空间语义上和实数1正交的，而只是在“虚-实”语义上正交的。复平面，描述的不是一个实的平面，相反，他只包含1个实的直线，只是这条实的空间直线上的每一个点，在“虚-实”语义的维上，同时还存在“虚”的分布。只有实轴和实轴的正交，才真正表达几何位置空间（和实数轴表达直线的几何位置空间一致的）。只是我们如何理解这个几何位置空间中分布的点。如果我们认为分布的点上是分布的仅仅是实的量，就是一个实平面（或实线）。如果我们认为还同时分布着某种“虚”的量，只是空间是按“实量”大小来设置的，那么，就是这每个这些位置点上，同时还分布着“虚度”描述的量，和分布着一个“质量”、“温度”量类似。是哪个点，在另外的语义维度上有自己的值，不是在空间语义维度上的值。删除回复举报 Babituo 2011-5-11 12:13 负负得正，负负得负。都不是简单的约定而已，一定是有逻辑语义环境与对应现实环境的需要，才如此约定的。一定是符合逻辑的。如果找不到逻辑解释，随意的约定，是没有意义的。如果找不到对应的逻辑语义，光从约定上看字面含义，就会以为是矛盾，实际上，毫无矛盾，因为，逻辑上是在不同的维度上的表达。删除回复举报 Babituo 2011-5-11 12:06 更正：如果是二维的上的不是相反的空间方向上的负负相乘，就不能得正了。删除回复举报 Babituo 2011-5-11 12:05 就好比我们用时间和位置来解析速度的S-t平面，不能和X-Y平面的含义放在一起来讨论是一样的。S-t平面是用来解析变量V的平面，而X-Y是描述空间的平面。一句话：复平面上的正负含义和平面空间上的正负含义是不同的。博主回复(2011-5-11 12:39) ：　四维时空距离，不同样也可以用【勾股定理/毕达哥拉斯定理】来解麽？删除回复举报 Babituo 2011-5-11 11:58 只是一维上，只存在相反的2个方向而已。 1维乘-1的乘法，就只能在1维上反向。反向再反向，当然是正向。和我们所说：否定之否定的逻辑是一样的，因为，否定只否定只是1维的逻辑。一旦上升到二维，负负得正就不是绝对的了。因为二维包含一维，所以，只有在2维中的一维乘法才能保持负负得正。如果是二维的上的不是相反的空间方向上的负相乘，就不能得负了。还要注意：复数平面不是一个真正的空间的平面，而是一种解析平面。不能用解析平面和空间平面的含义放在一个语义环境下讨论。博主回复(2011-5-11 12:30) ：　本文探讨的主题是【数学规则】下的【矢量运算】数学规则不是一种“约定”吗？再进一步细分，所探讨的是【矢量运算】而非【数值运算】【矢量运算】与【数值运算】能相同吗？】 Babituo 擅长作图，作出的图也非常漂亮(如，三旋抽象主题画作展），他能否将荒岛上埋藏财宝的地点找（画）出来呢？ O(∩_∩)O哈哈哈~

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向上坠落的苹果

热度 2 readnet 2011-5-10 15:58

“爱因斯坦相对论”和“毕达哥拉斯定理”之奇特关系 ——“四维时空”与虚数 “ 直角三角形斜边的平方等于底边平方与高边平方二者之和 ”，这就是著名的毕达哥拉斯定理。利用这个定理，纵向相隔 x 米，横向相隔 y 米的两点之间的距离就可以按照 \sqrt{ x ^2 + y ^2} 计算求出。而且这个定理不仅在二维平面上成立，在三维和三维以上的空间也成立。那么在三维空间加上一维时间的“四维时空”中毕达哥拉斯定理是否也成立呢？对于这个疑问，德国物理学家阿尔伯特•爱因斯坦（ 1879-1955 ）在他于 1905 年发布的“狭义相对论”中给出了回答。在狭义相对论中，对于“四维时空中的距离”使用的是如下这个新的距离概念： “ ‘四维时空中距离’的平方等于三维空间中距离的平方减去所经过的时间（换算为距离）的平方 ”。这个距离公式与毕达哥拉斯定理相似，但是并不相同，经过时间的平方，在这里不是相加，而是被减去。我们可以在空间自由移动却不能在时间中自由移动。在四维时空中，不能完全像处理空间那样处理时间。然而，非常有意思的是，如果使用了虚数，那么，我们就也能够完全像处理空间那样来处理时间。爱因斯坦曾向赫尔曼•闵可夫斯基（ 1864-1909 ）学习过数学。在四维时空距离的计算公式中，把“减去经过时间的平方”改变形式，成为“加上虚数时间的平方”，就是闵可夫斯基提出的建议。经过这样的修改，四维时空距离的计算公式就同我们见惯了的毕达哥拉斯定理在形式上完全一样了。换句话说，具有虚数值的时间已经同空间毫无区别了。时间和空间的区别难道缘于虚数？小结毕达哥拉斯定理（三平方定理，勾股定理）直角三角形斜边的平方等于底边的平方与高边平方之和。反之，一个三角形两边各自平方之和如果等于那剩余一边的平方，该三角形就必定是直角三角形（如，一个三角形，如果它的三个边分别为 3 、 4 和 5 ，就一定是直角三角形）。相对论与虚数 1. 在普通空间，毕达哥拉斯定理成立距离公式 \sqrt{ x ^2 + y ^2} 2. 相对论中的“四维时空距离” 四维时空的距离公式 \sqrt{ x ^2 - ( ct )^2} 一艘以非常高的速度飞行的宇宙飞船，它在某一个时刻经过地球的近旁，不久以后又经过另一颗行星α的近旁。对于飞船上的宇航员来说，地球到行星α的距离是 x 米，移动这段距离经过的时间是 t 秒。因此，飞船飞过的四维时空距离（正确的说法应是“固有距离”）等于 \sqrt{ x ^2 - ( ct )^2} 公里。式中 ct 是经过的时间 t 与光速 c （每秒 30 万公里）相乘。这样便把经过时间换算成了距离单位（公里）。飞船的速度总是小于光速。 x ^2-( ct )^2 为负值，所以四维时空的距离为虚数值。 3. 闵可夫斯基的“虚数时间” 四维时空距离公式 \sqrt{ x ^2 + ( i ct )^2} 与相对论中的距离公式不同之处在于，换算为距离的经过时间不是用 t ，而是改用虚数单位 i 后的 it 来表示，则时空距离就成为 \sqrt{ x ^2 + ( i ct )^2} 。仍然具有毕达哥拉斯定理的扩展形式（四维时空距离是虚数值）。采纳了闵可夫斯基的建议，结果，难以被人理解的狭义相对论便在几何学上（闵可夫斯基空间）容易理解了。为何要考虑“四维时空的距离”？根据爱因斯坦的狭义相对论，空间和时间都不是绝对的，会因观测者（运动状态）不同而发生伸缩。然而，“四维时空距离的长度”却不会因观测者而改变。不过，虽然“四维时空的距离”不依赖于坐标的选择，空间或时间各自却会因坐标选择不同而伸长或收缩，这就是爱因斯坦狭义相对论的结论。若是虚数时间，牛顿的苹果将向上坠落在牛顿力学中，速度的定义是“速度＝（位置的变化）÷（时间的变化）”；加速度的定义是“加速度＝（速度的变化）÷（时间的变化）”。加速度是既有大小又有方向的物理量，按照牛顿力学的运动方程“ F=ma ”，质量（ m ）乘加速度（ a ）就是作用力（ F ）。按照这种定义，在求加速度时，有两次距离被时间相除的除法运算。因此，时间如果是虚数，距离两次被时间相除所得到的结果（加速度）就会带有负号，加速度带负号，这意味着作用力作用在相反的方向。换句话说，流动着虚数时间的世界只能是一个苹果竟然向上坠落的世界，可是我们眼睛看见的却是苹果一定向下坠落。所以，在我们这个现实世界，流动的时间不是虚数时间，而是实数时间。扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数” 把“除不尽的除法的答案”也当作一种数 —— “分数”的发明发现“无理数”，最终形成“实数”概念存在着没有实数解的“二次方程” —— “实数”的欠缺虚数的诞生 —— 最早揭示出虚数威力的数学家卡尔达诺虚数单位i的诞生虚数在数轴之外 —— 虚数的可视化和“复数” 负数乘负数为何得正数？ —— 复平面的奇特性狭义相对论中参照系与坐标系的特点与其时空度规热度 4 2011-5-19 07:06 狭义相对论中参照系与坐标系的特点与其时空度规（《物理学上的时空与物质》 19 ）第三章狭义相对论关于时空的基本概念和基本规律 § 3.2 狭义相对论中参照系和坐标 ...

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负数乘负数为何得正数？ —— 复平面的奇特性

热度 1 readnet 2011-5-9 14:59

负数与负数相乘，为什么得到的是正数呢？其实，虚数就是由这个规则产生出来的。如果两个负数相乘得到的也是负数的话，那么“负数的平方根”就是负数，也就不会出现虚数了。实际上，负数相乘也不一定非是正数不可。数学规则，归根到底，毕竟是一种“约定”。同“正负相乘得负”一样，“负负相乘得正”也不过是一种约定。现在，我们按照“负数与负数相乘得到正数”的规则来考察复平面，验证一下是否不仅负数的乘法运算，而且虚数的乘法运算，都能毫无矛盾地得到一致的说明。在复平面上，用-1乘+1，只需将代表+1的那一点围绕原点逆时针旋转180°，得到-1。再用-1乘+1，继续旋转180°就回到+1。在复平面上，我们直观地看到两次用-1乘+1，结果回到了+1（负负相乘得正）。那么，用“虚数i”相乘，要乘多少次才回到+1呢？ i是一个“平方等于-1的数”。如前所述，用-1相乘两次回到+1，那么用i相乘，则需要乘4次才能够回到+1（i^4=1）。这就是说，用i相乘，在复平面上，每乘一次，对应的是作360°的4分之1的旋转，即作90°旋转。这个结论，可以在复平面上得到验证。用i乘+1，将代表+1的那一点围绕原点逆时针旋转90°，得到i。二次用i乘+1，共旋转了180°，得到-1。第三此用i相乘，三次旋转了270°，得到-i。第四次用i相乘，总共旋转360°一周，回到了+1。虚数 i 的乘法运算相当于作“反时针方向旋转操作” 小结在复平面上如何“负×负＝正”？ 1. 用+1两次乘以-1，回到+1。 2. 用+1四次乘以i，回到+1。复数的乘法运算，在复平面上“旋转、放大或缩小” 1. 乘实数的乘法运算实数轴上的箭矢长度被放大。乘数为负数时，箭矢反转180 °。如，（+2） ×（-3）＝（-6） 2. 乘i的乘法运算复平面上的对应点被逆时针旋转90 °。如，（3+2i） ×i ＝（-2+3i） 3. 乘复数的乘法运算在复平面上作“旋转、放大或缩小”的操作。如，乘复数 3+2i 的乘法运算 1 × （ 3+2i ）＝（3+2i） i × （ 3+2i ）＝（-2+3i）（1+i） × （ 3+2i ）＝（1+5i）北斗七星被复数3+2i相乘后？由多个复数对应点所构成的图形在与一个复数相乘后，变为一个经过旋转和放大（或缩小）的相似图形。图形旋转的角度等于作为乘数的复数的对应点与原点的连线同实数轴之间的夹角（这个角叫做复数的“ 偏角θ ” ）。图形被放大的倍数等于复数乘数的对应点到原点的距离。（这个距离叫做复数的“ 绝对值r ” ）。 r大于1，图形放大；r小于1，图形缩小。扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数” 把“除不尽的除法的答案”也当作一种数 —— “分数”的发明发现“无理数”，最终形成“实数”概念存在着没有实数解的“二次方程” —— “实数”的欠缺虚数的诞生 —— 最早揭示出虚数威力的数学家卡尔达诺虚数单位i的诞生虚数在数轴之外 —— 虚数的可视化和“复数”

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虚数在数轴之外 —— 虚数的可视化和“复数”

热度 1 readnet 2011-5-6 16:44

在欧拉向人们揭示了虚数的重要性之后，仍然有许多人不承认虚数的存在。正数，可以想象为“个数”或“线段的长度”，而虚数却不能。尽管重要，没有视觉形象，人们还是难以接受。当初，欧洲人也曾以同样的理由不承认“负数”的存在。 “ -2 个苹果”或“ -1.3 米长的棍棒”，那简直无法想象。负数的可视化方法是由法国的一位数学家阿贝尔•吉拉尔（ 1595-1632 ）发明的。吉拉尔设置一个代表零的原点，用从原点向右方画出的箭矢表示正数，而用反方向画出箭矢表示负数。这样就有了一根表示全部实数的直线——“数轴”。有了这种直观的数轴，欧洲人才逐渐接受了负数的概念。那么，虚数又该用怎样的图形来表示呢？实数中是没有“负数的平方根”的，因此，数轴上不可能有代表虚数的位置。对于这个难题，当时还是一名不知名的测量员的丹麦人卡斯帕•维塞尔（ 1745-1818 ）是这样考虑的： “既然数轴上没有虚数的位置，那么，也许可以在数轴之外，利用从原点向上画出箭矢来表示虚数”。结果，赛维尔的想法大获成功。在数轴上添加一根向上延伸的直线以后，得到了一个有两根坐标轴的平面。此平面上的水平轴代表实数，另一根通过原点的垂直轴代表虚数。用这种方法作图，使得包含有虚数的计算也可以通过作图来进行了。虚数终于“被看见了”！与赛维尔同时，法国的一位会计师让•罗贝尔•阿冈（ 1768-1822 ）和德国数学家卡尔•弗里德里克•高斯（ 1777-1855 ）各自也都独立想到了这种用图形来表示虚数的方法。他们使虚数能够被直观看到，终于使虚数获得“数”王国公民的身份。发明了虚数的作图方法，虚数终于成为“数”王国的合法公民高斯给这种作图平面上每一点所代表的数取了一个专门的名称，叫做“复数”（德文 Komplex Zahl ）。复数（英文 complex number ）把实数和虚数都包括在内，实际上是数的一个新概念，其中包含了“多种”（复数个）数的成分。高斯所发明的这种作图平面因而就叫做 “复平面”（或“复数平面”）。小结通过作图来表示虚数 1. 正实数，“向右的箭矢” 向右画一支具有适当长度的箭矢，将此箭矢定义为“ +1 ”，作为正数的单位。这样就可以用它作标准，作图画出各种正数。 2. 负实数，“向左的箭矢” 设置好代表零的一点，以它作为“原点”，从原点画一支同 +1 箭矢方向相反的箭矢，将此箭矢定义为“ -1 ”，作为负数的单位。这样就可以用它作标准，作图画出各种负数。这根水平直线叫做“数轴”，可以用来表示一切实数。 3. 虚数，在数轴之“外” 从原点垂直向上画一支同 +1 或 -1 箭矢具有相同长度的箭矢，将此箭矢定义为“ -1 的平方根”，作为虚数的单位（ i ），这样就可以用它作标准，通过作图来表示各种虚数（如 2 i , \sqrt{3} i 等）。 4. 表示复数的“复平面” 实数4和虚数5 i 相加，答案是“4+5 i ”。这个和数无法在实数轴上作图表示，需要有一个实数轴为横轴，以虚数轴为纵轴的平面。在此平面上，“4+5 i ”这个数可以用实数坐标为4，虚数坐标为5 i 的平面上的一点来表示。这个平面叫做“复平面”（或者“复数平面”），可以用此复平面上的一个点表示的数就叫做“复数”。复平面又称“高斯平面”（在法国叫做“阿冈图”）。复数的加法和减法运算 1. 实数的加法运算实数加法，只需对数轴上的两支箭矢进行求矢量和的操作。例如，加法（+2）+（-4），将“表示-4的箭矢”连接在“表示+2的箭矢”终端，矢量相加，得到-2。 2. 复数的加法运算复数加法，同实数一样，也是“在复平面上对两支箭矢进行求矢量和的操作”。例如，加法（5+2i）+（1+4i），是将“表示（1+4i）的箭矢”接在“表示（5+2i）的箭矢的终端，矢量相加，得到6+6i 3. 复数的减法运算在复平面上进行从复数C(如，6+6i)减去复数A（如，5+2i）的运算，只需从A的终端到C的终端画一支箭矢，然后将此箭矢平行移动，使其始点位于原点。它的终点就是减法运算的答案（复数B，1+4i）。扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数” 把“除不尽的除法的答案”也当作一种数 —— “分数”的发明发现“无理数”，最终形成“实数”概念存在着没有实数解的“二次方程” —— “实数”的欠缺虚数的诞生 —— 最早揭示出虚数威力的数学家卡尔达诺虚数单位i的诞生杨华磊：实数集有优良的品质邱嘉文：对“数轴”的抽象改进

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虚数的诞生 —— 最早揭示出虚数威力的数学家卡尔达诺

readnet 2011-5-3 13:30

古希腊时代结束以后，欧洲的数学曾经有很长一段时间处于停滞状态。到了文艺复兴时期，欧洲数学终于再度繁荣，开始取得超过古代数学的重大成就。在重新振兴欧洲数学的活动中，16世纪的意大利数学家们发挥了前导的作用。其中有一位是米兰的医生兼数学家杰罗拉莫·卡尔达诺。他认真研究过于他同时代的意大利数学家尼柯洛·冯塔纳（1499-1557，绰号“塔塔利亚”，意大利语意思是口吃的“结巴”）所发明的“求解三次方程的公式”，并在自己1545年出版的数学书《大术》中作了介绍。由于《大术》这本书流传甚广，读的人非常多，到今天，人们已经习惯于把本来是塔塔利亚发明的求解三次方程的公式称为“卡尔达诺公式”。事实上，正是在《大术》这本书中第一次出现了“平方为负数的数”，也就是首次出现了虚数。《大术》一书中有多达20页的篇幅详细讨论“怎样的两个数彼此相加之和为10，彼此相乘之积为40”的问题。在当时，这个问题本来是没有答案（解）的。但是，卡尔达诺却写下了“5 + \sqrt{-15}”和“5- \sqrt{-15}”两个答案。他写道，“若不在乎因困惑而感到苦恼的话，这两个数，乘积等于40，的确满足问题的条件。” 卡尔达诺通过对这个问题的讨论提出了一个重要思想：承认虚数，原来没有答案的问题也会有答案。使用“平方为负数的数”，任何二次方程都会有答案卡尔达诺问题的求解 1. 卡尔达诺的解题方法问题试求相加等于10，相乘等于40的两个数求解在“比5大x的数”和“比5小x的数”的两组数中区寻找相乘等于40的数。设这两组数分别为（5+x）和（5-x），所提问题相当于要求（5+x)×(5-x)=40 利用初中数学学过的公式（a+b）（a-b）= a^2 - b^2 改写上式方程左端，得 5^2 - x^2 = 40 25 - x^2 = 40 x^2 = -15 求得x是一个“平方等于-15的数”，然而当时却没有这样的数。尽管如此，卡尔达诺在他的书中仍然把“平方等于-15的数”当作一个普通数对待，将它写作“\sqrt{-15}”。卡尔达诺径直把“比5大x的数”和“比5小x的数”中的“5 + \sqrt{-15}”和“5- \sqrt{-15}”当作问题的答案写作了书中。答案满足问题条件的是如下两个解： “5 + \sqrt{-15}”和“5- \sqrt{-15}” 2. 利用“求解二次方程的公式”的解题方法问题试求相加等于10，相乘等于40的两个数求解 A＋ B = 10 (1) A × B = 40(2) 由（1） B = 10-A 代入（2）得到一个只有一个未知数A的二次方程 A × （10-A） = 40 写成二次方程的标准形式“aX^2 + bX + c = 0” -A^2 + 10A -40 = 0 利用求解二次方程的求解公式 A = 5 ± \sqrt{-15} 答案 5 ＋ \sqrt{-15}　和　 5－ \sqrt{-15} 求解　相加之和是否为10？（5＋ \sqrt{-15}）　+　（ 5－ \sqrt{-15}） = 10 相乘之积是否为40？（5＋ \sqrt{-15}）×（ 5－ \sqrt{-15}） = 5^2 - (-15) = 40 扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数” 把“除不尽的除法的答案”也当作一种数 —— “分数”的发明发现“无理数”，最终形成“实数”概念存在着没有实数解的“二次方程” —— “实数”的欠缺

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存在着没有实数解的“二次方程” —— “实数”的欠缺

readnet 2011-4-30 23:54

欧洲人在17世纪之前还没有“负数”的概念。例如像“7-9”这样的运算，就不可能有答案（“无解”）。不过，进入17世纪，在引入了印度于16世纪发明的数字“零”之后，“7-9”这样的运算就有了等于“-2”的答案。那以后，实数的四则运算便全都有了实数答案（除了被零除的除法运算之外）。那么，“数”王国的扩张是否就此作罢呢？并非如此。数王国尽管扩张到了如此大的范围，仍然有许多在实数范围没有答案的问题。如“相加之和等于10，相乘之积等于40，这是两个什么数？”就属于在实数范围内没有答案的问题。这个问题相当于“求出满足方程 25-x^2 = 40 的x”。改写方程，得到“x^2 = -15”。换句话说，要求找出“ 平方和等于-15的那个数 ”。但是，在实数中没有平方为负数的数。因此，这个问题在实数范围内绝不会有答案。出现有x^2的方程叫做“二次方程”。早在公元前约2000年，美索不达米亚人就已经知道了如何求解二次方程的方法。美索不达米亚人当时还无法处理这种“没有答案”的二次方程。换句话说，倘若有了“平方为负数的数”，那么任何二次方程便都会有答案（“有解”）。必须有“平方为负的数” 有4000年历史的“二次方程” 1. 泥板上书写的“二次方程” 在古代美索不达米亚文明遗留下来的一块泥板（编号BM13901）上，记载有如下一个问题： “有一个正方形，它的面积减去它的一个边长的长度之后为870，试求此正方形的边长”。这表明，4000年前的美索不达米亚人已经掌握了“求解二次方程的通解公式”和计算方法。 2. 古代美索不达米亚人求解二次方程的方法美索不达米亚人利用下述关系来求出周长同一个正方形一样的长方形的面积。 “边长为A的正方形的面积为A^2，周长不变，横边增加长度B的长方形的面积为（A+B)(A-B）。原来的正方形面积同这个长方形面积相比，要大一个边长为B的正方形的面积B^2。知道了这个事实，就不难求解二次方程x^2-x=870。改写方程左端，x^2-x = x(x-1)。这里x(x-1)相当于“长边为x，短边为x-1的一个长方形的面积”，而且这个长方形的面积等于870。由于A+B相当于x，A-B相当于x-1，得出A=x-0.5 这样，就可以把这个长方形看出是“将一个边长为x-0.5的正方形拉长变形，保持周长不变，而横向增加了长度为0.5的一个长方形”。于是，可立即得到结论： “边长为x-0.5的一个正方形的面积（x-0.5)^2同上述长方形的面积870相比，仅大一个(0.5)^2的数值”。用数学式写出，就是(x-0.5)^2 = 870 + (0.5)^2。等式两端取正平方根，有x-0.5 = \sqrt{870.25} 移项后得 x = 0.5 + \sqrt{870.25} x = 0.5 + 29.5 = 30 小结求解二次方程的公式二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解 x = (-b ± \sqrt{ b^2 - 4ac }) / 2a 同正方形面积A^2比较，长方形面积（A+B)(A-B)减小了B^2 【注：这是中学数学公式 A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) 的图形解析】如何知道一个二次方程有解还是无解？如果查明求解二次方程的公式中根号内的“ b^2 - 4ac ”是正还是负。 “b^2 - 4ac”叫做“判别式”（discriminent)，用符号记作D. 若 D0，如 y=x^2-4x+3 D = 4^2-4×1×3 = 16-12 = 4 0 有两个实数解； D=0，如 y=x^2-4x+4 D = 4^2-4×1×4 = 16-16 =0 只有一个实数解； D0，如 y=x^2-4x+5 D = 4^2-4×1×5 = 16-20 = -4 0 则无实数解。扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数” 把“除不尽的除法的答案”也当作一种数 —— “分数”的发明发现“无理数”，最终形成“实数”概念

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把“除不尽的除法的答案”也当作一种数 —— “分数”的发明

热度 2 readnet 2011-4-28 23:03

碰到“没有答案的问题”，人类就创造出新数人类创造新数并不是从虚数开始，人类历来都是在碰到“没有答案的问题”时便将数的概念扩展，想出新种类的数来。事实上，“ 2 分之 1 ”和“ 2 的平方根”（ \squr{2} ）这一类数，也都是求解“没有答案的问题”的产物。在所有的数中，起源最早的是“自然数”。所谓自然数（ natural number ），是指诸如 1 个苹果、 2 只羊、 3 棵树……，在清点事物个数时所使用的那种数。世界四大文明（美索不达米亚文明、埃及文明、印度文明和中国文明）各自很早就有了自己的代表自然数的文字。 “ 2 ”是自然数，这并不意味着“ 2 ”本身是自然界中实际存在的事物。自然界中实际存在的是“ 2 个苹果”、“ 2 只羊”……等等。古人看见诸如“ 2 个苹果”和“ 2 只羊”一类事物，发现了它们之间的共同点，于是在头脑中形成了“ 2 ”这个数的概念。两个自然数相加，必然是自然数，两个自然数相乘，也必然是自然数。但是，对两个自然数进行除法运算，有时候就会在自然数中找不到答案。例如，“ 6 ÷ 3 ”，答案“ 2 ”，这是个自然数，但是，同样是除法问题，“ 1 ÷ 3 ”，就没有自然数的答案。于是，古人针对“ 1 ÷ 3 ”这样的问题，给它的答案取名“ 3 分之 1 ”，把这种答案也当作数来处理。这就是“分数”（ fraction ）的发明。自然数、连同自然数派生出来的分数，合起来叫做（正）“有理数”（ rational number ） . 使用有理数，人类不仅可以几点物品的“个数”，也可以对长度、重量、体积等“量”用数来表示了。小结分数和有理数世界 1. 古埃及的分数古埃及已经有了代表“ 2 分之 1 ”、“ 3 分之 1 ”一类分子为 1 的分数（单位分数）的象形文字（圣书体）。例如，一个类似橄榄核的图形，下面放 2 个点代表“ 1/2 ”、放 3 个点代表“ 1/3 ”、放 4 个点代表“ 1/4 ”。分子不为 1 的分数（如 4 分之 3 ）则书写成单位分数之和的形式。而且，除了这类代表单位分数的圣书体字符，还有其他的圣书体字符也可以用来表示分数，如“霍鲁斯的眼睛”的字符组中的字符（“霍鲁斯”是古埃及的太阳神）。 2. 毕达哥拉斯和有理数公元前 6 世纪，在意大利南部城市克罗托内有一个以毕达哥拉斯为首的既是学派又是教派的群体，有数百人之多。毕达哥拉斯及其弟子们相信，自然数和自然数之比（分数）囊括了数的全部。毕达哥拉斯学派的一种徽标“四元体” 。毕达哥拉斯学派认为 10 是一个完美数，可以表示为 1 — 4 这四个连续自然数之和，而且，代表着四个自然数的那些点正好排列成一个正三角形：１　 ● ２　 ●　● ３　 ●　●　● ４　 ●　●　●　● 　　１＋２＋３＋４＝１０毕达哥拉斯音阶毕达哥拉斯认为，多根琴弦奏出和弦，各琴弦长度之间的关系必定恰好是自然数之比（毕达哥拉斯音阶）。这是他和他的学派特别重视自然数之比（有理数）的原因之一。琴弦长度比：　 4/3 ∶ 1 ∶ 3/4 ∶ 2/3 ∶ 1/2 ∶ 1/3 3. 循环小数轮盘把有理数 1/7 、 1/17 、 1/61 分别写为小数，得到的都是“循环小数”。 1/7 的循环部分有 6 位； 1/17 的循环部分有 16 位； 1/61 的循环部分有 60 位。分别把各自的循环部分按顺时针方向排列起来，形成一个轮盘的样子，作为例子给出的这 3 个循环小数轮盘两侧任何正对的两个数字相加，正好都等于 9 。有理数的条件能够被表示为“分母和分子都是自然数的分数”的数，叫做正有理数。如果分子不能被分母除尽，则分两种情况：“能够在小数点后某处终止的小数”（如， 1/4=0.25 ）和“在小数点后有一组数字无限循环的小数”（如 1/3=0.333333 …）。前者叫做有限小数，后者叫做循环小数。循环小数全都能够改写为分数的形式。例如 0.123123123 …，就是以循环部分“ 123 ”为分子，以相同位数并列的“ 9 ”（ 999 ）为分母的分数，即可以改写为 123/999 。扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数”

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虚数 —— 一种“并不存在的数”

readnet 2011-4-28 12:16

一个数，它的平方为负数，这就是虚数。在英语中，虚数是“imaginary number”，字面意思是“假想的数”或“虚构的数”。平方等于-1的虚数\sqrt{-1}有一个专门符号“ i ”。虚数产生于16世纪。当时面临的情况是，如果没有这种“古怪的数”，数学就不会继续发展。在支配微观世界的“量子力学”（量子论）的基本方程中就包含有虚数 i。虚数尽管同现实世界没有关系，但是，有了虚数，我们就能理解甚至一个电子的行为。卡尔达诺问题 16世纪意大利数学家杰罗拉莫•卡尔达诺出版了一本书名叫做《大术》（又译《数学大典》）的数学书，其中有这样一道数学题： devide 10 in duas partes, ex quarum unius in reliquam ducto, produatur 40 “有两个数，它们相加之和等于10，相乘之积等于40。这是两个什么数？” 设待求的两个数为A和B，写成数学式，就是要求它们必须同时满足条件 A＋ B = 10 A × B = 40 考虑四边形的面积有一个边长为5的正方形，面积为25。如果能够找到一个其周长等于这个正方形的周长，但是面积等于40的长方形的话，那么，那个正方形的纵边长度和横边长度就是卡尔达诺问题的答案。不过，在周长相等的长方形中，面积最大的就是正方形。例如，纵边为7，横边为3的长方形，面积等于21；纵边为2，横边为8的长方形，面积等于16，都小于25。由此可见，“不存在纵边长度与横边长度之和为10而面积超过25的长方形”。我们再来考虑“比5大x的数”和“比5小x的数”这两个数，写出来就是 5+x 和 5-x。利用中学所学的公式（a+b)(a-b) = a^2 - b^2 这两个数的乘积是 (5+x)(5-x) = 25 - x^2 这里x^2必定是一个正数。因为无论x是正数还是负数，正数的平方恒为正数，负数的平方也恒为正数。由此可见，25-x^2必定是小于25的数。那么无论x选择什么数，都不可能得到40。然而，出乎意料的是，在卡尔达诺所写的那本《大术》中却记载有这个问题的具体解。也就是说，出现了“平方为负数的数”，即“虚数”。正是在《大术》这本书中，最早提出虚数的概念，使得原来没有答案的问题也有了答案。扩展阅读挑战吴老师一个小学数学问题

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复数的本质是什么？复数是真实的吗？

热度 2 wangxiong868 2011-3-29 12:01

复数的本质是什么？复数是真实的吗？一个数学家在脑海里凭空产生的数学概念何以与现实的自然如此息息相关，以至于没了复数，我们根本无法准确地描述我们的时空结构，特别是描述微观粒子的量子力学，复数更是不可或缺。复数的引入，使得量子力学出现了无数神奇的特性。费曼（ R.P.Feynman ）曾说“ I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics ”，其中一个很关键的问题就是，量子力学中的复数是怎么回事。。。几何代数这门学科，将给这些问题提供一种新思路！这门学科可以看做是复数、四元数、八元数等等的推广，深刻地揭示了时空结构的数学基础，而且基于此重新表述了经典力学、电磁理论、狭义相对论、量子力学，甚至给出了一种平直时空下基于规范变换的重力理论，与爱因斯坦的弯曲时空重力等价这种重新表述有诸多优越之处，比如，重新表述的电磁理论把麦克斯韦方程组高度精炼地合为了一个方程。我相信，上帝能用一个方程写清楚的理论，他不会用四个，所以，这种整合，将是指向更进一步统一的正确方向！奇文共欣赏：最后，这个是一种抽象的数学与物理的统一的美，要领略这种美，不是冥想得出的，是得花点力气学点数学的，各位根据自己的爱好，请随意。 Imaginary Numbers are not Real - the Geometric Algebra of Spacetime Stephen Gull (a), Anthony Lasenby (a) and Chris Doran (b) (a) MRAO, Cavendish Laboratory, Madingley Road, Cambridge CB3 0HE, UK (b) DAMTP, Silver Street, Cambridge, CB3 9EW, UK February 9, 1993 Abstract: This paper contains a tutorial introduction to the ideas of geometric algebra, concentrating on its physical applications. We show how the definition of a `geometric product' of vectors in 2- and 3-dimensional space provides precise geometrical interpretations of the imaginary numbers often used in conventional methods. Reflections and rotations are analysed in terms of bilinear spinor transformations, and are then related to the theory of analytic functions and their natural extension in more than two dimensions (monogenics). Physics is greatly facilitated by the use of Hestenes' spacetime algebra, which automatically incorporates the geometric structure of spacetime. This is demonstrated by examples from electromagnetism. In the course of this purely classical exposition many surprising results are obtained - results which are usually thought to belong to the preserve of quantum theory. We conclude that geometric algebra is the most powerful and general language available for the development of mathematical physics. Introduction An Outline of Geometric Algebra How to Multiply Vectors A Little Un-Learning The Geometric Product Geometric Algebra of the Plane The Algebra of 3-Space Interlude Rotations and Geometric algebra Analytic and Monogenic Functions The Algebra of Spacetime Concluding Remarks References http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/abstracts/imag_numbs.html http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/introduction/intro/intro.html

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matlab矩阵维数不一致出错

wjwqbit 2010-12-29 14:05

使用matlab画电路传输函数图时，经常用到虚数符号i。但一不小心可能就出错噢。这不，刚才我就遇到两个问题：（1）、矩阵维数不一致；（2）、虚数符号i问题。下面一一说明。（1）、矩阵维数不一致 matlab矩阵运算需要各变量的维数一致，不然会出现 Inner matrix dimensions must agree 错误。例如： %错误程序 % 功能说明：滤波器的传递函数(R0+R1)*ones(size(f))+ clc fmax=(10^4); f= ; % 1MHz，步进为0.1Hz w=2*pi*f; % 角频率与频率之间转换 R0=( 1*10^4 ) R1=( 1*10^5 ) C1=( (22)*10^(-6) ) Rf=( 1*10^(5) ) Hw=-w*(R0*Rf*C1*i)./( 1+w*(R0*R1*C1*i)); 传输函数Hw=-w*(R0*Rf*C1*i)./( 1+w*(R0*R1*C1*i))中，w为1x10000的向量，而分母中1+w*(R0*R1*C1*i)表示常数1与w的向量相加，因此维数不一样，旧版的matlab会出错。但新版的matlab（如matlab7.0以上）不会出错，新版一把常数自动与w向量维数匹配上了。如果使用旧版matlab，可以这样：Hw=-w*(R0*Rf*C1*i)./( ones（w）+w*(R0*R1*C1*i))。（1）、虚数符号i问题。 matlab默认时把符号i看作是虚数符号，因此下面这段程序看似没问题。但偶尔还会出问题的噢。如果在程序运行前已经存在i变量，而运行这段程序时没有清零变量，那么可能出现矩阵维数不一致问题。例如程序运行前，已存在变量i= ; % 1MHz，步进为0.1Hz w=2*pi*f; % 角频率与频率之间转换 R0=( 1*10^4 ) R1=( 1*10^5 ) C1=( (22)*10^(-6) ) Rf=( 1*10^(5) ) Hw=-w*(R0*Rf*C1*i)./( (R0+R1)*ones(size(f))+w*(R0*R1*C1*i)); H=abs(Hw) ; % 取模 H_theta=angle(Hw)/pi*180; % 求相角 figure(1); loglog(f,H); grid on % 双对数坐标 axis( ); % 显示范围解决办法是，在每个.m文件前面加clear语句清空变量。如下： % 功能说明：滤波器的传递函数 %syms w R0 R1 C1 Rf %Hw=-( R0+i*w*R0*R1*C1)*(i*w*Rf*C1)/( R0+R1+i*w*R0*R1*C1 ) ; %Hw=Hw*conj(Hw);% 共轭复数 clc clear fmax=(10^4); f= ; % 1MHz，步进为0.1Hz w=2*pi*f; % 角频率与频率之间转换 R0=( 1*10^4 ) R1=( 1*10^5 ) C1=( (22)*10^(-6) ) Rf=( 1*10^(5) ) Hw=-w*(R0*Rf*C1*i)./( (R0+R1)*ones(size(f))+w*(R0*R1*C1*i)); H=abs(Hw) ; % 取模 H_theta=angle(Hw)/pi*180; % 求相角 figure(1); loglog(f,H); grid on % 双对数坐标 axis( ); % 显示范围

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关于“数学”的对话（8）

可变系时空多线矢主人 2009-5-26 20:14

关于数学的对话（ 8 ）（接（ 7 ））乙：由任何其它（非 0 、非无穷大）的负数开平方，（ -A ） ^(1/2) ，就产生虚数，而以（ -1 ） ^(1/2)=i 为标志。有：（ -A ） ^(1/2)= i A^(1/2) 。甲：与实数轴类似地，所有的正、负虚数，也都可相互穿插，按数值大小顺序地排列表达在一个与实数轴正交的虚数轴上。乙：所有的正、负实数和虚数还可以组成各种复数。甲：各种复数就都可以在实数轴和虚数轴组成的平面上的相应各点表达。乙：这各种不同的数还都有统一而又各显不同的 4 则运算规律。甲：它们都分别表达各种不同问题中的数值特性。（未完待续）

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关于 “数学”的对话（6）

可变系时空多线矢主人 2009-5-24 20:41

关于数学的对话（ 6 ）（接（ 5 ））乙：最基本的数，就是整数。 1 、 2 、 3 、，等等吧？！甲：是的！乙：各整数之间，有：加、减、乘、除的 4 则运算吧？！整数 A 和 B 有： A+B ， A-B ， AxB ， A/B ，甲：是的！而且，由此又产生：乘方、开方，指数、对数等运算。 A^j 是指数；即： A 的 j 次方， j 个 A 的联乘积。 j 是 A^j 以 A 为底的对数， A 是 A^j 的开 j 次方。乙：这就又产生出许多不同的数：分数、小数、无理数、虚数、等等。甲：而且，还有 0 和无穷大还都是特殊的数 ! （未完待续）

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虚数概率

iwesun 2008-12-23 13:38

虚数概率　　突然冒出来个想法，记录一下。　　概率是否可以为虚数？时间都可以被闽可夫斯基搞得虚头巴脑，在量子波函数的实质，就是虚数概率。　　虚数概率的数学引入，应该是没啥问题，但物理含义，可能还会涉及的虚数时间。　　虚数的本质，还是循环，引入虚数以后，发散的东东，也会有周期，定义了一个实际的圆，ｅ定义了一个虚拟的圆，两者都是为了表现周期性。　　虚数在关系代数中也不神秘，一种关系运算而已，最彻底的还是符号运算的规律。　　周期性的本质还是确定性，虚数的本质，就是在发散的东东中分离出周期性，只要这个发散是确定的。　　轮回，虚轮回，人只能认知到此了。　　既然时间被认为是开弓没有回头箭，因为记忆有限，最后到底是谁射的箭，根本不可能追究了，哪就得用虚数才能平衡。　　虚数更能表达，一切原因都是你虚拟的，万事万物根本没原因，是你搞出的虚幻的像。　　哈哈，科学原来也在瞎搞，但不瞎搞能行么？不瞎搞就没科学了。　　引入虚概率，波函数的平方，就应该有解。　　虚数概率会吓死人么？

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