一幅图像 f 的空域拉普拉斯（ Laplacian ）算子如下式 (1)，即 ： 利用傅里叶变换的微分性质，可以推导出对应的频域 Laplacian 滤波器如下式 (2) ，即 其中， u = 0,1,2,…, M -1; v = 0,1,2,…, N -1, 为频率变量。 M , N 为输入图像 f 的尺寸。 对应的中心化滤波器如下 式 (3) ： 其中， P, Q 为滤波器 H 的尺寸。一般取， P = 2 M , Q = 2 N 。 要实现图像 f 的锐化，需对 f 做傅里叶变换，然后利用 H 进行频域 Laplacian 滤波，按以下 式 (4) 反变换求得其空域 Laplacian 图，即 其中， F ( u , v ) 为输入图像 f ( x ,y) 的傅里叶变换，符号Ξ -1 代表傅里叶反变换 。 按以下 式 (5)， 将傅里叶反变换得到的 Laplacian 图叠加于原始图像 f ，即 因▽ 2 f ( x , y ) 存在 负值，故 取 c =-1 ，从而实现对原始图像 f 的锐化。由于 Laplacian滤波结果存在黑、白两类轮廓细节， 这样做主要是强化弱边缘，弱化了强边缘，使得锐化图像看起来比较自然，更适合于人眼观察。 Laplacian 锐化的本质，即在原图像上叠加 Laplacian 滤波的高频（细节）成分，使得图像边缘轮廓更清晰。 尽管以上原理看似很简单， 所有教材上也都是这么表述的。但真正自己编写程序代码实现时，还是问题不少。主要表现在以下三个环节： 1 ）傅里叶反变换得到 ▽ 2 f ( x , y ) 的值的数量级要比 f 大几个数量级，因此，存在比例缩放（ Scaling ）问题。 2 ）叠加高频细节后的图 g ，改变了原始 f 的值域范围，并同样存在负值。如果对 g 简单 使用 归一化处理，将最小值映射为0，最大值映射为1，可能会改变整幅图像 g 的对比度，显示时看起来整个图将变暗（与输入图像 f 对比）。这并不是我们期望看到的结果。 3 ）频域滤波中会出现边界效应，导致图像的边界也会被锐化。 解决以上三个问题的对应办法是： 1 ）傅里叶变换前，对 f 先做归一化处理，使 f 的值的范围在 ；把式 ( 4) 求得的 Laplacian 结果除它（或绝对值）的最大值 max( ▽ 2 f ( x , y )) ，使得其值控制在 范围。这样，二者才具有数值上的可比性。 2 ）因 f 和 ▽ 2 f ( x , y )的叠加结果还可能超过 范围，强制类型转换或归一化到 ，会 使 锐化结果整体变亮或变暗。有效的措施，就是利用原始图像 f 的实际灰度值范围 对锐化结果 g 进行标定 （ Scaling ），再次调整其灰度范围，使它保持与 f 基本一致 。 3 ）关于边界的处理问题，请参考前述博文（见： 如何保持空域与频域滤波结果的一致性 ） 。只不过直接从频域定义 H ,无法对应空域 h 的尺寸，一般对 f 进行边界的扩充时，适当增加重复边界数，可以得到比较理想的处理结果。因为 重复（ ' replicate' ）边界像素，不会产生额外边缘。 以上为正确实现频域锐化的关键问题及相应的解决措施。对于空域 Laplacian 锐化，尽管用于叠加的高频成分与原始图像灰度的量级相差要小一些，但要得到好的锐化效果，同样也存在以上问题。 以下是对输入的模糊 moon 图像 分别 进行 Laplacian空域（图1）和频域（图2）锐化的结果。可以看出，空间域和频率 域的锐化结果基本一致。若频域滤波器 H 由空域模板 h 计算产生，则锐化结果的一致性会更好。 图 1 空域 Laplacian 滤波及锐化结果 图 2 频域 Laplacian 滤波及锐化结果 根据以上原理实现图像锐化的MATLAB代码，请下载： myimlapsharp.rar 扫一扫，可关注“老马迷图”微信公众号！ 相关博文： 如何保持空域与频域滤波结果的一致性（续）
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