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[转载]杨六省：毕达哥拉斯学派及后世关于√2不是有理数的证明，是有效的吗？: zhpd55 2020-6-22 22:19; 说明：因杨六省（13572503691@163.com ）老师之邀，将其近期一篇新作转载于下，请行家进行评议，也可以直接与杨六省老师联系。毕达哥拉斯学派及后世关于 √2 不是有理数的证明，是有效的吗？杨六省陕西省长安师范学校摘要揭示毕达哥拉斯学派和现行教科书关于 √2 不是有理数的证明是无效的，并给出有效证明。关键词有理数；无理数；相容性；反证法；排中律 1 毕达哥拉斯学派的证明 M.克莱因说， “ √2 与 1不能公度的证明是毕达哥拉斯学派给出的。 …… 这个证明当然和现今对 √2 为无理数的证明相同 ” 37-38 。下面是毕达哥拉斯学派的证明：设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为 α：β，并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据毕达哥拉斯定理得 α 2 =2 β 2 。由于 α 2 为偶数， α 必然也是偶数，因任一奇数的平方必是奇数。但比 α：β是既约的，因此 β必然是奇数。α既是偶数，故可设α =2 γ 。于是 α 2 =4 γ 2 =2β 2 。因此 β 2 =2 γ 2 ，这样 β 2 是个偶数。于是 β也是偶数。但β同时又是奇数，这就产生了矛盾。 37-38 2现今教科书的证明假设边长为 1的正方形的对角线的长可写成两个整数 α ， β 的比 α / β （ α ， β 互素），于是有（ α / β ） 2 = 2， α 2 =2 β 2 . 因此， α 2 是偶数， α 是偶数 . 于是可设 α =2 γ ,那么 α 2 =4 γ 2 =2 β 2 , β 2 =2 γ 2 . 这就是说， β 2 是偶数， β 也是偶数 .这与“ α ， β是互素的两个整数 ”的假设矛盾。 24 3揭示毕达哥拉斯学派和现行教科书关于 √2 不是有理数的证明是无效的不难看出，无论是毕达哥拉斯学派，还是现今教科书的证明，均把 √ 2 不是有理数的矛盾命题表成了 √2 = α:β （ α，β互素），且它们均认可由假设前提可推出“ α是偶数 ”。 √2 = α ： β可以写成α 2 =2 β 2 （ β是整数）的形式，因为假设β是整数总是能够得到满足的。正是由于“β是整数”这种先行性假设（注：这种假设的先行性在毕达哥拉斯学派和现今教科书的证明中是被隐含的），所以才能有 2 β 2 和 α 2 是偶数的推论，从而 α不可能是奇数，因为奇数的平方不可能是偶数。现在再假设 α 也是整数。由于 α不是奇数，于是人们推出α是偶数，但笔者认为，不能认可这一推理。理由是： ① 既然 “ α 是整数 ”只是一个假设，所以，此假设以及由它所推出的“ α 是偶数 ”这一结论就都是可质疑的，是需要接受审查的，事实上，这个审查“时间点”在逻辑上应该是唯一的。 ② 有一个疑问是， “ α 不是奇数就是偶数 ”这一推理是在合法的应用排中律吗？由于所取论域不同，答案会是截然相反的。如果说，为了应用反证法的缘故，α短暂脱离 α 2 =2 β 2 （ β 是整数）是被允许的话，那么，最终让 α回归 α 2 =2 β 2 （ β 是整数），并揭示 “ α 是偶数 ”与 α 2 =2 β 2 （ β 是整数）是否相容，便是判断 “ α 不是奇数就是偶数 ”这一推理是否有效的唯一方法。笔者的具体质疑是：既然对于 α 2 =2 β 2 （ β是整数）而言，α是偶数；对于β 2 =2 γ 2 （ γ是整数）而言，β是偶数，那么，为什么在论证中只提 α和β 是偶数，而不提被蕴涵在后面的 γ、δ、……同样也是偶数呢？事实上，如果对于 α 2 =2 β 2 （ β是整数）而言，α是偶数，那么，就应该存在（蕴涵）一个无穷偶数序列： α、β、γ、δ、……。于是，可推出α、β、γ、δ、……中的每一个均含有无穷多个因数 2（注：理由是，例如，关于 α，开始假设 α =2 γ；后面还会假设γ =2 ε； …… ），但这与曾先后假设的 β和α均是整数相矛盾，这表明，对于 α 2 =2 β 2 （ β是整数）而言，毕达哥拉斯学派关于 “ α是偶数 ”的推理是错误的。正是由于毕达哥拉斯学派的上述推理错误，才使得有理数与无理数之间的矛盾被转换成了整数系统内部的某种矛盾，但这是荒谬的。同时，其后续推理也是没有意义的，因为这种推理就如同爬楼梯中 “无法通过第二层”（注：这里是指无法证明 “ α是偶数 ” ），却要拿 “第三层是真的”说事（注：这里是指， “ α是偶数 ”参与其中的后续推理被认为是有效推理）。为了帮助理解，我们还可以举一个有趣的例子。一个小伙，喜欢上了一位漂亮的姑娘。于是，他开始推理：我们结婚后，会生一个漂亮的宝宝，如何如何。但问题是，如果两人结婚根本就是不可能的事，试问，这样的推理有意义吗？有效吗？我们能够认可这种推理结论为真吗？为了下文行文方便，我们不妨把这种先决条件并不存在的推理，叫做痴情人推理。但是，需要说明的是，痴情人推理不同于反证法。应用反证法，开始假设了什么，到最后都会根据推出矛盾而去否定开始的假设条件，但痴情人推理不是这样，例如，毕达哥拉斯学派的证明，前面假设了 α为整数，到后面就不再有下文了；尤其让人不可理解的是，其最后所否定的竟是一个与所给条件 α 2 =2 β 2 不相干的东西，难道不是这样吗？现今的人们都知道， α 和 β 不可能全是整数，那么，何来互素与否之说？简言之，在毕达哥拉斯学派的证明中，并不是把 “ α 为偶数 ”当做一个准备予以否定的假设条件来对待，相反，“ α 为偶数 ”被认为是成立的。正是由于没有及时做到对“ α 为偶数 ”予以否定，所以才会出现由 “α，β 互素 ”到 “ α，β非互素 ”这种 “空对空”的痴情人推理。即使抛开“ α 为偶数 ”这一步推理的正确性不论，仅从原则上考虑，我们也有理由质疑毕达哥拉斯学派及后世的证明思路是否符合反证法的定义？理由是，排中律是间接证明方法的根本 314 ，但排中律并非无条件有效，具体到我们所讨论的问题就是，因为 α和β不可能全是整数，所以，“α，β互素”和“α，β非互素”就都是毫无意义的伪概念，它们并无真假可言。因此，毕达哥拉斯学派及后世试图在 “α，β 互素 ”和 “ α，β非互素 ”之间应用排中律以证明 “α，β 互素 ”为假，这是不可能的事。简言之，毕达哥拉斯学派及现今教科书是不合理的应用了反证法，因而其论证是无效的。究其根源，是由于认为把 “ α 、 β 互素 ”作为假设条件是合理的，但事实上，此假设隐藏着不易察觉的逻辑层次方面的陷阱。试问，人们是否想过，真的能够越过 “ α 和 β 全是整数这道坎儿 ”吗？如果不能，何以谈“互素”？也许有人会说，“我们不是已经越过这道坎儿了嘛，不是已经在整数范围内进行推理了吗？”但问题是，这种“越境”合法吗？换句话说，相关的推理有效吗？请不要忘记一个常识，再逼真的魔术，也是假的（注：这里的“魔术”是指，有理数与无理数之间的矛盾被转换成了整数系统内部的某种矛盾）！总之，我们不可以离开 α 2 =2 β 2 （ β是整数）这个具体条件而进行推理，否则，推理的有效性是难以得到保证的，换一种说法，推出的结论可能是荒谬的，例如，推出的 “ α和β非互素 ”这个结论就是如此，因为无论是“互素”还是“非互素”概念，涉及的两个对象应全是整数，但 α和β不全是整数，何以会有 “互素”或“非互素”之说？还要说明的是，虽然毕达哥拉斯学派及后世也发现由 “ α是偶数 ”会导致矛盾（注：这里是指，由假设 “α，β 互素 ”推出了 “ α，β非互素 ”），但我们不能认可其间的推理是有效的。理由是，依据问题的性质， √2 是不是有理数的矛盾，只会发生在有理数与无理数的 “交界处”，换一种说法，只会发生在 “α是整数”这个假设上，再具体一点就是，只会发生在由 “α是整数”推出的 “ α是偶数 ”这个结论上。然而，毕达哥拉斯学派所推出的矛盾并不是发生在有理数与无理数的 “交界处”，更确切地说，这种矛盾并不属于“直接与‘ 是整数 ’相矛盾”的矛盾或 “直接与‘ 是偶数 ’相矛盾”的矛盾，所以，我们不能认可毕达哥拉斯学派的推理是有效的。笔者认为，在应用反证法的过程中，如果发生从 √2 = α : β 推出的是整数系统内部的某种矛盾，那么，毫无疑问，这种关于 √2 不是有理数的证明必是无效的，至于具体错误，这要根据具体证明而进行揭示。基于上述分析，笔者反对把一开始的假设条件写成 “ √2 = α ： β（α ， β互素）”，但也不赞同写成“ √2 = α ： β（α ， β均为整数）”，因为一个模糊空间无疑是狼能够混入羊群的最好不过的条件了（注： ① “狼”指无理数，“羊群”指整数系统。 ② 由于没有明确固定 α和β究竟哪一个可以是整数，因而其中的每一个似乎都可能是整数，这样，就容易把α和β都当做是整数，于是，“引狼入室”的事自然就发生了）。合理的做法应该是，先假设其中的一个是整数（注：这一点总是能够得到满足的），然后，再假设另一个也是整数，看是否会引发矛盾，若引发矛盾（再次强调：这里指的不是整数系统内部的某种矛盾，而是指 “直接与‘ 是整数 ’相矛盾”的矛盾或 “直接与‘ 是偶数 ’相矛盾”的矛盾），就否定后者，但前者不动。 4 本文作者的证明命题：对于 √2 = α：β，其中的α和β不可能全是整数。证明：我们总可以把 √2 = α：β写成α 2 =2 β 2 （ β是整数）的形式。 ① α不可能是偶数假设 α是偶数，设 α =2 γ（γ是整数） ,代入 α 2 = 2β 2 ,得 β 2 =2 γ 2 。如果 α 2 =2 β 2 （ β是整数）中的 α是偶数，那么， β 2 =2 γ 2 （ γ是整数）中的β也是偶数； ……这样下去，就会推出α和β均含有无穷多个因数2 （注：例如，关于 α，开始假设α =2 γ；后面还会假设γ =2 ε；……），从而说明 α和β均不是整数，但这与先后假设的β是整数和α是偶数相矛盾，故对于 α 2 =2 β 2 （ β是整数）而言， α不可能是偶数。 ② α不可能是奇数理由是，奇数的平方不可能是偶数。综上所述，对于 α 2 =2 β 2 （ β是整数）而言， α不可能是整数，换一种说法，对于 √2 = α：β，其中的α和β不可能全是整数。 5 结束语从表面看， “α，β 互素 ”这个假设条件和“α是偶数”这个推理结论似乎成全了毕达哥拉斯学派的反证法，因为这两条将使得 “α，β 互素 ”与“α，β非互素 ”这一对矛盾命题“能够被推出”，但事实上，上述假设条件是不合理的，上述推理结论是错误的。笔者还想说的是，人们总是一门心思地想着，如果 α和β全是整数，那么， α：β可表成最简分数就是天经地义的事，这一点没错。但是，怎么就不去想一想，对于 √2 = α:β 而言，如果 α和β不全是整数，难道也要在论证中应用 “α，β互素”这一假设条件不成？若真是如此，其先决条件是务必表明 “α和β全是整数”是可满足的，但是，你能够不犯偷换概念（指不同论域）的逻辑错误而做到这一点吗？本文内容来源于文献。参考文献：美 ] M.克莱因.古今数学思想，第 1册．张理京，张锦炎译．上海：上海科学技术出版社， 1979年第1版,第37-38页. 马复主编.义务教育教科书数学（八年级上册） .北京：北京师范大学出版社，2014年第2版，第24页. 美 ] M.克莱因.古今数学思想，第 4册．张理京，张锦炎译．上海：上海科学技术出版社， 1979年第1版,第314页. 杨六省.悖论是什么——70个悖论的消解 .武汉：汉斯出版社，2020.6，第20-32页.; 个人分类: 数学研究|3198 次阅读|1 个评论

假设检验与“无罪推定论”——《统计中的智慧》: 热度 1 l512002855 2015-5-11 21:07; 仅凭一个例子去证明一个命题成立，理由是不充分的；而要否定一个命题，一个反例就足够了。因此，统计学家将注意力集中于拒绝原假设和不拒绝原假设上。“不拒绝原假设”有两层含义：其一是原假设的确是正确的，应当接受；其二是样本提供的信息不足以拒绝原假设，于是只能保留，等收集到新的样本再作判断。用统计检验解决问题的思路类似于司法界的“无罪推定论”。所谓“无罪推定论”只：法官在办案时，首先建立一个“被告无罪”的原假设，谁说被告有罪必须拿出证据。如果证据确凿，法官就推翻被告无罪的原假设。如果证据不足，就会宣告被告无罪。按照这样的原则判案，可以保证关在监狱里的人必定都是有罪的。假设检验的基本思想，“概率性质的反证法”。为了检验原假设是否成立，就去看由此出发会推出什么样的后果。如果导致了一个不合理的现象发生，那就表明原先的假设不能成立，于是就拒绝这个假设。; 个人分类: 统计学|5436 次阅读|10 个评论

【学习笔记】《计算化学-从理论化学到分子模拟》- 2 （23页~）: jameshzd 2014-1-11 10:33; 1. Hohenberg-Kohn第一定理：多电子体系若其基态是非简并的，则该基态体系中核与电子的相互作用势能v(r)唯一的取决于体系的电子密度（只差了一个无关紧要的常量） 2. HK第一定理的证明：利用反证法。先假设有两种电子态密度，然后利用两种电子态的平权性质。因为只要两个物体是平权的，那么证明中一旦出现单调性的方向。那么必然会导致paradox。问题：1. 如何证明HK第一定理（非简并情况）。2. 如何从非简并情况推广到简并情况。 3. 1968年，E.B.Wilson Jr.说：“我们相信能进一步把任何物理量的计算归结到一阶约化密度中计算，这就是通常的三维空间中普遍意义的电子密度。” 1968年，J.R.Platt说：“干嘛30年之后我们还憋在Schrodinger方程里呢？这从来就不是为多电子体系设计的。Fermi, Pauli, Pauling没有把它当做教条。Bohr在”经典对应原理“里也没有把它当做教条。” 4. HK定理说明所有原子核的位置只能决定基态的所有性质，而不能确定激发态有何种性质。问题：我们有哪些办法来处理激发态的情况？ 5. 分子结构文件的格式可分成两类：直角坐标法、内坐标法（即Z-matrix法）。直角坐标法就是根据N个原子具有3N个空间坐标，排列成一张表格后即可。而内坐标法是通过价键的连接关系和键长r、键角以及二面角来表示原子核的位置的方法。内坐标中有3N-6个坐标（减去的6个为3个平动坐标和3个转动坐标） 6. 分子内坐标和直角坐标法各有各的用处，不过在能量优化的算法中内坐标法往往用较少的迭代次数就可以达到同样的能量收敛阀值。 7. 分子的势能是指在无外场时单个自由分子的势能，即分子内部运动的势能，它是3N-6个核坐标的函数（线型分子时为3N-5）。核坐标长成的空间为位形空间。同一个分子的不同结构（即位形空间中不同的点）的势能构成的曲面称为势能超曲面S，简称势能面。 8. 势能面上关心以下几种具有特殊性质的点，包括平衡点、极小点、构象、稳态点和过渡态。平衡点：满足势能U关于核坐标qi一阶导数为0的点。包括（极小点、极大点、稳态（驻点）及过渡态）极小点：满足平衡点条件且势能对核坐标的二次导数大于0 极大点：满足平衡点条件且势能对核坐标的二次导数小于0 稳态点（驻点）：满足平衡条件对于某一部分的核坐标二次导数大于0，而对于另一部分小于0 过渡态：满足平衡条件且只有一个方向满足二次导数小于0，而其余方向二次导数大于0。这个点称为过渡态。 9. 力场（force field）方法是一种只用于分子势能近似计算的方法。分子势能的精确计算肯定需要量子力学。 10. 假设有一个理想的“标准”分子，它具有键长r、键角、二面角都等于标准键长、标准键角以及标准二面角。且其（1》5）原子间的van der Waals能和（1》5）原子间静电能都忽略不计，这样的分子令其势能为0，也即能量零点设在这样的“标准分子”处。; 个人分类: 学习笔记|4839 次阅读|0 个评论

一致收敛的连续函数列的一个简单性质: zjzhang 2013-3-13 11:35; 设 $f_n(x)\ (n=1,2,\cdots)$ 是区间 $ $ 上的连续函数,当 $n\to\infty$ 时, $f_n(x)$ 在 $ $ 上一致收敛于函数 $f(x)$; 每个 $f_n(x)$ 在 $ $ 上均有零点.证明 $f(x)$ 在 $ $ 上至少有一个零点. 注：用反证法。这是华中科技大学2005年数学分析考研试题第10小题.; 个人分类: 数学|2434 次阅读|0 个评论

胡乱证明“所有的学科都是科学”为假: rbhuang5907 2012-3-18 15:26; “所有的学科都是科学吗？” 这是一个问题，不是一个命题，不能做出断定，不是判断，不知道真假。 “所有的学科都是科学”，这是一个命题，可供判断，它是真还是假呢？需要论证。如何论证呢？如何证明“所有的学科都是科学” 这一命题为真。论证方式有演绎证明和归纳证明。演绎证明就是借助演绎推理进行的证明，即用一般原理确定关于特殊事实命题之真实性的一种证明。归纳证明就是借助归纳推理进行的证明，即用某种典型的关于特殊事实的命题来推定一般原理之真实性的一种证明。如果是完全归纳证明，得出的结论是必然性的，也算是演绎证明。论证方法有直接证明和间接证明两种方法。直接证明就是用论据正面推出论题的一种证明方法，既可以借助于演绎推理，又可以借助于归纳推理来进行。间接证明就是通过证明相反命题的虚假，以迂回的方式确定论题之真实性的一种证明方法，又称反证法。运用间接证明一般有三个步骤∶第一步，设立反论题；第二步，证明反论题是假的；第三步，根据排中律，推出我们所需要证明的论题是真。用“直接证明的方法以演绎证明的方式”来证明“所有的学科都是科学” 这一命题为真，我不会。用“直接证明的方法以完全归纳证明的方式”来证明“所有的学科都是科学” 这一命题为真：找出“科学”这个概念的本质属性，什么是“科学”这个概念的本质属性呢？我有我的看法，你有你的的看法，暂时不管，我们有共同的看法。以下列出“科学”这个概念的本质属性，省略XXXX字。有了“科学”这个概念的本质属性，我们再找出所有学科的本质属性：以下列举出所有学科的本质属性：以下省略XXXX字。我们把所有学科的本质属性一一和“科学”的本质属性对照，发现所有学科的本质属性和“科学”的本质属性完全一样，我们得出“所有的学科都是科学” 这一命题为真。证明完毕。这那成。不成，换方式方法。改用“直接证明的方法以归纳证明的方式”来证明“所有的学科都是科学” 这一命题为真：找出“科学”这个概念的本质属性，什么是“科学”这个概念的本质属性呢？我有我的看法，你有你的看法。暂时不管，我们有共同的看法。以下列出“科学”这个概念的本质属性，省略XXXX字。找出部分学科的本质属性，以下列举出一些学科的本质属性：物理学的本质属性是------；化学的本质属性是--------；生物学的本质属性是------；哲学的本质属性是-------；中医学的本质属性是-----；省略XXXX字。我们把这些学科的本质属性一一和“科学”的本质属性对照，发现这些学科的本质属性和“科学”的本质属性完全一样，没有发现反例，我们得出“所有的学科都是科学” 这一命题为真。证明完毕。且慢，到此刻为止，我们没有发现反例，但我们不保证明天发现反例，如果明天发现反例，上述证明不成立，“所有的学科都是科学” 这一命题为假。这叫“可证伪”。且慢，别人会问：“你的结论是建立在有限例子，而且没有发现反例的基础上的，不靠谱。”，我无语。不行。不行就再换方式方法。用“间接证明的方法以演绎证明的方式”来证明“所有的学科都是科学” 这一命题为真，我不会。用“间接证明的方法以归纳证明的方式”来证明“所有的学科都是科学” 这一命题为真，我不会。以上论证我们都遵守了关于论证的规则。关于论证的规则有关于论题的、论据的和论证方式的三方面的规则。关于论题的规则论题必须明确。即论题应当清楚确切，不应有歧义、不能含糊其词。相应的逻辑错误称为“论旨不明”。同一论证过程中，论题应当保持确定。即在同一论证过程中，必须始终围绕着同一论题进行论证，不能随意变换。否则就会出现“转移论题”或者“偷换论题”的逻辑错误。关于论据的规则论据必须是真实的。即论据是用来论证论题的根据，如果它本身不真实，整个论证就失去了基础。违反这一规则的逻辑错误是“虚假理由”或“预期理由”。周其凤校长的“美国教育一塌糊涂论”估计是这个错误。论据的真实性不能依赖论题来说明。即在同一论证过程中，论题与论据不能互为理由，否则就会犯“循环论证”的逻辑错误。关于论证方式的规则论据和论题之间应当有必然的逻辑联系。即在论证过程中，每一步必须严格遵守有关的推理规则，否则从论据不能必然推论出论题，出现“推不出”的逻辑错误。这种逻辑错误具体表现为“推理形式无效” 、“论题与论据不相干” 、“论据不充分” 等。用常识来证明看看：既然“所有的学科都是科学”，那么这个“科”字有什么意义呢？省去这个“科”字，还省点笔墨，只是写稿人少了点稿费。可是，大家目前到现在为止此时此刻还不想省去这个“科”字，说明这个“科”字还有用处，还可以用以区别一些学科，由此可以断定“所有的学科都是科学”这个命题为假。别拍砖。既然“所有的学科都是科学”这个命题为假。那么，它的负判断“并非所有的学科都是科学”为真。与“所有的学科都是科学”这个命题互为矛盾关系的命题是“有些学科不是科学”。见对当关系图。那么，与“并非所有的学科都是科学”等值的命题是“有些学科不是科学”，即“有些学科不是科学”为真。接下去的问题是哪些学科是科学，哪些学科不是科学了。; 3679 次阅读|0 个评论

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