有人说“一本书中 多一个 数学 公式就会减少 一半读者。”咱这篇博文以公式推导为主，看看能有多少点击量。 以前的某些研究认为地震效率 h 为常量，据此我们建立了锁固段累积 Benioff 应变（ CBS ）与剪切应变的联系——线性比例关系。然而，某些研究认为地震效率并不总为常量，对较大地震可认为是常量，而对较小的地震为变量。既然有争议，那就搁置争议，把地震效率 h 视为变量好了。那么 ，怎样建立在 h 为变量的情况下 CBS 与剪切应变的关系，当然采用老办法行不通了，得另辟蹊径哦。 由于锁固段属于硬岩，其塑性变形（孔隙和软弱胶结物剪切变形）很小，可忽略。这样，锁固段沿断层面的滑移应变 = 锁固段的剪切应变 ≈ 锁固段的弹性剪切应变。下面，看看咱是如何算这个弹性剪切应变滴。 锁固段被加载至某一点 C （图 1 ），第 i 次裂纹扩展将释放一部分储存的弹性应变能。为简化分析，设卸荷为线性方式。显然，三角形 ACD 面积 S ACD 代表裂纹扩展前锁固段储存的弹性应变能密度。裂纹扩展导致应力降产生，这等效于沿路径 CB 卸载，则梯形 BCDE 面积 S BCDE 代表释放的弹性应变能密度。假设锁固段内部剪应变均匀分布，则相应的弹性应变能 U i = S BCDE V （ V 为锁固段体积） 。 图 1 锁固段破裂过程中的能量转换关系示意图 设裂纹扩展前的剪应力 ( CD ) 为 t 1 , 扩展后的终止剪应力（ BE ）为 t 2 ，则 : U i =0.5( t 1 + t 2 ) D e i V (1) 式中， D e i 为第 i 次裂纹扩展对应的弹性剪切应变增量 。 U i 中的一部分将转换为地震波辐射能 J i ，其可表达为： J i = h U i （ 2 ） 式中 , h 为地震效率。 根据 Wyss and Molnar(1972) 的研究，若终止剪应力等于摩擦应力，则： h =( t 1 - t 2 ) /( t 1 + t 2 )= D t i / ( t 1 + t 2 ) （ 3 ） 式中， D t i 为第 i 次裂纹扩展对应的应力降。 代式（ 3 ）入式（ 2 ）得 ： J i =0.5 D t i D e i V (4) 从式（ 4 ）和图 1 知，地震波辐射能正好等于梯形区域中小三角形面积表示的应变能，这说明式（ 3 ）正确。 从大量加卸载循环试验（黄达等， 2012 ；梁昌玉等， 2012 ）知，卸荷模量近似等于剪切弹性模量 G 。又因为 D t i =G D e i ，则上式可写为： J i =0.5 G V D e i 2 （ 5 ） 因为对同一个锁固段， 0.5 GV 为常量，则上式可变为： J i 0.5 =C D e （ 6 ） 式中， J 0.5 为 Benioff 应变， C =( 0.5 G V ) 0.5 。 若在每个构造应力加载步下锁固段都有一次裂纹扩展，即有一次地震发生，则累积 Benioff 应变（ CBS ） 可表达为： CBS= å J i 0.5 = C å D e i = C e （ 7 ） 式中， e 为锁固段的弹性剪切应变。 由此看出， CBS 与 e 成线性比例关系，其可近似表征锁固段的剪切应变或锁固段沿断层面的滑移应变。这下， CBS 的“盖头”被掀掉了，其物理意义昭然若揭啦。 我们已经导出单锁固段峰值强度点与体积膨胀点 剪切应变的关系为： e f / e c =1.48 (8) 将式（ 7 ）代入式（ 8 ）得： S f / S c =1.48 (9) 式中， S c 和 S f 分别为锁固段体积膨胀点和峰值强度点处的 CBS 值 对有 k 个锁固段的情况，经过几步推导得到： S f ( k )=1.48 k S c 式中， S c 为第一个锁固段体积膨胀点处的 CBS 值， S f ( k ) 为第 k 个锁固段峰值强度点处的 CBS 值。 总结下，人们在推导理论公式时，难免会引入某些假设。需注意的是：（ 1 ）要尽量减少假设；（ 2 ）要去除冗余的假设；（ 3 ）不要采用可能有争议的假设。如此，可增强理论的强壮性。 参考（略 ）
当前震级标度有以下几种：地方性震级 M L ， 短周期体波震级 m b 、长周期体波震级 m B 、面波震级 M S 、矩震级 M W 以及持续时间震级 M D ，常见震级标度换算公式如下： 对于 M W 震级的转换采用以下方法，在大多数破坏性地震的震级测定中，当 6.4 ＜ M S ＜ 7.8 时， M W ＝ M S ；当 M S ＝ 6 时， M W ≈ M S ，相差很小；在较小震级范围内 M W ＝ M L 。 震级 M L 、地震矩 M 0 、地震能量 E 和 Benioff Strain 之间换算关系如下： 当不同的震级标度统一换算为 M L 时，表 1 给出了震级及相应的能量、 Benioff 应变值。 表 1 震级 - 能量 - Benioff 应变换算表 震级 ( M L ) 地震距 M 0 能量 E Benioff 应变 1 3.55E+10 1.77E+06 1.33E+03 2 1.12E+12 5.61E+07 7.49E+03 3 3.55E+13 1.77E+09 4.21E+04 4 1.12E+15 5.61E+10 2.37E+05 5 3.55E+16 1.77E+12 1.33E+06 6 1.12E+18 5.61E+13 7.49E+06 7 3.55E+19 1.77E+15 4.21E+07 8 1.12E+21 5.61E+16 2.37E+08 9 3.55E+22 1.77E+18 1.33E+09
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