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弦切角定理的逆定理——答scrat233 博友: 热度 2 lev 2016-5-6 21:03; 弦切角定理的逆定理——答scrat233博友这段时间到处瞎忙，几乎荒废了科学网博客...... 今天收到 scrat233 博友的留言，忽然来了兴致——兄弟我素来对“神圣的平面几何”没有抵抗力，这种简洁的模式里蕴含着神性！由于留言系统无法上传图片，只好小题大作，草就一篇，贻笑大方。博友的留言如下： scrat233 2016-5-6 17:51 李老师好，我平时喜欢尺规作图，头几天做出一道题，但证明不了，已困扰多日。题目：三步尺规做，过已知圆1上一点A的切线。我的解法：一、以圆1上任意点（不包括A，以及过A的直径点A`）为圆心，过点A做圆2，交圆1于B点；二、以A为圆心，过点B，做圆3交圆2于C；三、连接AC，得到切线。按照兄弟我的个人习惯，我将作图步骤的表述修改为如下：一、取圆 O 1 上的任意点 O 2 (不包括A与A在圆 O 1 上关于圆心 O 1 的对称点)，连接 AO 2 。以 O 2 为圆心， O 2 A 为半径作圆 O 2 交圆O 1 于B，连接AB，；二、以A为圆心，AB为半径作圆A交圆O 2 于C；三、连接AC，求证AC为圆O 1 的一条切线。兄弟我用几何画板作了个示意图：需要申明一点：这个问题的前提应该是圆 O 1 圆心的位置未知。否则不必如此大费周章，直接连接圆心与切点延长作垂线即可。故而在证明过程中也不能使用圆 O 1 圆心位置的任何信息。现在简单说明一下证明思路： 1，连接 O 2 B 和 O 2 C，易证等腰三角形AO 2 B和等腰三角形AO 2 C全等； 2，易证角 AB O 2 =角 O 2 A C，可直接使用弦切角定理的逆定理得证 AC为圆O 1 的一条切线。附记如有需要可以先证明弦切角定理的逆定理作为引理备用，证明思路如下：以上......; 个人分类: 莫名其妙|10518 次阅读|6 个评论

请教：物理光学的几何问题: 热度 9 freefloating 2014-10-24 16:07; 看了几位老师的尺规作图的讨论，有趣，但思维体操也需要时间啊，好像没时间玩…… 尺规作图：被遗忘的思维体操此情可待成追忆：中学平面几何自由而无用的灵魂，读书及写作的愉悦这里还有好多：正多边形尺规作图法http://blog.sciencenet.cn/blog-420554-550429.html 昨天下午一时没忍住，做了一下应老师初二编的题目（关于尺规作图题：平面上任给一条直线和在直线同一边的两个点，要求画一个圆过这两点与这直线相切。），用了一个多小时，才做出来，下午就这么看看网做做题过去了，竟然很有些郁闷，觉得有没干正事（写文章，数据攒得越来越多，文章却不见多）。眼瞅着五点了，赶紧做好了饭去锻炼，上了平衡和爵士，8点赶回家，感觉又好高兴了！什么文章专利项目报销都忘了。儿子初三正在学几何，我正好可以讲给他听，哈哈…… 觉得儿子的圆规不好用，把小时候老爸给我的圆规翻出来，大家看看上海绘图厂（是这个名字吗？）的圆规，这是什么质量啊！这三四十年了，还是比儿子那些新圆规好用啊。又把自己做的的图画给儿子看（画得很不仔细），画完竟然觉得有些漂亮，于是拍照留念…… 今天看到又有讨论，我先标记一下，有时间再玩…… 我还有个物理光学中的几何问题，想了好一会不知道怎么证明，放出来请教一下大家：已然明白了，谢谢尤老师，其实真的很简单，归结原因是我备课的时候心绪不宁，总着急又不想放掉问题，其实反倒更耽误时间…… 最近很有时光飞逝的感觉（好像我一直这样哈），总觉得每周周六在老妈家值班完回家，坐那儿一想，新一周就又算计完了：周日和儿子学吉它拳击；然后就是周一上两节课，备周二物理光学课；周二听两节量子力学课，讲两节课；周三讲两节课，备物理光学课；周四听两节课，讲两节课。因为都要12点才下课，所以每天早晨都要一边做早饭一边预备好中午饭，大部分时候都是用电饭锅预约好炖排骨山药之类的。现在做饭也是要认真的，儿子一天三顿饭在家吃，初三了，营养要跟上，口味也不能太差了。《物理光学》虽然第三年讲了，但离“信口开河”的境界还十万八千里，还得好好备课。而且这三年我从梁铨廷的本换成写谢敬辉的本然后又换回来，下一年又要与《工程光学》共用郁道银的本，虽然大同小异，但也算是年年换教材。其实每次备课也就是一天的时间，感觉很不够用的，但也只能给这么多了…… 以后还是要总结，不总结很快问题想法就又忘了…… 我总是做很多事情心不足够宁静，不仅在做题（可做可不做，但又不愿放手的那些题目）上纠结要不要花时间，上淘宝上给小猫买猫砂，也定错了种类，总觉得这些事情浪费了时间，结果是不认真总是更耽误时间，都是些必做的事情，还是要足够认真些……; 个人分类: 来学往教|5243 次阅读|32 个评论

尺规作图：被遗忘的思维体操: 热度 12 lev 2014-10-20 22:30; 尺规作图：被遗忘的思维体操引子·被遗忘的思维体操一段时期以来，坊间有这样一种看法：我们的基础教育与高等教育（相关专业除外）缺乏逻辑的训练(至于为何需要，已不需要我来啰嗦)。除个别专业需要，我们确实没有明确且系统的“逻辑课”，但必要的逻辑训练还是存在的。以基础教育为例，逻辑训练被分散在数学、计算机、语文、物理、化学、生物等课程中。问题在于被分散的逻辑训练往往停留在教学大纲的表述中，而实际操作则依赖于老师在“应试”约束下自行把握火候。笼统地讲，学生在几何学中感悟 “ 公理演绎”，在代数与计算机中感悟“算法”，在集合论基础、语文的阅读理解和病句分析（实际上是关于现代汉语语法的分析）中理解“概念”，在理化生（高中物理除外）中学习“归纳”...... 尤其是数学这门课，被誉为“思维的艺术体操”（我印象中，这是华罗庚先生的说法，不知然否），其中几何证明（特别是初中的欧氏平面几何证明）在思维逻辑上的训练强度并不低，至少不低于公务员考试的“行测”——这也符合“七艺”的传统。我一度一厢情愿地认为：在现有分散的逻辑训练的基础上，在“思政”课程体系的哲学部分增加形式逻辑学的基础知识也许可以起到提纲挈领、纲举目张的效果。近年的观察给我浇了盆冷水。就我观察到的范围，原本分散的逻辑训练正在稳步地弱化：至少在四川，平面几何、语文的语法要求在逐年下降，计算机早就和音体美一样被边缘化，理化生的实验更是形同虚设——就以应试的验收标准来说，中考还有聊胜于无的实验操作考试，高考卷面所谓“实验题”完全脱离了实验教育...... 把下面这篇旧文翻出来，缘于三年前有小朋友告诉我，他们初中已经不学“尺规作图”这种老掉牙的东西——而在我看来，老套的尺规作图恰恰是平面几何中逻辑思维训练的精华！以尺规作图求两相离圆的外公切线 —— 线段比例作图问题的“参考线段法” 尺规作图（没有刻度的直尺与没有度量功能的圆规）求两圆公切线是困扰我多年的一个几何作图问题，其难点在于对切点的确定。一般地，仅在满足两圆内切或两圆半径相等条件的特殊情况下，我们可以容易地确定切点。余下的情况则颇令人“痛苦” 。此处所论，即半径不等的两相离圆外公切线的求作。该情况具有明显的普遍意义。如图：某一欧氏平面内，圆 O 1 与 O 2 相离，其半径分别为 R 1 、 R 2 ，已知两圆心距离为 l ，求作直线 l ' 为两圆的一条外公切线。图1 记得读初中时，我曾问过自己的数学老师，她思索一番后表示无能为力，又因为“考试不考”这样“俗不可耐”的原因，就渐渐淡忘了...... 很多年后，一次偶然的机缘，我在一位好朋友那里读到了匈牙利裔美国数学家乔治·波利亚（ George Polya ）的《数学的发现》（刘景麟、曹之江、邹清莲译，科学出版社）。“大神” 波利亚在他的著作中就此种情况提供了一个十分巧妙的解法，他提到：一个显然与之关联的问题是(假定读者已经知道它的解法)，从圆外一点作已知圆的切线。这个问题实际上是所提问题的极端情形，即两个给定圆中的一个退化为一个点。通过变化已知量这种最自然的途径便可以达到这种极端情形，例如缩小一个圆的半径而让另一个圆不变，或是缩小一个圆的半径而放大另一个圆的半径，或是同时缩小两个圆的半径。这时我们突然闪出一个念头，如果让两个圆同时按同样的速度缩小，那么两个半径在相同的时刻里就减少了同一长度，画一画这个变化的图，我们就会看到，每一个公切线也在移动，但移动时保持着彼此平行，直到最后得到了图2。这也就是得出了解法：从较小的圆的圆心出发，作新圆的切线，这个新圆与较大的圆同心，它的半径是两个定圆的半径之差。利用这样得到的图形作为一块跳板，由它出发，即可容易地得到所要求的外公切线（只需作两个矩形就行了）。图2 类似地，从其中一圆的圆心出发，作新圆的切线，新圆与另一个圆同心，其半径是两个定圆半径之和。同理可得到两圆的内公切线。图3 波利亚这个方法令我五体投地，其中“极端”与“动态”变化的技巧简直妙不可言。佩服之余，还是有些“不服气”，波利亚的方法太“奥数”了——当“答案”来得太突然时，你还是会试着想想还有没有其他的办法！恰好那时我正在读笛卡尔的《方法论》（Discourse on the Method）的附篇《几何学》。笛卡尔在《几何学》中为了建立我们今天熟知的“笛卡尔坐标系”提到了一种引入“参考线段”的作图方法（他还用这种方法讨论了一次、二次到高次代数方程的求解）。我便试着通过引入“参考线段”来处理两圆公切线的尺规作图问题——姑且把这个方法称为“参考线段法”。我的“参考线段法”的结果如下图所示：图4 我的方法主要分三步，分别求作线段 l R 1 /t ( t 为引入的“参考线段”)、 lR 2 /(R 1 -R 2 ) 与公切线 l ' , 每一步我都给出了证明。具体步骤较为繁琐，提供一个PDF，供有兴趣的朋友指正参考：试以尺规作图求两相离圆的外公切线.pdf 该方法还可用于以尺规作图确定两外切圆的外公切线、两相交圆的外公切线以及两相离圆的内公切线。显然，我的方法比波利亚的复杂得多，就像尺规作图里的“欧氏蛋”相比于“汤比蛋”——所以同志们参考的意义也不大。但一想到这是与波利亚老先生不同的“原创”方法（如果与我尚不知的“古人暗合”，也无所谓），兄弟我也就心满意足地收工了 ...... 后记·无聊么？记得初中时，一位数学老师告诉我：苏步青老人家在初中三年做了一万道平面几何证明题（不知确否）——乖乖，按一年365天计，苏老先生平均每天要做9道，看来“微分几何”的火车也不是推的！对兄弟我而言，做这等“无聊之事”无非是想找回若干年前在课桌上做出一道几何证明题的小小满足感罢了（且满足感与最终完成的做题耗时正相关） ——闲来没事动动脑子，做做“思维体操”也是极好的嘛！就这老掉牙的“尺规作图”，据说偶尔也有“奇效”：去年底在成都科协开一本科普书再版研讨会，与会的张景中先生提到了一件旧事：张先生与其学生曾利用复平面方法（这个方法也可以用来讨论高斯的尺规作正十七边形）发展了所谓“生锈圆规作图问题”，成果相继发表于《中国科学技术大学学报》（《锈规作图论》，1987）和 Geometriae Dedicata（What can we do with only a pair of rusty compasses，1991）。郑重申明：请不要在这里讨论“几何作图三大难题”，兄弟我真的不懂啊！！！; 个人分类: 旧时文章|15154 次阅读|37 个评论

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