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“代数几何”(14-XX)2020年6月份最新论文题录(70条)
zhpd55 2020-6-29 15:42
“代数几何” ( 14-XX )2020 年 6 月份最新论文题录(70条) 诸平 数学主题分类 2020版”( MSC2020 )对其2010版( MSC2010 )的 14-XX 代数几何( 14-XX Algebraic geometry )类进行了多项调整。特别是 MSC2010 中的 14F05 和 14T05 。 2010版的14F05是丛和丛的派生类及相关结构(Sheaves, derived categories of sheaves and related constructions ),在2020版分类中调整为 14F06 14F08 14A30 。还有 14T05 热带几何(Tropical geometry )调整为 14T10 14T25 14T20 14T15 14T90 。为了便于理解,将14-XX的2010版和2020版相关内容摘引于下,同时附上2020年6月份MathSciNet数据库收录的最新与14-XX相关的论文题录(70条), 仅供参考。 14F05 Sheaves, derived categories of sheaves and related constructions 14T05 Tropical geometry 2020版( MSC2020 )14-XX分类 14-XX Algebraic geometry 14-00 General reference works (handbooks, dictionaries, bibliographies, etc.) pertaining to algebraic geometry 14-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry 14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry 14-03 History of algebraic geometry 14-04 Software, source code, etc. for problems pertaining to algebraic geometry 14-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to algebraic geometry 14-11 Research data for problems pertaining to algebraic geometry 14Axx Foundations of algebraic geometry 14Bxx Local theory in algebraic geometry 14Cxx Cycles and subschemes 14Dxx Families, fibrations in algebraic geometry 14Exx Birational geometry 14Fxx (Co)homology theory in algebraic geometry 14Gxx Arithmetic problems in algebraic geometry; Diophantine geometry 14Hxx Curves in algebraic geometry 14Jxx Surfaces and higher-dimensional varieties {For analytic theory, see 32Jxx } 14Kxx Abelian varieties and schemes 14Lxx Algebraic groups {For linear algebraic groups, see 20Gxx ; for Lie algebras, see 17B45 } 14Mxx Special varieties 14Nxx Projective and enumerative algebraic geometry 14Pxx Real algebraic and real-analytic geometry 14Qxx Computational aspects in algebraic geometry {For software etc., see 14-04 } 14Rxx Affine geometry 14Txx Tropical geometry MR4078261 Kaveh, Kiumars ; Khovanskii, Askold G. Intersections of hypersurfaces and ring of conditions of a spherical homogeneous space. SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 16 (2020), Paper No. 016, 12 pp. MR4077696 Wang, Zhenjian Deformation of Milnor algebras. Pacific J. Math. 305 (2020), no. 1, 329–338. MR4077690 Hussain, Naveed ; Yau, Stephen S.-T. ; Zuo, Huaiqing Generalized Cartan matrices arising from new derivation Lie algebras of isolated hypersurface singularities. Pacific J. Math. 305 (2020), no. 1, 189–217. MR4076817 Hitching, George H. Quot schemes, Segre invariants, and inflectional loci of scrolls over curves. Geom. Dedicata 205 (2020), 1–19. MR4076633 Masser, David ; Zannier, Umberto Abelian varieties isogenous to no Jacobian. Ann. of Math. (2) 191 (2020), no. 2, 635–674. MR4076630 McLean, Mark Birational Calabi-Yau manifolds have the same small quantum products. Ann. of Math. (2) 191 (2020), no. 2, 439–579. MR4076076 Oblomkov, A. ; Okounkov, A. ; Pandharipande, R. 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周四讨论班:代数,几何与代数几何(田远鸿)
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他是代数几何的上帝,为何拒领菲尔兹奖,甚至毅然退出数学界?
热度 2 beckzl 2017-2-9 20:02
仿佛来自虚空 ...    数学,是人类历史上最古老的学科    自古以来数学领域也是人才辈出    这也让数学圈子成为了称号头衔最多的专业领域    数学之神 阿基米德、 几何之父 欧几里德    数学王子 高斯 、 数学皇帝 丘成桐 数学皇帝丘成桐    可当代有一位数学家出身清贫    更不是什么名校的毕业生    却被称作代数几何领域的上帝    他年仅21岁就撰写出6篇博士论文    38岁获得国际数学界最高奖菲尔兹奖    却拒绝参加在莫斯科举办的颁奖典礼 菲尔兹奖章    他的研究成果直接促成了众多突破    包括韦依猜想的证明、莫德尔猜想的证明    谷山志村猜想的证明,进而解决了费马大定理    他的系列专著是公认的 代数几何圣经    有人说他的理论养活了当今接近半数的数学家    然而,这样一位数学界百年难遇的奇才    却因为自己的研究频频被用于军事战争    在自己事业的巅峰期选择远离这个险恶的世界    结束了数学生涯 …    在德国的柏林, 亚历山大·格罗滕迪克 诞生在一个犹太家庭    他的父亲在乌克兰长大,是一位无政府主义者    参加了多次沙皇俄国的暴动,一辈子不入国籍    他的母亲也是一位激进分子,中产阶级出身 格罗滕迪克的父亲    格罗滕迪克所在的是一个重组家庭,父母都带着上一段婚姻所生下的孩子    他们在德国生下格罗滕迪克,却并没有过多的陪伴    德国纳粹上台后,他的父亲逃到了更自由的巴黎    母亲在不久后也决定追随丈夫    而年幼的格罗滕迪克则被留在了汉堡市的一个寄养家庭里 年幼的格罗滕迪克    格罗滕迪克从5岁开始在寄养家庭中生活    5年里,他没有见过父母,没有被亲戚探望过    只有几封信件能让他想起自己原来并不是个孤儿    小时候的格罗滕迪克很喜欢上学    他喜欢算术也喜欢在老师的小提琴伴奏下唱歌    那时候,老师的一个史前原始人故事就足以让他开心一整天       格罗滕迪克刚刚升上初中,战争的箭已在弦上    纳粹残酷的种族政策开始实行    虽然格罗滕迪克的身份信息几乎没人知道    但无奈他长着典型的犹太人面相    寄养家庭压力巨大,不得不送走他 格罗滕迪克    11岁的格罗滕迪克独自被送上了到巴黎的火车    赶在战前与父母度过了一段团圆的时光    但是没多久,格罗滕迪克的父亲就被送入了法国的集中营    最终命丧臭名昭著的奥斯维辛集中营    母子俩也被送到集中营,但条件好些    格罗滕迪克还能被允许去上学 奥斯维辛集中营    后来,格罗滕迪克被转移到了“瑞士救济团”    即一个为避难儿童设立的儿童福利院    他和大多数犹太孩子在这里躲躲藏藏地生活    在这里他不仅体会到战争带来的巨大伤害    也逐步发现教育中那些令人厌恶的东西 救济团所在地利尼翁河畔勒尚邦镇    一次数学考察,题目要求证明三角形的三种条件    格罗滕迪克因为没有用书本上的方法证明    被老师打了一个很低的分数,这对他的影响颇大    同时他还发现他的同学们对所学的知识极度不感兴趣    可能是遗传了父母的思想,也可能是厌恶整个大环境    渐渐地他开始独自钻研一些实际的数学问题 格罗滕迪克    战争结束后,格罗滕迪克考上了 蒙彼利尔大学    和母亲一起居住在市郊的一个村子里    他们生活清贫,甚至要靠格罗滕迪克的奖学金维生    可实际上他去学校课堂的频率越来越低    原因除了蒙彼利尔大学是法国数学最落后的大学之外    还有就是他对照本宣科的反感 蒙彼利尔大学    他开始在家里研究高中教科书上的那些缺陷    3年来,他给出了令人满意的长度、面积和体积的定义    还独立研究出测度论和勒贝格积分的概念    这段经历像极了爱因斯坦当年独自发展了统计物理理论 青年爱因斯坦    学士毕业后,格罗滕迪克来到了法国数学的中心巴黎    但苦于没有经费,他向当局申请求学奖学金    官员让他简单说明一下他的履历    结果他滔滔不绝地讲了两个多小时    解释了他如何利用现有工具,重新构造前人花了几十年构建的理论    格罗滕迪克的才气惊到了官员,他被立即推荐上去 格罗滕迪克    之后,格罗滕迪克被推荐给大数学家嘉当    虽然只是著名几何学家的儿子 亨利·嘉当    但也给足以更他带来巨大的冲击    他发现原来世界上还有这么多人在研究数学    原来之前自己研究出来的东西早就人尽皆知了    原来自己是那么的无知 亨利·嘉当    在巴黎,格罗滕迪克基础薄弱又不懂社交礼节    尽管天资聪慧,可他还是不太适应那里的氛围    于是他来到了数学氛围同样浓厚的南锡    这里没有巴黎的灯红酒绿,较慢的节奏更适合他 法国南锡    南锡的那段日子,格罗滕迪克其实没看几本书    因为他更喜欢自己重新去构建这些知识    刻苦的学习工作让他一口气发表了6篇高水平论文    以至于在这6篇中选出一篇作为博士论文都显得有些纠结    最终他选择了《拓扑张量积和核空间》 格罗滕迪克    虽然获得了博士学位,可他还是找不到正式的工作    因为研究员工作的基本要求是拥有法国国籍    而格罗滕迪克像他父亲一样是个自由人    如果想要获得法国国籍也不难,只需要服兵役    可偏偏军事和战争是他极度厌恶、一辈子都不愿意触碰的    于是他只好暂时离开法国,辗转于巴西和美国之间       在巴西,格罗滕迪克依旧保持着近乎疯狂的工作强度    据说他有段时期仅靠香蕉和牛奶过活    做了关于泛函分析方面很多出色的工作    1952年,菲尔兹奖得主舒瓦茨访问巴西    得知有位才华横溢的年轻人找工作遇到了麻烦    结果没多久,格罗滕迪克就收到了圣保罗大学的入职邀请 巴西圣保罗大学    虽然格罗滕迪克解决了生计的问题,可在研究上却陷入了困境    1954年,整整一年事件,他试图在拓扑线性空间上的逼近问题获得一些进展    可却没有任何起色,这是他第一次感觉到做数学是如此繁重 这里面不再有东西可做了,这个学科已经死了    之后格罗滕迪克来到美国堪萨斯大学    开始投入到同调代数的研究中去    写下了《关于同调代数的若干问题》、《带结构层的纤维空间的一般理论》等经典的文章 美国堪萨斯大学    在这期间,他开始与法兰西学院的 让-皮埃尔·塞尔 通信    塞尔也是一位不可多得的天才数学家    年仅28岁就获得了菲尔兹奖,记录保持至今    他与格罗滕迪克的研究风格迥异    塞尔理解能力超群,涉猎广泛,对学界前沿很敏感    而格罗滕迪克更喜欢自己钻研,天马行空,他的抽象思维仿佛来自另一个星球 让-皮埃尔·塞尔,如今已90高寿    实际上格罗滕迪克的大部分几何知识都是来自塞尔    塞尔负责激起火花,而格罗滕迪克将会让它猛烈地燃烧    正当两人思维和谐地发生着碰撞时,格罗滕迪克的母亲去世了    虽然母亲在他的童年忙于政治运动,对他疏于照顾    可格罗滕迪克对父母一直都是充满景仰    他的办公室里常年挂着父亲在集中营时难友给他画的像    他也曾多年留着与父亲一样的光头    母亲的去世,对他的打击自然也是不言而喻 留着光头的格罗滕迪克    那几个月,格罗滕迪克停止了所有的数学活动    他重新寻找自我,甚至想成为一名作家    不过最终还是重返数学,并且迎来了最高产的时期    他提出了关于黎曼-洛赫定理的新理解    认为该定理不是一个关于簇的而是关于簇间态射的    将范畴论中的基本哲学应用在数学问题上    在当时可谓是极为前沿的 格罗滕迪克,摄于1958年    同年,他在国际数学家大会上作报告    向世界宣告他将要证明韦伊猜想    同时格罗滕迪克与众多科学家家建立了 巴黎高等科学研究所 (IHES)    IHES可以说是在他的领导下才逐步成为世界代数几何的中心 格罗滕迪克在IHES讲学    格罗滕迪克如虔诚的信徒一样为数学工作    有人还记得他曾穿着用轮胎做的凉鞋    那几年他完成了被誉为代数几何圣经的《代数几何基础》    给出了 黎曼-洛赫-格罗滕迪克定理 的代数证明    与塞尔一起创造性地提出了 “概型” 概念    却没有在学术杂志上发表太多文章    反而创造了一个强大的学派,引领了一次风潮 格罗滕迪克    1966年,格罗滕迪克被授予四年一次的数学界最高奖 菲尔兹奖    以表彰他在代数几何学方面的巨大贡献 格罗滕迪克主要的贡献 连续与离散的对偶性(寻来范畴,6种演算) 黎曼-洛赫-格罗腾迪克定理,把黎曼一洛赫定理由代数曲线和代数曲囱推广到任意高维代数簇,其间发展了拓仆K理论 概形概念的引入,使代数几何学还原为交换代数学 拓扑斯理论 平展上同调与L进上同调 动形(motive)理论 晶状上同调 拓扑斯的上同调 稳和拓扑 非阿贝尔代数几何学 菲尔兹奖章    然而,格罗滕迪克却拒绝出席在莫斯科举办的颁奖仪式    只为了抗议苏联在东欧的军事行动    童年刻骨铭心的战争经历让他成为了一位极力倡导和平的人    在越战期间,格罗滕迪克还前往越南河内    在森林里给当地的学者讲授范畴论    可能也是这段经历,让他更加关注国际的战事 格罗滕迪克与越南人民    1970年,格罗滕迪克发现IHES接受了一笔来自法国国防部的资金    加上此前他已经得知有人将他的研究成果用于军事    这件事成为了导火索, 格罗滕迪克一怒之下毅然退出了数学界    那年他42岁,正值自己事业的巅峰期    自那以后,人们几乎很难看见格罗滕迪克的相关消息    他回到了母校蒙彼利埃大学做教授,一直到退休    实际上格罗滕迪克并没有放弃挚爱的数学    只是他不愿看到数学用在残酷的战争上    拒绝将任何新的研究成果公开发表    1988年,年满60的格罗滕迪克退休    住进了一个偏远的小村庄,过上了隐逸的生活 刚退休时的格罗滕迪克    同年,瑞典皇家科学院将克拉福德奖颁给他    没想到他写了一封长信,将评委会臭骂了一顿    说自己教授的退休金足够生活,应该颁给更有前途的年轻人 克拉福德奖是一项比肩诺奖的科学大奖    隐居后的格罗滕迪克变得更加神秘    但依旧清贫地与数学为伍    还曾将多达2万页的笔记和书信交给一个朋友保管    2010年,也许冥冥之中有所预感    格罗滕迪克从藏身之地写了一封信给自己的学生    要求全世界禁止传播他的所有著作 格罗滕迪克的罕见照片,摄于2013年    果然,几年后,格罗滕迪克在医院病逝,享年86岁    只留下一堆手稿和笔记    人们对于他去世的看法是矛盾的    虽说一个饱含着爱与热情的灵魂离去了    可他神秘的数学遗产有了重见天日的希望 晚年的格罗滕迪克    光是他已经公开发表的成果就已经改变了世界    皮埃尔·德利涅证明了韦伊猜想,获1978菲尔兹奖    法尔廷斯证明了莫德尔猜想,获1986菲尔兹奖    安德鲁·怀尔斯证明了谷山志村猜想    进而解决了费马大定理,获1996菲尔兹特别奖    这些全都应该感谢格罗滕迪克    说他是 代数几何的上帝 绝不为过    他的这些著述中至今依旧有很多思想未被完全了解    可他还有众多仍未被公开的研究成果    格罗滕迪克究竟能如何改变世界    就算他已经永远离去了,我们仍未知晓    “它(数学)展现给我们微妙而精细的对应,仿佛来自虚空。” ——格罗滕迪克 内容为【SME】公众号原创 欢迎关注
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代数几何小科普3:怎么知道方程(组)有解?
热度 5 mathlujun 2014-8-8 13:31
博主按:本文发表于善科网,今稍作修改,移至本博客。 我们在中学和大学时代涉及的很多数学内容都与方程(组)有关。解方程就像猜谜语。方程告诉你谜面,你则需要自己动脑筋寻求谜底--也就是求方程的解。遗憾的是,很多时候,我们根本无法确切地知道谜底。 在这种情况下,人们可以退而求其次,先判断方程是否有解。 一、求解的范围 在判断方程有无解之前,我们首先要明确自己求解的范围,否则这样的讨论是没有意义的。因为对于同样的方程,在不同的求解范围内,上述问题的答案可以不一样。这就好比每条谜语后面都要说明是猜什么东西。比如考虑方程 2x=1. 它在有理数范围内有解 x=1/2, 但是在整数范围内没有解 (因为1/2不是整数)。类似地, 二次方程 x 2 +x+1=0 在实数范围内没有解,但是在复数范围内却有两个不同解。 从历史的角度看,人类对于方程求解范围的限定是有一个逐步扩展的过程的。可能一开始人们主要关心方程的整数解和有理数解。初等数论中的不定方程主要就是讨论这类范围内的求解。通常来说,求方程的整数解和有理数解是很困难的,比如著名的费马猜想 X n +Y n =Z n , n2 断言该方程没有正整数解(X,Y,Z). 这个猜想被很多人--诸如欧拉、高斯等--讨论过,最后由外尔斯于1995年前后利用高深的数学工具和技巧才得以解决。以后我们将介绍一下这方面的有趣话题。 随着历史发展,求解的范围被允许扩展到实数。 这得归功于毕达哥拉斯学派,他们很早发现了√2 是无理数的事实。这个重要的发现显然对当时普遍的哲学观点构成了致命的冲击。 此后人们可以更从容地讨论一个实系数多项式方程 x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...+a 1 x+a 0 =0 的求解问题。遗憾的是,这样的方程有可能没有实数解。 比如解二次方程(即n=2) 时, 如果遇到判别式小于0, 方程没有实根,只有两个虚根。以前人们采取的策略就是将这样的虚根简单地抛弃掉--这种令人担忧的做法或许在今天的中学里仍被采用, 因为当时的人无法坦然接受复数的概念。 现在我们已经知道,复数可以看成平面上的点或者平面上的向量。 有人试图从这类实现方式中去探寻更一般的“超复数”(比如格拉斯曼), 这就是后来我们大学里学到的n维向量空间理论的起源之一。 美中不足的是,高维向量一般没有实数或复数那样自然的乘法运算。 也有人用其他方式去构造更一般的“数”,比如哈密尔顿构造了四元数。然而这样的数无法满足乘法交换律。 在人们接受了复数之后, 方程的求解限制再一次被大大放宽。高斯证明了如下著名的结论---称为高斯代数学基本定理: “复系数多项式方程 x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...+a 1 x+a 0 =0 恰好有n个复数根 (这里允许有重根)。” 这个结论告诉你很多事情。比如, 你无法指望通过对复数开根来得到“超复数”--超越复数范围的新“数”。从这个意义上说, 复数集合--称为复数域--是最大的数系了。复数域的这种性质叫做代数封闭性。 这里说一些题外话。 代数学基本定理并不是高斯第一个发现的。达朗贝尔在此之前就知道这个结论,但是没有给出正确严格的证明。 代数学基本定理有很多不同的证明,但是这些证明都不是纯代数的!事实上,这个定理本质上是拓扑的(也就是说它由某些几何性质所决定)。 方程求解的范围也可以朝着其他不同的方向发展。比如对于数论中的一些不定方程,人们可以引进所谓的 p-adic 数来扩大求解范围。 这里我们不再展开。 二、如何判断单变量多项式方程有解? 我们还是先考虑 多项式方程 x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...+a 1 x+a 0 =0 (*) 的解。 如果我们是在复数范围内讨论它,那么高斯代数学基本定理已经告诉了你存在n个解--尽管你还是求出不解。现在我们暂时把目光集中在实数解上。 对于次数不超过4的方程, 人们可以寻求精确的求解公式来了解有多少解是实根。但是对于次数大于4的方程,问题就来了。 阿贝尔和伽罗华两位天才的工作告诉人们,一般说来此时的方程没有求根公式。 找不到精确的根,不代表我们无法判断根的存在性。数学的一大魅力在于,我们可以通过某些间接的方式来证明某些东西是存在的--称为存在性证明。 比如利用连续函数的介值定理,人们可以轻松断言“上面的方程的次数n如果是奇数的话,则必有一个实根存在。 ”这个结论完全不能帮助你找到精确的实根,但是却奇妙地确认了实根的存在性! 顺便说一下, 利用这个结论,人们可以证明高斯代数学基本定理。前面我们说,高斯这个定理不可能是纯代数的。在这个证明中, 非代数的部分就是上面的介值定理--它实际上是拓扑的。 研究方程 (*)的实根往往是很困难的。 比如在一个给定区间内,是否存在实根?有多少实根?等等。 数学家斯图谟给出了一种很漂亮的方法,可以确定实系数方程(*)在给定区间内的实根个数。 有兴趣的读者可以去了解一下(比如下图的书)。 三、如何判断二元多项式方程有解? 现在我们可以考虑两个变量的方程 f(x,y)=0. 这里 f 是关于 x,y 的多项式。 如果你在复数范围内求解 (x,y), 你会得到无数的解! 这是因为你任取一个复数 $y$, 上面的方程是关于 $x$ 的一个单变量多项式方程。高斯代数学基本定理告诉你这样的x总是存在。 这样的解(x,y)在复数坐标系下构成的集合是一个几何图形--叫做“代数曲线”。根据上一篇文章的讨论, 这个“代数曲线”其实是实四维空间中的一个曲面。我们之所以把它叫曲线,只是因为我们习惯上把它类比成该方程在实坐标平面上所描绘的曲线。 代数曲线是代数几何中最基本的几何对象。如果你们把它想象称四维空间中的曲面,那么它们的形状基本上就是气球或者带有若干个“洞眼”的救生圈。 以后我们将专门介绍它们,比如其中最著名的三次曲线 y 2 =x 3 +ax+b. 假如我们把求解放在实数范围内呢? 那么问题将变得极其复杂。可能方程会没有实数解,例如 x 2 +y 2 +1=0. 也可能仅有一个解, 例如 x 2 +y 2 =0 仅有实数解(x,y)=(0,0). 当然,方程的也可能有无穷多个实数解,这些解描绘了平面上的若条曲线分支。这些曲线分支中,有一些是闭合的--就是说自己围成一个圈,有一些不闭合。一个有趣且非常困难的问题是“到底有多少个闭合的曲线分支”?关于这方面的研究只有零星的结果。 如果我们再缩小解的范围到有理数上呢?这就差不多是数论所关心的范畴了。问题的困难程度也进一步上升。一个有趣的初等结论是“一次和二次有理系数方程 f(x,y)=0 有无穷多个有理数解。” 我们甚至可以精确求出这些解。 比如, 单位圆周 x 2 +y 2 =1 的所有有理解可以表述为 x= 2t/(1+t 2 ), y=(1-t^2)/(1+t^2), t∈Q∪∞ 这个通解实际上是从解析几何初等方法推出来的,并没有用到太多数论知识。 利用这个结果,你可以很容易得到勾股方程 X 2 +Y 2 =Z 2 的全部整数解(X,Y,Z). 我们以后会在另一文章中介绍。 对于三次方程 y 2 =x 3 +ax+b, a,b∈ Q, 求解有理数解是个让人非常着迷的问题。费马很早就关心过这类问题。我们现在知道的同余数问题、费马猜想、BSD猜想等等难题都与此有关。 此时,这些有理数解构成的集合上可以引入一种类似“加减法”的运算,它们满足常见的交换律、结合律等。因此你可以通过相“加”两个有理解得到第三个有理解(允许相同)。莫代尔的著名定理告诉你:你可以寻找有限个有理数解,它们通过加加减减就能得到所有的有理数解。关于这方面还有许多有趣的性质,我们以后再详细介绍。 一般说来,很多三次有理系数方程会有无穷多个有理数解,当然也有一些只有有限个有理解。如何判断有多少解是很难的问题。对于更高次的有理系数方程来说,有个著名的定理显示,只要这个方程描述的代数曲线满足一定的几何条件,它就最多只有有限个有理数解。限于篇幅,我们这里不再展开。 最后我们把求解范围限制到整数上。这基本上已经达到了数论问题的困难极限了。 一般说来,没有什么固定的方法可以让你有效判断方程有无整数解。 除非一些特殊情形。 比如初等数论里研究的佩尔方程 x 2 -d y 2 =1 或者二次剩余问题 x 2 -py=q 它们的方程分别对应平面上的双曲线和抛物线。 佩尔方程的经典求解方法是使用连分数,二次剩余问题则涉及到经典数论中最出色的理论--高斯二次互反律。以后我们将会讨论这些有趣的话题。 上面的这些讨论也可以推广到多元多项式情形。这样的方程会在高维空间中描述一个几何图形,通常称为超曲面。这也是代数几何研究的主要对象之一。 四、如何判断二元多项式方程组有解? 假如我们关心方程组 f(x,y) =0, g(x,y) =0. 的复数解,又会出现一系列有趣的问题(f,g是多项式, 没有公因子)。 通过一些多项式的加减乘除,我们可以把x消掉, 从而得到一个关于 y的多项式(里面不出现x)--称为结式. 原始方程的解显然也满足y的这个方程。根据高斯代数学基本定理,这样的y至多只有有限个。同样地,我们也可以类似说明x最多只有有限个,因此原始方程组的解只有有限个。 几何上看,这两个方程分别描述了两条平面曲线,而两条曲线通常只能相交有限个点。有个贝祖定理说,这样两条曲线的交点个数恰好就是两个多项式的次数之积deg f ·deg g. 如果我们稍稍改变一下上面的方程组, 考虑 f(x,y) =u, g(x,y) =v. u,v是参数。 利用隐函数定理,我们可以得到它的一组参数解 x =φ 1 (u,v), y =φ 2 (u,v). 一个有趣的问题是:什么时候 φ 1, φ 2 会是u,v的多项式?这就引出了著名的雅可比猜想: φ 1, φ 2 是多项式的充分必要条件是如下的雅克比行列式是非零常数! 这个猜想也有更一般的形式。但即使是上述二元情形也未得到证明。张益唐曾经也考虑过这个问题,可惜没有成功。 五、如何判断多元多项式方程组有无解? 一般形式的方程组如下: f 1 (x 1 ,x 2 ,...,x n )=0, f 2 (x 1 ,x 2 ,...,x n )=0, .................. f r (x 1 ,x 2 ,...,x n )=0 这个方程组有n个复数变量 x 1 ,...,x n . 它的解集是高维空间中的几何图形--叫做代数簇。这就是代数几何要研究的东西。 根据前面二元方程组的讨论,你肯定会想到,如何通过消元,来逐步降低方程中的变量个数。当然这个计算量是很大的。 我们只关心如何判断有没有解的问题。 希尔伯特给出了如下著名的定理--称为希尔伯特零点定理: 上述方程组不存在解的充分必要条件是:你可以找到一些多项式 a 1 ,...,a r , 使得 a 1 f 1 +a 2 f 2 +...+a r f r =1. 这个定理看上去好像不具有可操作性,即无法实际判断那样的 a i 是否存在。其实不然,因为有研究发现,可以让那些 a i 的次数控制在一个具体的范围之内。这样,你只要用待定系数法,就能判断它们是否存在了--这个工作显然可以交给计算机去执行。 希尔伯特定理可以说是代数几何最基本的定理之一。它的一个特殊情形,其实 早在大学时代所学的高等代数出现过了:那就是线性方程组是否有解的判定条件。
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代数几何小科普2:无穷远点很特殊吗?
热度 1 mathlujun 2014-8-6 11:07
博主按:本文最早发表于善科网, 后投至新语丝科普征文比赛(并未获奖)。今将此文稍作修饰,移至本博客。 1. 引子 在平面几何中,我们认为“平行直线不会相交”。这个观点在射影几何中得到了修正:“平行直线相交于无穷远点”。无穷远点并不在我们通常理解的平面之内,而是在平面之外的“无穷远处”。为了方便说明,这种点通常用∞ 来标记。因此在不同的几何学范畴内,上面的两种结论并没有矛盾。 对一般人来说,无穷远点的概念并不像普通的点那样容易接受。通常,我们只是直观上想象这样的点处在极为遥远的“天涯尽头”。 正因为这种无穷远点给人某种模模糊糊、虚无飘渺的不确定感,所以人们很容易产生疑惑:这样的点是否真实存在?答案是肯定的。事实上,现代数学可以用几种不同的定义方式来理解无穷远点。这些定义都是彼此等价的。不过它们的严格叙述都充满了技术味道,对初学者来说是相当枯燥的。我们并不打算详细介绍这些技术性的数学定义。 我们将通过一些直观的例子来帮助读者理解无穷远点 , 并且希望能解释这样一个事实: 无穷远点和普通的点的唯一区别仅仅是它所处的位置。 这就好比,球面上南极点(北极点)实际上和球面上其他的点并不存在差别。其实你可以任意指定某个点是极点。当你把无穷远点当作普通的点看待后,很多问题都会变得清晰明朗起来。 2. 一个简单的例子:直线和无穷远点 我们首先考察最简单的情形:直线上的无穷远点。想象一下,有两个人背对背,从原点出发分别沿着直线的两个方向行走,他们最终会相遇吗?直观上说,我们认为他们不会相遇,相反是越离越远。这正好对应了成语“背道而驰”和“南辕北辙”的意思。 但是如果我们把无穷远点也添加到直线里,情况就会变得不同:这两个人最终会在无穷远处再次相聚。为了理解这一点,我们可以想象一下:把直线左右两端的无穷远处黏合起来,这样直线就变成了圆圈。在圆圈上,两人从一开始的原点出发朝着不同方向走,很显然会在圆圈上另一个点处再次碰头。我们可以把这一点记作∞ 。这一直观的事实也可以用成语“殊途同归”来描述。 为什么直线添上无穷远点后恰好就是圆圈?尽管直观上想像这件事并不困难,但要严格地说明它,则需要一些数学上的技术手段。让我们在圆圈上的∞ 处放上一个电灯泡,灯泡的光线会投射到上方的直线上。 很显然,圆圈上除了∞ 外,每个点P 在直线上都有唯一的投影点P' ; 反过来,直线上任何一个点P' , 都有唯一的一条光线经过它,这条光线也穿过圆圈上唯一的点P 。这就是说,直线上的点和圆圈上的点(∞ 除外)之间可以通过光线投影的方式一一对应起来。 但是有一条光线很特殊, 那就是和直线平行的光线。这条特殊光线和直线没有交点。 一个自然的想法是:我们再把直线外的无穷远点和圆圈上的点∞ 通过这条特殊光线 对应起来。换句话说,我们认为这条特殊光线其实是投影到了直线外的无穷远点处。通过这样的方式,整个圆圈就能看作添加了无穷远点的直线。 我们把这种通过光线投影来建立对应的方法称作“球极投影”;把添加了无穷远点进去的直线称作“射影直线”。上面的讨论换成这些花俏的名词,就是说:射影直线和圆圈在球极投影下可看成相同的事物。 无穷远点∞ 在射影直线上看,位置似乎很特殊,甚至有点难以想象清楚。但是当你把射影直线当做圆圈看时,会立刻发现,∞ 其实和圆圈上其他点没啥不同。既然如此,我们是否可以用圆圈上其他点替换∞ 呢? 答案是肯定的。比如我们把电灯泡放在圆圈最东侧的点E 上: 此时的投影和之前的有点差别。首先,点E 此时也可以投影到直线上的普通点E' ( 通过它的光线恰好和圆圈相切于E ) 。其次,E 的对径点W 无法投影到直线上的普通点。这是因为经过它的光线EW 与直线平行,所以光线的投影点实际上是在直线外的无穷远处。 除W 外,圆圈上每个点都可直线上的点一一对应;而W 则对应直线的无穷远点。 上述例子告诉我们,每个点都可以在你的事先指定下成为射影直线上无穷远点(如果你把射影直线看成圆圈的话)。因此它不具有特殊性。这有点类似于俗语“众生平等”的意思。 3. 举一反三:平面和无穷远点 上面的例子很富有启发性。你也可以尝试在平面外添入无穷远点。我们有两种不同的添入无穷远点的方式,通过它们得到的扩充平面却是两类非常不同的几何物体。 第一类方式就是类比直线情形:把直线替换成平面,圆圈替换成球面。我们把灯泡放在球的北极点 ,然后做光线投影。 和直线情形类似,球面上除了N 外每个点都唯一对应了平面上的一个点,反之亦然。然后我们把N 对应平面外的一个无穷远点∞ 。 用这种球极投影的方式,我们得到一个扩充的平面,它是由原始的平面添上一个无穷远点得到的。 另一方面,平面上的点又可以看成一个复数 , 反之亦然, 因此有时我们也把平面看成复数全体构成的集合 , 也叫做复平面。这样,上面的扩充平面也相当于复数集合添上了一个无穷远点∞ 。 如果你把复数想象成类似实数那样可以排成一条直线 — 形象上叫做“复直线”,那么它添上∞ 后就像是一条扩充的直线,我们通常把它形象上叫做“复射影直线”。上面的讨论相当于告诉你,复射影直线可以看成球面。因此也同样可以看到这样的无穷远点其实和其他点完全一样,他们的差别仅在于位置的不同。你同样可以事先指定其他点作为无穷远点。 第二种添加无穷远点的方式如下: 我们考虑经过原点的所有直线,每条直线外都对应了一个无穷远点(上一节讨论过了)。这些无穷远点两两不同—因而我们得到无数多个无穷远点—它们全部添入平面后,即得到扩充的平面。 我们通常将它称做射影平面。 所有这些无穷远点其实构成了一个大圆圈—有时我们把它叫做无穷远直线(因为它也可以利用上一节的方法看作一条射影直线)。如果你想象一下的话:这个大圆圈看上去就像是普通平面外面扎的大篱笆。 当然,这种想象是不严格的,但是它可以帮助我们体会射影平面的概念。数学上有很多不同的办法可以等价地描绘射影平面。比如一种办法是将下面的半球的截口上每一对对径点粘合起来—这在现实中是做不到的。 不管你采用何种方式,你都会发现仍然很难清楚准确地将射影平面构造出来。这是为什么呢?本质的原因在于,射影平面根本不是三维空间中的几何物体!也就是说它不能通过三维空间的图像完整无误地显示出来。我们只有将它放在高维空间中,才能准确无误地搞清楚其结构。这就需要一些数学上的手段了。 尽管这多少有点让人失望,但我们可以通过投影的手段,把它压缩投影到三维空间中来看。这有点类似于拍照片,把三维的物体压缩到二维平面上看,虽然这么做会损失到一部分信息。射影平面在三维中的一种投影图像如下: 你可能同样会问:无穷远直线(也就是所有无穷远点的集合)是否很特殊呢?答案同样是否定的。其实在射影平面中,任何一条射影直线都能被事先指定为无穷远直线。这样一来,平面外的无穷远点其实和普通点仍然没有什么特殊差别,仅仅是位置不同而已!当然,要严格说清楚这些事并不是那么轻而易举。我们仍然需要借助数学手段才能做到。 4. 为什么我们需要无穷远点? 接下来的问题是:为什么我们要引入无穷远点呢? 实际上,我们传统意义上研究的直线、平面等等几何空间都是不完整的,添入无穷远点后,这些空间才变得完整无缺。无穷远点本来就是空间的一部分,它和其他点除了位置不同外,没有什么不同。因此,如果我们人为地不接受甚或遗弃它们,显然是不理智的。这样做甚至会给讨论带来很多人为的障碍--只要想想复数的发展历史你就明白了。 此外,有很多几何现象,在这些通常的空间中看似乎很不一样,甚或没有什么联系,但是当你把它们放在更大的背景舞台--射影空间--中看,就会发现,这些现象其实只不过是同一事物在不同位置上的表现而已。 举个最简单的例子:在平面几何中,我们讨论两条直线相交情况,需要人为地区分为“相交”和“平行”。但是如果我们在射影平面中讨论这个问题,事情就很简单,我们会发现任何两条直线都恰好交一个点。这个交点是不是无穷远点根本不重要,因为无穷远点和其他点在射影平面中没什么差别。我们通常所认为的差别实际上是人为造成的不必要的思维枷锁。 最后,我们再举一个例子来说明:引入无穷远点为什么是有用的。在平面几何中,我们研究椭圆、双曲线和抛物线。通常的观点会认为这三者是很不一样的---在中学里我们也是分别来讨论它们的。 但是在射影平面中,你会惊讶地发现, 这三者其实是同一样东西!它们之所以在坐标平面中显得不一样,只是因为它们和无穷远直线相处的位置不同(回顾上一节讨论,无穷远直线就是平面外全体无穷远点构成的“篱笆”)。这可以从下面的示意图看出来: 这个例子再一次印证了成语“盲人摸象”的道理。我们之所以看到三种不同的二次曲线图像,仅仅是因为我们只看到了完整图像的一部分!
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代数几何小科普1:为什么我们要引入复数坐标?
热度 1 mathlujun 2014-8-5 19:17
博主按:本文最早发表于善科网,今将此文稍作修饰,移至本博客。 我们中学和大学里学习解析几何,总是要先建立坐标系,然后在坐标系里研究各种几何对象。这里的坐标系都是实数坐标系,即坐标分量都是实数。在我们学过复数之后,一个很自然的问题出现了:为什么我们不去研究复数坐标系,并研究其中的几何对象? 关于这个问题最常见的回答是:“ 因为复数比较抽象,复数坐标系更是难以直观想象。再者,我们生活的世界是可以用实数坐标衡量的, 为何要劳神去思考虚幻的复数世界呢?讨论它有什么意义?” 事实并非如此。 我们将会发现,复数坐标所建立的世界要远比实数坐标建立的世界广阔得多,包含了更丰富的信息。一些在实数坐标中讨论的困难问题,放到复数坐标中往往会变得清晰明了。 为了说明这一点。我想先回顾早年在网上看到某学生提的一个问题: “单位圆方程 x 2 +y 2 -1=0 中的变量 x,y 如果换成复数, 那么会得到怎样的图形?” 现在我们把 x,y 写成复数的表示式 x=u+v √-1 ,\quad y=s+t√-1. 然后将之代入单位圆方程并整理得 (u^2-v^2+s^2-t^2-1)+(2uv+2st)√-1=0.$$ 这意味着上式左边的实部和虚部都必须等于0, 即 u 2 -v 2 +s 2 -t 2 -1 =0, uv+st =0. 显然, 这个方程描述了一个四维空间 (u,v,s,t) 中的几何图形, 它由两个方程构成。 因此,其中有两个变量可以由剩余的两个变量求解出来--尽管解的表达式没法清晰写出来。譬如, 我们可以用独立变量 s,t 来表示 u,v : u =u(s,t), v =v(s,t). 这样的参数方程描述了四维空间中的一个曲面。 因此原始问题的答案就是:复数坐标下的方程 x 2 +y 2 =1 描述了四维空间中的曲面。 稍稍利用一些复变函数的初等技巧,我们还可以更精确地说这个曲面是一个“气球”形状。当然这个气球是在四维空间里的,所以你很难想清楚它是充满气了还是瘪着的等等(专业的说法是,它和球面同胚)。 当你说 x,y 取实数时, 你的意思就是指它们的虚部 v=t=0. 此时 x 2 +y 2 =1 描述的图像应该满足方程组 u 2 -v 2 +s 2 -t 2 -1 =0, uv+st =0, v =0, t =0. 我们知道, 满足 v=t=0 的点的集合其实是四维空间中的一个平面, 因此 上面的方程组描述的图像就是这个平面和“气球”交截出来的曲线---相当于用一把刀把气球切开后的切口边缘。另一方面, 我们已经熟知这个图像就是一个单位圆周。 因此,这就是说单位圆周其实是整个气球上的一条曲线而已! 这个例子会让人想起中国成语“盲人摸象”。 我们中学时代研究的单位圆周原来不过是一个四维空间中“气球”上的一道切痕。当我们把目光集中在这道切痕上时,却忽略掉了气球的其余部分--可以说是绝大部分。 这就好比我们只摸到了大象的鼻子,却以为那就是大象的全部。 现在你应该能明白,我们只考虑实数坐标是多么的狭隘了吧。这就是为什么我们要引进复数坐标。 因为实数坐标里的图形只是大象的鼻子,我们当然想看到整个大象。 这里顺便提一下, 如果我们硬把这个四维空间中的“气球”投影到我们熟知的三维空间中来看,并且投影方式不好的话,那么投影的图像模型可能会很奇葩。比如会出现下图 这就是复变函数中著名的黎曼曲面图像例子。上下两个圆盘相互穿越连接,看似必然有一道交痕方可实现,实则并无这样的交痕。实际上,在三维空间中不可能真正做到这件事---即圆盘相互穿越而无交痕,上述图像只是一个近似模拟而已。 回到原来的话题。你也可以把这个例子弄到更一般的方程上。 比如著名的三次曲线方程 y 2 =x 3 +ax+b. 如果你只考虑实数情形, 那么这样的三次曲线所描绘的图形种类多达几十种(牛顿做过分类)。比如 但是如果是放在复数坐标下,这样的图形其实就是一种: 环面。 我们在实坐标下之所以看到很多种类,其实就是这个实平面在四维空间中以不同的角度去切割这个环面造成的效果。
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代数几何小科普0: 从埃及分数的分拆问题管窥代数几何
热度 3 mathlujun 2014-8-4 19:10
博主按:这篇小文章是由博主以前在百度贴吧上所写旧稿整理而得。 我们把1/n这样的分数叫做单位分数或埃及分数(因为据说古埃及人喜欢把有理数分拆为这种分数的和) 。 如何将一个有理数p/q分拆成不同的埃及分数之和,是一个很有趣的问题。如果你对这种分拆加上不同的限制条件,会得到许许多多未解决的数论猜想。有兴趣的读者可以参看相关的百科词条或参看柯召、孙琦的《单位分数》一书。此处不再赘述其历史及研究现状等。 博主这里提供一种新的初等方法将既约分数p/q(1)分拆为埃及分数。 第一步, 找小于q的正整数r, 使得pr-1能为q所整除。 第二步:将q/r表示称如下形式的连分数 e 1 -1/(e 2 -1/(e 3 -...-1/(e s-1 -1/e s )...)), 这里ei是大于等于2的正整数. 第三步: 构造严格递减的正整数序列 n 0 =q,n 1 =r,n k+1 =e k n k -n k-1, 实际上最后一项n s =1. 第四步:我们得到埃及分数的分拆 p/q=1/(n 0 n 1 )+1/(n 1 n 2 )+...+1/(n s-1 n s ) 这个分拆的一个特点是,分母逐项递减。 举个例子说吧,我们取p/q=5/13, 第一步,取r=8, 第二步:13/8可写为连分数 2-1/(3-1/3) 第三步:构造数列 n0=13,n1=8,n2=3,n3=1. 第四步:5/13=1/104+1/24+1/3. 这个方法的证明只需要用到初等数学技巧,自不必多言。博主这里想谈谈它的几何背景。 在代数几何中,人们关心一个方程(或方程组)的零点集合构成的几何图形的性质。比如古典解析几何里,人们关心一次方程: ax+by+c=0 所描绘的直线以及二次方程 ax 2 +2bxy+cy 2 +dx+ey+f=0 所描绘的圆锥曲线的几何性质。 有些方程所描绘的图形不一定是光滑的,上面带有奇点--就是摸上去尖锐的、不光滑的点。 比如xy=0描绘了两条交叉直线。它的原点就是一个奇点。在该图像上其他地方当然都很光滑。 我们也可以考察三维空间中的二次锥面 z 2 =xy 它的形状就是常见的锥形冰激凌、其原点是一个尖锐的锥点--也就是奇点。锥面就是由一族通过原点的直线组成的曲面。 我们也可以进一步考察三维空间中更复杂的几何图形 z n =x a y b 这个曲面通常比较坏,也就是说上面奇点很多(这些奇点构成了一些线,叫做非正规轨迹)。直观地理解,这个曲面被挤压出很多褶皱。通过一些技术手段,我们可以把这个曲面的背景空间放大到更高维度的空间中,这样曲面就能自由舒展开来,打开褶皱,最终能保证曲面只在原点处有一个奇点。 这个奇点叫做Hirzebruch-Jung奇点。 我们前面的埃及分数分拆解法就和Hirzebruch-Jung奇点密切相关。 请想象一下,这个奇点是你脸上的一个痘痘,你用手指把它挤爆了。在数学上,有类似的方法,叫做奇点解消。就类似于把奇点挤爆掉。奇点解消后,原来的奇点就变成了一些线。这些线叫做例外曲线,因为它们是从奇点里挤出来的,不是原来曲面上的线。解消后的新曲面没有了奇点,也就光滑了。 打个形象比方,比如二次锥面 z 2 =xy 你把锥点戳破了,使劲拉开口子,锥点就成了圆环。原来的锥面就成了柱面。这就是奇点解消的直观意思。 Hirzebruch-Jung奇点如何解消呢? 首先, 我们可以把原来的方程替换成形如 z n =xy n-q , 这里q是小于n的正整数.因为可以证明替换后的曲面奇点与原来是一样的。 第二步,就是来具体解消这个奇点--称为Hirzebruch解消 首先考虑连分数 n/q=e 1 -1/(e 2 -1/(e 3 -...-1/(e s-1 -1/e s )...)), 然后可以断言,例外曲线是一连串的直线首尾相接而成的链条--称作Hirzebruch-Jung链。 我们可以依次对它们编号e1,e2,...,es. Hirzebruch-Jung奇点与Hirzebruch-Jung链是一一对应的。因此奇点的几何信息可以从链的组合信息读取出来。比如,我们可以用前面例子中的数列n 0 ,n 1 ,...,n s   来定义一个拓扑量   1/(n 0 n 1 )+1/(n 1 n 2 )+...+1/(n s-1 n s ) 这个量就是前面用来求解埃及分数分拆问题的关键工具。博主无意中找到埃及分数的上述分解法,也正是来源于这一几何背景。 Hirzebruch-Jung奇点的许多几何拓扑性质都与数论性质紧密相连(比如连分数,戴德金和,以及前面的例子)。如果你要研究这方面的数论问题,就可以考虑构造所需的奇点,用几何方法去研究它。反过来,这个奇点的几何性质也能通过连分数的数论性质来刻画。 尽管这种奇点在复数域上相比其他曲面奇点来说比较简单,且已经有了很成熟的讨论,但是在特征p域上,这类奇点还剩下许多没有能够解决的代数几何问题。博主曾经听专家Lorenzini做过一个与此类奇点相关的报告,有一些在复数域上看似简单的问题到了特征p上就变得非常困难。
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周四讨论班:代数几何简介(陈帅)
GrandFT 2013-12-25 20:33
题目:代数几何简介 主讲:陈帅 时间:2013年12月26日 星期四下午4:30-6:10 地点:16教学楼308室 平面代数曲线 常见曲线的性质 丟番图几何 数曲线与复分析
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首师大数论研究组讲座2011-2012秋季学期
cnuarith 2011-10-10 15:26
我们组以前使用google doc来发布讲座信息,后来google的服务被封了,就转而采用科学网博客。现在,我们使用国内的百会来发布文档,所以这个帖子中的链接文档,会不断更新,发布整个学期的讲座信息。 http://xiexie.baihui.com/public/arithwsun/%E9%A6%96%E5%B8%88%E5%A4%A7%E6%95%B0%E8%AE%BA%E7%A0%94%E7%A9%B6%E7%BB%84%E8%AE%B2%E5%BA%A72011-2012%E7%A7%8B%E5%AD%A3%E5%AD%A6%E6%9C%9F 很奇怪,用老版本的IE会看不到内容,但用google chrome没有问题。
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[转载]漫谈微分几何、多复变函数与代数几何
ChinaAbel 2011-10-7 19:12
漫谈微分几何、多复变函数与代数几何 萍踪浪迹(王善钦) 微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功,使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。 从微积分发明起,微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究,并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率,Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》,将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示,使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中,经过繁杂的计算,于1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关,仅仅取决于其第一基本形式,这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理,从而创立了内蕴几何,把曲面的研究从外围空间中解脱出来,将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》,推广了Gauss在 2维曲面的内蕴几何,从而发展出n维Riemann几何,随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形,再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化,更意味着知识领域的不断拓展。在这里,微分几何与多复变函数论、Lie群理论、代数几何以及PDE都彼此产生深刻的互相影响。数学在不断的分化,又不断交融。 多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉,单位圆和上半平面(两者可以建立共形映射)上定义Poincare度规后,单复变函数论与微分几何的联系就历历可见。Poincare度规是共形不变量。著名的Schwarz定理在引入Poincare度规后就可以解释为:单位圆上Poincare度规在解析映射下不增加,当且仅当此映射是分式线性变换时Poincare度规不变。应用Poincare度规下的双曲几何可以轻松证明著名的Picard小定理。而Picard大定理的证明需要用到艰深的模函数理论,如果用微分几何观点,也可以以极其简明的方式证明。这里,微分几何深深渗透到复变函数论之中。在多复变函数论中,分析复仿射空间的区域定义度规后,接下来就实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。在单复变情形,所有奇点离散分布,而在多复变情形,由于著名的Hartogs开拓现象,所有孤立奇点都被吞没,甚至于奇点形成的连续区域也经常被吞没,只有形成实余维数为1的流形才可以避免这个厄运。但是,即使这种情形也需要其他限制条件才可以“确保安全”。多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。1922年Bergman引进著名的Bergman核函数,那个时代的多复变函数还是Weyl所说的草创时代,除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几位前辈的著名研究外几乎没有任何实质性进展,Bergman的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。在多复变函数中的域上的Bergman度量,在一维情形就是单位圆和Poincare上半平面上的Poincare度量,这注定了Bergman工作的重要性。 代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组(定义方程组)的公共零点(代数簇)的性质,代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域,线性空间维数就是扩张次数。从这个观点出发,代数几何可以看成是对有限扩域的研究。代数簇的性质和其基域关系极其密切。对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇,研究的过程中不仅有大量概念和微分几何及多复变函数论重合,而且在研究过程中运用到大量有关的相似工具。复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。许多相关领域的大师,虽然看上去只研究某一领域,但是其结果却影响到其他领域。例如:Lerey研究代数拓扑得出得层论,在代数拓扑中影响不大,单却由于Serre,Weil和H• Cartan(E•Cartan长子)的引进,深刻影响了代数几何和多复变函数论。Chern研究Hermite空间的示性类,但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。Hironaka研究代数几何中的奇点消解,但是他研究的复流形到复解析空间的修改与吹胀则影响了复解析空间理论。Yau证明了Calabi猜想不仅影响了代数几何和微分几何同时影响了经典广义相对论。同时对于我们可以看出非线性常微分方程和偏微分方程在微分几何中的重要地位。Cartan研究对称Riemann空间,得出了重要的分类定理,给出了1、2、3维空间中齐性有界域的完全分类,证明它们都是齐性对称域,同时他猜想:这种等价关系在n维情形也成立。1959年,Piatetski-Shapiro却在研究对称有界域的自守函数论的过程中找到了两个反例,在4维和5维的情形中各找出一个齐性有界域,它们不是齐性对称域,他将这些域命名为Siegel域,以纪念Siegel在1943年研究自守函数论方面的深刻工作。Piatetski-Shapiro的这个结果深刻影响了多复变函数论和自守函数论,同时对于对称空间理论等一系列课题产生深远影响。正如我们知道的,Cartan将对称空间的研究化为Lie群和Lie代数的研究,这个观点直接受Klein的影响而又大大发展了Klein的初步想法。当年也正是Cartan发展了Levi-Civita联络的概念,发展出微分几何中的一般联络理论,通过流形上各点切空间的同构映射,实现了Klein的梦想,同时大大促进了微分几何的发展。同样是Cartan,断定和乐群在流形研究中的重要性,几经波折,终于在他去世后三十年左右才被证实是正确的。在这里,我们看到了微分几何的浩瀚优美。 正如我们熟知的,测地线联系着ODE(常微分方程),极小曲面和高维极小子流形联系着PDE(偏微分方程)。这些方程都是非线性方程,因此对于分析学有着极高的要求。单复变函数论中著名的Cauchy-Riemann方程组联结起PDE和复分析之间的联系,在多复变情形,Cauchy-Riemann方程组不仅空前深化了这个联系而且由于Cauchy-Riemann方程组的超定性(方程个数大于变量个数)导致了奇异的现象。这又使得PDE与多复变函数论与微分几何紧密结合。 大多数学习微分几何的学者都被Gauss与Riemann的内蕴几何的无比深邃击晕,被Cartan的活动标架法的优美简洁倾倒,被Chern的示性类理论的博大精深折服,被Yau深厚精湛的几何分析功底震慑。当年年轻的Chern面对整体微分几何时说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山无比向往却一时无法攀到最高峰。但是后来他却赶在Hopf和Weil之前成为这个领域的一代宗师。 如果说Cartan发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式的话,那么Chern等人的微分几何不仅在延续Cartan的影响而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展。微分几何仍然像Einstein时代那样和物理紧紧相连并且从物理中不断获取研究课题 为什么三维球无法赋予平坦度规却可以赋予共形平坦度规?因为三维球和其他维数的球一样无法与平坦空间建立等距映射,所以无法建立平坦度规;而n维球都是单连通常曲率空间,因此可以可以建立共形平坦度规。在微分几何中,等距的含义就是映射前后流形上对应点之间的曲线距离不变。一个流形与平坦空间等距时其Riemann截面曲率恒为零。因为所有球面的曲率都为正的常数,所以n维球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。 但是还有局部共形平坦这个概念,对于流形上两个度规G和g,如果G=exp{ρ}•g,则称G与g之间的变换是共形变换。Weyl共形曲率张量在共形变换下保持不变,它是流形上的(1,3)型张量场。当Weyl共形曲率张量为零时,流形的曲率张量可以用Ricci曲率张量与数量曲率表示,所以Penrose总是强调曲率=Ricci+Weyl。 一个n维Riemann流形的度规张量g在局部上共形等价于平坦度规,则称为共形平坦流形。所有截面曲率为常数的流形(常曲率流形)都是共形平坦的,所以都可以赋予共形平坦度规。而所有维数的球面(当然包括三维球)都是常曲率流形,所以必定可以赋予共形平坦度规。反过来,共形平坦流形却未必是常曲率流形。但是有一个和Einstein流形有关的美妙结果可以弥补这个遗憾:3维以上的共形平坦Einstein流形必定是常曲率流形。就是说要想让共形平坦流形却是常曲率流形,就必须要求Ric=λg,而这就是Einstein流形的定义。式中Ric为Ricci曲率张量,g为度规张量,λ为常数。Einstein流形的数量曲率S=mλ为常数。而且如果S非零则其上面不存在非零的平行切向量场。Einstein引入宇宙学常数,使得他错失了预言宇宙膨胀的伟大成就,于是Hubble就飞黄腾达了;但是带有宇宙项的真空引力场方程却产生了Einstein流形,这为数学家的展现才智提供了新舞台。 对于3维连通Einstein流形,即使不要求其共形平坦,它也自动是常曲率流形,其他维数不成立这个美妙性质,我是大一暑假学习张量分析时才知道这个结果的,感觉看到这个结果是一种享受。实流形中的截面曲率与Kahler流形中的全纯截面曲率是不一样的概念,因此也产生不一样的结果。全纯截面曲率为常数的Kahler流形,其Ricci曲率必定为常数,所以必定为Einstein流形,称为Kahler- Einstein流形。Kahler流形为Kahler- Einstein流形当且仅当其作为Riemann流形时是Einstein流形。N维复向量空间,复射影空间,复环面以及复双曲空间都是Kahler- Einstein流形。Kahler-Einstein流形的研究成为几何学家的智力享受。 再回头讲讲等距映射的一个重要结果。考虑两个Riemann流形M和N间的等距映射以及其诱导的切空间之间的映射,取M上任意点p,在其切空间任选两个不共线的切向量,求出其截面曲率。在映射下p点及其切空间上的那两个切向量在映射下变成另两个切向量,也求出其截面曲率。如果这个映射是等距映射,则这两个截面曲率是相等的。或者含糊些说就是等距映射不改变截面曲率。 反过来,如果任意点都成立截面曲率不改变的性质,那么映射是不是等距映射?答案是否定的。甚至在三维Euclidean空间的曲面上都无法成立这个性质。在局部情形,必须加上测地线的限制,应用Jacobi场的性质才能作到这一点。这就是著名得Cartan等距定理。这个定理是Jacobi场的精彩应用。它的大范围推广是Ambrose和Hicks作出的,称为Cartan-Ambrose-Hicks定理。 微分几何就是充满无穷魅力。我们给pseudo-Riemannian空间分类,可以用Weyl共形曲率张量分类,可以用Ricci曲率张量分类,也可以用运动群进行分类得出9种Bianchi型。而这些东西都是可以归结到微分几何的研究,这里遥远的Riemann观点和稍近的Klein观点完美结合,这里可以看出Cartan的伟大智慧,这里可以看出Einstein的深远影响。 从Hermite对称空间到Kahler-Hodge流形,微分几何不仅与Lie群紧紧相连,也与代数几何和拓扑学血脉相通 想起 1895 年伟大的Poicare写伟大的《位置分析》创立组合拓扑时曾经毫不掩饰地说高维空间的微分几何是意义不大的学科,对此他说了句:“家有美景,何须远求。”(Chern译)拓扑就是家中美景,干吗要辛辛苦苦计算曲面甚至高维流形的曲率?可是这次这个全才数学家错了,但我们能不能说这位数学天才对微分几何没有大贡献?不能。看看今天微分几何与拓扑学的紧密相关我们就知道了。一个闭形式何时才是恰当形式?在同伦于点的区域(单连通区域)有Poicare引理之逆告诉我们这个自动成立。在非单连通区域有著名的de Rham定理告诉我们如何成立,那就是微分形式在所有闭链上的积分为零。 即使在Poicare所忽视的微分几何领域,他仍然以一种不经意的方式深深影响了这个学科,或者毋宁说是影响了整个数学。 任何一门学科创立后都寻求推广的性质,微分几何也是这样。从曲率上来说,平直的Euclidean空间曲率为零,几何学家推广到曲率为正常数(狭义的Riemann空间)和负常数的空间(Lobachevskii空间),我们知道,非欧几何的伟大之处不仅在于它独立了第五公设而且用其他情况替代而导致新几何,更在于它的创立者能在其上进行三角分析。但是著名数学家Milnor所说,在微分几何进入非欧几何之前,非欧几何只是没手没脚的躯干而已。只有在定义了度规以后进行曲率的统一计算之后,非欧几何才焕发出生机。Riemann在1854年的演讲中只写下了一个公式,就是这一个公式统一了正曲率、负曲率和零曲率的几何。后人大都认为Riemann这个公式又是凭直觉想出来的,实际上后来人们发现了他计算这个公式用的草稿纸,才知道天才也是要勤奋的。Riemann已经探索任意维数的任意曲率流形的曲率了,但定量的计算超越了那个时代的数学工具,他只能写出常曲率流形的统一公式。但是我们知道,即使到今天,这个结果仍然是重要的,微分几何的名目繁多的“比较定理”都是以常曲率流形为比较模本的。 当年Riemann曾经考虑了二次微分形式的二次方根,这就是我们都熟悉的Riemann metric,由此导出Riemannnian geometry,当时他特意提及另一个情形,就是用四次微分形式的四次方根(相当于四元乘积的和开四次方).这是两者的联系与区别。但他却说对于这种情况和前面一种情况在研究上并不要求实质上不同的方法。还说,这样的研究比较费时间并且对空间无法增加新的认识,计算的结果也缺乏几何意义。所以Riemann只研究了现在称为Riemann metric的情形。为什么后世的Finsler热衷于推广Riemann不想研究的情形?可能是数学家好推广以致于成为癖好。Cartan当年在Finsler几何方面作过努力,但成效不大,Chern对这种几何确实也寄予厚望同时也研究出一些成就.但我仍然和国际上的普遍看法一致,那就是Finsler几何前途黯淡. 这也正是Finsler几何一直无法进入微分几何主流的本质原因,它没有真正值得几何学家去奋斗的优美性质,也没有什么大的应用价值.后来的K-展空间,Cartan空间也都没有成为主流,虽然它们都是Riemannnian geometry的推广,但是没有得到什么大的发展. 实际上,有时候推广的东西能够得到的新内容不多,微分几何也是这样,不是研究的对象越平凡越好,而是应当适当的特殊才好。比如Riemann流形中,齐性Riemann流形特殊,就具有更多优美的性质,齐性Riemann流形中,对称Riemann流形更特殊,所以性质更优美.这是从流形上Lie群的作用角度分析的。 从度规的角度分析,定向偶数维的Riemann流形上赋予复结构,形成复流形,性质就极其优美。近复流形只有在近复结构可积时才成为复流形。复流形必定可定向,因为可以很容易求出它的Jacobian必定非负,而实流形在一般情况下没有这个性质。再缩小范围,Kahler流形更加具有很好的性质,Kahler流形的所有复子流形都是Kahler流形,而且还是极小子流形(Wirtinger定理),这个优美的结果迷倒了多少微分几何学家和代数几何学家,因为其他更一般流形不成立这个优美结果。如果要求 (复)三维Kahler流形的第一Chern数为零,可以得出Calabi-Yau流形,这是理论物理学家极其有兴趣的流形。Calabi-Yau流形的镜流形同样是代数几何域微分几何共同的课题。流行上的Hodge结构至尽都是有着无尽吸引力的课题。 微分几何,一个道不尽的话题。就像代数几何中要求双有理等价是个奢求一样,微分几何中要求等距变换何尝不艰难。分类学是整个数学的永恒课题。群论中有单群分类,多复变函数论中有区域的分类,代数几何中有代数簇的分类,微分几何也有分类。 艰难的课题引起一批批年轻的几何学家和年老的学者的共同冲刺,微分几何的前景无比光明。
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2010-04-15刘青 留学法国波尔多大学学习介绍
cnuarith 2010-4-12 10:54
Speaker: Professor 刘青 (法国Bordaux大学数学系系主任) Title: 留学法国波尔多大学学习介绍 Time: 2010年4月15日周四 10:00-11:00 Classroom: 数学系 412( 北京西三环花园桥往南首师大校本部东门进去右手第一座楼) 欢迎师生参加!详细信息登陆 http://groups.google.com/ group/cnuarith http://www.sciencenet.cn/u/ cnuarith/
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