数学的开端和萌芽是随着人类社会的出现而出现的，但正如著名数学史家 M. 克莱因所言，作为一门有组织的，独立的，理性的学科来说，在公元前 600 年到公元前 300 年古希腊学者登场之前是不存在的 . 古希腊数学之所以可以得到这样的赞誉，不仅由于它所具有的相对完整的演绎体系，更在于它将数学看成是探求自然界真知的重要方法和途径，使得数学得以在理性的高度与哲学和逻辑学联系在一起，发展成为人类理性文明的最高级形式 . 坚持一切数学结果必须根据明白规定的公理用演绎法推出，是古希腊人对数学的最大贡献 . 这种朴素的公理化思想的萌芽在亚里士多德那里得到较为系统的发展，他对定义，公理和公设的论述都是合乎现代精神的 . 比如，他认为定义只不过是给一批文字定个名，定义必须用现存于所定义事项的某种东西来表述，他还指出，一个定义只能告诉我们一个东西是什么，并不说明它一定存在，证明存在性要用构造（ Construction ）的方法 . 对于一切学科所共有的真理，他称之为公理，而只为某一门科学所接受的第一性原理称为公设，公理和公设都是不言自明的，公理和公设的数目越少越好，只要它们能用以证明多有的结果 . 这些思想都被欧几里得在《几何原本》中所采纳 . 欧几里得生活于公元前 300 左右的亚历山大城，关于他的生平几乎没有可供参考的历史记载，但他却因为著名的《原本（ Elements ）》，即我们通常所说的《几何原本》（以下均称《几何原本》），而成为最为现代人所熟知的古希腊数学家 . 《几何原本》由古希腊文写成，成书于古希腊文明的亚历山大利亚时期，最初被译成阿拉伯文，拉丁文得以传播 . 全世界有 20 多种文字的版本， 19 世纪末，有一位学者曾研究指出，自 1482 年到 19 世纪末，《几何原本》各种文字一共出版了 1000 多版 . 中国最早的译本是 1607 年意大利传教士利玛窦（ Matteo Ricci ， 1552-1610 ）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（ 15 卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的 . 他们翻译了前 6 卷，后 9 卷由英国人伟烈亚力（ Alexander Wylie ， 1815-1887 ）和中国科学家李善兰（ 1811-1882 ）在 1857 年译出 . 欧几里得《几何原本》共分 13 卷，内容包括了古希腊数学（不仅仅是几何）的几乎所有内容 . 按照亚里士多德的朴素的公理化思想框架，整本书以 5 条公理和 5 条公设以及一些定义为基础，用演绎的方式，将所有的数学命题以证明的逻辑顺序组织在各卷之中 . 公理，公设及各卷具体内容如下，为了能够更好地理解公理和公设文本的意义，我们将英文译本流行的表述也列出来，以便于对照理解： 5 条公理（ Common Notions ）： （ 1 ）等于同量的量彼此相等 . Things equal to the same thing are also equal to one another. （ 2 ）等量加等量，其和仍相等 . And if equal things are added to equal things then the wholes are equal. （ 3 ） 等量减等量，其差仍相等 . If equals be taken from equals the remainders will be equal. （ 4 ）彼此能重合的物体是全等的 . And things coinciding with one another are equal to one another. （ 5 ）整体大于部分 . And the whole greater than the part. 5 条公设（ Postulates ） （ 1 ）由任意一点到另外任意一点可以画直线 . Let it have been postulated to draw a straight-line from any point to any point. （ 2 ）一条有限直线可以继续延长 . And to produce a finite straight-line continuously in a straight-line. （ 3 ） 以任意点为心及任意的距离可以画圆 . And to draw a circle with any center and radius （ 4 ）凡直角都彼此相等 . All right angles are equal to one another. （ 5 ）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 . If two right lines meet a third line, so as to make the sum of the two interior angles on the same side less than two right angles, these lines being produced shall meet at some finite distance. 5 条公理是对“常识性”的关于“ things ”及其关系（相等，加，减，整体，部分）的事实的陈述，这些事实更多是人们对周围环境的直观认知的结果，也正因此欧几里的将其与后面的 5 条明显关于几何的事实区分为“公理”和“公设”，中文译本通常将“ things ”译为“量”，在中文意境中多了很多数学的意蕴，恰当与否是值得商榷的 . 《几何原本》各卷具体内容如下： 第 I 卷：几何基础 . 重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第 I 卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的正逆定理命题 1.47 ， 1.48. 第 II 卷：几何与代数 . 讲如何把三角形变成等积的正方形；其中 2.12 ， 2.13 命题相当于余弦定理 . 第 III 卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理 . 第 IV 卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质 . 第 V 卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论 , 被认为是 最重要的数学杰作之一 . 第 VI 卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质 . 第五，第七，第八，第九，第 X 卷：讲述比例和算术的理论；第 X 卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形 . 第 XI 卷，十二，十三卷：讲述立体几何的内容 . 除第 I 卷多给出的 5 条公设和 5 公理条外，每一卷均以若干定义开始，定义之后即以顺序安排命题及其证明 . 比如，第 I 卷包括 23 个定义， 48 个命题，其中第 47 ， 48 个命题就是著名的勾股定理（毕达哥拉斯定理）及其逆 . 第 II 卷有 2 个定义和 14 个命题，其中第 12 ， 13 个命题是勾股定理在钝角三角形和锐角三角形上的推广——余弦定理 . 第 III 卷包括关于圆的 11 个定义和 37 个命题，其中第 35 ， 36 ， 37 个命题是圆幂定理及其逆定理 . 第 IV 卷包括 7 个定义和 16 个命题，涉及到正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正十五边形的作图 . 第 V 卷论述了欧多克斯（ Eudoxus ，约公元前 400 年）的比例论，包括 18 个定义 25 个命题， M. 克莱因认为正是比例论使得古希腊人找到利用几何的不可公度量来替代无理数的方法，按照他的观点，他认为：“ 1800 年以前的数学史实际上所走的道路——完全依据几何来严格处理连续量”，“就欧几里得《几何原本》而言，那里并没有无理数的理论基础” . （ M. 克莱因，《古今数学思想（第一册）》，上海科学技术出版社， 2002.7 ，第 82-83 页 . ）这个观点是值得商榷的欧多克斯的比例论之所以可以解决不可公度量（即无理数）的问题，正是因为比例论在一定意义上给出了实数的理论基础，从而使无理数的问题得到自然的解决，我们将在后续章节中详细讨论这个问题 . 第 VI 卷讨论图形的相似性，包括 4 个定义与 33 个命题 . 第 VII 卷开始用几何量和比例的性质研究数论，有 22 个定义和 39 个命题，其中第一个命题就是著名的辗转相除法 . 第 VIII 卷，第 IX 卷继续讨论数论问题，这两卷都是直接从命题开始，第 VIII 卷包括 27 个命题，第 IX 卷包括 39 个命题，其中第 20 个命题是有名的素数有无穷多，命题 35 给出了等比数列求和公式的一个漂亮的证明，命题 36 给出了一个数是偶完全数的充分条件 . 《几何原本》内容的设计与安排让我们不得不惊叹于古希腊人的智慧（尽管德国数学家 F. 克莱因（ F. Klein ， 1849-1925 ）认为这有些夸大其辞），实际上，《几何原本》不仅是一本几何专著和教材，它囊括了几乎全部古希腊人所知道的数学，几何，数论与代数，并用公理化方法和几何语言统一在一个系统中 . 缅怀和重温这样的经典，感受先贤智者千年智慧的荣光，将会是一件快乐而幸福的事情 . ( 本文摘自博主所著《几何基础：几何学的起源与发展》，即将由北京师范大学出版社出版。 )
（网络照片） 看了两遍电影《林肯》，一遍在电影院，一遍在飞机上。尽管我比较喜欢看动作片， 不用动脑子，让人放松，偶尔也会看一下比较深沉的电影。让我看两遍的电影很少，文革中的地雷战、地道战、白毛女不算，早年的有《少林寺》，最近的就是《林肯》了。这类电影虽然没有那么热闹，但可以长点见识。第一次看时没有背景知识，看得不明白。后来读了点东西，再看时就好多了。非常喜欢丹尼尔·戴-刘易斯的精湛表演，在灰暗、冷色的光影背景中，行动有点缓慢的林肯，用一种柔和的方式，去实现一个巨大的政治企图。他很好地诠释了林肯的特质：化敌为友，坚定而又不咄咄逼人，以及他的远见。这是我会第二遍去看这个电影的一个主要原因。 历史中的事情，现在很多都说不清了，即使美国这种没有什么历史的国度，也是如此，更不要说有几千年文明的中国。哪件事情曾经说清楚过？历史这个小姑娘，只好任人打扮。《林肯》中的各种政治把戏就不说了，科学网上最近数学是个热门话题，就说一下《林肯》中的欧氏几何。 《林肯》的一个核心场面，是在上图中那个空荡荡的电报房里，林肯和两个学工科的电报员在对话。那时林肯面对着一个政治决策，是否要邀请南方的和谈代表到白宫来，以达到立即停火的和平。但一旦和谈成功，废除奴役宪法十三号修正案，就可能会在众院搁浅。在这个决定历史的背景中，自学了些欧氏几何的林肯，在昏暗安静的电报房里，和两位年轻人有了下面这样些对话： “ 欧氏公理第一条是这样的：和同一个物体相等的两个物体相等 。这是一个数学推理法则。它是真实的，因为它管用 , 过去如此，将来也如此。欧几里德在他的书中说它是不言自明的。明白吧，在那本两千年前的有关机械规律的书中，就是这么说的。 和同一个物体相等的两个物体相等是 不言自明的真理。” 在这段台词中，英文中的“thing ” 是个很微妙的词。作为一个数学定律，它理应译成“量”： 和同一个量相等的两个量相等 。但在电影里的人话中，要是译成“量”有点不靠谱。 林肯讲完这段话后，修改了电文，没有邀请和谈代表来白宫，以强化在众院通过十三号修正案的力度。发出电文后，他缓缓走入一片昏暗中，背影慢慢暗淡下去，余音绕梁的一个镜头。拿流血的战争、或者说拿人命来赌宪法十三号修正案，这样的决定，不是容易做的。 电影剧本是 Tony Kushner 写的，作为现代人，他可以在自己的创作中，用电影中林肯的嘴巴来讲自己的话，所以电影里的事不能太当真。林肯自学了些 欧氏几何大概是有史据的。但 编剧的创作中，可以看出作者不是很了解 欧氏几何。那本两千年前的书，中文译为《几何原本》，最早的中文译本是1607年意大利传教士利玛窦和中国学者徐光启翻译的《原本》前六卷。这本书是关于几何、关于数学的规律，而不是关于机械的规律（mechanical law ）。隔行如隔山，细微之处见真章。 此外， 编剧显然想在这里和《独立宣言》中的那个著名的论述相联系： “ We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights, that among these are Life, Liberty and the pursuit of Happiness. That to secure these rights, Governments are instituted among Men, deriving their just powers from the consent of the governed. ” 这一段我翻译不出来，也不敢翻，照抄比较省事。欧氏几何的公理和独立宣言中的表述没有什么靠谱的关系，但我想观众能够理解，拍电影的人想传达一个概念：白人是人，黑人也是人，同是人的白人黑人“相等”。政治家讲逻辑的不多，看来还是讲一点比较好。就他们各自面对的议题来看，我个人的看法是，政治家的林肯可以和生物学家的达尔文相比较。 马克思是这样评价林肯的：“不为逆境之威而卑，不以成功之惑而亢，不懈追寻之努力，不急虚妄之妥协，步步为营，进而不复行；不随众拥而动，不为众兴而懈；仁心之闪烁，铸威严之行；幽默之莞尔，明黑暗之境；驭重任于虚怀与平常心，如天子事微以雷霆万钧; 一言以蔽之：奇人乃至伟人，未有泯灭良心。如斯大者善者之谦卑，叹其卒而后为天下视为英雄兮。” 老马，别在意我这老气横秋的翻译，怎么说才好，见面时再议。 截自： ： EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY -The Greek text ofJ.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatusest I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885; edited, and providedwith a modern English translation, by Richard Fitzpatrick (2007) 截自：兰纪正，朱恩宽译《几何原本》－ 2003山西科学技术出版社。 电影中林肯的对白： “Euclid's first common notion is this: Things which are equal to the same thing are equal to each other. That's a rule of mathematical reasoning. It's true because it works, has done and always will do. In his book, Euclid says this is self-evident. You see, there it is, even in that 2,000-year-old book of mechanical law. It is a self-evident truth that things which are equal to the same thing are equal to each other. ” 马克思对林肯的评语： “he was a man, neither to be browbeaten by adversity, nor intoxicated by success, inflexibly pressing on to his great goal, never compromising it by blind haste, slowly maturing his steps, never retracing them, carried away by no surge of popular favor, disheartened by no slackening of the popular pulse, tempering stern acts by the gleams of a kind heart, illuminating scenes dark with passion by the smile of humor, doing his titanic work as humbly and homely as Heaven-born rulers do little things with the grandiloquence of pomp andstate; in one word, one of the rare men who succeed in becoming great, without ceasing to be good. Such, indeed, was the modesty of this great and good man, that the world only discovered him a hero after he had fallen a martyr.”
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