前面几篇简要涉及了代数拓扑、微分拓扑、低维拓扑，如果大伙儿还不知道这些是啥，请复习拙著 ：） 。其实，拓扑的概念和方法已经渗透到整个数学，而不仅限于拓扑学研究本身。 很多文献会提到，拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉，给出了第一个拓扑不变量，多面体表面的欧拉数（点数-边数+面数）。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人（虽然莱布尼兹曾经臆想过）。 传说中高斯当年是德国国土局的领导，负责丈量土地。他由此观测到山脊附近的地面弯曲性质可以用内在的测量方法得到（所谓曲面的内蕴几何），他还定义了度量曲率大小的量（高斯曲率），并且将这个局部定义的、可以用微积分计算的量同整体定义的欧拉数联系起来（高斯-博内定理），所以他可以被追认为研究微分拓扑的第一人。当然，高斯的主业其实是政府工作、开创现代数论、以及电磁学。业余时间研究一下各种误差的分布啊，欧几里德的几何原本有什么错误啊之类的小问题作为消遣。 第二尊菩萨，黎曼同学，除了开创流形的几何学、发展了傅立叶分析和积分理论、研究了一下素数分布提出世界第一难题黎曼猜想之外，他不到40岁的短暂一生的其余时间基本上都在思考复变函数的问题。为什么有的复变函数是多值的？比如平方根和对数。能否把它们以某种方式变成单值函数？人们的思维定势是，既然函数是多值的，就像一条横着的抛物线，一个 x 对应到两个 y, 要变成单值很容易啊，砍掉抛物线的一半就行了。黎曼不这么看。他觉得，如果把函数图像本身作为定义域，每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了，而且没有丢掉任何信息。如果是复变函数，其图像就是一个二维曲面，这就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多复杂的现象，这些现象催生了诸如连通性、单连通性、复叠空间这些拓扑概念，以及奇点、除子、函数域等等一些代数几何的概念。抛开代数几何不说，黎曼也许可以被屈尊为研究低维拓扑的第一人。 牛顿莱布尼兹发明了微积分之后，大家对无穷小无穷大这两个概念很不放心。为了让我们用得更安心，柯西和威尔斯特拉斯等人后来把无穷小解释得非常透彻，基本上就是说两个东西越来越近。离得近这个概念从而成为分析中最核心的概念。它正是所有拓扑学分支的共同基础点集拓扑的起源。拓扑学在现实生活中的应用多数跟点集拓扑有关，即，通过分析收敛性体现在应用数学中。所以，最牛的牛顿被屈尊为研究点集拓扑第一人（有好事者不以为然，一定要扯到古希腊的阿基米德，这就见仁见智了。） 总而言之，拓扑学有着高贵的血统。当然，好汉不提当年勇，拓扑学的现在和将来如何？20世纪中叶，代数拓扑学朝着高度抽象的方向发展，两位名不见经传的数学工作者（艾伦伯格-麦克雷恩）突发奇想，从中总结出一套抽象语言。为了体现这套语言之形而上，他们重载了先贤亚里士多德的概念范畴。继解析几何与微积分以来人类数学又一次在概念上经历了大变革。范畴论诞生了。20世纪数学的上帝格罗登迪克，用7000页的数学圣经将拓扑学和范畴论全面而深遂地渗透到代数几何和数论研究中，改变了整个数学的风貌。与此呼应，世纪之交的物理学也在经历变革，量子场论和弦论呈现出绚丽多姿的数学结构。20世纪物理学的耶稣（上帝被爱因斯坦附身了）爱德华.威顿，身负绝世的拓扑神功，一经施展，整个理论物理学为之色变。拓扑学三位一体，必须要像生物学一样将21世纪纳入自己的势力范围。所以，在这个系列的结尾，让我骄傲地替拓扑学宣称：21世纪是拓扑的世纪！！ I am just kidding.
前面讲到有理面上的奇异性，提到：正因为这个薄层非常薄，给我们处理问题反而带来极大的方便：第一，我们可以把轮胎形状的有理面沿着赤道平面切一刀，再沿任一环向角切一刀，展开成一个平面；第二，我们可以利用边界层理论来处理这一问题。这两点是研究像磁重联这样在大尺度下存在奇异性的数学物理问题的关键。 其中第一点将复杂的三维问题变成了一维问题！ 把有理面展开成一个平面，则在两个延伸方向（大环和小环方向）上都有周期条件。做相应的 Fourier 展开之后，在每个特定的有理面上只有一个 Fourier 分量。且对应的微分符号变成代数符号。这样三维的微分方程在两个方向上代数化了，只剩下小环径向的变化。在物理上，这是由于有理面上的奇异性导致垂直有理面的特征尺度远远小于其它两个周期条件方向的尺度。 而第二点则为解决这样的问题提供了常用的方法。 我们知道，对连续介质中没有外部驱动时物理量 F 随时间演化的典型数学物理方程基本上都是带有耗散项的抛物型方程，比如 dF/dt = DF/Dt + vDF/Dx = l D 2 F/Dx 2 这里 D 表示偏微分。方程的右边是所谓耗散项， l 是耗散系数。如果 F 是磁通（磁矢势的某一分量），则这个方程就是欧姆定律：左边是电场（包括 v x B 部分）， l 是电阻， D 2 F/Dx 2 是电流。等等。如果耗散很弱，耗散系数 l 非常非常小，则我们可以做理想情况下的近似，令 l = 0 。物理上就是，如果系统的特征尺度是 L ，那么，对应耗散（ dissipation ）的特征时间显然就是 T D =L 2 / l 。 l 趋于 0 对应于物理量 F 被 dissipated 的时间趋于无穷大。所以近似有 dF/dt = 0 ，或者说， F 基本保持不变。 这样的近似在绝大多数区间是适用的。但是如果区间里存在着奇异性，问题就来了：这个奇异性存在于一个很小的区间，引进一个非常小的特征尺度 D 。则其对应的特征时间尺度 t D = D 2 / l 成为一个可以和系统特征运动时间 T 0 相比拟的有限值！相应的，在这个奇异面上，方程右边的耗散项就不能忽略。这时，理想近似下得到的所谓奇异面因为这个耗散效应的存在变成了奇异层。显然这个奇异层的厚度 D ～ （ l T 0 ） 1/2 （我们又看到了 Sweet-Parker 模型的 1/2 方关系）。 这样一类在 奇异层外部可以用理想近似求解，但是在其内部必须考虑耗散项的数学物理问题，我们称之为边界层问题 （ Boundary Layer Problems ）。求解的方法称为边界层方法。
Sweet-Parker 模型虽然很成功，但是存在一个致命的问题：磁重联的速率太慢。事实上，太阳大气等离子体的电阻率大约在 1/10 10-12 ，由此得到的重联率 v x ～ h 1/2 ～ 10 -5 -10 -6 Alfvn 速度，远远不能解释像日耀斑这样的快过程。 人们注意到 Sweet-Parker 模型重联率所以相对比较慢，原因是其重联区的拓扑结构近似是一维的，即我们前面说的：等离子体携带磁力线进入扩散区的方向（入流方向，通常选作为 x- 方向）上的特征尺度远远小于磁力线重联以后携带等离子体离开扩散区的方向（出流方向，通常选作为 y- 方向）的特征尺度。这样，由于出口太小、进口太大，导致已经 merging 到扩散区附近的磁力线的排队等候，物理学家用的词汇叫 magnetic flux piled up 。（这样的过程会在重联区形成很薄的强电流片，其物理效应我们以后再谈。）因此，有人（ Petschek ， 1964 ）提出一种快磁重联模型：认为重联区的拓扑是呈具有 X 分形线的二维结构，这样入流区（在 y- 方向上的）长度与出流区（在 x- 方向上的）宽度大约在同一个数量级。而出流的喇叭口形状会形成一个如钱江潮的慢激波（道理相似，但相对运动方向相反）。根据这个 slow shock （慢激波）上下游的连接条件，可以得到磁重联的速率 v x ～ - ln h h 1/2 h 这个几乎与电阻无关的重联率基本上可以很好解释日耀斑这样的快过程。 但是人们后来发现，在 Petschek 模型的物理讨论所依赖的电阻磁流体框架下，无法得到 X 型的磁场几何结构，除非电阻很大 h 10 -3 （ W. Park, et al, 1984: Phys. Fluids 27 , 137; D. Biskamp, 1986: Phys. Fluids 29 , 1520; Z. W. Ma et al, 1995: Phys. Plasmas 2 , 8 ） 。而对于这么大的电阻， - ln h 与 h 1/2 的重联率几乎没有可以明显区分的差别！而在对应实际物理世界的电阻很小、 Sweet-Parker 和 Petschek 这两种模型的结果有可以明显区分的差别的情况下， 1980 年代以后发展的高精度的数值模拟结果告诉我们：即使初始条件取 Petschek 模型的磁场分布，我们也总是得到 Sweet-Parker 的电流片几何位形和 h 1/2 的重联率！ 后来人们才意识到：尽管 Petschek 模型的磁场拓扑结构是出于增大重联率的正确考虑，但是使用的电阻磁流体的物理模型是错误的！正确的快磁重联模型依赖于 1990 年代无碰撞磁重联理论的发展。
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