标签: 拓扑

[转载]一张图带你进入数学世界

quantumchina 2020-10-4 12:42

谈起数学时，你的脑海中会浮现出什么？ 是复杂的几何形状、繁琐的数值运算、难解的方程、未解的猜想，还是…….？ 在面对什么是数学这个问题上，我们尽量保持比较广的定义，它包括所有数量、几何和逻辑相关的领域。 或许一个最直观的 定义 是——数学是数学家所从事的研究领域。 那么，数学家究竟都在研究什么呢？或者说数学是由哪些部分组成的？传统上，我们可以将数学分为两大类：研究数学本身的 纯数学 和应用于解决现实问题的 应用数学 。但是这种分类法并不十分清晰，许多领域起初是按照纯数学发展的，但后来却发现了意想不到的应用。许多领域之间也有着非常紧密的关系，因此，如果要精确地为数学分类的话，应该是一个复杂的网络。 而在本文中，我们将会带领读者 简单地 了解数学的五大部分：数学基础、代数学、分析学、几何学和应用数学。 ○ 数学可大致分为五大部分，每一个分支中又包含着许多的子领域。| 图片来源：NPI 数学基础 数学基础研究的是逻辑或集合论中的问题，它们是数学的语言。逻辑与集合论领域思考的是数学本身的执行框架。在某种程度上，它研究的是证明与数学现实的本质，与哲学接近。 ○ 数学基础。| 图片来源：NPI 数理逻辑和基础 Mathematical logic and foundations 数理逻辑是这一部分的核心，但是对逻辑法则的良好理解产生于它们第一次被使用之后。除了在计算机科学、哲学和数学中正式地使用了基础的命题逻辑之外，这一领域还涵盖了普通逻辑和证明论，最终形成了模型论。在此，一些著名的结果包括哥德尔不完全性定理以及与递归论相关的丘奇论题。 代数学 代数是对计数、算术、代数运算和对称性的一些关键的概念进行提炼而发展的。通常来说，这些领域仅通过几个公理就可定义它们的研究对象，然后再考虑这些对象的示例、结构和应用。其他非常偏代数的领域包括代数拓扑、信息与通信，以及数值分析。 ○ 代数学。| 图片来源：NPI 数论 Number theory 数论是纯数学中最古老、也是最庞大的分支之一。显然，它关心的是与数字有关的问题，这通常是整数或有理数 （分数） 。除了涉及到全等性、可除性、素数等基本主题之外，数论现在还包括对环与数域的非常偏代数的研究；还有用于渐近估计和特殊函数的分析方法和几何主题；除此之外，它与密码学、数学逻辑甚至是实验科学之间都存在着重要的联系。 群论 Group theory 群论研究的是那些定义了可逆结合的“乘积”运算的集合。这包括了其他数学对象的对称集合，使群论在所有其他数学中占有一席之地。有限群也许是最容易被理解的，但矩阵群和几何图形的对称性同样也是群的中心示例。 李群 Lie Group 李群是群论中的一个重要的特殊分支。它们具有代数结构，但同时也是空间的子集，并且还包含几何学；此外，它们的某些部分看起来就像欧几里德空间，这使得我们可以对它们进行解析 （例如求解微分方程） 。因此李群和其他拓扑群位于纯数学的不同领域的收敛处。 交换环和交换代数 Commutative rings and algebra 交换环是与整数集类似的集合，它允许加法和乘法。尤其有趣的是数论、域论和相关领域中的环。 结合环和结合代数 Associative rings and algebra 结合环论可被看作是交换环的非交换类比。它包括对矩阵环、可除环 （如四元数） ，以及在群论中重要的环的研究。数学家开发了各种工具，以便能够研究一般化的环。 非结合环和非结合代数 Nonassociative rings and algebras 非结合环论进一步地拓宽了研究范围。这里的通用理论较弱，但这种环的特殊情况是至关重要的：尤其是李代数，以及约当代数和其他类型。 域论与多项式 Field theory and polynomials 域论研究的是集合 （如实数直线） ，所有一般的算术性质都包含在实直线上，包括除法性质。研究多场对多项式方程具有重要意义，因而它在数论和群论中也都具有应用意义。 一般代数系统 General algebraic system 一般代数系统包括那些具有非常简单的公理构成，以及那些不容易被包含在群、环、域或其他代数系统中的结构。 代数几何 Algebraic geometry 代数几何将代数与几何相结合，使二者彼此互利。例如，于1995年被证明的“费马大定理”，表面上看是关于数论的陈述，但其实是通过几何工具才得以证明。反过来，由方程定义的集合的几何性质，是用复杂的代数机制来研究的。这是一个魅力非常的领域，许多重要的课题都非常深奥，椭圆曲线就数其中之一。 线性代数 Linear algebra 线性代数，有时会被“乔装”成矩阵论，它考虑的是能维持线性结构的集合与函数。它涵盖的数学范围非常广，包括公理处理、计算问题、代数结构，甚至几何的一些部分；此外，它还为分析微分方程、统计过程甚至许多物理现象提供了重要的工具。 范畴论 Category theory 范畴论是一个相对较新的数学领域，它为讨论代数与几何的各个领域提供了一个通用的框架。 K理论 K theory K理论是代数与几何的有趣结合。最初是为了拓扑空间 （向量丛） 定义，现在也为环 （模） 定义，它为这些物体提供了额外的代数信息。 组合数学 Combinatorics 组合数学 （或称为离散数学） 则着眼于集合的结构，其中某些子集是可区分的。例如，一副图是许多点的集合，其中一些边 （两个点的集合） 是给定的。其他的组合问题要求对具有给定属性的集合的子集进行计数。这是一个很庞大的领域，计算机科学家和其他数学以外的人对此都非常感兴趣。 序集合 Ordered sets 序集合 （格） 可以为 例如一个域的子域集合，给出一个统一的结构。各种特殊类型的格都具有异常完好的结构，并且应用在群论和代数拓扑等多个领域中。 几何学 几何学是数学中最古老的领域之一，几个世纪以来，它经历了数次重生。从一个极端来看，几何学包括对首次在欧几里得的《几何原本》中出现的刚性结构的精确研究；从另一个极端来看，一般拓扑学关注的是形状之间最基本的亲缘关系。代数几何中也隐含着一个非常微妙的“几何”概念，但如上文所注，它其实更偏向于代数。其他的一些也能算得上是几何的领域有K理论、李群、多复变函数、变分算、整体分析与流行上的分析。 ○ 几何学。| 图片来源：NPI 几何学 Geometry 几何学是一门从多方面研究的学科。这一大块区域包括经典的欧几里德几何和非欧几何、解析几何、重合几何 （包括射影平面） 、度规性质 （长度与角度） ，还有组合几何学——如从有限群论中出现的几何。 流形 Manifolds 流形是像球体一样的空间，从局部来看它像是欧几里德空间。在这些空间里，我们可以讨论 （局部的） 线性映射，还能讨论函数的光滑性。它们还包括许多常见的表面。多面复形是由许多块的欧几里德空间的部分组成的空间。这些空间类型认可关于映射与嵌入问题的精确答案，它们尤其适用于代数拓扑中的计算，能细致的区分等价的各种不同概念。 凸几何与离散几何 Convex and discrete geometry 凸几何与离散几何包括对在欧几里得空间中的凸子集的研究。它们包括对多边形和多面体的研究，并经常与离散数学和群论重合；分段线性流形让它们与拓扑学交叉。除此之外，这一领域也包括欧几里得空间中的镶嵌与堆积问题。 微分几何 Differential geometry 微分几何是现代物理学的语言，也是数学领域的一片乐土。通常，我们考虑的集合是流形 （也就是说，局部类似于欧几里德空间） ，并且配备了距离度量。它包括对曲线和曲面的曲率研究。局域型问题既适用又有助于微分方程的研究；整体型问题会经常调用代数拓扑。 一般拓扑学 General topology 一般拓扑学研究的是只含有不精确定义的“闭合” （足以决定哪些函数是连续的） 的空间。通常会研究一些带有附加结构的空间 （比如度量空间，或者紧致豪斯多夫空间） ，并观察一些属性 （如紧致） 是如何与子空间、积空间等共享的。拓扑学广泛应用于几何学与分析学，也使得出现一些奇异的例子和集论难题。 代数拓扑 Algebraic topology 代数拓扑是研究附属于拓扑空间的代数对象，代数不变量说明了空间的某些刚度。这包括各种 （上） 同调论、同伦群，以及一些更偏几何的工具，例如纤维丛。其代数机制 （主要来自同调代数） 非常强大，使人生畏。 分析学 分析学研究的是从微积分和相关领域中获得的结果。我们可以将它进一步划分为5个小部分： 微积分与实分析 复变量 微分方程与积分方程 泛函分析 数值分析与最优化 ○ 分析学。| 图片来源：NPI 【微积分与实分析】 实函数 Real functions 实函数是微积分课堂会介绍的内容，其中的重点在于它们的导数和积分，以及一般的不等式。这一领域包括常见的函数，如有理函数，是最适合讨论与初等微积分学的相关问题的领域。 测度与积分 Measure and integration 测度论与积分研究的是一般空间的长度、表面积和体积，是积分理论全面发展的一个关键特征，并且，它还为概率论提供了基本框架。 特殊函数 Special functions 特殊函数就是超出常见的三角函数或指数函数的特定函数。被研究的那些领域 （例如超几何函数、正交多项式等等） 会很自然的出现于分析、数论、李群和组合数学领域。 差分方程与函数方程 Difference and functional equations 差分方程和函数方程都像微分方程一样涉及到函数的推导，但它们的前提却不尽相同：差分方程的定义关系不是微分方程，而是函数值的差。函数方程 （通常） 在几个点上有函数值之间的代数关系作为前提。 序列与级数 Sequences and series 序列与级数实际上只是极限法中最常见的例子；收敛性判别准则和收敛速度与找到“答案”同样重要。 （对于函数序列来说，找到“问题”也同样重要。） 一些特殊的级数 （如已知函数的泰勒级数） 以及用于快速求和的一般方法可引来很大的兴趣。积分可被用来求级数，分析可用来求级数的稳定性。级数的运算 （如乘法或逆运算） 也同样是重要的课题。 【复变量】 复变函数 Functions of a complex variable 复变函数研究的是假设在复数上定义函数的可微性的影响。有趣的是，这种效应与实函数有明显不同，它们受到的约束要严格得多，特别是我们可以对它们的整体行为、收敛性等作出非常明确的评论。这一领域包括黎曼曲面，它们在局部看起来像复平面，但却并不是同一个空间。复变量技术在多个领域 （例如电磁学） 都具有很大的应用。 位势论 Potential theory 位势论研究的是调和函数。从数学的角度上看，它们都是拉普拉斯方程Del(u)=0的解；从物理学的角度上看，它们是给整个空间提供 （由质量或电荷所产生的） 势能的函数。 多复变函数与解析空间 Several complex variable and analytic spaces 多复变函数研究的是一个以上的复变量的函数。由复可微性所赋予的严格约束意味着，至少在局部上，这些函数的行为与多项式几乎一样。对于相关空间的研究也趋向于与代数几何类似，除了在代数结构之外还使用了分析工具。在这些空间上的微分方程和它们的自同构 （automorphism） 为其提供了与其他领域的有用连接。 【微分方程与积分方程】 常微分方程 Ordinary differential equations 常微分方程 （ODE） 是求解的未知数是一个函数、而非一个数值的方程，其中的已知信息会将这个未知函数与其导数联系起来。这类方程很少有明确的答案，但会有大量的信息来定性地描述它们的解。微分方程有许多重要的类别，它们在工程与科学领域的应用非常广泛。 偏微分方程 Partial differential equations 偏微分方程 （PDE） 的形式与常微分方程大体相同，只是偏微分方程试图求解的函数含有的变量不止一个。在求解过程中，我们也同样需要能定性描述它的解的信息。例如在许多情况下，只有当某些参数属于特定的集合 （比如整数集） 时，解才存在。它们与自然科学，尤其是物理、热力学和量子力学有着非常密切的关系。 动力系统与遍历论 Dynamical systems and ergodic theory 动力系统研究的是函数从空间到自身的迭代。理论上来说这一领域与流形上的微分方程密切相关，但在实践中，它的重点在于基础的集合 （例如不变集或极限集） 以及极限系统的混沌行为。 积分方程 Integral equations 积分方程自然是要寻找满足其积分关系的函数。例如，每一次的函数值都可能与之前所有时间的平均值有关。这一领域中包括混合了积分与微分的方程。微分方程的许多方面会反复出现，比如定性问题、近似法，以及有助于简化问题的变换与算子等。 变分法与最优化 Calculus of variations and optimization 变分法与最优化寻找的是可以优化目标函数的函数或几何对象。当然，这还包括对寻找最优结果所需d技术的探讨，例如逐次逼近法或是线性规划。除此之外，还存在大量用来建立与描述最优解的研究。在许多情况下，最优函数或最优曲线可以表示为微分方程的解。常见的应用包括寻找在某种意义上的最短曲线和最小曲面。该领域也适用于经济学或控制理论中的优化问题。 整体分析 Global analysis 整体分析 （或流形分析） 研究的是流形的微分方程的整体性质。除了常微分方程理论中的一些适用于局部的工具之外，整体技术还包括使用映射的拓扑空间。这一领域还与流形理论、无限维流形和奇点流形有关，因此也与突变理论相关。除此之外，它还涉及到优化问题，从而与变分法重叠。 【泛函分析】 泛函分析 Functional analysis 泛函分析研究的是微分方程的全局，例如它会将一个微分算子看作为一组函数的线性映射。因此，这个领域就变成了对 （无限维的） 向量空间的研究，这种向量空间具有某种度规或其他结构，包括环结构 （例如巴拿赫代数和C*-代数） 。度量、导数和对偶性的适当一般化也属于这一领域。 傅里叶分析 Fourier analysis 傅里叶分析利用三角多项式研究函数的近似与分解。这一领域在许多分析应用中都具有不可估量的价值，它拥有许多具体而又强大的结果，包括收敛性判别准则、估计和不等式以及存在唯一性结果。它的扩展包括对奇异积分理论、傅里叶变换和适当的函数空间的研究。这一领域还包括其他的正交函数族的近似，包括正交多项式和小波。 抽象调和分析 Abstract harmonic analysis 抽象调和分析：如果说傅里叶级数研究的是周期性的实函数，即在整数变换群下能维持不变的实函数，那么抽象调和分析研究的就是在一个子群下维持不变的一般群上的函数。它包括的主题涉及到特异性的不同等级，这又涉及到对李群或局部紧致阿贝尔群的分析。这一领域也与拓扑群的表示论有重合之处。 积分变换 Integral transforms 积分变换包括傅里叶变换以及拉普拉斯变换、Radon变换等其他变换。除此之外它还包括卷积运算与算子演算。 算子理论 Operator theory 算子理论研究泛函分析中的向量空间之间的变换，例如微分算子或自伴算子。分析可以研究单个算子的谱，也可以研究多个算子的半群结构。 【数值分析与最优化】 数值分析 Numerical analysis 数值分析涉及到数值数据的计算方法的研究。这在许多问题中意味着要制造一系列的近似；因此，这些问题涉及到收敛的速度、答案的准确性 （甚至是有效性） 以及回应的完整性 （有很多问题，我们很难从程序的终端中判断它是否还存在其他解决方案） 。数学上的许多问题都可以归结为线性代数问题——一个需要用数值方法来研究的领域；与之相关的重大问题是处理初始数据所需的时间。微分方程的数值解需要确定的不仅是几个数值，而是整个函数；尤其是收敛性必须由某种整体准则来加以判断。这一领域中还包括数值模拟、最优化、图形分析，以及开发文件的工作代码等课题。 逼近与展开 Approximations and expansions 逼近与展开主要考虑的是用特殊类型的函数来逼近实函数。这包括使用线性函数、多项式 （不仅仅是泰勒多项式） 、有理函数的逼近；其中三角多项式的近似被划分在傅里叶分析中。这一领域包括拟合优度的判别标准、误差范围、逼近族的变化的稳定性、以及在近似情况下保留的函数特性 （如可微性） 。有效的技术对于特定种类的逼近也是很有价值的。这一领域也同样覆盖了插值与样条。 运筹学/数学规划 Operations research, mathematical programming 运筹学被喻为是研究最佳资源分配的领域。根据设置中的选项和约束，它可以涉及到线性规划、二次规划、凸规划、整数规划或布尔规划。这一类别中也包括博弈论，博弈论实际上并不是关于博弈的课题，而是关于最优化，它研究的是哪一种策略组合能产出最佳结果。这一领域还包括数学经济学。 应用数学 现在我们来谈谈许多人最关心的数学部分——发展能将数学运用到数学领域之外的数学工具。 ○ 应用数学。| 图片来源：NPI 概率论与随机过程 Probability theory and stochastic processes 概率论应用于有限集合时就是简单的计数组合分析，因此其技术与结果都与离散数学类似。当考虑无穷的可能结果集时，这个理论就得以体现它的价值。它涉及到大量的测度论以及对结果详细严谨的解释。更多的分析是随着对分布函数的研究而进入到这一领域的，极限定理则暗示着集中趋势。应用于重复的转移或随时间的转移会导致马尔科夫过程和随机过程。在考虑随机结构时，概率的概念会应用到数学中，尤其是在某些情况下，它可以产生甚至对纯数学都非常好的算法。 统计学 Statistics 统计学是一门从数据中获取、合成、预测并作出推论的科学。对平均值与标准偏差的基本计算足以概括一个大的、有限的、正态分布的数据集；之所以有统计领域的存在，是因为数据通常并不会被很好地呈现。如果我们不知道数据集中的所有元素，我们就必须讨论采样和实验设计；如果数据有不正常之处，就需要我们用其他参数或者采用非参数方法对它们进行汇总；当涉及到多个数据时，我们需研究不同变量之间的交互的度量。其他的研究课题包括对时间相关数据的研究，以及避免歧义或悖论的必要基础。它的计算方法 （例如曲线拟合） 对科学、工程以及金融和精算等领域的工作都具有特别重要的应用意义。 计算机科学 Computer science 计算机科学，如今它更是一门独立的学科，它研究很多数学方面的问题。在这一领域中，除了从离散数学里的许多问题中所产生的可计算性问题，以及与递归论相关的逻辑问题之外，它还考虑调度问题、随机模型等等。 信息与通信 Information and communication 信息与通信包括一些代数学家特别感兴趣的问题，尤其是编码理论（与线性代数和有限群有关）和加密（与数论和组合数学有关）。许多适合这个领域的主题都可以用图论的术语来表达，例如网络流和电路设计。数据压缩和可视化都与统计有重叠部分。 质点力学和系统力学 Mechanics of particles and systems 质点力学和系统力学研究的是粒子或固体的动力学，它包括旋转与振动的物体。会用到变分原理 （能量最小化） 和微分方程。 固体力学 Mechanics of solids 固体力学考虑的是弹性与塑性、波传播、工程，以及土壤和晶体等特定固体的问题。 流体力学 Fluid mechanics 流体力学研究的是空气、水和其他流体的运动问题：压缩、湍流、扩散、波传播等等。从数学的角度来看，这包括对微分方程解的研究，这就涉及到大规模的数值计算方法 （例如有限元法） 。 光学/电磁理论 Optics, electromagnetic theory 光学、电磁理论是研究电磁波的传播与演化的理论，它包括的主题有干涉和衍射。除了分析的一些普通分支，这一领域还涉及到一些与几何相关的主题，比如光线的传播路径。 经典热力学/热传导 Classical thermodynamics, heat transfer 经典热力学和热传导研究的是热量在物质中的流动，这包括相变和燃烧。从历史的角度来看，它是傅里叶级数的起源。 量子理论 Quantum Theory 量子理论研究的是薛定谔 （微分） 方程的解，与此同时它还包括大量的李群理论和量子群论、分布理论，以及与泛函分析、杨-米尔斯问题、费曼图等有关的问题。 统计力学/物质结构 Statistical mechanics, structure of matter 统计力学和物质结构研究的是粒子的大尺度系统，它包括随机系统和运动或进化系统。研究的具体物质类型包括液体、晶体、金属和其他固体。 相对论与引力理论 Relativity and gravitational theory 相对论与引力理论将微分几何、分析和群论应用于一些大尺度或极端情况下的物理学 （例如黑洞和宇宙学） 。 天文学和天体物理学 Astronomy and astrophysics 天文学和天体物理学：由于天体力学在数学上是质点力学的一部分，因此这一领域的主要应用大多与恒星和星系的结构、演化以及相互作用有关。 地球物理 Geophysics 地球物理学的应用通常涉及到力学和流体力学，但它是在大尺度上研究问题。 系统论/控制论 Systems theory; control 系统论以及控制论研究的是复杂系统 （如工程系统） 随着时间发生的演化。特别是，人们可能会试图对系统进行识别 （即确定主导系统发展的方程或参数） ，或对系统进行控制 （即通过选择某些参数以达到期望的状态） 。特别令人感兴趣的是稳定性问题，以及随机变化和噪声对系统的影响。虽然这通常属于“控制论”或“机器人学”领域，但在实践中，这是微分 （或差分） 方程、泛函分析、数值分析和整体分析 （或微分几何） 的应用领域。 生物学与其他科学 Biology and other sciences 数学还与许多学科 （包括化学、生物学、遗传学、医学、心理学、社会学和其他社会科学） 具有明确的联系。在化学和生物化学中，图论、微分几何和微分方程的作用是显而易见的。医学技术必须用到信息传递和可视化的技术。生物学 （包括分类学和考古生物学） 会使用统计推断和其他工具。经济学和金融学也大量使用到统计学工具，尤其是时间序列分析；有一些主题更具有组合性，例如投票理论。 （出于某些原因，数学经济学被归在运筹学的范畴内。） 更多的行为科学 （包括语言学） 都会用到大量的统计技术，其中会涉及到实验设计和其他偏组合类的主题。 以上罗列的便是数学家所从事的研究，但绝对不是唯一的分类标准，而且我们也没能完整地罗列出所有的领域，比如数学家还研究量子代数 （quantum algebra） 、分形学 （Fractal） 、数学史以及数学教育等等。 对于许多人而言，数学是个非常抽象、难以理解的学科，特别是现代数学的发展，更是远远超越了非专业人士的理解范围。但对于数学家而言，那些抽象的概念、符号、证明，犹如美妙的乐章一般，使他们沉醉其中。而数学在自然科学中不合理的有效性更是令人难以理解的奇迹。正如诺奖得主尤金·维格纳写道的那样：“数学语言在表述自然规律时的适当性是一项奇迹，它是我们既不理解也不配拥有的奇妙天赐。我们应当感激，也希望它在未来的研究中仍然有效。而且不论是好是坏，当我们尽情拓展知识领域时，即使会令我们困惑，也依旧成立。” 文：正恩/图：pany 参考来源： http://msc2010.org/Default.html https://mathscinet.ams.org/msc/msc2010.html https://zbmath.org/classification/ https://web.archive.org/web/20150516045812/http://www.math.niu.edu:80/~rusin/known-math/index/beginners.html https://arxiv.org/archive/math https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_Subject_Classification https://msc2020.org 本文经授权转发自微信公众号 「新原理研究所」（ID： newprincipia）， 版权归原作者所有。 具体信息请参考原文章。 推荐悦读 购买本书 内容简介 《普林斯顿数学指南》是由菲尔兹奖得主T. Gowers 主编、133 位著名数学家共同参与撰写的大型文集。全书由288 篇长篇论文和短篇条目构成, 目的是对20 世纪最后一二十年纯粹数学的发展给出一个概览，以帮助青年数学家学习和研究其最活跃的部分，这些论文和条目都可以独立阅读。原书有八个部分，除第Ⅰ部分是一个简短的引论、第Ⅷ部分是全书的“终曲”以外，全书分为三大板块，核心是第Ⅳ部分“数学的各个分支”，共26 篇长文，介绍了20 世纪最后一二十年纯粹数学研究中最重要的成果和最活跃的领域，第Ⅲ部分“数学概念”和第Ⅴ部分“定理与问题”都是为它服务的短条目。第二个板块是数学的历史，由第Ⅱ部分“现代数学的起源”（共7 篇长文）和第Ⅵ部分“数学家传记”（96 位数学家的短篇传记）组成。第三个板块是数学的应用，即第Ⅶ部分“数学的影响”（14 篇长文章）。作为全书“终曲”的第Ⅷ部分“结束语：一些看法”则是对青年数学家的建议等7 篇文章。 中译本分为三卷，第一卷包括第I-III部分，第二卷即第IV部分，第三卷包括第V～VIII部分。 本书适合于高等院校本科生、研究生、教师和研究人员学习和参考，虽然主要是为了数学专业的师生写的，但是，具有大学数学基础知识，更重要的是对数学有兴趣的读者，都可以从本书得到很大的收获。 来源： https://www.sohu.com/a/308230472_410558

个人分类: 数学|6147 次阅读|0 个评论

多彩世界与时间的多连通性

qhliu 2020-3-5 11:05

今天惊蛰，早晨穿过校园上班。被长沙的春色所吸引。一些树上去年的果实还没有成熟、去年的树叶还是一样绿出汁水，但是新叶却红得要燎原！突破领悟到这就是时间上的分数连通。时间上的一岁不枯荣，属于单连通的,周期为一年。如果不是一岁不枯荣，就是时间上的多连通。 得偈在此： 三月新芽红，绿叶旧碧浓。 连通几何是？一岁不枯荣！ ------------- 空间的 单连通 示例 空间 多连通示例 ———————————————— 物理学中有些问题具有空间上的分数连通性！一个简单的例子是，如果把一个粒子局限在一个环上，粒子运动一周之后，状态不一定回到原处。这一点就和环是否包围了一个“洞”有关。有些“洞”的性质非常奇特，粒子还没有回到原处，状态就已经回到原处，这就是分数连通；如果走了两圈，状态才回到原处，这就是整数2连通。带点粒子绕通电螺旋管一周之后，回不到原来的状态，就是一个例子。当然，这是量子力学效应。 ----------------- 免责声明：除了第一张图片拍摄于湖南大学校园之外，其它图片取自网络，没有商业目的。

个人分类: 拾穗记|3569 次阅读|0 个评论

动量和空间的拓扑结构相关：一个谁都不懂但是公认为很重要的问题！

热度 3 qhliu 2019-8-18 11:32

有篇近作，7月2日投出，8月17日接受！  European Physical Journal C ，算来也是物理学顶级一区刊物！ 论文的基本框架都在这里： General covariant geometric momentum, gauge potential and a Dirac fermion on a two-dimensional sphere https://arxiv.org/abs/1905.07735 这篇论文不仅我们基本不懂，而且审稿人编辑肯定也不懂。这不妨碍我们一起莫名的激动并赞赏这件工作！ —————————— Cover Letter Dear Editors of The European Physical Journal C, It is well-known that curved manifold can induce somegauge structure, but how this gauge structure appears, e.g., for a Dirac fermion on the curved graphene, and how it affects the motion of the particle,is not clear. Our approach starts with that the symmetry expressed by the Poisson or Dirac brackets in classical mechanics preserves in quantum mechanics ; and so the Hamiltonian is determined by the symmetry, and we establish a general framework to explore these problems. As two examples, we show that for the Dirac fermion on a two-dimensional sphere, the gauge field enters the momentum, but does not exhibit in the Hamiltonian. The details arein the following. In2011, we proposed a geometric momentum for non-relativistic particles constrained on the curved surface (PRA 84, 042101(2011)) as the proper form of momentum. This concept together with geometric potential is now widely accepted for it has stood both theoretical examinations and experimental testifications. Present paper develops such a geometric momentum to be general covariant, otherwise it is inapplicable to spin particles on curved surface. First of all, we need to establish a quite general formalism to accommodate the general covariant geometric momentum (GCGM). This is in fact the framework of Dirac canonical quantization, in which we make some close examinations, emphasizing the fundamental role of symmetry indicated by both the fundamental quantum conditions and dynamical ones. It has been recognized, through construction of quantum field on curved manifolds,that some gauge structures emerge, our GCGM makes the gauge structure transparent. Two important and interesting demonstrations of the GCGM are: 1, the generalized total angular momentum for a Dirac fermionon two-dimensional sphere, which reproduce the same result as that given by 2003 Nobel prize laureate Abrikosov via the purely consideration of dynamics of the particle ; 2, the GCGM together with the dynamical quantum conditions clears up a controversial issue as whether there is geometric potential for the Dirac Fermion on the two-dimensional sphere, and our answer to this question is that no geometric potential is acceptable. The problem we discuss in present paper is of broad interests, and present work is of fundamental contributions into physics. It relates to the topologic state on surface of the low-dimensional materials, and gauge theory of gravitation, and fundamental problem in quantum mechanics. So, it is appropriate for publicationin your journal. Sincerelyyours, Q.H. Liu ———————————— 一审   一审意见  Referee: 1  Comments to the Author The paper by Liu et al. deals with the definition of the general covariant geometric momentum, which is the first part of the paper, and the study of Dirac equation on a sphere, which cover the second part..  The paper is interesting, and deserves publication . I have just some minor points:  1) May be the authors wish to enlarge the presentation of Eq. (1).  2) From Eq. (1) it appears that the canonical commutation relation are modified. They have on the right handed side a quantity different from 1. This should have non trivial consequences, I suppose. Is it?  3) To better understand the model, the author should also comment the meaning of (1) in the case in which the index i is different from index j  4) The construction studied in the paper has any connection with the generalized uncertainty principle? Referee: 2  Comments to the Author The paper deals with the quantization of generally covariant systems when constrained on submanifolds of flat spaces. After a general introduction to this problem, and offering quite an extensive list of cogent references, it faces a specific problem, namely whether Dirac fermions on a sphere do carry the so-called 'geometric potential'. In other words, whether the 'standard' quantization in curved space techniques (leading there to their eq (28), or the Hamiltonian (29)), need be corrected when the two dimensional manifold is thought of as coming from constraints in a larger  three-dimensional flat space. I found the paper sound, the calculations seem correct, the logic is convincing. I have two possibly minor concerns: i) could they improve a little the English, by checking some expressions (e.g., right in the Abstract 'Once the momentum is made general covariance'...), and by making their sentences shorter, sharper and clearer? ii) since they cite work where Dirac fermions are studied on 2d surfaces of negative curvature, could they address this problem here too? or at least, comment on that? Besides this, I believe that the paper deserves publication in EPJC. ——————  接下来，论文被接受！ Dear Prof. Liu: It is a pleasure to accept your manuscript entitled Generally covariant geometric momentum, gauge potential and a Dirac fermion on a two-dimensional sphere in its current form for publication in the European Physical Journal C. The paper will also be published electronically under the journal's title. Thank you for your fine contribution. On behalf of the Editors of the European Physical Journal C, we look forward to your continued contributions to the Journal. Sincerely, Prof. Kostas Skenderis Editor in Chief, European Physical Journal C Associate Editor Comments to the Author: (There are no comments.) Referee: 1 Comments to the Author (There are no comments.)

个人分类: 拾穗记|4788 次阅读|7 个评论

每日翻译20190429

Bearjazz 2019-4-29 07:14

# 编者信息 熊荣川 明湖实验室 xiongrongchuan@126.com http://blog.sciencenet.cn/u/Bearjazz More often than not, when a phylogenetic dataset is divided into smaller partitions, each one gives rise to trees that have different topologies. One can draw two conclusions from this result: (1) one, some or all of the trees are wrong and the partitions share the same history, (2) or the trees are correct and the different partitions have experienced distinct evolutionary histories. Distinguishing between these options requires statistical testing to determine if the differences in topology are likely to have been observed simply by chance. There are many different tests of incongruence available in the field of systematic biology that all use comparable measurements and ideas. However, tests differ, sometimes subtly and sometimes drastically, in their assumptions, implementation, and interpretation. These details can be difficult to discern in the disjointed literature and controversies surrounding these tests. Incongruence tests may be broadly classified into tests that consider character information (character incongruence) and those that only consider tree shape or topology (topological incongruence). Character congruence analyses are particularly useful and powerful because they take both the tree topology and the underlying support for the tree topology into account. Topological congruence techniques have the advantage of being able to compare trees derived from data that may not be strictly comparable or easy to include in the same analysis. 通常情况下，当一个系统发育数据集被划分成更小的分区时，每个分区都会产生具有不同拓扑结构的树。从这个结果可以得出两个结论：（ 1 ）部分或全部的树是错误的，而各分区具有相同的历史；（ 2 ）或者树都是正确的，不同的分区经历了不同的进化历史。区分这些选项需要进行统计检验，以确定拓扑结构的差异是否可能只是偶然观察到的。 在系统生物学领域有许多不同的差异检验，都使用可比较的测量和想法。然而，检验在假设、实现和解释方面有时有微妙的，有时是显著的不同。在杂乱无章的文献和围绕这些检验的争论中，很难辨别出这些细节。 不一致性检验可以大致分为基础特征不一致的检验和只考虑树形状或拓扑（拓扑不一致）的检验。特征一致性分析特别有用和强大，因为它们同时考虑了树拓扑和对树拓扑的底层支持（数据来源）。拓扑同余技术的优点是能够比较来自数据的树，这些数据可能不具有严格的可比性，也不容易包含在同一分析中。 Planet P J . Tree disagreement: Measuring and testing incongruence in phylogenies . Journal of Biomedical Informatics, 2006, 39(1):86-102.

个人分类: 翻译作品|1355 次阅读|0 个评论

西子湖畔的相聚——第七届“子流形的几何与拓扑”学术研讨会侧记

hejunsun 2018-9-29 09:46

江南好，最忆是杭州。 2018 年 9 月 24 日 -28 日，第七届“子流形的几何与拓扑”学术研讨会在美丽的杭州举行，来自全国多所高校、科研院所的一百五十余位专家、学者相聚于美丽的西子湖畔。 子流形的几何与拓扑是微分几何中的重要、活跃的数学分支。该领域涌现出一大批代表我国数学研究水平、在国际上产生广泛影响的研究结果。此前，“子流形的几何与拓扑”学术研讨会已经连续成功举办六届。前六届依次在福建师范大学、南昌大学、武汉科技大学、河南师范大学、清华大学、武汉大学召开。该会议已经成为我国几何和拓扑学界重要的学术年会，是同行交流最新学术成果、研讨该领域前沿问题的重要平台。 这次会议由浙江大学数学科学研究中心主办，北京师范大学数学科学学院、浙江工业大学理学院协办。本次会议还得到了国家自然科学基金的资助。由方复全院士、刘克峰教授、许洪伟教授组成的组织委员会为会议的顺利召开和进行做了大量细致的工作。会议报到日恰逢中秋佳节。在第二天的开幕式上，张伟平院士、李安民院士、周向宇院士、刘克峰教授表达了对学术同仁能在中秋佳节欢聚一堂进行学术交流的喜悦。由忻元龙、彭家贵、李安民、王长平、张伟平、唐梓洲、李海中教授组成的学术委员会，精心安排了 18 个报告。周向宇院士、刘克峰教授作了一小时大会报告。 浙江大学数学系成立于 1928 年。之后，我国著名数学家陈建功教授和苏步青教授先后来浙江大学数学系工作，形成了知名的“陈苏学派”。 1952 年，全国院系调整，陈建功、苏步青等一批数学系骨干力量调至复旦大学，主体力量进入浙江师范学院。 1998 年，浙江大学四校合并，成立新浙江大学数学系。浙江大学数学系培养了程民德、谷超豪、夏道行、王元、胡和生、石钟慈、沈昌祥院士和熊全治、杨忠道、周元燊等一大批蜚声海内外的学者。创建于 2002 年的浙江大学数学科学研究中心在我国的数学研究、学术交流、人才培养等方面发挥了积极的推动作用。 浙江、浙江大学与中国微分几何的发展有深刻的历史渊源。被誉为“东方第一几何学家”的苏步青先生就主要从事微分几何学的研究，在仿射微分几何学、射影微分几何学研究方面取得出色的成果，在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论等方面取得了突出的成就。苏步青先生对中国几何学的发展产生了深远的影响，是中国微分几何学派创始人之一。华裔数学大师、 20 世纪最伟大的几何学家之一的陈省身先生就是浙江嘉兴人。与谷超豪先生誉为“数学王国里的神仙眷侣”的中国著名女数学家胡和生先生的研究生方向之一也是微分几何学。白正国先生从事的也是微分几何学研究，在射影微分几何、大范围微分几何、子流形几何等方面获得了许多重要的研究结果。 在学术交流之外，这次会议还有一个主题：祝贺沈一兵先生八十寿辰。沈一兵先生是我国著名的几何学家。 1962 年，沈一兵先生从杭州大学毕业，成为白正国先生的第一届研究生，毕业后留校任教。沈一兵先生主要从事黎曼 - 芬斯勒几何、几何分析的研究，在国内外发表学术论文 100 余篇。他是浙江省省级教学名师，他的教学受到学生的高度评价。他和白正国先生编写的《整体微分几何》、《黎曼几何初步》分别在 1990 年、 1995 年获得国家教育部科技成果奖、国家教育部全国高校优秀教材奖。直到今天，《黎曼几何初步》仍是从事几何学研究的重要入门参考书，也是研究生的重要教学用书。会议间隙，与会的全体人员用简朴而温馨的方式表达了对沈一兵先生的敬意和八十寿辰的祝贺。祝先生寿诞快乐，福如东海，益寿延年，欢乐远长。 最近，因为一则新闻，让一个历经 159 年都没能被证明的猜想、一位伟大的几何大师再次走进人们的视野。这就是现代微分几何的创立者之一的德国数学家黎曼和他的黎曼猜想。数学家们也再次吸引了普罗大众的目光。 数学是讲求严谨的一个学科，其结果也多是超脱于现实世界的公式、定理。因此，在许多人的眼里，数学家们一定是不食人家烟火、离群索居的一群人。很多人也会问：数学，尤其是几何和拓扑这样的基础数学有什么用？有两个例子可能最适合回答这个问题。一个是黎曼创立的黎曼几何在广义相对论中的应用。 1854年 ，黎曼在哥廷根大学发表了“论作为几何学基础的假设”的就职演说，由此创立了黎曼几何。在此后，有很多人都会问，高维的流形概念有用武之地吗？它和我们现实世界有何关联？ 1915 年，爱因斯坦创立的广义相对论回答了这个问题。事实上，黎曼几何和张量分析正是广义相对论创立的两大数学基础。引力波信号的发现是对广义相对论的又一力证，也是对微分几何、黎曼几何威力的有力佐证！另一个例子是拓扑相和拓扑相变理论。 2016 年，诺贝尔物理学奖杯授予来自美国和英国的三位物理学家，他们三位获奖工作是发现了物质的拓扑相和拓扑相变。正是拓扑学在物理学中的应用，导致了他们这一革命性的工作。而抽象的拓扑理论应用导致的这一获奖工作将推动拓扑材料、超导体在电子元器件中的应用，甚至有可能使量子计算机成为现实。因此，这里两个例子是对基础数学研究价值很好的一个说明： 基础数学也许不能在短时间内带来直接的经济效益，但其领先于现实世界的理论、方法和思想进步却具有潜在的巨大价值，时间终会证明这种进步给人类科技发展、社会进步带来的强大推动力！ 各个学科、数学的不同分支有着不同的学科特点。几何学是数学中最具代表性的分支之一。事实上，科学理论系统化的重要方法 —— 公理化方法就来自于几何学。而几何学对训练人的空间想象能力、逻辑思维能力的有效性也是众所周知的。而 从事几何学研究的数学工作者们更是将人类的思维运用到极致：只要一张纸和一只笔，他们就可以沉浸在自己的世界里，用自己的好奇心、用不落窠臼的创新思维、用实事求是的精神、用百折不挠的毅力去探寻纷繁复杂的自然现象背后蕴藏的真理，去书写人类心智的荣耀。所以说，这是一群具有匠人精神的科学行者。如果你有幸和他们有过相处、交流，你一定能体会到他们的为人正直、谦虚诚恳、治学严谨、实事求是、久久为功…… 张恭庆院士曾以“数学与国家实力”为题多次为国务院干部培训班做过报告，阐述数学与国家实力的关系。而回顾、分析前苏联和美国国力强盛的过程，都不难发现数学起了巨大的作用。在建设社会主义现代化强国和实现中华民族伟大复兴的征途中，作为基础中的基础，几何与拓扑学必能为中国数学的繁荣、中国科技的进步、中国国力的强盛做出进一步的贡献。 希望我们国家在加大对应用科学支持的同时，能重视数学对国家科技进步和国力提升的强大支撑作用，能加强对几何和拓扑学这样的基础数学学科的支持力度。 从而，让更多的大师开枝散叶、学术传承，让更多的中青年才俊有良好的科研环境、崭露头角，让几何和拓扑这颗数学上的珍珠在中国的大地上更加璀璨夺目！ 江南好，最忆是杭州。山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头。待他日，与君再重游！ 感谢会议组织者的精心组织，让我们记住西子湖畔的苏堤、断桥、月色，记住我们共处的美丽时光！祝愿各位前辈老师福泰安康、祝愿各位同仁万事顺意、祝愿大家元气满满再次前行！让我们共同期待下一年的再次相聚，细数一年的拼搏与收获。 2018年9月27日初稿于杭州 2018年9月28日再稿于南京

个人分类: 学术活动|4380 次阅读|0 个评论

拓扑、拓扑性质、拓扑相变、拓扑绝缘体和拓扑导体

热度 1 mohsh 2017-1-15 22:33

拓扑本意是指表面形貌，这个概念在地理学中指地表形貌，也就是地貌。由于地表形貌千差万别，但可以根据一些共性划分为一些类别，拓扑概念就有了表示一种地貌类别的共性特征的意思。这种意思被引入了几何学，并形成了一门学科拓扑学，描述了在连续变换下保持不变的特性，也就是虽然几何形状不同，但具有共同的特征，这种共同而保持不变的性质就是拓扑性质。在物理学中，很多特性属于拓扑性质，如液体表面、晶体的熔点、超导、量子霍耳效应等。这种物理上的拓扑性质一般要在满足一定的物理条件空间下才能存在，超出这个范围拓扑性质就会打破而发生相变。这种拓扑相变包括：非拓扑性质 - 拓扑性质相变、拓扑性质 - 拓扑性质相变、拓扑性质 - 非拓扑性质相变等类型。最近科学家发现了拓扑绝缘体等拓扑材料，这里的拓扑概念实际上既包含了 “ 不变 ” 之意，也包含“表面”之意。拓扑绝缘体是指一种基体为绝缘体，但其表面在一种保护下能够保持其导电性质不变，即使表面受到破坏，新形成的表面也会在保护下转变成一种导体。也就是说，拓扑绝缘体实际上是一种具有表面拓扑导电性的绝缘体材料。其受到保护的性质是表面导电性，在这种意义上，这种材料应该称之为拓扑导体材料。

8783 次阅读|1 个评论

ArcGIS简介与数据的组织采集方法

PatientHeart 2016-12-14 18:26

个人分类: ArcGIS|3 次阅读|0 个评论

手套的拓扑学

热度 22 freefloating 2015-12-22 21:04

手套的拓扑学：老妈两副胶皮手套都左手破了，说这也没办法配成一套了，太浪费了，我说，我有办法，把右手里外翻过来就是左手啦。看了吧，只要是对称就肯定能找到一种操作实现重合，而且是物理重合。 百度了一下“手套 拓扑”找到了百度词条里有这么一段：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。 没看懂，手套怎么搬到莫比乌斯带上呢？反过来不就易如反掌吗？

个人分类: 把问科研|9315 次阅读|75 个评论

没有收敛序列的聚点是否存在？（2）

热度 3 zhtprog 2015-4-7 03:36

上一篇 问了这个问题，但只探讨了一种可能性，且答案是否定的。这一篇我们来探讨一个肯定的例子。上一次讲得比较正式，因为我事先也不知道答案是什么，必须使用严格的数学推理才能保证不犯错误。而且找到了我自认简洁明了的表述方式，结果也让我吃了一惊，心中快活，发出来希望分享，虽然能分享的人可能不多。本篇的结果比较经典，主要是理解的问题，能够受益的朋友可能更多一些。 先复习一下背景，我们在探讨拓扑空间里的一些问题，见 应行仁老师的精选博文 。拓扑空间的结构是由开集的定义所决定的，在这里我们只需要使用一种比较自然的构造，相当于实数上的开区间。我们关心的是聚点（又称极限点，下面我会用这个名称来代替）和收敛序列之间的关系。 第一可数空间的极限点，都会有收敛于斯的可数序列。所以要找没有收敛序列的极限点，我们需要不是第一可数的空间。这些空间都很不平常！上一篇我们探讨了cofinite拓扑，但没有找到我们想要的例子。这一次我们来谈谈ordinal数和空间，找到我们要的东西！ ordinal数是集合论里的概念，和我们用自然数来数数息息相关。我们数数时很自然地有一个分配位置的概念，ordinal数要代表的就是这个位置。排位置自然地引入了一种次序（order），而且是一种完全次序（complete order），意即任给两个数，我们总能指出哪一个在前，哪一个在后。我们用来表示前后关系。ab表示a在b前。那我们如何排位置呢？学过计算机理论，甚或只是函数编程（functional programming）的朋友都会很容易理解： 1. 我们先定义一个零，作为最初的位置； 2. 我们再定义一个“下一个”的关系，每一个位置后面都还有下一个位置。 在集合论里，我们可以用空集{}来代表ordinal数的0。任给一个ordinal数x，我们说下一个ordinal数是所有前面的ordinal数的集合，标记为x+1。我们下面列一下头几个ordinal数和对应的自然数： 0：{} 1：{{}} 2：{{}，{{}}} 3：{{}，{{}}，{{}，{{}}}} 。。。 对于有限的数来讲，用ordinal数或自然数来标记位置没有真正的区别，我们可以都用自然数来代表（即我们在符号上可以交替使用，如0和{}，1和{{}}）。但是用集合的概念，我们注意到x既是x+1的元素，也是x+1的子集，x+1是x和{x}的并集！这样做是允许的，因为x本身就是集合。 同样，我们用（a，b）来表示a与b之间但不包括a，b的数的集合{x|ax, xb}，相当于自然数上的开区间。 和 的定义也与相应的区间概念等价。但是使用集合表述，我们注意到 则和a+1是同一个ordinal数！这很方便！但如果a不是0， 都不是ordinal数。（a，b）则从不是数。 到目前为止，我们的定义和自然数没有本质区别。用开区间定义的拓扑（order topology）也很平凡。所有的集合都是有限的，都没有集合外的极限点，也就不存在收敛的问题。但是，ordinal数的集合身份及a和区间 和 0 +1一样，等于 。 0 这个位置比较奇特。此前的ordinal数，除0外，都有“前一个“（x+1的前一个是x）。但”前一个“对 0 没有意义，我们找不到一个x+1是 0 的ordinal数x。这和没有一个最大的自然数同理。 引入 0 让我们的拓扑变得更有意思，它是我们的第一个极限点。我们考虑 上的拓扑，定义如前面的order topology。注意，这里的每个拓扑我们都认为是从一个更大集合上的拓扑诱导而来，因为我们要建越来越大的集合。因此，（a， 0 ]是 0 的一个（开）邻域。 由于没有前一个 ， 0 所有的开邻域都含有无穷多个元素（ordinal数），当然和 没有交集，而后者是 1 的邻域，所以该序列不在 1 的一个邻域中，也就不收敛于 1 。Eureka！找到了！在 上的order topology， 1 是[0, 1 )的极限点。但是[0, 1 )中没有收敛于 1 的可数序列。 仔细品味一下，为什么答案一下子就冒出来了？ 0 和 1 都没有前一个，所以都是极限点。不同的是， 0 有可数的邻域，但 1 的每一个邻域都是不可数的，一个可数的序列无法趋近之。注意”没有前一个“的重要性。为了构造一个邻域，我们需要提供一个在最前面的ordinal数。正因为没有前一个，我们能构造的邻域都有无穷个元素。 再说一下可数的概念。”可数“表达的是集合中的元素有多少，我们用cardinal数来代表。一个有限的ordinal数与代表其集合大小的cardinal数没有本质区别，都等同于与其对应的自然数。但在无限的时候就不一样了，所有的无限且可数的集合的大小都只有一个cardinal数来代表，记做N 0 （aleph-0）。集合大小的比较，通过集合间的一对一injective映射来建立。Gamow《从一到无穷大》介绍的无穷就是这个概念。比如我们前面用到的一个性质：可数个可数集合的并仍然是一个可数集合。我们很容易想象这个集合的集合到有理数的单射，（比如用有理数的分子对应一个集合，用分母对应分子指向的集合中的具体元素），而有理数是可数的。 我们知道，在正常实轴上，点之间可以有大小左右的比较，而且每个无理数都有收敛于其的有理数序列。这是因为实轴上可以建立距离的概念：给出实区间（a，b），（a+b）/2存在且能让我们建立测度上小一半的新区间，就象Xeno很多年前就认识到的那样。在ordinal数上，我们无法建立全集上可用的距离。乍一看，我们似乎可以定义x和x+1的距离为1，但这个概念只能用于局部，不能扩展到极限点。在实轴上则没有”下一个“的概念，任给一有理数或实数，我们无法说下一个有理数或实数是什么。正是这些不同造成了ordinal空间和正常实空间拓扑上的差异。 注：前文中的ordinal数的集合标记形式，源于现代计算机结构的发明人，称为Von Neumann数。 好了讲得够多了。其实这些概念Wikipedia上的文章都有很好的定义，而且如果从 讲第一可数空间的这一篇 起步，链接可以很方便地把人带到所有需要的定义。但是如果没有一个中心的话，这些文章讲的概念太多，让人无所适从。我为了搞清楚标题里的问题，只学习与其相关的部分，再补充我自己的逻辑演绎和理解，发在这儿与大家分享，希望能让这些概念更容易接受，当然如有错误与不足也希望能得到指正。 补充：细心读过上一篇证明的朋友，可能注意到我在建造序列时使用了一个有限出现的概念，特意排除了类似本文 的构造。因为上一篇我只需要证明存在性，我可以有任意限制序列构造的自由。涉及本文的显无穷的推理，其逻辑自洽性不是显然的，事关数学的逻辑基础问题，一定要小心，不然很容易出谬论。我平常关心机器证明，一般局限于计算机程序的设计，对数学的证明关心不多，因为水太深了。这一次没想到通过对抽象拓扑的一个问题的探讨，让我明白了很多以前仅限于耳闻的概念，高兴之余，写下来做个记录，也把思路做个梳理，基本到此打住。但以后如有时间和机会，可能会从机器证明的角度再写一些。

个人分类: 拓扑|6779 次阅读|7 个评论

没有收敛序列的聚点是否存在？

热度 2 zhtprog 2015-4-5 06:22

本篇是我自己推导的结果，为了不犯错，写得比较严格，而且对题目中的问题没有找到肯定的答案。关心标题问题的朋友可以先看 下一篇 ，更容易理解一些。当然喜欢严格推导的朋友，应该坚持下去，相信会有收获。 应老师有一篇 博文 讲拓扑。在应老师的尽心指导下，快速地学了一些拓扑学的知识。特别是 ”第一可数“和聚点的概念，没有以前接触过的印象，比较新鲜刺激。 应老师和Wikipedia指出，实数集R上的cofinite拓扑是第一可数的反例。这里先复习一下概念： 1. R的cofinite拓扑中的开集（{}除外）是R上抛去有限个点后的余集，也就是说，这个拓扑中的所有（R除外）闭集都只含有有限个点。 2. 拓扑空间第一可数的定义是其每一个点存在可数的邻域基。注意：邻域基是邻域的集合。 2’. 第一可数的 另一可能定义是 拓扑空间的任意子集合A如果有聚点x，那么A中都能找到收敛于x的可数序列。 说2'可能，是因为经过让我头疼的思考，仍然找不到反例。 2和2’不等价，相反，可以证明R的cofinite拓扑不是第一可数的，但是满足2‘。具体证明如下。 预备：  对一个序列x n   ，定义其suffix(N)为集合{x k |kN}。这样x n 收敛于x，iff（if and only if）对x的任何邻域存在N，suffix(N)是该邻域的子集   。对任意元素x，如果存在N，x不属于suffix(N)，我们说x在x n 中（最多）出现有限次。   任意含有无穷个元素的集合X上的cofinite拓扑都比较特别： 3. 由于所有的非空开集只从全集里抛去了有限数目的元素，任意一对非空开集的交都是一个非空开集。因此每一个元素都是任一非空开集的聚点。同理包含了一个非空开集的集合本身也是开集，X所有元素的所有的邻域都是开集。 4. 如果有一个序列x n ，X所有的元素每一个在序列中最多出现有限次，则该序列收敛于X的所有元素。这是因为对X任意元素x的任意邻域A，X-A是有限的，其每一元素在x n 只出现有限次，因此存在N，X-A和suffix(N)的交集为{}，suffix(N)是A的子集。 可见这个拓扑上的收敛很特别! 先证明R的cofinite拓扑没有可数的邻域基。这个证明对任何不可数的集合上的cofinite拓扑都成立。 用反证法。假设某一点x有可数的邻域基。取S为该邻域基中的邻域的补集的并集，由于每一个补集都是闭集，只含有有限的点，所以S可数。R不可数，R中存在不属于S的y且y不等于x。R-{y}是除y以外所有的点的邻域，也是x的邻域。R-{y}不包含该邻域基的任何一元，因为它们都含有y。这与邻域基的定义矛盾。证毕。 再证R的cofinite拓扑符合2’。这个证明对任何有无穷个元素的集合都成立。 考虑R的任意子集A，如果A的点数有限，A是闭集，所有的聚点都在A中，trivially存在序列收敛于聚点（对一般闭集而言，重复该点即可；在这个拓扑上闭集没有聚点，就更trivial了）。如果A的点数无限，参照4，从A中取点构造x n ，R中的任一点在x n 中最多出现有限次，据4，x n 收敛于R的所有的点，当然包括（事实上等同于）A的所有聚点。 按应老师文中的定义，cofinite拓扑定义T 1 空间，而非Hausdorff空间，是比较粗糙的拓扑，实际意义恐怕不大，但可以为理解拓扑的概念练练兵。多谢应老师的辅导！

个人分类: 拓扑|6490 次阅读|5 个评论

[NSR Perspective] 贾金峰——在拓扑绝缘体中创建Majorana费米子

sciencepress 2014-3-27 17:27

Creating Majorana fermions in topological insulators http://nsr.oxfordjournals.org/content/1/1/36.extract HOT ！ 由上海交通大学物理与天文系刘灿华、贾金锋教授共同撰写的观点文章Creating Majorana fermions in topological insulators（译名：在拓扑绝缘体中创建Majorana费米子）已在 National Science Review （NSR ） 2014 年3 月份的创刊号 上发表。 这篇观点文章先简要地介绍了Majorana费米子在凝聚态物理学领域当中的概念、特性和存在形式，然后介绍了如何在拓扑绝缘体的表面创建Majorana费米子并通过实验加以探测的研究现状及科研前景。 Majorana 费米子这一概念最初是于1937年，在粒子物理学领域当中为了描述与自身的反粒子同体的一类费米子而提出来的。但至今，尚未有严格的实验证据表明某个实体粒子是Majorana费米子。在凝聚态物理学领域当中，存在着许多准粒子，当中的某些可视为粒子与反粒子。在特定的条件下，这些互为正反的准粒子由于具有完全一样的自旋以及零电荷和零能量，从而符合描述Majorana费米子的方程。而且，成为Majorana费米子的准粒子由于具有非阿贝尔的统计特性，而且对去相干具有极强的抵抗性，所以很适合用于量子计算，从而在近年引起了广泛的研究热潮。 比如，超导体的超导能隙当中的对称能级处的电子激发态与空穴激发态，就可视为一对正反准粒子，他们在费米面处的同权叠加态，就可构建出Majorana费米子。不过，一般的超导体由于其库珀对的轨道角动量多为零（s波超导体），所以是无法在费米能级处形成零能量的电子与空穴的同权叠加态。只有在一些特殊的超导体当中，库珀对的轨道角动量为1的时候（p波超导体），才能构建出符合Majorana费米子特性的准粒子。但p波超导体材料并不多见。有理论科学家发现，将s波超导体放到拓扑绝缘体表面，由于该表面态电子的自旋与角动量是藕合在一起的，所以通过近邻效应引入到该表面的库珀对就可形成类似于p波的配对形态，从而在特定条件下（比如外加磁场下的vortex中心部），构建出Majorana费米子。 近年来这方面的实验进展非常迅速。比如中科院物理所吕力研究员带领的团队，就率先在拓扑绝缘体的表面探测到了因近邻效应而引入的超导特性 。上海交大贾金锋教授的团队与合作者一起，则率先在s波超导体的表面生长出了高质量的拓扑绝缘体（TI/sSC异质结），并且从实验上证实了拓扑表面态与超导态的共存 。最近，该研究团队还成功的在该TI/sSC异质结表面观测到了磁场下的vortex，并在vortex中心部检测到了包括Majorana费米子在内的bound states和Majorana费米子存在的迹象 。而清华大学薛其坤教授的研究团队与周树云教授合作，将高质量的拓扑绝缘体薄膜生长到了高温超导体的表面，并观测到了拓扑表面态的超导能隙，从而为探测Majorana费米子创造了更为有利的实验平台 。Majorana费米子探测到工作方兴未艾，相信在不远的将来人们能够捕捉到这种神秘的粒子。 图1. 拓扑表面态与超导的共存，以及拓扑绝缘体薄膜表面的vortex和零偏压峰。(a) 6层Bi2Se3 薄膜上测得到拓扑表面态。(b) 扫描隧道谱测得的费米面附近的态密度表明存在一个超导能隙。(c) 生长在超导体NbSe2 衬底上的拓扑绝缘体Bi2Se3薄膜的STM形貌图。 (d) 在vortex中心测得的芯能级峰，Majorana费米子就隐藏在这些芯能级中。(e) 单个的vortex。 引文列表： F. M. Qu et al., Sci. Rep., 2, 339 (2012). M. X. Wang et al., Science 336, 52 (2012). J. P. Xu, et al., arXiv: 1312.3713 (2013). J. P. Xu, et al., arXiv: 1312.7110 (2013). E. Wang et al., Nat. Phys. 9, 621 (2013). 原文详见 National Science Review 网站： SPECIAL TOPIC: TOPOLOGICAL INSULATORS- PERSPECTIVES Canhua Liu and Jin-Feng Jia Creating Majorana fermions in topological insulators d oi :10.1093/nsr/nwt036 (2 pages) o Abstract o Full Text (HTML) o Full Text (PDF)

个人分类: 国家科学评论|8033 次阅读|0 个评论

《数理同源》-1-从威滕的菲尔兹奖说起

热度 47 tianrong1945 2014-2-20 09:34

引言：从威滕的菲尔兹奖说起 伟大的科学巨匠中，爱因斯坦在公众中的影响力无人能比，他的头像连小学生都认识，他的名字家喻户晓。如今，这位伟人离开这个世界已经超过了半个世纪，他所作出的几项最杰出的贡献，包括 1905 年提出光电效应和狭义相对论，以及 1915 年建立的广义相对论，也都已经是 100 年之前的故事了。伟人是否后继有人呢？这几十年的历史时期中，为了继承这位先辈的衣钵，理论物理学家们作了哪些努力？ 十分令人感到遗憾，爱因斯坦将他天才的后半生贡献给了一项前途渺茫的研究。他一直在理论物理中寻找一条统一之路，企图将所有的物质及各种基本的相互作用，囊括在一个单一的理论框架中。尽管爱因斯坦为此奋斗了几十年没有获得成功，但这个大统一之梦，已经深深扎根在理论物理学家们的心中，一直是理论物理学研究的中心问题之一。 1951 年，也就是爱因斯坦在 72 岁寿诞时留下他那一张著名的吐舌头照片的那一年，一个婴儿降生在美国巴尔的摩，一个研究广义相对论的犹太裔理论物理教授家里。 图 1.1 ：爱因斯坦 72 岁那年，威滕诞生于离普林斯顿不远的巴尔的摩 他就是现在普林斯顿高等研究院的数学物理教授，如今已成为最著名的理论物理学家之一的爱德华·威滕（ EdwardWitten ， 1951- ）。 尽管父亲路易斯•威滕是研究广义相对论的理论物理学家，年轻时威滕的梦想却是走向人文之路。他高中毕业后进大学主修历史，打算将来成为一名政治家或记者，毕业后还曾经参与支持一位民主党候选人的总统竞选工作。不过后来，他感觉从政的道路上容易迷失自我，因此“半路出家”、“迷途知返”而杀向了理论物理。从他 21 岁进入普林斯顿大学研究生院开始，他对物理及数学的兴趣骤增，并且钻进去便一发不可收拾。由于威滕在物理及数学领域表现出与众不同的才能， 29 岁便被普林斯顿大学物理系聘为教授。 威滕的物理直觉惊人，数学能力超凡。上世纪 80 年代，笔者在奥斯丁大学相对论中心读博期间，听过与温伯格一起工作的，一位年轻而知名的弦论物理学家评价威滕。具体原话记不清楚了，大意是说：在当今的粒子物理领域中，只有威滕是理论物理学界的莫扎特，相比而言，我们都只能算作宫廷乐师！ 那位物理学家当年还津津有味地描述了 1984 年 11 月的那天，威滕在普林斯顿大学就弦论作报告时的精彩热闹情景。威滕这位当时涉猎弦论和量子场论并不太久的年轻人，以他关于卡拉比 - 丘流形紧化的文章 【 1 】 ，在理论物理界掀起了一个超弦风暴。后来人们用“第一次超弦革命”来命名这段弦论红火的短暂时期。 到了 1990 年，弦论研究处于低谷，却传来了国际数学联盟授予威滕数学界最高奖项 -- 菲尔兹奖的消息。 爱德华·威滕是第一位，也是迄今为止唯一的一位被授予菲尔兹奖的物理学家。 著名英国数学家迈克尔·阿蒂亚（ MichaelAtiyah ），当年被邀请在菲尔兹奖颁奖大会上介绍爱德华·威滕的工作，他因事未能出席大会，但他在书面发言中如此评论威滕： 【 2 ， 3 】 “虽然他绝对是一位物理学家，但他对数学的驾驭能力，足以与数学家媲美……他一次又一次超越了数学界，以巧妙的物理直觉导出新颖深刻的数学定理……他对现代数学影响巨大……凭着他，物理再次成为数学的丰富灵感和直觉的源头。” 的确如此，从威滕几百篇论文涉及的课题来看，大多数是物理方面的。他是弦论的开创者，研究量子场论的专家， 1995 年，他提出的 M- 理论掀起弦论的第二次革命。除了物理之外，威滕对相关的数学方面作出许多贡献，我们在后面的章节中还会介绍，这儿就其与菲尔兹奖有关的工作简单概括为如下几点。 （一）正能量定理 爱因斯坦广义相对论的核心是引力场方程。著名美国物理学家约翰·惠勒曾经用一句话来概括广义相对论：“时空告诉物质如何运动，物质告诉时空如何弯曲” 【 4 】 。这句话的意思就是说，时空和物质通过引力场方程联系到了一起。这个方程的一边是物质的能量动量张量，另一边则是由四维空间的曲率及其导数组成的爱因斯坦张量。引力场方程的解描述在一定的物质分布下时空的几何性质，它实际上是一个二阶非线性偏微分方程组，要想在数学上求得此方程组的解非常困难。方程只在某些特殊情形下有解析解，比如，引力场方程的真空解是平直的闵可夫斯基四维时空；物质分布为球面对称的准确解称为史瓦西解。 尽管求解引力场方程困难重重，但根据它来研究物质及空间的种种性质却行之有效。为此物理学家们作了种种努力，正能量定理（或称正质量猜测）便是沿此思路而导出的一个漂亮结果。定理的大意如此：如果在一个引力系统中，物质被包围在一个有限的范围内的话，引力场方程的解是渐近的闵可夫斯基四维时空，也就是说，在距离这个物质区域足够远的地方，时空可以近似看作是平坦的。对这类渐近平坦引力体系，可以定义一个总能量值，即系统的全部能量之和。人们猜测：这个值是一个正数或零，并且，当且仅当该引力系统是完全平坦的闵可夫斯基空间时，该总能量值才会为零。进一步，从这个定理可以推出闵可夫斯基空间是引力场方程的一个稳定基态解。 是美籍华裔数学家丘成桐，使用非线性偏微分方程中的极小曲面理论，在 1979 年对此猜想给出了一个完全的证明。这在当时是一个了不起的工作，也是丘成桐之后获得 Fields 奖的主要成就之一。 两年后的 1981 年，威滕用线性偏微分方程理论，源于物理中经典超引力的思想，对正能量猜测给出了一个十分简洁的证明 【 5 】 。 （二） Morse 理论 记得在中科院理论物理所读研时，指导教授用一个笑话来解释拓扑方法与分析方法的区别： 人们需要捕获山中的一只老虎。如何解决这个难题呢？作数学分析的专家回答：你们必须首先选择一个坐标，确定老虎某时某刻所在的准确位置，老虎离你们的距离等等，然后，吧啦吧啦吧啦……。而拓扑学家则说：不需要那么复杂的细节呀，你们只要建好一个关老虎的笼子，然后，再对整个空间作一个拓扑变换，将笼子外变换成笼子内，老虎不就关进笼子里了吗…… 这个笑话也许不算十分准确，但却大概地表明了拓扑学的基本方法：它不在乎位置、距离、大小这些与度量有关的东西，而只研究曲线或曲面（或流形）连续变换时的性质。 不过实际上，拓扑的方法与分析的方法是可以关联起来的。研究表明，流形的整体拓扑性质，可以与流形上函数的性质密切相关。莫尔斯（ Morse ）理论，就是通过研究流形上的函数性质，来得到流形的拓扑信息。 莫尔斯理论是微积分与拓扑的结合，属于微分拓扑范畴。它通过研究流形上的函数全部临界点的性态，来探索流形的整体拓扑性质，因而也被称为临界点理论。所谓临界点，就是一阶导数为 0 的点，对应于大家熟知的平面曲线上的极值点，是这个极点概念在泛函、变分、和流形上的推广。莫尔斯理论的核心是莫尔斯本人于 1925 年推广极小极大原理而得出的莫尔斯不等式。 威滕的工作则是给出了 Morse 不等式的一个新证明，把临界点理论和同调伦联系起来。人们认为，威滕 1982 年就此工作发表的论文标志着“量子数学”的开端 【 6 】 。 （三） Knots 扭结理论 扭结理论是拓扑学的一个分支，它研究的是嵌入三维空间中的一维圈状图形的拓扑结构，因而又将其俗称为“绳结的数学”。从人类文明之初开始，绳结就与人类的生活纠结在一起，简单如系鞋带，复杂如织毛衣，这些生活体验都与绳结的结构相关联，还有历史悠久传遍世界的美丽而智慧的“中国结”，更是一个令国人自豪的例子。 虽然绳结的历史已有几千年，“扭结”发展成数学上的一门学科，却只是一百多年之前的事，这得归功于数学王子高斯（ CarlFriedrich Gauss ， 1777-1855 ）。 拓扑学研究中的核心问题之一是拓扑变换中的不变量。不变量具有将不同拓扑形状分类的能力，各种拓扑不变量的分类能力有所不同，有的能力强，有的能力弱。找到能力更强的拓扑不变量是拓扑学研究的目标之一。在扭结理论中，有一类重要的不变量以多项式的形式表示，最早（ 1923 年）提出的亚历山大多项式一直被用来对各种扭结形态分类，但人们发现它的能力不够强，无法区分某些显然不一样的扭结，比如手征性不同的扭结，这个困难直到 60 多年后的 1984 年才被新西兰数学家沃恩·琼斯（ VaughanJones ， 1952- ）发现的琼斯多项式（ jonespolynomial ）所解决。琼斯由此而在 1990 年，与威滕等共 4 名数学家共同分享该年的菲尔兹奖。 威滕的贡献则是将琼斯多项式的有关理论带到了物理学界，将规范场理论中使用的陈省身 - 西蒙斯理论（ Chern–Simonstheory ）与琼斯多项式结合起来，他的方法对低维拓扑的研究有深远影响。因为威滕的工作，扭结理论重新成为理论物理学家们的宠儿 【 7 】 。对此我们将在后面正文的“拓扑”部分作更多的介绍。 其实，历史地看，威滕作为一个理论物理学家得到菲尔兹奖，也不是很奇怪的事情。理论物理和数学，本来就是同宗同源的兄弟，他们时分时合，源远流长，交叉渗透，互相影响。从伽利略和牛顿开始，到高斯、傅立叶 、 麦克斯韦、庞加莱、 希尔伯 特，以及近代的杨振宁、威滕等等，一个个人物都既懂物理，又通数学。更有趣的是，物理学界称他们为物理学家，数学界则称他们为数学家。因此，自古以来数理同源，数学为物理学家提供解决问题实现理论的漂亮手段，物理则在一定程度上，成为数学家灵感和直觉的重要源泉。 这个博文系列将带领你追溯数学物理的源头，从微积分及变分法的发现历史开始，到相对论与黎曼几何，量子理论与拓扑，以及群论和随机过程在物理中的应用等等，带你进入数学物理及与其发展紧密相关的理论物理的大门。 参考文献： 【 1 】 PCandelas, GT Horowitz, A Strominger, E Witten ， Vacuum configurations forsuperstringsNuclear Physics B 258, 46-74 ， 1985 【 2 】 L DFaddeev, On the work of Edward Witten, Addresses on the works of Fieldsmedalists and Rolf Nevanlinna Prize winner (Tokyo, 1990). 【 3 】 MAtiyah, On the work of Edward Witten, Proceedings of the International Congressof Mathematicians, Kyoto, 1990 I (Tokyo, 1991), 31-35. 【 4 】 Wheeler,John A. (1990), A Journey Into Gravity and Spacetime, Scientific AmericanLibrary, San Francisco: W. H. Freeman 【 5 】 E,Witten: A new proof of the positive energy theorem, Comm. Math, Phys. 80 (1981) ， 381 【 6 】 E.Witten; Supersymmetry and Morse theory. J. Diff. Geom. 17 (1984) 661 【 7 】 E.Witten: Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm, Math, Phys, 121 (1989) 351 下一篇：微积分 系列科普目录

个人分类: 系列科普|32373 次阅读|90 个评论

《硅火燎原》-31-(续)拓扑绝缘体

热度 11 tianrong1945 2013-12-3 08:55

31.拓扑绝缘体（续）（系列完结篇） 上节中介绍的石墨烯，由于它独特的物理性质而引起了人们的兴趣。它的无质量的相对论性准粒子，被观察到的整数及分数量子霍尔效应，为基础物理研究的许多方面，提供了理论模型和实验依据。它优异的电子输运性质，又使其在自旋电子学等工程领域可能得到广泛的实际应用。 图 31.1列出了石墨烯及量子霍尔态等几种物态在费米能级附近的能带图。 从图 31.1中的（a）和（b），我们可以看到双层和单层碳原子结构能带形状的不同。前者是抛物线型接触，而后者是线性的。（必须提醒注意的是，我们所说的这两种石墨烯能带图都是指在二维空间中能无限延伸的理想晶体之能带图。） 那么，量子霍尔态的能带形状又如何呢？ 图 31.1：两种石墨烯及量子霍尔态等能带图之比较 图 31.1c是量子霍尔态的能带示意图。它的导带及价带在费米能级附近的形状，接近抛物线，类似于普通绝缘体。但是，我们在上一节中也说过，量子霍尔态体内虽然是绝缘体，但它们由于边缘态的存在而导电。在图中，量子霍尔态的边缘态是一条连接导带和价带的直线。因此，量子霍尔态在低能态附近的行为，和石墨烯相仿，能量和动量的关系也是线性的，也存在无质量的相对论性准粒子。 因为量子霍尔态的实现需要强大的外磁场，由此人们将兴趣转向不需要磁场的量子自旋霍尔效应，并且在实验室里已经多次观察到了此种现象。对量子自旋霍尔态而言，不同的自旋有不同的边界态，因此，在图 31.1d所示的自旋霍尔态能带图中，有两条直线连接导带和价带，它们分别对应于自旋上和自旋下的边缘电流。这种情形下的能带图，看起来与理想石墨烯的能带图更为类似了。 普通的绝缘体，也可能产生边缘态而形成边缘导电，但却和前面两种情形下的边缘态有本质的区别。图 31.1e画出了普通绝缘体的能带。图中的边缘态曲线与费米能级相交，意味着在此绝缘体中可以存在边缘电流。 再仔细对照一下 c、d、e三个图边界态的异同点便不难发现，即使从这三个简单图中，也可以看出一点刚才所谓的“本质区别”来：普通绝缘体的那个边缘态的导电性是不稳定的：系统的缓慢连续变化可以使导电性增加或消失。比如说，在缓慢变化下，这个边缘态可以降低到与价带相交而增加导电性，但也可能渐渐升高而脱离费米能级线，最后被归类到导带中，而使得边缘失去导电性。但是，图c和图d所示两种量子效应下的边缘态，却是一条直线，直通通的从上到下，将导带和价带绑到一起，这个连接方式不会因为系统的缓慢连续变化而改变。或者说，图c或d，与e的不同之处，可以用一句话概括：边缘态的拓扑结构不同。图e所示边缘态的拓扑结构是平庸的，而图c或d的边缘态则非平庸，其导电性能受其拓扑性质所保护，这一类的量子物态，便被称为“拓扑绝缘体”，以区别于平庸的普通绝缘体。真空属于普通绝缘体。 前面的叙述中，为什么总是要加上一句“系统缓慢连续变化”呢？这句话的意思，在数学上是为了保证系统的拓扑性质不变，在物理上则是保证系统不发生量子相变。比如说：一坨类似球形的面团，如果被你缓慢连续地揉来揉去，仍然是类球形的一坨面。但如果你把它从中间挖了一个洞，那就不是保持拓扑性质不变的“缓慢连续”变化，而是“相变”了。 刚才是用简单的图像来说明拓扑绝缘体与普通绝缘体的基本不同点。现在让我们在这条路上走得更远一些。其实，图 c、d、e中边界态的拓扑性质只是表面现象，并不足以解释拓扑绝缘体的本质，边界态表现不同的更深层原因，是由于体材料能带拓扑的不同。 当两个拓扑特征不同的绝缘体放在一起，就会产生导电的边界态。界面变成金属性，才能实现两种拓扑特征的连续变化。 既然是用拓扑性质来区分量子态，那么，便需要找一个拓扑不变量来表征不同的态。这个拓扑不变量通常对应于参数空间中不可积的贝里相位，贝里积分是在体材料的动量空间中进行，与边缘态无关。由此再次证明，是体材料的能带拓扑结构决定了边缘态的拓扑结构，从而才又决定了拓扑绝缘体的那种“被拓扑保护、不受杂质和缺陷干扰”的边缘导电性。 对整数量子霍尔态而言，这个拓扑不变量就是在动量空间计算出来的“第一陈数”，它同时也等于与经典朗道能级有关的填充因子 n。朗道能级是由外磁场而产生的，所以，正如我们从描述整数量子霍尔效应的电阻平台示意图所见，实验中观察到的n与外磁场强度有关。但是，在量子自旋霍尔效应中，外磁场强度等于0。也就是说，量子自旋霍尔效应的n值只能为0，换言之，不能再用第一陈数来表征量子自旋霍尔态了。 那么，有什么其它的不变量，能用来表征量子自旋霍尔态呢？ 量子自旋霍尔态的特点是不存在外加磁场，因而，在一定的条件下可以具有时间反演对称性。“时间反演”，什么意思？顾名思义嘛，那就是将时间的流逝方向反过来。当然，真实的世界中时间是不会倒流的，但是电影技术为我们提供了一个用想象来检验时间反演特性的最佳场所。如果将一个个的电影画面反过来放，就能模拟时间反演的过程。从倒放的电影中我们会发现：有些东西（物理量）是正放反放不变的，而有些是改变的。比如说，我们考虑电磁场中的运动电子所涉及的几个物理量：位置将不受时光倒流的影响，但速度要反向；电子的电荷是时间反演不变的，但因为速度反过来了，所以电流要反向；电场强度 E是时间反演不变的，而磁场B要反向。磁场反向的原因是因为磁场是由电流产生的，时间倒过来时，电流反向了，因而磁场也反向了。 由上可知，磁场不是时间反演不变的。量子自旋霍尔态没有磁场，因而便有可能保持系统的时间反演对称性。或许可以利用这点来找出表征量子自旋霍尔态的守恒量？ 相关于时间反演不变性， Kane and Mele提出用Z2不变量来区别拓扑绝缘体和普通绝缘体 【 1】 （Z2是指有两个元素的循环群）。在他们的模型中，将自旋霍尔态看成两个（自旋上和自旋下）边缘电流方向相反的整数霍尔态的合成，见图31.2。 图 31.2：自旋下的IQHE加自旋上的IQHE等于QSH 两个整数量子霍尔态相加，外磁场互相抵消了，剩下两个方向相反的自旋流，表现为量子自旋霍尔态。这两个 IQHE，可以分别用自旋陈数n 上 （自旋上）和n 下 （自旋下）来表征。Kane等人证明，时间反演对称性要求：n 上 + n 下 = 0，所以，总陈数为零。但是， n S = （n 上 - n 下 ）/2 不会等于 0。并且，他们还证明，可以用n S 的奇偶性来描述合成量子态的非平庸性：当n S 为奇数时，系统是非平庸的拓扑绝缘体；当n S 为偶数时，系统是平庸的普通绝缘体。 因此，类似于 IQHE中的陈数n，定义一个Z2拓扑不变量 n = n S mod（2）。不变量 n 便可以用来表征二维拓扑绝缘体。这个概念还可以扩展到三维的拓扑绝缘体，即用 4个Z2不变量来表征三维拓扑绝缘体 【 2】 。 与文小刚提出的属于长程整体纠缠的拓扑序概念不同 【 3】 ，拓扑绝缘体和量子自旋霍尔态是属于更局域的短程量子纠缠态。它们也可以看作是被某种对称性所保护的拓扑序的例子：拓扑绝缘体被电荷守恒和时间反演所保护；而量子自旋霍尔态则被电荷守恒和 z方向自旋守恒所保护 【 4】 。 前面讨论的量子自旋霍尔态，是假设材料中两种自旋的密度在费米能级附近是相等的。反之，如果某一个方向的自旋被抑制，比如说，在某种材料中掺入某种铁磁性杂质，这样，就将破坏时间反演对称性，并有可能得到另外一种也不需要强大外加磁场的量子物态：量子反常霍尔效应。 刚才几句话说起来容易，实现起来却是非常困难。中国科学院院士薛其坤带领的团队， 2013年在世界上首次发现了量子反常霍尔效应。对此我们不再作更多的介绍，请见参考资料 【 5】 。 拓扑绝缘体及各种量子物态拓扑分类的理论中，仍有许多尚待解决的问题。这其中涉及的概念，既关联到基础物理思想，也包括不同领域的数学理论。总之，大门已经敞开，理论还需完善，精度日益提高的实验技术，也将供给我们越来越精确的数据。随着越来越多的不同量子态被研究、被发现，物理学必将继续造福文明社会。 参考资料： 【 1】C. L. Kane and E. J. Mele，Z2Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect，Phys.Rev. Lett. 95, 146802 (2005)。 【 2】 余睿、方忠、戴希， Z2拓扑不变量与拓扑绝缘体，《物理》2011年第7期 462-468页 【 3】Topological order from wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_order 【 4】Quantum spin Hall state from wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_spin_Hall_effect 【 5】Chang C Z, Zhang J, Feng X, etal. Experimental Observation of the Quantum Anomalous Hall Effect in a MagneticTopological Insulator . Science, 2013. （全文完） 上一篇： 系列科普目录

个人分类: 系列科普|28773 次阅读|28 个评论

《硅火燎原》-30-拓扑绝缘体简介

热度 13 tianrong1945 2013-11-26 09:07

30.拓扑绝缘体简介 最后，对拓扑绝缘体作一简单介绍。 拓扑绝缘体是一种不同于金属和绝缘体的全新的物态，它最直观的性质就是其内部为绝缘体，而表面却能导电。就像是一个绝缘的瓷器碗，镀了金之后，便具有了表面的导电性。不过，我们之后会了解到，这是两种本质上完全不同的表面导电。镀金碗表面的导电性，对瓷器来说是外加的，将随着镀层的损坏而消失。而拓扑绝缘体的表面导电是源自绝缘体的内禀性质，杂质和缺陷都不会影响它。 广义而言，前面介绍过的量子霍尔效应所对应的物态，就是二维的拓扑绝缘体。大家还记得第 27节中曾经提到过整数量子霍尔效应的边缘导电性，我们可以从电子的经典运动图像来理解它：位于二维电子气中间部分的电子，大多数处于局域态而作回旋运动，只有边界上的电子，它们不能形成完整的回旋，最终只朝一个方向前进，从而形成了边界电流。 从图 30.1a所示的电子运动经典图像，还可以看出电子回旋运动的方向是与外磁场的方向密切相关的，并由此而造成了边界电流的手征性。手征性的概念与机械中螺纹的方向是左旋还是右旋类似，在经典电磁学中则对应于右手定则确定的磁场中电子的运动方向。尽管图30.1a中使用右手定则而得出的边界电流方向是来自于经典理论，但与量子力学预言的结果是一致的。 从量子理论的计算还可以证明，这个边界电流是因为其边缘存在无耗散的一维导电通道而形成，这种一维边界量子态通道模式的数目就是整数量子霍尔效应的朗道能级填充因子 n。而同时，这个n又与哈密顿量参数空间，或者动量空间的拓扑性质有关。在上一节中我们曾经提及，n其实就是这个动量状态空间的被称为“第一陈数”的拓扑不变量。那么，也就是说，IQHE中边界电流的性质是由物质结构动量空间的拓扑性质所决定的。这句话是什么意思呢？它的意思是说，边界电流的性质，包括无耗散、手征性、电流方向等等，不会轻易改变，除非发生了量子相变，使得动量空间的拓扑性质有所改变。这也就是通常相关文献上所谓“边界电流受拓扑保护”的意思。 图 30.1：量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应的边缘电流 随着对量子霍尔效应的理解逐渐深化，人们意识到其边界电流的特殊性。特别是无耗散这点，当然更是吸引着被“摩尔定律即将终结”所困惑着的科学家和工程研究人员们。 摩尔定律的终结归根结底是由于电流在尺寸太小的半导体器件中的发热和损耗。从经典热力学的观点来看，封闭系统中的运动总是从有序到无序，熵总是不断增加。电路中电子的有序运动最终将转换成无规的热运动而耗散掉。要想延缓摩尔定律，必须尽可能地减少电路中的发热和损耗。这方面，微观世界里的奇特现象也许能给我们一些启迪。比如说，带负电的电子绕着带正电的原子核旋转，从经典理论看，它应该发射电磁波损耗能量而终止运动。但事实情况并不如此，电子的绕核运动是没有损耗的，它们可以永远地转下去。那么，是否可能让我们利用一点这种微观运动的特殊优势，来解决我们宏观世界中“摩尔定律即将终结”的倒霉命运呢？ 量子霍尔效应的边缘电流便具有无耗散的性质，如果能对此加以利用就好了。几十年前，冯•克利青在研究 MOSFET材料时，发现了这种奇特的效应，如今是否能将这种效应改进推广，再返回来应用到电子工业中造福人类呢？ 实际应用量子霍尔效应的困难是在于它需要一个十分强大的磁场。但是，在霍尔效应的经典家族成员中，也有两个成员是不需要外加磁场的，其一就是霍尔自己在发现正常霍尔效应三年之后在铁磁物质中观察到的反常霍尔效应；其二则是很早就被理论预言，但直到 2004年才被实验证实的自旋霍尔效应。既然已经有了这两种不需要磁场的经典成员，就也应该有可能观察到它们的量子对应物：量子反常霍尔效应和量子自旋霍尔效应。或者说，我们有可能在实验室里制造出一些全新的物态来：量子反常霍尔态和量子自旋霍尔态。 1988年，美国普林斯顿大学的物理学家霍尔丹（F.D. M. Haldane），第一个预期了没有磁场的量子霍尔效应 【 1】 。 量子新物态的构想令人兴奋，特别是其中的量子自旋霍尔态，不是正好也能用上电子自旋这个自由度，与近年来方兴未艾的自旋电子学联系起来吗。 如何才能得到量子自旋霍尔态呢？在这个研究方向上，分别有两位物理学家独立地作出了二维量子自旋霍尔态的理论预言。一是美国宾州大学的查尔斯·凯恩（ Kane）教授，他采用了霍尔丹1988年提出的模型， 于2005年第一个在理论上设想了量子自旋霍尔态，并认为这种效应有可能在单层石墨烯样品中得以实现 【 2】 。另一位就是美籍华裔科学家，斯坦福大学的张守晟教授，他在2006年提出在HgTe/CdTe量子阱体系中，由于该物质存在一种“能带反转”，有可能实现量子自旋霍尔效应 【 3】 。 量子自旋霍尔效应，如图 30.1b所示，不需要外加磁场。当自旋和轨道的相互耦合作用足够大的时候，可以代替外磁场的作用，产生边缘电流。但是，由于电子自旋有两种：自旋上和自旋下，它们与轨道的耦合作用正好产生两股方向相反的电流。如果材料中两种自旋电子的密度相同的话，两种自旋流的电荷效应互相抵消，总电流为0，但总自旋流却不会为0。这样，利用以前我们介绍过的自旋电子学器件，便可能在给定的方向上，得到我们所需要的自旋流，并将其应用于电路中。 后来的研究工作表明，石墨烯中的自旋轨道耦合作用很小，因此很难观测到量子化的自旋霍尔效应。而张守晟所预言的 HgTe/CdTe量子阱体系中的量子自旋霍尔效应，很快便被德国Molenkamp研究团队的实验所证实 【 4】 。 如何从拓扑的角度来看待上面所述的二维量子自旋霍尔态呢？ 拓扑绝缘体所提及的拓扑，与材料本身在真实空间的拓扑形状是完全无关的。这点大家早就知道了，只不过在此重新强调而引起重视而已。当我们只涉及单电子图像、不考虑多体运动时（比如，将分数量子霍尔效应除外），仍然可以用能带理论来解释拓扑绝缘体。如果从能带论出发而谈及的拓扑，则指的是材料在布里渊区域中与能带结构有关的拓扑结构。 图 30.2：石墨烯的晶格结构及能带结构 理论物理学家为什么首先想到在石墨烯中寻找量子自旋霍尔态呢？应该是石墨烯的特殊能带结构启发了他们的思维。凯恩当初也就是在石墨烯的霍尔丹模型基础上，提出量子自旋霍尔态的。 石墨烯可算是一种最薄的晶体材料，因为它只由一层碳原子组成（见图 30.2a）。 早在 1947年，加拿大理论物理学家P. R. Wallace，就从理论上研究了石墨烯的能带结构 【 5】 。但是，长久以来，人们从热力学的观点认为这种单层二维的晶体结构不稳定，因而现实中不可能存在。 不过，真实情况却往往出乎人们的意料之外。 2004年，曼切斯特大学的两位物理学家：Andre Geim 和Konstantin Novoselov，成功地用一种初看起来似乎有些幼稚可笑的方法，在实验室里得到了稳定的石墨烯！他们的方法再简单不过，听起来好像小学生都会做，就是把层状石墨（构成铅笔芯的物质）在胶带上反复地撕开和粘贴，如此往复循环，便能使石墨样品的层数不断地减少，最后达到的极限便是只有一层原子的石墨烯。因为此项贡献，两位物理学家得到了2010年的诺贝尔物理奖 【 6】 。 石墨烯的能带结构很特别（图 30.2b），尤其是它在6个对称的K和K ’ 点附近的锥形结构。正是它们造就了石墨烯非同寻常的电学物理性质。 从图 30.2b右边放大了的锥形图可见，纯石墨烯能带中的导带和价带，还有费米能级，线性相交于一个点。这个点被称为“狄拉克点”。导带和价带则表现为上下对称的锥形，称之为“狄拉克锥”。 像石墨烯能带具有的这种“狄拉克点”是很特殊的。一般来说，电子的能带曲线，在导带底和价带顶处的形状，如图 30.2c所示，是接近抛物线的。抛物线形状是因为电子具有非0的静止质量，对真空中的自由电子来说，能量E正比于动量k的平方。应用到晶格中的电子时，大多数情形仍然符合这个平方规律，只不过电子的质量应该代之以一个有效质量而已。为什么要用有效质量呢？因为电子是在晶格内运动，晶格对它的运动也许有阻碍，也许有帮助，有效质量便概括了晶格对电子运动的影响。在石墨烯的狄拉克点附近，能量动量间的平方规律没有了，导带和价带线性相交于一点，这说明能量E和动量k表现为线性依赖关系，无静止质量的光子的能量动量便是遵循这种线性关系。事实上，对石墨烯的研究证实，石墨烯中的电子在k=K附近的行为，的确表现为一种有效质量为0的狄拉克费米子行为。这时候，电子的运动不能用非相对论的薛定谔方程描述，而需要用量子电动力学的狄拉克方程来描述。这种无质量载流子的存在，使得石墨烯中的电子可以畅通地输运.因此，石墨烯具有比一般金属大得多的导电性。此外，电子极大的输运性也导致在室温下便能观察到石墨烯的量子霍尔效应。 （未完待续） 参考资料： 【 1】F.D.M.Haldane，Modelfor a quantum Hall effect without Landau levels: Condensed-matter realizationof the parity anomaly，Physical Review Letters, Volume61, Issue 18, October 31, 1988, pp.2015-2018 【 2】C. L. Kane and E. J. Mele. Quantum spin halleffect in graphene. Physical Review Letters,95(22):226801, November 2005. 【 3】B. Andrei Bernevig and Shou-Cheng Zhang.Quantum spin hall effect. Physical Review Letters,96(10):106802, March 2006. 【 4】 Koenig,M. et al. Quantum spin hall insulator state in HgTe quantum wells. Science 318(5851), 766 – 770 (2007). 【 5】Wallace, P. R. (1947). The BandStructure of Graphite. Physical Review 71: 622 – 634. 【 6】K.S.Novos elov, A.K.Geim, S.V.Morozov, D.Jiang,Y.Zhang, S.V.Dubonos, I. V. Grigorieva, A.A.Firsov, Science, 306, 666 (2004)。 上一篇： AB效应，几何相 系列科普目录 下一篇：拓扑绝缘体（2）

个人分类: 系列科普|48111 次阅读|24 个评论

《硅火燎原》-29-洗澡水中的小孩

热度 13 tianrong1945 2013-11-19 08:44

29.洗澡水中的小孩 贝里是在研究量子混沌的时候发现贝里相位的。有人说，贝里并不是发现几何相位的第一人，但无论如何，贝里让人们重新认识到几何相位的重要性，比如，是在贝里文章的启发下，才发现了经典力学中的对应物： Hannay角 【 1】 。了解和解释几个经典的例子可以使我们更容易理解量子力学中的几何相位。 图 29.1：矢量平行移动一周后的变化（a）平面（b）球面 图 29.1是在平面和球面上分别作平行移动的例子：女孩从点1到点2再到点3，一直到点7，作平行移动一圈后回到点1（1和7是同一点）。所谓‘平行移动’的意思是说，她在移动的时候，尽可能保持身体（或是她的脸）相对于身体的中心线没有旋转。这样，当她经过1、2、3……回到1的时候，她认为她应该和原来出发时面对着同样的方向。她的想法是正确的，如果她是在平面上移动的话（图a）。但是，假如她是在球面上移动的话，她将发现她面朝的方向可能不一样了！图b中红色箭头所指示的便是她在球面上每个位置时面对的方向。从图中可见，出发时她的脸朝左，回来时却是脸朝右。这是怎么回事呢？关键是球面与平面不同的几何性质起了决定性的作用 【 1】 。 所以，从上面的例子得出一个结论：贝尔所说的“洗澡水”中有时有小孩，有时没小孩。在上述的例子中，如果在平面上“洗”（平行移动），洗澡水中没小孩。但如果是球面上洗，那就要小心了，不要糊里糊涂地把水给倒了，可能有个小孩在水里！ 这个例子中，我们说，矢量方向改变的效应是几何的，不是动力的。怎么样改变就算是动力的呢？比如说，女孩自己将身体旋转，扭来扭去，或者是在移动的过程中，被别的人或物体碰撞而产生了方向变化，或者说，女孩是在风中移动，状态随时间而改变积累起来的方向变化等等，都应算是动力性质的。除去这些因素，只是因为经过路径所在的空间的几何性质，如前所说的平面或球面而造成的方向改变，就是几何的了。 像平面这种几何曲面，还包括可以展开成平面的柱面和锥面等，在经典力学的意义上，被称之为“平庸”的。反之，如像球面或马鞍面之类，不弄破就不可能铺开成平面的那种曲面，则是不平庸的。 刚才是经典比喻，在量子世界中的贝里相位也是这样，有时是 0，可以忽视；有时则不能忽视，比如上一节中介绍的AB效应，实际上就是一个不可忽略的贝里相位。 什么时候可以忽略，什么时候不能忽略，则取决于路径通过的空间的几何性质。 图 29.2：迈克尔·贝里和他研究的“磁悬浮青蛙” 迈克尔·贝里除了因提出几何相而出名之外，还因为与安德烈·海姆研究“磁悬浮青蛙”，而获得 2000年的搞笑诺贝尔物理奖（Ig Nobel Prize for Physics） 【 2】 。安德烈·海姆后来因为对石墨烯的开创性实验研究而获得2010年诺贝尔物理奖，贝里也曾得到过沃尔夫物理奖等多种奖项。由此可见，搞笑诺贝尔奖也不仅仅是一种戏谑调侃，可能更多的是体现了一种幽默，得奖者中也不乏创意之人，比如贝里就应该可以算作一个。 回到上节中介绍的 AB效应。AB效应中得到的不可积相位因子，根源是来自于那个细长的螺线线圈。线圈中的磁通量改变了空间的拓扑性质。没有磁场时，空间是平庸的、单连通的普通三维空间。首先简单地解释一下什么是“单连通”：如果一个区域中的任何一条闭曲线，都能连续地收缩到区域中任何一点，此区域便被称为单连通的。以图29.3的二维图形为例，图a淡蓝色图形中的任何曲线，例如与图中那条从B出发、到C、再回到B的类似曲线，都可以连续地变小而收缩到任何点。这说明那块淡蓝色图形是“单连通”的。但是，如果在这个区域中挖一个或几个洞，成为像图b所示的淡蓝色区域，情况便会有所不同。如果区域中的某条闭合曲线，有“洞”被包围其中的话，就不可能连续收缩到一个点了。这种图形空间便成为“多连通”的，也就是拓扑非平庸的了。 在 AB效应中，通电螺线管的存在相当于在电子运动的三维空间中挖了一个洞，使空间变成了非平庸的，也使得电磁矢量势绕着螺线管积分一圈后，出现了一个不可积的相位因子。也就是贝里所说的不可与洗澡水一起倒掉的“小孩”。 再深究下去，物理学家们更感到眼前豁然一亮：那个相位因子 f ，并不是与每一点的局域电磁场（或电磁势）有关，而是 与 电磁势 绕环路一圈的积分有关，这说明了什么呢？比较微分而言，积分体现的是一种整体性质。那么，这就说明 AB效应不是一个局部效应，而是 电磁势产生的 一个整体效应 【 3】 。 图 29.3：单连通和多连通 因此， Berry几何相因子的研究使人们认识到量子系统（乃至经典系统）的整体性质的重要性，这也就是如今它成为了量子理论中一个普遍存在的重要概念的原因。在数学上能描述空间整体性质的理论就是拓扑学。如刚才所述，利用电磁场空间的连通性质便能解释经典理论难以解释的AB效应，那么，也许还有许多奇妙的量子现象，可能都和空间的拓扑性质有关系，或许能用整体拓扑的概念来解释它们。 事实上的确是这样。不过，刚才我们经常说到的“空间”，则远远不是仅限于我们生活于其中的三维空间了。量子理论中“空间”的概念是多样化的，可以是真实的 4维时空，也可以是相空间、晶体的倒格子空间、布里渊区，以及所谓系统的内禀空间，包括自旋空间、描述系统哈密顿量的参数空间、波函数的希尔伯特空间等等。到底需要考虑哪个空间的几何拓扑性质，必须根据具体问题而具体分析。 比如说，在量子理论中，一般用希尔伯特空间来描述量子态。如果考虑一个在真实的三维空间中运动的电子，对应于电子轨迹的每个点，都存在一个与波函数相应的无穷维的希尔伯特空间。由此我们可以建立一个数学模型，将电子真实运动的空间作为基空间，希尔伯特空间作为切空间，如此就构成了一个数学家称之为“纤维丛”的东西。上世纪 70年代，理论物理学家将纤维丛与规范场论对应起来 【 4】 。如果来个通俗比喻的话，纤维丛可以直观地理解为如图29.4左图所示的图像：一根作为基底的铁丝上缠绕着许多根纤维（毛线），或者是想象成凸凹不平的泥土地上长满了长长短短的杂草。这样一来，在纤维丛所描述的量子理论中谈到空间是否“平庸”的问题时，就需要考虑这个复杂的“纤维丛”空间是否平庸的问题了。这儿包含了基空间、纤维空间、还有纤维丛空间三者的几何性质：铁丝弯曲成了什么形状？泥土地是平面还是球面？毛线或杂草（对应着希尔伯特空间），是简单而平庸的形态，还是某种卷曲、打结等古怪的样子？还有纤维丛本身，也可能是整体非平庸的，像29.4右图所示的莫比乌斯带那种。有关纤维丛的更深入介绍，可见参考文献 【 5】 。 总之，贝里相位的发现使物理学家们从拓扑的、整体的观点来研究物质的不同形态。这对凝聚态物理中近年来发现的各种量子相变现象的研究特别有用。因为原来研究相变时所使用的朗道自发对称破缺理论不适用了。如前面讨论过的量子霍尔效应，不同的整数（或分数）霍尔量子态，具有完全相同的对称性，即不能用对称破缺来解释这些态之间的互相转变。实际上，不同的霍尔量子态对应的是不同的拓扑不变量。如整数量子霍尔效应中的整数 n，便是与二维电子气系统的哈密顿量所依赖的二维参数空间的拓扑性质有关，这个拓扑性质可以用一个非0的、以数学家陈省身命名的不变量 — “第一陈数”来表征。 图 29.4：纤维丛的直观图像 量子理论中还有一个有趣的问题，那是有关复数的用途。杨振宁在一次演讲中谈到关于从 -1开方而得到的虚数i，他说：“虚数i以前在物理中也出现过，可是不是基本的，只是一个工具。到了量子力学发展以后，它就不只是个工具，而是一个基本观念了。为什么基础物理学必须用这个抽象的数学观念：数i，现在没有人能解释。” 虚数 i的使用应该是和相位的概念密切相关的。虚数i的重要性说明电子的波函数不仅仅包含了电子在空间出现的概率的信息，更为重要的是包含了不可忽略的相位的信息。相位是量子理论的真正本质所在。 文小刚继提出拓扑序（ Topological Order）之后，又将其扩展到更一般的“量子序”的概念，再次强调相位对区分量子序和经典序的重要性 【 6】 。 100多年前，发现未知的新元素是科学的热点。建立了基本粒子物理学之后，预言和发现新的基本粒子，成为物理学的热点。2013年的诺贝尔物理奖授予了预言希格斯粒子的几个物理学家，就是基于2012年 CERN 科学家们的实验，它发现并证实 了标准模型中最后一个基本粒子--“上帝粒子” 的存在 。当前，凝聚态物理之所以成为物理学之热点，则与近年来不断预言和实验证实的新的量子物态密切相关。因为 新物态的浮现既有理论意义，还可能在自旋电子和量子计算等领域具有实用价值，有时还能导致意想不到的思想上的突破甚至物理及数学理论上的革命。对此，我们将拭目以待。 参考资料： 【 1】Hannay J H 1985 Angle variable holonomy inadiabatic excursion of an integrable Hamiltonian J. Phys. A: Math. Gen.18 221 – 30. 【 2】 http://en.wikipedia.org/wiki/Ig_Nobel_Prize 【 3】《简单物理系统的整体性：贝里相位及其他》，李华钟著，上海科学技术出版社，1998。 【 4】杨振宁：20世纪数学与物理的分与合 【 5】Yvonne C.B.,Cecile D.M.,Margaret D.B.,1977, ” Analysis, Manifolds, and Physics ” ,North Holland Publishing Company, Amsterdam. 【 6】Xiao-Gang Wen, Quantum Field Theory of ManyBody Systems - From the Origin of Sound to an Origin of Light and Electrons,Oxford Univ. Press, Oxford, 2004. 上一篇： AB效应，几何相 系列科普目录 下一篇：拓扑绝缘体简介 t29.pdf

个人分类: 系列科普|21297 次阅读|18 个评论

《硅火燎原》-27-解读量子霍尔效应

热度 19 tianrong1945 2013-11-6 07:45

（昨天发的出了点错误，今天重发） 27. 量子霍尔效应的解释(2) 如前一节所述，只有当费米能级移动到朗道子能带中间的红线附近时，二维系统才具有导电行为，而这种情况只发生在磁场变化的一段短暂期间。磁场变化的大多数时间内，费米能级碰到的都是灰色表示的局域态区间。 图 27.1：（a）霍尔效应；（b）边沿电流的形成 将这种区分与图 27.1a中量子霍尔效应的曲线对照一下便能看出，二维系统导电性能改变的区间对应于霍尔电阻的突然变化。在那段区间中，霍尔电阻从一个平台值很快地跳到另一个平台值，而纵向电阻也激烈地上升和下降。反之，在霍尔电阻曲线中的平坦区域，则对应于费米能级位置处于局域态的时候。因为那时，磁场B的变化只不过使得费米能级在局域态中移动，对导电机制没有任何影响，因而霍尔电阻保持不变。 局域态和扩展态共存的模型，只说明了磁场中的二维体系可以导电，但并未说明这个电流是如何形成的？在二维平面上是怎样分布的？图 27.1b则类比于电子回旋运动的经典图像，说明二维平面电子系统中的电流，是由边沿电流形成的。 外磁场足够强时，位于平面中间的电子，大多数作回旋运动而处于局域态，只有边界上的电子，它们不能形成完整的回旋，却能绕过杂质和缺陷，最终朝一个方向前进，因而形成边界电流。 因此，量子霍尔效应让人们见识了一种“中间是绝缘体，边界可以导电”的全新量子态。 还有一个问题没有说明： IQHE中电阻平台所对应的那些整数n代表什么呢？ 首先可以从 图 26.2b 来理解这些整数的意义。如果我们从左边往右边看，并且注意一下费米能级之下朗道子能带的数目便不难发现：对应于n=1的平台，费米能级下面只有一个朗道子能带；对应于n=2的平台，费米能级下面有两个朗道子能带……推论下去，对应于n=j的平台，费米能级下面应该有j个朗道子能带。换言之，电阻平台上所表示的整数，等于被电子完全填充了的朗道子能带的数目，或称填充因子（filling factor）。 附带提一句：实验中得到的霍尔电阻平台的数值十分精确。从冯·克利青第一次得到的原始数据，平台精确度就达到 10 -5 ，而后来更超过了10 -8 。因此，从1990年1月1日起，国际计量委员会在世界范围内启用量子化霍尔电阻标准代替原来的电阻实物标准 【 1】 。 至此，我们可能已经比较满意我们对整数量子霍尔效应的简单定性解释，但专家们却不是这样想。他们认真考察、反复推敲，还用各种数学物理模型进行理论推导，总是看出许多不尽人意之处。比如说吧，刚才提及的霍尔电阻平台高度异常平整的事实，就很难从理论上完全解释清楚。 后来，美国物理学家劳夫林（ Laughlin）利用规范理论，对IQHE给出了一个比较合理的理论解释 【 1】 。 在 1982年，崔琦和史特莫等人发现了分数量子霍尔效应（FQHE） 【 2】 ，尽管也是霍尔电阻出现平台的现象，但是，使用解释IQHE的理论，却难以理解分数量子霍尔效应。 也正是刚才提到的那位劳夫林，在 1983年给出了Laughlin 多体基态波函数，解释了分数量子霍尔效应 【 3】 。 对 IQHE的解释，以及这个科普系列中经常使用的能带论，都基本上是基于固体理论中的单电子近似。在这个近似模型中，电子在晶格原子的周期势场、以及其它电子的平均势场中运动。换言之，单电子近似将异常复杂的多体问题近似成的单独一个电子的问题来研究，未曾考虑电子和电子之间的相互作用。但是，分数量子霍尔效应是在更低温度、更强磁场下得到的，是一种低维电子系统的强关联效应。在这种条件下，电子相互之间的关联不可忽略，而是恰恰相反，此种关联对FQHE中分数平台现象的出现起着关键性的决定作用。 劳夫林认为在低温强磁场下，电子之间的库伦作用，将形成一种不可压缩的量子流体（ incompressible quantum fluid）。这种新颖的量子态，涉及到诸多丰富而深奥，对电子系统前所未有的物理内容，诸如‘分数电荷’、‘复合费米子’、‘复合玻色子’、‘任意子’等等，这些涉及量子多体理论的内容已超出了本系列文章的范围，并且这些全新的概念也带来许多尚待研究的新课题。因此我们不对FQHE的劳夫林理论作更详细的叙述，只在下文中对电阻平台标记n成为了分数这点，给出一个简单的图像。有兴趣者可阅读相关的参考文献 【 4，5】 。 刚才在解释整数量子霍尔效应时说到过，图 27.1a中IQHE电阻平台上标记的整数n，即填充因子，是等于被电子完全填充了的朗道子能带的数目。除此之外，我们还可以用另外好几种方式来理解n。 比如说， n可以等于二维电子系统中的电子数N与磁通量子数N f 的比值。 量子霍尔效应，研究的是二维系统中电子在均匀磁场中的运动。量子化电子 的 运动遵循薛定谔方程，从而得到了朗道能级。而对均匀磁场呢，我们也需要做些量子化的考虑。磁场在系统中产生了磁通量。当磁场与电子相互作用时，这个磁通量也应该被量子化。换言之，总磁通量可以被分成一个一个的磁通量子，每一个磁通量子的磁通量等于 h/e。这儿h是普朗克常数，e是电子电荷。尽管磁场强度看起来是连续变化的，但对每个电子来说，只有当影响它运动的磁通量成为磁通量子的整数倍的时候，电子的波函数才能形成稳定的驻波量子态。 因为二维系统的面积是有限的，总的电子数 N，以及磁通量子数N f ，也都是有限的。它们的比值，便对应于整数量子霍尔效应中的那个整数 n。 图 27.2：用电子和磁通量子表示量子霍尔效应 可以通俗的用‘冰糖葫芦’的图像来比喻量子霍尔效应中电子与磁通量子数目的分配关系。 如图 27.2a图所示，将一个电子表示成一个山楂（图中的绿色圆饼），穿过电子的磁通量子用一根竹签表示（图中的蓝色箭头）。从图a可见，IQHE中每个磁通量子所穿过的电子数，便等于整数量子霍尔效应中的整数n。 当 n=1的时候，只有一个被填满的朗道子能带，这也是一个磁通量子穿过一个电子的情形。当n=2时，有两个朗道子能带被填满，因此，一个磁通量子需要穿过两个电子。然后，可以以此类推下去。 现在来看分数量子霍尔效应的情况。霍尔效应中的分数平台是在总电子数目不变，磁场增大的情况下被首次观察到的。经过了 n=1的平台之后，如果还继续增大磁场，磁通量子数也将继续增加，竹签太多，山楂不够，即磁通量子数太多，电子数目不够分配，因而出现几个磁通量子共用一个电子的情形，如图27.2b所示。如果两个磁通量子共同穿过一个电子，在IQHE中对应的整数n便成为了分数：n=1/2；如果三个磁通量子穿过一个电子，则n=1/3。还有更为复杂一些的情形，比如：如果是五个磁通量子穿过两个电子，则有：n=2/5。 如上所述，量子霍尔效应中的这个‘填充因子’ n，是有点来头的。它将量子霍尔效应分成了两大类：IQHE和FQHE。刚才说过，FQHE对应于一种不可压缩的量子流体新物态。所以也可以说，填充因子n可以用作物态（相）的分类标签：n为整数时，对应整数量子霍尔态；n为分数时，对应量子流体分数霍尔态。 填充因子 n的作用还不仅仅如此，进一步的理论探讨表明：每一个不同的n都代表一种不同的量子态。读者可能还记得，我们在第23节讲述相变的时候说过，“朗道的对称破缺理论，一直被用来解释相和相变，直到……” 直到发现并深入研究量子霍尔效应后，物理学家们认识到，不同的 n值代表的不同量子态，特别是分数量子霍尔态，不能由朗道的对称性破缺理论来归类和解释，而需要由系统波函数内在的拓扑性质来描述。 分数量子霍尔态的出现是由于极低温下电子基态的简并。不同的分数量子霍尔态之间没有通常所指的那种朗道模式的对称破缺，这些态都具有同样的对称性，它们之间的不同可以直观地用这些基态简并电子集体运动模式的不同（拓扑序）来表征。 好比是这些电子在跳着各种复杂的集体舞。每一种分数量子霍尔态对应一种集体舞模式，每种模式可以与拓扑中的‘亏格’数来表征，见下图。 有两位华裔物理学家，对凝聚态物理近二十来年的发展做出了杰出的贡献，那是大家熟知的斯坦福大学教授张守晟，和 MIT（后到加拿大？）的文小刚。巧得很，这两位学者都是从高能物理开始再转而研究凝聚态的。文小刚继劳夫林解释分数量子霍尔效应之后，建立了分数量子霍尔效应的拓扑序理论和边缘态理论 【 6】 。之后又进一步把粒子物理中‘弦’的形象嫁接到凝聚态中，提出了弦网凝聚理论，不仅揭示了拓扑序和量子序的本质，而且又转而返回到最基础的物质本源问题，构造出了一个光和电子的统一理论。我们对此不再多言，有兴趣者可参看文小刚本人就弦网凝聚理论而写的一篇 精彩科普 【 7】 。 文小刚科学网博客： http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=1116346 参考资料： 【 1】Laughlin, R. B. (1981). Quantized Hallconductivity in two dimensions. Phys. Rev. B. 23 (10): 5632 – 5633. 【 2】D.C. Tsui, H.L. Stormer, A.C. Gossard(1982). Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme QuantumLimit. Physical Review Letters 48 (22): 1559. 【 3】R.B. Laughlin (1983). AnomalousQuantum Hall Effect: An Incompressible Quantum Fluid with Fractionally ChargedExcitations. Physical Review Letters 50 (18): 1395. 【 4】 http://en.wikipedia.org/wiki/Resistor 【 5】D. Yoshioka,The Quantum Hall Effect,Springer, Berlin (2002). 【 6】Xiao-Gang Wen, Topological Orders in RigidStates. Int. J. Mod. Phys. B4, 239 (1990)。 【 7】文小刚. 我们生活在一碗汤面里吗？——光和电子的统一与起源.Physics, 2012, 41(06): 359-366. http://www.wuli.ac.cn/CN/Y2012/V41/I06/359 【 8】An Introduction of Topological Orders，Xiao-Gang Wen http://dao.mit.edu/~wen/topartS3.pdf 【 9】 “ TheFractional Quantum Hall Effect ” , J.P.Eisenstein and H.L. Stormer, Science 248, 1461 (1990). http://www.sciencemag.org/content/248/4962.toc 【 10】Composite fermions and bosons: Aninvitation to electron masquerade in Quantum Hall： http://www.pnas.org/content/96/16/8821.figures-only 上一篇： 量子霍尔效应的解释（1） 系列科普目录 下一篇：AB效应、贝里相、拓扑

个人分类: 系列科普|29616 次阅读|55 个评论

科学网络日记

benlion 2013-5-17 11:59

信仰是人的“身心行”精神（ spirit ）操练，在传统中国文化为“道释儒”，其核心是精神，所谓精神就是思维的无形或看不见，而其产物为具像、形体。 探索了生物学的人类到文化学的人类，及其实在的人类社会历史演化，涉及逻辑学、伦理学和美学，即哲学思维；因而，信仰经哲学到科学、艺术，再到数学、工程，最后是经济和商业产品。 第 1 个问题是中西医学比较与科学发现的方法，第 2 个问题是社会行为的信仰与艺术表达，第 3 个问题是文化和知识到产业与经济的转化发展。 企业制造产品是社会发展的经济体现，教育是知识传授与人才培训，法制和政府提供公共事业、利益和环境的管理执行，而研究与开发构成创新型社会的核心。 经历科技与工业革命，医学与工程的未来将是学科综合与技术集成形态。 比如， DNA 计算机和生物计算机 实证科学方法，实际上是数学方法和实验技术结合的研究方法。系统生物学（ 1968 年 Mesarovic D. 提出词汇）最初概念是贝塔朗菲的系统论和数学方法（ R.Rosen 发展了数学生物学）研究生物系统的理论生物学。 1994 年提出系统生物工程（ BJ.Zeng ）是微电子、信息技术与转基因、生物技术等结合的人工生物系统*，包括细胞反应器和生物计算机等研究， 21 世纪合成生物学（ 1910 年 Leduc S. 提出词汇 ） D.Endy 等论述为工程系统生物学。 数学的拓扑学上一个著名的四色定理，最后采用计算机方法得以证明，而 DNA 计算机和纳米生物技术、合成生物学的细胞计算机技术等，最初都是开发用来解决一些著名的拓扑学难题。星象图、地图与人体的生物系统网络（ biosystem network ） - 基因图谱、组学（ omics ）表达谱、细胞系图谱（ cell lineage mapping ）和基因、蛋白质、代谢分子网络图等都涉及到图论、拓扑学原理与方法。 人类社会，往往以群体划分，群体内信息与群体之间传递与转化，这个网络是复杂系统网络，历史时期，也可以时空和文化等构成的“多维生命体”的“文化体”概念来研究，每个“文化体”范式形成和信息增长、“文化体”之间的信息传输与转化，从而构建一个庞大的人类文明演化图谱。 文化范式与社会体制、经济模式之间，大学、企业与政府之间同样存在信息连接与转换的拓扑结构。人类历史，从个体到家庭、从氏族到国家、从联邦到联合国的文明发展，也就是一个信息产生及其形态转化的人类社会自组织化过程。 注*：论述生命科学的综合（synthetic）哲学与系统科学方法。 - 总结 -

个人分类: 2013|2009 次阅读|0 个评论

讨论班(周五)：近代微分几何浏览(李文都)

GrandFT 2013-5-16 22:48

题目：近代微分几何浏览 主讲：李文都 时间：2013年5月17日 星期五下午4:30 地点：16教学楼308室 《几何三十载》是丘成桐先生在清华大学所做的一次关于几何的报告。内容是几何学在最近30年来的发展和所取得的成就。讲座的内容涉及的很多现代的几何知识，可以说对此我完全不熟悉，所以这次讨论班我使用ppt和大家一起来看看这个报告的内容，一起看看几何学在最近几十年都做了哪些重要工作。

个人分类: 周四讨论班|2861 次阅读|0 个评论

文化拓扑结构演化

热度 3 benlion 2013-5-16 13:20

恰好拓扑对应于轴心文化结构，山东与山西分别显在儒家与心学传统，湖南和江苏分别长于道家与理学传统，近现代依然可看到湖南出哲学家而科学家多出自江苏。 希腊文明以东罗马拜占庭延续至 1453 年，印度文明到 1526 年为莫卧儿帝国取代，西罗马早在阿提拉（ 406 年 -453 年 ）就败于匈奴帝国，而 13 世纪兴起的蒙古帝国 4 大汗国扩张到黑海、波斯湾的欧亚大陆。 欧洲在查理曼（ 742-814 年）帝国的基础发展起来，通过阿拉伯（ 630-1258 年）的东西方文化融合（希腊 - 罗马思辨理论和中国 - 东方实践技术）， 14 世纪至 17 世纪的 文艺复兴导致了近代欧洲文明的建立；然而，可看到意大利宗教 - 法国人本、德国理想 - 英国实用的文化结构拓扑转换。 文化交流与交通网络构成文明拓扑演化的背景，而科学发展具有网络结构与集群效应。 比如， 1999 年 -2003 年系统生物学体系的形成： 组学（ omics ）生物技术集群 - G. Church 、 L.Hood 、 R. Aebersold 等； 计算机（ in silico ）软件与设计集群 - D.Nobel 、 H. Kitano 、 M.Tomita 、 Arkin AP. 等 - 1999 年 Tomita 在美国时与 Wenter 署名发表 e-cell 模拟（ simulation ）的论文； DNA 分子和生物计算机集群 - N.Seeman 、 T.Knight 等； 生物化学系统论与代谢控制论集群 – 细胞分子系统数学模型， E.Voit 、 DB.Kell 和 Wolkenhauer O. 等； 数学与网络生物学集群 – 图论、网络拓扑学， S.Leibler 、 A - L . Barab á si 等； 形态发生与细胞动力学集群 – 细胞周期、图式（ pattern ）发生， BJ.Zeng 、 M. Kirschner 等； 代谢和发酵工程集群 – 细胞工厂， B. Palsson 、 J.Nielsen 等； 生物分子合成与细胞设计集群 – E.Kool 、 S. Benner 、 C. Venter 等； 信号传导与基因工程集群 - J.Collins 、 van Oudenaarden 等 ；仅以 1999 年 -2003 年独立实验室的独立科学家为第 1 代，其共同发表论文的博士生都称为第 2 代。 硅谷之为硅谷，在于科学研究、技术开发与产业转化的企业家、科学家、发明家和金融家群体积聚区域，或称“产业社区”。科学知识的体系结构形成也是如此，实际上以集群或“学术社区”之间通讯链为信息传递与知识发现节点构成网络结构的发展。

个人分类: 历史|4010 次阅读|16 个评论

系统医学 - 拓扑网络学

benlion 2012-10-22 13:48

我的出生地是湖南古台山林场，父亲从城里来到那里创建，种植药材。儿时，我在屋前石拱桥下的小溪里是抓螃蟹，在屋后欣赏那些美丽的芍药花；因此，首先接触的是中药，后来因教生药学和药用植物学时来到南京药科大学，参加了到狼牙山采集药材的实习。 然而，自中学、大学到任教，读得最多的书籍还是科学史与哲学、心理学与医学等，比如， 炼金术士 罗吉尔·培根的光学和化学实验方法， 博物学家 林耐的生物分类学，以及 托马斯 · 杨的光干涉实验和菲涅耳的光衍射理论、声波的多普勒效应等，精神分析学和格式达心理学等，而后，彭加勒的实在论和胡塞尔的现象学等。中药炼制实验和本草纲要的分类学等，在近代 实验方法和生物学系统学（ systematics ）中的贡献是什么？这需要科学史学家深入研究；但是，无疑欧洲近现代科学、哲学、艺术乃至体制的建立，其中，不少源自对中国古代文化与体制的研究。 直接的也许就是系统医学提出，起初研究动物形态发生与环境相互关系，而后思考拓扑生物学，那时，刚阅读中医的理论书籍，也阅读数学的图论和拓扑学，猛然间发现：一是西医解剖学的器官恰好可以与中医理论的脏象对应，余下的就是经络系统对应神经 - 内分泌、免疫系统；二是四色定理可等价于四面体，金刚石的晶体结构以顶点的连线（ connection ）关系等恰好是阴阳五行图的联结模式；三是生理学的内分泌细胞甾体激素调控基因表达和神经 - 内分泌网络等，于是，代谢系统的控制论节律稳态和发育系统的基因与神经协调变化和分子 - 细胞、器官 - 个体、种群 - 生态的生物系统层次的清晰模型出现 – 1992年获得湘潭市医学科技先进工作者奖，并评上讲师； 但是， 1999 年我放在互联网上时却为国外一物理学家链接在他的超弦（ string theory ）网页上。 1994 年到了北京中关村，生物发育、细胞分化的 mRNA 差异显示分析和核移植、转基因等，基因群与蛋白质系统对应关系 - 即，现在所谓之组学（ omics ）的研究及其调控的系统遗传学，转换到细胞信号传导与基因调控、细胞代谢系统的层次，以及基因组自组织化与程序化特异表达的系统研究，传感器与反应器的系统生物工程开发等。 参见“ Network topology ”（ http://biomatics.org/index.php/Systems_Bioengineering ）。 续，系统医学 - 回忆录（ http://blog.sciencenet.cn/blog-286952-624743.html ） 附，分子与系统医学发展的关系：

个人分类: 2012|1910 次阅读|0 个评论

自封与封锁

qianlivan 2012-9-24 21:34

在球面上画一个圈，哪里是内，哪里是外？这是不定的，就看如何定义。如果球上还有人存在（比如地球），那么内外就有定义了，正如可以定义国内和国外。 对于一个国家和外面的世界来说，分隔的是一条闭合曲线。这个国家可以控制住这条边界，不和外面的世界来往，外面的世界也可以控制住这条边界，不和这个国家来往。如何来看待这两种情况？通常，我们会说，前一种情况是这个国家自我封闭，而后一种情况是外面的世界对这个国家进行了封锁。但是这个看法是不完全的， 事实上，仅从拓扑上来看，这个国家和外面的世界的处境是相同的，为什么不能说前一种情况是这个国家封锁了外面的世界，而后一种情况是外面的世界自我封闭？ 其实，这里有一个隐含的假设（不对称性）使得最终的判断偏向于前一种情况是这个国家自封、后一种情况是外部的世界封闭这个国家。这个假设就是这个国家不是一个自持社会系统（主要是技术落后，经济欠发达）。考虑如果这个国家极端强大，可以使实现自持，并且还能输出技术和对外投资，那么我们还能说前一种情况是这个国家在自封、后一种情况是外部世界在封锁这个国家么？ 所以对于同样的操作，实力决定了这个操作是自封还是封锁。所以不要总说我们的国家被封锁，把自己的技术搞好、经济搞好，我们那时就能反过来嘲笑那些曾经封锁我们的国家是在自封了。

个人分类: 思考|2998 次阅读|0 个评论

网络拓扑参数究竟意味着什么？

热度 3 supermac 2012-6-25 12:18

网络拓扑参数究竟意味着什么？ ——从复杂网络看世博人流量 复杂网络的演化模型和拓扑结构一直是网络研究的一个基础，只有充分认识了复杂网络的结构特征才可能进一步研究其它方面的性质。无标度、小世界、等级结构等拓扑特征会对网络的社团结构、级联故障、传播特性等等带来极大影响，那么网络基本的拓扑参数究竟意味着什么？各个节点之间有何关联？我们做了一点尝试性研究。 以上海世博会每日的客流量为研究对象，首先分析了其总体波动规律，统计量包括Hurst指数、非周期循环长度、均值和标准差。显然，世博人流量具有总体稳定均衡、局部波动明显的特征，每月客流的均值和标准差有显著差别，可以从旅游的客观规律和人们的心理因素来解释。比如，5月刚开展时，客流非常少，人们持观望态度；10月临近结束，很多人手里有赠票、余票，在“不看就浪费”的形势下造成了客流量的爆发，甚至超过了百万，这在世博历史上也不是第一次出现，有经验可以借鉴。 然后用可视图算法（Visibility Algorithm, Visibility Graph）将人流量的时间序列转化为了复杂网络，该网络具有184个节点，676条边，网络图如下所示。尝试通过网络拓扑结构的分析研究客流量的波动规律。 计算网络的主要拓扑参数，主要结果包括： 平均度7.348；平均聚类系数0.789；网络直径8；平均路径长度3.447； 幂律度分布；小世界；等级结构；网络同配；节点度与最邻近节点平均度成正比。 讨论如下： 1. 网络是无标度的：幂律指数-2.37，说明度分布具有显著的不均匀性，且原时间序列应是分形序列。既然是分形序列，就具有自相似性，那么可以利用自相似对观测值进行有效预测。 2. 网络是小世界的：较大的聚类系数，较短的平均路径长度，且平均路径长度随网络节点数的增长慢于对数增长，即节点之间即使相隔较远也有较短路径可达。进一步推广，说明人类行为的发生的数量在各个阶段间应存在某种特定的紧密联系。 3. 网络具有等级结构：节点聚类系数随节点度幂律衰减，指数-0.97，即节点度越大，其聚类系数就越小。这样的节点即无标度网络中的hub节点，其出现是必然的。这些节点对应着客流量中的极端客流点，这些时间点不仅自身客流量大，且相比周围时间点的客流量也要明显大。也就是说，这样的模式下极端客流量的出现是必然的。 4. 网络是同配的：网络的节点度与时间序列的人流量成正比，Pearson系数r=0.115说明度大的节点倾向于和同样度大的节点连接，节点度和邻居节点度的正比关系也可以说明度大的hub节点会“抱团”，反应在时间序列上就是大客流往往会以一种“成群结队”的形式出现，即大客流会持续一段时间。 最后，我们用修正的线性回归方法对世博人流量进行了预测，效果比较理想。 文章信息 FAN Chao,GUO Jin-Li. Visitor flow pattern of Expo 2010. Chin. Phys. B, 2012, 21(7): 070209. http://cpb.iphy.ac.cn/EN/Y2012/V21/I7/070209

个人分类: 成果交流|24944 次阅读|24 个评论

《图的拓扑理论》（英文）刘彦佩

ustcpress 2012-4-11 08:28

丛书名：当代科学技术基础理论与前沿问题研究丛书——中国科学技术大学校友文库 （“十一五”国家重点图书出版规划项目） 出版日期：2008年9月 书号ISBN：978-7-312-02275-3 出版社：中国科学技术大学出版社 正文页码：472页（16开） 定价：88.00元 编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF） 当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=20364761 【 内容简介 】 本书不在于图的拓扑性质本身，而是着意以图为代表的一些组合构形为出发点，揭示与拓扑学中一些典型对蠏，如多面形、曲面、嵌入、纽结等的联系，特别是显示了定理有效化的途径对于以拓扑学为代表的基础数学的作用。同时，也提出了一些新的曲面模型，为超大规模集成电路的布线尝试构建多方面的理论基础。本书可作为基础数学，应用数学、系统科学、计算机科学等专业高年级本科生和研究生的补充教材，也可供相关专业的教师和科研工作者参考。 【 第一作者简介 】 刘彦佩教授，生于 1939 年， 1963 年毕业于中国科学技术大学数学系，荷兰 KLUWER 学术出版社 “Combinatorics and Computer Science （ COOS ） ” 丛书主编， 1986 ，中国科学院研究员（首批聘任）， 1989 ，被国务院学位委员会评选为博士生导师。 1987 ，美国罗杰斯大学运筹学中心和离散数学与计算机科学中心研究员； 1989 ， 1992 ，意大利罗马大学数学系、概率与统计系和计算机科学系，客座教授。 1990 ，法国社科高研院人文数学中心客座研究员，法国波尔多第一大学数学与计算机科学系客座教授。 1997 ，美国辛辛那提大学计算机科学系，客座杰出教授。 2001 年，韩国浦项科技大学组合与计算数学中心研究员。在国外公开出版物中，早期（ 1978 ）在判别图的平面性方面的一个结果被 P. Rorenstieh1 （欧洲组合学杂志三主编之一）等称为 “ 吴-刘判准 ” 和 “ 吴-刘定理 ” 。八十年代，在 Euler 地图计数方面的一个结果被 E.A.Bender （美国《组合理论杂志 A 》主编）等称为 “ 刘彦佩（ Y.Liu ）公式 ” 。在梵和（ Dichromate sum ）方面的工作，被国际著名按在 Math.Rev. 上评论的论文页数，在地图计数和拓扑图论两领域连续 3 年（ 01 ， 02 ， 03 ）分别排名第一和第二。

个人分类: 校友文库|3734 次阅读|0 个评论

周四讨论班(有讲稿)：拓扑定理欣赏(二)（包含这三次的讲稿）

热度 1 GrandFT 2011-11-6 18:33

题目：拓扑定理欣赏(二) 主讲：庞海 时间：2011年11月10日 星期四 下午4:30-6:10 地点：16楼308 上周四的第一讲介绍了一些拓扑的基础知识，这一讲的内容是几个拓扑中的几个极为重要的定理。 提纲： 介绍一些拓扑中的重要的概念和定理，以及一些明显的物理应用。包括：映射度和Bolzano存在定理；Sard定理；Gauss绝妙定理；欧拉示性数；Poincare-Hopf定理；Gauss-Bonnet定理；Morse定理；环绕数，磁场，Gauss积分；映射度，电场，Kroneck积分；热核与Atiyah-Singer指标定理。 注：几乎所有的定理都略去了证明。 参考书：本次讨论班的全部内容来自 E. Zeidler 《Quantum Field Theory I》第五章 三次的讲稿.rar

个人分类: 周四讨论班|3219 次阅读|1 个评论

周四讨论班：拓扑定理欣赏（一）（庞海）

热度 1 GrandFT 2011-11-1 12:44

题目：拓扑定理欣赏（一） 主讲：庞海 时间：2011年11月3日 星期四 下午4:30-6:10 地点：16楼308 提纲： 介绍一些拓扑中的重要的概念和定理，以及一些明显的物理应用。包括：映射度和Bolzano存在定理；Sard定理；Gauss绝妙定理；欧拉示性数；Poincare-Hopf定理；Gauss-Bonnet定理；Morse定理；环绕数，磁场，Gauss积分；映射度，电场，Kroneck积分；热核与Atiyah-Singer指标定理。 注：几乎所有的定理都略去了证明。 参考书：本次讨论班的全部内容来自 E. Zeidler 《Quantum Field Theory I》第五章

个人分类: 周四讨论班|3183 次阅读|2 个评论

微博：毕加索的画

热度 2 王铮 2011-10-22 20:45

今天去看了毕加索画展。我突然悟到一个规律：如果我有一个纸箱子，我把箱子压平，那就是立体主义；我把压平了的纸箱再扯了变形，那是超现实主义；如果压平了涂上颜色就是接受民间艺术。哈哈，直感说罢，我说：挺美，因为他用静态表现了动态，用平面表现了拓扑结构，而这些是我们的丰富的内心世界。 压扁了的纸箱子《画家与模特儿》 重新映射的拓扑《女人和花》

个人分类: 微博|4368 次阅读|5 个评论

中国结

math611 2011-4-8 12:24

看了几种中国结的编法，希望能够模拟一下。所以选了一个简单的模拟了一下，只是不时按照编法过程来写的程序。为了突出不同，所以才这样写。动态视频(很遗憾被放在了动画欣赏，本人觉得应该放在教育或其它的相关分类更为妥当): http://v.youku.com/v_show/id_XMjU2NzAxMDA4.html http://v.youku.com/v_show/id_XMjU3MTM0Nzc2.html 参考参考。

2217 次阅读|0 个评论

对待科学与伦理关系的三种态度

热度 3 antiscience 2011-3-29 10:55

对待科学与伦理的关系，人们的看法差别较大。受唯科学主义的影响，人们的朴素立场是A或B，较少为C，但恰恰C是更可取的、更真实的。对A，要特别警惕。 A：先验包含论。按此观念，科学应当包含伦理，包含了伦理考量的东西才是真科学。它的缺点是：（1）先验性，只讲应当，通常不可操作。（2）“好的归科学”。但有一个好处：有助于树立科学伟大形象；“科学不求人”：一切都是科学家说了算，其他领域的人不要插手。 B：先验分离论。按此观念，科学只管工具理性，不管价值理性。科学有好有坏。科学在研发、应用时可能要伦理协调，这种考虑是外在的。如果按此观念，科学项目可行性论证和事后评估，可能需要科学界以外的人参与（而这是唯科学主义者不同意的）。 C：自然主义态度。不讲应当与否，只讲实际上科学与伦理到底怎样，只看科学家做科学是否考虑了伦理。实际考察的结果是，有的考虑了，有的没有考虑。按此观念，有的科学是好的，有的是坏的；为了百姓的利益、人类的可持续发展，未来的科学应当更多地考虑伦理约束，把伦理内容作为科学的一个重要维度。不过，不要幻想把伦理本身也全部科学化了，那样又是科学主义的套路了，危害性也不小。如果按此观念，科学项目可行性论证和事后评估，必须要有科学界以外的人参与。 我个人认为C的自然主义态度较合适，也比较接近自然科学的态度。 三者维恩图如下：

6222 次阅读|3 个评论

用于药物筛选的网络模型--生物信息学的新玩法

热度 2 phenome 2011-2-6 18:11

近日有做生物信息学（系统生物学）的朋友读到我们近期发表的论文 Pre-Clinical Drug Prioritization via Prognosis-Guided Genetic Interaction Networks（全文） ，问到：怎么想到建立一个基因网络模型来作药物筛选？好像以前没有见到类似的研究命题啊？ 可能确实这种玩法比较新颖，现将有关回应贴到这里： 本项目的动机主要考虑： （1）目前全球药物（特别是肿瘤药物）的研发效率日趋下降，其中，临床前药物评价模型不能很好地预测药物在临床实验中的表现是其主要瓶颈之一。 （2）目前常用的临床前药物评价，主要依靠离体细胞学实验和在体动物实验模型。目前的动物模型遗传背景比较简单，无法充分反映临床实验中碰到的人群异质性(heterogeneity)问题。因此，如果能够建立一个充分反映病人人群中异质性的计算机模型，并定义其相关的药物疗效的评价体系，将可以有效弥补现有动物模型的不足，在临床前实验阶段对候选药物进行分析评价，有利于大大降低药物能通过临床前评价，在进行昂贵的临床实验后却发现无效的局面。 因此，我们实际上是绘制了一个能反映各类癌症特征的网络作为“作战地图”，进而识别鉴定出上述网络中主要的、起驱动作用、影响广泛的因素，制定基于网络拓扑特征的量化指标，对药物扰动上述网络的效率（药效）进行定量分析。 其实，上述玩法实际反映了“网络药理学”network pharmacology的概念，只是该概念自提出以来，大多用于观察药物的靶标在网络上的分布，少有直接用于药物筛选的。而且，大家大多关注常见的网络类型，如基因调控网络(gene regulatory network)、蛋白质物理相互作用网络(physical interaction network)等。个人认为，针对具体任务，例如肿瘤药物筛选，应选择和任务导向的网络（例如我们选择与肿瘤预后相关的基因网络，实际上是一种 functional network而不是physical interaction network）。

个人分类: 网络药理学|6023 次阅读|1 个评论

[转载]拓扑学简介(6) —— 结语

tiemeng 2010-9-15 10:50

前面几篇简要涉及了代数拓扑、微分拓扑、低维拓扑，如果大伙儿还不知道这些是啥，请复习拙著 ：） 。其实，拓扑的概念和方法已经渗透到整个数学，而不仅限于拓扑学研究本身。 很多文献会提到，拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉，给出了第一个拓扑不变量，多面体表面的欧拉数（点数-边数+面数）。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人（虽然莱布尼兹曾经臆想过）。 传说中高斯当年是德国国土局的领导，负责丈量土地。他由此观测到山脊附近的地面弯曲性质可以用内在的测量方法得到（所谓曲面的内蕴几何），他还定义了度量曲率大小的量（高斯曲率），并且将这个局部定义的、可以用微积分计算的量同整体定义的欧拉数联系起来（高斯-博内定理），所以他可以被追认为研究微分拓扑的第一人。当然，高斯的主业其实是政府工作、开创现代数论、以及电磁学。业余时间研究一下各种误差的分布啊，欧几里德的几何原本有什么错误啊之类的小问题作为消遣。 第二尊菩萨，黎曼同学，除了开创流形的几何学、发展了傅立叶分析和积分理论、研究了一下素数分布提出世界第一难题黎曼猜想之外，他不到40岁的短暂一生的其余时间基本上都在思考复变函数的问题。为什么有的复变函数是多值的？比如平方根和对数。能否把它们以某种方式变成单值函数？人们的思维定势是，既然函数是多值的，就像一条横着的抛物线，一个 x 对应到两个 y, 要变成单值很容易啊，砍掉抛物线的一半就行了。黎曼不这么看。他觉得，如果把函数图像本身作为定义域，每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了，而且没有丢掉任何信息。如果是复变函数，其图像就是一个二维曲面，这就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多复杂的现象，这些现象催生了诸如连通性、单连通性、复叠空间这些拓扑概念，以及奇点、除子、函数域等等一些代数几何的概念。抛开代数几何不说，黎曼也许可以被屈尊为研究低维拓扑的第一人。 牛顿莱布尼兹发明了微积分之后，大家对无穷小无穷大这两个概念很不放心。为了让我们用得更安心，柯西和威尔斯特拉斯等人后来把无穷小解释得非常透彻，基本上就是说两个东西越来越近。离得近这个概念从而成为分析中最核心的概念。它正是所有拓扑学分支的共同基础点集拓扑的起源。拓扑学在现实生活中的应用多数跟点集拓扑有关，即，通过分析收敛性体现在应用数学中。所以，最牛的牛顿被屈尊为研究点集拓扑第一人（有好事者不以为然，一定要扯到古希腊的阿基米德，这就见仁见智了。） 总而言之，拓扑学有着高贵的血统。当然，好汉不提当年勇，拓扑学的现在和将来如何？20世纪中叶，代数拓扑学朝着高度抽象的方向发展，两位名不见经传的数学工作者（艾伦伯格-麦克雷恩）突发奇想，从中总结出一套抽象语言。为了体现这套语言之形而上，他们重载了先贤亚里士多德的概念范畴。继解析几何与微积分以来人类数学又一次在概念上经历了大变革。范畴论诞生了。20世纪数学的上帝格罗登迪克，用7000页的数学圣经将拓扑学和范畴论全面而深遂地渗透到代数几何和数论研究中，改变了整个数学的风貌。与此呼应，世纪之交的物理学也在经历变革，量子场论和弦论呈现出绚丽多姿的数学结构。20世纪物理学的耶稣（上帝被爱因斯坦附身了）爱德华.威顿，身负绝世的拓扑神功，一经施展，整个理论物理学为之色变。拓扑学三位一体，必须要像生物学一样将21世纪纳入自己的势力范围。所以，在这个系列的结尾，让我骄傲地替拓扑学宣称：21世纪是拓扑的世纪！！ I am just kidding.

个人分类: 拓扑学|3972 次阅读|0 个评论

[转载]拓扑学简介(5)

热度 1 tiemeng 2010-9-15 10:41

by季候风 转自科学松鼠会 http://songshuhui.net/archives/32103.html 黎曼所描述的几何经常被形容为爬虫的几何，因为黎曼假设观察者处于流形内部。对人类来说，二维流形是非常直观的对象，它们通常被称为曲面。而三维流形却难以想象，正因为我们处于宇宙空间这个三维流形内部。爬虫几乎是二维的生物，它们靠爬行来感知周围世界。1884年英国小说家E.A.Abbott的科幻小说《平面国》描述了真正的二维爬虫，以及它们对额外维（仅仅是第三维）的恐惧不安。 现在让我们体会一下二维爬虫的世界。假设这个世界是一个二维球面，任何事件都发生在这个球面上。最重要的是，光线沿着球面传播。而我们人类可以从外部观察这个二维球面世界。古希腊数学家就已经知道，球面上连接两点的所有曲线段中存在最短者，即以球心为圆心的弧（称为大圆弧）。爬虫通过测量也能发现这个最短线段，但在爬虫的世界里，球心并不存在。我们假设爬虫的光学定律也要求光线沿短程线传播，所以二维球面上的光线，即短程线，在人类看来是一些大圆弧。一个处于球面上P点处的光源发出的所有光线沿着大圆传播，它们将汇聚于P的对极点P（人类倾向于定义对极点P为三维空间中连接P和球心的直线与球面的另一交点；而爬虫将定义对极点为离P最远的那个点）。爬虫们实际上看到两个发光点P和P，一个是真实的，另一个是像（按高中物理的说法，P处的发光点是P处光源的实像）。这是因为光线在P汇聚之后再次散开，眼睛将告诉大脑这些光线是从P发出来的。有延展的物体，比如一个四边形爬虫，不妨设它的眼睛长在前边。那么它往前看将看见自己的后边，往左看将看见自己的右边。它看到了自己在远方成的像。有多远？圆周率乘以这个二维世界的半径。有趣的是，对于正好处在此爬虫对极点的观察者而言，爬虫无处不在，往任何一个方向看都能看到爬虫，非常恐怖的景象。这个世界的另一个显著特点是，它有限无边。如果爬虫认定一个方向往前爬，它可以永远爬下去，不会碰到世界的边缘，此即无边；而如果爬虫会丈量面积，那么它发现这个世界的总面积是有限的，如果它一直往前爬，它会一次又一次地回到起点，此即有限。 有限无边的二维流形当然不必是球面。比如，爬虫的世界完全可以是我们人类所谓轮胎面，数学家叫它环面。在这样一个世界里，房地产开发商将是一个危险的职业，因为有时候画了一个圈来圈地，结果什么都没有圈进去。比如轮胎上的经线圈和纬线圈。脑满肠肥的开发商们应该庆幸我们人类脚下正好是一个球面，随便画个圈都会有收获。言归正传，数学家们发现我们人类观察到的轮胎面并非其最自然的形式。这个二维流形更自然的模型是把一个正方形的对边等同起来。这是一个奇怪的世界，光线在正方形内沿直线传播，当你疑惑光线到达正方形的上边缘以后将往何处去时，你忘记了这个世界是有限无边的，上边缘和下边缘是同一条线，所以光线又从下边缘射上来。这个世界里，点光源不会成像，因为它发出的光走的是平面上（正方形内）的直线，正常发散，永不重聚。但是爬虫仍然会看到远方的自己。与球面世界不同的是，爬虫会看到无穷多个自己：朝任何一个斜率为有理数的方向看，就会从某个角度看到自己。怎么理解这个现象？可以用这个正方形的无穷多个复制品地板砖式地铺满整个平面，每一个这样的正方形都被解释为同一个环面世界。光线在环面世界里的传播就可以从光线在平面上的传播读出来：在平面上画一条无限延伸的直线，这条直线在某个正方形S中划出一条线段C，然后进入到另一个正方形S1，划出另一条线段C1，我们按照C1在S1中的位置将它复制到S中，同线段C一起构成环面世界里光线的一段轨迹。这种地板砖式构造在拓扑学中称为泛复叠，其目的是用一个具有高度对称性的简单拓扑空间来研究一个比较复杂的拓扑空间。对环面而言，平面就是这个简单拓扑空间，而其对称性就是左右平移和上下平移。我们看到，在这个泛复叠里，一个爬虫被复制成了无穷多个，处于每个正方形的相同位置。连接任意两个复制品，得到一条斜率为有理数的线段，根据我们刚才关于光线的分析，平面上的这条线段代表环面上一条起于爬虫而止于爬虫的光线。所以，沿着这个方向爬虫将看到自己的某个侧面。数学家设计了一些环面上的小游戏，比如迷宫、台球、象棋等等，有兴趣的朋友可以到http://www.geometrygames.org/去下载体验一下。 其它的二维流形称为多环面。（这里我们只谈论有限无边的，而且可定向的二维流形，像莫比乌斯带那种单侧的流形不在我们考虑之列。）这些流形也有最自然的模型，由双曲平面上的多边形粘合而成。这样的世界里，光线传播得更奇怪一些，它们发散得特别厉害。光线的发散性质不是拓扑性质，它依赖于我们所选的模型，即数学家所谓黎曼度量。发散性质反映了黎曼度量的曲率，弯曲程度。如果光线从某一点向周围线性发散，即光强随距离线性减弱，则流形在这一点是平直的。球面上光强减弱得比较慢，因为相对于平直空间（欧氏空间）来说球面上的光线倾向于汇聚，这是正曲率的标志；而多环面上的光强减弱非常快，这是负曲率的标志。黎曼度量和曲率是另外一个话题，跟爱因斯坦的广义相对论有关，就不赘述了。之前考虑二维世界的时候引进拓扑之外的结构黎曼度量，是因为度量可以更好地帮助我们想象比较奇怪的拓扑结构，比如环面及其泛复叠。 充分地理解了可怜的爬虫以后，我们可以顾影自怜了。我们的宇宙是什么样子的？是不是一个三维球面？宇宙中某个光源发出的光线是否汇聚到对极点，那最遥远的地方？或者是一个三维环面？四面八方都应该是我们自己，而我们看不到无穷多个自己只不过是因为宇宙太宽广而光线在传播过程中消耗殆尽？或者，宇宙根本就不是有限的，这似乎更符合大多数人的信仰。即使是有限宇宙，由于维数更高，其可能形态比二维流形更多，至今数学家还未能将它们穷尽。

个人分类: 拓扑学|4294 次阅读|1 个评论

[转载]拓扑学简介(4)

tiemeng 2010-9-14 16:36

by 季候风BR 转自 科学松鼠会BR http://songshuhui.net/archives/31297.html 1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职位，也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1853年他提交了就职论文，其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严格数学定义。之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题，委员会从中挑选一个作为正式演讲题目。黎曼选了两个思虑多时的课题，外加一个还未及考虑的课题关于几何学的基本假设。他几乎确信委员会将挑选前面两个题目之一。然而，委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间的相互关系问题，从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力，再加上长期的贫穷，一度让黎曼崩溃。但不久他就重新振作起来，用7个星期时间准备了关于几何学基本假设的演讲。为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲，黎曼只用了一个公式，并且忽略了所有计算细节。尽管如此，估计在场鲜有人能理解这次演讲的内容。只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想激动不已。 黎曼在演讲中提出了弯曲空间的概念，并给出怎样研究这些空间的建议。弯曲空间正是后世拓扑学研究的主要对象。在这些对象上，除了可以运用代数拓扑的工具，还可以运用微积分工具，这就形成了微分拓扑学。 回到黎曼的演讲。黎曼认为，几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的，甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。黎曼认为，几何对象应该是一些多度延展的量，体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从经验导出，而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是，我们可以考察这些定理成立的可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何，比如大到不可测的几何，以及小到不可测的几何。接着，黎曼开始了关于延展性，维数，以及将延展性数量化的讨论。他给了这些多度延展的量（几何对象）一个名称，德文写作mannigfaltigkeit,英文翻译为manifold，英文字面意思可以理解为多层，中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为流形，取自文天祥《正气歌》，天地有正气，杂然赋流形，而其原始出处为《易经》，大哉乾元，万物资始，乃统天。云行雨施，品物流形。这个翻译比英文翻译更加符合黎曼的原意，即多样化的形体。 黎曼定义的n维流形大概是这个样子的：以其中一个点为基准，则周围每个点的位置都可以用n个实数来确定。后人将这种性质总结为：流形的局部与n维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质。如果进一步要求在流形的不同局部做微积分的结果可以互相联系起来，成为整体微积分，则称此流形为微分流形。一个简单的例子就是二维球面。我们都知道，二维球面上没有整体适用的坐标。经度和纬度是一组很好的坐标，但是在南北两极，经度无从定义。尽管如此，球面的每个局部都可以画在平面上，这就是地图。把各个区域的地图收集在一起，重叠的部分用比例尺协调一下，就得到整个球面。这样，坐标（或地图）只存在于每个局部，而整个球面其实是地图之间的重叠关系。球面是二维流形，因为球面的局部同平面（二维欧氏空间）的局部具有相同的延展性质。球面的整体结构显然跟平面不同。沿着球面的某个方向往前走，比如，从赤道某点出发往东走，最终会回到出发点。而如果在平面上沿某个方向往前走则永不回到出发点。研究流形的整体结构，以及整体结构与局部结构之间的关系，就是拓扑学的核心课题。微分流形上可以使用微积分的工具，再辅之以前面介绍过的代数工具（同调群，同伦群），就形成了威力强大的微分拓扑学。这门学问的发展使我们对5维以上的单连通微分流形（回忆先前介绍的单连通概念，即每条曲线可于流形内滑缩为一点）有了比较彻底的认识。 到了80年代，数学家对4维单连通拓扑流形也有了彻底的认识，然而4维微分流形却是无比复杂的对象。比如，直观上最简单的四维流形，四维欧氏空间，也就是所有(x,y,z,t)这样的数组组成的空间，有无穷多个微分结构，通俗一点说，这个流形上有无穷多种整体微积分可做，而我们通常做的四元微积分只是其中一种。这是4维的特殊性，因为其他维数的欧氏空间都跟我们的常识相符。也许4就是传说中的上帝之数，我们的宇宙就是用4个参数来描述的（3个参数表示空间，1个参数表示时间），我们的时空是一个四维流形。 如果我们忘掉时间，只考察我们生活的空间。它的形态会是怎样？这是黎曼在演讲结尾提出的问题。这个问题到现在还没有答案。这个答案需要物理学家、天文学家、宇宙学家去寻找。宇宙空间会不会是一个三维球面？如果是三维球面，那我们沿着一个方向往前飞行，最终总会回到起点。

个人分类: 拓扑学|3708 次阅读|0 个评论

[转载]拓扑学简介(3)

热度 1 tiemeng 2010-9-14 16:31

by 季候风 转自 科学松鼠会 http://songshuhui.net/archives/8788.html 庞卡莱是19世纪末20世纪初法国最伟大的数学家，他与德国的希尔伯特领衔当时的数学界，分别继承了黎曼和高斯的衣钵：庞卡莱对物理世界的深刻洞察给了他天马行空般的想象力，一如当年的黎曼；希尔伯特严谨，博学，细致入微地思考，为20世纪前半叶数论和代数几何的发展指明了方向。庞卡莱的拓扑学和希尔伯特的代数几何，就像普朗克的量子论和爱因斯坦的相对论，完全革新了整个学科的基本观念。 这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念：同调群与基本群。它们都是几何体内在性质的代数体现。 庞卡莱意识到，描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没有边界，以及它是不是其它几何体的边界。比如，一个圆盘和一个球面为什么不同，就是因为圆盘有边界而球面没有边界；球面为什么跟轮胎面不同，就是因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界，比如赤道就是北半球面的边界，而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。 在第一篇里说过，莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象的几何性质。200多年后庞卡莱终于实现了这个梦，他把跟边界有关的性质数量化。先把几何体剖分成基本组成部分（点，边，三边形，四面体，)，比如，一个球面上可以画四个点，然后把它们两两相连（不允许连线相交），有六条边，这些边把球面分成四个三边形，这就是球面的一个剖分（见左图）。剖分的基本组成成份叫做单形，点是0维单形，边是1维单形，三边形（包括内部）是2维单形，等等（试想一下3维单形是什么）。 拿之前已经剖分的球面做例子，顶点A,B,C,D是0维单形，边AB,AC,AD,BC,BD,CD是1维单形，三边形ABC,ABD,ACD,BCD是2维单形（如果ABC,ACD是东半球的区域，那ABD,BCD就包括了西半球）。因为考察的是球面，而不是球体，所以没有三维以上的单形。 庞卡莱在单形前面放上系数（整数），假设它们能够相加，以及做同类项合并。这种表达式称为一个链，比如： (3AB2BC)+(AC5BC)=3AB7BC+AC. 单形前面的加号减号具有几何意义，定向。在1维的时候就是边的方向，比如，AB是从A到B的边，-AB就是从B到A的边，也就是BA，所以BA=AB.三边形的定向复杂一些，不过本质上就是跟顶点的排列顺序有关，对换两个顶点就会改变定向， ACB=ABC. 由于每一个n维单形的边界由若干n-1维单形组成，所以求边界可以作为一种运算，作用在链上，得到另一个链，其每一项都比原来链里对应项的维数低一维。在求边界的过程中，定向也是一个重要因素，虽然AB的边界是两个点A和B,但为了体现定向性质，规定AB的边界是(BA).这种约定可以推广到高维的链，大家不妨自己试试。 如果用d记求边界运算，在跟定向相容的约定下，它在球面剖分的各单形上作用如下： d(A)=d(B)=d(C)=d(D)=0; d(AB)=B-A,d(BA)=A-B,d(BC)=C-B, d(ABC)=BC-AC+AB,d(BCD)=CD-BD+BC, 在链上的作用， d(3AB2BC)=3d(AB)2d(BC)=3(B-A)2(C-B)=-3A+5B2C. 边界运算有一个很好的性质。直观上容易看到，物体的边界没有边界。比如，三边形的边界是三条边组成的闭合链。生活中我们说闭合的意思就是没有边界。代数上体现为，连续两次求边界一定是零， d =d =d(CD)d(BD)+d(BC)=(D-C)(D-B)+(C-B)=0 现在把剖分后的几何体的所有这样的链放在一起，它们之间有加减法（合并同类项），可以用系数乘，还可以求边界。这就得到了一个代数对象，叫做这个剖分后的几何体的链群。这个代数对象跟我们开始的剖分方法有关。 在链群中，可以由求边界运算得到的链叫做边缘链，比如， 2AB+2BC+2CA=d(2ABC) 说明等式左边这个链是一个边缘链。没有边界的链叫做闭链。边缘链一定是闭链，而闭链不一定是边缘链。庞卡莱发现，有多少闭链不是边缘链这个性质与剖分无关，从而是几何体某种本性的代数体现。怎样代数地描述这个性质？考虑所有闭链，它们之间的加减，数乘，结果还是闭链，在其中把边缘链等同于0，这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法，庞卡莱叫它同调群。 现在来算球面的同调群。顶点都没有边界，但是两个顶点的差一定是一条边的边界， A-B=d(BA) 按照庞卡莱的语言，A-B是边缘链，将被等同于0,也就是说，在同调群中A-B=0,或者说A=B.这样，本质上只有一个0维对象， A=B=C=D, 它可以被整数乘，这样我们得到球面的0维同调群 {,-3A,-2A,-A,0,A,2A,3A,} 这个代数对象的加法，数乘，跟全体整数的加法，数乘是一样的，用数学的语言来说，球面的0维同调群同构于整数集。 1维的链是六条边的组合，用代数运算（解线性方程组）或者几何直观都可以看到，没有边界的1维链总是由三边形的边界(AB+BC+CA),(BC+CD+DB),(AB+BD+DA)组成，按照庞卡莱的语言，球面上所有的1维闭链都是边缘链，都应该在同调群中等同于0，所以1维同调群是0。 2维的链是四个面的组合，xABC+yABD+zACD+wBCD,它是闭链的条件 d(xABC+yABD+zACD+wBCD)=0. 有兴趣的朋友可以动手算一算上面这个方程，比如第一项 d(xABC)=x(BCAC+AB)=xBCxAC+xAB, 然后合并每条边的系数，令它等于零，就得到6个关于x,y,z,w的线性方程。这个方程组的解是x=z=-y=-w.这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成 w(BCDACD+ABDABC), 也就是说，总是括号中闭链的整数倍。如果把括号里的闭链叫做s,那么球面的二维同调群就是 {,-3s,-2s,-s,0,s,2s,3s,}， 同构于整数集。 综上所述，球面的0维同调群和2维同调群都同构于整数集，1维同调群为0.再引入一个概念，同调群内含有多少个整数集，就说同调群的秩是多少。把不同维同调群的秩交错加减，即，0维同调群的秩减去1维同调群的秩再加上2维同调群的秩再减去3维同调群的秩,得到一个整数。在简单例子里稍作计算，就会发现这个整数实际上是0维单形个数减去1维单形个数再加上2维单形个数再减去3维单形个数，即，各维数单形个数的交错和。这个数大家其实颇为熟悉，在高中立体几何最后应该提到过，叫做欧拉示性数，对凸多面体的表面，它就是VE+F,而且总是等于2.实际上，所有凸多面体的表面在拓扑上都是球面，这个2就是球面的各维数同调群的秩的交错和，10+1=2. 显然，欧拉示性数是最容易计算的拓扑不变量，只需要找一个剖分，然后数数几个顶点几条边几个面，再加加减减就行了。 同调群告诉我们哪些闭链不是边缘链，通俗一点说，告诉我们几何体里面哪些封闭的对象是中空的。它显然是比欧拉示性数更精细的拓扑不变量。有兴趣的朋友可以自己算算两个几何体的同调群：圆圈，轮胎面。（提示：先把它们剖分成单形。） 庞卡莱发现了同调群以后，拿它来区分了一些三维的对象。后来他发现，同调群不够精细。比如，跟三维球面（二维球面的高一维推广）具有相同同调群的几何对象不一定就是三维球面。这促使他寻找更精细的拓扑性质。这次他想到几何体里头还有东西是可以运算的，就是道路。两条道路如果首尾相接，就组成一条新的道路，这就是道路的乘法。这里有两个问题需要处理，首先，不是任何两条道路都能相乘（必须首尾相接才可以），然后，即使能相乘，乘法也不满足结合律，运算起来不方便。庞卡莱想到了办法解决这两个问题。他在几何体内取一个基点，只考虑那些从这个点出发再回到这个点的道路，这些道路当然互相首尾相连；然后他规定，如果一条道路能在几何体内经过连续变形到另一条道路（见下图），这两条道路就被看作在同一个道路类中，这样规定后，道路类之间的乘法就满足结合律了。这些道路类也组成一个代数对象，有乘法运算，这个对象叫做几何体的基本群，或者1维同伦群。 来点感性认识。线段的基本群只有一个元素，就是静止在基点的道路。线段里的其他任何从基点出发回到基点的道路都可以在线段内连续变形到静止在基点的道路。我们把只包含一个元素的基本群称为平凡的。再看圆周，它的基本群是所有整数组成的。绕圆周n圈的道路不能在圆周上连续变形到绕圆周m圈的道路，而把它们首尾相接的结果就是绕圆周n+m圈的道路，这里道路类之间的乘法体现为整数间的加法。第三个例子，球面，它的基本群是平凡的，因为球面上所有由基点出发的回路都可以在球面上连续变形（滑缩）为静止在基点的道路（见左图）。具有平凡基本群的几何体称为单连通的。 基本群的计算涉及到更深入的细节，比如拓扑的具体定义，拓扑空间之间的映射，等等，无法在这里详加解释。有兴趣进一步了解的朋友请参阅《基础拓扑学》，阿姆斯特朗（M.A.Armstrong）著；孙以丰译。 发明了基本群以后，庞卡莱觉得这个更加精确的拓扑性质应该足以把三维球面从其它三维几何体中区分出来，但他自己无法证明。这就是举世闻名的庞卡莱猜想：单连通的三维封闭几何体一定是三维球面。这个猜想及其推广主导了代数拓扑学一百年的发展，最终在2004年由俄罗斯数学家裴若曼给出证明。裴若曼因此在2006年获得数学界最高荣誉菲尔兹奖。 （待续）

个人分类: 拓扑学|4861 次阅读|2 个评论

[转载]拓扑学简介(2)

热度 1 tiemeng 2010-9-14 16:06

by 季候风 转自 科学松鼠会 http://songshuhui.net/archives/2081.html 这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题，扭结分类问题。所谓扭结，顾名思义就是一根绳子首尾相接，它可能打了结。更一般的，可以是几根绳子，除了自身打结以外，还互相打结。对具体的一个扭结，也许可以通过做实验的办法判断它是否打结，但是数学家希望找一个普适的，定量的办法。比如说，任意画一个扭结（它实际上是一个空间扭结的平面投影），比如这个有点复杂的，怎样不动手做实验就能判断它到底有没有打结？ 这个问题后来证实是非常复杂的问题。在有了计算机以后，才能找到一种时间代价很高的算法让计算机帮助我们判断一个扭结投影到底有没有打结。直到2006年，才找到一种真正快速的计算机算法来判断这件事。 扭结分类的问题比判断是否打结更困难。比如，以下两个扭结都打了结，它们是否本质上是同一种结？ 所谓分类，就是要找一个（可计算的）判据，使得当两个扭结满足这个判据时就是同一种结；当它们不满足这个判据时就不是同一种结。到现在为止，也还只能找到一些非常复杂的判据，同样要借助计算机才能大致判断两个扭结是否本质上为同一种结。 扭结理论有一段很有趣的早期历史。1867年，著名物理学家开尔文勋爵，就是那个号称物理学已经接近终结，只剩两朵乌云的开尔文，突然产生了关于化学元素表的新看法（那时候还没有发现原子，所以化学元素表还是一个谜）。开尔文认为，不同的化学元素其实是以太的涡旋在空间中的扭结形态。以太是19世纪的物理学家们发明的概念，它被想象成充满整个空间，是电磁波传播的载体（或媒质）。开尔文是很严肃的物理学家，当然不能凭空想象，实际上他提出了几个即使从现在的观点看来也很合理的证据： （1）元素很稳定，这可以用扭结的拓扑性质来解释，微小的形变不改变扭结的扭法。 （2）元素很多样，这可以用扭结的多样性来解释，不同的打结方式实在太多了。 （3）不同的元素发出不同的光谱，这可以用以太扭结的各种振动方式来解释。 有时候我们不得不佩服一些大师，他们虽然偶尔有点信口开河，不过极富原创力想象力。开尔文这个想法可以算是弦论的原生态。虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构，但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中依稀找到一点影子。 请原谅我不能在这里具体给出任何判断两个扭结不同的方法。任何这样一个方法，都需要很多图解和文字说明。有兴趣的网友可以读姜伯驹的《绳圈的数学》或者英文书《Anintroductiontoknottheory》，作者Lickorish,属于系列GTM(graduatetextsinmathematics)175. 再贴几个扭结： 然后是一个问题：下面三个扭结中，哪两个本质上是同一种结？

个人分类: 拓扑学|2955 次阅读|1 个评论

[转载]拓扑学简介(1)

热度 1 tiemeng 2010-9-14 10:13

by 季候风 转自 科学松鼠会 http://songshuhui.net/archives/1633.html 拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是渗透到整个现代数学的思想方法。拓扑一词是音译自德文topologie，最初由高斯的学生李斯亭引入（1848年），用来表示一个新的研究方向，位置的几何。中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科（1931年）。 拓扑学经常被描述成橡皮泥的几何，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂（不连续）。为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着言必称希腊，只要从莱布尼兹开始就行。 莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比如微商符号dy/dx，不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。 莱布尼兹在三百多年前想要建立的，是现在称为代数拓扑的学问，中间经过欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，特别是黎曼和贝迪的思考和尝试，终于在19，20世纪之交，由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中，高斯名气最大，被称为数学王子；大家可能不太熟悉黎曼，其实他同高斯在数学史上的地位是相当的，他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响；莫比乌斯，他在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带，它的重要特性是，虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做单侧曲面。在这样的曲面上散步一定很别扭，哈哈。

个人分类: 拓扑学|4646 次阅读|1 个评论

数学是交叉学科嘛,研究的对象一定是可以测度的嘛

yanghualei 2010-8-2 10:36

有一个疑问:数学研究的对象 是否一定为可以测度的变量 前天写篇文章:《数学家不应该回避意识形态的测度问题》 一博主说:拓扑学的对象不涉及测度的问题 拓扑:就是在数学上解决不可以测度问题的工具嘛 期待解答

个人分类: 文学散文|2725 次阅读|1 个评论

这躺椅够数学的

jiangxun 2010-7-22 12:32

作者：蒋迅 Source: mocoloco.com 这是 Wendell Castle 创作的“摇滚躺椅”(Rock Chair)。 这里 还有很多他的作品。Wendell Castle是美国家具艺术家和手工艺从业人员，通常被人们称为艺术家具运动之父。他的作品遍布美国各地，他获得过很多奖励。上面的这个作品是他最新力作：表现了他对家具艺术和几何形像的理解和贯通。这把躺椅既表现了一种平衡和舒适，也体现出了流线和光滑。如果你学过点集拓扑又碰巧坐在了这把椅子上，可别忘记了看看它算是几连通的。 相关阅读： 这服装设计的够数学的 这楼梯够数学的

个人分类: 够数学|4746 次阅读|0 个评论

拓扑流形物语（一）

ztwztq2006 2010-4-21 12:44

拓扑，俗称橡皮几何学。 我个人认为，拓扑其实类似于哲学。哲学抽象的是人生和世间林林总总的道理，而拓扑则是抽象的数学，尤其是几何学。 实际上，对任意的集合，要是考虑其连续性，就必然的产生了“拓扑”的思想。为什么要考虑集合的连续性呢？当然，是想从集合们连续的性质中，寻找不变的东西。这种东西，就叫做拓扑不变形。在变化中，寻找不变。那么，我们就可以根据这些不变的东西，来做很多事情，比如分类啊。。。具体来说，就像我用一堆橡皮泥，可以捏一个正方体，也可以捏一个球体，他们都是可以通过集合之间的满连续变换变化得到的。就像一对深爱的情侣，随着时间的变化，不变是彼此的爱。当这种变换的逆变换也是满连续的，那么我们就说两个集合是同胚。变换也是同胚映射。也就是说，这对情侣在人生的最后在去看看他们的人生，如果经过了这么长时间，他们还都保持着当初的爱，那么他们就是“羁绊”的人生。就是人生的“同胚”。有意思的是，这种同胚，totallyinvarianttotime。时间，最可怕的敌人，也是最亲密的战友，他是一个懵懂的少年，又是一个令人尊敬的老者。。。哈哈哈哈。 这种思想，其实我们一直都在用，只是大家可能没有太注意到。我们对于图像喜欢去寻找其Invariantfeatures.比如Harriscorner,SIFT,MSER等“无聊”的特征点。其实，就是在用这种思想。物体和镜头相当于连续变换了（可用一个矩阵表示出来），我们要通过这些不变点的对应去看看，得到的图像里的物体是不是同一个东西?这不就是在分类嘛。 在一个任意集合上，给出了他用开集族形成的拓扑了。就足以讨论连续性了。但是，有意思的是，在我们学数学分析的时候，还有一种性质，可微性。他也是非常值得讨论的。那么，就需要想一个好方法来讨论任何集合上的可微性啦。。。说白了，可微性就是欧氏空间里面类似那些曲面、曲线的性质。。。 这个的抽象可是有点难度啊。如何在集合上讨论呢？如果直接在集合上定义貌似并不太可行啊。因为，集合可是多种多样的。千万种集合就有千万种定义。。。难道，我们要是想用它的时候，还要亲自定义一下？。。。就像，找女朋友一样，千千万万的人，难道你还要自己想想她的样貌，然后先画若干个标本出来，按照这些标本去寻人？那岂不是滑天下之大稽了？哈哈哈哈。。。仔细，考虑一下，这个问题其实也有章可循的。。。因为，对于集合上任何一个要考虑其可微性的点，我们其实只需要考虑他的邻域系就足够了。。。根据这个邻域系的一些特点，我们也许就能发现问题了。那么，我们要怎么做呢？黎曼他们也是相当聪明的，他们就把任意集合上的点的邻域系映射到一个标准的欧式空间里，那么在这里面去考虑点的微分性质，然后在把这些性质映射回去就能知道集合点本身微分结构的性质了。再哪找女朋友举例，也许他会考虑一些标准吧。比如身高啊，年龄啊，体重啊等等的因素。要考虑他想找什么样的女生，肯定是要从他的周围生活环境出发，就是他的邻域系。然后从邻域系里面考虑，他会觉得看哪种女生舒服，喜欢什么性格的女生。。。这样林林总总的放在一起，从他这个点和他的邻域系里面出发，再统一映射回原来的空间中----现实世界的女生。。。就能选择出他喜欢的女孩啦。。。。其实，就这么简单。。。哈哈哈哈 只是，自己的一些见解，如有不对的地方，希望指正。

个人分类: 未分类|2420 次阅读|1 个评论

专题讨论班（周五）：《从微分观点看拓扑》（邱荣涛）

GrandFT 2010-3-31 21:18

本周五讨论班是邱荣涛的《从微分观点看拓扑》 题目：Milnor的《从微分观点看拓扑》 时间： 从2010.4.1. 周五上午10:00 地点：16-308 主讲：邱荣涛

个人分类: 专题讨论班|2682 次阅读|0 个评论

专题讨论班：Milnor的《从微分观点看拓扑》邱荣涛

热度 1 GrandFT 2010-3-5 16:13

题目：Milnor的《从微分观点看拓扑》 时间：每周五上午10:00 （从2010.3.12开始） 地点：16-308 主讲：邱荣涛 这是一个系列的专题讲座，由邱荣涛讲 J. W. Milnor的书 《从微分观点看拓扑》。 这是一部名著，即使你觉得没有用也应该学一学（《三国演义》和《红楼梦》有什么用。）

个人分类: 专题讨论班|4164 次阅读|5 个评论

磁重联漫谈（10）：有理面上的边界层

等离子体科学 2010-2-3 20:06

前面讲到有理面上的奇异性，提到：正因为这个薄层非常薄，给我们处理问题反而带来极大的方便：第一，我们可以把轮胎形状的有理面沿着赤道平面切一刀，再沿任一环向角切一刀，展开成一个平面；第二，我们可以利用边界层理论来处理这一问题。这两点是研究像磁重联这样在大尺度下存在奇异性的数学物理问题的关键。 其中第一点将复杂的三维问题变成了一维问题！ 把有理面展开成一个平面，则在两个延伸方向（大环和小环方向）上都有周期条件。做相应的 Fourier 展开之后，在每个特定的有理面上只有一个 Fourier 分量。且对应的微分符号变成代数符号。这样三维的微分方程在两个方向上代数化了，只剩下小环径向的变化。在物理上，这是由于有理面上的奇异性导致垂直有理面的特征尺度远远小于其它两个周期条件方向的尺度。 而第二点则为解决这样的问题提供了常用的方法。 我们知道，对连续介质中没有外部驱动时物理量 F 随时间演化的典型数学物理方程基本上都是带有耗散项的抛物型方程，比如 dF/dt = DF/Dt + vDF/Dx = l D 2 F/Dx 2 这里 D 表示偏微分。方程的右边是所谓耗散项， l 是耗散系数。如果 F 是磁通（磁矢势的某一分量），则这个方程就是欧姆定律：左边是电场（包括 v x B 部分）， l 是电阻， D 2 F/Dx 2 是电流。等等。如果耗散很弱，耗散系数 l 非常非常小，则我们可以做理想情况下的近似，令 l = 0 。物理上就是，如果系统的特征尺度是 L ，那么，对应耗散（ dissipation ）的特征时间显然就是 T D =L 2 / l 。 l 趋于 0 对应于物理量 F 被 dissipated 的时间趋于无穷大。所以近似有 dF/dt = 0 ，或者说， F 基本保持不变。 这样的近似在绝大多数区间是适用的。但是如果区间里存在着奇异性，问题就来了：这个奇异性存在于一个很小的区间，引进一个非常小的特征尺度 D 。则其对应的特征时间尺度 t D = D 2 / l 成为一个可以和系统特征运动时间 T 0 相比拟的有限值！相应的，在这个奇异面上，方程右边的耗散项就不能忽略。这时，理想近似下得到的所谓奇异面因为这个耗散效应的存在变成了奇异层。显然这个奇异层的厚度 D ～ （ l T 0 ） 1/2 （我们又看到了 Sweet-Parker 模型的 1/2 方关系）。 这样一类在 奇异层外部可以用理想近似求解，但是在其内部必须考虑耗散项的数学物理问题，我们称之为边界层问题 （ Boundary Layer Problems ）。求解的方法称为边界层方法。

个人分类: 学海无涯|5292 次阅读|1 个评论

磁重联漫谈（9）：有理面上的奇异性

等离子体科学 2010-1-18 22:17

前面说到： FKR 理论是针对在 Tokamak 位形下有理面上因为磁重联引发的撕裂模。但是 Tokamak 的有理磁面都是轮胎形状的曲面。这样几何位形下的问题，处理起来是有一定难度的。 事实上，我们在研究等离子体的宏观尺度（一般指装置的特征尺度）约束时，理想磁流体理论是很好的近似。如我们在《磁重联漫谈（ 1 ）》中所说： 在等离子体的理想磁流体（ ideal magnetohydrodynamics, or ideal MHD ）近似下，等离子体与磁力线是冻结（ frozen in ） 在一起运动。形象地说，就如我们小时候喜欢吃的棒冰的冰冻结在中间的棍上一样。更准确的比喻是串在中间的杆儿上的算盘珠：可以很容易的沿着杆儿运动或者回旋运动，但是没法跨越这一根杆儿到另一杆儿上去。当然，如果等离子体中有不均匀性，还是会产生横越磁力线的漂移（ drift ），但是如果磁场限制在有限的体积内，这种漂移运动仍然限于同一磁力线所螺旋缠绕成的磁面上：不过是抄近路到同一磁力线的另一部分而已。就像调皮的孩子在螺旋滑梯上直线地从一层跳到另一层。 但是在这一近似下，等离子体磁通（ Magnetic Flux ，相当于磁矢势的主分量）的本征函数解在有理面上产生奇异性其一阶导数（相当于磁场）产生阶跃；二阶导数（电流）产生 delta 函数奇异性。正如我们在前面（《物理学中的奇点》）讲到的： 数学物理方程的奇点表明，原来赖以得到这个方程（或者这组方程）的物理假设或者近似在这一点及其邻域不再成立，需要引进新的物理效应甚至新的物理模型。 。。。 为了 resolve 这个奇点，在物理上我们或者引进耗散效应（如粘滞或者电阻）、或者引进构成介质的微观粒子本身的分立效应（如带电粒子的回旋半径这样的动理学（ kinetic ）效应）。 如果我们在有理面附近非常薄的一个薄层里（在理想磁流体极限下这个薄层的厚度为零！）引进耗散（电阻）效应，导致电阻撕裂模理论（即 FKR 理论和 Rutherford 理论）；如果引进动理学（ kinetic ）效应，则给出无碰撞撕裂模理论。 正因为这个薄层非常薄，给我们处理问题反而带来极大的方便：第一，我们可以把轮胎形状的有理面沿着赤道平面切一刀，再沿任一环向角切一刀，展开成一个平面；第二，我们可以利用边界层理论来处理这一问题。 那么，有理磁面为什么会有这种奇异性？ 这是因为，连续变化的无理磁面的集合中嵌入一个具有分立性质有理磁面，相当于在连续变化的磁场结构中引入了拓扑不连续性。在理想磁流体图像中，磁场和等离子体是冻结在一起的，这种拓扑不连续性便转化成物理的不连续性（和更高阶导数的奇异性）。 这种理想磁流体图像中拓扑不连续性与物理不连续性的不变性，应该可以用一个数学定理或者物理量守恒定律描述。

个人分类: 学海无涯|6352 次阅读|2 个评论

磁重联漫谈（8）：Tokamak的“有理”磁面

等离子体科学 2010-1-10 21:16

（一位朋友批评说：应该多写点托卡马克 ！写这么多磁重联，年轻人都去做磁重联了！ （写的时候没有想到这一点 :p 。无非是觉得自己对这个问题还有一些心得而已。这就做一点改正。其实等离子体物理的研究方向确实很宽。大家看了主要还是学习分析问题的出发点和方法。至于选择的具体方向，不妨根据自己的喜好、国家的需要、和单位的情况。） 笔者前面说到：正确的快磁重联模型依赖于 1990 年代无碰撞磁重联理论的发展。但实际上无碰撞磁重联理论早在 1966 年就与电阻磁重联的理论（而非模型）同时发展起来了。但是在介绍无碰撞磁重联的早期理论之前，我们先介绍电阻磁重联的理论发展。 前面说到的 Sweet-Parker 模型也好、 Petschek 模型也好，都还是半定量的模型，算不得定量的理论。电阻磁重联的线性理论最早是 1963 年由 Furth, Killeen, Rosenbluth 提出的（ Phys. Fluids 6, 459, 1963 ），被称为 FKR 理论。这个理论是针对在 Tokamak 位形下有理面上因为磁重联引发的撕裂模（ Tearing modes ），利用渐进方法中的边界层（ Boundary Layer ）理论，第一次得到电阻磁重联（撕裂模）的线性增长率。 笔者不打算在这里谈具体的数学计算，只是强调几个要点。 首先，介绍一下有理面： 磁约束等离子体的 Tokamak 环形装置看着像轮胎，或者 Donut 。里面的等离子体被约束在一层一层套着的轮胎（或者 Donut ）形状的磁面上每个磁面都是一根磁力线绕成、并用一个物理量 q 来表征。显然 q 是随着轮胎小环半径 r 连续变化的 q=q(r) 。这个物理量人们称之为安全因子（ safety factor ），数值上等于磁力线绕大环的圈数和绕小环的圈数之比。 因为 q 是连续变化的，所以一定是由分立的有理数和这些有理数之间的连续的无理数组成。那么在那些具有有理数 m/n 的 q 值的磁面（我们称为有理面（ rational surface ））上，磁力线绕大环 m 圈同时正好绕小环 n 圈！所以有理面上的磁力线有下述性质： 1 ）首尾相接的闭合曲线， 2 ）只覆盖磁面上一个测度为零的部分。 这两个性质非常重要！ Tokamak 等离子体中千变万化的各种模式，大都是因为这两个性质或其中之一引起的。 我们先来看分立的有理面之间的那些连续分布的无理面（ irrational surface ）。很显然，因为这些面上 q 是无理数，所以磁力线不会在绕大环有限圈之时正好也绕小环有限圈，而只能这么无限地绕下去铺满整个磁面。因为在等离子体中磁力线自身的张力，所以这些无理磁面非常结实。这就是为什么 Tokamak 整体约束还是不错的。但是那些磁力线只覆盖磁面上一个测度为零的部分有理面，特别是低模数（ m 、 n 很小）的、磁力线只绕那么一两圈的有理面，就显得格外软。而且更重要的：因为磁力线的周期性（首尾相接的有限长闭合曲线），则对于任何局域的扰动沿着磁力线传播的都会传回来；垂直磁力线传播则总会有一个模数为（ m, n ）的本征模与这个有理面（ q=m/n ）上的磁力线的几何结构共振！从而引起各种不稳定性的增长。所以 Tokamak 上的有理面也称共振面（ resonant surface ）。 对于 Tokamak 中的磁重联过程来说，我们强调两点：第一，有理面是磁场的拓扑分形面（ topological separatrix ）；第二，有理面上的磁力线满足周期条件。这两点非常重要。后来的所谓分量重联理论忘掉了这两点（特别是最后一点），导致一些荒谬的结果。

个人分类: 学海无涯|9493 次阅读|0 个评论

磁重联漫谈（7）：Petschek模型

热度 1 等离子体科学 2009-12-9 15:12

Sweet-Parker 模型虽然很成功，但是存在一个致命的问题：磁重联的速率太慢。事实上，太阳大气等离子体的电阻率大约在 1/10 10-12 ，由此得到的重联率 v x ～ h 1/2 ～ 10 -5 -10 -6 Alfvn 速度，远远不能解释像日耀斑这样的快过程。 人们注意到 Sweet-Parker 模型重联率所以相对比较慢，原因是其重联区的拓扑结构近似是一维的，即我们前面说的：等离子体携带磁力线进入扩散区的方向（入流方向，通常选作为 x- 方向）上的特征尺度远远小于磁力线重联以后携带等离子体离开扩散区的方向（出流方向，通常选作为 y- 方向）的特征尺度。这样，由于出口太小、进口太大，导致已经 merging 到扩散区附近的磁力线的排队等候，物理学家用的词汇叫 magnetic flux piled up 。（这样的过程会在重联区形成很薄的强电流片，其物理效应我们以后再谈。）因此，有人（ Petschek ， 1964 ）提出一种快磁重联模型：认为重联区的拓扑是呈具有 X 分形线的二维结构，这样入流区（在 y- 方向上的）长度与出流区（在 x- 方向上的）宽度大约在同一个数量级。而出流的喇叭口形状会形成一个如钱江潮的慢激波（道理相似，但相对运动方向相反）。根据这个 slow shock （慢激波）上下游的连接条件，可以得到磁重联的速率 v x ～ - ln h h 1/2 h 这个几乎与电阻无关的重联率基本上可以很好解释日耀斑这样的快过程。 但是人们后来发现，在 Petschek 模型的物理讨论所依赖的电阻磁流体框架下，无法得到 X 型的磁场几何结构，除非电阻很大 h 10 -3 （ W. Park, et al, 1984: Phys. Fluids 27 , 137; D. Biskamp, 1986: Phys. Fluids 29 , 1520; Z. W. Ma et al, 1995: Phys. Plasmas 2 , 8 ） 。而对于这么大的电阻， - ln h 与 h 1/2 的重联率几乎没有可以明显区分的差别！而在对应实际物理世界的电阻很小、 Sweet-Parker 和 Petschek 这两种模型的结果有可以明显区分的差别的情况下， 1980 年代以后发展的高精度的数值模拟结果告诉我们：即使初始条件取 Petschek 模型的磁场分布，我们也总是得到 Sweet-Parker 的电流片几何位形和 h 1/2 的重联率！ 后来人们才意识到：尽管 Petschek 模型的磁场拓扑结构是出于增大重联率的正确考虑，但是使用的电阻磁流体的物理模型是错误的！正确的快磁重联模型依赖于 1990 年代无碰撞磁重联理论的发展。

个人分类: 学海无涯|9133 次阅读|3 个评论

美国之路

liuxiaod 2009-1-12 09:45

二宝在刚上学的时候，听别人说美国人站在我们的地球反面，头朝下，当时他对地球的形状毫无概念，文革还没有结束，一穷二白，连个地球仪也没有。在小孩子的想象里，地球就是一个大圆盘，我们站在正面，美国人站在反面，那么怎么从中国到美国去呢？二宝猜想走到圆盘边界的时候，会有一个巨大的悬崖峭壁，从峭壁上跳下去就到美国了。但是这样去美国太危险了，摔死了怎么办？二宝想一定要找到一个安全的方法去美国。 他拿来一张纸设计去美国的路，假设中国在纸的正面，美国在纸的反面，他把纸卷成一个纸筒，就把美国卷到纸筒里面去了，这样显然不行，试了很多次，终于发现在卷过去的时候，把纸翻转一下，纸的正面和反面就连在一起了，从中国到美国就完全没有任何障碍了。 后来上了中学以后，二宝才发现当年他做的小玩意儿竟然是莫比乌斯环。莫比乌斯被公认为拓扑学鼻祖，其成就就是发明了莫比乌斯环。我们很难想象一个6岁孩子的智力水平与世界著名的数学家相当，我记得科学网上曾有人讲，孩子的思维与科学家最接近，看来很有道理。

个人分类: 教育|1191 次阅读|2 个评论