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全球盛赞吴方法--在《纪念吴文俊先生诞辰100周年座谈会》的发言: 热度 1 hhc115 2020-3-15 10:28; 全球盛赞吴方法 ——献给我的人工智能启蒙恩师吴文俊院士 2019-05-12 在《纪念吴文俊先生诞辰 100 周年座谈会》的发言西北工业大学何华灿继承中国传统数学之算法精髓，洞察信息时代的数学发展趋势；凭借他的全局观念和战略眼光，坚持运用客观为主的研究方法；创立机械化数学证明之消元法，让自动证明从此开始走向光明；人类因此可到更高层面去思考，他是揭示人工智能真谛的泰斗。我是在 1978 年 3 月全国科学大会制定了《国家十年科学发展纲要》，将 “ 智能模拟 ” 列为计算机科学的重要研究方向之后，为弥补十年动乱的损失、追赶世界先进水平、尽快实现智能航空的梦想，才从航空机载计算机研制转入人工智能研究。作为一个人工智能的新兵，我能向吴文俊院士面对面学习请教，是在 1979 年 7 月 23-30 日由教育部委托王湘浩教授主办的《全国计算机科学暑期讨论会》上，他是智能模拟分会场的召集人，我是他的副手。吴文俊报告的题目是《几何定理的机械化证明》和《我的访美之旅》，我报告的题目是《仿智学概论》。当时吴文俊院士因创立了《利用机器证明与发现几何定理的新方法——几何定理机器证明》，已获得 1978 年全国科学大会重大科技成果奖。国际机器证明领域的权威 S ．穆尔说：“在吴文俊之前，机械化的几何定理证明处于黑暗时期，而吴的工作给整个领域带来了光明。”国际人工智能界公认这一成果是“吴方法”。在这次会议上，我亲耳聆听到吴院士自己进行创新的思路历程： 1 ，他 1974 年下放到京郊我国第一家计算机工厂接受再教育，有了很多的读书思考时间，于是选择了读中国古代的数学典籍，如《九章算术》、《数书九章》等。他发现中国传统数学的特点是“计算”思想贯彻始终，从实践中抽象出来，再回到实践中去应用检验，具有明显的“实用性”、“构造性”和“机械化”特征。他从中受到深刻的启发，于 1976 年末开始几何定理的机械化证明研究，利用身边的计算机条件“近水先得月”，自己动手编写程序，反复试验，终于在 1977 年初取得成功，发表了全球第一篇初等几何定理机械化证明的论文，开创了具有中国传统特色的数学机械化之路。 2 ，通过这件事情他敏锐地看出了信息时代数学的发展趋势，认为几乎所有数学定理的证明都可由计算机来机械化完成，从而让人类把精力放到更加宏观的层面上去思考问题。他反复告诫我，人工智能的程序是我亲手一条一条编写的，每一条指令都是必须机械执行的动作，它根本没有智能，所谓“人工智能”就是把人的思维过程机械化执行，并不是计算机有了智能。这是我最早听到的关于人工智能真谛的阐述，后来的经历让我越来越体会到他阐述的这个真谛的无比正确和深刻，人工智能是用于辅助人类工作、增强人类智能能力的，而非是为了超越甚至统治人类。 3 ，吴先生还明确指出：“近代数学之所以能够发展到今天，主要是靠中国（式）的数学，而非希腊（式）的数学，决定数学历史发展进程的主要是靠中国（式）的数学，而非希腊（式）的数学”。刚刚听到，真是颠覆我的三观，他为什么有如此颠覆性认识？我在后来研究数理辩证逻辑和统一无穷理论的过程中，才逐步体会到：希腊（式）数学是从公理系统和抽象定义出发，关起门来凭借数学家个人的聪明才智，通过严密的形式演绎形成一个封闭的理论体系，它能够保证在封闭论域内逻辑上的自圆其说，绝对不会出现矛盾，但它不能保证一定符合客观实际和有用。这仅仅是建立一个数学理论体系必不可少的“中间阶段”，而非全部。而中国（式）数学是从客观实际的具体分析入手，一切以客观事实为主要依据，数学家需要用全局观念和战略眼光构造出一个算法体系来，它不仅能够机械化执行，而且不会背离客观实际，是一个从实践中来又能回到实践中去的数学理论体系。大家都知道，希腊（式）数学曾经发生了三次危机和随之而来的是数学质的跨越。可是，这些“危机-跨越”都不是因为形式逻辑演绎推动的，而是在数学实践中发现了新的对象和规律，为原有数学理论不容而引起的。相反，在这个时候，形式逻辑演绎不仅不是数学跨越式发展的推动力，反而成了无法逾越的阻力。当然，中国（式）数学也有它的局限性，所以把中西方的数学传统和优势有机结合起来，取长补短，“抓两头带中间”，这才是未来数学发展的正确方向。吴先生在这方面是先知先觉者，是我们学习的榜样。在吴先生上述精神和学风的指引下， 40 多年来我根据人工智能发展的客观需要，遵循演化论科学观和辩证论方法论，坚持进行人工智能统一逻辑基础研究，在泛逻辑（即数理辩证逻辑）的研究中，已建立了完整的命题级数理辩证逻辑和柔性神经网络理论体系，可全面满足建立人工智能通用理论的需要，保证人工智能的强可解释性，让人工智能系统成为人手中得心应手和功能强大的智能工具。人工智能只能是人可驾驭的强大智能工具，各种人工智能将变成新的物种，进而统治和奴役人类的预言都是哗众取宠的无稽之谈！我的切身感悟是：公理化方法只是一个构造自圆其说理论体系的形式化方法，它的真理性取决于公理系统本身的真理性。一般而论，公理化理论体系只是由公理系统描述的可能性世界的真理，而不一定是客观真理。所以，公理化方法既不是客观真理的挖掘机，也不是客观真理的生成器。要建立描述一个客观真理的理论体系，必须同时做好三条：首先必须保证公理系统是从客观实践中抽象出来的，其次才是利用形式演绎建立理论体系，最后还要回到客观实践中去进行应用检验，逐步修改完善公理系统。在数学和科学研究中片面强调逻辑和公理化，会把数学和科学引入形而上学的歧途！; 个人分类: 数学基础；人工智能|1736 次阅读|1 个评论

物理学怎么公理化？（一、牛顿力学的量子化）: 热度 1 mdymww 2019-11-22 18:54; 物理学怎么公理化？（一、牛顿力学的量子化）公理化就是一种形式，能够把物理学说清楚，让每一人都能明白物理学。这样的一个过程在二千多年前有过一次，那次是欧几里德公理化几何学。我们对欧几里德所知甚少，只能够猜度。不知道 “点”“线”“三角形”是怎么从直尺与圆规作图方法中抽象出来。我现在所面临的难题也是如何让知道 “观测”“相对运动”的人们接受抽象的“粒子”“空间”“静止”“运动”“引力”等。有一种好的方法：牛顿力学的量子化。牛一定律：物体将保持静止或匀速运动的状态。大家知道，物体是由一个个独立的粒子组成的。空间，我们也继承牛顿的绝对空间，并且认为空间是各处均匀、各向一致的。什么是粒子呢？我也不知道用什么模型表示更为合适，在这里就用一个等边三角形表示。如果这样的一个粒子在空间中，根据对称性（为了方便这个粒子的对称性是有限的），我们称这个粒子为 “静止粒子”。这样的一个粒子，我们认为是运动粒子，其运动方向如图所示。这样牛一定律是：一个粒子如果在空间中是对称分布的，那么这个粒子将保持静止；如果这个粒子是不对称分布的，那么这个粒子将在某个方向上表示运动。; 个人分类: 物理思考|11060 次阅读|2 个评论

向欧几里德学习: mdymww 2019-4-28 23:40; 向欧几里德学习我现在越来越感觉欧几里德像座高山样，横亘在我的面前。我不知道二千多年前的他是怎么公理化几何学的，在我面前公理化物理学千难万险。他有经验，有土地测量的经验，但他的几何学却不是经验。土地测量显然应该是绳索与尺规（一种类似于圆规的丈量工具，在中国许多是竹制的，一次大约 2 米左右）。人们在两边拉直绳索，然后在绳上撒上醒目的标识物，如白色的石灰粉等。然后由尺规在印记上进行度量。后来，人们在纸张上，用圆规与直尺再现土地测量规则。这时产生了几何，就如在实验与测量的基础上诞生了今天的物理学，但不是公理化的物理学，也不是我们现在学的几何，应该是古老的几何学。我不知道他为什么能抽象如点、线、面的一些概念；也不知道怎么能建立五大公设。历史对欧几里德信息也非常少，越发迷一样隐藏着他，就像云雾之中的山巅一样。对比一下二千多年后的今天，人们居然对公理化物理学无动于衷，更为准确地说，人们不知道物理学还可以公理化。多大的反差！当然，欧几里德无疑是我们学习的最好对象。物理学研究的对象是我们这个存在的物的世界。几何的要素可以抽象为点线面，一个物的世界应该怎么去抽象呢？其实，我们各种思想的雏形都已经存在，只是没有成长起来。我们只知道空间与粒子，但是我们不认为这个物的世界只有两种不同的物的形态，那就是空间与粒子。过去我们走过一段很长时间的弯路，爱因斯坦把时间与空间结合在一起，不过，那也是一种物理学，可以称之为观测物理学，意味着不是关于物质世界的物理学，而是关于人对这个世界观测的物理学。过去的一百年间，人们把空间与粒子这些概念定义得非常混乱。今天必须重新对粒子与空间进行定义。粒子定义比较好理解，比较难于理解的是空间。空间我们其实借用的是几何中的空间概念，物理学的空间应该重新定义。空间是什么？空间是所有粒子间相互作用的总和。现在就给出这样的定义。空间本来就难于理解。不是一时半刻就可以理解的。我们日常生活中与空间这样的概念同类的有 “社会”这个词，我们可以把“社会”理解为人与人之间关系的总和。今天就到这。; 个人分类: 物理思考|1833 次阅读|0 个评论

命题逻辑系统——逻辑学笔记8: mayaoji 2017-2-13 21:32; 引言我们在生活和工作中进行大量的推理。刚才有没有下雨呢，你打开门发现路面是干的，就知道没有下雨。你实际上已经进行了推理：如果下雨，则路湿。现在路没有湿，所以没下雨。孩子对妈妈说，如果明天放假我就回家，第二天孩子没有回家。妈妈推出孩子没有放假。上面是两个具体的推理，它们都是这个模式：如果 p 那么 q ，非 q ，所以非 p 。有人戏言说，连狗都会推理。回家的路上，有左右两条路，狗嗅了嗅，左边的路没有它的味道，它就往右边走了。狗的推理如下：回家的路不是左就是右，现在知道不是左边的路，所以是右边的路。这里的推理模式是这样的：要么 p 要么 q ，非 p ，所以 q 。推理的本质是从前提推出结论，有效推理就是前提为真时结论必然为真。我们下面介绍命题逻辑系统，这个系统能产生所有有效的命题推理。先解释几个概念。什么是命题逻辑。命题逻辑就是关于命题推理的逻辑。上面的所有推理都属于命题推理。它利用命题联结词的性质进行推理，命题联结词指的是并且、或者、如果那么这类联结命题的词。举个例子，这个推理就不属于命题推理：所有的人都要呼吸，张三是人，所以张三需要呼吸。这个推理利用了“所有”这个词的性质，而它不是命题联结词。命题逻辑系统联结词这里介绍命题推理系统。它包括这些联结词：并非、并且、或者、如果那么、当且仅当。分别用符号﹁、 ∧、∨、 → 、 ↔ 表示，而命题也用字母符号表示。比如 p → q ，表示如果 p 那么 q ， p ∧ ﹁q，表示p并且﹁q。利用这些符号我们可以构造复杂的命题，比如：( p ↔q) ∨ ( p → (q → ( ﹁ p ∧ r))) 。我们规定： p ∧ q = df ﹁(p → ﹁q) p ∨ q = df ﹁p → q p ↔ q = df (p → q) ∧ (q → p) 就是说，左边的命题可以用右边的命题是等价的。只有联结词﹁和 → 是基本的，∧、∨、 ↔ 都用它们来定义。公理系统命题逻辑系统有很多种，比如公理化系统、自然推理系统、 sequent 系统等。这里讨论的是公理化系统。它就像我们以前学过的几何证明一样，从几条公理出发，通过推理得到结论。公理： 1 、 p → (q → p) 2 、 (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) 3 、 ( ﹁ p → ﹁ q) → ( q → p) 推理规则：从 p 和 p → q ，推出 q 这条推理规则又叫分离规则。上面的公理和推理规则中的 p 、 q 、 r 可以代表任何命题。比如 r → (s → r) 也是公理，它只是把 p 换成了 r ， q 换成了 s 。 (p ∨ q) → ((r ∧ s) → (p ∨ q)) 也是公理，它把 p 换成了 p ∨ q ， q 换成了 r ∧ s 。上面的公理中，仅出现﹁和 → ，没有出现∧、∨、 ↔ 。定理和推理通过公理和推理规则证明的任何一个命题都是定理，记作 ⊢ A ，表示 A 是定理，亦即 A 是无条件成立的。如果一个命题还需要其他前提才能证明得到，则记作 A ⊢ B ，表示 A 是前提， B 是结论。从定义可知，任何公理都是定理。下面举例说明。定理： ⊢ p → p 证明： (1) 、 (p → ((p → p) → p)) → ((p → (p → p)) → (p → p)) (2) 、 p → ((p → p) → p) (3) 、 (p → (p → p)) → (p → p) (4) 、 p → (p → p) (5) 、 p → p 说明： (1) 是公理 2 ，它把 q 换成 p → p ， r 换成 p ； (2) 是公理 1 ，它把 q 换成 p → p ； (3) 是 (1) 和 (2) 通过分离规则得到； (4) 是公理 1 ，它把 q 换成 p ； (5) 是 (3) 和 (4) 通过分离规则得到。定理： ⊢ p ∨ ﹁p 证明： (1) 、 p → p (2) 、﹁ p → ﹁ p (3) 、 p ∨ ﹁p 说明： (1) 在前面已证， (2) 是将 (1) 中的 p 换成﹁ p ， (3) 是根据联结词∨的定义从 (2) 得到。定理： p ∨ q ，﹁ p ⊢ q (1) 、 p ∨ q (2) 、﹁p → q (3) 、﹁ p (4) 、 q 说明： (1) 和 (3) 是前提， (2) 是根据联结词∨的定义从 (1) 得到， (4) 根据 (2) 和 (3) 通过分离规则得到。命题逻辑中有一个重要的定理叫演绎定理，利用它能简化证明的过程。演绎定理如果 Γ,A ⊢ B ，那么 Γ ⊢ A → B 。这里 Γ是命题集（可以是空集），A和B是任意命题。如果某个命题集Γ和命题A推出B，则从Γ可推出A → B 。这个定理的证明从略。定理： p → q ， q → r ⊢ p → r 要证明 p → q ， q → r ⊢ p → r ，根据演绎定理，只要证明 p → q ， q → r ， p ⊢ r 就行了。现在来证明这一点。 (1) 、 p → q (2) 、 q → r (3) 、 p (4) 、 q (5) 、 r 真值语义真值表研究逻辑系统的一个很重要的目的是希望找出所有的有效推理，即前提真则结论真的推理。每一个命题都有真假。命题分为简单命题和复合命题，有时又叫原子命题和分子命题。天是蓝的，草是绿的，这一类称之为简单命题，天是蓝的或者草是绿的，是复合命题。复合命题的真值由构成它的简单命题和联结词决定。具体的方式见下面的真值表。上面的表格中用 1 表示真， 0 表示假。第一个格中，当 p 为真时，﹁ p 为假， p 为假时，﹁ p 为真。第二个表格第一行表示，当 p 和 q 都为假时， p → q 为真。其他行的意思类似。有了这两个真值表，我们可得出所有其他命题的真值表。比如 p ∧ q ，我们根据它的定义，它和﹁(p → ﹁q)等价，我们得出﹁(p → ﹁q)的真值表就是它的真值表。同样，可得出p ∨ q ，p ↔ q 的真值表。再举个例子。在这些真值表中，你会发现 p → q 的真值语义和我们日常理解的不一样，比如按它的理解， p 真 q 真则 p → q 真，所以“如果 1+1=2 则草是绿的”这句话是真的。逻辑学中 p → q 这种异常的含义把叫做蕴含怪论。之所以这样定义它的真值，是为了在数学上处理更方便，就像物理学研究中假设无摩擦一样。 p → q 的真值定义保留了 p → q 最本质的特征，当 p → q 为真，且 p 为真时， q 为真。思考：要么 p 要么 q 、除非 p 否则 q ，这两个联结词的真值表是怎样的，这两个联结词怎样用前面的联结词定义。联结词完全集可以把联结词看作是一个函数，比如∧是一个二元函数，∧ (0,0)=0 ，∧ (0,1)=1 ，∧ (1,0)=1 ，∧ (1,1)=1 。可以证明任何真值函数都可以用 { ﹁， ∧ } 、 { ﹁， ∨ } 、 { ﹁， → } 的任一种表示。举例说明第一种情况： f(0)=0 ， f(1)=1 。则 f(x)= x f(0)=0 ， f(1)=0 。则 f(p)=x ∧ ﹁x f(0,0)=0 ， f(0,1)=0 ， f(1,0)=1 ， f(1,1)=1 ，则 f(x,y)= ﹁(﹁(x ∧ ﹁y) ∧ ﹁(﹁x ∧ y)) 实际上我们可以定义一个联结词 ↓ ，使得它能表示所有真值函数。它是这样定义的： ↓(0,0)=1，↓(0,1)=0，↓(1,0)=0，↓(1,1)=0。可以证明它能表示所有函数。; 个人分类: 逻辑学|7798 次阅读|0 个评论

朴素的公理化思想与《几何原本》的公理体系: 热度 2 primeacademy 2013-6-26 22:39; 数学的开端和萌芽是随着人类社会的出现而出现的，但正如著名数学史家 M. 克莱因所言，作为一门有组织的，独立的，理性的学科来说，在公元前 600 年到公元前 300 年古希腊学者登场之前是不存在的 . 古希腊数学之所以可以得到这样的赞誉，不仅由于它所具有的相对完整的演绎体系，更在于它将数学看成是探求自然界真知的重要方法和途径，使得数学得以在理性的高度与哲学和逻辑学联系在一起，发展成为人类理性文明的最高级形式 . 坚持一切数学结果必须根据明白规定的公理用演绎法推出，是古希腊人对数学的最大贡献 . 这种朴素的公理化思想的萌芽在亚里士多德那里得到较为系统的发展，他对定义，公理和公设的论述都是合乎现代精神的 . 比如，他认为定义只不过是给一批文字定个名，定义必须用现存于所定义事项的某种东西来表述，他还指出，一个定义只能告诉我们一个东西是什么，并不说明它一定存在，证明存在性要用构造（ Construction ）的方法 . 对于一切学科所共有的真理，他称之为公理，而只为某一门科学所接受的第一性原理称为公设，公理和公设都是不言自明的，公理和公设的数目越少越好，只要它们能用以证明多有的结果 . 这些思想都被欧几里得在《几何原本》中所采纳 . 欧几里得生活于公元前 300 左右的亚历山大城，关于他的生平几乎没有可供参考的历史记载，但他却因为著名的《原本（ Elements ）》，即我们通常所说的《几何原本》（以下均称《几何原本》），而成为最为现代人所熟知的古希腊数学家 . 《几何原本》由古希腊文写成，成书于古希腊文明的亚历山大利亚时期，最初被译成阿拉伯文，拉丁文得以传播 . 全世界有 20 多种文字的版本， 19 世纪末，有一位学者曾研究指出，自 1482 年到 19 世纪末，《几何原本》各种文字一共出版了 1000 多版 . 中国最早的译本是 1607 年意大利传教士利玛窦（ Matteo Ricci ， 1552-1610 ）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（ 15 卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的 . 他们翻译了前 6 卷，后 9 卷由英国人伟烈亚力（ Alexander Wylie ， 1815-1887 ）和中国科学家李善兰（ 1811-1882 ）在 1857 年译出 . 欧几里得《几何原本》共分 13 卷，内容包括了古希腊数学（不仅仅是几何）的几乎所有内容 . 按照亚里士多德的朴素的公理化思想框架，整本书以 5 条公理和 5 条公设以及一些定义为基础，用演绎的方式，将所有的数学命题以证明的逻辑顺序组织在各卷之中 . 公理，公设及各卷具体内容如下，为了能够更好地理解公理和公设文本的意义，我们将英文译本流行的表述也列出来，以便于对照理解： 5 条公理（ Common Notions ）：（ 1 ）等于同量的量彼此相等 . Things equal to the same thing are also equal to one another. （ 2 ）等量加等量，其和仍相等 . And if equal things are added to equal things then the wholes are equal. （ 3 ）等量减等量，其差仍相等 . If equals be taken from equals the remainders will be equal. （ 4 ）彼此能重合的物体是全等的 . And things coinciding with one another are equal to one another. （ 5 ）整体大于部分 . And the whole greater than the part. 5 条公设（ Postulates ）（ 1 ）由任意一点到另外任意一点可以画直线 . Let it have been postulated to draw a straight-line from any point to any point. （ 2 ）一条有限直线可以继续延长 . And to produce a finite straight-line continuously in a straight-line. （ 3 ）以任意点为心及任意的距离可以画圆 . And to draw a circle with any center and radius （ 4 ）凡直角都彼此相等 . All right angles are equal to one another. （ 5 ）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 . If two right lines meet a third line, so as to make the sum of the two interior angles on the same side less than two right angles, these lines being produced shall meet at some finite distance. 5 条公理是对“常识性”的关于“ things ”及其关系（相等，加，减，整体，部分）的事实的陈述，这些事实更多是人们对周围环境的直观认知的结果，也正因此欧几里的将其与后面的 5 条明显关于几何的事实区分为“公理”和“公设”，中文译本通常将“ things ”译为“量”，在中文意境中多了很多数学的意蕴，恰当与否是值得商榷的 . 《几何原本》各卷具体内容如下：第 I 卷：几何基础 . 重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第 I 卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的正逆定理命题 1.47 ， 1.48. 第 II 卷：几何与代数 . 讲如何把三角形变成等积的正方形；其中 2.12 ， 2.13 命题相当于余弦定理 . 第 III 卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理 . 第 IV 卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质 . 第 V 卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论 , 被认为是最重要的数学杰作之一 . 第 VI 卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质 . 第五，第七，第八，第九，第 X 卷：讲述比例和算术的理论；第 X 卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形 . 第 XI 卷，十二，十三卷：讲述立体几何的内容 . 除第 I 卷多给出的 5 条公设和 5 公理条外，每一卷均以若干定义开始，定义之后即以顺序安排命题及其证明 . 比如，第 I 卷包括 23 个定义， 48 个命题，其中第 47 ， 48 个命题就是著名的勾股定理（毕达哥拉斯定理）及其逆 . 第 II 卷有 2 个定义和 14 个命题，其中第 12 ， 13 个命题是勾股定理在钝角三角形和锐角三角形上的推广——余弦定理 . 第 III 卷包括关于圆的 11 个定义和 37 个命题，其中第 35 ， 36 ， 37 个命题是圆幂定理及其逆定理 . 第 IV 卷包括 7 个定义和 16 个命题，涉及到正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正十五边形的作图 . 第 V 卷论述了欧多克斯（ Eudoxus ，约公元前 400 年）的比例论，包括 18 个定义 25 个命题， M. 克莱因认为正是比例论使得古希腊人找到利用几何的不可公度量来替代无理数的方法，按照他的观点，他认为：“ 1800 年以前的数学史实际上所走的道路——完全依据几何来严格处理连续量”，“就欧几里得《几何原本》而言，那里并没有无理数的理论基础” . （ M. 克莱因，《古今数学思想（第一册）》，上海科学技术出版社， 2002.7 ，第 82-83 页 . ）这个观点是值得商榷的欧多克斯的比例论之所以可以解决不可公度量（即无理数）的问题，正是因为比例论在一定意义上给出了实数的理论基础，从而使无理数的问题得到自然的解决，我们将在后续章节中详细讨论这个问题 . 第 VI 卷讨论图形的相似性，包括 4 个定义与 33 个命题 . 第 VII 卷开始用几何量和比例的性质研究数论，有 22 个定义和 39 个命题，其中第一个命题就是著名的辗转相除法 . 第 VIII 卷，第 IX 卷继续讨论数论问题，这两卷都是直接从命题开始，第 VIII 卷包括 27 个命题，第 IX 卷包括 39 个命题，其中第 20 个命题是有名的素数有无穷多，命题 35 给出了等比数列求和公式的一个漂亮的证明，命题 36 给出了一个数是偶完全数的充分条件 . 《几何原本》内容的设计与安排让我们不得不惊叹于古希腊人的智慧（尽管德国数学家 F. 克莱因（ F. Klein ， 1849-1925 ）认为这有些夸大其辞），实际上，《几何原本》不仅是一本几何专著和教材，它囊括了几乎全部古希腊人所知道的数学，几何，数论与代数，并用公理化方法和几何语言统一在一个系统中 . 缅怀和重温这样的经典，感受先贤智者千年智慧的荣光，将会是一件快乐而幸福的事情 . ( 本文摘自博主所著《几何基础：几何学的起源与发展》，即将由北京师范大学出版社出版。 ); 个人分类: 大学数学|6807 次阅读|12 个评论

公理化逻辑系统的缺陷: 热度 9 liuchao666 2012-4-23 22:34; 公理化逻辑系统的缺陷 ——从计算机的思维到人类的思考之二从一个小故事说起：据说，在一座山上，住着一位年老的智者，人们盛传他能回答任何人的任何问题。有个小男孩试图愚弄他，于是就抓来了一只小鸟去找智者。小男孩把小鸟抓在手心，问老人： “ 都说你能够回答任何人提出的任何问题，那么请你告诉我这只鸟是活的还是死的？ ” 。老人完全明白这个孩子的意图，便说： “ 孩子啊，如果我说这鸟是活的，你就会马上捏死它；如果我说它是死的呢，你就会放手让它飞走。你看，孩子，你的手掌握着生杀大权 ” 。作为一个故事，这很容易理解，如果把它形式化，那就显的神奇了，看如下这个定理： “不存在这样一个程序 ( 算法 ) ，它能够计算任何程序 ( 算法 ) 在给定输入上是否会结束 ( 停机 ) ”。定理是这样证明的：假设存在这样一个能判断停机问题的程序 P ，现在我们就可以构造一个程序 A ，在程序 A 中， A 向 P 询问， A 是否是可停机的，如果 P 回答 A 是可停机的， A 就进入一个死循环；如果 P 回答 A 是不可停机的， A 马上就结束；因此， A 的存在就证实了 P 的不存在。当然，这个证明其实并不能完全证实不存在停机判断程序 ( 比如说， P 对 A 进行测试的过程中，可以对先回答停机，或不可停机，测试若干次之后再给出最终的结论 ) ，但是，程序 P 的构造困难恰恰反映了现有形式化逻辑的局限性，无法对客体的独立性进行干预——本质上说，这是一个博弈问题。类似的问题也常常以另外的面孔出现，请看如下的一个悖论：假设有一个集合 A={1 ， 2 ， 3 ， 4} ，同时存在 4 个判断命题： ⑴ X 是奇数； ⑵ X 是偶数； ⑶ X 是理查德数； ⑷ X 是 3 的倍数；首先我们假定有一个映射方法 F ，使得 4 个命题可以分别被映射到一个编码值，不妨令四个判定命题的编码值是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，显然，编码值与命题之间是一一对应的；然后，我们定义理查德数的性质：由于 4 个命题分别在集合 A 中确定了一个子集 ( 比如，编码值为 1 的命题对应 {1 ， 3} ，编码值为 4 的命题对应 {3}) ，如果一个命题的编码值不属于其命题确定的子集 ( 比如 4) ，那么称该编码值是理查德数。显然， 1 ， 2 都不是理查德数；再后，我们分析集合 A 上的数字的性质，显然，每个命题的真假都可以转换为集合 A 上的纯数学判定—— 一个数学命题，要么是真的，要么是假的。现在，问题是 : 3 是否是理查德数？假设 3 是理查德数，即编码值为 3 的命题对应的集合为 {3 ， 4} ，那么， 3 属于集合 {3 ， 4} ，根据理查德数的定义， 3 不是理查德数；假设 3 不是理查德数，即编码值为 3 的命题对应的集合为 {4} ，那么， 3 不属于集合 {4} ，根据理查德数的定义， 3 是理查德数；综上所述， 3 是否是理查德数是不可判定的。如果我们把映射方法 F 叫做哥德尔编码，而把编码值叫做哥德尔数，我们就得到了不完全定理。通过对以上问题的讨论，我们可以发现其中的一些共同的特点：主体基于自身的智能特性，试图对客体作出某种正确性（或客观性等）判断，但是，怪异的是，客体 ( 或命题 ) 知晓了主体的判断方式，并充分利用了主体的判断方法，使得主体的判断不能完全实现——尽管主体的判断可能是正确的，但这种正确性完全取决于客体的意愿而不是主体的智能。以上几个事例，都可以做成一个如下的简化版本： “这个语句是错的”。不要小看“这个语句”，由于“这个语句”对概念语义“错的”有了理解，可以说，他得到了一口仙气，这口仙气已经使得他具有一定的博弈本领 ( 或许这就是点石成金的关键所在吧，据说诸葛亮当年摆下的石头阵，之所以能抵挡十万骑兵，靠的也就是这种理解力 ) 。休谟说，一切归纳问题的结论都是可以怀疑的。事实上，从我们上面的分析可以看出，一切命题自身的真假都是不可确定的。如果命题自身的真假都不能确定，那么公理化系统的理想——试图从几个不容质疑的公理出发，通过形式替换，得到新的正确命题，也就只能是——银样蜡枪头，空有一副好皮囊了。寻找几个所谓的公理范式，然后做一些形式推理，这就是现有计算机思维不及人类的另一个重要原因。; 6251 次阅读|20 个评论

“概率论说”专题之二: zhouda1112 2009-9-2 10:32; 本期主题：概率论能提供哪些数学思维层面上的新意？上期讲到，概率论的第一特征应该是现代数学的重要分支。在许多数学家看来，概率论无非是测度论的上层建筑罢了。的确，现代概率论是根植于测度论的。但是，我绝不同意把概率论划分到分析学或者测度论的范畴，因为这样会抹杀概率论所能提供给传统数学的新角度，新观点。如果大家对近期的一些数学大作，比如菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖）获得者的一些工作有耳闻，您会发现有越来越多的数学大师利用概率论的一些观点和技术解决了传统数学中的大问题。就拿咱们国内来讲，北师大的陈木法院士就利用概率论中的耦合技巧解决了一系列的特征值估计问题。那么说了这么多，概率论到底好在哪？这是个很难回答好的问题。大家学过泛函分析，泛函分析是高度抽象的一门数学，很多初学者会对其中的很多概念感到不适。但是，泛函分析中的绝大多数概念，在概率论中都可以找到对应，而且正因为概率论的概念直观上更便于理解，所以学习概率论可以很好的帮助理解泛函分析的知识。粗略来讲，测度是一种泛函，而在概率论中，测度是分布，分布就是物理直观中的统计性质。这样联系，大家可以用直观的统计性质去理解抽象的泛函性质。那可以说，概率论的好处就是直观吗？也许。但这其中的内容是无比丰富的。正是因为一方面概率论一直保持着跟物理世界的紧密联系，另一方面又根植于现代分析学，所以它往往能对一些传统的数学问题给予更加犀利直截的描述和解读。大量的例证支撑了这一点。许许多多传统数学中深刻的概念，技巧和方法，理解起来晦涩难懂，但尝试用概率论的一些概念解读，就有了新的领悟。典型的例子，如现在很多学者用概率论去解偏微分方程，概率论可以用很直观的语言去表述位势，并给出解的形式。这个贡献是巨大的，偏微分方程的求解问题一直是传统数学的核心问题之一。当然，更重要的是，概率论本身生来并不是为传统数学服务的，它的天职是去解读随机现象。而这块内容，我想单独讨论。; 个人分类: 概率论问题讨论|4961 次阅读|1 个评论

“概率论说”专题之一: zhouda1112 2009-8-29 21:04; 本期主题是：现代概率论是现代数学的重要分支。这是我首先要强调的，概率论，特别是现代概率论，它的第一属性应该是现代数学分支。为什么要加现代二字？长期以来，数学界形成了一个共识：数学是要建立在公理化体系之上的。唯有建立了公理体系，这门数学才有了根基，才有了进一步逻辑推演的可靠性（当然这里有个逻辑中的相容性问题）。所以，虽然数学有哲学层面的关系，但是只要建立了合理的公理体系，数学更多的依靠逻辑运算，而不是空谈思辨。公理体系不难理解，高中学习欧几里得几何学，不就是从几个公理出发而建立的整个欧式几何的大厦；大学数学中，高等代数和实变函数等等都有明显的公理体系方面的训练。好了，现代概率论，也就是自从苏联数学大师Kolmogorov建立了概率论的公理体系，概率论在数学层面上就没有问题了，进而也得到了数学界的广泛承认。在此之前，概率论也得到很好的发展，但那时的一流数学家没有谁承认概率论是数学的分支，原因就是概率论无法像代数分析几何那样建立合理的公理化体系。讲了这么多，我意在回答大家的一个普遍问题：概率到底有没有意义？这是被问到最多的问题。如果这个意义指的是有没有实际意义或者应用价值，那不是纯粹数学首先应该回答的问题，因为数学这门学科本身就具备一部分特性是不必服务于科学的。但至少我能回答大家，概率在数学上的定义是硬的。至于概率论的应用价值，那是个见仁见智的问题。那作为本文的结束，我简单介绍一下，概率论的公理体系到底规定了怎样的事情？简单讲，就是要建立合理的概率空间。概率空间大致上要规定： 1、概率事件取自于怎样的空间， 2、怎样分配不同概率事件的发生概率。也就是定义概率测度。第1条好理解，比如探讨赌博问题，概率事件无非就是赌博可能的一些结果；而天气问题，概率事件就是可能出现的天气状况。所以面对不同的问题，空间是不一样的。那第2条，就是要预先给定一个概率测度来刻画所面对的问题，就是预先给定事件发生的可能性。打个比方，比如赌博问题，庄家只有两种结果：输和赢。也许在澳门的赌局中，输赢的概率分别是1/2和1/2；在拉斯维加斯的赌局中，输赢的概率则是2/3和1/3。于是，我们可以说，澳门和拉斯维加斯所指定的概率测度是不一样的。好的，本来一切都相当顺利，但是如果您较真儿一点，你会问：你怎么知道输赢的概率到底是不是1/2呢？对，这是个极妙的问题。我们的确不可能确切知道一个事件发生的概率到底是多少，我们能观察的只有频率是多少。我们之所以说澳门赌局输赢概率分别都是1/2 ，是因为我们经过大量经验的判断，频率大致上就是一半一半。我想，这也是大家的普遍困惑，大家质疑的部分集中在这个先验给定的概率是否合理。但是我想告诉大家，公理本身就是无法验证，它的提出本身就是有直觉成分的。数学当然应该对公理体系的合理性负责，数学家理应尽量提出合理的公理体系。但他们不可能负全责，因为那是人类的局限。所以，我希望，大家明白，做现代概率论研究的数学家面对的概率空间大都是从物理直观提出来的，历史证明，这些概率空间对于理解物理现象都是意义重大的。而且，一旦概率空间确定下来，概率论就不再会纠缠于哲学或者实用的双重思辨，她会眺望远方，等待着数学家发现一个又一个精妙的数学结构，而这些工作都是经得起逻辑考验的。; 个人分类: 概率论问题讨论|4873 次阅读|0 个评论

"概率论说"专题（引言）: zhouda1112 2009-8-29 20:03; 本次开始，我想用几次机会，结合我本人的学习体会，向大家传达一个信息：概率论不单单是帮助大家买彩票的几个计算公式，也不单单是哲学层面对于不确定现象的思辨。或许我也不能用几句话告诉大家概率论到底是在干嘛，但是我需要对概率论做一点点解释。上一篇博客，我讲到在北航参加复杂系统会议的一些体会；也就是那段时间，有个还挺出名的科普杂志的封面策划就是概率论。我饶有兴致的翻开看了看，发现里面基本上是在介绍赌博，彩票和天气预报之类的问题。作为科普，利用这些老百姓喜闻乐见的话题来吸引眼球，无疑是成功的。但是，如果广大科学工作者，也仅仅是把概率论当作是计算一些彩票中奖概率之类的工具，或者是困扰于概率论到底能不能预测现实之类的思辨，我就觉得应该跟大家传递一些什么。也许我并不能很好的实现我的初衷，但是我会尽力跟大家分享，相信总会留下些什么。我给这个专题起了个很雷人的名字，叫《概率论说》。。。。。。; 个人分类: 概率论问题讨论|4403 次阅读|0 个评论

概率论的严格化: zhouda1112 2009-3-3 15:07; 前面提到，直到 20 世纪初期，概率论仍徘徊于主流数学的门外。我们可以听听 20 世纪初期一些数学巨匠关于概率论的言论。 Poincar ：人们难以给出概率的一个满意定义 Mazurkiewicz ：概率论并不是数学教学的一个独立成分；它的基本概念尚未完全奠定。但从另一个侧面，我们可以窥见在那一时期，许多数学家都在关注概率论严格定义的问题，虽然他们的尝试大都没有成功，但是科学的发展就是这样，当某个问题得到这个行业的高度关注时，必定会催生相关领域的快速发展。其实数学中所谓的好问题，就是那些能带来很多研究机会的问题。所以，不管是那个时期的概率论的体系建立问题，还是现今的费马大定理，庞加莱猜想等著名问题，其本身的意义固然重要，但更重要的是它们带来很多有价值的研究方法。正因为此，当有人问起 Hilbert 为什么不去证明费马大定理的时候，他说那么好的一个问题为什么要去解决它呢？回到概率论体系建立的问题。现在，凡是受过概率论基础教育的人都知道，苏联数学家 Kolmogorov 于 1933 年创立了概率论的公理体系。个人认为， Kolmogorov 之于概率论的意义，就如同 Newton 之于经典物理学的意义。 Newton 对其学术成就最经典的言论是我站在了巨人的肩膀上。某种程度上， Newton 是时代催生的英雄，虽然我们不否认 Newton 的天才。 Kolmogorov 也存在这种类似。我们就来看看那个时代都发生了什么？首先是测度论的发展。 1902 年，法国人 Lebesgue 的论文《积分，长度与面积》首次把中的长度和面积概念推广到一般Borel集的Lebesgue测度；1913年，Radon进一步研究了中在紧集上为有穷的一般Borel测度；1915年，Frechet提出了抽象可测空间上的测度和符号测度概念；1930年，Radon-Nikodym给出了著名的Radon-Nikodym定理。值得注意的是，在这28年间，测度论一直是作为分析学的一部分在发展。但随着Radon-Nikodym定理的完成，测度论已经为概率论的严格表述提供了所有关键性工具。其实在 Kolmogorov 提出概率论的公理体系之前，很多数学家已经将测度论应用到了概率论当中。 1909 年， Borel 已经把区间赋以的 Lebesgue 测度看作概率测度；另外， 1923 年， Wiener 应用 Daniell 处理测度论的方法来研究 Brown 运动。这里不详述 Kolmogorov 工作的具体内容，包括至 20 世纪 50 年代的许多对 Kolmogorov 体系的延伸性工作，它们在历史上都被视为概率论学科真正严格化的标志性成果。另外，我们发现俄罗斯（包括前苏联）对于概率论的贡献非常大。从 19 世纪的代表人物 Chebyshev ， Markov 和 Lyapunov ，到 20 世纪的 Slutsky 、 Khinchin 和 Kolmogorov ，他们都为概率论的发展作出了卓越贡献。俄罗斯（包括前苏联）数学家总都会带给世界数学界很多震撼，以莫斯科大学为主体的俄罗斯数学拥有极好的传统，他们的讨论班组织得尤其出色，其水平之高令人叹服。据说 Kolmogorov 关于概率论的体系就逐步形成于讨论班。; 个人分类: 概率论历史与人物|8034 次阅读|0 个评论

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