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倘若计算的话，就会追究下去: 热度 9 youmingqing 2017-10-29 11:54; 0 2017 年 10 月 28 日星期六上午八时半下楼往荷花池晒太阳，遇到去办公室“干点儿活儿”的 JH 教授——科学网的名博呢，对力学乃至科学的研究发表过许多精辟见解。我说，“《工程力学》之外您还开什么课”。教授答道，“讲几何啊”。 “对呀，球面几何！这可是测绘的主打课程呢”，我停住脚步，转过身面对着教授，“请教个问题。在徐光启这些人接触利玛窦之前，我们中国人知道地球的半径、直径或周长吗？” 教授也就立定说话，“不知道，肯定不知道。我们认为大地是平的，在徐光启之前还没有球体的概念吧，当然不会进行相关的测量和计算”。 “中国人移动范围很大的，苏轼还到过海南岛，在回归线以南呢。他们没有注意到日照的角度不同？距离是知道的啊！只要追究下去，不就可以确认大地不是平面，进而计算出地球的半径”。教授说：“我们认为一切就该是这样，例如看灯，不同位置看当然是不同的。认为天球在运动，也就能够解释所见到的现象。黄道和白道的概念我们早就知道”。 “是啊，我们能够预报月蚀。不过，若大地是平的，势必要无限延展，那么天球怎么能运行呢？这不是个问题吗？太阳总是很大、很远的。”。 “我们讨论见到的现象，不会进行抽象分析的。实际上利玛窦带来的科学知识并没有得到传播和普及，直到严复翻译《天演论》，民众才真正了解了大地是球体”。其后教授边走边说国人对科学的态度，到测绘学院楼前也就说再见。路上叙谈不能深究。晒了太阳之后，回来略作计算——大地就该是个球体啊，怎么没有注意到呢。 1 在两点处测量远物的张角可以确定其高度；没有三角函数表，可以直接测量 h 以及 D 点到观测点的水平距离而计算角度的余切，也可以基于三角形相似进行计算,或作图之后图上测量 H 。这是初中数学知识；而三国魏人刘徽 ( 公元 263 年 ) 所撰《海岛算经》已有相关说明。测定直立的表柱在圭面上日影长度，就是可以确定正午太阳光线与地平线夹角的余切，并不是直接测量角度。冬至日影最长。祖冲之 (429~500 年 ) 已经进行相关测量，用于确定回归年长度并制定历法。 2 明朝永乐十九年 (1421 年 ) 正式迁都北京，原都城南京仍留有六部等机构作为陪都。两都之间因京杭大运河而联系紧密，计里画方的地图以及圭表测量的结果也总是有的。南京和北京两地南北相距约 890km ，纬度分别是 32.0 和 40.0 。在春分和秋分太阳直射赤道时，正午太阳光线与当地水平线的夹角就是该地纬度的余角，即 58.0 和 50.0 度。一年之中，太阳直射点在南北回归线之间移动，两地正午太阳与水平线的夹角也就产生同等变化，幅度为正负 23.5 度。这些想来可以得到明代实际测量的确认。假如大地是水平的，基于测量结果和前述几何公式可以确定一年之中正午太阳的高度和在北京之南的水平距离。图中曲线上每一点与北京、南京连线，两线夹角都是 8 度；或者说每天南京和北京的正午太阳与水平线夹角之差恒定。这是实际测量结果啊。 3 假如得到了这样的曲线——太阳正午的位置，那么就会出现下列问题： (1) 基于徐州 - 北京或者杭州 - 北京的圭表测量结果，得到的曲线并不相同。当然，可以用测量误差来解释。不过，以徐州、南京、杭州三地冬至日的测量结果分别与北京的进行计算，得到正午太阳高度为 1516 、 1614、1686km ，变化规律且达到 10% ，似乎测量结果能够反映这样的变化。冬至日的测量精度总是很高的。 (2) 夏至日与冬至日的太阳距南京远近差异显著，且不说冷热与常识不符，南京人总应该冬天见到的太阳大而夏天见到的太阳小啊？“物远则微”可是常识呢！ (3) 只要有南北两地冬至日圭表的测量结果，就可以计算太阳的位置和视直径。太阳视直径随北向南而增加的计算结果与实际观察不符；而冬至日的正午太阳至南京距离为 2850km ，计算太阳直径为 26.4km 。如此太阳能给大地提供那么多的热量吗？太阳视直径即张角总是容易测量的，张衡 ( 78~139 ）《灵宪》有“ 悬象着明，莫大乎日月。其径当天周七百三十六分之一 ”, 即日月直径为 29ʹ.21ʺ 。现代测量的太阳张角是 31ʹ.59ʺ 即 0.53 度，而月亮张角因距地球远近不同而在该值上下略有变化，也就可以出现日全食和日环食。清晨所见太阳较大、中午所见太阳较小，那只是参照物有无引起的视错觉，若是实际测量张角也是相同的。郭守敬 (1231~1316 年) 在河南登封建筑观星台，制作巨型圭表以提高冬至正午日影的测量精度。不过，他计算过或者想过太阳在天空中位置吗？ 4 在测量日影长度之后，我不知道古人有没有计算太阳的高度和距离，有没有追究过“春夏秋冬、东西南北所见太阳大小总是相同”。倘若有此计算和追究，那么就会知道太阳离我们很远很远，进而判断依据两地圭表所测日影的计算有误。自然而然的结果是，对“平面的大地”产生怀疑。只要有怀疑，就会有新的想法啊。曲线图的纵横坐标比尺相同。照片来自网络，不做商业运用，致谢拍摄者。; 个人分类: 文史闲谈|10759 次阅读|21 个评论

董英哲，姚远.刘徽的数学思想: kexuechuanbo 2016-5-23 16:02; 董英哲，姚远.刘徽的数学思想 .曲阜师范大学学报（自然科学版），1987,13（4）：99-108. 刘徽的数学思想_董英哲.caj 刘徽的数学思想推荐 CAJ下载 PDF下载 CAJViewer下载不支持迅雷等下载工具。免费订阅曲阜师范大学学报(自然科学版) , Journal of Qufu Normal University , 编辑部邮箱, 1987年04期【作者】董英哲；姚远；【Author】 Dong Yingzhe Yao Yuan (NORTHWEST UNIVERSITY) 【机构】西北大学；【摘要】魏晋时代的伟大数学家刘徽,开辟了我国古代数学理论化的道路,在数学的很多领域内做出了重要贡献。从《九章算术注》和《海岛算经》中可以看出,他已经熟练地运用了形象思维和逻辑思维,解决了很多重要的数学问题,并且他已使自己的数学思维沿着辩证法的道路向纵深发展,从而建立了多样性和一体化的思维结构。更多还原【关键词】九章算术注；海岛算经；阳马；极限思想；堑堵；弧田；句股；商功；方亭；魏晋时代；【文内图片】【下载频次】68 刘徽的数学思想_董英哲.caj; 个人分类: 科学史论文|2376 次阅读|0 个评论

高考与科举，“阳马”与“鳖臑”: 热度 23 lev 2015-6-8 23:15; 高考与科举，“阳马”与“鳖臑” 一、高考与科举今年高考落幕了。这两天大家都在讨论各地作文题，遂有各种意识形态之交锋（其实也就是一阵风，周期性发作）。无论文理，就所有高考科目来说，大家讨论作文题的”知识阈值“大概是最低——不服还不行，现在高中化学就在讲泡利不相容原理、sp杂化轨道了...... 另一方面，对作文题的青眼相加多少也与科举传统有关。以隋唐为例，举士诸科有秀才、明经、进士、俊士、明法、明字、明算等五十多种，其中又以进士、明经两科为重，前者考时务策论与诗赋，后者考时务策论与经义，这做文章自是最要紧之工夫——明朱元璋后，这文章的中心思想就被限定在“程朱理学”（谁叫重八兄要尊朱老夫子为祖宗呢），这内容就被限定在“四书五经”，而格式就被限定为“八股”（个别“老少边穷地区”，可用“六股”）。时常有人拿高考比科举，可以得出自己想要的一些论断。按兄弟我的观点，今天的高考至多相当于正式科举前的“小试”——包括县试、府试和（贡）院试，考中者获“生员”资格（俗称“秀才”），进入各级县学、府学学习。而正式的科举——乡试（解试）、会试（京试、省试、礼部试）、殿试，还早着呢！完整的科举程序，考生最后获得的功名是三榜进士——进士及第（只有三个，名号大家都晓得）、进士出身、同进士出身。其中优异者选“庶吉士”入翰林院，这就是国家重点培养干部，在明朝是日后入阁宰辅的必要条件。剩下的，分派六部百司“观政”（相当于实习干部），等着外放一任知县。也就是说，科举考中后，你就进入国家高级公务员序列了，而且一出手就是县处级——这岂是今日高考可比拟的，“你爸是李刚”也不行啊——除非，你爸是隔壁那个什么什么King...... 二、“阳马”与 “鳖臑” 作文在语文一科中分数虽重，但放到整个高考来看也没有想象中那么要命。毕竟只要中规中矩地写（这时“八股”的传统优势就有了），60分得个40多分也是寻常之事。除了作文外，其实各科大小题目都能引出不少有趣的话题。这不湖北的文科数学卷子就在网上炸锅了：这是一道立体几何 20、（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE。 (I) 证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑。若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (II) 记阳马P-ABCD的体积为V 1 ，四面体EBCD的体积为V 2 ，求V 1 :V 2 的值就这道题本身而言，并不困难，中等水平及其以上的学生应该都能顺利完成。它的特殊之处在于，提供了一个背景信息（一般在教学内容之外），需要考生阅读理解并加以应用，这就是所谓的“新信息题”或“新材料题”——听说近年是挺时髦的命题方向。这种题反而还要简单些，因为你根本不必知道《九章算术》、“阳马”,更不用琢磨“ 鳖臑 ”的读音,只要具备正常的阅读和知识迁移能力就足以应付这道题了。但是人民是需要娱乐的，尤其是刚刚解放的考生们。我现在见到网上的段子包括： “鳖臑！出卷老师你别闹！” “别闹（鳖臑），回家养马（阳马）吧。 ” 幽默，相当幽默！不过话说回来，高中生了解一点《九章算术》乃至“阳马”、“ 鳖臑 ”之类的东西，也不是什么坏事。既然说到这里，我就做个“注释”：三国魏的算学家刘徽在公元263年为《九章算术》（这是后来隋唐科举明算科的官定教材“算经十书”之一）做注。在《九章》第五卷《商功》有第十五问：今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？　　答曰：九十三尺、少半尺。　　术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。刘徽注：邪（斜）解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成一立方，故三而一。立方=堑堵+堑堵堑堵=阳马+ 鳖臑这条注释被后代算家称为“阳马术”，是刘徽推算阳马体积公式（“ 广袤相乘，以高乘之，三而一 ”，即“阳马”体积为三条直角边乘积的三分之一）的方法，其中为了推算这个“不易之率”，刘徽还发展了一种疑似用到“极限”的“算法”： “其使鳖臑广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖臑之棊各二，皆用赤棊。又使阳马之广、袤、高各二尺，用立方之棊一，堑堵、阳马之棊各二，皆用黑棊，棊之赤黑，接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中效其广，又中分其高，令赤、黑堑堵各自适当一方，高一尺，方二尺，每二分鳖臑则一阳马也。其余两端各积本体，合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棊改，而固有常然之势也。按余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广袤高之数各半之，则四分之三又可知也。半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉。数而求穷之者，谓以情推，不用筹算。 ” 至于此中奥妙与“极限”思想之渊源（与古希腊诸学派做个对比当是个有趣的题目），烦请数学史家给我们科普科普 ...... 刘徽; 个人分类: 莫名其妙|31008 次阅读|55 个评论

牟合方盖与球的体积计算: primeacademy 2013-8-17 15:12; 中国古代数学家在探求球体积的计算过程中 , 创造性地发现了一个非常和谐美妙的被称为“牟合方盖”的几何体。这与西方球体积计算 ( 最有名的是阿基米德的穷竭法 ) 趣味迥异，别有洞天。 “牟合方盖”是上述 2 个底面半径相等的圆柱垂直相交交叠部分构成的几何体 . 刘徽在《九章算术注》中，指出，牟合方盖的体积与内接于其中的球的体积之比等于 4 ： pi( 圆周率 ) ，这可能是依据上述直观理解得到的结论：在同一高度的截面上，球的截面面积是 pi 倍的球半径平方，牟合方盖截面的面积是 4 倍的球半径平方，而两个几何体高相同，于是，体积之比等于同一高度上的截面面积之比。这样，球体积的计算就归结为牟合方盖体积的计算。很可惜，刘徽没有完成后一步。祖暅利用上图的发现（同一高度处的阴影部分面积相同， why? ），将牟合方盖的体积计算成功归结为正方体体积与四棱锥体积的计算，完成了球体积计算的最后一步（算算看，球体积是多少？）与东西方文化整体的大格局一致，古代东西方数学也经常呈现出交相辉映的特点，深入其中，美不胜收！; 个人分类: 高中数学|20613 次阅读|0 个评论

刘徽的数学思想: kexuechuanbo 2010-9-10 22:49; 刘徽的数学思想刘徽的数学思想; 个人分类: 科学史论文|2797 次阅读|0 个评论

《中国古今数学家九杰》——李明编纂: 初数爱好者李明 2009-1-16 19:19; 前言：依据多本数学家传记里的重复度和大众的熟悉程度，以国内权威的《数学辞海》（第六卷）里的“中国数学家”栏目为蓝本，汇总出如下“中国古今数学家九杰”，并根据每个人的特点以七字概括.他们代表了我国各个历史时期的数学水平和数学文化. 1. 赵爽（约3世纪初，三国吴国人）——千古“弦图”证勾股注释《周髀算经》，创“弦图”证勾股定理，该图成为2002年北京国际数学家大会会徽. 2. 刘徽（约3世纪，魏晋山东人）——富含极限“割圆术” “中国古代最杰出的数学家”，注释了《九章算术》，创 “割圆术”求得“徽率”π≈3.1416.得到“刘徽公式”V(牟合方盖)/V(内切球)=4/π. 3. 祖冲之（429-500，南北朝江苏人）——七位圆周精诚致求出3.1415926π3.1415927，得到密率335/113（现称“祖率”）和疏率22/7.与其子祖暅利用“祖暅原理”求得球体积公式.著《缀术》五卷. 1967年，国际天文学家联合会把月球上的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，将小行星1888命名为“祖冲之星”. 4. 秦九韶（1202-1261，南宋人）——“众人皆醉我独醒” 著成世界数学名著《数书九章》，标志着中世纪世界数学的最高水平. 书中创造的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，等价于西方1801年德国高斯的同余理论，被西方誉为“中国剩余定理”.书中还创造了求任意高次方程数值解的“正负开方术”，等价于1819年英国人霍纳的同样解法.给出了多项式求值的“秦九韶算法”.创造了解线性方程组的“首图—终图法”，等价于高斯消元法.给出了求三角形面积的“三斜求积公式”，等价于古希腊数学家海伦于公元50年给出“海伦公式”. 5. 李善兰（1811-1882，清朝浙江人）——饱学之士贯中西 “中国近代最杰出的数学家”.通古达今，学贯中西，官居三品，1968年任京师同文馆（今北京大学）算学总教习直至逝世.证明了“费马小定理”，提出了著名的“李善兰恒等式”，1945年著《方圆阐幽》提出“尖锥术”.1852-1859年，与伟烈亚力合译了欧几里得《几何原本》后九卷、《代数学》13卷、《代微积拾级》18卷，创造术语：微分、积分、函数、方程、切线、法线、渐近线等. 6. 苏步青（1902-2003，浙江人）——百年热血献教学 1931年获日本东北帝国大学理学博士学位.1932年任浙江大学数学系主任，1955年当选为中科院院士，1956年获国家自然科学二等奖，1978年任复旦大学校长，1980年任《数学年刊》主编.研究方向：计算几何、微分几何.先后发表论文150多篇，著有《计算几何》（1981）、《仿射微分几何》（1982）等专著9种.1991年起设“苏步青数学教育奖”，奖励中学数学教育或教学研究的杰出工作者，该奖是国内数学教育的最高奖项.2003年，国际工业与应用数学会设立了“苏步青奖”，该奖是首个以中国数学家命名的国际数学奖项. 7. 华罗庚（1910-1985，江苏人）——中国数学掌门人 1985年6月在日本东京大学作学术报告时突发心脏病去世.1936年赴英国剑桥大学进修，期间提出“华罗庚不等式”.1938年任西南联大教授.1940年完成巨作《堆垒素数论》.1946年访问苏联，同年秋任教于美国普林斯顿大学.1950年回国任教于清华大学，1951-1983年任中国数学会理事长、中科院数学研究所所长.1956年获国家自然科学一等奖.1957年著《数论导引》.1965年推广“优选法”和“统筹法”.1978年任中科院副院长.1980年在第五届国际数学教育会议上作工作报告.1982年当选为美国全国科学院外籍院士.1983年当选为第三世界科学院院士.研究方向：解析数论、典型群、矩阵几何、自守函数论、多复变函数论.1983年得出“华罗庚定理”.培养了陈景润、王元、潘承洞、龚昇、严士健等著名数学家.1991年起中国数学会设立“华罗庚数学奖”. 8. 吴文俊（1919-2017 ，上海人）——机器证明显神威 1940年毕业于上海交大，1949年获法国国家博士学位，1951年回国任北大教授.1956年获国家自然科学一等奖，1957年被增选为中科院院士，1970年代对中国古代数学史进行了系统研究，1976年起逐渐完成了定理机械化证明，其算法被国际称为“吴方法”，1980年任中科院系统研究所副所长.1983-1987年任中国数学会理事长.1986年应邀在国际数学家大会作报告（中国数学史）.1990年当选为第三世界科学院院士.2001年获首届国家最高科技奖，2002年北京国际数学家大会主席.发表论文100多篇，有《几何定理机器证明的基本原理》（1984）等专著. 9. 陈景润(1933-1996，福建人)——哥德巴赫“1+2” 1953年毕业于厦门大学，1956年由华罗庚调入中科院数学研究所工作，1979年升为研究员.1980年当选为中科院院士.研究方向：解析数论.对华林问题、圆（球）内整点问题、塔林问题等著名数论问题作了改进.20世纪60年代证明了哥德巴赫猜想之“1+2”，被国际誉为陈氏定理，至今仍是最好结论.1982年他与王元、潘承洞共获国家自然科学一等奖.著作有《初等数论》、《1+1除外集》等.; 个人分类: 教育感言|7403 次阅读|1 个评论

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