原载 http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140101pzbh.html 从“Donoho”起而很注意 2013年的 邵逸夫奖，不因为那是华人给了美国科学家的价值高达百万美元的大奖，而是因为获奖者的《自我介绍》（ Autobiography，2013-09-23，香港），提到了小波和最佳降噪（optimally denoise, …, I used wavelets to optimally remove noise from certain kinds of signals and images），而且有些还涉及到了“灵感、激励”的问题（inspired me (age 21!). I was inspired!）。挺“可爱”的。 尤其引人注目的是：《自我介绍》共有12个段落，其中的10段落，都反复提到了基于“l1范数” （ l1-norm minimization，l1-minimization）的优化问题，甚至有时直接地针对了“残差的l2范数”做比较 (by minimizing the l1 norm of residuals rather than the l2 norm)。 还没有去查，Dr.Donoho的l1- 最小化的细节。这里，不妨假设，其用法与普通用法有共同之处，这正如，其降噪方法中的小波系数的皱缩，与FFT域镶边滤波、数据低秩逼近（包括降噪）中的奇异值截断技术，是相通的。不管Dr.Donoho的l1-最小化，其实质和应用形式，与人们常说的“l1范数”的精确关系如何，那些字面就都提醒了居士一个问题： 在评估小波皱缩降噪法的性能时，用“误差的 l1范数”，结论是否会明显有利于wden和Donoho阈值呢 ？ 由于l2范数以其较明晰的欧氏几何含义和物理背景，例如与能量、标准差、均方根的联系，而被广泛应用。简易门限处理中的“能量Power”,明显带着l2范数的意义。在《当分尺度的简易门限的降噪法直面经典时》（2014-05-25）的程序中，由norm(xd-x)得降噪处理后的误差序列的范数，由norm(xn-x)得降噪前的误差序列的范数，用它们的比值作为评价指标，这里的序列xd是把xn做降噪后的输出结果。使用的Matlab的函数norm在像这样只有一个输入时，默认l2范数。 《经典阈值不分软硬而依赖于尺度给降噪带来混乱》（2014-05-18）等的那些结果，不令人愉快。依据定理、确界等繁琐形式，导致的“最佳解”或“自适应性”，反而落得了更多麻烦。例如，在处理wnoise的信号时，用rigrsure，对分解深度条件更敏感，这就多引入一个麻烦；如果，在非per模式下用wden式的分尺度处理，那么，系数序列的长度的含义和噪声方差，也必须“近似”。以前提到的在居士的程序中的烦人“警告”，正对应了以rigrsure做分尺度处理时的一个失败点。这些日子里，居士也总想从前面的试验中挑毛病，以用更充分的试验否定那些结论。 附带强调：不能把基于SURE的降噪的自身病态，误认为最小周期化变换模式及其深分解的理论障碍；把“深分解”视为不合理，也就抹杀了小波包变换可实现的频率分辨率；否定了能量守恒（如傅立叶变换中的帕斯瓦尔定律；Matlab的dwtmode的小波变换的zpd模式，不需“重复边界数据（与补零相比，有趣的处理）”的per模式）的变换，加之具有世界影响的软件平台的默认选择的Shannon熵的计算程序的失误，也就很大程度上摧毁了小波包的研究。但愿，居士个人全自费，通过博文做的研讨，有积极意义。 Matlab的函数norm，如果有第二个输入，即用norm(xn-x,p)和norm(xd-x,p)时，可给出lp范数（Matlab的帮助文档称p-norm）的结果，用于评估降噪性能。在上面提到的程序中改用l1范数，并将最后显示的MeanAndStd特别地更名为Error_l1_norm_Ratio_MeanAndStd,再运行，可见如下图片中的结果。这里，与wden的结果比，简易的能量门限降噪的结果，看起来仍然更好些。 新浪赛特居士SciteJushi-2014-05-30。
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