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次序中的物理学: 热度 20 qhliu 2012-6-6 00:54; 数学中有许多计算上的前后次序问题，不同的次序甚至不同的处理方法给出的结果不同。要用一个可控的规则给出一个可以接受的结果，就产生了积分主值，级数主值，函数主值等概念。物理中也有许多计算上的前后次序问题，不同的次序的物理结果可能不同。孰是孰非 ? 尽管有些规则可援，很多问题却不能从物理原则方面给出判断。最有名的例子就是量子场论中的重整化规则，李政道和杨振宁还给出过一个统计物理的例子。一、数学中的次序一例学习理论物理，绕不过如下积分 ( 缩写形式 ) (1) 用狄拉克的说法 ( 取 )( Principles ， P.61 ， Eq.(15) ) (2) 这个式子，表示在实轴上对 1/x 进行积分时，应当取主值部分。细究这个问题，会发现有一个次序的不可颠倒性。考虑复平面上的熟知的回路积分当m 取正实数，根据约当引理，回路积分等式右边的第四项积分(实轴上以原点为圆心的大半圆)为零；而 m -- 0+ 时，等式右边的第一、二项为在实轴上对 1/x积分的主值；第三项积分结果为 i pi ；再由残数定理，方程左边积分值为零。故得： (3) 这个积分中，不只有一个先后次序。但这里只讨论其中大家不太注意的如下次序问题。次序一：先取 m 有限，给出积分，然后让 m -- 0+ ，有积分结果 (3) 。次序二：先让 m -- 0+ ，约当引理用不上，得不出结果 (3) 。如果没有物理实验的支持，不知道数学本身能否判断这两个次序哪一个正确? 而物理实验的结果，举凡来自量子力学、量子场论、凝聚态物理、统计物理等等，都支持次序一，无一例外。二、李政道和杨振宁给出的例子：物理中有次序范德瓦尔气体状态方程比理想气体高明的地方在于它可以初步描述相变，而真实的情况就复杂很多。考虑一个量子非理想气体，从高温往低温降温，必定会经历相变。在统计物理中，先把配方函数写出来，就可写出物态方程。在数学上，物态方程由一个无穷级数表示，而这个级数的每个项的系数都是体积 V 的函数。下面有两个次序：次序一，先把无穷级数求出来，再让V取无限。次序二，先取V为无限，再求无穷级数。李政道和杨振宁发现，只有次序一才是合理的。而次序二，历史上被很多巨擘使用过 ( 例迈耶、玻恩、乌伦贝克等 ) ，李杨认为他们从“猜想到‘证明’都是错误的”。就这个问题，李政道提出如下猜想：先让体积 V 有限，研究无穷级数的性质然后让V取无限， “这是合乎物理实际的” ( 统计力学， P.113 ) 。三、推广的李杨猜想：次序中有物理在理论物理中，如同时涉及纯数学极限和物理极限的计算，应该先完成数学处理，然后再取物理近似。不妨称之为推广的李杨猜想。例子1 ：统计物理中这类问题很多，一般的规则应当是最后取热力学极限，因为热力学极限是物理极限。例子2 ：时空问题麻烦一点。完全可以认为四维的时空就是时空的全部，无须假设更高维时空的存在。也完全可以假设四维的时空是嵌在更高维时空的一个超面，而四维以外的时空卷起来了。这两个理论是反映的是不同的宇宙观！是不同的宇宙理论。例子3 ：近十来年，物理学界关注碳纳米管的如下问题。碳纳米管上载流子的输运、碳纳米管本身绕对称轴的旋转 ( 参见： Physical Review B, 65(2002) 161401(R) ) 等，存在如下次序问题：次序一：碳纳米管是一个几何面，厚度为零。旋转是绕刚性轴进行的，建立量子力学。结果表明能量没有零点能。次序二：几何面实际上是物理上有厚度的薄壳的极限，先有薄壳内的量子力学，然后让厚度为零。结果表明有零点能。东京工业大学的尾上順教授小组，四月份报告了一个漂亮的实验结果，首次证明次序二是正确的!(Jun Onoe, et. al., Observation of Riemannian geometric effects on electronic states, EPL,98(2012)27001 ). 不要小看这个零点能。试看茫茫宇宙，暗能量还是一朵乌云哩。; 个人分类: 大学教育|10320 次阅读|57 个评论

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