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《走近混沌》-4-再回到分形龙: 热度 13 tianrong1945 2012-8-20 08:20; 第四章：再回到分形龙两人一看，张三本子上画的是下面的图形：图（ 4.1 ）：谢尔宾斯基三角形据张三介绍说，这是另一种很简单的分形，由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（ Wac ł aw Franciszek Sierpi ń ski ， 1882-1969 ）而得名。谢尔宾斯基主要研究的是数论、集合论及拓扑学。他共出版了超过 700 篇的论文和 50 部著作，在波兰的学术界很有威望。图（ 4.2 ）：纪念谢尔宾斯基而发行的邮票和谢尔宾斯基奖章张三说，他原来怎么也想不通维数为什么会是一个分数？后来，谢尔宾斯基三角形的生成过程使他有点开窍！你们看，这个分形可以用两种不同的方法产生出来：一种就是图（ 4.1 ）那种‘去掉中心’的方法：最开始的第一个图形是个涂黑了的三角形，显然是个 2 维的图形。我们对它做的迭代变换就是挖掉它中心的三角形，成为第二个图，然后，再继续挖下去…… “开始我想，无论怎么挖，不都应该还是好多好多 2 维的小三角形吗？所以图形总是 2 维的……”张三说：“但后来，我在网上发现有另外一种方法，也能构成谢尔宾斯基三角形……” 张三在本子上翻出另一张图给朋友们看：图（ 4.3 ）：由曲线的迭代生成谢尔宾斯基三角形这种方法是从图（ 4.3 ）中（ 1 ）所示的曲线开始迭代，迭代无限次之后，最后也得到谢尔宾斯基三角形。而曲线是一维的，按照张三原来那种经典的想法，谢尔宾斯基三角形好像又应该是 1 维图形。所以张三发现：有些图形的维数不好用原来那种经典的方式来理解，当进行无穷次迭代后，几何图形的性质发生了质变，维数也不同于原来的生成图形的维数了。看起来，谢尔宾斯基三角形的维数应该是一个介于 1 和 2 之间的数。但到底是多少呢？张三看见李四给出了一个计算分形维数的公式，便急于想要把这个分数算出来。根据李四所解释的方法，张三从图（ 4.1 ）或图（ 4.3 ）右边的最后一个图计算分形维数。你们看：将图形按照 2 ： 1 的比例缩小，然后，用 3 个小图放在一起，就可以构成和原图一模一样的图形。因此，张三很快地算出了谢尔宾斯基三角形的豪斯多夫維数 d = ln(3)/ln(2) ≈ 1.585 。下面，我们再回头研究分形龙的维数。第一章的图（ 1.3 ）描述了分形龙的自相似性。从图中看出：如果将分形龙曲线，尺寸缩小为原来的一半之后，得到右上图的小分形龙曲线。然后，将四个小分形龙曲线，分别旋转方向，成为如右下图的位置。最后，再按照右下图中箭头所指的方向，移动四个小分形龙曲线，便拼成了左下图的、与原来曲线一样的分形龙曲线。因此，如此可以证明，分形龙曲线的豪斯多夫維维数为 2 ，因为根据公式（ 3.1 ）， d = ln(4)/ln(2) = 2 。这儿又给出了一个具体例子：经过无穷次迭代之后，图形的性质发生了质变，豪斯多夫維从 1 维变成了 2 维。也就是说，图（ 4.4 ）中，有限次迭代中的折线，无数次折叠的结果，使折线充满了 2 维空间，成为图中右边的 2 维图形。图（ 4.4 ）有限次迭代到无限次迭代：维数从 1 变成了 2 有趣的是，如图（ 4.5 ）所示，分形龙图形的边界也是一个可以用迭代法产生的分形，现在我们来计算分形龙边界的豪斯多夫維。图（ 4.5 ）：分形龙边界构成的分形由图（ 4.5 ）可知，整个分形龙曲线的边界是由四段相似的图形组成的。这种分形的维数估算方法比较复杂一些，它的“分形维数“ (d) 可以通过解如下方程求得 : 图（ 4.6 ）：分形龙边界由四段自相似图形构成通过分形龙及其它几种简单分形，我们认识了分形，理解了分数维。分形几何是理解混沌概念及非线性动力学的基础，在现代科学技术中，有着广泛的应用。下面的连接可以让你亲身体会分形龙图形的趣味和美妙： http://www.tianfangyetan.net/cd/java/fractals.html 上一篇：《走近混沌》-3-什么是分数维回到系列科普目录下一篇：《走近混沌》-5- 大自然中的分形; 个人分类: 系列科普|18445 次阅读|21 个评论

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