对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象。99％的现代动物是左右对称祖先的后代；连海葵这种非左右对称动物的后代，也存在对称性；对称性甚至在左右对称和非左右对称动物分化之前就已存在。在植物界，我们有多少次惊异于那些具有完美对称性蕨类、铁树的叶子和娇艳的花朵？生命里如果没有对称性会是什么样子呢？如果动物长三条腿，其古怪的形象会多么令人畏惧？如果人不是左右对称，只有一只眼睛、一只耳朵和半个脸世界就不再美好了。 人具有独一无二的对称美，所以人们又往往以是否符合对称性去审视大自然，并且创造了许许多多的具有对称性美的艺术品：服饰、雕塑和建筑物。 生命从最原始的单细胞动物向多细胞后生动物演化，最早拥有了以对称性为特征的复杂性。对称性对于人，不仅仅是外在的美，也是健康和生存的需要。如果只有一只眼睛，人的视野不仅变小、对与目标的距离判断不精确，而且对物体立体形状的认知会发生扭曲。如果一只耳朵失聪，对于声源的定位就会不准确：因为当人对声源定位时，大脑需要声音对于听者的方位仰角信息，也需要到达左右耳间的时间和强度差线索。对于野外生存的动物，失去声源定位的能力，意味着生命随时会受到威胁。另外，左右手脚需要默契的配合。对于花朵，如果花冠的发育失去对称性，雄蕊就会失去受粉能力，不能传种接代，物种将绝灭。 在科学研究中，对称性给科学家们提供了无限想象的空间，也是揭示新发现和否定错误观念的手段。生命科学家不止探讨认识生命活动的本质，而且也探讨存在于生命中的美、为什么这么美？ 人大脑的两个半球，从它们的沟回和细胞排列层次看，非常相似，具有完美的对称性；这种对称性之于两手、两脚的对称性无异，似乎功能应是一样的。美国科学家斯佩里（Roger W. Sperry）从1960年代初开始，对癫间病人实施胼胝体切断手术，把大脑一分为二，发现它们能独立工作，功能并不一样。这一成果开创了心理学和脑功能定位研究的新纪元，他因此于1981年荣膺诺贝尔医学奖。随着PET和功能核磁共振技术的发展，人类对大脑功能的分化定位的认识有了长足的进步；从功能上看，左右大脑是完全不对称的。但是在低级中枢，间脑、脑干、小脑和脊髓，在功能和形态上都表现完美的对称性。 虽然对称性左右对称或圆形对称的起源至今仍是一个迷，一种合理的猜测是：对称性与重力是密不可分的，可能源于生命在重力场中的进化历程；而地球是一个相对规则的球体，重力场是均匀的。中圆柱形辐射对称的树枝可以抵抗重力，同时向空中发展接受阳光和用于光合作用的二氧化碳；四足动物的完美对称性可以使动物对抗重力，又善奔跑。 循着对称性的思路去探究不对称性的问题，我们可以找到许多非常有意义的生命科学课题。为什么雌果蝇能通过翅膀的摩擦产生声音吸引雄果蝇交配，而雄果蝇刚好在第二个触角有分化的听器官接受声刺激；反之，雌果蝇没有听器官，而雄果蝇不会发声音？再如，既然神经元的兴奋特性取决于突触后膜受体通道的特性和神经突触前膜所释放的递质特性，为什么在形态上，神经系统中兴奋性的突触是非对称的，而抑制性突触是对称性的？事实上，对称性也存在于分子结构上；有手性对称分子，旋转对称分子。按照这样的思路，或许有一天我们会从中得到启示改造蛋白质，进而设计、发明新的药物。 同样，循着对称性的思路，可以去探讨不对称性的艺术。毕加索也许是探讨不对称性中最幸运的艺术家。 科学，有时是运气，有灵感的闪现，有幸遇上中意的合作伙伴、得心应手的课题，撞上了那个发现的时机；有时是艺术，你在精雕细刻之中得到了应有的回报；有时是理性使然，你对于文献和自己已有的知识、技能有纯熟的驾驭；有时是枯燥乏味的重复，在重复中静静等待那激动一刻的到来。我们在科学生活中可以体念到大自然造化所赐予的、无所不在的对称美，为平常而有时枯燥的日常工作增添了无穷的乐趣！ 延伸阅读： Finnerty JR, et al: Science. 2004 May 28; 304(5675):1335-7. Hileman LC,et al. Proc Natl Acad Sci U S A. 2003 Oct 28;100(22):12814-9 In praise of plants By Francis Hall Timber Press, 2002 原载于博客中国： http://www.blogchina.com/2004081640726.html
哥德巴赫猜想证明的新思维之一：《Pn 阶准素数模型》 1 ．基本概念和定义 传统筛法中，将大于 1 的自然数分为素数和合数两类，在 上，设小于 x 平方根的素数有 n 个，它们从小到大依次是： P 1 、 P 2 P i P n ，那么，在 上，等于 m P i (i=1 、 2 、 3n ； m=2 、 3 、 4) 的整数都是合数，筛掉这些合数数 , 剩余的整数中，除了 1 之外的都是素数。 这种筛除方法仅仅因为 m 从 2 开始才 取 连续整数 ， 就破坏了 P i 筛点的等间距属性，从而就破坏了筛除点和剩余点在数轴上分布的周期性，堵塞了根据筛点和剩余点周期性分布等特性，研究整数域属性的渠道。 若将上述 m 的取值从 0 开始取连续整数，定义整数轴上等于 m P i (i=1 、 2 、 3n ； m=0 、 1 、 2 、 3 、 4) 的整数为 P n 阶准 合数 ，而包括 1 在内的剩余整数为 P n 阶准素数 。我们就得到了一个在整个数轴上周期性、对称性分布的 P n 阶准素数模型 。 如此以来，每个 P i 的整倍数点（亦称为 P i 的筛点）都是从 0 起始的等间距分布点， n 个 P i 筛点的公共重叠筛点，就是 P n 阶准素数分布周期的周期端点。因此 P n 阶准素数的周期长度是： （ 1 ） 由于筛除前的整数点和 n 个 P i 筛点都是关于周期端点和中点对称分布的，所以筛除后剩余下来的 P n 阶准素数 点、 关于 周期端点、中点 也是 对称性分布的。 在整个数轴上， P n 阶准素数是一个其中既有素数、又有合数、又包含 1 的混合集合，但在有些区间段上， P n 阶准素数的属性却比较单纯：在 上的 P n 阶准素数，就只有整数 1 ；在（ 1 ， ) 内的 P n 阶准素数，全部是素数；在 上的 P n 阶准素数，既包含了其上的全部素数，又包含了其上的部分合数。 2. Pn 阶 准素数模型的数学意义 《 1 》在仅仅研究 P n 阶 准素数属性时，研究区间 之长度 x 与准素数阶次表征量 P n 是相互无关的两个独立自变量。可以任取 x 值和 P n 值， 研究任意区间上、任意阶次的准素数之有关问题。 由于同一阶准素数在数轴上的分布是周期性的，所以，由 P n 阶 准素数在其第一个周期上的分布规律，就可以推知它在整个数轴上的分布规律。 比如奇数序列，就是 P 1 阶准素数，由 1 和 3 相差 2 我们就知道任何大小的相邻两个奇数都是相差 2 的。 又比如 P 2 阶准素数，其周期长度为 6 ，第一个周期只有 1 和 5 这两个准素数，第二个周期只有 7 和 11 这两个准素数，由此可知，无论多大的 P 2 阶准素数，都是围绕其周期端点孪生的等等。 P 2 阶准素数也因此成为证明孪生素数无穷性的坚实基础。 再比如 P 3 阶准素数，其周期长度为 ，第一个周期的左端点是 0 点；右端点是 30 点；其上的筛网见（例图 1 ）； P 3 阶准素数共有 8 个，它们是 1 、 7 、 11 、 13 、 17 、 19 、 23 、 29 ，它们相对于周期中点 15 点对称分布。根据筛网、准素数、准合数都是以 30 为周期而周期性分布，且是关于周期端点、中点对称性分布，则由 0-30 间的分布，可以推知 30-60 、 60-90 、 90-120 、 120-150 、 间的分布；由我们熟悉的 0 点右侧的 P 3 阶准素数，可以推知 30 、 60 、 90 、 120 、 150 、 点两侧的 P 3 阶准素数。即由 0 点右侧半周期的 P 3 阶准素数有 1 、 7 、 11 、 13 ，可推知 30 点左侧半周期一定有 29 、 23 、 19 、 17 ；可推知 30 点右侧半周期一定有 31 、 37 、 41 、 43 ；可推知 60 点左侧半周期一定有 59 、 53 、 49 、 47 ；可推知 60 点右侧半周期一定有 61 、 67 、 71 、 73 ； 等等。 由此可知，这时的 P n 阶准素数模型，就是我们由有限通向无穷的平直绿色通道。 例图 1 ： P 3 阶第一个周期上的筛网和准素数分布图 （见 http://sea3000.net/fengjungang/2_23.php 图 ① ） 《 2 》在利用 P n 阶准素数属性研究有关素数的问题时，（ a ）将整数 1 暂且视同为素数；（ b ）将研究区间 之长度 x 限定在 之间即可。这是因为，对于筛选素数而言， P n+1 在数轴上的第一个非重复有效筛点是 点。在此点之前的 P n+1 筛点，除了 x= P n+1 点是无效筛点外，其余的都是 P n+1 与小于它的 P i 筛点相重叠的筛点、也是无效筛点。因此，在此点之前的 P n 阶准素数，除 1 之外，已全部是素数了，不需要再用 P n+1 筛除了。例如， x=7 7=49 点之前的 P 3 阶准素数，除 1 之外全部是素数。而 x=11 11 之前的 P 3 阶准素数除了 1 和 7 的少数个整倍数 7 7=49 、 7 11=77 、 7 13=91 、 7 17=119 以外，都是素数。所以，前面举例中列出的 P 3 阶准素数，除 1 和 49 外都是素数。 因此， 点之前的 P n 阶准素数，减 1 、再加上 P 1 、 P 2 P i P n 这 n 个素 数，就是该点之前的全部素数。若用 表示小于 x 的素数数目；用 表 示小于 x 的 P n 阶准素数数目，在满足 的前提下，则有: （ ） （ 2 ） 为了今后叙述方便，定义 P 1 、 P 2 P i P n 这 n 个素数，为 P n 阶准素数的 基素数 ，也称它们为满足 的 x 之 基素数。 由利用 P n 阶准素数研究素数时的附加条件 可知，这时， P n 与 x 不再是两个相互独立的变量，在 x 增大到每个素数平方的点上时， P n 就要增大一次、准素数的阶次就要向上提升一阶。所以， 对于素数研究而言， P n 阶准素数模型又变成一个由有限通向无穷，由低阶通向高阶的阶梯型绿色通道。
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