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龚明物理自编习题(13): 热度 2 skylark1981 2012-11-13 21:45; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 这个题目的目的是为了科普今年(2012)的Nobel物理奖。假设一个封闭的腔(体积为$V$)中有一个光子，请回答下面的问题: 假设腔中介电常数为$\epsilon$, 光子的频率为$\omega$, 请问腔中的平均电场为多少? 假设一个原子放于腔中，原子的dipole强度为$d$, 由于原子尺寸为$10^{-10}$ m量级，所以可以假设$d = 0.1 \times 10^{-1}$ m. 请计算光场和原子的耦合常数为多少。请问需要多低的温度，腔的量子效应才明显。请计算Rabi振荡频率。如果希望原子和腔实现强耦合，那么激发态能级的寿命必须比Rabi振荡频率要大。请问激发态寿命需要多长? 讨论腔的Q值。自己找相关资料，给出$V$, $\epsilon$的基本数据，然后给出1 - 5题物理量的具体数量级。并讨论其可行性。调查腔的最大Q值为多少。请解释，为什么腔可以区分一个光子，二个光子等少数光子状态。解题思路: 经典能量 =量子能量，所以$\epsilon E^2 V = \hbar \omega$. 如果有$n$个光子，那么有 $\epsilon E^2 V =n \hbar \omega$. 耦合常数$\Omega = dE$. 温度$T \Omega$. Rabi振荡周期$T = 2\pi/\Omega$, 所以寿命$\tau T$. 由于不同光子数对应的耦合常数不一样，而且是离散的，所以可以区分少数光子态。; 2954 次阅读|5 个评论

龚明物理自编习题(12): skylark1981 2012-11-12 11:47; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 固体物理的基础是晶体理论，以及Bloch定理。固体的所有性质都和能带有关系，而能带要求原子具有周期性排列保证动量是好量子数，因此才有了Bloch的能带理论。但是固体大部分都是非晶，也有一些材料是准晶。那么思考下面的几个问题。 1. 什么是非晶，什么是准晶? 2. 调查和总结哪些非晶，准晶是可以发光的，哪些是不发光的。 3. 思考基本问题，非晶准晶还有能带吗，或者有禁带吗? 如何定义它们. 4. 现在有哪些方法可以研究这些材料的光学或者点学性质? 5. 讨论这样一个问题，Bloch为什么成功了？它的研究方法为什么与众不同? 题目意义 : 我们的世界有太多的非晶和准晶，这些材料的性质不能用Bloch定理研究它们。它们的性质可能差别很大，但是有可能有很多有趣的应用，因此一直是物理学前沿的研究重点之一。但是由于系统太过复杂，很难总结一些简单的规律，所以进展很缓慢。需要肯定这依旧是物理领域一个很重要的研究方向，在Bloch框架下的很多不可能实现的东西，在非晶或者准晶中都有可能实现。所以我建议老师在教课的时候可以把这个题目作为projects给学生。; 2919 次阅读|0 个评论

龚明物理自编习题(11): skylark1981 2012-11-8 11:43; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 解释光学中惠更斯－菲涅耳原理(1678年)和Feynman路径积分(1948年)的关系，或者请证明二者等价性，或者请用路径积分证明/解释惠更斯－菲涅耳原理。题目意义 : 这两个原理提出时间相差近300年，用的也是不同的语言，但是其实讲述的是同一个事情。在几乎所有教材中都不会讲述他们的关系。惠更斯－菲涅耳原理在光学中地位很高，但是只是作为一种解释的方法。把这两个东西结合在一起，可以让学生在对量子力学和光学有更加深刻的认识。还有一个很有趣的具有考古价值的问题。Feynman在提出他的理论的时候是否借助了惠更斯－菲涅耳原理? 参考文献 : http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0602092.pdf http://www.hindawi.com/journals/ijap/2012/273107/ http://bigbro.biophys.cornell.edu/~toombes/Science_Education/Laser_Diffraction/Resources/Huygens_Principle.htm; 2882 次阅读|0 个评论

龚明物理自编习题(10): skylark1981 2012-11-7 23:15; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 讨论Maxwell方程的对称性质。 Maxwell方程有三种对称性质: 平移对称性，Lorentz变换不变性，以及时间反演对称性。其中前两个在标准书本上有讨论，但是第三种很少。题目背景 : 1. 对称性是量子力学的基本概念，我们讨论任何一个问题，都要首先关心对称性。但是经典力学中就少得多，难道经典体系没有对称性吗？这是一个值得思索的问题。 2. 量子力学的对称性在Maxwell方程中也同样存在。 3. 时间反演对称性在Dirac方程中的讨论也是非常重要的。题目意义 : Maxwell方程在20世纪有很大的发展，尽管它已经提出快300年了。从光子晶体的能带结构，到Anion电动力学，到拓扑绝缘体，到负折射材料，都是Maxwell方程的发展。Maxwell是经典方程，但是也可以看作波的Schrodinger方程，所以量子力学有的很多东西，Maxwell方程也有。这个题目就是一个最好的例子。在物理学前沿，有很多人考虑低维系统(1D, 2D)的电动力学问题，比如金属表面的等离子性质。这些东西都可以参考量子力学在1D, 2D下的物理。从这个角度来说，通过理解量子力学和Maxwell方程，可以有更多有趣的想法，这是这个题目的第二个目的。从对称性去理解Maxwell方程，也是非常有趣的视角。参考文献: Time reversal in classical electromagnetism by Frank Arntzenius and Hilary Greaves http://philsci-archive.pitt.edu/3280/1/arntzenius_greaves_TRCE.pdf; 3287 次阅读|0 个评论

龚明物理自编习题(9): 热度 3 skylark1981 2012-10-30 22:35; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 讨论Majorana费米子的性质. Majorana算子是self-Hermition的，也就是说$\gamma = \gamma^\dagger$. 但是由于它是费米子，所以满足费米子的基本性质, ${\gamma_i, \gamma_j^\dagger} = \delta_{ij}$. 证明如下性质. $\gamma_i^2= 1/2$. 讨论它和普通费米子的差别，普通费米子的平方等于0. 假设$c$是普通的费米子，证明$\gamma_1 = c+c^\dagger$， $\gamma_2 = i(c-c^\dagger)$是Majorana费米子. 对于普通的费米子$c$，证明$c e^{i\theta}$也是费米子, 其中$\theta$是常熟. 证明，$\gamma e^{i\theta}$是Majorana费米子的条件是$\theta = 0$, $\pi$. 这个性质也说明Majorana不满足U(1)对称性. 证明Majorana费米子的能量=0, 电荷等于0. 假设$\gamma_1$, $\gamma_2$是Majorana费米子，证明$\gamma_3 = A(\gamma_1 \pm \gamma_2)$也是Majorana费米子，其中$A$是归一常熟, 且为实数. 假设 $\gamma_3 = a\gamma_1 +b\gamma_2$ 是Majorana费米子, 那么$a$, $b$必须满足什么条件，证明之. 证明Majorana费米子不满足普通费米子的交换反对称关系，也就是说$\gamma_i \gamma \gamma_j$ 不等于 $-\gamma_j \gamma \gamma_i $. 题目背景 : 1. Majorana费米子提出来有70年了，但是一直没有找到. 2. 最近几年大家的兴趣主要集中在凝聚态物理领域，并且已经有了一些进展. 在凝聚态中，准粒子也有可能是Majorana费米子. 题目意义 : 1. 要让学生打破固定思维，认为世界上除了波色就是Dirac费米子, 还有Majorana费米子. 这种固定思维害死人. 2. Majorana费米子有很多优美的性质，值得在量子力学中介绍. 3. 费米子的定义到底是什么，哪个是最根本的，值得在教堂上好好讨论. 书本上介绍了很多费米子的性质，但是谁是最根本的性质？是不是所有的性质都必须要满足？这个简单的问题其实在量子力学中没有讨论，可惜.; 3558 次阅读|7 个评论

龚明物理自编习题(8): 热度 1 skylark1981 2012-10-29 08:40; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 思考这样一个问题: 学习物理的人一般学习过统计力学以及概率论, 仔细分析发现,这两门学科的研究手法完全不同, 讨论这两门学科在研究方法上的异同. 解题思路 : 统计物理是基于熵最大原理提出来的,它的所有的分布都是和配分函数有关. 那么为什么同样的方法在概率论中没有用到? 这里面更加深层次的原因是什么? 题目意义 : 学习物理的人在统计物理上或多或少有一点疑惑,为什么同样是研究概率问题, 在概率论中的方法和统计物理中的方法相差那么多. 所以这个题目可以让学生在这个问题上理解得更加深刻. 其实, 概率论中有母函数/特征函数的思想, 其基本原理和配分函数差不多. 但是不知道由于什么原因, 母函数尽管重要, 但是在一般的概率论教材中并不是作为主线展开的. 博主认为这是概率论不足的地方. 如果大家教授在上课的时候可以把这些关系讲述明白, 对学生的帮助会更大一些.; 3168 次阅读|1 个评论

龚明物理自编习题(7): skylark1981 2012-10-29 04:06; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 讨论Dirac 氢原子的性质, 尤其是讨论在3D, 2D下的性质, 其基本数学模型为 $H = \alpha \cdot {\bf p} + \beta m - e^2/r$. 1. 讨论能谱. 2. 讨论Bohr半径. 3. 讨论结合能. 参考文献: J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998) L157–L161. New non-unitary representations in a Dirac hydrogen atom R P Mart′ınez-y-Romero, J Salda˜na-Vega and A L Salas-Brito http://dirac.fciencias.unam.mx/papers/newnon.pdf 背景知识 : 最近在实验上发现了一些新Dirac电子材料, 比如石墨, MoX2, 拓扑绝缘体. 这些材料中的电子和空穴需要用Dirac方程描述. 所以研究它们的电子-空穴对的性质非常重要.; 2694 次阅读|0 个评论

龚明物理自编习题(6): skylark1981 2012-10-25 23:07; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 讨论delta势的奇特性质。对于下面的Schrodinger方程其中只有一个束缚解，其能量为请解释，为什么最后的结果居然和$\lambda$符号无关? 这种形式伴随哪种对称性? 参考文献: http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_potential 题目意义 : 这个题目其实非常简单，但是为什么delta potential有如此奇特的性质，不是每个人都明白的，所有学习量子力学的人都学习过这个模型，但是没有仔细分析这个模型的有趣的物理，以及它的对称性. 事实上，这个模型的分析是现在物理学前沿中冷原子物理的基础. 背景知识: 1. 冷原子物理中的散射过程，以及束缚态的基本概念. 2. BEC-BCS crossover以及Feshbach resonance. 解题思路 : 从散射幅度去理解为什么$E$和$\lambda$符号无关?; 2917 次阅读|0 个评论

龚明物理自编习题(6): skylark1981 2012-10-25 11:35; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 研究Dirac电子的Landau能级. Landau能级是Landau最重要的工作之一，但是它考虑的是Schrodinger方程，而不是Dirac方程. 实验上发现单层graphene是Dirac电子 $H = c(p_x\sigma_y - sp_y\sigma_x)$, 研究这个哈密顿在垂直磁场下的Landau能级以及它的基本性质. 背景知识: 1. 石墨中发现了Dirac电子. 2. Dirac电子的Landau能级和普通电子完全不同. 解题思路 : 完全模仿Landau能级的做法. 题目意义 : 求解Dirac电子的Landau能级其实非常简单，其基本方法和Landau的做法差不多, 但是为什么绝大部分人都想不到呢? 按道理来说，教师对Landau能级的重要性是最理解的，但是做出这些杰出工作的都不是中国人. 以后如果谁打算重写量子力学教材，我建议把Dirac电子的Landau能级加上, 它值得被作为最重要的结论列在教材中. 参考文献: google: Landau energy level + graphene , 可以找到很多PRL的工作，其中绝大多数工作都不是很难.; 3196 次阅读|0 个评论

龚明物理自编习题(5): 热度 1 skylark1981 2012-10-25 09:08; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 量子力学系统中哈密頓一定是Hermit的吗? 所有学习过量子力学的人都认为"必须的". 线性代数中明确指出Hermit的矩阵的根都是实数. 但是其实下半句是非Hermit的哈密顿的根也可能是实数，只是没有明确说出来而已. 物理学可以证明，如果一个系统满足PT对称性，那么它的根可以是实数，而这类哈密頓其实在自然界也存在，只是很少数而已. 作为习题，题目如下: 证明 $H = p^2 - (ix)^N$ , 其中$N 2$的所有根都是实数. 证明 $H = p^2 +x^2+ iax$ 的根什么时候是实数，什么时候是复数. 解释为什么任何哈密顿的根必须是实数? 其答案很简单: 只有实数，才能保证演化过程中的演化算子是unitary的，否则，演化算子可能发散. 正交性和完备性是量子力学的基本假设. 回答问题，PT对称非Hermit哈密頓的根是正交的吗，完备的吗? 背景知识: 1. 在物理学领域，有很多人研究具有PT对称性的哈密頓的性质，并且在实验上确实找到了这样的哈密頓系统. 2. 当考虑系统和环境时，所有的哈密頓都是非Hermit的，但是它们的根都是实数. 解题思路 : 1. 参考谐振子的解法，适当时候需要做数值计算. 2. 在做数值计算的不能，不能用求Hermit矩阵的子程序. 3. 重新复习量子力学的基本假设，理解哈密顿系统的性质，和PT系统比较. 题目意义 : 解放思想，不要认为哈密頓一定得是Hermit的，这是两个概念, 不是等价的. 在很多书本上默认是等价的，或者没有明确指出"哈密頓是Hermit的只是假设", 这些都是不足的，对学生有一定的误导. 绝大部分的老师也没有明确指出它们的差别. 参考文献: 1. Carl M. Bender , http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501052 2. http://www-astro.physics.ox.ac.uk/~ddarg/shtml/PTSymmetry.shtml; 3675 次阅读|2 个评论

龚明物理自编习题(4): 热度 1 skylark1981 2012-10-25 07:37; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 我们的世界由常数决定，比如Planck常数，光速，精细结构常数等等。思考这样一个问题: 如果Planck常数增大或者减少一个数量级，这个世界会变成什么样子, 生物是否还会存在? 背景知识: 1. 物理中最难以解释的是，为什么这些常数是这个值，而不是其他值？这些常数的起源一直是一个谜。 2. 量子力学解释我们周围所有的东西，比如固体，液体，气体，发光，颜色，半导体，绝缘体，超导体，金属，化合物，密度等等。如果Planck常数增大或者减少一倍，我们看到的世界是什么样子，生物还会存在吗? 解题思路 : 1. 没有标准答案，这是一个open question. 2. 关于可能的答案，从氢原子的性质开始, 氢原子是让我们理解量子力学的最重要的模型，也是让我们找到这个问题的答案最重要的模型. 有了适当的基础，可以研究固体的能带结构，以及电学，磁学性质，从而找到有趣的答案. 3. 可以研究可能的化学反应, 其实也是求解量子力学问题，但是比较难. 4. 关于生物是否将存在的问题，其实部分答案是回答哪些东西会是固体，那些是液体，哪些是气体的问题. 题目意义 : 我相信在以后会有人讨论这个问题，思考这些基本问题，有助于我们理解我们的世界. 通过对这个问题的思考，学生以及老师可以加深对物理学的认识.; 2915 次阅读|1 个评论

龚明物理自编习题(3): 热度 1 skylark1981 2012-10-24 21:17; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 我们的统计物理学的基础是熵(entropy)，其基本定义为Gibbs entropy, $S = -K \sum_i p_i \log(p_i)$. 这个定义后来用在量子力学和信息论中. 统计力学的基础是熵最大原理。如果我们保留熵最大原理，但是修改它的基本定义，那么会发生什么事情? 一个有趣的尝试，假设$S = k \sum_i {p_i^a - 1\over a}$, 其中a为常数。那么回答下面的基本问题. 这个定义是否破坏了热力学第二定律? 请推导全同粒子的分布函数，并且讨论问题3和4. 证明当$a \rightarrow 0$时回到我们已知的结果. 对于Fermi子，是否在T = 0的时候存在Fermi面? 对于Bose子，是否还有可能存在Bose-Einstein凝聚? 对于普通的气体，讨论在新熵下的状态方程，它还会是$PV = nRT$吗? 证明修改过的熵是符合物理的，也就是 Gibbs entropy有的基本数学性质，新 entropy也有，所以从逻辑上来说，新entropy是可能存在的. 在这些新定义下，温度是否可以小于0? 背景知识: 熵的定义并非唯一，不能因为所有课本采用$p\log p$的形式，就否认其他entropy的存在. 这些新的entropy可能在物理以外的其他领域找到应用，比如股票市场，投资学，生态学，生物学等等. 如何把统计物理的基本知识用在这些新的领域，是现在依旧在探索的前沿方向. 解题思路 : 完全模仿统计力学课本的讨论. 参考资料 : 参考周涛的博客: http://blog.sciencenet.cn/?3075 . 周涛在把统计方法用于其它领域做了很多工作，很了不起. 意义 : 希望学生不要在学习了课本知识的同时，被课本知识的框框束缚住. 这可以说是95%以上的学生现在存在的问题. 我本人曾经就这个问题和我的上课老师讨论过，但是被鄙视了，因为我的老师认为这是没有任何意义的，因为物理学证明分布就是Gibbs形式. 所以老师也存在类似的问题，这是要不得的, 这种定势思维大大限制了我们的创造力.; 3006 次阅读|1 个评论

龚明物理自编习题(2): 热度 1 skylark1981 2012-10-24 11:26; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 找相关文献, 给出三维,二维, 一维氢原子的结合能, 以及原子半径(波耳半径)的解析表达式. 证明半导体中电子-空穴形成的结合体, 也就是激子, 可以用有效氢原子模型描述, 通过这个模型理解有效氢原子模型在半导体光学中的应用. 理解量子受限制效应. 当半导体材料的尺寸和有效氢原子半径相当时, 量子尺寸效应明显. 代入半导体的有效质量(查半导体手册), 证明当半导体尺寸在20 - 50nm的时候受限效应开始显著. 利用半导体的典型参数, 解释为什么二维激子比三维激子更加稳定. 解释为什么ZnO可以在室温下发光, 但是InAs, GaAs在室温下发光很弱. 证明一维氢原子不存在, 因为结合能无穷大, 但是在有些情况下,比如在碳纳米管中(半径 = 0.5 - 2 nm), 为什么会有发光. 开放题目，是否存在高维度氢原子，他们的稳定性如何? 这是一个很有趣的话题，尽管在物理上实现高维度氢原子还非常困难. 它们会是稳定的嘛？用变分法解释一维氢原子的基态能等于-$\infty$. 假设氢原子波函数为$\psi(x)$, 其中$\psi(0) \ne 0$, 那么可以证明, $\int {e^2 \over |x|} \rho(x) dx = \infty$. 结论8也表明, 如果一维氢原子有束缚态,那么它的波函数必定有$\rho(0) = 0$. 背景知识: 有效氢原子模型是理解半导体发光的重要模型, 而其基本知识点为量子力学的氢原子模型. 解题思路 : 参考量子力学的氢原子模型解法, 比较他们在半导体中的差别，主要是比较结合能和波耳半径, 室温能量26 meV. 如果结合能大于26 meV, 就可以在室温下发光，否则就很难. 关于问题6, 主要是修改相互作用. 参考文献: 1. http://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0608/0608038.pdf 2. One‐ and two‐dimensional hydrogen atoms, G. Q. Hassoun http://ajp.aapt.org/resource/1/ajpias/v49/i2/p143_s1?isAuthorized=no; 3800 次阅读|2 个评论

龚明物理自编习题(1): skylark1981 2012-10-24 10:47; 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣. 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题.如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了. 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献. 龚明题目: 考虑如图的势垒 , 其哈密顿为$H = {p^2 \over 2m} + V_0 + \alpha p \sigma_x$, 其中$\sigma_x$为Pauli矩阵, $\alpha$为自旋轨道耦合, $V_0$为势垒高度($V_0 0$对应势阱深度). 在势垒左边和右边,哈密顿均为$H = {p^2 \over 2m}$. 考虑输入波函数$\psi_{\text{in}}$, 问隧穿系数和反射系数为多少? 背景知识 : 自旋电子学物理, 这是近10年量子物理学研究的重点, 在这个领域发表了大量类似的文章, 其中大量发表在PRL, PRB, APL等杂志上. 解题思路 : 参考量子力学关于隧穿的讨论, 唯一不同的地方是现在每个电子需要考虑两个分量. 可能需要做适当的数值计算, 可以用mathematica完成. 习题意义 : 理解自旋电子学晶体管的本质. 不提供具体参考文献, 读者可以google搜索spintronics. 电子在自旋轨道耦合系统中的隧穿过程; 4422 次阅读|0 个评论

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