国内《热力学》教材对有些问题的处理，给人的印象是热力学是 1900 年及以前经典物理学的一部分。热力学就是热力学，能把所有宏观热现象一网打尽。而理解这些热现象，没有量子力学 ( 量子统计 ) ，常常难以获得到位、深刻的结论。 一、国内热力学教材处理黑体辐射只有一个声音 这个声音是属于巨人王竹溪先生。 把王先生的分析进行分解，可发现由四步组成。 第一步：电磁学可以给出光压公式， p=u/3 (1) 即，空腔中电磁辐射的压强p等于电磁能量密度u的三分之一。 第二步： 可以证明 空腔中的 热辐射能量密度仅仅和温度相关， u=u(T) (2) 第三步： 空腔中，由于没有其它物质，光压(电磁辐射压)必定就是热辐射压。 故，压强仅仅依赖于温度， p(T)=u(T) /3 (3) 注意，在这个公式中，压强没有独立的定义。 第四步：认为黑体辐射是一个 PVT 系统。利用热力学基本方程 (考虑到空腔中的电磁波需要在 器壁中 不断吸收发射 ) ，得一个微分方程。 把 u=u(T) 和 p(T)=u(T) /3 代入 热力学基本方程 ，得到 一个一阶线性常微分方程 , 参考下面的截图中王竹溪先生的证明。 得能量密度正比于温度的四次方， u(T)= a T 4 (4) 其中 a 为积分常数。 王先生 ( 《热力学》（ 1955 ） p.112) 在这个地方有两句话 ( 红笔和篮笔 )值得注意。 王先生之后，上面 用 红笔和篮笔标记 的两句话， 林宗涵、汪志诚先生省略了前一句，有些作者 ( 例如苏汝铿《统计物理学》（第二版） P.157) 把这两句话都省掉了。 直接把(1) 当成(2) 代入热力学基本方程， 是一件匪夷所思的事 ! 二、王先生的声音是玻尔兹曼 1884 年声音的回声 把玻尔兹曼 1884 年推导 Stefan-Boltzmann 定律的德文原文找出来， 请德国物理学教授帮忙， 把关键的部分翻译成英文。可以找到四句话，分别和前面的一～四步对应。原文的开头几句，正好和前面的一～三步对应。 ( 第一步 )Maxwell has demonstrated within his theory of electromagnetism that a ray of light or heat radiation exerts a pressure on a surface element which equals the energy of a volume element of Ether supporting that radiation, if the ray is orthogonal to the surface. ( 第二步 )Let an absolutely empty space enclosed by walls impenetrable for heat radiation.The walls should have absolute temperature t . Let us denote the energy density of the heat radiation with \\psi( t ). We have to consider that not all heat rays are perpendicular to each wall. The simplest way is to apply an argument used by Kroenig for gas theory and to consider a cube whose surfaces are parallel to the three mutually perpendicular axes of a coordinateframe. If one assumes that a third of the total radiation propagates parallelto each of the three axes, one obtains a result best suited to the average situation. ( 第三步 )Then one third of all rays will press on each wall and the pressure per surface element of one of the walls will be according to Maxwell's law f( t )=(1/3)\\psi( t ) 这就是今天的热辐射压公式。玻尔兹曼 1884 年的文章可以自由下载，链接是： http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/andp.18842580616/pdf 三、可是，玻尔兹曼的推导仅仅具有 “ 启发性 ” ！ 所谓“启发性的观点”或“启发性的证明”，即一种实用主义的解法，即非最优也非完美。 但是，这一方法能够用来加速寻找满意解的过程。请看 Daniel C. Mattis 《statistical mechanics made simple》(1st ed. p.93) 。在利用统计物理推导出光压公式之后， Mattis 写道： “Despite an earlier heuristic classical derivation by Boltzmann , this law is, in fact, incompatible with classical thermodynamics of the electromagnetic spectrum. It is therefore only historical justice that this work earned Planck the sobriquet, “father of the quantum”. ” 这句话的含义是，电磁谱的经典热力学结果具有紫外灾难。如果非要从麦克斯韦的电磁波理论出发，压强就是一个无穷大！在1884年年代，即使玻尔兹曼意识到了无限大困难，也会认为在经典电磁理论范围内可以解决！伟大如普朗克，在他在1900年获得了正确的结果、成为“量子之父”之后，一直到死，他念念不忘的还是经典电磁理论！ 问题还可以更为深入！ ---- Dear Professor D. Mattis, …… I paid special attention to your comment on the Boltzmann's derivation from Maxwell’s electromagnetic theory to the pressure- energy density relationship for the blackbody radiation: p=u/3. It is INDEPENDENT of temperature, but Boltzmann substituted it into thermodynamic relation where it requires p=u(T)/3 to reach the Stefan-Boltzmann law. Your comment is Despite an earlier heuristic classical derivation by Boltzmann,... p.93, first edition. Can I understand your comment in the following? The relation p=u(T)/3 can only be taken as an assumption, and it can be derived from the first principles: statistical physics. Please let me know whether I correctly understand you. Thank you. Sincerely yours, Q. H. Liu ---- Mattis 教授的回信铿锵有力： “ 你完全正确地理解了这一评述 ” 。 Sorry for delay in answering you. You did understand the remark correctly. Best, Daniel Mattis ---- Daniel Mattis 是统计物理学界的一位 “ 老司机 ”。 http://nanoinstitute.utah.edu/profiles/mattis.php https://de.wikipedia.org/wiki/Daniel_Mattis 四、玻尔兹曼 — 普朗克 — 王竹溪的作法 出现在1900年以前才算合理 玻尔兹曼的处理被普朗克细致化，写入了《 The Theory of Heat Radiation 》 (1914)。 王竹溪的《热力学》也引用了普朗克的著作。可惜，尽管普朗克是量子力学之父，却不是彻底的革命家。况且，《 The Theory of Heat Radiation 》 (1914) 之后 10 年，也就是 1924 年，才出现玻色 - 爱因斯坦统计！ 如何理解黑体辐射的热力学? Mattis说得很明白： stefan-boltzmann定律“ is, in fact, incompatible with classical thermodynamics of the electromagnetic spectrum. ” 在 玻尔兹曼 — 普朗克 — 王竹溪一派 的做法中，第三步是“ 空腔中，由于没有其它物质，光压(电磁辐射压)必定就是热辐射压。” 这一步逻辑上不严谨！ 除了 不能排除 能量密度为无穷，还不能排除能量为常数甚至为零的情况！此时，压强必须单独定义！ 按照今天的理解，从经典的电磁理论出发， 即使可以得到 辐射压强 p(T)=u(T)/3 ，也是一个无限大！ 理解黑体辐射的热力学，非量子统计不可 ! 当然，在热力学层面，完全可以不追求深入的理解，仅仅把 p(T)=u(T)/3 理解为一个实验结果、或者干脆假设如此！ 总而言之， 玻尔兹曼 — 普朗克 — 王竹溪的作法 出现在1900年以前，马马虎虎！出现在今天，历史的灰尘太厚了！ 请看另一位大牛 Princeton 大学 Kirk T. Mcdonald 的看法！和 Mattis角度不同，但是结论一样！ ---- Q.H. Since the Stefan-Boltzmann constant depends on hbar, a full understanding of the Stefen-Boltmann law cannot come fromclassical physics along. However, it is commonly argued that the result for the power radiated, P ~ T^4, can come from a classical argument. https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann_law In this argument, if one accepts that the radiation pressure p is related to the energy density u of radiation according to p = u / 3, then one arrives at P ~ T^4 via a thermodynamic argument. So, the key issue is whether or not aclassical argument leads to p = u / 3 for blackbody radiation I gave a typical classical argument for thison pp. 129-130 of my handwritten EM notes, http://physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/ph501/ph501lecture11.pdf Looking over my notes, I see that it is possible to beskeptical about this argument, since it seems to assume that a blackbody absorbs radiation, but does not emit it (which is not the case). The wiki page cites a different argument, based on the Maxwell stress tensor, T_ij = (E_iE_j + B_i B_j) / 4 pi - delta_ij (E^2 + B^2) /8 pi, in Gaussian units. https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell_stress_tensor For a surface element on the wall of a cavity that is perpendicular to z, the pressure on it is P = - T_zz = - (E_z^2 + B_z^2) / 4 pi + u noting that u = E^2 + B^2 / 8 pi For isotropic radiation, on average E_z^2 = E^2 / 3 B_z^2 = B^2 / 3, so P = - (E^2 + B^2) / 12 pi + u = - 2 u / 3 + u = u / 3. Thus, it seems that the wiki version of the argument is perhaps more sound than that I gave in my notes. --Kirk —————— 另外，当你看到一位大学教授的备课本，全都是用英文大写字母、工工整整书写时，能不能献上你的膝盖 ? 看看人家的讲义： http://physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/ph501/ph501lecture11.pdf 反正我是五体投地了！ 五、王竹溪先生留下锦囊否 ? 再读王先生的两句话，顺序很重要！第一句是 p(T)=u(T)/3 ，第二句是这个结果被实验验证了！ 事实上， Lebedew 实验上验证的是，不含温度的光压公式 p=u/3 ，和热平衡无关，和黑体辐射无关。这一点，普朗克的书《 The Theory of Heat Radiation 》 (1914) 说的很清楚， 那么，为什么王竹溪先生说 Lebedew 验证的不是 p=u/3 ，而是 p(T)=u(T)/3 ? 唯有这样，王先生接下来行文才是可以接受的 ! 难道说， 王先生预见到了科学的发展，一定会证明 p(T)=u(T)/3? 今天，由于辐射压公式 p(T)=u(T)/3 获得了充分的检验，可以把 当成一个实验定律来用了 ! 就像利用理想气体的 Boyle 定律去理解理想气体一样 ! 也就是，今天，我们不必再为 p(T)=u(T)/ 3的经典电磁波理论推导而烦恼，当成实验定律直接取过来就是。 这样，stefan-boltzmann定律就能顺理成章了。 玻尔兹曼、普朗克、王竹溪诸位巨人基于 经典电磁波理论推导出的 p(T)=u(T)/3 过程 ，只能从历史的角度去欣赏其 “ 启发性 ” 。 六、文献相互打架时相信谁？ 读几本新书，读几篇当代文献，和国际上的一些还在拉风的专家交换想法，就能知道文献之间、名家之间的区别，就能有所收获！ 虽不至，亦不远也！
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