作者：蒋迅 世界上以数学为主题的公园和博物馆不多。纽约的 美国国家数学博物馆 是比较著名的一个。你可能不知道德还有在印度的 拉马努金数学公园 。 拉马努金数学公园是一个印度的博物馆和活动中心。它是以印度数学家拉马努金命名的。2017年在拉马努金的生日那天12月22日开放，并庆祝印度的国家数学日（ National Mathematics Day ）。真羡慕印度有自己的数学公园和自己的数学纪念日。（美国也有自己的数学活动日： National Math Festival 。）
斯里尼瓦瑟·拉马努金 (1887-1920) 1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + …… = ? 尽人皆知 1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + …… + n = n ( n +1)/2 ； 当 n 趋于无限，这个无穷级数之和便趋于无穷大。但智力过于发达的拉马努金却顽固地认为 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …… = －1/12: c = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …… 4 c = 4 + 8 + 12 + …… 上面两个等式相减： － 3 c = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …… = 1/(1+1) 2 = 1/4 (利用1/(1+ x ) 2 的泰勒级数展开，然后设定 x = 1 ) 于是： c = －1/12。 1913年，穷困潦倒经常生病挨饿的会计师事务所小职员拉马努金，在印度某穷乡僻壤致信剑桥大学著名数学教授哈代，提及这个结论时他写到：“您肯定会认为我该去疯人院。”虽然哈代读完信后认为拉马努金不是疯子便是旷世奇才，对这个公式却一点也不惊讶。19世纪德国数学家黎曼用他发明的zeta 函数得到了同样的结果，而 18世纪瑞士数学家欧拉也指出这个无穷级数之和可以写成一个有限的负数。 无穷多个正整数相加怎么会得到一个负数？上面拉马努金的“推导”肯定是错误的，因为这个级数不收敛，而 1 – 2 x + 3 x 2 – 4 x 3 + …… = 1/(1+ x ) 2 只在| x | 1的情况下成立。拉马努金自然知道这个简单推导只是形式主义，他在信中同时给出了使用Euler– Maclaurin公式的严格推导，结果相同。 对于一个不收敛的无穷级数，需要加上某种“规范”，才能让它的和变为有限。所谓的规范，就是去掉一个无穷大，以使无限不收敛级数之和可能变成一个有限值，以有限表达无限。拉马努金求和法给出一种规范，黎曼的zeta 函数给出另一种规范，两者的计算方法完全不同，但结果一致。 拉马努金求和法不仅仅是数学游戏，更是严格、实用的数学方法，用于处理在物理学，尤其在量子力学、量子场论中遇到的无穷大问题。比如卡西米尔效应： 根据量子场理论，没有物质存在的真空仍有能量涨落，因而真空中两片中性的平行金属板会出现非常微弱的吸引力。理论计算时，由于两片金属之间的空间允许无穷多的光子振动模式，而每个振动模式的基态能量不为零，因而两者之间的真空能（无穷多基态光子的能量之和）以及由此导致的相互吸引力（真空能对于位移的导数）都是无穷大。 如何除去没有物理意义的无穷大，从而得到一个可与实验测量相比较的有限理论值？最简单的处理方法是 F ( d ) = f ( d ) - f ( ∞ ) 。这里 d 是两块金属板之间的距离， f ( d ) 和 f (∞ ) 是直接计算得到的吸引力。虽然 f ( d ) 和 f ( ∞ ) 都是无穷大，二者之差却是有限的；从 f ( d ) 中 去掉没有物理意义的无穷大 f ( ∞ ) 之后，理论计算结果 与实验数据完全吻合。 打开任何一本介绍弦论的教科书，大概都会看到这个颇为奇怪的公式： 在超弦理论中，计算波色子的一个弦的可能能量级，特别是最低能量级（基态），使用了类似的办法。每一个弦的谐波可以视为一组 D 个无关的量子谐振子 ( D 是时空的维数 )，如果基本振子频率是ω ，那么一个振子对 n 级谐波的贡献是 n hω /4π ，这里 h 是普朗克常数。利用拉马努金的发散级数求和法，我们发现所有谐波 ( n = 1，2, 3, ……)对能级的贡献总和是 － D hω /48π 。这是弦论的基本公式之一，加上Goddard–Thorn 定理导致波色超弦理论除了维度 D =26便不能自洽。 量子场论大量使用重整化群的办法消除无穷大，其数学思想的起源之一便是拉马努金－黎曼规范。重整化的关键在于标度变换：把场的标度变大（就像在计算卡西米尔力时将两块金属板的距离增加），从而将发散的积分分离出来，然后消除。去掉这些令人头疼的无穷大的积分之后，量子电动力学从狼狈不堪忽然变得非常美妙。尽管量子电动力学的奠基者们 Dyson，狄拉克，费曼等人对此都非常不满： “ The shell game that we play ...is technically called 'renormalization'. But no matter how clever the word, itis still what I would call a dippy process!” (Feynman) “ Sensible mathematics involvesneglecting a quantity when it is small – notneglecting it just because it is infinitely great and you do not want it!” (Dirac) 却无可奈何，实在找不到一个无需去掉无穷大的更好理论。 并非所有的场都可以被重整化，爱因斯坦的引力场就让物理学家伤透脑筋，因为他们遇到了无法克服的数学障碍：无穷多个无穷大，至今也没有办法将引力场量子化，以实现爱因斯坦之梦——大统一理论。 科学就是以有限为无限，就是发现和运用有限的规律，去理解和预测数量无限的自然现象，以及无穷无尽的宇宙。物理学的唯一理论工具是数学，理论物理是基于数学模型的严密推演，这些纯粹的数学模型常常违背人的日常经验和直觉，却符合所有的实验观测，简直是个奇迹。当爱因斯坦之梦最终成真时，我们会发现所谓的无限，其实仅仅源于某种抽象的对称，它们叠加在一起被拉马努金规范以后，只剩一个比星河还要璀璨、比宇宙还要不朽的方程。
潜意识【1】在科研中的作用一直被认为是很神秘，无法捉摸的规律。门捷列夫在梦中发现了化学元素周期表【2】。印度的天才数学家拉马努金 被认为是印度在过去一千年中所出的超级伟大的数学家，他 宣称在梦中娜玛卡尔女神给他启示，一早醒来就能写下很多其他人花毕生精力也无法发现和证明的公式【3】。因此，潜意识对科学家来说，就像上帝之手一样，神不知鬼不觉地帮助科学家一下，让科学家一下子就有了伟大的发现。但潜意识在什么情况下会发挥作用？ 在什么时候会向科学家伸出上帝之手？ 成了很多人都想知道的问题。 海明在《你和你的研究》中对上述问题提出了他的答案【4】。 如果你日复一日，天长日久地献身于一个问题，你的潜意识就不干其它事情，它就专门为你的问题工作。因此，当你某天早晨或下午醒来的时候，你有了答案。对于那些不专注于他们当前问题的人，潜意识就在其它事情上浪费时间，也不会带来重要结论。 海明讲到，然后对有志从事科研的人提出了他的建议： 因此你要一直思考你的问题，让你的潜意识一直为你的问题工作，然后你可以安心睡觉，并且在早晨免费得到答案。 如果我们再回头看看门捷列夫发现化学元素周期表的时候在干什么？ 天才数学家拉马努金每天在干什么？ 我们就会发现，海明对潜意识的评价是非常准确的。也就是说，如果你想让上帝之手发挥作用，你必须每天时时刻刻专注于你的科学问题，不要想其它问题，直到你得到上帝之手帮助为止。 注：海明的讲话是我英文翻译过来，意思可能出入。原文与翻译如下： If you are deeply immersed and committed to a topic, day after day after day, your subconscious has nothing to do but work on your problem. And so you wake up one morning, or on some afternoon, and there's the answer. For those who don't get committed to their current problem, the subconscious goofs off on other things and doesn't produce the big result. 如果你日复一日，天长日久地献身于一个问题，你的潜意识就不干其它事情，它就专门为你的问题工作。因此，当你某天早晨或下午醒来的时候，你有了答案。对于那些不专注于他们当前问题的人，潜意识就在其它事情上浪费时间，也不会带来重要结论。 you keep your thoughts on the problem. Keep your subconscious starved so it has to work on your problem, so you can sleep peacefully and get the answer in the morning, free. 因此你要一直思考你的问题，让你的潜意识一直为你的问题工作，然后你可以安心睡觉，并且在早晨免费得到答案。 参考连接： 【1】 潜意识：http://baike.baidu.com/view/19944.htm 【2】 门捷列夫：http://baike.baidu.com/view/4476.htm 【3】 拉马努金：http://baike.baidu.com/view/146356.htm 【4】 Richard Hamming, You and your research: http://www.sciencenet.cn/blog/admin/default.aspx
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