Mandelbrot 集的出现仅显漏这一未知世界的一丝微妙，不可思议的现象还多着呢。当以 M 集函数 x 2 项系数作时间轴变量，生成三维数集形体随时间连续变化的图像，可见三维 M 集在四维时空中非常有意思的演变过程。 若 x 2 项 系数在实数区间 取值，数集形象会有一连串的惊人表现。这里以区间 为例，其形象演变见下图，会看到这样一幅景象：在 M 集头前“针须”远端，一个新子集无中生有创生出来，可见时仅是一小点，然后，好像在本体的吸引下沿“针须”线向本体靠近，且运动中渐渐长大成样。等子集抵达，平稳对接，这才形成三维 M 集。 看到了吧， M 集的头部不是原地聚集成的，也不是内部长出来的，而是如此创生演化另安上去的。就像孙悟空头被砍掉后本来身体上没有头，说来就来从远处飞来，自动安上就有头了。 若把局部细节放大，还可以看到 M 集自相似子集的演变过程。与头部的生成形式一样， M 集“针须”上众多自相似子集的形成恰似鸡生蛋过程，经无中生有，顺道移动，演变长大，依序就位而成。真是不可思议，数集演变过程竟然也与生物过程不谋而合。
分形和自相似性是自然界中的普遍现象，近年来，一些学者先后在短信通信、股票交易和人体的生理活动上发现了人类行为的分形特征，我们尝试从时间序列和复杂网络的角度挖掘图书借阅行为中十分存在分形特征。文章前不久被Physica A接受，详见附件。 Fractal analysis on human dynamics of library loans Chao Fan, Jin-Li Guo, Yi-Long Zha Physica A Volume 391, Issue 24, 15 December 2012, Pages 6617–6625 Abstract In this paper, the fractal characteristic of human behaviors is investigated from the perspective of time series constructed with the amount of library loans. The values of the Hurst exponent and length of non-periodic cycle calculated through rescaled range analysis indicate that the time series of human behaviors and their sub-series are fractal with self-similarity and long-range dependence. Then the time series are converted into complex networks by the visibility algorithm. The topological properties of the networks such as scale-free property and small-world effect imply that there is a close relationship among the numbers of repetitious behaviors performed by people during certain periods of time. Our work implies that there is intrinsic regularity in the human collective repetitious behaviors. The conclusions may be helpful to develop some new approaches to investigate the fractal feature and mechanism of human dynamics, and provide some references for the management and forecast of human collective behaviors. Keywords Human dynamics; Time series analysis; Long-range dependence; Complex network; Visibility graph 文章PDF： PHYSA_13934_proof.pdf http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437112006231 我们采用的数据是两所图书馆的借阅量，以及借阅的间隔时间。用重标极差法计算了以借阅量为观测值构成的时间序列的Hurst指数和非周期循环长度，发现人类行为具有长期正相关性和持续性，记忆效应对借阅行为有强烈影响，并与时间标度有关。群体用户的分形特征表现较为明显，而个体用户的时间序列中则有一定的波动性；并且不同的用户群之间，以及同一个数据集中的不同用户之间表现出了显著的个体差异。 通过可视算法将人类行为的时间序列和复杂网络结合在一起，计算了由时间序列转化得到的复杂网络的拓扑参数，发现群体用户的网络具有无标度特征、小世界效应和等级结构，而个体用户的网络则只具有以上部分性质。可以认为，人类的重复性行为发生的时间序列中各个观测值之间存在潜在的密切联系，特别是对于日常生活中的某些重要时刻。我们还发现只有部分的个体行为网络具有分形结构和自相似的特征。此外，本文的分析也对于找寻时间序列和复杂网络之间的关系、网络属性之间的关系以及网络分形结构的起源具有一定的借鉴意义。 注：中文内容中部分结论是笔者硕士论文中的一部分，没有写进这篇英文版本中，也欢迎同行批评指正！ 《从图书借阅看人类群体和个体行为的动力学机制》，樊超，上海理工大学，2011年。
最近在研究复杂网络的分形和自相似问题时遇到了很多困惑，在这里把思路整理一下。 基本理论 分形理论首先是一门数学，但由于可作为描述系统科学中很多问题的强有力工具因而被视为一种重要的系统理论。传统的几何学只研究规则齐整的形状，即整形。但是现实世界中存在大量不规则、不整齐的琐碎形状，因而简单性科学是无法描述他们的，这样的复杂几何现象引起了人们的注意并由此诞生了分形几何学，分形理论逐步发展成熟。 大自然中存在着大量的分形现象，我们称之为自然分形。一个典型问题即为 Mandelbrot 提出的英国海岸线有多长？由于海岸线是由大大小小的曲折嵌套而成的，所以不同的测度单位会带来计算结果的巨大差异。同样，山川河流也都具有分形特征，主脉分出支脉，大支脉嵌套小支脉（或支流）。山的表面既不是平面也非光滑曲面，同样，水的表面也不是绝对平面。 数学家用数学的方法造出的分形则称为数学分形，比如对某个规则整形按照一定的规则进行变换，以产生更多更深层次的细节，使得图形越来越纷繁、琐碎、复杂。典型的例子有康托尘埃、科赫曲线、谢尔宾斯基垫子、谢尔宾斯基海绵等等。这样的生成规则也不一定是完全确定的，可以加入一定的随机因子，按照概率使用某些规则，可以生成更复杂同时更接近自然分形的图案来。 分形与自相似 分形至今没有一个严格的定义，常用通俗的描述来解释分形。一般认为，分形具有不规整性、层次嵌套性和自相似性。 按照 Mandelbrot 的定义， fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole (Mandelbrot, B.B. 1982) 。这样的定义就默认了分形特征是一种 a property called self-similarity ，也就是说分形中包括了自相似。 所谓自相似，是一种尺度变换下的不变性 (scale-invariance) ，即在不同尺度下观察分形可以看到近似相同的形象，若把整个对象的局部放大，再把局部的局部放大，都可以看到相似的结构特征。但是这种自相似并不像整形的相似那么严格，允许相似中的不相似，不需要也不可能完全相同。比如，科赫曲线，整体是闭合的，但任一部分都不是封闭曲线。分形自相似意味着部分与整体有一样的复杂性：一样曲折、琐碎、纷乱、不规整、不光滑。并且，分形的部分与部分之间也是相似的。山重水复疑无路就是从审美的角度对山水分形中的自相似的描述，以至于让外人只看到相同之处而难以了解细微的差别，便生出迷路的疑惑。 整数维与分数维 我们都知道传统几何中点、线、面、体分别是 0 、 1 、 2 、 3 维的，这里的维数都是非负整数，故称为整数维或者拓扑维。但是分形几何对象的独特属性是不能用整数维来描述的，特别是其不规则性和复杂性，如科赫曲线在性质上不同于一维曲线但也远非二维的面。因此， Mandelbrot 引入分数维来刻画分形对象的不规则程度和复杂性程度。设 为b几何对象， a为单位线段，令 D 为分数维，定义 ，则 D=logb/loga 。 分形时间序列 查到的关于分形时间序列的文献大多是金融时间序列，这是已被公认为分形布朗运动的一种时间序列。分形布朗运动是统计自相似的，具有长期记忆性的，也就是说有一种记忆效应使得未来的变化趋势与现在相同。这种长期相关性可由相关指数 Hurst 指数表征，当H=0.5 时，序列是完全随机的；当H0.5 时，序列具有长期相关性，未来的发展趋势倾向于和过去相同；而当H0.5 时，序列是反相关的，未来的发展趋势倾向于与过去相反。分形维数可由 Hurst 指数求出，定义： 时间尺度分形维：Df=2-H. 概率空间分形维：Dp=1/H.
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