调用无尽的参数来描述一个物体是有必要的吗？可以从另一个角度来看看待这个问题：我有一个苹果，我有必要为了说明它是个苹果而去学习植物学甚至是遗传组学来断定这货是个苹果吗？ 当然没有必要，这倒不是说你对这个苹果的认识不够深刻，只是在辨认苹果这个概念所对应的实体时我们会套用一个类似柏拉图理型世界的玩意来识别并忽视其所谓不完美的部分来认定，这种抽象的概念在柏拉图看来是完美且合理的。且不论这里面的理想成分有多少是主观的，这里需要注意的是其实所谓“完美”的概念所描绘的东西现实世界可能并不存在。好了，在这里我们会遇到一个问题，这样的描述其实是增加了一个维度，而这个维度对于事物的描绘可能是唯一的。因此，我只依靠这个维度去判断区别物体不是更好吗？ 这里停一下，前文明明说用无尽的参数描述是有必要的，怎么又回到没必要了呢？因为有必要的前文已经说过了，高维诅咒可以帮助我们设置密码，此外前文留的尾巴的真正意义是“无尽”这个词，从0到1间有多少有理数？这个数会比1到2之间的多还是少？比0.5到1之间的呢？好了，不折腾了，这个问题思考下去就是希尔伯特那个第一问题——连续统假设。这是个不可从内部证明的东西，其实我倒希望很多这样的问题包括黎曼猜想，如果能用对角线方法证明这个问题不可证明就好了，至少不像费马定理那样最后的证明搞得非专业的俺一点都看不懂。这个“无尽”问题是个无底洞，很多经典的悖论就是在无尽上挖的坑，例如芝诺的乌龟悖论，其实说谎者悖论的本质也是涉及了无穷推衍甚至变成循环推衍而让人心驰神往，但无尽的推衍不代表无尽的时间，谜题的设置有时候就是让人感觉到不可能而不去思考的，这些问题存在了几千年但不影响人类对世界的认识，为什么？因为这不妨碍采集捕猎男欢女爱？这是实用主义的观点但却很真实：这个世界就是带着问题或者说谜题展现到每个人面前的，而我们在这方面的认知水平与2万年前区别不大，都是得过且过。为什么呢？我们的认知的程度更多与生存下去所需的知识水平相对应，那种思考无穷的东西换不来饭吃，可能有那么一两个这样的基因都被自然选择抹掉了，但在现在的生活条件下会不会再现呢？谁知道呢，未来无限可能。 好了，前面的尾巴收拾掉了，来谈谈我们现有的认知水平。我们的认识如果真如柏拉图所言是看到一个个完美理型的影子的话就会有个问题：何为完美？几何或许给了我们一些答案，到同一点距离相同点的轨迹所构成的圆？平行的两条线？等边三角形？或是物理上的光速与绝对零度？不知道。这是个纯主观的东西，让盲人去想象彩虹是不现实的，让别人去接受你的完美也很困难。但每个人都可以构建自己的完美，这就是亚里士多德的观点：归纳与演绎。我们认识世界本质上是一种抽象提取特征的过程，我们不需要知道太多的细节，把握特征就可以整理思路，归类事物，也就是说我们的唯一性建立在抽象的基础上，而抽象过程不会是随机的，其目的性可能就是实用或者说可交流。事实上，知识的认可要比其本身更有意义，那要保证每个人都认可你的认识，我们要拥有同一套密码本，那就是所谓的知识。这些知识的产生过程既要不依赖于人而存在又要可保证可被交流，这如何实现？这问题可能我们自己永远答不上来，我们的大脑进化到今天本身就回答了这个问题，至于这是怎样的一个过程，我们能做的就只有像寻找背景辐射那样搜寻我们认识事物共通的一些线索。在这里从维度角度上看，我想讨论的是维度的降低过程。 当两个相互陌生的人看到一块石头，他们如何就这个石头进行交流呢？首先得告诉对方看到了什么，这里语言就为我们提供了便利，一些既定的概念就可以用来交流，那么这些概念如何抽象出来的呢？我们的感官可能是罪魁祸首，例如颜色、质地、重量、口味、气味……通过一些感官上的综合我们可以形成一个特征谱，而这个特征谱可能是唯一的，因此为了交流我们会对特征谱进行模糊化，保留我们所认为最根本的特征来传递这个信息，这个过程就是一个降维的过程。而当要描述物体的唯一性时也很简单，将维度升上去，加几个区别的特性就好。有了抽象我们可以归类物体，有了具象我们可以区别物体，这也许就是交流的起点。上篇文章实际只是说了具象的过程，今天的主角是抽象过程。所谓因子分析的东西就是这样一个抽象工具。 但其实真正熟悉因子分析的人可能察觉到我在这里用因子分析不太合适，因为因子分析是从显性变量中提取隐性变量的过程，而且它能不能降维还取决于变量是否独立之类的假设。的确，如果变量间独立那就谈不上降维而仅仅是个信息处理能力的问题了，但所谓变量独立这种事在现实世界恐怕并不多见，而这也是抽象过程的一部分前提。当然，其实面对因子分析更麻烦的地方在与其与主成分分析经常混在一起讨论，这里就不涉及这两种过程了，但值得明确的是主成分分析属于一种描述性统计，属于让数据自己说话而因子分析则事先有自己的一个假设来进行验证，具体区别可参考wiki上的解释： The differences between principal components analysis and factor analysis are further illustrated by Suhr (2009): PCA results in principal components that account for a maximal amount of variance for observed variables; FA account for common variance in the data. PCA inserts ones on the diagonals of the correlation matrix; FA adjusts the diagonals of the correlation matrix with the unique factors. PCA minimizes the sum of squared perpendicular distance to the component axis; FA estimates factors which influence responses on observed variables. The component scores in PCA represent a linear combination of the observed variables weighted by eigenvectors; the observed variables in FA are linear combinations of the underlying and unique factors. In PCA, the components yielded are uninterpretable, i.e. they do not represent underlying ‘constructs’; in FA, the underlying constructs can be labeled and readily interpreted, given an accurate model specification. 其实关于因子分析再深了我也讲不了了，只是说这是一种统计学工具，而这种工具在我看来是很有说服力的，同时我也认为统计学工具对于了解世界认识世界是极为关键的，至少这种工具可以让我们从纯粹的自然选择中逃离出来一探自我与所谓完美的东西。但所谓统计似乎也逃不出先验东西的存在，而且似乎正是有了先验的东西统计学变的更实用了，下一篇从因子分析到垃圾邮件就会讨论这个问题以及解决因子分析这个尾巴，至于时间吗，可能遥遥无期吧^.^
转自大学同学刘世平的人人网 http://blog.renren.com/blog/231597040/853404798?fromfriendblog#nogo 题外话：我对Hilbert的印象只是停留在一些概念上，抛开数学的专业问题，有一些道理和启示，如世平在文末归纳的，不仅仅是做数学需要的。有些道理，也许大家早知道，但体验后的感受还是更不一样，与大家共勉。 ------------------------------------------------------------ 这是我在北京时看完希尔伯特传记后写下的。今天无意在图书馆有翻到它的英文原版。贴出来怀念一下。 最近一段时间，我读了希尔伯特的传记（Constance Reid 著， 袁向东，李文林译）。希尔伯特那有血有肉的伟大形象逐渐在我脑海中清晰起来。以前总听人说希尔伯特是二十世纪罕见的“通才”式的数学大师，可自己对他的贡献并没有太明晰的认识。 大卫·希尔伯特（David Hilbert）出生于1862年，童年在东普鲁士首府柯尼斯堡度过。1880年秋入柯尼斯堡大学学习，期间在第二学期在海德堡大学学习，后回校结识了他一生中最亲密的朋友闵科夫斯基和阿道夫·赫维茨。1885年被授予了哲学博士学位。随后，在赫维茨的建议下，他来到莱比锡见到了菲利克斯·克莱因。1886年3月底，希尔伯特出发去巴黎遍访名师，见到了庞加莱，约当，皮卡，波内特，埃尔米特。再回柯尼斯堡的路上，他在哥廷根停留，这时克莱因已经来到哥廷根工作。他到了柏林拜访了让人望而生畏的利奥波特·克隆尼克。回到柯尼斯堡以后，希尔伯特获得了讲师资格。1895年3月，在克莱因的帮助下，希尔波特来到哥廷根，成为这里的一员。 Hilbert一生的数学成就，我想庞加莱在1910年Hilbert获得第二届鲍耶奖时对他的概要介绍的报告，总结的非常恰当，包括果尔丹定理的证明，关于e和\pi超越性的新证明，关于代数数域的工作，关于几何基础的研究，挽救Dirichlet原理，华林定理的证明，积分方程论方向的工作。探索范围之广，研究问题之重要，方法之简洁优美，叙述之清晰明了，以及对于绝对的严格的追求，令人惊叹。 可能Hilbert更大的贡献，在于他的公理化思想带给数学的严格化，和他的23个问题带来的整个20世纪数学的繁荣与发展。Hilbert超级的结合能力使它成为一个领袖数学家。 Hilbert挽救Dirichlet原理的工作，最能体现他那特有的洞察力。问题是这样的，在魏尔斯特拉斯之前，数学家们都假设拉普拉斯方程的边值问题一定存在这一个解。Gauss观察到这个边值问题可以被化为求能量泛函在满足预设的边界条件的函数中的最小值。这个观察被黎曼在他的博士论文中实质性引用，并命名为 Dirichlet's principle。（因为Dirichlet是黎曼的老师，他曾经在讲座中讲过这个原理）。但一向追求分析的严格化，老是能造出“奇怪”例子的魏尔斯塔拉斯质疑，虽然能量泛函是正的，但不能不经证明的说这个最小值一定能达到。黎曼承认这一点，但他深信由于这个原理深刻的物理背景，它一定有一个严格的数学证明。可惜，大家都知道，黎曼死得太早了。黎曼死后，魏尔斯塔拉斯造出了一个具体的例子，Dirichlet原理不总是成立！以后的数学家越来越觉的这个原理没有希望，甚至有人断言，it has forever sunk from sight.我猜想当时肯定很多数学家，物理学家觉得这个魏尔斯塔拉斯有那么点恼人，烦人，毁了这么简洁有力的原理。当Hilbert转到这个问题上来的时候，由于他一向认为严格化是推动数学简单化得力量，他没有被前辈数学家们的悲观论调所淹没。他最终提交了一篇5页的论文，挽救了Dirichlet原理。他的办法是，我们需要假设边界以及边值的光滑性！（看Weyl的介绍Hilbert的数学成就的文章，Hilbert的证明方法是用最小化序列的极限来构造最小值。当然不能保证最小化序列一定收敛。Hilbert对这个序列取平均值然后证极限收敛，这是受调和函数的平均值公式的启发。我想这或许是弱收敛的源起之一吧。）这可能在今天学分析的人来看很自然，但当时却被无数数学家所忽略。当然Hilbert的论文不止在于他挽救了黎曼的论文，让许多数学物理恢复了它原本的简洁，更重要的是他对分析的影响至为深远。读到这里我也在想，为什么说起Hilbert,我很难想起他的什么著名定理，但他的伟大却众人称颂。原来，他的贡献已经隐含于今天人们习以为常的点点滴滴之中了。 启示有三： 1. 和Hilbert同时代的数学家，大都把严格性作为一种沉重的负担，而Hilbert却坚定的认为严格化是使方法简单化的绝佳途径 （Unlike many of his contemporaries, who found the demands of rigor a burden, Hilbert firmly believed that rigor contributes to simplicity）。做数学，要有自己的信仰，不要把困难当作负担，相反困难的解决才是认识提高的法门。只有真心的热爱它，才能发展它。若厌烦它的规则，恐怕很难做好它。Hilbert对数学严格性的这坚定不移的信仰正是他对数学基础的巨大贡献的源泉，对他自己所从事事业的万丈信心。 2. Hilbert早年在克莱因建议下的那次巴黎之行，遍访名师，积极地与当时的数学大师接触。当时很多人劝他不要去见克隆内克，因为他不会受到热情的欢迎。 但Hilbert最终还是去了。他早年的这些经历，对他的数学研究产生了很大的影响。我觉得现在作为一名数学研究生，应该积极地利用一切有利条件抓住机会去多接触那些工作在数学一线的名家，在于他们的交流中捕捉思维的火花，探寻前进的道路。不要怕路远麻烦。有机会要多走一走，转一转。既要读万卷书，又要行万里路。其实Hilbert并不喜欢在读书中学习数学，他更喜欢在与别人的讨论中学习数学。 3.结交数学的挚交，Hilbert在数学上的成就与他和闽科夫斯基的友谊密不可分。两个人之间的亲密无间的讨论使他们能受益匪浅。在困难时的相互鼓励，成功时的相互祝贺。数学已经越来越不是个人英雄的时代。合作是很重要的能力，不能自闭。
Extra Gottingen non est vita, si est vita non est ita 哥廷根外无生活 20世纪上半叶，德国哥廷根数学学派在数学史有着相当的地位。由克莱因、希尔伯特领导的哥廷根学派的在1890s～1933s年间达到了全盛时期，直到希特勒发动反犹太人和发动第二次世界大战，大批犹太科学家的被迫离去而衰落下去。期间耀眼的全明星阵容还包括：闵可夫斯基、外尔、冯诺依曼、 诺特、柯朗、波恩等人。 大卫希尔伯特(18621943),是20世纪上半叶国际数学界的一位领袖人物。1900年，他在巴黎的国际数学家大会上提出的纲领式的23个数学问题(希尔伯特问题)，为整个数学学科的发展做了很好蓝图，激发着无数人向数学的雄伟目标进军。这23个数学问题也几乎成了评判数学界重大成就的指 标。希 尔伯特在代数、几何、分析乃至元数学上的一 连串无与伦比的数学成就，是公认的最后一个全能数学家，这些使他成为无可争辩的哥廷根数学学派的学术领袖（精神领袖是更具哲学色彩的克莱因）。他学术成就 和对数学教育的贡献创造了 20世纪数学史奇迹，就像数学世界的亚历山大，在整个数学学科上留下了他在极抽象的世界里的显赫的功绩。 《希尔伯特：数学世界的亚历山大》的作者康斯坦丝瑞德是美国传记作家和数学爱好者。她以独特的风格先后为哥廷根的希尔伯特和纽约的R柯朗(Richard Cotlrant)撰写传记。 康斯坦丝瑞德以希尔伯特的学术生涯为主线，通过大量资料展现了希尔伯特的成长，并描绘了克莱因和希尔伯特领导下的哥廷根学派的主要成员是如何作科 研和思考的。书中的描述了希尔伯特每周和他的学生约定在在哥廷根的校园里或小山上一路讨论数学问题和研究，这实在是令人羡慕啊。我们现在的导师们大都忙于基金、 SCI和应酬，没时间和学生或研究者认真思考一下和讨论科研问题。 琐碎杂事占据了科学研究的大部分时间，那里还有时间去探究VERITAS（美丽踏 实）呢？ 希望我们都来读读希尔伯特等真正科学家的传记，在科学的殿堂里做一个VERITAS的忠实守护者。 科学，特别是数学是唯美的，正如哈迪在《一个数学家的独白》写的：不完美的数学是无法在阳光下生存的。同样，不完美的科学在阳光下也是无法生存的。像根本哈根物理学派和哥廷根数学学派这样超纯洁的 学术研环境现今几乎难觅踪迹，我们只能在内心深处对这些VERITAS留一席之地，并让自己的科研不浮燥、不跟风，努力地、实实在在地去做那些基础、 扎实的研究。争取在自己的精神自留地里给自己一个学术之外无生活的境界吧。 《希尔伯特：数学世界的亚历山大》值得一读。 下面是转载自Wiki的图片。 David Hilbert David Hilbert (1912) Born January 23, 1862(1862-01-23) Knigsberg or Wehlau (today Znamensk, Kaliningrad Oblast ), Province of Prussia Died February 14, 1943 (aged 81) Gttingen , Germany Residence Germany Nationality German Fields Mathematician and Philosopher Institutions University of Knigsberg Gttingen University Alma mater University of Knigsberg Doctoral advisor Ferdinand von Lindemann Doctoral students Wilhelm Ackermann Otto Blumenthal Richard Courant Max Dehn Erich Hecke Hellmuth Kneser Robert Knig Emanuel Lasker Erhard Schmidt Hugo Steinhaus Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo Known for Hilberts basis theorem Hilberts axioms Hilberts problems Hilberts program EinsteinHilbert action Hilbert space Religious stance Lutheran 《希尔伯特数学世界的亚历山大》序 康斯坦丝瑞德 这本书的大部分内容是根据回忆写成的。 许多在希尔伯特门下取得博士学位的先生和女士给了我非常友好的帮助，他们是：V.勒贝捷夫米勒(Veva Lebedeff-Myller，1906)，R.哥尼克(Robert Konig，1907)，A．斯盘瑟(Andreas Speiser，1909)，R．库朗(Richard Courant，1910)，H.斯坦豪斯(Hugo Steinhaus，1911)，P.丰克(Paul Funk，1911)，L．夫泼尔(Ludwig Fuppl，1912)，H．克内索(HeUmuth Kneser，1921)，H.格里(Haskell Curry，1930)，A.史密特(Arnold Schmidt，1932)，K．舒特(Kurt SchoRe ，1934)。 另有一些已经去世的学生写的回忆录对我也是一种巨大的帮助。在这里，我特别感激0.布鲁门萨尔(Otto Bhumaenthal，1898)，他曾为希尔伯特全集写了一篇纲要性的传记，还为纪念希尔伯特60寿辰而出版的《自然科学》(Natural science)专刊写过一篇小传；我也同样感激 H．魏伊尔(Hermann Weyl，1908)，他曾给皇家学会写了讣告，他的文章《大卫希尔伯特和他的数学工作》已收进本书。 也许，R．库朗和P．贝尔奈斯 (Paul Bernays)对我的帮助最为有益，因为他们跟希尔伯特交往的时间最长，关系也最密切。库朗自1919～1933年一直是希尔伯特的同事，在其间的大部 分时间里，库朗还担任数学研究所所长；贝尔奈斯在1917年到1934年间是希尔伯特研究逻辑和数学基础的助手和合作者。 在希尔伯特 ((David Kratzer)和L．诺德海姆(Lothar Nordheim)慷慨地为本书献出了他们的时间和知识。我要特别感谢爱瓦尔德教授，他提出了许多关于如何对希尔伯特的生活进行文学论述的意见。他的物理 助手中间，A．兰德(Alfred Lande)，P．爱瓦尔德(Paul Ewala)，A．克拉采(Adol 我还访问了一些人，他们虽然不是希尔伯特的学生，但都在不同的时期跟哥廷根学派有过密切的联系，他们给了我许多有关希尔伯特的情况。这些人包括：H.勒威 (Hans Lewy)，A.奥斯特洛夫斯基(Alexander Ostrowski)，G.波利亚(George Polya)，B.瑞利希(Brigitte Rellich)，C ．L.西格尔(Carl Ludwig Siegel)，G．赛格(Gabor Szego)，O．陶斯基-托特(Olga Taussky-Todd)，J．范德戈毕脱(Jan vail der Corput)，B.L．范德瓦尔登(B．L．Vander Waerden)，E.魏伊尔-巴(Ellen Weyl-Bfir)，K.里德迈斯特(Kurt Reidemeister)和E.里德迈斯特(Elizabeth Reidemeister)以及H.哈斯(Helmut Hsse)。他们的来信描述了希尔伯特晚年的生活。 除了贝尔奈斯教授之外，A.塔斯基(Alfred Tarski)和K.哥德尔(Kurt Godel)也回答了我提出的有关希尔伯特在逻辑和基础方面工作的问题。 我很感激路登堡夫人(Lily Raienberg)和R．博施克(Ruth Buschke)，他们欣然允许我引用他们的父亲H.闵可夫斯基(Hermann Mmkowski)，写给希尔伯特的信。希尔伯特和闵可夫斯基有着多年亲密的友谊。希尔伯特的回信于1933年由闵可夫斯基夫人送回给了希尔伯特夫人，不 幸的是，据我所知，这些信件已不复存在。本书中有几处引及希尔伯特给闵可夫斯基的书信，那是取自布鲁门萨尔为希尔伯特全集写的传记，由于要为希尔伯特写小 传，他有幸读到过那些信。 希尔伯特堂兄弟的儿子霍斯特希尔伯特(Horst Hilbert)提供了许多有关希尔伯特家族的详细材料。普鲁士文化遗产基金创建的机密国家档案馆的J．K.冯施罗德(J．Kvon Schroeder)找出了生动的统计资料。本田欣哉 (Kinya Honda)把他写的希尔伯特简传译成英文，供我使用。卡萨克森州国立大学图书馆馆长H.福格特(H．Vogt)从克莱因和赫维茨的文件中找到了希尔伯特 写的一些信。数学研究所的现任所长M．克内泽尔(：Martin Kneser) 为我在研究所内准备了办公室，并让我参阅了希尔伯特的文件。研究所的秘书U.德鲁兹(Ursuh Drews)也给我提供了种种帮助。I．纽曼(Irma Neumann) ，其母多年任希尔伯特家的管家，给我提供了希尔伯特家的相片。 我还要特别感谢下面几位：我的妹妹J．罗宾孙(Julia Robinson)，她一直对我的工作关怀备至，给我忠告、帮助和勇气；V.施特拉森(Volker Strassen)，他给我介绍了哥廷根和它的数学传统；H.劳伦茨(Hrsula Lawrenz)，C．施特拉森(Cllrista Strassen)和E.弗里德(Edith Fried)，他们给我增补了德国和德文的知识。我非常高兴本书将由斯普林格出版社出版，该社跟希尔伯特和哥廷根有过紧密的联系，在第一次世界大战后，它 曾冒着风险从事出版事业，为复兴德国的科学作出了本质性的贡献。 在本书的写作过程中，曾蒙以下各位阅读了手稿：P．贝尔奈斯，R．库朗，P．爱瓦尔德，L.诺德海姆，J．罗宾孙，R．M．罗宾孙，V.施特拉森，G.赛格，J.爱迪生和M.玻恩。 尽管有如此大量的帮助，书中仍难免有不妥之处，都应由我自己负责。 康斯坦丝瑞德 1969年8月3日 旧金山，加利福尼亚
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