科学网—标签 - 振动力学

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热度 2 Mech 2018-12-8 17:31

作者编写的《振动力学》于 1998 年作为工程力学专业的本科生教材出版。被列入 “ 普通高等教育 ‘ 九五 ’ 重点教材 ” 和 “ 面向 21 世纪课程教材 ” 。第二版出版于 2011 年，适用对象改为机械、土木、航空等专业的本科生教学。原教材中的提高部分作为研究生教材《非线性振动》另行出版。即将出版的第三版，仍保留原版的起点较高、线性振动和非线性振动纳入统一体系等特色不变。为方便教学和自学，第三版增加了与本书配套的计算机辅助教学课件、专题讲座课件和与内容有关的视频资料，利用二维码供读者下载参阅。本文就第三版修订的内容和特点做一些说明。 1. 线性振动与非线性振动线性振动与非线性振动是根据描述振动的微分方程是线性还是非线性区分的。由于线性振动已构成完整的理论体系，能解释振动幅度较小情况下绝大多数振动现象，国内外多数教材的体系是以线性振动为主，按不同自由度和激励情况依次叙述各类振动问题。非线性振动作为最后章节单独叙述。以早期季文美等的教材为例，总共十四章内容中，前十章均为线性振动及相关的数学力学基础，第十一章为非线性振动，后三章为随机振动。早期国外教材如 L.Meirovitch 的教材，总共十一章内容中，前九章为各种类型的线性振动，非线性振动和随机振动各占一章置于书末。但线性振动毕竟有其适用范围，如单摆的大幅摆动就不具有等时性。有些类型的振动，如日常生活和工程技术中常见的自激振动，学生如仅了解线性振动，就难以识别和分析这种类型的振动。国外也有与上述体系完全不同的振动力学教材，如 K.Magnus 编写的德国振动力学教材，至今已发行到第十版。其突出特点是不按微分方程的线性或非线性区分，而是按照自由振动、受迫振动、自激振动、参数振动等不同物理现象划分章节。受这类教材的影响，作者在《振动力学》的初版中采用了类似的教材体系，尝试不明确区分线性与非线性振动。对出现的非线性问题采用直观的几何方法，或简易的谐波平衡法处理。在自由振动一章中增加相平面方法和静态分岔概念。在受迫振动一章中增加非线性系统的响应，以解释跳跃、多频响应等现象。自激振动作为单独一章，着重从物理概念和工程实例解释其机理和分析方法。第三版在受迫振动一章内增加一节参数振动内容。受迫振动和参数振动的激励均为周期性，但后者的激励是通过系统内参数的周期性变化实现。参数振动的数学表达是周期变系数线性常微分方程。教材中采用方波激励代替谐波激励，使有可能直接利用自由振动的分析结果，以避免过多的数学推导。利用具体的工程实例解释对参数振动稳定性的分析方法。关于非线性科学的新进展，在第二版中已对混沌振动做了简要介绍。通过典型的混沌系统上田振子，介绍混沌最基本的性质，如初态敏感性、有界非周期性和不可长期预测性等。第三版更结合上田振子的混沌振动形成的上田吸引子，通俗地介绍了分形概念。因受学时限制，上述涉及非线性振动的内容若不能在课堂讲述，也能为学生提供扩展知识的自学条件。 2. 连续系统的振动在欧拉 - 伯努利梁的理论基础上，从第 2 版开始，增加了铁摩辛柯梁、粘弹性梁、轴向运动梁等特殊梁振动问题，以及弹性薄膜和薄板横向振动的基础知识。轴向运动梁通常不在本科生振动教材中出现，仅见于 J.H.Ginsberg 的振动教材。但轴向运动梁是典型的带陀螺项的连续体，其动力学特性具有特殊性和代表性，且有较广泛的工程应用。教材中以通俗易懂的方式叙述了轴向运动梁的方程推导和分析。第三版还增加了一维线性波动一节。简要叙述了波动的基本概念和分析方法。重点在于解释波动与振动之间的密切联系。通常认为波动属于物理课程，多数振动教材的内容不包括波动。但也有例外。如德国 J.Wittenburg 编写的振动教材，总共 4 章中，参数振动和一维波动各占一章，与线性振动的两章并列。实际上振动与波动来源于同一数学模型，即波动方程。且连续系统的振动和波动往往同时发生。振动分析导出的主振动与波动分析导出的驻波是对同一物理现象的不同叙述。驻波作为逆向行波的叠加结果，更能反映出主振动形成的动态过程。对于连续体振动的普遍规律，振动分析将其表示为无穷多个主振动之和。波动分析则表示为无穷多个驻波之和，即无穷多个逆向行波之和。虽然表达的概念和形式不同，但结论完全一致。 3. 受迫振动与暂态响应受迫振动和暂态响应均为在外力激励作用下发生的振动。区别在于，前者的激励是周期性函数，而后者是非周期函数。分析方法和使用的数学工具也不同。因此将其划分为两章叙述。在暂态响应一章内，分别在时间域和频率域内讨论激励与响应的关系。时域分析以杜哈梅积分为工具，发展为对任意规律的激励函数计算响应的普遍方法，周期性激励的受迫振动可视为其特例。频域分析的主要工具为傅里叶变换和拉普拉斯变换，是工程设计中常用的实用方法。随机激励作为特殊的非周期函数，可在暂态响应一章内简要叙述随机振动的规律和工程应用。于是各种不同振动现象，包括自由振动、受迫振动、自激振动、参数振动和随机振动在教材中实现了全覆盖。使学生对各种振动现象的判别和分析方法有更全面的认识。 4. 多自由度系统和连续系统振动的计算方法多自由度系统振动计算方法的内容，不仅是介绍了各种算法，也希望通过这些算法的讲解和分析，增加学生对振动基本概念的理解。为此，从第 2 版起，在多自由度系统计算方法部分，应用振动系统频率和振型的性质以及线性代数和不等式等基本的数学工具，给出一下结果的理论证明。有理论证明的结果包括：瑞利商介于最小频率平方和最大频率平方之间，用动力矩阵表示的瑞利法可给出更精确的基频近似值，利用动力矩阵迭代趋于模态精确值等。连续系统振动计算方法，有些同时也是连续系统的离散方法。假设模态法是先离散再导出常微分方程组。加权残数法是先建立边值条件下的偏微分方程，再离散化为常微分方程组。这类离散方法，不仅适用于线性系统，在某些条件下也可以应用于非线性系统。教材对此作了说明。这方面内容的扩展，有助于学生将来研究连续系统的非线性振动。从第二版起，把原来的伽辽金方法扩展为加权残数法，而伽辽金方法只是权函数取为试函数的特例，还简要介绍了其他的加权残数法包括并置法和子区域法。此外，连续系统振动的计算方法部分，从第二版起也增加一些理论证明以巩固基础知识。例如，证明了瑞利商在试函数取振型函数时取驻值，从瑞利商取驻值导出振型函数的正交性等。 5. 结语在振动力学课程中适当增加非线性振动内容，改变本科教学体系局限于线性振动范围的现状，对强化学生能力的培养具有重要意义。如何在有限学时的限制和不增加学习负担条件下使学生获得必要的非线性振动知识，无论对教材编写或对教师的教学实践都是值得认真研究和探索的课题。参考文献刘延柱，陈立群，陈文良 . 振动力学 ( 第三版 ). 北京 . 高等教育出版社 . 2019 ( 待出版 ) 黄毅 . 颇具特色的教材《振动力学》 . 力学与实践 , 1999, 21(3): 79 于开平 . 振动力学相关课程设置及教材分析 . 力学与实践， 2017, 39(2): 185-191 季文美，方同，陈松淇 . 机械振动 . 北京 . 科学出版社， 1985 Meirovitch,L. Elements of Vibrations Analysis. New York. McGraw-Hill, 1986 Magnus K, Popp K, Sextro W. Schwingungen: Grundlagen-Modelle-Beispiele (10 Auf.). Wiesbaden: Springer, 2016 Ginsberg,J.H. Mechanical and Structural Vibration: Theory and Applications. New York. John Wiley Sons, 2001 Wittenburg,J. Schwingungslehre. Berlin. Springer. 1996 附注：本文由刘延柱教授和我共同完成。刘延柱教授在第十三届力学课程报告论坛 ( 厦门， 2018.11.30-12.2) 做分会场报告。

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力学教学小品

热度 1 Mech 2014-1-6 17:38

在过去 20 多年里，我写过些与力学 ( 具体是振动力学和理论力学 ) 教学内容相关的短文。以各种形式发表的也有 20 多篇。目录附在后面。这些短文的选题往往产生在备课中甚至讲课中。对现行教材的某些处理不是特别满意，翻了各种教材也没有找到特别满意的方法，因此自己动手做些推导。我在现在所谓纯教学型高校开始教师职业，出于习惯对备课有过分甚至不必要的认真。我讲过的课，国内的教材都看过，国外的能找到的也看过，认为比较好的十多种就放在旁边随时备查。如果仍有个别细节的处理，我觉得更适合自己的教学，就会动手写出来并投稿。这类短文称为教学论文好像不太合适，至少不是一般人们认为的教学论文。它们往往只是在现行教学内容的范围内，对教学内容做些注记或推广，或者补充些自己觉得好用的方法，而且通常有公式推导。内容不敢说是百分之百自己原创，只能保证国内外常见的教材中没有。我过去称为教学内容研究论文，大体说得通，但也不是很贴切。现在想到一个说法，力学教学小品。首先是与力学教学，其次内容分量不重。多数篇幅很短，虽然有些也不是很短。客观地看，这些力学教学小品未必有太大意思。只是敝帚自珍，我看到自己过去的足迹有些开心。已经陆续在博客上贴出一些，以后会继续贴出来。已发表力学教学小品 ( 无说明者均为唯一作者 ) 广义惯性力的广义非惯性势 . 力学与实践 , 1992, 14 (2): 63 冲量激励的非零初值响应 . 教材通讯 , 1992, (5): 39 一种推导单自由度线性振动系统杜哈梅积分的方法 . 力学与实践 , 16, 6(1994): 56-57 用投影－求导法解运动学综合题 . 教学与教材研究 , 1994, (1): 41-42 初值响应与外激励响应的叠加原理 . 教学与教材研究 , 1994, (2): 45 用功能关系求稳态振动 . 工科物理 , 1994, (4): 17-18 关于求解运动学难题的解析方法 . 理论力学教学与教材研究 , 1994, (7): 62-63 61-62 关于单自由度振系对任意周期激励的响应 . 鞍山钢铁学院学报 , 1995, 18(3): 37-40 ( 第一作者 ) 均匀弦线振动中的行波和驻波 . 鞍山钢铁学院学报 , 1996, 19(1): 16-18 关于谐激励下无阻尼多自由度系统的振动 . 黄淮学刊 , 1996, 12(4): 32-34 关于两自由度无阻尼系统谐迫振动和动力吸振器 . 鞍山钢铁学院学报 , 1996, 19(4): 15-18( 第二作者 ) 等效线性化方法的最优性 . 力学与实践 , 1996, 18(1): 56-57 求均质杆纵向振动的行波法 . 力学与实践 , 1996 ,18(4): 41-42 单自由度非线性谐迫振动等效线性化方法的物理意义和数学基础 . 东北大学学报 , 1996, 17( 增刊 ): 8-10 用复模态分析研究单自由度阻尼振动系统 . 鞍山钢铁学院学报 , 1997, 20(4): 12-15 ( 第二作者 ) ( 小问题 333 和解答 ). 力学与实践 , 2002, 24(2): 76, (3): 77 ( 小问题 357 和解答 ). 力学与实践 , 2004, 26(3): 96; (4): 96 关于平行力系中心的注记 . 力学与实践 , 2012, 34 (1): 101 匀低速曲柄滑块机构近似解与精确解比较 . 力学与实践 , 2013, 35 (3): 82-84 ( 第二作者 ) 三矢矢量积在理论力学中应用两例 . 力学与实践 , 2013, 35 (5): 82

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提高振动理论课教学质量的若干尝试

Mech 2009-4-13 14:37

在承担本校理论和应用力学专业本科生振动理论课程教学过程中，笔者在提高教学质量方面进行一些尝试，主要有更新教学内容、改进教学方法和形成教学风格。 1 教学内容的更新更新教学内容是我们提高教学质量的核心，它反映在下列几个方面：首先是调整教学体系。本科生振动理论课中一般仅讨论线性振动。这种处理方法的优点是线性振动理论完整、在教学上比较容易接受，而且对于一些工程问题，线性理论可得到足够好的结果。这种处理方法的缺点是学生对非线性振动了解甚少，无法对自激振动等工程中常见的非线性现象作出理论分析和解释。随着工程机械和结构日益高速化和大型化，这一缺点将愈来愈突出。我们在教学中，结合采用刘延柱等编著的《振动力学》，在关于单自由度系统自由振动、受迫振动和自激振动的前三章中统一处理线性和非线性振动，将前者作为后者的特例，仅用直观的定性分析方法相平面法和简单的近似解析方法谐波平衡法处理非线性振动；在关于多自由度系统和连续系统振动的三章以线性振动为主，保持了线性理论的完整性，但也给出非线性振动的例子。其次是提高起点。发挥本校力学专业学生数学基础较好的优势，充分利用学生学过的微分方程、线性代数等数学工具，既简化了相关推导，也促进学生通过应用来复习巩固数学知识。注意与先修课的配合，物理课中已学过简谐振动运动学特征等不再讲解，对理论力学中已涉及的单自由度谐迫振动用不同的方法讨论。第三是注重应用。将力学模型化方法渗透到教学过程中。在分析每类振动模型时结合工程实际简述该类力学模型的建立过程。讲解例题时简要说明相应的实际问题。对于个别典型问题，例如有包装物体落地冲击物体，不仅建立适当的力学模型，而且考虑了不略去次要因素所产生的困难及对相应结果的影响。最后是扩展内容。在本校力学专业的教学计划中，振动理论是最后门一般力学分支的课程，有必要普及相关力学知识。为此我们用简明通俗的方式介绍了随机振动和混沌等。对于随机振动，侧重基本研究方法相关函数和功率谱的介绍，特别强调频率域分析的必要性，还描述了工程实际中的随机振动问题及其解决思路，但不涉及具体的分析计算。对于混沌振动，侧重运动特性的介绍，如初值敏感性、非周期性、不可预测性和内秉随机性。此外，结合教学过程也穿插一些振动研究历史的简介。 2 教学方法的改进振动理论课既要综合运用数学、物理、力学诸先修课知识，又要分析具有工程背景的力学模型，使得学生在学习中遇到较大困难。为此我们在改进教学方法方面也做了一些尝试。首先是综合启发。启发式不单纯是种课堂处理技巧，为有效地进行启发式教学，必须先将重点和难点内容重新处理。例如，模态分析是研究多自由度系统的基本方法，其关键是模态矩阵的建立。为引导学生自然地导出模态矩阵，我们先用待定系数法求出自由振动，由此分析解耦后的方程形式，进而推测出进行变换的矩阵即模态矩阵。这种以启发式教学为目标重新处理教学内容、在此基础上启发学生分析问题的关键所在，并引导学生产生解决问题思路的教学模式我们称之为综合启发。其次是精讲精练。对振动理论这种学时少内容多的课程，除必须着重讲提出、分析和解决问题的基本思路和主要途径即精讲外，还必须突出精练。精练是强调例题和习题的目的性、多样性和规范性。做每道题目都有具体明确的目标，弄清复习哪些知识，培养哪几种能力。例题注意从难到易合理配置，留作业时提示题目的难度；例题和习题均注意类型的变化。重视解题步骤，通过较简单的题目熟悉解题步骤，再利用掌握的解题步骤处理较复杂的题目。通过精讲精练，可以用较少的课时使学生较好地掌握教学内容。最后是穿插复习。针对振动理论综合运用多门先修课的特点，采用穿插复习的处理方式。通过讲解振动方程的建立归纳所需要的理论力学和材料力学知识，并以难易不同的例题加以说明。在讨论单自由度线性系统振动时，简要复习微分方程的解法。结合多自由度振动的教学，适时复习矩阵运算、线性代数方程、矩阵本征值等线性代数内容。这种穿插复习可以及时地帮助学生克服因先修课遗忘而产生的理解困难，又不占很多课时。 3 教学风格的形成大学教师往往具有始终如一的某种教学行为模式，这便是教学风格。在振动理论课教学过程中，我们初步形成自己的教学风格。首先，我们在教学中追求新意。课堂所用教案不是依据任何单一的著述，而是在大量阅读学习的基础上择优而从，并且融入个人的学习和研究心得。不完全照搬现有著述，既博采百家又别出心裁，成为我们教学的鲜明特色。其次，我们特别注重灵活应用与融会贯通之间的互相转化。既不主张没有充分理解就盲目套用相关公式和步骤，也不鼓励死抠定义原理而不去具体应用。我们要求在教师讲解的基础上初步理解，在教师示范下学会运用，通过运用更深刻地理解，在此基础上更灵活地运用，形成循环放大的正反馈机制。第三，我们强调个案分析，有针对性答疑是教学过程中的重要环节。我们非常欢迎并积极鼓励学生提出问题，而且答疑也并非是单纯重复正确的讲解，必须针对学生的问题，帮助学生分析澄清自己的思路。尽管教师的讲课可能不会使每个学生满意，但课后的答疑完全可以使每个学生各得其所。最后，我们力求在教学过程中体现出高屋建瓴的学术洞见。基于这种学术洞见，便可能在貌似平易的材料中发现深刻的思想，也可能在繁琐复杂材料中发现简单的想法。这种学术洞见主要来自相关学科名著要籍的学习及对学科发展历史的把握，也来自教师个人工作的经历和体会。实践证明，上述尝试不仅有利于本门课程教学质量的提高，而且有助于学生能力的培养和综合素质的提高。笔者和上海交通大学刘延柱教授等共同完成的教学项目振动力学教学内容改革与教材建设获 2001 年上海市级教学成果二等奖。发表于：上海大学学报 ( 高教管理版 ) , 2004, (4): 15-16

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《振动力学》绪论

Mech 2009-3-31 16:41

0.1 振动和振动力学在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化。这类现象称为振荡。例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性。振动是一种特殊的振荡，即平衡位置附近微小或有限的振荡。工程技术所涉及的机械和结构的振动称作机械振动。在许多情况下，机械振动被认为是消极因素。例如，振动会影响精密仪器的性能，降低加工精度和光洁度，加剧构件疲劳和磨损，缩短机器和结构物的使用寿命；甚至引起结构的破坏。典型的例子是 1940 年美国塔可马 (Tacoma) 吊桥因风载引起振动而坍塌的事故。即使不引起破坏，汽车和飞机的振动也会劣化乘载条件，强烈的振动噪声会形成公害。然而，振动也有积极的一面。例如将振动用于生产工艺如振动传输、振动筛选、振动抛光、振动沉桩、振动消除内应力等等。此外，电系统的振动也是通讯、广播、电视、雷达等工作的基础。可以预期，随着生产实践和科学研究的进展，振动的利用还会与日俱增。各个不同领域中的振动现象虽然各具特色，但有着共同的客观规律。因此有可能建立统一的理论来进行研究。振动力学就是这样一门力学分支学科。在统一的力学模型基础上，振动力学应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨各种振动现象的机理，阐明振动的基本规律，从而为解决实践中可能产生的振动问题提供理论依据。振动问题所涉及的内容可用系统、激励和响应来概括。机械部件、工程结构等研究的对象称为振动系统，简称系统，构成系统的基本要素是惯性元件和弹性元件，即质量和弹簧，实际工程系统中还有阻尼元件。质量储存的动能和弹簧储存的势能在振动过程中互相转换，阻尼则消耗系统的能量。初始干扰、强迫力等外界对于系统的作用统称为激励；系统在激励作用下产生的运动称为系统的响应。通常可将振动问题分为三类。 1. 振动分析：已知激励和系统特性求系统的响应。为机械强度或刚度计算提供依据。 2. 系统识别：已知激励和响应求系统的特性参数。这类问题也可称为系统设计，即在一定的激励条件下确定系统参数，使响应满足指定的条件。 3. 振动环境预测：已知系统特性和响应求激励，即判别系统的环境特性。实际振动问题往往错综复杂，可能同时包含识别、分析和设计几方面问题。振动力学作为一门力学课程着重讨论振动分析问题。 0.2 振动的分类根据研究侧重点的不同，可从不同的角度对振动进行分类。 1. 按对系统的激励类型分为 (1). 自由振动：系统受初始激励后不再受外界激励的振动。 (2). 受迫振动：系统在外界控制的激励作用下的振动。 (3). 自激振动：系统在自身控制的激励作用下的振动。 (4). 参数振动：系统自身参数变化激发的振动。 2. 按系统的响应类型分为 (1). 确定性振动：响应是时间的确定性函数。根据响应存在时间分为暂态振动和稳态振动：前者只在较短的时间中发生，后者可在充分长时间中进行。根据响应是否有周期性还可分为 (a). 简谐振动：响应为时间的正弦或余弦函数。 (b). 周期振动：响应为时间的周期函数，可用频谱分析方法展开为一系列周期可通约的简谐振动的叠加。 (c). 准周期振动：若干个周期不可通约的简谐振动组合而成的振动。 (d). 拟周期振动：响应为时间的拟周期函数。拟周期函数 f ( t ) 是指对任意给定的 0 ，存在 T ( )0 ，使得｜ f ( t ) - f ( t + T ( )) ｜。 (e). 混沌振动：响应为时间的始终有限的非周期函数。 (2). 随机振动：响应为时间的随机函数，只能用概率统计的方法描述。 3. 按系统的性质从不同方面分为 (1). 确定性系统和随机性系统：确定性系统的系统特性可用时间的确定性函数给出。随机性系统的系统特性不能用时间的确定性函数给出，只具有统计规律性。 (2). 离散 ( 集中参量 ) 系统和连续 ( 分布参量 ) 系统：离散系统是由彼此分离的有限个质量元件、弹簧和阻尼构成的系统，有有限个自由度，数学描述为常微分方程。最简单也是最基本的离散系统是单自由度系统。连续系统是由弦、杆、轴、梁、板、壳等弹性元件组成的系统，有无穷多个自由度，数学描述为偏微分方程。 (3). 定常系统和参变系统：定常系统是系统特性不随时间改变的系统，数学描述为常系数微分方程。参变系统是系统特性随时间变化的系统，数学描述为变系数微分方程。 (4). 线性系统和非线性系统：线性系统是质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，数学描述为线性微分方程。非线性系统是不能简化为线性系统的系统，数学描述为非线性微分方程。还需指出，对于相同的振动问题，在不同条件下或为不同的目的，可以采用不同的振动模型。例如，外界激励很小的受迫振动可视为自由振动；在较短的时间间隔内研究周期很长的周期振动便与混沌振动难以区分；连续系统可将分布参量近似地凝缩为若干集中参量而简化为离散系统；微幅振动的非线性系统可近似作为线性系统处理。模型的建立及分析模型所得的结论，必须通过科学实验或生产实践的检验。只有那些符合或大体符合客观实际的模型和结论，才是正确或基本正确的。 0.3 振动力学发展简史人类对振动现象的了解和利用有着漫长的历史，远古时期的先民已有利用振动发声的各种乐器。人们对与振动相关问题的研究起源于公元前六世纪毕达哥拉斯 (Pythagoras of Samos 约 570-497BC) 的工作，他通过实验观测得到弦线振动发出的声音与弦线的长度、直径和张力的关系。在我国，早在战国时期成书的《庄子》就已明确记载了共振现象。现代物理科学的奠基人伽里略 (Galileo Galilei 1564-1642) 对振动问题进行了开创性的研究。他发现了单摆的等时性并利用他的自由落体公式计算单摆周期。在十七世纪，惠更斯 (C. Huygens 1629-1695) 注意到单摆大幅摆动对等时性的偏离以及两只频率接近时钟的同步化两类非线性现象；墨森 (M. Mersenne 1588-1648) 在实验基础上系统地总结了弦线振动的频率特性。胡克 (R. Hooke 1635-1703) 于 1678 年发表的弹性定律和牛顿 (I. Newton 1642-1716) 于 1687 年发表的运动定律分别为振动力学的发展奠定了物性和物理的基础。在十八、十九世纪，振动力学的主要成就是线性振动理论的发展和成熟。欧拉 (L. Euler 1707-1783) 于 1728 年建立并求解了单摆在有阻尼介质中运动的微分方程。 1739 年他研究了无阻尼简谐受迫振动，从理论上解释了共振现象。 1747 年他对 n 个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。 1762 年拉格朗日 (J-L. Lagrange 1736-1813) 建立了离散系统振动的一般理论。最早研究的连续系统是弦线， 1746 年达朗伯 (J. R. DAlembert 1717-1783) 用偏微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。 1753 年丹尼尔伯努利 (Daniel Bernoulli 1700-1782) 用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解， 1759 年拉格朗日从驻波解推得行波解，但严格的数学证明直到 1811 年付里叶 (J. Fourier 1768-1830) 提出函数的级数展开理论才完成。其它连续体的振动问题也相继被研究，欧拉于 1744 年、丹尼尔伯努利于 1751 年研究了梁的横向振动，导出了自由、铰支和固定端梁的频率方程和模态函数； 1802 年开拉尼 (E. F. F Chladni 1756-1824) 研究了杆的轴向和扭转振动。十九世记后期以来，随着航海运输和动力机械技术的发展，振动力学的工程应用受到重视。实际工程结构复杂而不规则，难以精确求解，于是各种近似计算方法相继被提出。 1873 年瑞利 (J. W. Strutt Rayleigh 1842-1919) 基于系统的动能和势能分析给出了确定基频的近似方法，里兹 (W. Ritz) 发展了瑞利法使之推广为几个低阶固有频率的近似计算 . ，这一方法被伽辽金 ( Ь . Г . Галерки н ) 于 1915 年进一步推广。 1894 年邓克莱 (S. Dunkerley) 分析旋转轴振动时提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的简单实用方法。 1904 年斯托德拉 (A. Stodola 1859-1942) 计算轴杆频率时提出一种逐步近似方法，成为矩阵迭代法的雏型。 1902 年法莫 (H. Frahm) 计算船主轴扭振时提出离散化的思想，以后发展为确定轴系和梁的频率的实用方法。 1950 年汤姆森 (W. Thomson) 将这种方法发展为矩阵形式而最终形成传递矩阵法。非线性振动的研究开始于十九世记后期。非线性振动的理论基础是由庞卡莱 ( H. Poincare 1854-1912) 奠定的，他开辟了振动问题研究的一个全新方向：定性理论。在 1881 年至 1886 年的一系列论文中，庞卡莱讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数；此外还研究了分岔问题。定性理论的一个特殊而重要的方面是稳定性理论，最早的结果是 1788 年拉格朗日建立的保守系统平衡位置稳定性判据。 1879 年凯尔文 (Lord Kelvin) 和台特 (P. G. Tait) 考察了陀螺力和耗散力对保守系统稳定性的影响，其结论后来由契塔耶夫 ( Н . Г . Четае в ) 给出严格证明。 1892 年里雅普诺夫 ( А．М．Ляпуно в 1857-1918) 给出了稳定性的严格定义，并提出了研究稳定性问题的直接方法。在定量求解非线性振动的近似解析方法方面， 1830 年泊桑 (S-D. Poisson 1781-1840) 研究单摆振动时提出摄动法的基本思想。 1883 年林滋泰德 (A. Lindstedt) 解决了摄动法的长期项问题。 1918 年杜芬 (G. Duffing 1861-1944) 在研究硬弹簧受迫振动时采用了谐波平衡和逐次迭代的方法。 1920 年范德波 (B. van der Pol 1889-1959) 研究电子管非线性振荡时提出了慢变系数法的基本思想， 1934 年克雷洛夫 ( Н．М．Крыло в ) 和包戈留包夫 ( Н．Н．Боголюбо в ) 将其发展为适用于一般弱非线性系统的平均法； 1947 年他们又提出一种可求任意阶近似解的渐近法， 1955 年米特罗波尔斯基 ( Ю．А．Митропольски й ) 推广这种方法到非定常系统最终形成КВМ法。 1957 年斯特罗克 (P. A. Sturrock) 在研究电等离子体非线性效应时用两个不同尺度描述系统的解而提出多尺度法。非线性振动的研究使人们对振动的机制有新的认识。除自由振动和受迫振动以外，还广泛存在存在另一类振动，即自激振动， 1926 年范德波研究了三极电子管回路的自激振动； 1932 年邓哈托 (J. P. Den Hartog) 利用自激振动分析输电线的舞动。 1933 年贝克 (J. G. Baker) 的工作表明有能源输入时干摩擦会导致自激振动。非线性振动的研究还有助于人们认识一种新的运动形式：混沌振动。庞卡莱在上个世纪末已经认识到不可积系统存在复杂的运动形式，运动对初始条件具有敏感依赖性，现在称这种运动为混沌。 1945 年卡特莱特 (M. L. Cartwright) 和李特伍德 (J. E. Littlewood) 对受迫范德波振子及莱文森 (N. Levinson) 对一类更简化的模型分析表明，两个不同稳态运动可能具有任意长时间的相同暂态过程，这表明运动具有不可预测性。为解释卡特莱特和李特伍德、莱文森的结果，斯梅尔 (S. Smale 1930- ) 提出了马蹄映射的概念。上田和林千博发表于 1973 年的工作表明他们在研究杜芬方程时得到一种混乱、貌似随机且对起始条件极度敏感的数值解。本世纪五十年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题，如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪声导致飞行器表面结构的声疲劳、火箭运载工具有效负载的可靠性等。工程的需要促使人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构的响应、稳定性和可靠性等而形成随机振动这一振动力学的重要组成部分。在工程问题中，振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提，七十年代以来，由于电子计算机的迅速发展和快速付里叶变换算法的出现，随机振动的应用愈来愈广泛。理论研究也趋于深入，非线性随机振动尤其受到重视。历史的回顾表明，振动力学在其发展过程中逐渐由基础科学转化为基础科学和技术科学的结合。工程问题的需求使得振动力学成为必要 , 而测试和计算技术的进步又使振动力学的发展成为可能。学科的交叉也不断为振动力学的发展注入活力。使振动力学形成一门以物理概念为基础、以数学方法、数值计算和测试技术为工具、以解决工程中振动问题为主要目标的力学分支。 0.4 振动力学在工程中的应用工程系统如机械、车辆、船舶、飞机、航天器、建筑、桥梁等都经常处在各种激励的作用下，而不可避免地产生响应，亦即发生各种各样的振动。现代工程技术对振动问题的解决提出更高、更严格的要求，因此振动力学在工程实际中有广泛的应用。例如在机械、电机工程中，振动部件和整机的强度和刚度问题，联轴节和回转轴的扭振分析，大型机械的故障诊断，精密仪器设备的防噪和减振等。在交通运输、航空航天工程中，车辆舒适性、操纵性和稳定性问题，海浪作用下船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。在电子电讯、轻工工程中，通讯器材的频率特性，音响器件的振动分析等。在土建、地质工程中，建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震引起结构物的动态响应，矿床探查、爆破技术的研究等。在医学、生物工程中，脑电波、心电波、脉搏波动等信号的分析处理等。尽管在各种应用领域内的振动问题千差万别，解决的途径往往具有共同性。首先要从具体的工程对象提炼出力学模型；然后应用力学知识建立所研究问题的数学模型，通常是微分方程组和代数方程组；接着对数学模型进行分析和计算，求出精确、近似或数值解。对于实际工程问题的复杂模型，只能求数值解，这时需要利用电子计算机并编制或应用计算软件。最后将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行比较，考察理论结果能否解决原先的工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错误，则需要修改力学模型重复上述过程。本书着重讨论处理各种工程振动问题所共同需要的基本理论和分析方法，包括几类最基本的振动系统和振动形式。工程技术中更复杂的振动问题，如杆系、板、壳等复杂系统的振动属于结构动力学等后继课程的讨论范围。这类复杂振动问题的解决也是以振动力学的理论和方法为基础。

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《振动力学》序言

Mech 2009-3-28 12:07

随着工程技术的发展，机械振动问题已成为各个工程领域内经常提出的重要问题。电子计算机的广泛使用和动态测量技术的进步也为复杂振动问题的解决提供了有力的工具。因此振动力学已成为工程技术人员必须具备的理论知识。在机械、航空、土建、水利等工程专业的本科生和研究生教学过程中，振动力学是一门重要的专业基础课程。它更是工程力学专业本科教学的主干课程之一。这门课程要求学生掌握机械振动的基本理论和分析、计算方法，并能初步应用理论研究和解决工程中的各种振动问题。作为振动力学教材，本书根据国家教委工程力学专业教学指导委员会制订的振动力学教材基本要求编写。全书除绪论外共分十一章。前六章为基本部分，包括自由振动、受迫振动、自激振动、多自由度系统的振动、线性振动的近似计算方法和连续系统的振动。后五章为提高部分，包括振动问题的定性理论、非线性振动的近似解析方法、参数振动、随机振动和混沌振动。各章附有适量的习题，以加深对内容的理解。基本部分的前五章和第十章随机振动的部分内容适用于工程力学专业的本科生，提高部分适用于研究生。全书也适用于一般工程专业的研究生。在编写中，作者力求贯彻以下意图： 1. 提高基本部分的起点，精简与物理和理论力学的重复内容。 2. 将线性振动和非线性振动纳入统一的理论体系。在基本部分中除线性振动内容之外，也引导学生接触非线性振动问题，对诸如多频响应、自激振动等一些工程中常见的非线性振动现象作出初步的理论分析和解释。关于非线性振动更深入的讨论在提高部分中进行。 3. 对各种类型的振动均举出工程中具体实例加以说明，使理论与工程实际紧密联系。 4. 关于数值计算问题，着重介绍各种算法的基本原理。利用电子计算机的解题训练可自编或应用已有的标准计算程序和软件。 5. 引入分岔、混沌等反映近代非线性动力学研究成果的内容，使学生了解振动理论前沿基础研究的新进展以扩大知识面。本书第六和第十章由陈文良编写，绪论和第十一章由陈立群编写，其余八章由刘延柱编写。全书由刘延柱加工定稿，陈立群选编习题并打印初稿。编写工作得到各方面的支持和鼓励，并且汲取了已出版的国内外振动力学教材的许多宝贵经验。部分内容取材于作者在清华大学和上海交通大学所编写的教学讲义，初稿完成后曾在上海交通大学工程力学系本科生和研究生中试用。书稿承蒙清华大学郑兆昌教授和西北工业大学方同教授详细审阅并提出许多宝贵意见，作者谨表示衷心感谢。限于水平，书中的错误和不足之处恳请读者指正。作者一九九八年二月于上海交通大学

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Meirovitch著Fundamentals of Vibrations评介

Mech 2009-3-3 21:53

Leonard Meirovitch 教授的《振动基础》 (Fundamentals of Vibrations, McGraw-Hill, 2001) 近年来被多所国外高校采纳为研究生的教材。 Meirovitch 教授撰写过多部不同层次的振动教材，除将评介的书外，还包括 Analytical Methods in Vibrations (Macmillan, 1967), Elements of Vibration Analysis (McGraw-Hill, 1970, 1985), Principles and Techniques of Vibrations (Prentice-Hall, 1997) 。他的教材在中国也有较大影响， Elements of Vibration Analysis 的两版国内都发行过影印本，上海交通大学的吴镇教授等曾将第一版译为汉语 ( 《振动分析基础》，上海交通大学铅印， 1982) 。《振动基础》也可以认为是 Elements of Vibration Analysis 的扩充和修改。该书具有鲜明特色，对我国的研究生振动课程的双语教学具有较大参考价值。《振动基础》共分 12 章，另含 3 个附录。第一章来自振动的概念，复习质点、质点系和刚体动力学的基本内容，介绍振动系统的基本元件和建模方法，讨论激励的性质、系统特征和响应的性质，引入平衡点的概念并讨论平衡点附近的运动。第二章单自由度系统对初始激励的响应讨论无阻尼和线性阻尼系统，还讨论阻尼测量和干摩擦阻尼。第三章单自由度系统对简谐和周期激励的响应除理论分析外还包括旋转不平衡、转子、振动隔离和振动测量等应用问题。第四章单自由度系统对非周期激励的响应，包括计算响应的对合积分方法、 Laplace 变换法和转移矩阵方法，还包括响应谱和离散时间系统。第五章两自由度系统以较简单的形式介绍了多自由度系统所要研究的基本国内，固有模态、耦合、模态正交性等，还介绍了拍现象和无阻尼吸振器。第六章分析力学基础包括虚功原理， DAlembert 原理，广义 Hamilton 原理和 Lagrange 方程。第七章多自由度系统主要包括振动方程建立的影响系数法和动力学方程的线性化，本征值问题，模态的正交性，系统对初值和外激励的响应，模态分析方法，离散时间系统等。第八章分布参数系统：精确解包括弦线、梁和杆的振动，主要通过导出固有频率和模态计算系统对初值和外激励的响应。第九章分布参数系统：近似方法阐述了集中参数法、扭振的 Holzer 法、弯曲振动的 Myklestad 法、 Rayleigh-Ritz 法及其改进、 Galerkin 方法和配置法。第十章有限元法先给出弦线、杆和轴的线性、平方和立方插值函数，讨论梁的弯曲并国家误差，然后将桁架和框架作为杆和梁的组集进行讨论。第十一章非线性振动先引入平衡点，稳定性和极限环等概念，再阐述 Lindstedt 方法并应用于分析振动频响特性和参数振动的稳定性，然后用 Runge-Kutta 法进行数值积分。第十二章随机振动先介绍随机过程、静态、遍历性、均值、均方值和标准差等概念，再讨论概率密度函数和自相关函数，计算随机激励的频域响应，然后引入联合概率并计算多自由度系统和分布参数系统对随机激励的响应。最后三个附录分别介绍 Fourier 变换、 Laplace 变换和线性代数。《振动基础》具有些独特之处。首先，突出对振动现象的激励－响应理解，将传统上的自由振动和受迫振动分别称为对初值响应和对激励响应。其次，体现了控制理论中的某些方法和问题，例如，引入转移矩阵进行响应分析，讨论了离散时间系统。第三，包含些较为深入的内容，如多自由度系统的复模态分析，有限长杆中行波分析等。最后，对各类振动，均有用 MATLAB 分析的程序和算例，也有相应的练习。该书主要不足之处是工程问题实例较少，行文比较简略。因此，尽管作者声称该书可以作为本科生教材，但实际上多是用作研究生教材。与前两版《振动分析基础》相比，增加第一章以强调基本概念和振动系统建模方法。关于单自由度的内容又原来的两章变为三章，补充一些内容。多自由度系统和分布参数系统精确解部分都增加了内容。分析力学由原来在连续系统精确解之后提前到多自由度系统之前，并增加了广义 Hamilton 原理。方便参数系统近似解和有限元法两章几乎完全重写。非线性振动内容有所精简，由两章变为一章。第二版增加的计算技巧一章部分内容穿插到相关章，不再单列为一章。另外，该书每章增加了小结概括该章要点。 Meirovitch 教授是弗吉尼亚理工学院和州立大学杰出教授，撰写过多部动力学和控制的教材，并且在结构动力学和控制研究卓有建树。作者经过长期教学实践，对教材反复修订。《振动基础》既体现了作者作为研究者的深刻洞见，也反映了作者作为教师的丰富经验，是不不可多得的优秀教材。

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振动力学双语教学实践与思考

Mech 2009-2-27 10:58

摘要：本文总结笔者开展的振动力学双语教学工作。首先探讨了双语教学的重要性和目标。随后介绍教学班、教材选用、教学内容和为提高双语教学质量所采取的措施。最后分析了学生的意见反馈。笔者分别在 02-03 年度冬季学期和春季学期进行了双语教学的尝试，用英语为本系数学物理力学综合班的理论与应用力学专业 1999 级和 2000 级学生讲授振动力学。本文阐述笔者对双语教学的认识，介绍双语教学开展的背景，总结双语教学的实践，并叙述和分析学生的反馈。 1 对双语教学的认识随着对外改革开放的全面深化，对外交流和交往日益增加，对人们的外语能力提出越来越高的要求。在此大背景下，双语教学，尤其是高等院校中的双语教学愈来愈引人关注。虽然有人对双语教学的必要性和可行性心存疑虑，但正在形成的共识是在高校理工专业开展双语教学很有必要，至少是值得尝试的。因此，各高校都在出台对双语教学的鼓励政策，而出版社等也在出版愈来愈多的英语教材。笔者认为，双语教学是非常必要的。双语教学有助于提高学生素质。对于继续深造攻读研究生的学生，将提高他们阅读国外文献的能力和用英语表达的能力，对出色完成研究生学业大有帮助。对于毕业走向社会的学生，外语能力的提高将使他们在人才市场中的竞争处于有利地位。特别需要说明的是，双语教学不仅加强学生的专业英语或科技英语，而是促使学生完成从学英语到用英语的转化。真正把英语变为一种工具，而不仅是一门考试科目。因此，双语教学的主要目的是通过英语能力的加强而提高学生的素质，同时也要保证课程教学质量在可接受的范围内，并尽可能使之有所提高。限于种种条件，包括师资水平、学生能力、教学用书和课件的局限等，双语教学的开展和质量的提高还存在很大难度。因此，必须以积极稳妥的态度有步骤地推进。先从高年级小班选修课、专业课着手，创造条件，积累经验，逐步向低年级大班基础课发展。先从英语教材、英语板书起步，逐渐过渡到课堂上完全用英语讲授。双语教学的选修课和专业课可直接采用国外教材，而基础课，对大多数学校和学生，可能还有必要由中外教授合作为中国学生编写大体上遵循国内教学体系和传统，同时借鉴国外教材长处的教材。 2 教学班、教师准备和教材选用情况笔者进行双语教学的两个年级选课的学生分别为 12 人和 11 人，是典型的小班。学生英语程度较好，大多数通过国家英语四级考试，个别已通过六级。班级学风很好，多数同学有考研意向，学习积极性较高，基础知识掌握较好。主要的不利因素是其他同期课程难度大，学生学习负担较重。在开展双语教学之前，笔者曾主讲该专业 96 、 97 和 98 级的振动力学课程，效果良好，曾获 2001 年上海市教学成果二等奖。积累了教学经验，对该专业学生的特点较为了解。笔者还利用在多伦多大学进行合作研究的机会，了解该校机械工程专业机械振动课程教学情况。同时，较为仔细地阅读了 10 余种国外振动理论的教材，权衡比较，从中选择教材和教学参考书。在课程开始之前已作了充分地准备，双语教学有较好的基础。该课程的教材我们选用 Thomson WT 和 Dahleh MD 的 Theory of Vibration with Applications 第五版 (Prentice Hall, 1998) 该书属于较为传统的教材，取材适当，行文严谨，在北美被众多大学采用。备课时还参考了 Inman DJ 的 Engineering Vibration 第二版 (Prentice Hall, 2001) 和 Tongue BH 的 Principles of Vibration 第二版 (Oxford University Press, 2001) 。前者在工程应用方面有特色，从中可选些带工程背景的例子；后者的行文非常口语化，有助于丰富课堂讲解语言。 3 教学内容与措施为充分利用到班级小、学生情况好的有利因素，我们的双语教学采用课堂英语讲授，课后汉语辅导的方式。课堂上教师原则上只讲英语，除非有学生明确要求用汉语解释某项内容。同时鼓励学生在课堂讨论和课后作业多使用英语，但不作规定性要求。考卷以英语命题，允许学生使用字典。顺便指出，对学生的口头和书面英语表达，达意即可，以保护主动参与的积极性。振动力学主要内容包括单自由度系统的自由和受迫振动，多自由度系统的模态分析，梁的弯曲振动。 50 学时的课程内容大体上接近多伦多大学机械工程专业 40 学时的机械振动课程，但不包括分析力学基础，而在阻尼多自由度系统和梁的弯曲振动方面叙述地更深入些。与本校同专业以往用汉语讲授的同名课程相比，内容有所减少，主要是完全不涉及非线性振动的内容。这样也大大降低了课程的难度。为尽可能减少学生学习中的困难，保证教学质量，结合双语教学的特点，在教学过程中我们采取下列措施：教学内容尽可能与教材保持一致。这样可以减少学生复习时的困难。在我们的教学实践中，仅有个别内容有所补充 ( 例如复模态分析法 ) 和修正 ( 如对梁弯曲振动的处理 ) 。适当增加板书。考虑到学生听力不如阅读理解力的现实情况，凡有重点和难点，不仅口头解释，而且通过板书说明。对于板书，我们特别注意两点，一是语言的规范性，二是避免与教材相应内容雷同。这样，对于一个重要或难以理解的知识点，学生将会有三种不同方式的解说：教材，笔记和教师口头讲解。同时，我们鼓励学生用自己的英语进行概括。增加例题。教材中全部例题留给学生自学。课堂中的例题选自参考书或教材中的习题。即使是课堂用例题本身，也比用汉语教学时更多，求解过程也更详细。对学生的要求作出及时回应。在课堂教学中，只要有学生提出问题，马上予以回答。尽可能用英语使学生理解。如果学生要求用汉语说明，一般请另一位学生解释，这也检验其他学生的理解程度。如果学生普遍希望用汉语解释，也尊重学生的要求。对学生的回应还包括作业的处理，凡有普遍存在的问题，及时在课堂上讲解。以上各项措施，大多影响教学进度，这也是双语教学讲授内容较少的原因。 4 学生反馈及其分析为全面了解学生的学习情况，除在教学过程中及时沟通外，还在每学期结束后作了不记名问卷调查。问卷为笔者自行设计，共有 30 余个问题，涉及课程、双语教学、教师、教材、学习态度等。每个班级问卷均全部收回。现仅对与双语教学相关的问卷内容简要分析。首先，学生对双语教学的正面效果有肯定的评价。如表 1 示，学生最为肯定在词汇特别是专业词汇方面的作用，也充分肯定双语教学对提高阅读能力的作用，但对其他方面的作用，多数同学持有某种保留态度。这一结果是令人鼓舞的，但与我们原先的设想仍有一定的距离。其次，学生对双语教学的负面效果也有清楚地认识。如表 2 示，近半数同学认为双语教学对掌握课程基本内容稍有妨碍，另有 1/4 认为有妨碍，个别甚至认为很有妨碍，而认为无妨碍仅接近 1/4 。第三，学生对双语教学有较为积极的参与态度，愿意将英语作为工具使用。突出表现在课后作业中，有近 3/4 学生使用英语，其中 1/4 仅使用英语。在课堂提问和回答中，也有超过半数的学生愿意使用英语。表 3 的数据，与笔者掌握的实际情况基本一致。学生的积极参与是双语教学成功的最关键因素。最后，绝多数学生对本课程教学表示满意，如表 4 所示。但表示很满意的学生很少，因此，本门课程的双语教学还大有改进的余地。此外，值得注意的是，总体而论， 2000 级的评价略高于 1999 级。表 1 ：双语教学的正面效果很有帮助有帮助略有帮助无帮助不回答年级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级对于掌握本课程专业词汇 6 5 3 6 3 对于掌握其它相关专业词汇 2 1 4 3 4 7 2 对于扩大英语词汇量 2 8 6 4 2 1 对于提高英语听力 1 2 3 4 6 2 1 2 2 对于提高英语阅读能力 1 2 7 8 2 1 2 对于提高英语写作能力 2 4 2 2 6 3 3 1 对于培养用英语思考的能力 1 2 3 5 3 2 2 3 2 表 2 ：双语教学的负面因素很有妨碍有妨碍稍有妨碍无妨碍不回答年级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级对于掌握本课程基本内容 1 4 1 4 7 3 2 1 表 3 ：学生参与程度反馈选用倾向英语部分英语汉语不回答年级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级课堂提问和回答 1 2 3 6 7 3 1 课后作业 1 5 7 4 4 2 答卷 1 2 4 3 6 5 1 1 表 4 ：学生总体评价很满意满意不满意很不满意不回答年级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级 99 级 00 级对本课程教学 2 7 10 1 2 1 5 结束语对于在振动力学课程中进行双语教学的初步尝试，笔者认为其结果至少是可以接受的，并值得进一步探索。这不仅依据学生的问卷调查，而且所有听课的学校教学督导对笔者的教学都有非常积极的评价。更为重要的是，通过该课程的学习，一些学生对振动力学产生兴趣，主动阅读参考书，还有些学生积极要求进行与振动有关的毕业论文研究，或攻读一般力学的硕士学位。同时，笔者清醒地认识到，目前的尝试，仅是双语教学漫长探索的开始，如何提高振动力学课程的教学质量，如何在理论力学等基础课程中开展双语教学等，都有待今后的工作。致谢：笔者关于双语教学的工作得到国家留学基金委员会 (CSC) 的资助，特此致谢！ Teaching Mechanics of Vibration Bilingually: Practice and Reflection 发表于《力学与实践》 2004年第26卷第3期75-77页

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