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什么是分岔: 热度 5 武际可 2019-9-24 07:11; 个人分类: 科普|10392 次阅读|9 个评论

《分岔问题及其计算方法》目录: 武际可 2019-9-23 09:39; 个人分类: 科学杂谈|7106 次阅读|0 个评论

《分岔问题及其计算方法》前言: 热度 1 武际可 2019-9-23 06:58; 《分岔问题及其计算方法》前言分岔问题是实质的非线性问题。随着非线性问题为数学、物理、力学、气象、地球科学、生物学等自然科学，以及经济、心理等社会科学的日益增加的关注。分岔问题也得到更多的注意。由于非线性问题的复杂性，数值方法已成为解决分岔问题主要手段。近十多年来，本书作者对于分岔问题有着共同的兴趣。在此基础上共同指导了多名博士生和硕士生，和学生们共同发表了不少论文。这本书就是这些工作的一个总结。从 1999 年起，我们又受到国家自然科学基金委员会的重大项目的资助，这个项目是：大型旋转机械的非线性动力问题研究。我们负责的是有关数值分析方法的子课题。由于这个项目的支持对于我们的研究改善了条件、提供了与兄弟单位合作和交流的机会。在项目的推动下我们完成了不少新的工作。这本书也可以作为参加这个项目的一方面的总结。多年来的研究使我们认识到，分岔问题的数值方法是一个广阔的领域，我们的工作只涉及了很小的部分，还只是开始。认识到要达到在各种各样的分岔问题面前都能够自由处理的境地，我们还需要准备走很长的路。这本书中所总结的工作，肯定还会有不少问题，其中提到的一些问题，还需要进一步发展。敬请读者指正和完善它。我们对这多少年和我们共同在这一方向上研究的研究生们表示感谢。书中也包含了他们的劳动成果。他们有季海波、周鹍、王林祥、郑作昌、包燕刚、金明、张彦、万晓亮、林文惠。我们还对国家自然科学基金委员会资助项目（ 19990510 ）表示深切的感谢。附记：本书完稿于 2006 年，因原来所联系的出版单位拖拉，本书的出版工作一拖 12 年。后幸得周立伟院士将本书推荐给北京理工大学出版社，本书才得以顺利出版。特此向周立伟院士和北京理工大学出版社致谢。作者还要感谢北京埃特光电子技术有限责任公司对本书出版的资助。武际可黄克服; 个人分类: 科学杂谈|6478 次阅读|1 个评论

非线性动力学词汇: Mech 2015-8-30 16:46; 非线性动力学 2 李雅普诺夫稳定性 1 吸引性平衡点的稳定性双曲平衡点平面系统的平衡点线性系统的稳定性劳斯 - 赫尔维茨判据开尔文 - 泰特 - 切塔耶夫定理运动稳定性 1 极限环李雅普诺夫方法 2 轨道稳定性输入 - 输出稳定性受控系统的稳定性镇定极点配置不变集极限集非游荡集拉萨尔不变性原理不变子空间稳定子空间不稳定子空间中心子空间不变流形稳定流形不稳定流形中心流形双曲平衡点的不变流形定理吸引子吸引盆庞卡莱映射混沌 1 初态敏感性蝴蝶效应洛伦兹方程上田振子埃侬映射虫口模型暂态混沌李雅普诺夫指数 2 超混沌度规熵拓扑熵拓扑混沌符号动力学斯梅尔马蹄横截同宿点斯梅尔 - 伯克霍夫同宿定理梅利尼科夫方法什尔尼科夫方法 KAM 定理 2 局部混沌全局混沌柯尔莫哥洛夫含混吸引子阿诺德扩散混沌控制 OGY 方法混沌同步化相空间重构嵌入延迟时间嵌入维数非线性动力学减噪时空混沌斑图映射耦合格子元胞自动机惯性流形结构稳定性分岔静态分岔局部分岔叉式分岔鞍结分岔跨临界分岔有缺陷的分岔有滞后的分岔全局分岔同宿分岔异宿分岔动态分岔霍普夫分岔闭轨线分岔折叠分岔内依马克 - 沙克分岔倍周期分岔费根鲍姆常数进入混沌的路径准周期环面破裂阵发性中心流形定理李雅普诺夫 - 施密特约化庞加莱 - 伯克霍夫范式奇异性理论余维数开折转迁集突变初等突变理论托姆横截性定理分形康托集科克曲线曼德勃罗集相似维数豪斯道夫维数信息维数关联维数奇怪吸引子分形盆边界终态敏感性激变胖分形多重分形孤立子 KdV 方程散射反演方法无穷维可积系统无穷多守恒律复杂性; 个人分类: 科研科普|5791 次阅读|0 个评论

时间图景——《互联网时代》观后5: 热度 2 lvnaiji 2015-1-27 07:37; 吕乃基博主已经上传了中国特色的“ 隐私”—— 《互联网时代》观后1 和重赏之下“唯”有勇夫——《互联网时代》观后2 ，向虚拟世界移民—— 《互联网时代》观后3 ，《删除：大数据取舍之道》—— 《互联网时代》观后4 。至今看来是惨淡经营，第一篇的小红花或许是编辑mm看走眼，如今评论也剃了光头。博主仍有冲动，故不思悔改，继续前行，权当为自己写。本文是第五篇。上文提及，当“记忆的主体成了全人类，其结果便是时间停止。” 然而有趣的是，周围的个人却都在赶路，“来也匆匆去也匆匆”，要不就在路口间思变。个人急促多变的时间如何汇成了人类时间“貌似”的停滞？其一，分岔之使然。博主“ 他/她的一生：从分岔到分岔——人生感悟之二　 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=228499 ”一文述及，人生就是一连串的分岔，津津乐道的“从胜利走向胜利”，只不过是从一个分岔走向另一个分岔。分岔是由随机涨落及涨落之间的相互作用所致。互联网的作用在于，提供了涨落之间相互作用的一个平台或者熔炉。正是在互联网的熔炉中，涨落更为频繁，彼此间的关联更为复杂多样和多变，往往导致个体频频进入新的分岔，这就是所谓平面化和碎片化。两个相邻分岔之间的时长越来越短，行进在同一条轨迹上的个体越来越少。未及深入，已经改变，以及各有各的语境和盘算。正因为此，虽然个体的涌现此起彼伏与日俱增，难以带动整体的同步涨落；虽然也会有巨涨落，但难以一统天下，不至长期居于舞台的中心，更多是你方唱罢我登场，各领风骚仅数年数月或数日。这是个体时间急促而人类时间停滞的原因之一。其二，个体涨落和涌现的知识深深嵌入于特定的语境之中，以及与个体的生存经历不可分割，因而是嵌入编码知识（走到头的非嵌入编码知识），甚至只是个体深层的生存体验，是主观的意会知识，无法重复和证伪，因而难以为他人所理解和共享而成为人类共同的知识；换言之，人类无法在个体知识的基础上前进。参见：河流与山峰　 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=211943 。这是个体时间急促而人类时间停滞的原因之二。眼下，一些先知先觉的个体似乎也正在放慢各自的脚步，不再“匆匆”，闲暇或“慢节奏”正在成为时尚。然而，值此知识之海茫茫，时间之矢停滞之际，科学之舟仍扬帆远航。科学能否作为时间之矢，引领人类前行？博主设想关于《互联网时代》的其余题目或为：人能否控制自己的意念。意念控制的“风火轮”，只需在脑海中冥想，它就可以直行转弯加减速度。 2045 ，奇点。起点-发散新的起点-发散。技术器官论认为，技术是人类器官的延伸。人类一旦把越来越多的事项交给技术去做，也就必然或多或少发生自身器官的退化。人类越来越弃用来自自然的器官和能力，转而拥抱人工自然。由天人合一到人机合一 “ 桌面”的上下：应用者和幕后创新、操作、控制人员关于技术的知识和技能不对称且愈演愈烈无边界的网和有边界的主权国家互联网上的犯罪，与受害者不面对面，是否会减少、乃至没有负罪感。; 个人分类: 简介及学术方向|3195 次阅读|4 个评论

沿海灌区水价博弈优化模型中的分岔与混沌: 热度 2 brbaba 2013-7-10 22:44; 沿海灌区水价博弈优化模型中的分岔与混沌点击以下链接下载： Bifurcation and Chaos in a Price Game of Irrigation Water.pdf; 个人分类: 科研资料|5660 次阅读|3 个评论

不确定及其消除: 热度 2 lvnaiji 2011-9-9 18:51; 吕乃基 “不确定性消除的意义，在于对于主体生存和发展的价值。” 以往对这句话的体会并不深。某次在没有“对方单位”接待、也没有做好充分准备的情况下贸然出行，对此言真有刻骨铭心之感。虽然所到之处的宾馆都可以由携程等预订，但机票和车票就不同了。行程会因偶然情况而变。宾馆预订反正没交钱，改变计划打个招呼就是了，但机票和车票却是“不见鬼子不挂弦”，一手交钱一手交货。天价的退票费和没有着落的改订，都是不敢预订的理由。到了 A 地，商定了二日游计划。不料发现，二日后由 A 去 B 的任何票都没有，只有次日晚上的车票。于是二日游改为一日游，走马观花，草草收兵。由 B 去 C 的票由朋友提前买好，但不是计划内的时间，只得再改行程。接下来就是由 C 到 D 的车票。托了最铁的哥们，再托他的铁哥们，说是到车上才能取票。于是，如何进站，进了站后，这么长的列车，在哪一节车厢，都是问题。一一解决、落实。进得车站，待列车停稳，寻找指定车厢，在混乱中呼喊接头哥们的名字，那伙计就在站台上与我方人员一手交钱一手交货，然后悠悠然出站，众人赶紧上车，刚坐稳车就开了。全过程仅 3 分钟！在此情况下常说的一句话是：心中的一块石头落了地。翻译成学术的语言便是： “不确定性消除的意义，在于对于主体生存和发展的价值。” 高考之后的等待，然后尘埃落定，对于考生及其家庭，或许还有老师和学校，就有这样的价值。利比亚局势的明朗化，对于萨科奇等人大概也是如此。击毙本拉登，对于奥巴马和美国人也有同样的意义。始终处于不确定状态，主体会一直焦虑，一直绷紧神经，且不用说什么幸福感，根本就不可持续！卡扎菲手上握的大概就是这样一张牌：不确定！不过，若是一直确定呢？例如计划经济年代，组织上从你的出身到盖棺定论都安排好了。如同在那首可能是中国最好听的儿童歌曲《让我们荡起双桨》中的歌词，“谁给我们安排了幸福的生活”。你，愿意一切都被安排好吗？即便是“幸福的生活”。笔者曾写过多篇关于分岔图的博文：他/ 她的一生：从分岔到分岔—— 人生感悟之二，分岔的交汇与别离－人生感悟之三。试想，若是从现在起往前看，一马平川，阳关大道，再无艰难险阻，别无分岔歧路，即使前程似锦，如果未经自己的探索和努力，剥夺了选择权，人生又有什么意义！鲁迅说过 , 在危险中漫游 , 可以体现自己生命的力。 19 世纪诗人济兹则认为 , 在怀疑和不确定中生活的能力 , 是创造力的基础。而这样的生命力，回过头来，又成为一个民族和国家创造力的源泉。确定与否，关系到个人的命运，国家的命运。个人，生活于确定与不确定之间。两个极端，极端的确定和极端的不确定，大概就相当于我们常说的“等死”和“找死”。前者被抽取了生命，后者则是生命的过度耗费，中间，则是“生”。国家，一方面提供个人确定的环境——治安良好、税负适中、食品安全、通货稳定、提供社会保障，完善的市场经济，更没有强拆，以形成诚信和正向（！！参见一个没有底线的民族，沿马斯洛需求层次的逆向移动）的价值观；另一方面提供个人在法律基础上的充分自由，没有对个人的过多干预。生活于确定与不确定之间，这样的个人，就成为国家创造力（正向的！！）的源泉。; 个人分类: 人生感悟|3528 次阅读|5 个评论

关注的期刊: stanleyhk 2010-12-17 16:58; 1.(WorldScientificPublishing,Co.Singapore) InternationalJournalofBifurcationandChaos.2009(IF):0.918 http://www.worldscinet.com/ijbc/ 2.(Elsevier)http://www.sciencedirect.com/ (1)PhysicaD:NonlinearPhonomena. 2009(IF):1.568 http://www.elsevier.com/wps/find/journaldescription.cws_home/505714/description#description (2).Chaos,Solitons&Fractals. 2009(IF):3.315 http://www.elsevier.com/wps/find/journaldescription.cws_home/967/description#description (3)JournalofSoundandVibration. 2009(IF):1.414 http://www.elsevier.com/wps/find/journaldescription.cws_home/622899/description#description 3.LondonMathematicalSociety,UK.http://www.lms.ac.uk/ Nonlinearity 2009(IF):1.258 http://iopscience.iop.org/0951-7715/ 4.(SIAM)http://www.siam.org/journals/ (1)SIAMJournalonAppliedMathematics2009(IF):1.11http://www.siam.org/journals/siap.php (2)SIAMJournalonAppliedDynamicSystems2009(IF):1.211http://www.siam.org/journals/siads.php (3)SIAMReview2009(IF):2.739http://locus.siam.org/SIREV/sirev_toc.html 5.(Springer)http://www.springer.com/?SGWID=8-102-0-0-0 (1)NonlinearDynamics. 2009(IF):1.658 http://www.springer.com/engineering/journal/11071 6.(theAPS) (1)PhysicalReviewLetters(PRL) 2009(IF):7.18 http://prl.aps.org/ (2)PhysicalReviewE(PRE) 2009(IF):2.5080 http://pre.aps.org/ 7.DynamicofContinuous,DiscreteImpulsiveSystems(DCDIS) http://monotone.uwaterloo.ca/~journal/ 8.(IEEE)http://www.ieee.org/index.html (1)IEEETransactionsonNeuralNeworks 2009(IF):3.726 http://ieeexplore.ieee.org/xpl/RecentIssue.jsp?punumber=72 (2)TransactionsonCircuitsandSystemsI 2009(IF):2.043 http://tcas1.polito.it/; 个人分类: 未分类|4227 次阅读|0 个评论

我的书单－非线性动力系统: 热度 3 stanleyhk 2010-12-17 16:45; 1.常微分方程(第六版)。苏联著名数学数学家庞特里亚金所著。他14岁双眼失明，凭借坚强的毅力成才，成为苏联科学院院士。相当敬佩！此书是朋友推荐看的，观点很新颖，逻辑很清晰，对理论的来龙去脉说明的很清楚。 http://www.amazon.cn/mn/detailApp/ref=sr_1_1?_encoding=UTF8&s=books&qid=1283211698&asin=B00114KG9Y&sr=8-1 2.IntroductiontoAppliedNonlinearDynamicalSystemsandChaos.StephenWiggins 相当好的书，目前才看了不到一半。入门学习动力系统时老板推荐的书。刚看到这本800多页的大部头时吓了一跳。后来读着读着就觉得很亲切。作者用了大量描述性的语言解释一些定义定理的意思，就像在听他的课一样。老外写书果然认真细腻，让你非懂不可。我想起研一的时候学的那本张恭庆院士的100来页的泛函分析教材，那是相当痛苦，一句话一个公式我得想半天。 http://www.amazon.com/Introduction-Applied-Nonlinear-Dynamical-Mathematics/dp/0387001778/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1283211959&sr=1-1 3.IntroductiontoFunctionalDifferentialEquation.Jack.J.Hale. 作者是DDE领域大牛。这本书介绍了DDE的理论知识。总是感觉应用时不需要这么多理论知识，而且此书难看懂，所以一直拖着没看，买了一年才看了两章。。记得去年在香港碰到徐鉴教授时,他说此书“相当难看，当时我看了一年多”，我便偷懒打了退堂鼓。后来老板每次见面必问我此书看的如何，我汗颜。。后苦口婆心劝我打好理论基础，想想也对。于是硬着头皮读下去。对我来说巨难，无比抽象晦涩，需要很深的泛函分析和一定复分析和PDE基础，一边看一边补基础，不知道我啥时才可以读完。 http://www.amazon.com/Introduction-Functional-Differential-Equations-Mathematical/dp/0387940766/ref=sr_1_10?s=books&ie=UTF8&qid=1283212907&sr=1-10 4.ElementsofAppliedBifurcationTheory.Yuri.A.Kuznetsov. http://www.amazon.com/Elements-Applied-Bifurcation-Theory-Kuznetsov/dp/1441919511/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1283212142&sr=1-1 一本分岔理论的专著。正在看，感觉写作风格不错，从应用角度出发，将分岔理论讲述的很清晰。本书有中译版http://www.amazon.cn/mn/detailApp/ref=sr_1_1?_encoding=UTF8&s=books&qid=1283212464&asin=B0036RTD4I&sr=1-1 5.强非线性振动系统的定量分析方法。陈树辉著。 http://www.amazon.cn/mn/detailApp/ref=sr_1_1?_encoding=UTF8&s=books&qid=1283212724&asin=B0011CSLBG&sr=8-1 需要详细看的一本书。本书介绍了强非线性振子的一些方法，从原始的perturbationmethod(包括L-P法，多尺度法，平均法，KBM法)，到改进的L-P法，椭圆函数法，谐波平衡法(HB)，再到增量谐波平衡法(IHB)，扰动-增量法(PI)。 6.微分方程动力系统与混沌导论.M.W.Hirsch、S.Smale&R.L.Devaney.< 作者们都是大牛，比如Smale就是数学两大奖项的得主。一本很好的导论，涉及面广，但是不够专。 http://www.amazon.cn/mn/detailApp/ref=sr_1_1?_encoding=UTF8&s=books&qid=1283212288&asin=B00170M87K&sr=1-1 7.NonlinearOscillations,DynamicalSystems,andBifurcationsofVectorFields.J.Guckenheimer&P.Holmes. 经典书籍。 http://www.amazon.com/Nonlinear-Oscillations-Dynamical-Bifurcations-Mathematical/dp/0387908196/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1283212018&sr=1-1; 个人分类: 未分类|10257 次阅读|5 个评论

一种研究非均衡经济学的方法------分岔: brbaba 2010-11-27 18:36; 分岔指的是系统在参数变化到某值时其解的结构出现拓扑变化，即从一种均衡状态过渡到了一种非均衡状态。已经有不少文献用分岔理论来研究非均衡经济学。以下是我用 Neimark-Sacker 分岔理论讨论了一个离散金融系统的动态分岔现象。 BaoguiXin,TongChen,JunhaiMa.Neimark-Sackerbifurcationinadiscrete-timefinancialsystem.DiscreteDynamicsinNatureandSociety,2010(2010),ArticleID405639,12pages. 点此下载上述文章; 个人分类: 科研资料|3500 次阅读|0 个评论

对于纳维-斯托克斯方程解的性质的一种猜想: 武际可 2010-11-20 09:58; 对于纳维 - 斯托克斯方程解的性质的一种猜想; 个人分类: 科学杂谈|10714 次阅读|6 个评论

民主制度之外可能存在着另外一个分岔点: jsit 2009-7-18 21:20; 这么多年来，虽然发现了一党执政的弊端，也一致认为西方民主是不可逆转的趋势，只是时间问题。但是现在越来越感到，中国共产党有可能创新出一种与西方迥然不同的但是有可能是另外一个分岔点的最优化体制。即在当前西方民主之外可能存在一个同样优越的体制，这正是党领导当前中国所走之路。譬如，通过选拔社会精英进入党内，并在党内实现充分的民主和层层负责。目前，只要党自身维持内部团结，还没有终结一党执政的理由。; 个人分类: 未分类|2229 次阅读|1 个评论

他/她的一生：从分岔到分岔——人生感悟之二: 热度 3 lvnaiji 2009-4-27 12:38; 在普里戈金的耗散结构理论中，分岔图的地位十分重要。由分岔图可以说明许多社会现象。左图是自然界真实发生的情况，右图是简化和抽象，没有标出随时间推移，各个分岔之间的相互作用。由这样的简化图可以简略说明一个个体，如个人、企业，乃至国家等的发展路径。图中，横坐标是时间，纵坐标可以是某种参数。以个人为例。图中，abcde等为分岔点，其中，a点可以标记为个人的出生。在出生之时，性不定，性已定，前者指未来无限的发展可能，后者意为，特定的父母，特定的家族，以及特定的自然和人文环境已经在相当程度上确定了这个个体发展的可能空间。然后，b点标记着他或她上哪一所幼儿园或小学、中学等。特定的学校、特定的老师和特定的同学在一个人的童年、少年和青年打下了烙印。 c点可以标记为高考，这一点在当代中国尤为重要。复习如何、临场发挥、题目是否会做；报考什么学校、哪个专业，来一个亲戚，天花乱坠地一说，可能就上了贼船；以及老师改卷时的心情等。说不定之前与家人吵架心情不好，多扣0.5分，在全国就相差几万到十几万人，甚至名落孙山。在分岔点上，原来两个或多个人生路径发生了交汇。不仅如此，自然界的因素，哪怕风吹草动同样介入，蝴蝶效应即是一例。分岔点上种种不确定之处即源于此。当然，或许最重要的交汇就是婚姻，包括眼下所说的，与政府可以调情而不能结婚。经过千辛万苦，千锤百炼，终于进了北大或清华，而后的4或5年大致是好好学习，天天向上。毕业之时又面临分岔d，在计划经济时代是分配，现在是双向选择，或者考研、出国，多少不确定因素等着你。阴差阳错，进了一家单位。在开始的一段时期努力工作，渐渐的，头儿或者自己都不太满意；或许干得不错，上级部门前来视察，你正好陪同，几句话非常得体，于是或者跳槽，或者平步青云，又开始一段新的人生，这是e点。然后还有f、g……; 个人如此，国家亦然。在中国的近代史上，鸦片战争、甲午海战、八国联军、辛亥革命等都可以视为分岔点。例如，如果慈禧早死几年，中国将会怎样。辛亥革命后，及至今日，还经历了多次分岔。譬如2008年的金融危机，就是美国的道路与中国和世界发生交汇乃至碰撞。2016年特朗普当选，等等。在世界史上，无论是汉尼拔对欧洲的战争、西班牙、葡萄牙对南美的入侵，还是库图佐夫反击拿破伦，其中都嵌入了多少不确定因素。由上例证可以说明以下几点。首先，偶然与必然。个体的发展道路充满了分岔，充满了偶然性。哲人从古典时期就意识到偶然性的重要性。伊壁鸠鲁在其原子论中，特别赋予原子偶然偏斜以特殊地位，意识到偶然性创造世界。中世纪强调神迹，近代科学革命以必然性反对神迹，同时也就反掉了偶然性。拉普拉斯的言辞即是典型。曾经以为必然性支配一切，偶然性只是为必然性开辟道路。 19世纪，概率、统计相继登场，20世纪初，居里提出，非对称创造世界，与伊壁鸠鲁有异曲同工之妙。然后有海森堡的测不准原理，玻尔与爱因斯坦的争论，以及当代更多的研究成果。偶然性在自然和世界的进程中已经扮演，并将继续扮演越来越重要的角色。对于这种说不清道不明的偶然性，佛教的词汇是“缘分”。范伟在当年的小品《卖拐》中道一声缘分啊。朋友说，神说（我弄不清究竟是他说，还是神说），人流中插肩而过是十年修来的缘，默默相视是百年，彼此交流是千年，成为朋友是万年，能为你祝福是万万年之缘。偶然性并不排斥必然性。在分岔点上是偶然性主宰，但也可窥见必然性的地位。譬如高考，自己没有准备好，那么什么样的缘分都与你无缘。人先要自救，上帝方能救你。在两个分岔点之间则是必然性主导，原因和结果基本上在预料之中。一分耕耘，一分收获。在必然性阶段也不是无所作为，实际上是在迎接未来可能的分岔。机遇只青睐有准备的头脑。其次，历史与未来。站在某个时刻t’往回看，一个人走过的路是清晰的，经历了多少分岔，历经多少磨难。往前看，还将面临各种分岔、不确定。笔者的一位朋友颇有气度地将此概括为：历史向未来敞开大门！历史与未来不对称。婴儿与老人有很多区别，婴儿的未来具有无限的可能，而老者的面前基本上就看得清了。得到的越多，改变的可能就越小。技术有路径锁定，人有路径锁定，民族、国家亦然。走过的路越长，改变的难度越大。古代，一个埃及人对前来旅游的希腊人说，你们希腊没有老人。中国，历史太长，加之庞大的人口和几乎始终如一的原住民，如此之锁定，难以摆脱往日的轨迹。路径锁定，就是社会领域的惯性定律。可以这样来衡量一个社会进步的程度：越是进步的社会，提供给其人们选择的机会就越多，这就是自由度，而落后的社会则否。在分岔图上，中国漫长的封建社会没有分岔，大致就是一条直线，历史与未来对称。如同心脏停止跳动的心电图。生活于时隔千年两个朝代的个人，大概彼此的交往不会有太大问题。而今，国人已经有了较之前人，较之其父母更多的机会，代沟一词就是当代中国时间图景形象的写照。然而也不得不承认，对于大多数青少年，高考几乎是唯一的无奈的选择。面对独木桥，千军万马、千家万户耗尽精力和财力，也就在很大程度上耗尽了祖国的前途和未来的希望。高考，已经成为国人一生中的瓶颈。不得已，有条件者选择出国，在世界范围选择。为青少年提供更多的选择机会，这是国家的责任，也是国家的前途所系。第三，分岔与选择。越是进步的社会，提供给个人的机会或分岔就越多。然而，机会越多，对选择者的要求也越高：你会选择吗？选择的难度在于，其一，对于各种分岔信息的把握。现今社会，信息不对称随处可见。再说，占有信息需要大量时间和其他成本。其二，即使拥有了充分信息，信息越多，解题的难度越大。一个同事，对于是否买长江边上一栋高楼的住房，咨询了几百年前的地基是否是淤泥沉积。老太太到菜场买菜，屏幕上显示出500种菜的品种、铁、磷、锌、蛋白质等的含量、有无杀虫剂残留、是否转基因、仓储几天、运输价等等。把所有这些数据一股脑儿塞给这位老太太，她还买得成菜吗？在数字化社会需要发展非数字化生存的能力。其三，在各种分岔之间的价值判断。分岔涉及局部和整体、眼前和长远的利益，有待在价值观引导下作出正确的判断。最后，各种分岔，既是机会，也是诱惑，而且转瞬即逝。正是在这样的环境中，个人的能力和主体意识得到了提升。英国著名诗人济慈在19世纪写道，在怀疑和不确定中生活的能力，是创造力的基础。记得鲁迅说过，在危险中漫游，让人感到自己生命的力。中国由计划经济到市场经济，向个人提供了更多选择的机会，同时也就焕发了在组织的温暖下被销蚀的主体意识（温水煮青蛙）。每个个人的自主决策亦即系统涨落;这也是耗散结构理论的一个重要论点：随机涨落。在随机涨落的基础上，社会整体也就获得了更大的动力，以及更多的选择机会。这也是亚当斯密“国富”的源泉——自组织。普里戈金的分岔图对于目标的作用重视不够，再加上协同学的“吸引子”;就比较完善了。在当今社会，主旋律、核心价值等，都是对选择者的规劝。显然，单方面强调一律会影响甚至扼杀随机涨落，而随机涨落是创新的基础。从分岔到分岔，这大概是“他/她的一生 ” 。人们习惯讲，从胜利走向胜利，或许更确切地说，从分岔到分岔。; 个人分类: 特别推荐|11770 次阅读|8 个评论

《非线性动力学》序言: Mech 2009-3-2 13:17; 随着科学技术的发展，工程中的非线性问题日益突出。为此有必要在工程专业开设非线性动力学课程。这门课程要求工程专业研究生掌握非线性动力学的基本理论和分析、计算方法，并能初步应用理论分析和解决工程中的各种非线性动力学问题，同时也为深入研究非线性动力学提供必要的基础。本书主要讨论混沌和分岔问题，但也涉及动力学中的分形问题。全书除绪论外共分八章。第一章为非线性动力学的数学基础。第二章为混沌的概念、非线性动力学研究的数值方法概述和混沌的动力学数值特征。第三章为分岔的基本概念以及与混沌的关系。第四章为分形的基本知识、混沌吸引子的几何数值特征和动力学系统吸引盆的分析边界。第五章为非线性动力学实验研究的基本方法，包括从实验数据中重构相空间。第六章讨论混沌的解析预测问题。第七章叙述分岔的基本理论。第八章简述非线性动力学中若干专题内容，包括Hamilton系统中混沌、时空混沌、分岔问题的数值方法、随机系统的混沌和分岔以及混沌和分岔的控制。各章附有文献注释，以便于读者就感兴趣的课题深入研究，也可以作为教师布置课外作业和学期论文的参考。由于非线性动力学的文献浩如烟海，本书参考文献中主要列出相关教材、专著和综述评论性文章。全书正文可分为三个模块，第一章为非线性动力学的数学基础，随后四章为非线性动力学基本内容，后三章为非线性动力学专题内容。在本书中，作者力求贯彻以下意图： 1. 在基本内容和方法方面体现非线性动力学全貌，为今后应用和深入研究奠定基础。 2. 在某些专题性内容方面反映非线性动力学研究的新进展，也包括作者的一些工作。 3. 易于为工程专业学生接受，避免要求过多数学准备知识，只要具备工程专业常微分方程和振动力学的基本知识便可以掌握本书前五章主要内容和后三章的基本思路。 4. 关于数值计算问题，着重介绍各种算法的基本原理。利用电子计算机的解题训练可自编计算程序或应用已有的计算软件。本书为工程专业尤其是工程力学专业的研究生教学需要而编写，也可供其它对非线性动力学问题感兴趣的研究人员参考。除全书适用于一般非线性动力学课程外，本书前五章可适用于学时较少的非线性动力学课程。为便于读者阅读参考，本书各章逻辑关系如右图(从略)所示。为不同教学目的，可以选用相应内容。例如，第二、六两章和第一、三、四、五、八章部分内容适用于混沌动力学的课程，第七章和第一、三、五、八章部分内容适用于分岔理论的简明课程，而第四章和第一、五章部分内容适用于分形的导引性课程。本书的编写和出版得到了上海市研究生教育基金和中国建设银行湖北省分行尊师重教联合会研究生教育基金资助。与本书相关的研究工作得到国家自然科学基金、教育部博士学科点科研专项基金、中国博士后科学基金和上海市科技发展基金的资助。编写工作得到各方面的支持和鼓励，并且汲取了已出版的国内外非线性动力学著述的许多宝贵经验。北京大学力学与工程科学系朱照宣教授对本书科技译名进行认真审定。作者谨表示衷心感谢。初稿部分内容曾在上海交通大学工程力学系研究生和上海大学上海市应用数学和力学研究所博士生中试用。限于水平，书中的错误和不足之处恳请读者指正。 1999年6月; 个人分类: 著述前言|7576 次阅读|0 个评论

《非线性振动》绪论: Mech 2009-2-27 11:20; 0.1 非线性振动的研究对象在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化。这类现象称为振荡。例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性。振动是一种特殊的振荡，即平衡位置附近微小或有限的振荡。如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。从最小的初等粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不存在振动现象。有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利用振动。尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和统一的数学表达形式。因此有可能建立统一的理论来进行研究，即振动力学。振动力学是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。它应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规律，为解决与振动有关的实际问题提供理论依据。根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论。线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程。不能简化为线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够准确地反映振动的客观规律。频率、振幅、相位、激励、响应、模态等都是在线性理论中建立起来的基本概念。实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。因此工程实际中的振动系统绝大多数都是非线性系统。由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振动、多频响应、超谐和亚谐振动、内共振、跳跃现象和同步现象等实际现象作出解释。而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈频繁地出现。早在 1940 年美国塔可马 (Tacoma) 吊桥因风载引起振动而坍塌的事故就是典型的非线性振动引起破坏的例子。因此有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非线性振动问题。参数振动是一种特殊的振动形式，它的数学模型不一定是非线性微分方程，也可能是线性的，但系数不是常数，而是时间的周期函数，因此不属于线性振动理论的研究范围，也作为非线性振动的组成部分。 0.2 非线性振动的研究方法非线性振动理论研究的目的是基于非线性振动系统的数学模型，在不同参数和初始条件下，确定系统运动的定性特征和定量规律。非线性振动的数学模型通常是非线性微分方程。与线性微分方程不同，非线性微分方程尚无普遍有效的求解方法。因此与线性振动系统相比，非线性振动系统很难得到精确的解析解。对于工程中的实际非线性振动问题，除采用实验方法进行研究以外，常用的理论研究方法可区分为：几何方法、数值方法和解析方法。几何方法是对非线性振动作定性分析的方法。经典的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动过程的直观描述。在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。因此关于奇点类型的研究和关于极限环存在性的判断，以及关于奇点和极限环的稳定性及其稳定性随参数变化的讨论是传统几何方法研究的主要内容。非线性振动的现代发展要求几何方法研究新的对象。现代几何方法还包括数学抽象得到几何结构的研究。此时不直接研究真正的非线性振动问题，而是研究人为构建的数学结构，它具有某些类似于真实非线性系统的性质，但在结构上比较简单。具体的非线性振动的一些性质往往很难发现，除非已经知道发现这种性质的可能性。数学抽象正可以揭示这种可能性。几何方法的局限是不能得到非线性振动的定量规律，而且传统的几何方法通常难以推广到高维时变系统。尽管如此，几何方法仍在非线性振动研究中起重要作用。几何方法不仅能得到直观的定性结果，而且可为其它研究方法提供理论依据。解析方法是对非线性振动作定量分析的方法。该方法是通过精确或近似地解析求解非线性微分方程得到非线性系统的运动规律及其对系统参数和初始条件的依赖关系。非线性微分方程的精确解析解通常涉及非初等函数 ( 如椭圆函数 ) 的引入和研究，能够得到精确解的非线性系统，即可积系统，极为有限。更常用的解析方法是近似解析方法。近似解析方法主要适用于弱非线性系统，即与线性系统十分接近的非线性系统，该方法通常以线性振动理论中得到的精确解为基础，将非线性因素作为一种摄动求出近似的解析解。最早的近似解析方法来源于天体力学中的摄动法，也称为小参数法，如正规摄动法和改进的林滋泰德－庞加莱法。近似解析方法还包括其它形式，如谐波平衡法、平均法、 KBM 方法和多尺度法等。这些近似解析方法原则上也可应用于特殊的强非线性系统。如果存在与之相近而又精确可积的非线性系统，则在也可对精确的非线性解进行摄动。解析方法原则上对单自由度系统和多自由度同样适用。对于用非线性偏微分方程描述的无穷多自由度的连续体振动，可利用模态的正交性或伽辽金方法化作只含时间自变量的非线性常微分方程组，然后利用近似解析方法进行处理。也可以直接对非线性偏微分方程进行摄动分析。任何一种近似解析方法所得到的结果都是近似的结果，必须与其它方法互相印证。解析方法的主要局限是应用范围有限，仅适用于研究可积和接近可积的系统的平衡和周期性运动；同时，解析方法得到的解未必具有稳定性，因此可能不是实际问题中能出现的运动。由于解析方法不仅能确定非线性系统运动随时间变化的规律，而且还能得到运动特性对系统参数的依赖关系，所以是非线性振动问题研究的重要方法。数值方法是对非线性振动作定量计算的方法。数值方法是通过数值求解非线性微分方程得到非线性系统在特定的参数条件和初始条件的运动规律。数值方法的基础是常微分方程组的初值问题的数值解法。数值方法既可以计算特定非线性系统的各种运动，包括平衡、周期运动和非周期运动，的时间历程，也可以数值确定参数对系统运动的影响，还可以通过数值确定吸引盆及其边界分析初始条件对系统运动的影响。由于处理非线性振动问题的数学工具尚不完备，数值方法起着非常重要甚至是不可替代的作用。数值方法在非线性振动中的突出作用是发现新现象，这已成为过去 20 余年非线性振动现代发展的突出特点。数值方法还可以补充理论结果，使一些理论结果定量化或揭示有关条件不成立时发生的情况。数值方法还可以借助具体直观的结果为一般理论研究提供启示，激发灵感。数值方法还有检验理论结果的作用，在非线性振动问题研究中，数值方法的结果往往可以是理论分析的最终检验。需要指出的是，数值研究只能在有限精度下进行。即使不考虑建立模型本身的误差，数值方法在应用过程中也不可避免的存在截断误差和舍入误差。数值运算如积分求解非线性微分方程等极限过程都是强制性取有限项近似的，因而存在截断误差。在计算机中无限多位的实数是通过有限位的截尾数来近似的，因而存在舍入误差。计算结果受到截断误差和舍入误差的影响称为计算机噪声。在实际数值研究中，计算机噪声对运动的影响通常可以通过改变计算精度、积分步长和计算方法加以考察。尽管数值方法是探索非线性振动的强有力工具，但数值计算的结果必须仔细检验和诠释，用直观和理论加以印证，并且仅仅应用于它所适用的场合和目的。 0.3 非线性振动的发展简史人类对振动现象的了解和利用有着漫长的历史，远古时期的先民已有利用振动发声的各种乐器。在我国，早在战国时期成书的《庄子》就已明确记载了共振现象。现代物理科学的奠基人伽里略 (Galileo Galilei 1564-1642) 对振动问题进行了开创性的研究。他发现了单摆的等时性并利用他的自由落体公式计算单摆周期。在十七世纪，惠更斯 (C. Huygens 1629-1695) 注意到单摆大幅摆动对等时性的偏离以及两只频率接近时钟的同步现象，是对非线性振动现象的最早记载。严格的非线性振动的理论研究开始于十九世记后期，由庞卡莱 ( H. Poincare 1854-1912) 奠定了理论基础。他开辟了振动问题研究的一个全新方向，即定性理论。在 1881 年至 1886 年的一系列论文中，庞卡莱讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数；此外还研究了分岔问题。定性理论的一个特殊而重要的方面是稳定性理论，最早的结果是 1788 年拉格朗日建立的保守系统平衡位置稳定性判据。 1892 年李雅普诺夫 ( А．М．Ляпуно в 1857-1918) 给出了稳定性的严格定义，并提出了研究稳定性问题的直接方法。在非线性振动的近似解析方法方面， 1830 年泊桑 (S -D. Poisson 1781-1840) 研究单摆振动时提出摄动法的基本思想。 1883 年林滋泰德 (A. Lindstedt) 解决了摄动法的久期项问题。 1892 年庞卡莱建立了摄动法的数学基础。 1918 年达芬 (G. Duffing 1861-1944) 在研究硬弹簧受迫振动时采用了谐波平衡和逐次迭代的方法。 1920 年范德波尔 (B. van der Pol 1889-1959) 研究电子管非线性振荡时提出了慢变系数法的基本思想， 1934 年克雷洛夫 ( Н．М．Крыло в ) 和包戈留包夫 ( Н．Н．Боголюбо в ) 将其发展为适用于一般弱非线性系统的平均法； 1947 年他们又提出一种可求任意阶近似解的渐近法， 1955 年米特罗波尔斯基 ( Ю．А．Митропольски й ) 将这种方法推广到非定常系统最终形成КВМ法。 1957 年斯特罗克 (P. A. Sturrock) 在研究电等离子体非线性效应时用两个不同尺度描述系统的解而提出多尺度法。非线性振动的研究使人们对振动的机制有新的认识。认识到除自由振动和受迫振动以外，还广泛存在另一类振动，即自激振动， 1926 年范德波研究了三极电子管回路的自激振动； 1932 年邓哈托 (J. P. Den Hartog) 利用自激振动分析输电线的舞动。 1933 年贝克 (J. G. Baker) 的工作表明有能源输入时干摩擦会导致自激振动。非线性振动的研究还有助于人们认识一种新的运动形式：混沌振动。庞卡莱在上个世纪末已经认识到不可积系统存在复杂的运动形式，运动对初始条件具有敏感依赖性，现在称这种运动形式为混沌。 1945 年卡特莱特 (M. L. Cartwright) 和李特伍德 (J. E. Littlewood) 对受迫范德波振子及莱文森 (N. Levinson) 对一类更简化的模型分析表明，两个不同稳态运动可能具有任意长时间的相同暂态过程，这表明运动具有不可预测性。为解释卡特莱特和李特伍德、莱文森的结果，斯梅尔 (S. Smale 1930- ) 提出了马蹄映射的概念。上田和林千博发表于 1973 年的工作表明他们在研究达芬方程时得到一种混乱、貌似随机且对起始条件极度敏感的数值解。混沌振动的发现和研究开阔了一个活跃的新领域，使非线性振动学科进入新的发展阶段。 0.4 线性振动的主要结论(略); 个人分类: 著述前言|11965 次阅读|0 个评论

《非线性振动》序言: Mech 2009-2-27 11:06; 随着科学技术的发展，机械振动问题已成为各个工程领域内经常出现的重要问题。电子计算机的广泛使用和动态测量技术的进步也为复杂振动问题的解决提供了有力的工具。因此振动力学已成为工程技术人员必须具备的理论知识。机械、航空、土建、水利等工程专业的本科生在振动力学或与振动力学有关的其它课程中，已经获得了以线性振动理论为主要内容的振动力学基本知识。在线性常系数常微分方程理论基础上建立起来的线性振动理论是对振动现象的近似描述。线性振动理论只能在振幅足够小的特定情况下反映振动的客观规律。但实际的机械系统存在着各种非线性因素，在许多情况下，线性理论不能解释像自激振动、参数振动、多频响应、超谐和亚谐振动、内共振、跳跃现象和同步现象等复杂的振动现象。而上述各种非线性振动现象在现代工程技术中愈来愈频繁地出现。这就要求未来的工程师们不仅要掌握线性振动理论的基本知识，而且也要了解非线性振动的基本理论和分析、计算方法，以解决工程技术中的实际振动问题。作者在所编著的教材《振动力学》 ( 高等教育出版社 1998 年出版 ) 中曾试图将线性振动和非线性振动纳入统一的理论体系，希望学生在本科生阶段就能了解非线性振动的初步知识，并在研究生阶段中学习更系统深入的非线性振动理论。本书就是为此目的编写的研究生教材。主要内容来自《振动力学》的提高部分，以及作者于 1963 年在清华大学为工程力学专业编写的非线性振动讲义。在此基础上，根据国务院学位委员会学科评议组专家的修改意见，作了必要的修改和补充。对反映近代非线性动力学研究成果的分岔和混沌理论的内容，也作了适当的扩充。非线性振动理论的叙述可以不同的研究方法为主线，也可以不同的振动类型为主线。本书采用两种主线相结合的叙述方式。全书除绪论以外共分六章。在第一章非线性振动的定性分析方法，和第二章非线性振动的近似解析方法中系统地介绍了非线性振动理论的两种基本的研究方法。在第三章自激振动和第四章参数振动中，则综合应用上述两种研究方法讨论两种重要的非线性振动现象。第五章分岔理论基础和第六章混沌振动是关于近代非线性动力学研究成果的系统介绍。虽然关于单自由度系统的讨论占书中的主要篇幅，但各相应章节都包含多自由度系统内容。在编写过程中，作者力图贯彻理论联系实际的原则，尽量使正文中的公式推导简练化，注意解释非线性振动现象的物理意义，以及与实际工程技术问题的紧密联系。一些重要定理和方法的数学证明则放在附录中给出。各章均附有例题和习题，书末给出习题的参考答案。本书的第一至四章由刘延柱编写，第五、六章由陈立群编写。全书由刘延柱定稿。书稿承蒙陆启韶教授详细审阅并提出许多宝贵意见，戈新生教授协助书稿的校对工作，与本书相关的研究工作得多国家自然科学基金会和上海市科技发展基金会的资助，作者谨表示衷心感谢。限于水平，书中的错误和不足之处恳请读者指正。作者 2001 年 4 月; 个人分类: 著述前言|5710 次阅读|0 个评论

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