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一道逻辑热题的再思考: 热度 10 lhy8848 2015-4-26 23:35; 一直潜水，除了看到感兴趣的文章加些自己的评论，基本不太愿意写些东西专门讨论一些话题，不过前几天网上刚刚热炒了一道新加坡中学的数学逻辑考题，科学网应行仁老师也专门写了长篇博文做了很多延展性的讨论，恰恰触动自己长久以来的一些思考，所以写点文字求得一些共鸣。有关这个数学逻辑题，网上太多了，为方便进一步解读，把原题翻译成比较简洁的数学题格式： A 与 B 刚认识 C，他俩想知道她的生日，她给了十个日子让他们猜，其中真正的生日隐在里面： 5/15，5/16，5/19， 6/17，6/18， 7/14，7/16， 8/14，8/15，8/17。 C 然后分别告诉 A与B她出生的月份与日子。 1. A说：我不知道 C 的生日是哪一天，但我知道B 也不知道。 2. B说：我本来是不知道 C 的生日的，但我现在知道了。 3. A说：那么，我也知道 C 的生日啦！求解： C 的生日是哪一天？有关解题的思路，应老师的博文和网上的讨论足够详细，这里不做添足的分析。不得不说，这样一个逻辑题的确设计得精彩，简单的对白和出乎意料的结论，直接冲击一般人的直觉，而对于那些通过自己推理分析都到答案的人，将再次领略逻辑的风采。然而除此之外，就没有人对推理本身产生疑问吗？相信很少会有人能够跳出这个逻辑题之外来审视这个推理过程的奇诡之处，至少从所有解题的文章和评论中我没有看到任何质疑，这才是我心中隐隐的忧虑。通常来说，我们的常识告诉我们，在给定初始条件的情况下，逻辑推理的结果不该有推理路径的依赖，也就是说，如果从一组初始条件出发，沿不同的有限步骤的推理路径，应该获得同样一个确定性的推理结果，否则，逻辑体系的有效性就应该受到质疑，比如下面两个推理路径： A = A1 = A2 =…=An = B A = B1 = B2 =…=Bn = not B 这就是一个矛盾的产生，出现这样结果的原因就是命题 A本身的真假具有时序性。回到上面的那个逻辑推理过程，我们观察推理的第1,3两步骤： 1. A说：我不知道 C 的生日是哪一天，但我知道B 也不知道。 3. A说：那么，我也知道 C 的生日啦！为了突出一些，我们把这两句话矛盾着的部分写成下面句子： 1. A说：我不知道 C 的生日是哪一天。 3. A说：我知道 C 的生日是哪一天。我们是否能够坦然接受这样的推理过程呢？有人说，这其实是因为推理 1的结论并不是最终的结果，那么就带来另外一个必须回答的问题，什么是推理的最终结果？如果要得到A是否知道最终的生日，那么他的第一次回答可不可以算是最终的回答？就这个逻辑题而言，他能够有另外的答案，但是其实那只是一个个案，如同我们不能把三个边都相等的三角形看做所有的三角形一样。再举个例子，当张益唐证明了无穷多素数对的差都小于 7000万这个结论后，你不能说，等等，我承认你的证明过程和结论都是对的，但是不要着急，我顺着你的思路继续往下就可以证明其实有素数对的差大于7000万的情况存在。如果发生了这样的事情，数学大厦早就倾覆了。细心的人会发现，其实这个逻辑的推理过程包括 3个不同角色视角的不同场景，第一个就是A的推理过程，第二个是B的推理过程，第三个才是我们这些局外人的推理过程，当然A与B的掌控条件要比局外人多那么一小点，A知道月份，B知道日子，这细微的区别导致B在得到A的第一句话就完成自己的推理过程，A需要B的第二句话才能完成自己的推理过程，而局外人的我们就必须参考第三句话，才有足够的信息唯一确认完整的生日。回到刚才谈到的发现的矛盾，我们需要思考几个问题： A. 逻辑推理的结论是否应该具有稳定性，是否有推理路径依赖？ B. 推理是否有终极点？ C. 上述逻辑的矛盾如何产生？ D. 为什么几乎没有人质疑这样的矛盾？回答 A和B的问题应该是信仰的范畴，如果逻辑不具有稳定性，如果推理的结论循着不同的思路得到不同的结果，那么这样的逻辑就没有存在的必要。有关推理的极限问题需要谨慎对待，这涉及到实无穷与潜无穷的论争，不在我们的讨论范围，但是就这个逻辑题来说就简单多了，因为都是有限步骤的推论。我们是否在推论的过程中认同每个阶段性逻辑推论的正确性？回答也必然是肯定的。但是我们如何解释 C的合理性？简单的回答也许能够让一般人满意，比如，因为推理的过程中，条件发生了变化，B从A得到了更多的信息，这是B从初始条件中无法获得的，同理A从B的回答中获得初始条件也没有提供的信息，因此这些条件的获得是等待出来的，不是一开始就能够呈现给推理各方的的，推理的结论发生改变不足为奇，结论发生改变的原因就是因为在推理的过程中条件发生了变化。相信这样的回答足够令所有的人满意了，包括逻辑学家们。这倒让我想起了古希腊赫拉克利特的那句经典名言：人不能两次踏入同一条河流，因为无论这条河还是这个人都已经不同了。哈哈，是不是跟上面的分析有点共鸣了？因为时间的变化，导致条件的变化，因此无论是主体还是客体都已经不再是过去的那样了，所以从前的获得的知识未必是可靠的知识。一直以来，赫拉克利特的这个哲学观点就视为不可知论不被主流所认同，从古希腊一直批驳到马克思，连同我们的政治教材都要把这个可怜的老先生从坟墓里挖出来示众一番，讽刺的是，上面的逻辑题告诉我们，在普遍的意义上，赫拉克利特是对的，甚至在逻辑学如此讲究严谨确定性的领域，也无法将赫拉克利特的幽灵驱逐出去。为什么会发生这样的事情？为什么 A或者B能够得到初始条件所没有的信息？表面上这个问题问得很傻，但实际上这不并是看起来有点傻的问题。从A的视角来分析问题，这个逻辑体系中除了给定的十个候选生日之外，还有一个具有某种不确定性的条件就是B。B属于推理系统中的一员，但是在开始的时候B的作用是无法体现出来的，他是初始条件中的黑洞。想想推理的过程，当A给出第一个推论时，如果B不能有效互动，那么game over，幸运的是B给了一个回馈信息，这就导致新的条件的发生，而如果A没有第一个推论，B也不会有进一步的回馈的，这样，A的逻辑形成了一个时序依赖的反馈环路。为什么会发生条件变化，因为逻辑推理链条上出现了反馈环，为什么会有矛盾的推理结论产生，因为逻辑推理链条上出现了反馈环，这个逻辑反馈环的设计是这个逻辑题隐藏的真正的奥秘。依据逻辑推理构建的数学大厦，其体系结构基本呈现树形，有限的公理和推理规则，就能够不断延展成一个体系的参天大树，但是逻辑体系的设计从来就没有任何可能排除反馈环的存在，历来的数学大厦的建造者们，都出于本能直觉将可靠性建立在非反馈信息的基础之上，期待这样的构建不会出现推理结果产生路径依赖的现象，但是不幸的是没有任何手段能避免出现这样的问题，尤其当一些复杂定理的证明动辄几百页纸，其中是否会发生反馈回路的现象实在不好保证。反馈回路的特例就是数学中的自我指涉，这是产生悖论的重要根源之一，也是形式化系统无法自洽的原因，哥德尔不完备定理所指出的形式化系统不完备的根源就是自我指涉 +无限。反馈回路的存在并不意味着错误，相反，这其中孕育着矛盾的和解。就这个逻辑体题而言，正因为反馈环的存在才有可能推理出最终正确的结果，同样博弈理论的基础就是构建在反馈环的运动变化中，同时也让我们认识到反馈环的存在导致事物变化的复杂性和难以预测性。这个话题可以进一步延展到罗素悖论的解决，通俗的描述就是理发师悖论，下面的来自网络：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的： “本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。解决这个悖论有策梅洛的 ZF公理系统和冯.诺依曼的NBG公理系统等等，这些系统通过扩展公理的方式将罗素命题中的自我指涉产生的矛盾，排除出集合论的讨论范畴，这是通常的数学操作，可是这并不令人满意，这有点像我不喜欢你做我的朋友，所以你不能加入我的朋友圈那样，但是我无法否认你的存在性。循着这个逻辑题的解题思路，我们将罗素命题的解决拆解成两个步骤： · 初始条件是理发师没有给自己刮脸，因此下一步的动作就是可以给自己刮脸 · 推理条件变化成理发师已经给自己刮脸，因此下一步的结论是理发师不能给自己刮脸我们这次并没有放弃理发师的逻辑悖论，而是将这个命题融入一个新的体系中。幸运的是这样的解决方案其实在计算机行当中是司空见惯的小事一桩，比如，下面的几个小语句就是罗素悖论的计算机表达方式：理发师 =没给自己刮脸； FOR(TURE) { If(理发师==没给自己刮脸) THEN { 理发师给自己刮脸；理发师 =给自己刮脸； } } 在这样一个无限循环的指令顺序中，给定了理发师可以给自己刮脸这个初始条件，那么第一个循环的操作结果就是理发师给自己刮脸，同时将理发师变成不给自己刮脸，如此之后的无限循环中，理发师将再不给自己刮脸，这样在分离的时序中，解决了罗素的理发师悖论。顺便提一句，在逻辑中，命题的否和命题本身的地位在推理证明的角度上相同，但实际上两者的地位并不在等量平齐的中点，命题本身具有内敛性，能够将问题集中到一个具体的事物判定上，具有点的性质，而否命题不具有确定性的预见性，具有面的性质。如果反馈环并不包括否定性命题，那也就形成不了悖论。说到 D是个比较难回答的问题。我经常在看到一个问题的解答后，会不禁问自己，这个问题跟自己关注的事情是否有某种关联？是否从问题的解答过程和答案中汲取一些有益的养分？这个逻辑题就恰恰触发了我一直以来思考的逻辑反馈环和自我指涉的问题。对我而言，联想到这些问题是自然而言的，但是对于其他人我想就不尽然了。人类认知的心理有极大的局限性，我喜欢讲一个笑话来说明这个局限性。有一个醉汉半夜在路灯下徘徊，路过的人奇怪地问他：“你在路灯下找什么？”醉汉回答：“我在找我的 KEY”,路人更奇怪了：“找钥匙为什么在路灯下?”,醉汉说：“因为这里最亮！”。我们喜欢用自己最熟悉的领域知识去找到解决问题的 KEY，所以灯影之外那些黑暗的未知领域，是我们无法关注到的，甚至我们只能看到别人的手电亮光下的那点天地。我们手里缺少一个能够四处照照的手电，在陌生的领域发现别样的KEY。当我们看到这个逻辑题的时候，我们只是在路灯下，在别人的手电光下找到一把钥匙，我们手里没有自己的手电，所以我们没有找到新钥匙是不奇怪的。遗憾的是其实我们不得不承认，我们多数人从来手里就没有拿过属于自己的手电，照亮他人从未照亮过的暗野。我们的认知还有另外一个很大的误区不为人所关注，就是想当然地为付出辛苦而获得的收获怡然自得，不知道其中可能蕴含的风险。解答这个逻辑题是需要点拐弯的脑筋的，因此当获得了一个收获后，我们的心理自然而言的有一种舒畅感，落地的踏实感，然后就把这当做一个终点，而不是一个普普通通的过路驿站。科学研究这样的误区很少会被人注意到。不幸的是，现代科学领域的分工越来越细致，在其中每个领域中工作的人也许并不太多，这样的领域里工作的人，对自己工作努力的成果不免有一种溺爱的心理，拒绝他人的反驳，质疑反驳人的资格，无视存在的那么多的盲点而不自知，外人却又难以窥知，因此科学健康发展所必需的实验验证过程，变成了少数人的自说自话，于是可能就偏离现实越来越远。望月新一是日本的数学奇才，他的 ABC猜想证明全世界只有他自己懂，他人连入门的门槛都摸不到，这就成了一个认知的极端的典型。很多的时候不是没有问题，而是即使问题摆在我们面前，我们既缺少发现问题的眼睛，又缺少自我否定的见识。; 8796 次阅读|37 个评论

自我指涉（1）——谎言悖论: 热度 19 xying 2013-11-11 07:30; 在科学史上，还没有一种悖论像自我指涉（ self-reference ）的悖论那样引起广泛的注意。自我指涉合法存在于人们日常语言中，数学基础上和认知科学里，随处可见，造成的矛盾在逻辑上无懈可击，历经了两千多年，对此除了尽量规避之外，至今专家们仍然没有妥善的解决方案。它构造矛盾的方法成为证明中的重要技巧，在一些令人惊异的重要定理中起着关键的作用。这个系列介绍这一类悖论，剖析哲人们对它的思考和因此带来的科学进步。谎言悖论是历史上最早的自我指涉悖论，以致成为这类悖论的代名词。它来自于公元 6 世纪哲学家 Epimenides 的例子：“ All Cretans are liars... One of their own poets has said so. ” 公元前 4 世纪欧几里德创建的麦加拉学派（ Megarian school ）里的哲学家 Eubulides 领会了其中的奥妙，将这例子改为简短的一句话：“ 这句话是假的。 ”这成了一个最为著名影响深远的悖论。【 1 】这话令人尴尬之处在于：如果你相信这话是真的，它明明说了这是句假话；如果你认可它是句假话，那又证明了它所说是真的。所以你无论怎么理解，都是错误的。谎言悖论是一个语义的悖论，其核心的结构是自我指涉，在说道自己时，否定了自己，它的断言总是与自身矛盾，无论你怎么解读之所言，推及自己时就拧着了。这类的语句符合语法，在生活中也时有出现，人们常常做了不合逻辑的解读。有人不以为然，日常中哪有这样说话的？瞎掰！先看下面的例子：小赵说：“老张说的是瞎掰！”老张说：“小赵说的是假话。” 这是生活中常见的两人斗嘴，你倾向于哪方的解读都符合逻辑，没什么技术含量。无论事实上谁是谁非，怎么解读，它们组成的命题在逻辑上永远是对的，称为永真性命题，是逻辑真理。真理问题在后几篇细说。如果老张说了肯定小赵的话，那就要有点智商来解读了。小赵说：“老张说的是瞎掰！”老张说：“小赵说的是真话。” 这小赵和老张互相针对说的话，谁是谁非？不同人的反应不同，往往决定于心境、经历和智力。如果在第三者转达他们话时，略加点形容，就更容易影响你的判断了。小赵气愤地说：“老张说的是瞎掰！”老张尴尬地说：“小赵说的是真话。” 小赵媚笑着说：“老张说的是瞎掰！”老张呵呵笑说：“小赵说的是真话。” 小赵严肃地说：“老张说的是瞎掰！”老张点点头说：“小赵说的是真话。” 同样两人说的话，在转达时一字不变，只是形容的口气略有不同，多数读者的判断就受了叙述者的影响，倾向性从小赵说的是真话到后来成了假话变化。关于第三条，有人看到的是争吵，有人读到反讽。到底哪一种对？其实都不对！你要会逻辑才能明白。人的判断是由感性和理性影响的，感性的认知不稳定，结论依自己情绪和旁人影响而定，理性关心是本质的内容。用来影响感觉的是艺术，科学是发掘本质的工具。科学研究判断是非，讲逻辑就要忽略形容词、副词等等表达情绪的言语。不受叙述口气的影响。剥离了这些无关的东西，从逻辑上来看这两句话组成的意思，如果小赵的话是对的，老张是瞎掰，他说的“小赵说的是真话”这话是瞎掰了，那小赵的话就不对，这导致了矛盾。如果小赵说的是假话，老张说的是真话了，他说“小赵说的是真话”又和假设矛盾了。所以两人所说构成了悖论。它是间接的自我指涉。如果你的头脑不严谨，受其他暗示的影响，会片面地沿着某个思路而忽略了另一面。思想简单的人读不懂反讽，因为反讽需要进一步的逻辑解读。如果简单以字面相反来读反讽，那其实是缺乏解读能力，只能按照别人贴的标签或情绪暗示来理解文章，遇到悖论的情况就更会错误理解。能够不受情绪干扰，根据逻辑来叙述正确解读语言所描述的事件，是一种理性的能力。让我们看下面的经典例子。公元前 6 世纪 Epimenides 谎言悖论原版的叙述很靠近生活的语言，这常被一些人认为是最早的悖论，其实不然。【 2 】有个克里特岛诗人发誓说：“所有克里特岛人说的都是谎言”。那他说的可信吗？表面看来应该可信，因为他是信誓旦旦地声明。人们常想，即使他也是撒谎，正因为他也是克里特岛的人，也不过是坐实了这句话。但这样的理解不是按逻辑，而是凭感觉。逻辑上，如果他说的这句话可信，他是克里特岛的人，根据这句话，那他说的也是谎言了，即是不可信的。这个矛盾否定了可信的解读，只剩下不可信的可能。如果我们也能够在逻辑上否定不可信的情况，那才构成了悖论。因为逻辑上的排中律不允许有这样的状况。但这故事严格地说并不构成悖论，而是具有确定含义的。这个诗人说他家乡人说的都是谎言，并不排斥这诗人说假话的可能。只要他家乡还有一个老实人，这诗人就是说假话。在这个情况下这段文字没有矛盾。唯有这样解读，这段的介绍文字才不自相矛盾，才有了确切的含义。所以它唯一合乎逻辑的解读是：叙述了一个诗人在撒谎的场景，诗人所说的话是他撒谎的证据。他说家乡的人都是这德行，逻辑上这只能证明他本人是如此，而不及他人。在现实的生活中，这类的句式很多。经常看到中国人用中文写：“中文网上的话全是垃圾！”，或者“中国人没有诚信。”在辱骂包含着自己的群体时，常常如同克里特岛的诗人，逻辑上，他骂的是自己，而不及他想骂的大众。骂人也是要学文化有头脑的，不然被自己骂成了猪头都还洋洋自得，贻笑大方！（待续）【参考资料】【1】 Wikipedia ， Liar paradox http://en.wikipedia.org/wiki/Liar_paradox 【2】 Wikipedia ， Epimenides paradox http://en.wikipedia.org/wiki/Epimenides_paradox; 个人分类: 科普|21529 次阅读|63 个评论

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