手工计算时代需要基于数据精度考虑具体的计算方式，放大、缩小和求平均，就是技巧之一。 (1)Basel问题 自然数平方的倒数之和是收敛的，欧拉得到其极限为π 2 /6 张江敏 . 疯狂的绝技——级数加速收敛的艺术 http://blog.sciencenet.cn/blog-100379-1075769.html 级数平方衰减，截断到 前 n 项的和 T n ，则误差在1/ n 量级。不过，若想结果精确到小数点后三位，并不需要计算到1000项——对没有计算的余项可进行估算呢。 若圆周率误差为 δ ，则 (π+ δ ) 2 /6=π 2 /6+π δ /3+ δ 2 /6 ，因而级数的误差和与π的误差 δ 相当。 由 前 10 项的和 T 10 确定的π为3.049362，修正1/(10+1)之后，则π为3.137525； 修正1/2(10+1)^2=0.004132后,得到π=3.141473 与真值3.141593，仅相差0.000120。 (2)割圆术 半径为1的圆，内接正6边形边长 b 6 =1 ， n 边形边长 b n ， b 2n =sqrt(2–sqrt(4– b n 2 )) ； n =6×2^ k 边形边长 A k =sqrt(2– B k ) , 式中 B k =sqrt(2+sqrt(2+…+sqrt(2+sqrt3)…)),k–1 次开方 正 2 n 边形面积 S 2n = nb n /2 ，极限是圆周率π。 这就是魏人刘徽公元263年创立的割圆术，其以6×2^4=96边形的边长确定圆周率3.14。 通常认为， 南朝祖冲之(429~500年)得到圆内接6×2^11=12288边形的边长，确定圆周率精确至小数点后7 位。 这是非常 困难的： 为了保证π的精度， B 11 =1.9999…… 需要 16~17 位有效数字。 祖冲之所著《缀术》失传，具体计算方法难以知道；但他肯定知道有效数字随着边数的增加不断减少，进而研究提高精度的途径。 刘徽割圆4次至96边形的结果可以写为 S 192 = S 12 +( S 24 – S 12 )+( S 48 – S 24 )+( S 96 – S 48 )+( S 192 – S 96 ) S 12 =3 ；而第一次割圆增加量即 S 24 – S 12 =0.1058285412 ； 第二次增加量减少，只是第一次的 0.253240 倍，第三次、四次增加量是其前次增加量的 0.250805和0.250201 倍。 割圆引起的面积增加比值 D 逐次减小而趋于0.25即1/4。 继续割圆的面积增加，若以1/4的比例计算，即弓形面积为 ( S 192 – S 96 )/3 是缩小的估算；而以 D 96 的比例计算，即弓形面积为 ( S 192 – S 96 )* D 96 /(1– D 96 ) 是放大的估算。于是有 3.14159 253π 3.14159 313 。 以上数据是Excel计算的，所列数字都是有效的。 如果以12位数字计算到192边形 ( k =5) ，即可得到 祖率3.1415926π3.1415927， 即比刘徽多割一次即可。 我想，当年祖冲之就是这样做的。 又，若注意到割圆引起的面积增加比值与1/4的差异也以1/4的比率减小，因而圆周率会接近于下限，即对上下限求平均并不能提高精度；不过，若依据 D 96 估计 D 192 =0.250050 进而计算 ( S 384 – S 192 ) ，即可得到祖率而不必具体计算192边形的边长。 1/8=0.125，1/6=0.166667，而1/7=0.142857…，那么3又1/7即22/7就是圆周率的偏大估计。将1/7修改为 P =1/(7+1/ n ) 即 n /(7 n +1) ，其在1/8~1/7之间；选择合适的 n 可以提高精度。计算5次即可得到祖率355/113 n =10 ， P =0.1408451; n =20 ， P =0.1418440 n =15 ， P =0.1415094; n = 17 ， P =0.1416667 最后可确定 n =16 ， P =0.1415929 (3)此情可待成追忆 1994年初搬入两室一厅的新居，有了独立的书房。过年无处可去而翻看旧书，觉得祖冲之似乎不会割圆11次计算圆周率；于是，用十位数字的计算器Casiofx-4500p略作演算，写出“割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测”。敝帚自珍，多次投稿后发表于《安阳师范学院学报》的2003年第2期；也曾在博客介绍 http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-776036.html 。 书上铅笔所写的结果已经不清楚啦。24年也就要过去了。 照片中小册子“夏道行.π和e”1964年第1版，但是1978年重印的，3万6千字，定价0.15元；“张弛.不等式”，5万8千字，定价0.22元。也就是二、三两猪肉的钱——其时含骨统肉一斤0.73元。 1978年暑假后坐船6小时到县城上高中，自己手中也就有了一点零花钱，时常去学校对门的新华书店看看，偶尔也买本书。我觉得读书比做题要好，只是那时候书籍很少啊。 最后给出当年发现的一个结果，只要记得 sqrt(5)=2.236就行啊 附录：多次投稿也就是多次退稿啊。 下面所展示的投稿 也是被退啊。二十年已经过去了。 从写作到发表用了九年时间。也花了点功夫呢，只是博文里说得简单。 现在条件好啊，若做出题目，真不必再三再四投稿，完全可以在博客贴出来。有人看就行。 那时投稿还要到邮局寄纸质文本，有些刊物要审稿费，有些刊物说“ 6 个月未见录用通知可自行处理”，有些刊物因“人力所限来稿概不退还”。文章手工抄写不易，且害怕重抄出错，最初投稿时多说“随信寄上贴足邮票、写好地址的回程信封；若拙稿不能采用，烦请掷回”。当然，
仗着相似性可以走多远：从 π 到 Π 今天你吃派了吗？今天是圆周率日(Pi day) ，是一个围观π 的日子，就来谈谈“从π 到Π ”。 圆是一种美妙的几何图形，圆周率是一个神奇的超越数，漂亮的形与数引发了人类无尽的思考与驻足。AI 啊，你是否会象人类一样，时不时地停下脚步，细细地欣赏这一道道靓丽的风景呢？ 1. 圆周率 π 线有长有短，圆有大有小， 尺度 是一个可以定性感知、也可以定量测量的概念。直径长了，圆就大了；直径短了，圆就小了。圆的周长 C 自然依赖于圆的直径 D ，记为 C = f ( D ) 。事实上我们很熟悉该关系的显式形式，但暂且极度不情愿地假装忘记它。 大圆缩小了变小圆，小圆放大了变大圆， 相似 也是一个可以定性感知、也可以定量测量的概念。直径和周长都是长度量，用直径作为长度的参考量去度量圆的周长，其值为 C / D ，而此时圆的直径为 D / D = 1 。即直径为1 的圆，其周长为 C / D ，代入上述表达式，有 C / D = f (1) 或者 C = Df (1) 。与原来的表达式相比，获得了 f ( D ) 的显式表达形式，其中 f (1) 是一个常数，记为π 。这就是“世界最美十大公式”之一， 圆的周长公式 C = π D 。 通过相似性的应用把问题简化了，体现在只需要一次测量就可以确定出常数π ，然后不管多大的圆，都只需要测直径就可以计算周长，反之亦然。 运用相似性可以走多远呢？再来看一下直角三角形的例子，斜边长度与两个直角边的长度相关，即 c = f ( a , b ) 。取一边的长度 a 作为长度的参考量，有 c / a = f (1, b / a )= g ( b / a ) 。结果是，原本两个可变的自变量，变成了一个无量纲的自变量。问题简化了，但函数的形式还是未知，单次测量并不能使问题解决。嗯，运用相似性，只能走这么远！当然，如果进一步运用 自相似 性，我们将可以走得更远，即证明勾股定理，但此处略去不谈。 嗯，兜了这么大一个圈子讲这么“浅显”的道理！不过，简单的道理升华后就是哲理。 2. 白金汉 Π 定理 一个问题可能有很多的决定因素，因和果有着千丝万缕的联系。一股脑地列出所有可能的影响因素和目标量，均记为 R i ，其中 i = 1, 2, ..., N ，总个数为 N 。对于确定性问题，这些量满足隐式关系 F ( R 1 , R 2 , ..., R N ) = 0 。对于科学问题， R i 的数值与其度量有关。如果只需选取 k 个无关的量作为参考量（不烦假设为前 k 个量），其他的 N − k 个量都可以用参考量作为度量参考，相当于我们得到了 N − k 个度量的数值，记为π i ，其中 i = 1, 2, ..., N − k ，它们是没有 量纲 的量。这 N − k 个数值和 k 个1 代到问题的隐式关系中是成立的，即有 F (1, ..., 1, π 1 , π 2 ,..., π N − k ) = 0 或者写作 f (π 1 , π 2 , ..., π N − k ) = 0 。这就是著名的 白金汉 Π 定理 ，它是量纲分析的基础，是模型试验的依据。依据Π 定理，即可以少做试验，又可以缩放试验，大大节约试验的成本和时间，甚至提高某些较难测量的量的测量精度。 3. 天天过节 我们知道，圆周率π = 3.1415926535897932384626... 是一个无限不循环小数，吸引了广泛而深远的兴趣。每年的今天，即3 月14 日 ，被定为 国际圆周率日 (Pi day) ，许多人在这一天下午的1:59 过国际数学节，比如吃派。然而，也有人选择在11 月10 日 过圆周率日，因为那是平年的第314 天。也有选择在7 月22 日 过圆周率日，因为这一天的欧洲写法记为22/7 ，是 约率 。还有 12 月21 日下午1:13 ，即平年的第355 天的下午1:13 ，它由 密率 355/113 而来。 这还不够！有些人认为半径比直径更有资格作为圆的基本参数，因为只需要一个固定点和一根线就可以在平面中做出圆来，线的长度就是圆的半径 R ，所以宁愿选择周长比半径作为圆周率，记为τ = C / R = 2π ，并在每年的6 月28 日 过圆周率日 (Tau day) ，据说要吃两倍的派。 好吧，实际上Π 定理告诉我们，参考量可以较随意地选，如选 D , R , R /2, R /3, ... ，想怎么选就怎么选，无量纲参数不唯一，所以我们可以“天天过节”！ 郑志军 2016 年3 月14 日 （π 日）
关于 PI 的回忆 : 有理与无理和有限与无限 月初在京参加了一个读书会，一位宗教学者关于圆周率 Pi 之无理的发言让我回忆起自己从小对 PI 的想象和情结。 这位学者从电影《少年 Pi 的奇幻漂流》中主角的名字引出 Pi 是无理数，无限不循环，预示任何一个情节都是不可预期的。我在飞机上看过此片，但从来没有想过 Pi 的如此解释，忍不住插话，因为我从来都认为 Pi 是最有道理的“有理数”。而且，我过去讲课时总把 Pi 当作 “有限与无限之比”，本该取无限值，却是一个有限的数，神秘且神圣，具有哲学意义。 小学第一次听老师讲圆周与直径之比是个常数，记为 Pi 约为 3.14 时，嘴上不说但心里不信：这么多圆，怎么可能比出来是个常数？自己还偷偷地拿圆规画了不少圆，希望能够比出一个让老师“出丑”的数来。虽然徒劳，却也知道了圆周无法测量，只能近似，还有内外上下逼近、祖冲之的“割圆术”，最后在图书馆里 还 读了一本华罗庚的科普小书《从祖冲之的圆周率谈起》。文革之后，曾在新华书店中匆忙买过一本华罗庚写的《从单位圆谈起》，本以为还是关于“割圆术”之类的科普书，回来一看是高深的专著，除了觉得内容太发散，几乎没有其它感觉，当时希望以后能读懂。此书仍在，怕是再也不会有能力读了。 大学时，教数学的秦鹏荣老师是上海的宁波人，讲课十分风趣，为了吸引学生的注意力，有时会在课堂穿插一些小故事。现在还能记起来的就是一个关于 Pi 的故事：老家的乡村教师是个酒鬼，喜欢在下午喝酒，三点一师一壶酒 ……, 用宁波话就是 3.14159…… ，结果班上的学生都能把 Pi 记到很多位。今天我还能记住 Pi 的这六位数，必须归功于秦老师，可惜他过早去世。 为什么会有 Pi 是“有限与无限之比”的想法？因为学机械运动时发现，现实中不重复的直线运动总是有限的，只有不断重复的圆周运动才可能是无限的，因此就有了 Pi 是貌似无界的有限直线运动与貌似有界的无限圆周运动之比的感叹。但这是我在教 SIE 350 动力学建模课程时才觉得要说出来，而且每学期上课都会发挥一下，告诉学生有限运动与无限运动就是这样由奇妙的 Pi 转化的。我无法在课堂上讲的是，自己还认为正是每个人有限无法重现的一段生命，组成了整个人类无限代代重复的圆周（螺旋）历史运动，当然这只是感觉，不能深究。 那时有一本捷克人写的《 A History of π 》，因作者去世而再度畅销，我也买了一本。由这本书，我才发现世界上竟有这么多的书在讨论一个常数 Pi ！希望有一天自己也能写一本关于 π ，自然数 e , 和虚数 i ，谈一下把它们连在一起的Euler公式，因为这三个数和欧拉的公式，至今还让我觉得世界之奇妙。 古人有“天圆地方”的世界观，方由四段有始有终的直线组成，可圆只有一个没头没尾的混沌圆周， 但只要想完美地合起来，线段与圆周之比必须是常数 Pi ， 道理何在？也许， Pi 不但是“有限与无限之比”，还是“有理与无理之比”。至于这一认识的意义何在？对此，我只能认同读书会上那位学者后来的书面总结：“ Pi 是无理的，没有意义的象征，但是在没有意义 的 时候什么是意义？就是敬畏，这个时候这就是意义。”如所， Pi 也只能是个无理数了！ 希望将来有时间再来回顾一下 Pi 及其意义，此文记之。 2014 年 7 月 16 日草于 SC4653 ， 8 月 2 日改于悦溪 PS: 忘了自学概率论时，曾试着动手 用 布丰分布 计算Pi值，今天完全可以做一个自动系统来算，当然仿真最快最经济。
今天是 3 月 14 日。到晚上 8 点钟，也没有见到博文讨论圆周率、纪念祖冲之。不得已，将自己的一篇旧作略作精简贴出来。若有欠妥，需要拍砖，还望高高举起，轻轻放下。 1 刘徽的割圆术 半径为 1 的圆，面积为 π ，周长为 2π 。圆内接正 n 边形边长 b n ，面积 S n ，满足 b 2 n =sqrt(2–sqrt(4– b n 2 ))(1) S 2 n = nb n /2(2) S 2 n π S 2 n +( S 2 n – S n )(3) 利用圆面积而不是周长来表示圆周率，祖冲之已经知道。 估计剩余弓形面积或许是实际计算时的本能反应。 AB弧对应弓形面积小于ΔABD,而略大于1/3的ΔABD面积. 正 6 边形边长 b 6 =1 ；迭代式（ 1 ）可以得到 6×2^ k 边形边长 A k A k =sqrt(2– B k ), 式中 B k =sqrt(2+sqrt(2+…+sqrt(2+sqrt3)…)) 共 k –1 个根号 sqrt 三国魏人刘徽 ( 公元 263 年 ) 利用上式计算至圆内接正 96 边形边长，再由式 (2) 、 (3) 得 3.141023π3.142704 即 π=3.14 二精确到两位小数。这是从几何方法准 确求圆周率的首创。一般认为，南朝祖冲之 (429~500 年 ) 利用割圆术求得圆内接 6×2^11=12288 边形的边长，从而确定圆周率至 3.1415926π3.1415927 祖冲之所著《缀术》失传，具体计算方法现在已难以知道。 2 割圆术难以提高 π 的精度 随着 k 增大， B k 接近于 2 ；在计算位数一定时， 2– B k 即 A k 的有效位数逐渐减少。以十位数字的计算器 Casiofx-4500p 计算，在 k =6 和 k =7 时，由式 (2),(3) 得 3.141556π3.141660 和 3.141580π3.141603 k =6 时有六位有效数字，而 k =7 时只剩下五位有效数字，因此利用十位数字计算时最多只能得到 π=3.141...... ，四位准确数字。继续增大 k 不能提高圆周率的精度。在极端情况 k =16 时， B k =2 ， A k =0 。如果直接利用割圆术确定 π 至小数点后面七位 ( 八位精确数字 ) ，则要得到 A ll =0.000511326922…… ，共九位有效数字；计算 B ll =1.99999 …… 需要 16~17 位数字 。古代利用算筹进行手工开方计算，这样的工作是非常困难的。 谁若不信，对一个10位数开平方至10位数。 3 祖冲之确定圆周率方法之揣测 祖冲之知道刘徽的工作，想来会增大割圆次数提高 π 的精度。实际计算之后，他必然会发现， π 的精度不会超过边长的有效数字，而有效数字随着边数的增加不断减少；进而研究 π的 精度即 ( S 2 n – S n ) 的变化情况，以确定割圆次数与计算位数。计算表明， ( S 2 n – S n ) 以接近 1/4 的速度减小。计算至 n =96 即 k =4 ，有 ( S 192 – S 96 )=0.001681944 ( S 96 – S 48 )=0.006721572 两者比值 δ 96 =0.250230749 。依据前 4 个数可以知道， δ n 单调减小趋于 1/4 。 边数增加， δ 介于 1/4~ δ n ，可以对尚未计算的弓形面积作出一个估计，得到 S 2 n +( S 2 n – S n )/3π S 2 n +( S 2 n – S n ) δ n /(1– δ n ) n =96 有 3.14159276π3.14159345 ，以 10 位数字计算至 96 边形,圆周率有 6 位准确数字。 祖冲之想来会以计算结果和 δ =1/4 估算弓形面积为 ( S 2 n – S n )/3 ；于是，以 12 位数字计算到 192( k =5) 边形即可得到祖率，即比刘徽多割一次即可。又，这相当于以 BO 为轴的抛物线替换图中圆弧 ABC ，其面积阿基米德（ 287BC-212BC ）已经知道 。 1/8=0.125 ，1/6=0.166667，而 1/7=0.142857… ，那么 3 又 1/7 即 22/7 就是圆周率的偏大估计。 将 1/7 修改为 P =1/(7+1/ n ) 即 n /(7 n +1) ，其在 1/8~1/7 之间；选择合适的 n 可以提高精度。计算 5 次即可得到祖率355/113 n =10 ， P =0.1408451; n =20 ， P =0.1418440 n =15 ， P =0.1415094; n = 17 ， P =0.1416667 最后可确定 n =16 ， P =0.1415929 4 结语 祖冲之利用算筹进行开方运算，将圆周率精确至小数点后 7 位，确实是一件非常困难的工作。但对数学本身的贡献，似乎不能与 欧几里得 ( 公元前 330 一前 275 年 ) 创立平面几何相比。又，埃及人在公元前 225 年确定地球半径 4000 英里，希腊人在公元前 130 年确定地球距月亮 236000 英里；两者与现代数据 3986 英里和 240000 英里相差无几。对别国的古代文明，我们似乎介绍不够。 1 夏道行.π 和e. 上海: 上海教育出版社，1964.10~17 2 弗伦奇AP. 牛顿力学( 第二册). 人民教育出版社，1982.75~77 拙稿完成于1994 年春节；曾多次投稿，最后发表于 尤明庆．割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测. 安阳师范学院学报，2003,(2) ：11~12,14.因公式输入困难，博文对数学分析作了省略。
作者：蒋迅 今天发一篇关于圆周率的，Happy PI Day! 看到了一位数学博客” http://notsohumblepi.com/ “，翻译一下网址意思是“没有那么谦卑的圆周率”。显然他是围绕”PI“写博客的，而且这位博主绝对是一个 PI 控了。几乎每篇都有 PI 的漫画。挑出一些供欣赏。 Source: TGI Pi Day Source: Identity Theft Source: Talking In Circles Source: Buffet Source: Pi Working Out With a Trainer Source: Heisenberg Principle Source: Pi Autograph Source: Pi Doesn't Twitter Source: Pi Day Party and Hallmark Greeting Card Source: Golfing With a Negative Skew Links: 6.28圆周率的进攻和3.14圆周率的反攻 小闹钟：我编写的一个Javascript程序 【够数学】这个小费够数学的 圆周率我们需要精确多少位？
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